Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 22 (1984) ISOD YN E  PH OTOELASTICITY  AND   GRADIENT  PHOTOELASTICITY: PH YSICAL  AND   MATHEMATICAL  M OD ELS,  EFFICACY,  APPLICATIONS JERZY  T.  P I N D E R A University  of  W aterloo, Dept.  of  Civil Engineering W aterloo,  Ontario, Canada  N 2L   301 Abstract The  term  „ isodynes"  has  been  proposed  by  Pindera  and  Mazurkiewicz  to  denote a  new  family  of  characteristic  lines  of  plane  stress fields.  These  lines  carry  information on total normal forces  acting on related cross sections  and yield the distribution  and values of  related  normal  and  shear  stress  components.  Two  families  of  isodynes  related  to  two characteristic  directions  yield  the  values  of  all  three  components  of  a  plane  stress  field and  additional  redundant  information.  The concept  of  photoelastic  isodynes  is  the result of  generalization  of  the  theory  of  a  particular  kind  of  scattered  light  fringes  presented by  Pindera and  Strą ka. D istinction  should  be  made  between  the  concept  of  photoelastic  isodynes  mentioned above, the concept of elastic isodynes  introduced by Pindera, and the concept of  generalized isodynes  introduced by  Pindera and  Krasnowski. Isodyne photoelasticity  methods can be applied to determine all three stress components in photoelastic  models,  and in original  machine or structural parts using  isodyne  coatings. The  term  „gradient  photoelasticity"  has  been  proposed  by  Pindera  and  Hecker  to denote a  new  method  of  photoelasticity  which  utilizes  relationship  between  the  curvature of  light  paths  in  a  photoelastic  object  and  the  gradients  of  symmetrical  and  distortional parts  of  stress/ strain  tensors.  U tilizing  basic  mathematical  model  of  photoelastic  effect presented  by  Ramachandran and Ramaseshan,  gradient  photoelasticity  yields the momen- tary  values  of  absolute  and  relative  photoelastic  coefficients,  and  their  dependence  on the wavelength  of electromagnetic  radiation. Both  methods  can  be  applied  to  determine  the  values  of  stress  intensity  factors  for arbitrary  cracks,  and  all  stress  components in composite  structures. 1. Introduction One  of  the  major  tasks  of  stress  analysis  is  determination  of  stress  components  of plane stress field  and of  surface  stress/ strain  field. The rapid growth  of fracture  mechanics and  the  introduction  of  concept  of  stress  intensity  factor  developed  interest  in  methods directly  yielding values  of  normal  stress  components  in  direction  of  crack  propagation. ?  Ś lij  . iii li ^  . S a g s  £> ;§ Is  "^  a * w  1 S | . 9 a  'g  S » I  S  S3 ,  _  a s a  e fc B •«  5 « i_J  r O  v3  i H  QJ  flj  n}  +3  W  Cii 3  a  -3 .a1  §  2 ^ »  § 3  ci W  t j  ft"  11  „   J J M  J ^  O ,; gj  eej  nj  m  w  "a  w S  - a  [ 5  &  - .§  8» a y ' s  " s A ^ . a ^ S i  3-a  | - ajs.§"§ jili  Hi"!* Z  ^ S «i I  . 9 ° S i 3 H t ó g  ^ 1 1 &  ź l ^ S . ag a  * 13 I  o ^ i l i " 8 I  -a u |   s -a & 1 1 J I i  |  4 d  I « | g  ^ |   8 |   |   •§ | m  ^ d  H 5  -S  ** g  " sail  a ^ f a l l s  1- sfl  ' i M i Hum 1  S I !  8 * 5 * 8 l $ l M  2 3 »  g p   ̂ S  "•  ° a 5  /   U> i/   I  i /  i  &I  si [34] II " i  i  1 w  ca l i !  ? I  I  I  g J  ft  §  ^  co ,§  °  ^  i  ^ J  Q  §  13  W I  S  "i  - a  1 • I  3  I  I  § "8  §  "S 1  ^ IS  | |   8 1 a  a  i  *  s i 1  o  '•&  8  R  S i  i  ^  i §  o  •" I  <   I  ^  si! i 21 I IS S 8 * I  It  a S ^ •   3  H g T3  1 3  M R  ^ 1  i  lii 9  s §  & .a -a  "§. rS  q e  .a  =>  i ' S s s  2  %  Ss  w   ̂ -o  .a  a u  .2  «. 