Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3 -  4,  23  (1985) KLASA  P R Z E P Ł YWÓW  P OWOLN YC H W  KAN AŁACH   K O Ł O WO  ZAKRZYWION YCH STAN ISŁAW  TQKARZEWSKI  (WARSZ AWA) IPPT PAN Spis  waż niejszych  oznaczeń {r, 6) —  współ rzę dne  biegunowe, R —  poł oż enie  ś cianki  kan ał u, u —  prę dkość  prom ieniowa, v  —  prę dkość  obwodowa, p —  ciś nienie, u Rt u i  —  prę dkoś ci  promieniowe  postawione  n a  ś ciance  kanał u, Ox, !), —  prę dkoś ci  wzdł uż ne  postawione  n a  ś ciance  kanał u, <2o —  wydatek  cieczy  przez  wybrany  przekrój  kanał u, W   —  funkcja  prą du. I.  Wstę p Przepł ywy  z  mał ymi liczbami  Reynoldsa,  zwane  powszechnie  przepł ywami  powolnymi, realizują   się  n a dużą   skalę  zarówno  w  technice, jak  i w przyrodzie.  M amy z nimi do czynie- nia  mię dzy  innymi  w  procesie  przepł ywu  krwi  w  naczyniach  krwionoś nych,  w  procesach smarowania,  flotacji,  sedymentacji  i  wielu  innych.  D o  opisu  przepł ywów  powolnych powszechnie  uż ywa  się   równ ań  Stokesa  [!>]. R ównania  te należą   do podstawowych  równań mechaniki pł ynów. P oszukiwanie  wię c klas ś cisł ych rozwią zań  równań  Stokesa  opisują cych przepł ywy  powolne jest  zadaniem  waż nym  zarówno  z  teoretycznego, jak  również  z  prak- tycznego  pun ktu  widzenia.  Celem  niniejszej  pracy  jest  wyznaczenie  pewnej  klasy  prze- pł ywów  powolnych  realizują cych  się   w  pł askim  kanale,  którego  ś cianki  mają ce  kształ t dwóch  współ ś rodkowych  ł uków  okrę gów  są   przepuszczalne  dla  cieczy.  Poszukiwane przepł ywy  powolne  opisywać  bę dziemy  za  pomocą   tak  zwanej  funkcji  prą du  speł niają cej równanie biharm oniczne, okreś lone  w  biegunowym  ukł adzie współ rzę dnych. Klasa  ś cisł ych rozwią zań  równ an ia  biharmonicznego  powszechnie  uż ywana  w  literaturze jest  wyraż ona za  pomocą   szeregów  F ouriera  [9, 5]. N ieznane współ czynniki  tych  szeregów  wyznacza  się 528 S.  TOKARZEWSKI z  warunków  brzegowych,  wykonują c  odpowiednie  operacje  cał kowania.  Klasy  funkcji prą du  uzyskane  natomiast w  tej  pracy  mają   postać  nieskoń czonych szeregów  funkcyjnych, których  poszczególne  wyrazy  są   iloczynami  kolejnych  pochodnych  funkcji  prę dkoś ci postawionych  na  ś ciankach  kanał u  mnoż onych przez  ś ciś le  okreś lone  wielomiany  zależ ne wył ą cznie  od  jednej  zmiennej  promieniowej.  Przepł ywy  powolne  otrzym an e  w  tej  pracy istotnie  wię c  się   róż nią   od  klas  przepł ywów  powolnych  wyraż onych  szeregami  F ouriera. 2.  Sformuł owanie  zadania Rozważ my  dwuwymiarowy  kanał ,  którego  obydwie  ś cianki  mają   kształ t dwóch współ - ś rodkowych  ł uków okrę gów  opartych n a  tym ką cie  ś rodkowym  6  -   d 0   (rys.  1). K an ał   taki nazywać  bę dziemy  kanał em  zakrzywionym.  Zał óż my,  że  ś cianki  rozważ anego  kanał u ' X „  p N s. \ \ \ \ - 1 \ \ IJ r- Rys.  1. są   dla  cieczy  przepuszczalne.  