Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf


M E CH AN I KA
TEORETYCZNA
1 STOSOWANA

1/ 2, 22 (1984)

SOME  PRACTICAL  PROBLEMS  OF   DISPLACEMENT AND  STRAIN
MEASU REMEN T  BY  IN COH EREN T  SU PERPOSITION  OF   INTERFEROGRAMS

PIOTR  W E S O Ł O W S K I

Institute  of  Physics
T echnical  University
Budapest

I n  this  paper  th e  suitability  of  using  the  regulated  pathlengh  interferometer  due  to
autom atization  of  3- D   displacem en t  an d  surface  strain  measurement  as  well  as  problems
faced  in  dealing  with  t h e  accuracy  of  th e  m easurem ents  are  examined.  D at a  needed  for
determ in in g  all  th ree  com pon en ts  of  displacement  vector  are  stored  on  single  plate.  The
displacement  an d deform ation  of surface  poin t of a disc subjected  to diametral  compression
was  m easured  to  investigate  th e effectiveness  of  this  technique.

Introduction

The  quan titative  investigation  of  displacement  vector  fields  by  holographic  interfe-
rom etry  requires  recordin g  in  at  least  three  different  interferograms.  The  conventional
m ultiple  h ologram  m eth od  [3]  gives  different  perspectives  for  views  through  each  of  the
plates.

C onsidering  t h e  autom atization  of  the  evaluation  of  holograms  (the  first  problem-
autom atization  of  fringe  counting)  th e  im portan t problem  is,  what  kin d  of  interferometer
should  be  used.  I n  this  experim ent  such  an  interferometer  was  chosen,  which  records
in depen den t  in terferogram s  simultaneously  by  incoherent  superposition  of  holograms  [6].
Th e  m ost  im port an t  property  from  a  poin t  of  view  of  autom atic  fringe  inspection  is  an
accurate  identification  of  correspon din g  object  poin ts  on  each  of  interferograms;  this
is  because  of  th e  sam e  observation al  direction  for  all  the  interferograms.

R egardin g  th e  m eth ods  of  evaluation  of  the  displacement  vector,  the  authors  [2]
exam ining  th e  H ain es  an d  H ildebran d  m ethod,  th e  Bronch- Bruevich  single  hologram
m eth od  as  well  as  the  im proved  version  of  the  latter  (D hir- Sikora  m ethod), have  arrived
at  a  conclusion  t h a t  by  com parin g  theoretical  an d  experimental  results,  the  most  suitable
an d with  the  smallest  error  is  th e D hir- Sikora's.  This m ethod uses at least  four  observation
poin ts  t o  obtain  an  overdeterm ined  set  of  linear  simultaneous  equations  relating  th e
fringe  shifts  with  th ree  un kn own  com pon en ts  of  displacement  and  obtain s  the  result  by
th e least  square  principle [11]. The discrete values of  displacement com pon en ts are sm oothed
ou t  by  cubics  splines,  after  th is  strain s  are  com puted.



70 P .  WE SO Ł O WSK I

The  most  important  properties  of  regulated  pathlength  interferometer

The  recording  of  different  interferograms  on  a  single  plate  for  evaluation  of  3- D   di-
splacements  is  made  simultaneously.  Independency  of  interferograms  is  a  result  of  the
absence  of  correlation  between  beams  n ot  belonging  together.  The  uncorrelation  can
be  realized  by  producing  an  optical  pathlength  difference  among  corresponding  beams,
which  is  larger  than  the  coherence length  of  the laser  used  in  the  experiment.  I n order to
be  able  to reconstruct interferograms  separately  there  must  be  present  so  much  reference
beams  as  illumination beams.

H olographic  displacement  measurement

Let us  investigate  the problem  in D escartes  orthogonal coordin ates:

y

Observation

F ig.  1

A displacement  vector:
L   =   L

x
i+L

y
j+L

z
k.  ( I )

P 3  is  a point  on  the object  corresponding to  a  space  vector  Rp,  for  the object  illuminated
from  a point source defined  by  R

t
,  the reconstructed image  can be  observed  from  a  point

described  by  R
2
.