9  w ^ J S !  1  |  § i  1 i  15  §  s  «; s s  a  a  s .a s |  s  •S  -s  s  «•   s |P i  ilflli  !  i  \ A\ ! | .  I  sisie- i  l i  I i  |   j |   H |  i  |  i  Q  u  s  u  o -a  o -a <  o 8_  1 S ! ^ !  11 l̂ -i  11!' i  i liii  I|   1^  lis  i  i • Sili 1 -J s  i»i  '  l t  i i  1 Ul! ilf Kil  II  liii  s  i  , HJ1 i  <*| -   .  11  |  i  I 111! 11 1?M  -  l| i if  i ! I i l u II  ills  iii ń  l i ! — t  s . 3  0   S % S  2   3 . 2 |5  |1S lit  1  I I %  H  %  -2  1  1  Ś  - 3 i  -9 II  'Ul  ||  i  Uil s  - °  •   8   .̂   8  g  g li!  IJii^i  1!  IM Ul  WhilU I  p  I III i  iii  lii  rl  i!  1,1 „ i ill!  fill  I  i  I  I IS5J i  •   •   .   • f'  '  1  > P i  O  OS  O. *C  D,  ^  " * §  a  o  3   § g  i  i i  i a  s i " 8  i ^  UJ  13  o  d  d  4 i S  55  I l |   | 3 g  fill  Ś 1 S  S K A  i  §  « S  §  "8-5  - i  1 1 1 S  "̂   s  'Si  .  s  8   >>  "g  « 5   M   1   S 8 |   °  5   a pa  t 5 G i u 4 > ^ 5  o  B  g  • £ °  |   fi  a 1  g |   "S f- s 7§  |   .s1  a i 0 ! ! ^  1 1  - Q  - H  O + J W M  d o s j  §  8  . |   JS -|  .•§ -s 1  1=3  2 w I  " B o f l S g i . 2  l i i b'u  .   |   i1  § SI  I  ft  | | | fl 1  1  1  "s i •! £ Si  1  | i"3 8 |   &  55 &>>  Z  Ss- B  § | 81   1   I f !  1? a i  s  . a l l  Z*  . I s  P  | f S .  i l l g  g a i  § ••   «•   N  fl  'S  | A ,  O r / , 0 1  **" 5   5   3  §  I ^S  P [56] • • . • • :  . . - , . •   .   .   • • • . ' • • . ISODYNE  AND  GRADIENT  PHOTOELA.STICITY  5 7 However,  no  convenient  method  exists  to  determine  reliably  and  inexpensively  all three  stress  components  of  plane  stress  field,  related  to  arbitrary  Cartesian  coordinate system.  The  classical  methods  of  transmission  photoelasticity  yield  only  two  independent pieces  of  information,  whole  field­wise:  isochromatic  and  isoclinics.  The  needed  third piece  of information  can  be  obtained  using numerous  auxiliary  methods,  either  analytical, numerical, experimental,  or mixed. These methods  are often  tedious, and usually compound the  measurement  and  evaluation  errors. Very promising is the utilization  of scattered light. The classical scattered light techniques of  experimental  stress  analysis  are  basically  point­wise  or  line­wise  techniques.  To  obtain reliable  and  accurate  results,  in  a  convenient  manner,  using  scattered  light  techniques, it  is  necessary  to  apply  rather  sophisticated  instrumentation  [1 ­ 3]. Information  on  stress field  contained  in  typical  wholefield  recordings  of  scattered  radiation  intensities,  which are  obtained  by  using  sheets  of  light,  can  not  be  reliably  retrieved  without  additional pieces  of  information.  — Particularly  important  are  data  on  values  of  the  observation and  azimuthal  angles  at  all  scattering  points,  and  information  on  the  transfer  function of  measurement  systems  [4 ­ 6],  including  data  on  the  actual  viscoelastic  responses  of materials  [7 ­ 8]. Knowledge  of  time­dependence  of  the  optical  creep  compliance  and  the optical  relaxation  modulus  are  of  major  importance. Classical  methods  of  photoelasticity — the  transmitted,  and  scattered  light  methods are  based  on  several  simplifying  assumptions  regarding  the  interaction  between  radiation and  matter,  patterns  of  light  propagation,  validity  of  analytical  solutions  for  stress/strain states,  distinction  between  the  thin  and  thick  plate  problems,  etc.  