Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  22  (1984) EQU ATION S  OF   TH E  SH ELIS  WITH   IN CLUSION S ALON G   ON E  OF   TH E  PARAMETER  LIN ES IWON A  C I E L E C K A SYLWESTER  K O N I E C Z N Y Politechnika Ł ódzka Instytut  Inż ynierii  Budowlanej 1.  Basic  equations  of  shells I n th e paper  of  Cz. WO Ź N I AK  [1], [2] bases of analytical  mechanics of material continuum h ave  been  given  an d  am on g  oth er  things  equation s  of  m otion  and  boundary  conditions have  been  form ulated  for  shells  as  a  body  with  in tern al  constraints. F o r  static  problem s,  takin g  th e  function  of  m otion  defined  by  the  equation )  YeF th e  equation s  of  m otion have  th e form  [1] i *+ / *=   0, an d  th e  boun dary  con dition s  are  defined  by  the following  relations  [1] 8d k   ds Th e  functions  tp an d  d  m ay  be  depen den t  on  each  oth er  an d  satisfy  certain  conditions  [1] « y (Z, *(Z , 0, d(Z, t), v>(Z, t), W(Z, 0)  =  0,  Zen pjz,  MZ,  t), d(z, t), mz,  t), dd(z, o) =  o,  zG  en.  u 2.  Kinetic  contact  conditions  for  shells  with  inclusions I n  order  to  take  in to  accoun t  th e influence  of  the  inclusion  on the m otion  of  the  shell, we  also  h an dle  th e  inclusion  as  m aterial  con tin uum  [3]. Let  u s  assume  t h at  t h e  n otion  of  inclusion  from  th e  reference  configuration  I R   to  the actual  configuration  is  described  by  th e  function  x  =   %{X, t),  X  — (Xv)  e  J R . 116  J.  CIELECKA,  S.  KON IECZN Y I n  accordance with  th e analytical  mechanics of m aterial  con tin uum , the field  of  external body  loads  b  an d  the  field  of  external  surface  loads  p R   an d  th e  field  of  in tern al  con tact forces  i R   s  f R n R   (T R   is  th e  first  Piola- Kirchhoff  ten sor  of  stress)  should  satisfy  th e prin - ciple  of  virtual  work  [2] - X)  •  fydv R  +  f  h  •   S%da R   =   /   fg  •   V(6x)dv R ,  (5) where  g R   is  the  mass  density  of  material  of  th e  inclusion  in  th e  reference  con figuration We  put  th at  th e  field  of  external  surface  loads  affecting  th e  boun dary  of  in clusion 8I R   or  its  part  is  given  by  the field  of  internal  forces  of  the  shell P k  -   T krn v ,  (6) where  n R   =  (n) y   is  a  un it  norm al  vector  in  th e  place  of  con tact  of  th e  shell  with  th e boun dary  of  inclusion.  Assuming  th at  th e  inclusion  is  closely  connected  with  t h e  shell, the  functions  of  m otion  for  the  shell  %  an d  the  inclusion  %  have  the  sam e  values  on  th e com m on  surface  S R   m  8B R ndI R . Let  the  motion  of  arbitrary  particle  of  inclusion  be  given  in  the  following  form : i(X,  t)  =  3 2 3 2 0 -  D2222 0  D2222 '0 0 L^2.22 0 . £ 2 2 3 0 Z»322 0 £>322 0 ¥2, 2 Io  ­~Dl13 ° iv 0 0  D2'' P = 0, (12) and = 0 where A1 is Lagrange multipler which corresponds to eq. (11). In the above system equations the components of function of motion are denoted in the following manner — o %pv S  ipy — y)y,  dy =  dy—dy, (13) where ^ = (0, X2,  R), d - ( 0 , 0 , 1 ) . The factors at the unknown