Let  us  define  the illumination  vector  K
t
  and  the  observation  vector  K

2
:

Ł .  =   x
p
i+y

p
j+z

p
_k,  (2)

tr — i

* * - * I ) 2  +   (y
P
- y

t
)

2

(x
2
- x

p
)i+  (y

2
- y

P

\ Rz

k- K
u

A

~ 2

where  K
t
,  K

2
  are  the unit illumination  and  observation  vectors,  respectively,  and

\ St\   -   \ Et\   -   k  -   - jp

(3)

(4)

(5)



PROBLEMS  OF  MEASUREMENT 71

is  the  magnitude  of  these  vectors,  with  the  wavelength  X of  the  laser  light.
The  phase  shift  due  to  observations  of  the  viitual  image  from  different  directions  can  be
written  as:

Ó =  K­L  =  2nN.  (6)

where

2nN  =  Q  (7)

is  fringe  locus  function.
K  matrix  consist  of  m  different  sensitivity  vectors:

K  =

K1

K2

K3 where (8)

Km = KT-KT,

and  tn  2:  3, means  number  of  observations.
Independent  on  how  carefully  and  how  many  observations  are  made, there  will be always
some errors  E.

F  —  K•  T —O  f 91

The  purpose  of  the  analysis  is  to  mininalize  all  of  the  errors  squared,  that  is:

In  order  to  minimize  the  square  of  error  the  partial  derivates  of  Eq.  (10)  must  be  zero:

r

­ ­—  I  >  UfC"  — Km\  • T —  Q m l 2 l  —  0  n n

where  i  =» x,  y,  z
m  =  1,2,  3,  ...,/• is number  of  all  observations.

The  solution  of  Eq.  (11) in  matrix  form  is:

L  =  (Kr  •  £ ) ­ ]  •  KT  ­N­2n  (12)

where  KT  is transposed  matrix  of  K.

Experiment

As a model there was used  a plexiglass disc with diameter  90 mm, thickness /; =  10 mm
(E  =  3.2 • 104  N/m 2 ,  fi  =  0.385)  subjected  to  diametral  compression  [4].

The  optical  elements  used  in  experiment:  M­mirrors,  BS­beamsplitters,  COLL.­colli­
mators,  PL­microscope  lens  with  pinholes,  H­holographic  plate  (Agfa  Geavert  8E75),
O­object,  L­He­Ne  laser  with  output  power  of  50 mW.

In  the  measurement  the  „zerofringe"  method  was  applied  by  using  an  elastic  strip



72 P .  WE SO Ł O WSK I

d
M4

which was stuck between the loading framework  and the holographic slab. Two collimators
(Carl Zeiss Jena make) were  used for  producing two plane wave references  ( 0  50  mm).

The  basic  principle  of  building  of  holographic  interferometers  is  to  maximalise  it's
sensitivity  on. the smallest  displacement component and to decrease  it's  sensitivity  on the
largest  displacement  component.  The  illumination  points  (P I LI ,  P2L2)  were  chosen
accordingly  to  sensitivity  of  the  L

z
  component  and  L

x
,  L

y
  components,  respectively.

The difference  of the optical pathlengths between corresponding beams was  Al  =   1820 mm.

Evaluation  of  interferograms

Interferograms  were  recorded in double- exposure  method. They were  evaluated  along
horizontal  as  well  as  vertical  diameter.  In  the  reconstruction  process  the  holographic
plate  was  illuminated  by  original  reference  beams;  the  two  independent  interferograms
were photographed through six  observational  points (Fig. 4)
Typical fringe  pattern belonging  to different  references  are shown  on Fig.  5. The numbers
of  the fringe  order were  determined semiautomatically  on the basis  of  photographs with
interference  patterns. In each of  investigated  points twelve sets  of  fringe  order  data  were
given  (six  different  observational  point belong  to  one reference).