A  summary  of  some basic  features  of  typical  theoretical  and  empirical  approaches,  presented  in  a  manner compatible  with the  scope  and  objective  of this paper,  is given in Table  1. The  components (or  parameters)  of  the  basic  physical  and  mathematical  models  of  the  interaction  between deformed  bodies and flow  of various forms  of energy, listed in Table  1, must be  understood and  discussed  within  the  framework  of  fundamental  physical  phenomena. Experimental  and  analytical  methods  of  stress  analysis  utilize  the  concept  of  chara­ cteristic lines  of  plane  stress field,  such  as: —  isochromatics —  isopachics —  principal  stress  trajectories  (isostatics) —  maximal  shear  stress  trajectories —  isoclinics —  singular  lines  (points),  etc. It  is  shown  in  this  paper  that  it  is  useful  to  introduce  a  new  family  of  characteristic lines  of  plane  stress field  and  to  call  them  isodynes. It  is  also  shown,  that  it  is  desirable  to  depart  from  the  very  simplifying  assumption that  the  light  propagation  in  a  stressed  body  is  rectilinear.  It  has  been  known  for  a  long time  that  this  assumption  is  not  correct  and  leads  to  unnecessary  errors,  because  the actual  light  path  can  be  noticeably  curved  under  influence  of  inhomogeneity  produced by  stress  state. Since  the  curvature  of  the  light  path  carries  information  on  the  stress  gradients  and on  the  photoelastic  material  coefficients,  it  is  worthwhile  to  depart  from  the  elementary 58  J. T.  PlNDERA mathematical  models  of  photoelastic  effects  and to  base  the  theory  of  photoelastic  expe­ riments  on  more  comprehensive  physical  and mathematical  models. 2.  Isodyne  photoelasticity 2.1  Elastic  Isodynes — A  New  Family of Characteristic  Lines  of Plane  Stress  Field.  Let  US  choose an  arbitrary  direction  in a plane  stress  field,  Fig. 1,  and  call it  characteristic  direction; a  characteristic  line  is  any  line  collinear  with  characteristic  direction;  characteristic sec­ tion  is the length  of characteristic  line  between  two chosen  points. It  is understood  that  a plane  stress  field  is  characterized  by  the following  condition: ­ ^ ­  = 0,  where  i,j=\,  2  (0) Let us define  isodynes as geometric loci  of points  at which  total  normal  force  intensity (total  normal  force  per xinit  thickness)  Ap„, acting  on  characteristic  section  between two isodynes  is constant  and proportional  to  an  increase  of  the  order  of isodyne, Ams, ApK  =  SsAms  = const,  (1) and  the corresponding  noraal  force,  APn,  acting  on characteristic  section  thickness  b is: APn  =  bApn =  bSsAms  =  const where Ss is a constant  coefficient  to  be calculated  or  determined  experimentally. Two­dimensional  stress  states  in elastic  plates  can  be  conveniently  characterised by Airy  stress  function,  cj)(x, y),  which — in  the absence  of body  forces — yields the  known expressions  for the  stress  components  with  respect  to a  Cartesian  coordinate  system, (x,y,z): ^ L  J*|2l­*,(*,,),  (2a) 820  d  ,  820  8  . •Cr­'F^  °"­T?­­T***'  (2b) d20  8  _  8  _  , . .