components of function of motion depend on Lame" constants /W, A and thickness h and radius R of the cylindrical shell. ' £ " 3 = ^ _ ' £ 2 2 3 = RD223 - hX, £3232 _ £322 _ . £22 _ £3232 _ h2 jr>322 = n2222 _ I - i D  ~T2 (14) The kinetic contact conditions for shell (9) should be reduced to the form including the components of the function of motion of shell ijf and d only. Taking into account the equality of the deformation functions of the shell and of the inclusion on the common surface 5^ we obtain the mentioned below relations between components Vv = y ~{dP+d (15) We determine with sing „ + " the components of the vector of motion for the part of shell which is oriented by the positive unit normal vector nR while crossing the axis of the in- clusion and with sing „—" those for the one oriented by the vector — nR. The kinetic contact conditions by the application of the relations (15) have the form SH E LLS  WI T H   I N C LU SI ON S 119 £ , 2222 0 - ~D 2222 0 £ 72222 0 0 ~L 322 *  £ 2222 0 0 i .  £2233 — - 0 £,3232 0 '_  £,3232 0 £ 73232 £ , 223 £,2222 0 i .  JTJT2222 0 £ 72222 0 -  u Ł '" 4»"4 J_£ 2323 *  1- 2332 - yL 3 3 3 - Z > 2 2 3 *•   r  1 1 3 £ 3 2 2 — 2R L J_£ > 223_^_£ 322 _ 1 L 2 3 2 3  _ ^  ̂ 7- 2332 - T Ł _ £ > 2222 0 0  D3232 0  - { _ £ 7 2 2 2 2 0 0 £ , 322 0 0 _  £ ,3232 0 £ 73232 - .02222 0 - i -   £ 72222 0 _ £ 72222 0 ^2, 2 V3.2 J + , **2» 2 ^2 , 2 ^3 . 2 - dl  2 0 *•   T3 2 2 TŁ __ '  7)322_/   £3232 2  2 1  ł - 3232 ~~2 Ł £ 7322 0 _ £ ) 3 2 2 i/ 0 • )322  *  7 3223 _ ^ L 2 3 3 2 ^ £ 2 2 2 2 0 0 ~vi~ vt Ił V>2 + / 2 / 3 ?22 / " Z 3 2 f33 =   [0] where 0,5/ 0,5/ [ J 0,5/0,5/   0,5/ /» =  [  /  p zwfi,  / " -  [  / 05/   05/ [ / - 0, 5/ 0,5/ / - 0, 5/ 0,5/ - 0,5/ (1 6) (17) - 0,5/ 120  J.  CIELECKA,  S. KON IECZN Y and (£ )4&r] L 2 2 2 2  =   lh(U2fi), L 2233  =  J Ł L3 2 2  =  Ihl, £3232  =   £2332  =   £ 3223  =   / / ^ Ji,X  —  Lame" constants  for  material  of  the  in clusion : Th e first  three equations  (12) together  with  kinetic  con tact con dition s  (16)  an d  suitable boundary  conditions  let us calculate  the  com pon en ts  of th e  function  of m otion  of t h e shell  an d  th e  internal  resultan t  forces  in  t h e  shell  an d  the  inclusion  an d  also  th e  reaction forces  of constraints  loading  the  shell  which  secure  t h e  deform ation  con sisten t  with  t h e assumed  constraints.  The  internal  resultan t  forces  m ay  be  calculated  from  relation s  given in  [3] and  for  the  shell  being  considered  they  have  th e following  form 12  "2'2 M 21  =   — p ^  f2 , 2 +   — fihyJ 3 , 2 . M 12  =   M 21  =   M 31  =  H12  -   H21  =   H31  =  0. The  internal  forces  in  th e  inclusion  which  are  different  from  zero  are  determ ined  by  t h e relations if11  = (20) SHELLS  WITH  INCLUSIONS 121 The  reaction  forces  of  constraints  for  the  shell  may  be  calculated  from  [1] and  for  this shell  they  have  the  form P  =  0 = 0, T 4.  