The  determination of  the number  of  the  fringe  order  looks  as  follows:  the  observer
marks  the  geometrical  centre  on  each  fringe  (black  and  white)  along  the  investigated
line  and  then  with  the  aid  of  a  drawing  digitizer  puts  the  geometrical  data  and  integer
fringe  number  to  a  computer  connected via  interface  card.  The  program  based  on  the
least  square  principle chooses  an  appropriate  polynomial  and  evaluates  fractional  fringe
order  numbers  at the required points.

Displacement  components along  the  horizontal  diameter  were  determined  using  the
Eq. 12. Displacement components: L

x
,L

y
,L

z
  along the horizontal diameter were computed

in  17 points and are shown on Fig. 6. Displacement components along the verical diameter

are  shown  on  Fig.  7.  F or  further  derivatives  e, =
*") /  7" \

„   "  only  the  central  range  of  y  e
ay



PROBLEMS  OF  MEASUREMENT 73

KT'MtfB

Fig.  5

G (—28.125; 28.125)  is  considered  because  of  boundary  disturbances  due  to  applied
forces.  From  the  Fig.  7 can  be  seen,  that  point  ^4(0;  — 45 ;0)  practically  didn't]  move
so  the  orthogonal  coordinates  can  be  reduced  at that  point.  The  rigid  body  motions  are
expressed  in  rotations  ©x,,  0r,  @z,.

i  i  i  i  i  i  i  i I—l—i  i—i—i—i—i
[

I  1  1  I  I  I  L_J

Fig. 6

From  the  plots  of  Fig. 6 and  Fig.  7: 6X, =  3.67 • 10­
5(rad), Qy,  = 6.1 • 10"

6  (rad),  <92, =
=  3.15­10­ 5  (rad).

To  obtain  the  value  of  deformation  the  values of  Lx(x,  y = const),  Ly{x,  y =  const),
Lx{x  —  const,  y),  Ly{x  = const,  y)  at  discrete  points  of  the  surface  are  needed;  afterwards
there  is a need  to  smooth  the  data  by fitting  an  apprioprate  curve  to  it.  Smoothed  spline
functions  [1],  [8]  are  appropriate  choice  for  fitting  the  displacement  data  as  the  objective
of  subsequent  differentation.  They  are  attractive  for three  reasons:  their  definition is
based  on  the  theory  of  mechanical  deformation,  second  derivates  are  understood  a  priori,
and  their  application  to interferometrie  determination  of strain  has  been  studied  [13].
The  values  ex evaluated  along  horizontal  diameter  are  shown  on  Fig.  8 and  the  values
of  ey  are  shown  on  Fig.  9.



*28.125  45
\  y [mm}­

Fig.  7

1  1  1  1  1

­

>

­ /s

­ •  1  1  1.  1  1

1  1

< " / * ­

­

—

i  i

ê
7

ir
5

3

2

1

.I . J i l l
[1O"S]

. - - * ._

/

\

\

1  I  1,  I  1.

1 1

-

-

—

i  1
­7/8 ­6/8 ­5/8 ­4/8 ­3/8  ­2/8  ­1/8  0  1/8  2/8  3/8  4/8  5/8  6/8  7/8 x/R

Fig.  8

1

/

1

­5/i
1

j

|

i­4/8
1

/

­3/8
1

­2/8
i

­1/8

-

­

I

0

-7

- 8

- 9

1/8
1

• » -

|

2/8
1

<̂

|

Vertical D.

3/8  4/8  5/8
1  1  1

• • .̂ experim.

Y^stheory

V s
i  i  i

y/R

1 
I

X
1

Fig.  9

[74]



P R OBLE M S  O F   M EASU REM EN T  75

D iscussion  about  accuracy  of  the  measurement

There  are two  main error  sources:
a)  errors  associated  with  measuring  the system  geometry
b)  innacurate determination of  fringe  order  values.
Two  inequalities  corresponding  to  these  errors  are  as  follows  (8):

where  cond ®   =  \ \ g\ \   •   \ \ gr%  (15)

is  the  value  characteristic  of  th e  sensitivity  of  interferometer,  and

11jp I =   (max •  eigenvalue  of  Ę T  •  ^ 2 ,  (16)

where  KT  is  transpose  matrix  of  K.