N iech  przez  przekrój  6  =  0,  ś ciankę   górną   oraz  ś cianek dolną   (rys.  1) wpł ywa  do wnę trza  kan ał u  ciecz  odpowiedn io:  o  wydatku  Q o ,  z  prę dkoś cią o skł adowych U lt   Vi  oraz z prę dkoś cią   o  skł adowych  U R ,  V R .  Przyjmujemy,  że w  przepł y- wie powstają cym  w  kanale (rys.  1)  sił y  bezwł adnoś ci są   pomijalnie  mał e  w stosun ku do sił lepkich.  Celem  pracy  jest  wyznaczenie  klasy  przepł ywów  powolnych  realizują cych  się w  dwuwymiarowych  kanał ach  zakrzywionych  (rys.  1),  mają cych  ś cianki  przepuszczalne. 3.  Podstawowe  równania D o  opisu  dwuwymiarowych  przepł ywów  powolnych  powstają cych  w  kan ał ach  zakrzy- wionych  o  ś ciankach  przepuszczalnych  (rys.  1) uż ywa  się   nastę pują cych  równań  Stokesa: 1  8  .  .  1  dv r  dr  ^ r "  r  dO 1  d2u  28 dr 1  8 =  0 , dv JLLLJL 8r[r  dr + • i iii 3 d _i?.= i  5p P R Z E P Ł YWY  W  KAN AŁAC H   Z AKR Z YWI ON YC H 529 oraz  stawia  się   nastę pują ce  warunki  brzegowe: .  u(R,  6)  **  UaKfi),  v(R,d)= VR(d), gdzie p'Ro u — V  — Ro'  uU0'  u0'  u0 są   odpowiednio bezwymiarowym  promieniem, bezwymiarowym  ciś nieniem,  bezwymiarową prę dkoś cią   promieniową   oraz  bezwymiarową   prę dkoś cią   obwodową .  Przedmiotem po- szukiwań  bę dzie  klasa  funkcji  {u, v,p}  speł niają ca  ś ciś le  równania  Stokesa  (3.1a)  oraz warunki  brzegowe  (3.1b).  Wygodnie  jest  poszukiwaną   klasę   przepł ywów  powolnych {u,v,p},  rozwią zują cą   zagadnienie  brzegowe  (3.1),  przedstawić  nastę pują co: u  = 1  dW r  8r 8W I d .  .  CI  \   82u  2  8v\ , (3.2a) gdzie  funkcja  W ,  zwan a  funkcją   prą du,  speł nia  równanie  biharmoniczne B  8  1  8 ( 3 ' 2 b ) oraz  warunki  brzegowe 1  8lP ~R~86 86 (3.2c) r = l Zwią zki  (3.2) i  (3.1) są   równoważ ne.  Stą d w dalszej  czę ś ci  pracy  ograniczymy  się  wył ą cznie do  wyznaczenia  klasy  funkcji  prą du  !P  rozwią zują cej  zagadnienie  brzegowe  (3.2b -  c). P oszukiwana  klasa  przepł ywów  powolnych  {u, v,p}  wynika  bowiem  natychmiast  ze zwią zków  (3.2a). N iech funkcja  W (r,d,R,  U R ,V R )  speł nia zwią zki  (3.2b -  c) w  przypadku, ~l  r  1  \ gdy  U x   =   F t  =   0. N ietrudn o wykazać, źe  funkcja  ^1- = -, 0,—,U1,V1\   powstał a w  wyniku prostej  zamiany  argum en tów  speł nia te  same  zależ noś ci  (3.2b -  c)  przy  zał oż eniu jednak, że  U R   =  V R   =   0.  Stą d  wygodnie  jest  poszukiwaną   klasę   funkcji  prą du  lP  rozwią zują cą zagadnienie  brzegowe  (3.2b -  c)  przedstawić  w  postaci  nastę pują cej  sumy W{r,  0) =   W(r, 6,  R,  UR,  VR)+ w\ ± ,  d, ~,  U,, (3.3) gdzie R, U R ,V R ,U 1}   Vi  są  z góry  danymi param etram i. Aby  wię c znaleźć poszukiwaną   klasę przepł ywów  powolnych  {u,v,p}  należ y,  po  pierwsze:  rozwią zać  równanie biharmoniczne d_  8_ dr  r  8r 1 8r ( 3 . 4a ) 12  Mtch.  Teoret.  i  S tos.  3- 4/ 85 530 S.  