= -IF** = -sr*'- (2c) There  exist  particular  relations  between  the  stress  components  a^, the  intensities  pi  of normal  forces  acting  on  sections  between  isodynes,  and the functions  p*(x,y0)  = S,max(x,yo),  (3a) J r  3 2*  denote  intensities  of  normal  forces  acting  on  cross  sections  collinear with  the corresponding directions x and y,  and msxx  and msyy  denote cross  sections  through x­  and y­ isodyne  fields  in the x­  and ^­directions.  Followingly,  the equation  of  isodynes can be presented in the form: r  Q20 Is* =  Isx(x,)',  msx) =  j  ­fao­dx  =  py(x,  y,  msx)  ­  Ssmsx(x,  y)  =  const,  (4a) ­j^rdy  "" P*(x> y>  msv) =  Stm„(x,  y)  =  const.  (4b) The  loci  of  points  described  by relations  (4a) and  (4b) can be  called  „elastic  isodynes" because  they  represent  lines  of constant  values  of normal  forces  acting  on  corresponding cross­sections.  The  arbitrary  directions  x  and  y,  to  which  elastic  isodynes  are  related, can  be  conveniently  called  „characteristic  directions",  Sx  and Sy.  The functions  &x and &y  could  be called  „generalized  isodynes": ®x(x,  y,  m j  ­  Isx(x,  y,  msx)­fxx{y)  =  const,  (5a) &y(x,  y,  msy) =  lsy(x,  y,  msy)­fyy(x)  =  const.  (5b) Functions fxx(y)  and/j,j,(x)  can be determined  from  the boundary  conditions. The genera­ lized isodynes  &x and $,, are simply  related  to the corresponding  isodyne fields  characte­ rized by the isodyne  orders msx  and may: 0X  =  Ssmsx(x,  y)­fxx{y)  ­  const,  (6a) 0y  =  Ssmsy(x,y)­fyy(x)  =  const.  (6b) Relations  (6a, b) can be used  to  determine  the shear  stress  components  axy  and ayx,  and their intensities  txy  and  tyx. 0  ()  f ( )  S{ +fxx(y)  =  ­j­  txy(x,  y),  (7a) 3  3  d  d dx  y  dx  sy  dx • yy  5  dx  sy* +/'(v)  ==  ~ ­  t­Jx,  v),  (7b) f  f acP,. tXy  ~  tXy(x,y,msxy)  =  ^ „ d y  =  ­  —tr—dy ==  ­^ s m s x y (^ J >')+/j C = t W+C l >  ( 8 a ) J  J  ay tyx  = tyx{x,y,m,yx)  =  J  a^rfx  =  ­ J  ~j~­dx=­  ­Ssmsyx(x,y)+fyy(x)  + C2  (8b) ISODYNE  AND  GRADIENT  PHOTOELAST1CITY  61 Obviously, T„  ­  btxy  and  Tyx  =  bt,x.  (9a,b) At  any chosen  point  cx y  =  ayx,  thus r rf J i Relations  (10)  can  be  used  to  check  the  accuracy  of  determination  of  the functions  fxx{y) and/y'j,(x). According  to  relations  (3a, b)  and  (7a, b) two  families  of  isodynes  related  to  two different  — preferably  mutually  perpendicular  — directions,  for  instance,  Isx(x,y)  and Isy(x,  y)  or  shortly (x, .v) — isodynes,  yield  four  independent  pieces of  information  on the values  of  the normal  and  shear  stress components,  axx,  ayy,  axy  and  ayx,  where axy  =  ayx. In  additional,  the fields  of  (x,  y)  — isodynes  are related  by the condition thus  the equation  of isopachics  may  be presented  in  the  form: 8 ~dx  ('  x+ &„ m  Ss  ^­msxx+­—  msyyj  =  Ssmi  =  const,  (11) where w; denotes the order  of isopachics and Ss  denotes the elastic coefficient  of isopachics. It  is  convenient  to  use  the  term  „characteristic  lines  of  plane  stress  fields"  to  denote a  set  of functions  characterizing  the  stress fields,  such  as the isostatics, isoclinics, isochro­ matics, isopachics etc.  [10], [11]. Within such  a  framework  the  elastic  isodynes  represent a new family  of the characteristic  lines of plane  stress fields. The  four  independent  pieces  of  information  given  by  (x,  ^)­isodynes  describe  three independent  stress components,  axx,  ayy,  axy  =  ayx;  one piece of information  is redundant and  can  be used to  increase  the  accuracy  of experimental evaluation  of  stress  components Various known  techniques  of  differentiation  of  isodyne  fields  can  be  applied  or  adapted, to  determine  the  quantities  of  interest. 