F or  quick  determination of  the error, which  is  found  by  evaluation  of  displacement  vector
components  an other way  was  proposed  [12]:

where  <p
k
  is  an  angle  between  (—K\ )  and  K\   vectors  and  AN ijQc)  is  an  absolute  error

occured  by  reading  fringe  order  values.

H ere:

A<p
k
  =   1°  (0.17  rad)

N
u
(k)  =   0.25

cp
k
  =  62.3°

So depending on the fringe  order, the accuracy changes in range of 8%  g,  6L
k
  ^  13.5%;

for  the  central  part  of  disc  dL u.  Ś  9%.  Obviously,  a  lower  fringe  order  results  in  higher
error.  This  error  is  tran sported  into  deformation  countings.  But,  knowing  the character
of  displacement  by  choosing  a  sufficient  „ sm ooth factor"  [1] the  spline  functions  can  be
better  fit  to  discrete  poin ts  of  displacement.  H owever,  if  the  character  of  displacement  is
unknown,  there  is  a  custom  t o  give  for  smooth  factor  value  of  standard  deviation  [13].

Recapitulation  Suggestions

The  difference  between  theoretical  and  experimental  results  can  be  explained  at  first
by  small  size  of  the  hologram  plate  ( 6 x9  cm), which  caused  too  small  shifts  of  fringe
order  by  changing  observational  points.  The  second  main  reason  considered,  could  be
found  in  the model  loading  system,  which  didn 't load  the  disc pointwise  as  it  is  assumed
in  theory.  Small  rotation s  were  observed,  but  their influence  on the strains  are  negligible.
By  examining small  models  it would  be worth testing the usefulness  of reflection  holograms
in  evaluating  displacement  field.  U sing  reflection  hologram  in  setup  similar  to  proposed
(only  the  hologram  plate  is  closer  to  model),  large  fringe  order  shifts  can  be  obtained
which  results  in  higher  accuracy.



76  P,  WSEOLOWSKI

Acknowledgment

The author  thanks  Z. Fuzessy, for  helpful  discussions and proofreading  the manuscript
and  acknowledges  the  contribution  of  G .  Szarvas,  who  provided  frequent  helpful  con-
sultations.  This  work  was  done  in  Institute  of  Physics at  Technical  University, Budapest.

References

1.  Ch. H .  REIN SCH , Smoothing by  spline functions,  N umerische M athematik  10,  177- 183,  1967,
2.  R. J.  PRZYPU TN IEWICZ,  W. W.  BOLEY,  T echniques  of  holographic  displacement  measurement;  an expe-

rimental  comparison,  Applied  Optics, vol.  17, n r.  11,
3.  A. E.  EN N OS,  Measurement  of  in plane strain by  hologram  interferometry,  J. Sci.  Instrum.,  Ser.  I I , 1,

731- 746,  1968,
4.  C. A.  SCIAMARELLA,  J. A.  G ILBERT,  Strain  analysis of  a  disc subjected to  diameteral compression  by

means of  holographic  interferometry,  Applied  Optics,  vol.  12,  n r.  8,
5.  R. E. ROWLAN D S,  T.  LIBER,  I . M. D AN IEL,  P . G .  ROSE, Higher—order numerical differentiation  of expe-

rimental  information,  Exp.  Mechanics, M arch  1973,
6.  Z . FttzESSY, Methods of holographic interferometry for  industrial measurements,  Periodica  Polytechnica,

vol.  21, nr.  3- 4,
7.  A. G .  KOZACSOK,  G . A.  KEZERASHVILI,  YU .  A.  RAKU SH IN ,  YU . N .  SOLOD KIN ,  Izmierenje  deformacij

i napriazhenij mietodami gohgrafkheskij  interferometrii,  G olograficheskije  Izmieritelnyje  Sistiemy,  58- 75
N ovosibirsk,  1976,