T O K AK Z E WSK I wraz  z  doł ą czonymi  do  niego  nastę pują cymi  warunkami  brzegowymi 1  9P -   U R (6),  - dr ,90 =   0,   - r = l dr -   0 , (3.4b) (3.4c) po  drugie:  zbudować  n a  podstawie  (3.3) funkcję   prą du  W  oraz  po  trzecie:  wyznaczyć w  oparciu o zależ noś ci  (3.2a) poszukiwaną   klasę   przepł ywów  powolnych  {u, v,p}.  W dal- szej  czę ś ci  pracy  ograniczymy  się   do  rozwią zania  zagadnienia  brzegowego  (3.4). 4.  Klasa  rozwią zań  równania  biharmonicznego N a  wstę pie  wprowadź my  nastę pują ce  oznaczenia: L ~  r  dr  dr'  dB"   J  W j które  uż ywać  bę dziemy  w  dalszej  czę ś ci  tekstu.  P rzy  uż yciu  zależ noś ci  (4.1)  równanie biharmoniczne  (3.4a)  przyjmuje  postać Rozwią zanie  równania  (4.2)  wygodnie  jest  wyrazić za  pomocą   nastę pują cego  nieskoń czo- nego  szeregu  funkcyjnego (4.3) j = 0 gdzie W ,(r) jest funkcją   wył ą cznie promienia r,f(2s)(6)  zaś oznacza 2x- tą   pochodną   dowol- nej  funkcji/ (O),  zależ nej jedynie  od ką ta  6. Podstawiają c  zwią zek  (4.3)  do  zależ noś ci  (4.2) i  przyrównują c  do  zera  wyraż enia  przy  tych  samych  rzę dach  pochodnych  funkcji  / (0), otrzymujemy  nastę pują ce  równania  rekurencyjne  okreś lają ce  funkcję   W ,(r): ( 4 4 ) Ogólne  rozwią zanie  ukł adu  równań  (4.4) przyjmuje  postać ( 4 - 5 ) gdzie  a,,  / SS) y,  i  6, są   dowolnymi  stał ymi. W  celu  ustalenia  kryteriów  zbież noś ci  otrzy- manego  szeregu  (4.3),  (4.5)  wygodnie  jest  JV- tą   sumę   czą stkową   zwią zku  (4.3), (4.5) przekształ cić  do  równoważ nej  postaci  ,  . . < ' : • • m= o P R Z E P Ł YWY  W  KAN AŁACH   Z AKR Z YWI ON YC H 531 gdzie N~m j N- m 2 m ) ( 0 ) ,  b N , m m G ranicę   cią gu  (4.3)  moż emy  n a  podstawie  (4.6)  zapisać  nastę pują co OD  N 22 (4.7) (4.8) Cią g  funkcji  (4.8)  jest  zbież ny,  gdy  speł nione  są   jednocześ nie  nastę pują ce  nierównoś ci: lim  a N i „,  m  aa,,,,,  <  oo,  lim b N iUl   =   b a>m   <  co, (4 9) r <  * • Stosują c  kryterium  d'Alem berta  do  zwią zków  (4.9)  otrzymujemy  na  podstawie  (4.8) i  (4.7)  nastę pują ce  kryteria  zbież noś ci  szeregu  (4.3),  (4.5)  obowią zują ce  w  przedziale 1 r  <   Q: lim Vm Ostatecznie  wię c  poszukiwaną   klasę   ś cisł ych  rozwią zań  równania  biharmonicznego okreś- lają   szeregi  (4.3),  (4.5)  wraz  z  nierównoś ciami  (4.10). 5.  Szeregi  F ouriera Znaną  klasę  rozwią zań  równ an ia biharmonicznego okreś lonego w biegunowym ukł adzie współ rzę dnych  są   nastę pują ce  szeregi  F ouriera: W (r,  6)  =   VĄ (r)cosJV9,  (N   .  0,  1,2  . . . ) . przy  czym .  lim (S.la) (5.1b) gdzie  Ą ,  Ą ,  C„  i  D„  są   dowolnymi  stał ymi. Interesują ce jest  przejś cie  od  szeregów  (4.3), (4.5)  do  szeregów  (5.1).  Przyjmijmy  dowolną   funkcję   f(d)  w  postaci f(6)  =   cosn0  (5.2) i  podstawmy  ją   do  zwią zku  (4.3).  P o  wykorzystaniu  zależ noś ci  (4.5)  otrzymujemy DO r,e) -  2  ( - irl^̂ (5. 3) 532  S.  TOKAR Z F .WSKI Zakł adają c,  że  szereg  (5.3) jest  bezwzglę dnie  zbież ny,  zwią zek  (5.3) daje  się   p o zmianie kolejnoś ci  sumowania  przedstawić  w  postaci (5.4a) ln 2"V  1 jwM+ d„  j, gdzie  wprowadziliś my  oznaczenie co «n "»  (w =   «, j3, y,  Ó).  (5.4b) N ieskoń czona  suma  wyrazów  szeregu  (5.4a)  równa  się + 2 2 - 1 ) )  (5.5) Przechodzą c  do  granicy F N (r)  -   lim F„(r),  (N  -   0 , 1 , 2 ...)  (5.7) otrzymujemy  dokł adnie  funkcję   (5.1b).  A  zatem,  przy  zał oż eniu,  że  przeprowadzane operacje  obliczeniowe  (5.2 -  5.7)  są   zbież ne,  zależ noś ci  (5.6 -  5.7)  pozwalają   przejść  od uzyskanych  w  tej  pracy  klas  rozwią zań  (4.3),  (4.5) do klas  rozwią zań  (5.1) powszechnie uż ywanych  w  literaturze. 6.  Klasa  przepł ywów  powolnych Klasę   rozwią zań  równania  biharmonicznego (4.3),  (4.5) wykorzystamy  do rozwią zania zagadnienia  brzegowego  (3.4). Z warunków  brzegowych  (3.4c)  otrzymujemy  natychmiast <5S -   - / ?„   Y, -   - 2 & - « ,.  (6.1) P ozostał e dwa warunki brzegowe  (3.4b) speł nimy przyjmują c  funkcję   prą du W (r, &) w postaci r, 0)  =  JT J ^ O W - ^H   W,(r)VĄ»(p),  (6.2a) gdzie W0(R)  =  R,  ^W0(r)\r_R - 0, (6.2b) dr W0(R)  — 0 ,  R—Wo(r)lr=R=-.R> (^-2°) ,(*) = JFS(J?) = 0, ( s = l , 2 , 3 . . . ) (6.2d) P R Z E P Ł YWY  W  KAN AŁACH   Z AKR Z YWI ON YC H   533 oraz tf<- *>(0)=  - jU(Q)dd.  (6.2e) o i N ał oż one  n a  funkcję   W s {r)  warunki  brzegowe  (6.1- 6.2)  prowadzą   do  nastę pują cych wzorów  rekurencyjnych 2 H ^ i j r 8 " 1 ) j 8 ł - " " S r } '  (6>3a) IM   —  0 gdzie (6.3b) ~  [ 2*2 ln J t + ( A 2 -   D] M k (R)  + (R* - 1)  (I  JQJV̂ Jg) przy  czym K _i_ .  k- m  i (6.3o) (2m)! (6.3d) Wartoś ci  począ tkowe  wprowadzan e  do  wzorów  (6.3a -  d)  równają   się (6.3e) • R C R2- l- 21n .R)  »  R(R2- l)lnR 4R 2 \ n 2 R- (R 2 - l) 2   '  P°( R) ~   4R 2 lnR- (R 2 - l) 2 ' Ostatecznie  wię c  poszukiwaną   klasę   przepł ywów  powolnych  realizują cych  się  w kanał ach koł owo  zakrzywionych  o  ś ciankach  przepuszczalnych  okreś lają   zwią zki  (6.3),  (4.3), (3.3), (3.2a).  Z akres  stosowalnoś ci  otrzymanych  rozwią zań  okreś lą   nierównoś ci  (4.10)  po pod- stawieniu  do nich f(0)  =   U R (6),  f(6) -   V R [Q),  f{6) =   U t (e),  M  =  y^ )-   (6- 4) N ierównoś ci  te, ze  wzglę du  n a  skomplikowane  formuł y  iteracyjne  (6.3),  są   trudn e lub wrę cz  niemoż liwe  do rozwią zania.  Stą d  wyznaczenie  dokł adnego  zakresu  stosowalnoś ci otrzymanych  wyników  pozostaje  problemem  nie  rozwią zanym.  N ależy jedn ak  zauważ yć, że w  przypadku  gdy funkcje  prę dkoś ci  postawione  n a ś ciankach  kanał u  są   wyraż one za pomocą   wielomianów  zmiennej  0,  uzyskane  w  tej  pracy  formuł y  sa  zbież ne. 534  S.  T O K AR Z E WSK I 7.  Przykł ad  zastosowania  otrzymanych  rozwią zań N iech  przez  ś cianki  kanał u koł owo zakrzywionego  zasysana  jest  ciecz  z  nastę pują cymi prę dkoś ciami: n!'  *  '  ' I I .  U R (&) =   0,  V R (8)^   —r,  t/tCO) =   0,  Kx(0)  =   0,  (7.lb) I I I .  