2.2 Photoclastic Isodynes. It  has been  shown  [12] that it is possible to produce a particular whole field scattered light intensity modulations related to chosen characteristic direction  x, when  the following  conditions  are  satisfied: a)  primary  beam  is co­planar  with  the  (CT1; .(x,c) P/2 Radiation:  \  =  632.8  nm Material: polyester  P6; Remark:  specimen  is  not  symmetrical I s o d y n e  fields  S,f  land  S*( IP/2 Fig.  3.  Square  plate  with  an  unsymmetric  hole loaded  by  three forces:  isodyne  stress analysis in  selected cross­sections where the rate of wavefront  separation is given by dRx  =  ldmsx  =  ­r or A. and dmsx dx =  J = 51,, dmsx dx' 1  r, =  bSBmsx  = Obviously, the elastic and photoelastic isodynes are formally  identical, (Isx)elastic e  (/„)photoelastic, (/sy)elastic  B  (/sy)photoelastic. (15) (16) (17) (18) 64  J. T .  PlNDERA When the boundary conditions are such that the functions f xx {y),  f yy (x),  C t   and  C 2   vanish then  the elastic  and  photoelastic  isodynes  are  identical  with  the first  derivatives  of  Airy stress  function. More  information  on  the  theory  and  technique  of  isodyne  photoelasticity  is  given in  References  [6, 9, 12 -  26, 31]. 2.3  Examples  of  Applications.  Isodyne  photoelasticity  allows  to  determine —  reliably, easily, and inexpensively  — all  components of  plane stress  fields  in chosen  cross  sections. This method is particularly suitable to collect information on stress fields needed to evaluate stress  intensity  factors,  three- dimensional  stress  states  in  regions  of  notches  and  cracks, interlaminar  stresses in  composite  structures, residual  stresses,  thermal  stresses,  etc. Figures  2  and  3 illustrate  the theory,  technique, and  applicability  of  the isodyne pho- toelasticity. It  appears  that the isodyne  photoelasticity  is  particularly  suitable  to  determine  ranges of applicability  of analytical methods of stress  analysis. Isodyne photoelasticity  makes it  possible  to develop  new  techniques  for  determination of  surface  stress  components in  engineering  prototypes,  The  related  method  of  isodyne coatings is presented in [19]. 3.  G radient photoelasticity 3.1 Basic Relations.  It has  been  known  for  a  very long  time  that the path  of  light  pro- pagating  through inhomogeneous bodies  is  not rectilinear — light  path is curved.  A  parti- cular example  of  this phenomenon is  the well known  mirage. It has been observed  that a noticeable mirage effect  is produced by stress  state in photo- elastic objects  [21 -  23]. This effect  limits the resolution of photoelastic measurements  [21], and  obscures  isochromatic fields  in  regions  of  high  birefringence  gradients  [22],  Fig.  4. However,  this  effect  can  be  utilized  to  measure  particular  residual  stress  states  [23].  