8.  Ch. M.  VEST,  Holographic  interferometry,  Johny  Wiley and  Sons,  1979,
9.  N . I .  MUSKHELISHVILI,  T heory of  elasticity,  P.  N oordhoff  Ltd.  G roningen- H olland,  1953,

10.  J. E. SOLLID , K. A.  STETSON, Strains from holographic data, Experimental  Mechanics, June  1978,
11.  S. K.  D H I R , J. P.  SIKORA,  An  improved method for  obtaining  the  General displacement field form holo-

graphic interferogram,  Exp. Mechanics, 323- 327,  1972,
12.  Yu.  SOLODKIN ,  Golograficheskij interferometr  kak  izmieritebiyj priyor,  Avtomietria  64,  1973,  N r.  5,
13.  L. H .  TAYLOR,  G . B.  BRAN D T,  An  error analysis of  holographic  strains determined by  cubic splines,

Exp.  Mechanics, 534- 548,  1973.

P  e 3  IO  M e

H EKOTOPBIE  n P AKTH ^I E C KH E IIP OEJIEM BI H 3M E P E H H K I I E P E M E m E H H ft H
,HE<t>OPMALi;Hfł   n P H  H H K O rE P E H T H O H   C yn E P n O3H Li;H K[  H H T E P O E P O r P AM M
HHcbopiwainm  o MexaHiwecKHX  xaparcrepHCTHKax  oSieKTOB  B  3KcnepyMeiiTaJiŁnoJi  M examroe  n o n y-

«aeTCH   H3 3KcnepHMeHT0B  n o  onpefl&Jieinno  nojieft  fledropiwamni  H  HanpHHceriHH.  flJia  TaKHX H ccn eao-
BaHHH  MoryT  6tix&  Hcnonb3OBaHbi  MeTOflH   roJiorpadpn^ecKoft  H H Tepi})epoMeTprai.  B  DTOH   paSoTe  n oKa-
3aHo  onpe^eJieH H e n o jia  nepeiwemeHHH  ToueK  noBepxHOCTH   oSieKTa  H cnoJit3yH   H H iepdiepOMeTp  c  p e r y-
HHpoBaHoii  OHTHKOH   njrreM,  KOTopbrił  # aeT BO3MO>KHOCTB  aBTOAiaTHqecKoft  Hncnei<L(HH  H H TepcbeporpamM.
JlH CKpemoe  n o n e  n epem em eraia  araipoKCHMHpoBaHo  c  noiwomtio  cn^aiiH- diyHKLiHH   T peT tero  n o p n ^ K a
H   onpefleneH O  flediopM ai;H io fljM   flaaM eipanbH o  cwaT oro  flH CKa.

S t r e s z c z e n i e

PEWN E  PROBLEMY  PRAKTYCZN E  POM IARÓW  PRZEM IESZCZEŃ   I  OD KSZ TAŁCEŃ
PRZY  N IEKOH EREN TN EJ  SU PERPOZYCJI  I N TER F ER OG R AM ÓW

Pokazano przykł ad  zastosowania  interferometrii  holograficznej  do  pomiaru  przemieszczeń  i odkształ -
ceń  za  pomocą   interferometru  z  dwiema  wzajemnie  niespójnymi  wią zkami  odniesienia.  Moż liwość  obser-
wacji  tego  samego  punktu  badanego  ciał a na  róż nych  interferogramach  —  zmieniają c  wią zki  odniesienia
pozwala  na  automatyzację   odczytu  prą ż ka  bez  koniecznoś ci  identyfikacji  punktów  powierzchni.  Przepro-
wadzony  eksperyment  ma na celu  zbadanie efektywnoś ci  tej  techniki.

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 2  lutego 1983  roku