Oj,(9)  -   0,  Kj,(6)  =   0,  O i( fl) *—j- ,  K,(0)  =   O,  (7.lc) F unkcję   prą du  opisują cą   przepł yw  powolny  w  kanale  uzyskujemy  natychmiast n a  podsta- wie  formuł   (6.2a) i  (3.3) S f̂r, 0) =  2 / 0"' 2 III  /   \   0 2  U D oirra)!,   (7- 2c) IV  T- |  2  / r  1  \   fl"- 2s ^ a ) ^ ^ ^ ) ^ ,   (7.2d) / n \ " *  r *H C '  " °  n gdzie  symbol  El—)  oznacza najwię kszą   liczbę   cał kowitą   mniejszą   o d —,  R  zaś jest  para- metrem.  N iech  teraz  przez  ś cianki  rozważ anego  kan ał u  Wpł ywa  do  jego  wnę trza  ciecz z  prę dkoś cią, to f(0) -   Jj~^ ~r- 0",  (f  ' m  U R , V K ,  tfa V x ),  , ,  (7.3a) o  której  zał oż yliś my,  że jest  rozwijalna  w  szereg  Taylora  w  przedziale  - oo  <  6  <  + o o . Oznacza  t o ,  że  speł niona jest  nastę pują ca  nierównoś ć: lim N astę pnie  zbudujmy  szereg  nieskoń czony  nastę pują cy i  U ,vR, III IV .  • (r,6)) (7.3b) (7.4) PRZEPŁYWY  W  KANAŁACH   ZAKRZYWIONYCH 535 i  zauważ my  w oparciu o  (7.1 -  7.2), że każ dy  wyraz tego szeregu, a także ich suma, speł niają równanie  biharm oniczne  (3.4a)  oraz  warunki  brzegowe  (7.3a).  Szereg  (7.4)  przedstawia wię c  klasę   przepł ywów  powolnych  realizują cych  się   w  kanał ach  koł owo  zakrzywionych, w  przypadku  gdy  pochodn e funkcji  prę dkoś ci  postawionych  na ś ciankach  kanał u  speł niają nierówność  (7.3b). 8.  Przykład  rozwią zania  zagadnienia  fizycznego N iech  nieskoń czenie  dł ugi,  sztywny  walec  o  promieniu  1  poł oż ony  bę dzie  wewną trz nieskoń czenie  dł ugiego,  elastycznego  cylindra  o  promieniu  i?,  (rys.  2).  N iech  w  chwili t  =  0  poł owę  obję toś ci  wą skiej  szczeliny  mię dzy  rurą   a  walcem  wypeł nia  nieś ciś liwa  ciecz lepka. P od wpł ywem  ciś nienia zewnę trznego  elastyczna  powierzchnia cylindra przemieszcza się .  N iech  przemieszczenia  promieniowe  powierzchni  rury  bę dą   z  góry  zadane. Oznaczmy je  przez  R t .  O  przemieszczeniach  obwodowych  zaś  zał oż ymy,  że  równają   się   zeru.  Wy- znaczmy  pole  prę dkoś ci  cieczy  ś ciskanej  wypeł niają cej  szczelinę   (patrz  rys.  2).  W  tym celu  wprowadź my  dalsze  upraszczają ce  zał oż enia.  Przyjmijmy,  że  nastę pują cy  stosunek ( *»- !)  « 1  (7.1) Rys.  2. oraz  nastę pują ca  liczba  Reynoldsa 1 )  «  1 (7- 2) są   mał e,  gdzie  przez  R,  oznaczyliś my  prę dkość  promieniową   powierzchni  rury  ś ciskają cej ciecz.  Wprowadzone  zał oż enia  pozwalają   bezpoś rednio  wykorzystać  wyniki  uzyskane w  niniejszej  pracy,  dan e  zwią zkami  (6.2 -  6.3).  Jako  warunki  brzegowe  przyjmujemy U K (6)  =   R,,  V R (0)  =   0. (7. 3) Podstawiają c  (7.3)  do  (6.2a)  oraz  korzystają c  z  (6.3)  otrzymujemy  natychmiast  funkcję prą du 536  S.  T O K AR Z E WSK I oraz  wynikają ce  z  tej  funkcji  prę dkoś ci:  promieniową u  =   {[( / -   - - )«0-   ~;/ ?o]1"r+[r-   - i) ft ,} A,  0 <   0 <   B,,  (7.4b) oraz  prę dkość  obwodową ©  =   - !2 r ao l n r +  [ r - - M ( a o + 2 / ?o )  iJt  •   6,  0  <  0  <  0„   (7.4c) gdzie  wielkoś ci  «0 ,  / ?0,  0»  zależą   od  czasu  i  równają   się   odpowiednio ^J^i,  (7.4e) przy  czym  zachodzi  nastę pują ca  nierównoś ć; / T + IM   -   (7- 4f) W  ramach  przyję tych  zał oż eń  zwią zki  (7.4)  opisują   proces  powolnego  wyciskania  cieczy z  koł owo  zakrzywionej  szczeliny. 