It has  been  shown  recently  that the  optical  anisotropy  caused  by  an  inhomogeneous  stress state  produces  a noticeable  separation  of  each curved  light  beam;  this  effect  can  be  used to  determine the gradients  of  some  linear  functions  of  stress  components  and  the  values of absolute  stress- optic  coefficients  [24 -  27]. It  is  common to present  the influence  of  the  optical  inhomogeneity  of  a  body  on the geometry  of  the path of  light  propagating  in this body  by  the simplified  relation  [28]: „  1  -   1  /   dn _\   1  dn  / ł A.K  =  v  =  —  gradn —j- s)  = gradlnn  - z- s  (19) £i  n  \ °  ds  j  n  ds The most general  phenomenological mathematical model of  the stress/ strain  produced optical  anisotropy presents an alteration of  an optical parameter as  a linear homogeneous function  of  the components  of  the  stress  or  strain  tensors,  [29].  The  relations  presented in  [29], together  with  the  relation  (19),  lead  to  the  following  relationships  between  the curvatures  of  both ray  components propagating  with  the  velocities  v lt   v 2   and  the  stress ISODYNE  AND  GRADIENT  PHOTOELAST1C1TY 65 LIGHT  PROPAGATION  THROUGH  A  SOLID  BODY: INFLUENCE  OF INHOMOGENEITY  GRADIENT,  AND ANISOTROPY  GRADIENT CAUSED  BY STRAIN/STRESS  GRADIENTS Co D, ,D 2  :beam  deflections, being  the measures  of the  stress  strain  induced inhomogeneity  and aniso- tropy, and of the values of absolute photoelastic coefficients: i d O Fig. 4. Paths of light in a body  which became inhomogeneous, optically and mechanically, under influence of  an inhomogeneous  stress  field:  influence  of gradients  of the sum and differences  of principial stresses ­  l  _  1  /  dnx­\ K,  —  —  ­v  —  — I g r a d M i — T " " 5 ! ! Q,  ns  \  as  I tensor  components: where and where n2  =  no + Q  a 2 + C2{a3 + a^.  (23) These equations can be used as a fundation  of a mathematical model relating  deflections of a light beam traversing a body to gradients of the sum and difference  of principal stresses. K2 1  /  d»2  ­\ v  =  —  g r a d n 2 — —j  s  , «2  \  ÓS  I (20) (21) (22) 5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/84 66 J.  T.  PlNDERA LIGHT  PROPAGATION  THROUGH  SOLID  BODY,  DEFLECTIONS  IN  FUNCTION OF  MEAN  STRESS  GRADIENTS material; polyester resin P6 76 i_. ty l p 1 z  I U­9.9 0 ­̂~ ,y p i z P pola immersion tank lADx+ADy]/2 [mml -100 immersion: — air 1 \ mineral oil radiation: X, =514.5 nm A2=632.8 nm polarization: D»  s  E D y : E Fig. 5.  Gradient  photoelasticity: example  of  the  dependence  of  light  deflection  on  gradient  of  the  sum  of principial  stresses This model, when  applied  to  plane  stress  states, yields  simple  linear  equations  between the  deflections,  stress  gradients  and  values  of  the  absolute  and  relative  stress­optic  coef­ ficients  Cx,  C2  and  Ca  =  C, — C2  where,  of  course, (24) Transmission  photoelasticity  yields: —  C j  —  C2  ­~ (25) 3.2  Examples  of  Mirage  Effect  Applications.  Typical  form  of  the  mirage  effect  produced in  a  photoelastic  object  is  presented  in  Fig.  4,  [22].  The  magnitude  of  the  mirage  effect depends  on  the  orientation  of  polarization  axis,  Fig.  4.  In  a  general  case,  the  impinging unpolanzed  beam is resolved into two polarized  beams, curvature  of which is  approximated by relations  (20) and  (22). ISODYN B  AN D  G RADIEN T  PHOTOELASTICITY  67 U sin g  m easurem en t  system  depicted  in  F ig. 5 it  is  easy  to  derive  relations  between deflections  D lt   D 2 ,  i ^ —£ > 2 ,  F ig. 4,  an d  corresponding  gradients  of  the  symmetrical an d  deviatoric  parts  of a  stress  ten sor.  Typical  results  are presented in F ig.  5.  