Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf


M ECH AN I KA
TEORETYCZNA
1  STOSOWANA
3 -  4,  23  (1985)

STATE C Z N OŚĆ  SP IRALN A  SAM OLOTU   W  RU CH U   P R Z ESTR Z EN N YM
Z  U WZ G LĘ D N I E N I EM   EF EKTÓW  ELEM EN TÓW  WIRU JĄ CYCH   Z E SP OŁ U

N AP Ę D OWE G O*

JERZY  M ARYN IAK,  WI TOLD   M OLI C KJ  (WARSZ AWA)

1T L IMS Politechnika  W arszawska

1,  Wyprowadzenie  równań  mchu  samolotu

Ruch  samolotu  w przestrzeni  opisano  stosują c  nastę pują ce  ukł ady  odniesienia  (rys.  1):
OXYZ  • —  ukł ad  „ sam olotowy"  sztywno  zwią zany  z  poruszają cym  się   samolotem,

OX
a
Y

a
Z

a
  —  ukł ad  „ prę dkoś ciowy"  zwią zany  z  kierunkiem  przepł ywu,

OX
g
Y

g
Zg  —  ukł ad  grawitacyjny  zwią zany  z  poruszają cym  się   samolotem  równoległ y

do  ukł adu  OX^ Y
x
Z

y
.

OX\   Y
t
  Z ,  —  nieruchom y  ukł ad  grawitacyjny  zwią zany  z  ziemią .

D odatkowo  wprowadzon o  ukł ad współ rzę dnych  CX
r
Y

r
Z

r
  zwią zany  z  silnikiem.  Począ tek

C ukł adu umieszczony jest  w  ś rodku  masy  zespoł u turbina —  sprę ż arka,  oś X,  skierowana

Rys.  1.

ł )  Praca przedstawiona n a I Ogólnopolskiej  Konferencji.  Mechanika wL otniciwk. Warszawa I9.T.1984.



652 J.  M ARYN IAK,  W.  M OLICKI

jest  wzdł uż  osi  obrotu  zespoł u ku  przodowi  pł atowca,  oś  Z
r
  leży  w  pł aszczyź nie  symetrii

samolotu  i jest  skierowana  ku  spodowi  pł atowca, zaś  oś  Y
r
  tworzy  z  dwom a  poprzednimi

prawoskrę tny  ukł ad  kartezjań ski  (rys.  2).  Przyję to,  że  ś rodek  m asy  zespoł u  turbina- sprę-
ż arka  leży  w  odległ oś ci  x

r
  od  począ tku  ukł adu  OXYZ,  a  oś  X,  tworzy  z  osią   X  ką t  <p

r
.

D la tak przyję tych  ukł adów współ rzę dnych macierz prę dkoś ci  ką towej  Sl silnika  w ukł adzie
OXYZ  m a  postać:

SI  =  colfP + ctvcoscv,  Q,  jR- carsinf/ )r],  (i)

Rys.  2.

gdzie:  <a
r
— prę dkość  ką towa  zespoł u  wirują cego  w  ukł adzie  CX

r
Y

r
Z

r
,

P,Q,R  —  prę dkoś ci  ką towe  sam olotu  w  ukł adzie  OXYZ.
M acierz  prę dkoś ci  liniowych  ś rodka  masy  zespoł u  wirują cego  w  ukł adzie  OXYZ  ma
postać:

V  =  col[U, V- Rx
r
,  W +Qx

r
],  (2)

gdzie:  U, V,  W —prę dkoś ci  ś rodka  masy  sam olotu  w  ukł adzie  OXYZ.  Sam olot potrakto-
wano  jako  ciał o  o  siedmiu  stopniach  swobody,  bez  uwzglę dniania  drgań  powierzchni
sterowych.  Jako siódmy  stopień swobody  przyję to  ruch obrotowy  zespoł u turbina- sprę ż arka
wokół   wł asnej  osi.