Example Let  us  consider  a  cylindrical  shell  of  length  L  in  which  two  rings  have  been  placed. The  Young's  modulus  for  the  material  of  rings  is  20% greater  than  that  for  the  material of  the  shell  but  the  Poisson's  ratios  are  the  same. The  shell  is  loaded  a  uniform  load  p along  its  length  (fig.  2)  and simple-supported at its ends. It is assumed that the thickness of shell is h = 0,04 m, the radius of the middle surface of shell R = 0,60 m and the width of a ring / = 0,03 m. run CM TTTT t 1 / A if~ t t L 3 t t t L y L t t t L t 1̂ Fig. 2 Solving this example, the region occupied by shell in the reference configuration has been assumed as the sum of three regions  B\,  Bxl, flJJ1 (fig. 3). 122 J.  QELECKA,  S.  KON IECZN Y Fig.  3 Q LO O L O u i u i U>LO 0 0.13L 0,17L0,27L 8 N F ig.  4 After  calculations  vertical  displacements  of  the  poin ts  of  t h e  m iddle  surface  of  th e cylindrical  shell  with  two  rin g  inclusions  and  the  change  of  ben din g  couple  M 22  along the  length  of  the  shell  have  been  shown  on fig.  4  as  and  exam ple. Reference 1.  Cz. WOŹ N IAK,  W stę p do  mechaniki analitycznej kontinuum  materialnego,  Cz. I ., Kontinua  z  wię zami geometrycznymi,  IPPT  P AN  W- wa  1975. 2.  Cz. WOŹ N IAK, Constrained Continuous Media, I , I I ,  I I I ,  Buli. Acad. P olon. Sd. Ser. Sci. Techn. 21.1973. 3.  I .  CIELECKA,  S.  KON IECZN Y,  Równania  powł ok  o  skokowej  niejednorodnoici,  Zeszyty  N aukowe P Ł ., Budownictwo  z.  27,  1981. SH ELLS  WI TH   IN CLUSION S  123 P  e 3  IO  M e yP AB H E H H E  O E O J I O ^ E K  C  H H K J H 0 3 I M M H  BtfOJI b  O flH O rO  C EM Efł C TBA n AP AM E T P H ^ E C K H X  JI H H H K H cxoflH   H3  ypaBHeHHH  TeopHH  cn jion n ibix  cpefl c  C BH 3«M H   ccpopMyjiHpOBaHHOJi1- !.  BO3BH SKOM   [ 1 ,  2] npeflJiaraeM   MaieMaTiwecKyio  iwoflenL o6oJio*ieK  H3  M aiepn an a  o  cKainix  CBOHCTBax.  O Sn acro 3aBMTtie  MaTepHanoM   o  cBoiicTBax  p aan bix  OT  CBOH CTB  OCH OBH OBO  MaTepaajia  Ha3Bain>i  H H KJH O3H H M H . P eiu eH ae  npo6jieM Łi  c  CKa- qKoo6pa3in>iMH  HeoflHopoAHOcTaMM   CBefleHO  K  peineH m o  npo6.neMM   pjw iwaTepaajia  c  HeKOToptiMH   C BS3H M H   H JIH   COCTOHHHH   HaHpjDKeHiw.  n o jiyieH bi  ypaBHeHHH npHMeHHTŁ  fljia  BtniHCJieHHH   o6ojioyei< c  TH SKH M H   H H IU IK)3H H M H   Bppsib  oAiioro  ceMeficTBa n a- Ha  cpeflHHHoii  noBepxiiocTH   o6oJioqKH . Streszczenie R Ó WN AN I E  P OWŁ OK  Z  I N K LU Z JAM I  WZ D Ł U Ż JED N EJ  ROD Z IN Y LI N I I  P ARAM ETRYC Z N YC H Korzystają c  z  równ ań  teorii  oś rodków  cią gł ych  z  wię zami  sformuł owanej  przez  Cz.  Woź niaka  [1, 2], skonstruowano  matematyczny  model  powł ok  ze  skokowymi  niecią gł oś ciami  wł asnoś ci  materiał owych. Obszary  zaję te  przez  materiał  mają cy  róż ne  wł asnoś ci  od  materiał u podstawowego  nazwano  inkluzjami. W  sformuł owanym  modelu  rozwią zanie  problemu  ze  skokowymi  niejednorodnoś ciami  sprowadzone  zo- stał o  d o  rozwią zania  problemu jak  dla  materiał u jednorodnego, lecz z  pewnymi  wię zami  dla stanu  naprę - ż enia. Otrzymane  równania  mogą   być  zastosowane  do  obliczenia  powł ok  z  wiotkimi  inkluzjami  wzdł uż jednej  rodziny  Unii parametrycznych  n a  ś rodkowej  powierzchni powł oki. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 2  lutego 1983  roku