Obviously, th e  m agn itude of effect  depends  on th e wavelength  of radiation . G radien t  photoelasticity  yields  directly  data  on  values  of  gradients  of  the sum  and difference  of  prin cipal  stresses,  which  are of  particular  interest  in regions  of  high  stress gradien ts,  e.g., in regions  of n otches or crack  tips. An  analysis  of  t h e  m eth od  of  in tegrated  photoelasticity  from  the point  of  view  of gradien t  photoelasticity  is given in [30]. Acknowledgment P resented  examples  were  evaluated  in cooperation with  F . W.  H ecker, B. R. Krasnow- ski,  H . J. Beyer,  H .  H . R eddem an n . R esearch  h as  been  supported by th e N atural Sciences an d  Engineering  R esearch  C ouncil  of  C an ada, un der  G ran t  N o . A 2939. References 1.  A.  ROBERT  and  J.  ROYER,  C . R .  AC . , S C ,  281  (27  Oct.  1975), Serie B. 2.  A.  LAG ARD E,  P.  OH E I X  and H .  BR I I XAU D ,  M ech. R es.  Conrai. 4(2),  107 (1976). 3.  R. D ESAILLY  and  A.  LAG ARD E,  M ech. Res.  Comm. 4(2), 99 (1977). 4.  J. T.  PIN D ERA,  P roc. Acad.  N auk. Estonskoi  SSR 7, Vol. 1, 48 (1971). 5.  J . T .  PIN D ERA,  Tran s.  CSM E, 2(1), 21 (1973- 74). 6.  J. T.  PIN D ERA  and Peter  STRĄ KA,  Journ .  Strain  Analysis 8 (1), 65  (1973). 7.  J. T.  PIN D ERA  and P eter  STRĄ KA,  Rheol. Acta  13 (3), 338  (1974). 8.  J. T.  PIN D ERA,  P .  STRĄ KA  and A. R.  KRISH N AMU RTH Y,  P roc.  CISM  5, 2.85  -  2.98  (1974). 9.  J, T.  PIN D ERA,  M ech.  R es. Comm. 8 (6),  391  (1981). 10.  A. P IRARD ,  L a Photoelasticite, D un od, Paris  (1947). 11.  J . T . PIN D ERA,  Outline of Photoelasticity (in Polish), PWT,  Warszawa  (1953). 12.  J. T.  PIN D ERA  and S. B.  M AZ U RKIEWIC Z ,  Mech. Res. Comm. 4 (4),  247 (1977). 13.  J. T.  PIN D ERA, S. B.  M AZU RKIEWICZ and  T. Y.  KE P I C H ,  Proc.  H un. Sc.  Soc.  Mech. Eng.  7,  Vol.  2, 637 (1978). 14.  S. B.  M AZU RKIEWICZ  and  J. T.  PIN D ERA,  Exp.  Mech. 19 (7),  225 (1979). 15.  J. T.  PIN D ERA,  Optical Methods  in Mechanics of Solids  (ed. Alexis Lagarde), 103, Sijthoff  &N oordhoff (1981). 16.  J. T.  PIN D ERA  and S. B.  M AZ U RKIEWIC Z ,  P roc. Acad.  N auk. Estonskoi  SSR 8, Vol. 1, 144 (1979). 17.  J. T.  PIN D ERA,  P roc. Acad.  N auk Estonskoi  SSR 8, Vol. 1,  130 (1979). 18.  J . T .  PIN DERA  and  S. B.  M AZ U RKIEWIC Z ,  Exp.  Mech. 21 (12), 448 (1981). 19.  J. T.  PIN D ERA,  S. S.  ISSA  and  B. R.  KRASN OWSKI,  Proc.  SESA,  111 (1981). 20.  J. T.  PIN D ERA  and B. R.  KRASN OWSKI,  Fracture Problems &  Soliutons  in the  Energy Industry (ed. L.A.  Simpson),  147- 156.  Pergamon  Press,  Toronto,  1982. 21.  M . F .  BOKSH TEIN ,  Z hurnal  Tekh.  Fiziki  19(10),  1103(1949). 22.  J. T.  PIN D ERA,  Rozprawy  Inż ynierskie  3 (1),  109  (1955). 23.  P.  ACLOQUE  and G .  G U ILLEM EN T,  P roc.  Inst.  Physics,  71 (1959). 24.  F . W.  H ECKER  and J. T .  PIN D ERA,  P roc.  G ESA  and SESA,  745 (1978). 25.  F . W.  H ECKER,  T. Y.  K E P I C H  and  J. T.  PIN D ERA,  Proc.  Acad.  N auk Estonskoi  SSR  8, Vol.  1,  117 (1979). 26.  F . W.  H ECKER,  T. Y.  K E P I C H   and J. T.  PIN D ERA,  Optical Methods  in Mechanics of Solids  (ed. Alexis Lagarde)  123, Sijthoff  &N oordhoff  (1981). 27.  J. T.  PIN D ERA,  F . W.  H ECKER  and  B. R.  KRASN OWSKI,  Mech.  Res.  Comm.,  197  (1982). 5* 68  J. T . PlNDERA 28.  M.  BORN  and W.  WOLF , Principles of Optics,  Pergamon Press, Oxford  (1975). 29.  G . N .  RAMACHANDRAN   and S. RAMASESHAN,  Chap. 1, Handbuch der  Physik  (ed. S. F lugge),  Springer Verlag,  Berlin  (1961). 30.  