D ynamiczne równania ruchu sam olotu w przestrzeni  wyprowadzon o  stosują c  równania
Boltzmana- H amela  [2, 3]

d  l8T *\   8T *  V  V " -   8T *
At  \   8co

(t
) Z J  Z J 80,. - «„  =

(3)

gdzie:  T * —  energia  kinetyczna  ukł adu  wyraż ona  w  quasi- współ rzę dnych  i  quasi- prę d-
koś ciach,

Van —  trójwskaź nikowe  symbole  Boltzmanna,
Q* —  sił y  uogólnione  wyraż one  w  quasi- współ rzę dnych  i  ą uasi- prę dkoś ciach.

Jako  współ rzę dne  uogólnione  przyję to:
tfi  — ^ i)  Iz  — v

x
,  ?3  =   zi  —  odległ oś ci  ś rodka  masy  sam olotu  od  począ tku  ukł adu

współ rzę dnych  OXxY^ Z^ ,
qx  ~  $,  q

s
  -   6,  q

6
  =  V

/
 —  ką ty  przechylenia,  pochylenia  i  odchylenia  samolotu

mierzone  od  nieruchomego  ukł adu  współ rzę dnych  zwią zanego  z  sam olotem  OX^ Z,
do  ruchomego  sztywno  zwią zanego  z  sam olotem  ukł adu  OXYZ,

9i  =   9V —  ką t  obrotu  zespoł u  wirują cego  turbina- sprę ż arka.



STATE C Z N OŚĆ  SPIRALN A  SAM OLOTU ...  653

Przyjmują c  zależ noś ci  (1 -  3)  otrzymano  [7] równania  ruchu  samolotu  w  locie  prze-
strzennym  uwzglę dniają ce  oddział ywania  elementów  wirują cych  zespoł u  napę dowego:

Um+QW m- RVm+R
2
m

r
x

r
+Q

2
m

r
x

r
  =  X*;  (a)

Vm- Rm
r
x

r
- (PW - RU)m- PQm

r
x

r
  = Y*;  (b)

W m+Qm
r
x

r
- (QU- PV)m- PRm

T
x

r
~  Z *;  (c)

h s+h  J*P(cos

- J„co$
2
<p

r
- J„sin

2
(p

r
+m

r
x?)- PQ[J

x:
+(J

xr
- J„)sin(p

r
cos(p

r
]  +

+PRJ
xy
+ 2"  30" Jw(sin 3?> r+ cos2c?r sin (pr)  ~  L *;  (d)

Q(Jy+Jy
r
+2m

r
x

2
)+

+  (Jx, ~Jz
r
)  sin cv cos <p

r
]+ PQJ

yz
—RQJ

xy
—PR  [J

x
 ~J

x
- J

X
r(cos

2
f,  +

-   sin3*?,) -   Jz
r
(sin

2
(p

r
  -   cos

2
q>

r
)+ m

r
x

2
]+ (PF -   g  (7) m r  xr+

J i ^ + i t f J + Pj{  Jx
r
(sin<Pr+cos<p

r
sm<p

r
)  =  M *;  (e)

(4)
^ ( / , + J

z r
  cos

z
<p,+Jx

r
 sin 29?r + m rx r)  - P[JXI+(Jxr- Jzr)  sin c>rcos <pr]+

-   Q- 'yz -   Vm
t
x

r
  -   h ~  Jx,($in

3
<p

r
+cos2c»r sin <pr)+ (Q

2  -

- PQ(J
x
- Jy+J„cos

2
(

Pr
+I„sin

2
(p

r
- J

yt
- 2m

r
x

2
)+QR[J

xz
+

+  (J
X
r- T

ir
)sin<p

f
cos<p

r
]~PRJ

yz
+(PW - UR)m

r
x

t
+

-   Qn - ^ J„(cos
3
ip

r
+sin 2c3rcos  tpr) =  # * ;  ( 0

/i J „ ( sin 2 yr + c o s
2 c > r )

2 -   i?J„ (sin cp r+ co s
2p r sin y, ) +

+ P J„ ( co s39J r + sin
29' r co sc' l.)  =  n *;  (g)