9.  Koń cowe  uwagi W  niniejszej  pracy  uzyskano  za  pomocą   funkcji  prą du  klasę   przepł ywów  powolnych realizują cych  się  w kanał ach  koł owo zakrzywionych  o przepuszczalnych ś ciankach  (rys. 1). Rozwią zania  uzyskano  w postaci  nieskoń czonych szeregów  funkcyjnych,  których  poszcze- gólne  wyrazy  są   iloczynami  kolejnych  pochodnych  funkcji  prę dkoś ci  postawionych  na ś ciance  kanał u  mnoż onych  przez  odpowiednio  wyznaczone  wielomiany  zmiennej  Inc. Współ czynniki  tych  wielomianów  liczy  się   w  oparciu  o  formuł y  iteracyjne  zamieszczone w  niniejszej  pracy.  U zyskane  w  punkcie  7  kon kretn e  rozwią zania  wskazują ,  że  klasa rozwią zań  (6.3),  (4.3),  (3.3),  (3.2a)  daje  poprawne  wyniki,  w  przypadku  gdy  promień zbież noś ci  funkcji  prę dkoś ci  postawionych  n a  ś ciance  kan ał u  jest  nieskoń czony.  Należy również  zaznaczyć,  że  ze  wzglę du  na  skomplikowane  formuł y  obliczeniowe  wyznaczenie dokł adnego  zakresu  stosowalnoś ci  otrzymanych  w  tej  pracy  rozwią zań  jest  niezwykle trudne  i  wymaga  dalszych  badań . References 1.  R .  F I N N ,  W.  N O L L ,  On  the  uniqueness  and  nonexistence  of  Stokes  flow,  Arch .  R a t .  M ech .  An al.  1,  98, 1957. 2.  J.  H AP P E L ,  H .  BR E N N E R ,  L OW  Reynolds  N umber  Hydrodynamics,  P ren t ice  H all  E n glewood  Cliffs,  N ew Jersey  1965. 3.  S.  K AP L U N ,  L OW  Reynolds  number flow  past  a  circular  cylinder,  J o u r ,  of  M a t .  a n d  M e c h .  6,  595,  1957. P R Z E P Ł YWY  W  KAN AŁACH   Z AKR Z YWI ON YC H   537 4.  M . K R AK O WS K I ,  A.  C H AR N E S,  Stokes'  paradox  and  biharmontc  flows,  C arn egie  I n st. of  T ec h n . T ec h . R ep . 37,  1951. 5.  H .  LAM B,  Hydrodynamics,  6th  e d .  L o n d o n  C am br.  U n iv.  P ress  1932. 6.  W.  E .  LAN O LO I S,  Slow  viscous  flow,  T h e  M acm illan  C o m p ,  N ew  Yo r k  1964. 7.  N . 3.  M U SK H E LI SVI LI ,  Same  basic  problems  of  the  mathematical  theory  of  elasticity,  P .  N oordh off  1953. g.  A.  SZ AN I AWSKI ,  A.  Z AC H AR A,  Przepł yw  laminarny  iv  kanale  o  zmiennym  przekroju  z  ruchomymi  i poro- watymi  ś ciankami,  M ech .  T eo r .  i  St o s.  3,  16,  1978. 9.  S.  TI M OSH E N KO,  T heory  of  plates  and  shells,  M cgraw- H ill  Bo o k  C o m p  N ew  York  1940. P  e  3 io  M  e K J I AC C  M EjD U I EH H fclX  T E M E H H H   B  M C K P H B J I E H H b lX KAH AJI AX H aiiflen o  KJiacc  .ueAnemibix  TC jem dł   B  iiCKpiiBJiennbix  uaH anax  Kor«a  (bymcuiw  CUOPOCTH  aaAaH- H tie  n a  creH Kax  icannna flocTaTonno rjiaAiaie.  PemeiiH fi  Torfla  noJiyiiaioTca  B  (J>opMC 6eci