H . ABEN , B.  KRASN OWSKI, J.  PIN D ERA, Izviestia  Akademii  N auk Estonskoi  SSR Vol.  31 (1), 65  (1982). 31.  J . T .  PIN D ERA,  Optical  Engineering,  Vol. 21 (4),  672  (1982). P  e 3  IO  K e H30,H,MHHAfl  H  rPAflHEHTHAfl  OOTOyiTP yrOCTB.  *H 3H ^ E C K H E H   MATEMATHVIECKHE MOflEJIH   BO3M05KH 0CTH  H   ITPHMEHEHHfl IlOfl  TeplHHHOM  H3OflHHbI npeflJIOWeHHBIM   IlHHflepOM   H  Ma3ypKeBHMeiM   nOHHMaeM  HOBOe  CeiHCHCTBO JI H H H H   xa p a K r ep ia r x  rniocKoiwy  HanpH»eHHOMy  COCTOH H H IO.  H S  STH X  H H H H S  BO3HHKaioT  HHKeH H oro  COCTOHHHH:.  3aiwbiceji  H30flHH pe3yjiBiaTOM   npeflJioH ceH H oro  IlH H flepoM   H  CTapKOiw  o6o6meH H H   TeopMH  pacceH H oro H H   M05KH0 npHiYieHHTŁ  io K  fljia  aHajiH3a  d)OToynpyTHX  MOAeneii  TaK  H  Hcnojn>3yH dpoToynpyrocTH   CJIOH   K fleJicTBH TejiŁ H WM fleiajmiw ManiH H. TepMHH  rpaflHeHTHaH   dpoToynpyrocib  npeflnojiojKeH H H it  IlH H nepoM  H  XeKepom  odosH a^aeT  H OBŁ IH dpoToynpyrHH   MeTo^,  ncnoJiB3yiomH H   3aBHCHMOCTB  H C KP H BU C H H H   jr yia  CBeTa  B dpoToynpyroM   o 6t e K r e OT  rpaflaeHTOB  c^epuraecKoli  H  HannoHHoft  cocraBJiH ioinH X  TeH 3opa  H aiipjoKeuH ii  H JI H   flei^opM anH H . H cnojib3yH   ocHOBiryio  MaieMaTHiiecKyio  MOflenŁ   d)OToynpyroro  adidpeKra,  npeflnojioJKeH H yK)  P ai«axaH - HpaHOM  H  PaiwamiiaHOM, rpaflHeHTHaa  (J)oToynpyrocTt  Be«eT HenocpeflCTBeHHO  K a6cojnoTin>iM   H   OTH OCH - TenŁ HbiM  3HaieHHHitt dioToyn pyrax  uos^ ^ aufiCHioB  B 3aBHCHMocrH  OT  ^ J I H H B I  Bojmbi  sjieKTOMarHHTHoro O 6a  MeTo^a  MQjKHa  npHMeHHTb, npHMepHO, K on pesen eH H io  KoadpdiHUHeHTa  H H TCH CH BH OCTH  H a- wot  cocraBJiHiomHX  HanpHaceHHH  B KOH crpyKijiyjx  H3 Koiwno3HTOB. S t r e s z c z e n i e ELASTOOPTYKA  IZOD YN OWA  I  G RAD IEN TOWA. MOD ELE  F IZYCZN E  I  M ATEM ATYCZN E,  M OŻ LIWOŚ CI I  ZASTOSOWAN IE. Termin  izodyna  został  zaproponowany  przez  Pinderę i  Mazurkiewicza  i  oznacza  nową  rodzinę  linii charakterystycznych  dla pł askiego  stanu  naprę ż enia. Linie te dostarczają  informacji  o cał kowitej  sile nor- malnej, dział ają cej  na okreś lonym  przekroju  modelu. D wie rodziny  izodyn  wyznaczone  dla  dwóch  charak- terystycznych  kierunków  pozwalają  wyznaczyć  wartoś ci  wszystkich  trzech  skł adowych  pł askiego  stanu naprę ż enia. Pomysł  izodyn jest rezultatem prezentowanego  przez Pinderę i Starkę uogólnienia teorii ś wiatła rozpraszanego. Metoda izodyn  może  być  stosowana  dla modeli  elastooptycznych jak również  rzeczywistych  elemen- tów  maszyn  wykorzystując  metodę warstwy  elastooptycznej. Termin  elastooptyka  gradientowa  został   zaproponowany  przez  Pinderę  i  H eckera  dla  oznaczenia nowej  metody  elastooptycznej,  wykorzystują cej  zależ noś ci  pomię dzy  zakrzywieniem  promieni  ś wiatła w  obiekcie  elastooptycznym  a  gradientami  skł adowej  kulistej  i  skł adowej  skoś nej  tensora  naprę ż enia lub odkształ cenia.  Wykorzystując  podstawowy  model  matematyczny  efektu  elastooptycznego  przedstawiony przez  Ramachandrana i  Ramaseshana, elastooptyka  gradientowa  daje  natychmiast  wartoś ci  absolutnych i  wzglę dnych  współ czynników  elastooptycznych  w  zależ noś ci  od  dł ugoś ci  fali  promieniowania  elektro- magnetycznego. Obydwie  metody  mogą  być stosowane  n p.  do wyznaczenia  współ czynnika  intensywnoś ci  naprę ż eń a  również  do wyznaczenia  skł adowych  naprę ż enia w konstrukcjach  z kompozytów. Praca został a  zł oż ona w Redakcji  dnia 2  lutego 1983 roku