D odatkowo  uwzglę dn ion o:
—  zwią zki  kinem atyczne  prę dkoś ci  liniowych

+ w(cos(^sin 0 cos y>+sin <̂> sin y>),

I 7c o s0sin v+ F ( sin 0sin O sin v+ c o s^ c o sf) +   (5)

+  w(cos <j) sin 6 sin y> -   sin ̂  cos y>),

—  zwią zki  kinem atyczne  prę dkoś ci  ką towych

0  =
fl  =



654 J.  M AR YN I AK ,  W.  M O L I C K I

—  zmianę  ką ta  natarcia  a,  ką ta  ś lizgu  /?j prę dkoś ci  liniowej  sam olotu  v
c
,  oraz gę stoś ci

powietrza  Q:  ,.  .; ,.• • • •  :

^ J L *  2  +  W2;a  = ;  /?• =  a r c si n J L ;  V*  =

o =   eoC l+ Z j/ 44300) 4- 256  dla:  7 t = -

Prawe  strony  równań  (4)  okreś lono  nastę pują co  [4, 5]

y* —  A
B W

X
Y

Z

~L *  '
M *

i V*.
—  - < 4, BW

"L "
M

nJx
r

(8)

gdzie  Z , y,  Z , L, M,N - ~-  oznaczają   sił y  i  momenty  dział ają ce  n a  samolot.  Wyraż enia
t e  wyprowadzone  w  ukł adzie  „ prę dkoś ciowym"  mają   postać  [8]:

X  -   - P
x
+P

s
cos(<p

r
+<x)—(P

xH
+P

x0
)cos'e- P~

n
sins- P

s
,

tt
s'm(fl

0
  +  Ó)coss- mgsinO,

Z  =  -   P
z
-   P

s
sin(<p

r
 + oć )~ P

zH
cos  e + (P

x
„  + P

xv
)sin  & +  mg cos6 cos <j>,

L   =   L
/ ll>

+L
aL

+L
v
  + L

r
+L

Q
+L ri  •   -   •   .  ^

M  =  M
blI

- P^ X
Ĥ
+P^ Z

AH
+P

xv
sm(^ -   F)Z

AV
+M

Q
+M

T
,

N   =   N
Sv

+N
v
+N

r
+N

Q
+N

r
,

ABW   —  oznacza  macierz  transformacji  z  ukł adu  „ prę dkoś ciowego"  do  ukł adu „samolo-
towego"  i  przedstawia  się   nastę pują co:  .  •

cosoccos/ ?  —cosasiii/ 5  — sin cci

siny?  cos/ T  0

sinacos/ ?  — sin a sin /?  cos a

r 2  —  stał a  czasowa  silnika  turboodrzutowego  a  mają ca  post ać;  ,

T 2 =   f(1.269- 0, 703  M a ) - ( 2, 978- 1, 961  M a ) /   " A +   (1,82 +

(1 0)

^ ,  OD

gdzie  Q
o
  —  charakterystyka  statyczna  silnika  Q

o
  = / ( «) :

2 o =   - 57,1  +  387  — ^ =   -

T 0  —  stał a  czasowa  T 0 =f(n),  ,r

0,094- 0,0196  (—~^ \ + 0,106

. 1 + 0 , 2 ^

(12)

(1 3)

A .  7j  —ciś n ien ie  i  tem peratura  powietrza  n a  wysokoś ci  H  n ad  poziomem  morza,
M a —  liczba  M ach a  dla  danej  prę dkoś ci  i  wysokoś ci  lotu.



STATE C Z N OŚĆ  SPIRALN A  SAM OLOTU ... 655

2.  Badanie  statecznoś ci  spiralnej  samolotu  w  ruchu przestrzennym

Otrzymauy  ukł ad  równań  ( 4 ^ 7 )  zlinearyzowano  stosując  metodę  mał ych  zakł óceń
wokół   poł oż enia  równowagi.  Otrzymano  ukł ad  trzynastu  równań  róż niczkowych  pierw-
szego rzę du. U kł ad ten poddan o analizie modalnej w celu wnioskowania  o jego statecznoś ci.
Wyniki  obliczeń  numerycznych  dla  postaci  ruchu  nazywanego  spiralą  przedstawiono

i)4  69  B4  99  114  129  144  159  174  189  204  2i9  234  y

Rys.  3.  ,

na rysunku  3 —  zm iana współ czynnika tł umienia £  w funkcji  prę dkoś ci. Jako samolot testowy
do  obliczeń  przyję to  sam olot  TS- 11  „ I SK R A"  wyposaż ony  w  silnik  SO- 3,  ze  wzglę du
na  dostęp  do  niezbę dnych  danych.  Obliczenia  wykonano  w  peł nym  zakresie  prę dkoś ci
lotu.  oraz  dla  trzech  wybranych  wysokoś ci  lotu.

U wzglę dnienie  w  m odelu  sam olotu  elementów  wirują cych  zespoł u napę dowego  w zde-
cydowany  sposób  zmienił o jakoś ciowo  i  iloś ciowo  rozwią zania  równań  ruchu  przestrzen-
nego  sam olotu,  wpł ywając  n a  pogorszenie  statecznoś ci  ruchu  „ spiraln ego".



656  J.  M ARYN IAK,  W.  M O LI C K I

Literatura

1.  B.  E T K I N ,  Dynamics  of  Atmospheric  Flight,  J.  Wiley,  N ew  York  J972.  .
2.  J.  M ARYN IAK,  Dynamiczna teoria obiektów  ruchomych. P race  n aukowe—M echan ika  n r.  32,  Politechnika

Warszawska,  Warszawa  1975.
3.  R .  GuTOWSKi, Mechanika  Analityczna,  P WN , '  Warszawa  1971.
4.  I . W.  OSTOSŁAWSKI,  Aerodinamilca samoliota.  G I O P ,  M oskwa  1957.
5.  W.  F I SZ D ON ,  Mechanika  L otu,  t . l,  2,  P WN , Łódź —Warszawa  1960.
6.  F .  LEN ORT,  Próba  okreś lenia  modelu matematycznego  silnika  turboodrzutowego  jako  obiektu regulacji.

Prace  I LOT  nr  68,  WN T, Warszawa  1972.
7.  W.  M OLI C KI ,  Modelowanie  wł asnoś ci dynamicznych samolotu  w  locie przestrzennym  z uwzglę dnieniem

mas  wirują cych. XXI I Sympozjon M odelowanie w mechanice — zbiór referatów  (s. 299 -  306) G liwice —
PTM TS  1983.

8.  Z .  G OR AI ,  Obliczenia sterownoś ci,  równowagi  i  statecznoś ci  samolotu  w  zakresie  poddź wię kowym.  Poli-
technika  Warszawska — skrypt  (w  druku).

P  e 3  IO  M  e

CIIH PAJIBH Afl  yC T O a ^ I H B O C T B C AM O JI E T A  B  I I P O C T P AH C T B E H H O M   flBKD KEH H H
3# < &E K T A  BP Am ATE JI BH LI X 3 J I E M E H T O B  C H JI O BO fł   YC T AH O BK H

B  p a6o ie  o6cymfleH o  crmpaJiBiryio ycroitajiBocTB  caM on eia  B npocTpaHCTBeHHoM   ppmKtsiw.
HHaMH^ecKyio  Moflejii,  caMOJiETa  c  CH JIOBOH   yciaHOBKOH.  IlpeflCTaBneH o  pe3yjifcTaTtt

peiu em m  fljin  cnHpajiŁHoii  ycToirTH Bocni.

„   S u m m a r y

SPIRAL  STABE.ITY  OF   AIRPLAN E  I N   A  SPACE  M OTION
WITH   TH E  EF F ECT OF   POWER  U N I T  SPIN  ELEM EN TS

In  the paper, the problem  of  spiral  stability  in  a  space  motion  in  presented.  D ynamic model  of an
airplane  with  power  unit  is  proposed.  Solution  of  the  spiral  „stability  motions  have  been  obtained  by
means  of  a  digital  computer.

Praca  został a zł oż ona  25  grudnia  1984  roku