Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  22  (1984) M E T O D A  E L E M E N T Ó W  SK O Ń C Z O N YCH  D LA  P ŁYT  WARSTWOWYCH O  WYŻ SZ E GO  R Z Ę DU   R O Z K Ł AD Z I E  F U N K C JI  R U C H U   P O  G RU BOŚ CI PŁYTY BOH D AN   M I C H A L A K Politechnika Ł ódzka 1.  Wstę p W  analizie  grubych  pł yt  znacznie  bliż sze  rzeczywistoś ci  jest  przyję cie,  że  przekrój poprzeczny jest  niepł aski i  n ieprostopadł y do  powierzchni  ś rodkowej.  Efekty  te  wystę pują bardziej  wyraź nie  dla  pł yt  warstwowych  i  t o  o  stosunkowo  nieduż ym  stosunku  gruboś ci do  rozpię toś ci  [6]. R ozkł ad po  gruboś ci  struktury  m oż na wybrać  dowolnego  rzę du,  przy- ję cie  zbyt  mał ego  rzę du  rozkł adu  da  niewystarczają cą   dokł adnoś ć, n atom iast  rozkł ad zbyt  duż ego  rzę du  m oże  być  zbę dny  a  powodować  tylko  zwię kszenie  liczby  nieznanych skł adowych  funkcji  ruch u.  W  teorii  zaproponowanej  w  pracy  Lo  [5]  przemieszczenia w  pł aszczyź nie  pł yty  i  w  kierun ku  poprzecznym  są   przyję te  jako  funkcje  odpowiednio sześ cienne  i  kwadratowe  współ rzę dnej  w  kierun ku  gruboś ci.  Ta  wyż szego  rzę du  teoria pł yt był a porówn an a w  [4] i  [5] z innymi teoriami i może być uważ ana za lepszą   w  zakresie dokł adn oś ci  i  obszaru  zastosowań . D la  uzyskania  rozwią zań  tak  przyję tego  modelu  zastosowano,  podobnie jak  w  arty- kule  [7] m etodę  elementów  skoń czonych.  Jeż eli  w  pracy  [7] przyję to  do rozważ ań  jedynie jedn owym iarowy  element  belkowy,  t o  w  przedstawionym  artykule  rozważa  się   dwuwy- miarowy  element pł ytowy.  R ówn an ia równowagi  metody  elementów skoń czonych  uzyska- n o  traktują c  rozpatrywan y  model jako  oś rodek  z  dyskretyzacyjnymi  wię zami  wewnę trzny- mi  [8]. P odobn y  sposób  uzyskania  równań  metody  elementów  skoń czonych  dla  oś rodka trójwymiarowego  z  wykorzystaniem  zasad  mechaniki  oś rodków  z  wię zami  wewnę trznymi wykorzystano  w  pracach  [3], [4]. 2.  Pł yty  dyskretyzowane P rzedstawmy  obszar  zaję ty  przez  pł ytę   w  postaci  iloczynu  kartezjań skiego  dwóch zbiorów  JT  i  F;  B  =  IJxF.  Z biór  77  jest  skoń czoną   sumą   rozł ą cznych! obszarów  U a , b II  ~  U   II a ,  n a nll b   =  a  (obszary  77„   nazywać  bę dziemy  elementami  skoń czonymi). a= l N iech  (Xk,  Z ) bę dzie  kartezjań skim  ukł adem współ rzę dnych w  pł ycie, gdzie  x  =   (Xk)  e U są   współ rzę dnymi n a powierzchni  ś rodkowej  pł yty, a 2 e  ——,  — ) ,  gdzie h jest  gruboś cią 126  B.  M I C H AL AK pł yty  w  konfiguracji  począ tkowej.  Wyraź my  funkcję   ruch u  pł yty  przez  pewn e  funkcje zależ ne tylko  od czasu, Xk (X\   Z,t)~  4> ak {Z, f(X k ,  q t (0)  xen a xF.  (1) D o  uzyskania  równ ań  równowagi  wykorzystamy  zasadę   idealnoś ci  wię zów  [8], S  (• /  J r* •  d Xk  •  dV+  /   J  Ą   -   d Xk dS+ a = l  ZTo  F  Snan3n  F l- l  I +   }  jsk- dXk- 'ds)  +    ̂ ]?  f  Js k ab- dXk- dS  =  0.  ( 2) n,  SF  fl  =  l  6 =  a+ l  SIIa^dlltiF Oznaczają c  przez  b  i p  odpowiednio gę stość  sił  masowych  i  powierzchniowych  m am y  n a- stę pują ce  równ an ia okreś lają ce  sił y reakcji  wię zów  [8]. I f «+ Q a  b k a +r k a =  ed",  xen a xF, n aK   =  ń +sl  x  G  (dn a n  dH)xF, •  n a3   =  pk+sk,  x  en a   x  dF,   ( 3 ) •  n aK +n K   •  n bK   =   sk„,  x  e  (8II a ndII b )  x  F. Przyjmijmy,  że  rozpatrywany  m ateriał   pł yty jest  m ateriał em  sprę ż ystym,  stą d Okreś lając  ze  zwią zku  (1)  przemieszczenie  wirtualne  d X t  =  /   ~^ ~'  $<ł i  m oż emy  prze- kształ cić  zasadę   idealnoś ci  wię zów  (2)  do  nastę pują cej  postaci i a  F JTa  BF P o zdefiniowaniu  nastę pują cych  wielkoś ci i  -   / Q a a d F,  b Bi   =   /   Qa b k ^ Ł   dF 2 0 = 1  *  "  JTo M E S  DLA  TEORII  PŁ YT  1 2 7 — gdzie  [  ] 2  h   oznacza  róż nicę  zawartego  wyraż enia  dla z  = —  i  z  —  ,  równanie (5) m a postać f—  C  — Jidll a —  I b ai dq t dll a —  P al dq l dII a   + J  J +  \  T ai  dq t  dll a   -   I P ei   dq, d(dri a )\   =  0.  (7) Z godn ie  z  Lem m atem  du Bois- Reymonda  równość  (7)  zachodzi  wtedy gdy o = l  0 = 1 gdzie d4i  '  S'  "  / / .  £ *«i  =   Jb ai dn a ,  P tti   =   JpaidII B ,  (9) u. Przyjmijmy  funkcję  ruch u w postaci 3 *, Z, 0 .   Vk (X\   q t (t))+ X  W *  4 ( ,  ?,(0) ^= 1  (10) £ , q t (t))+Z  •  4 ( ^ ,  ?, ( 0) + Z 2 •  4'(XK, 9i(0)+Z3  •  dl»(X\   q t (t)). Zit  zwią zku  (10)  otrzymujemy óq t   óq t   óq f   óq t   óq t P odstawiając  zależ ność  (11) d o zwią zków  (6) i  (9) otrzymujemy  nastę pują ce  wyraż enia n a  sił y  uogóln ion e (12) gdzie 5*  =   J QR b k dF,  M\   =   / Q K b\ Z) A dF, i k 0 3 ) 128 B.  M I C H AL AK Energia  odkształ cenia n a jedn ostkę  powierzchni jest  zgodn ie  z  (6.1)  równ a  sumie  energii odkształ cenia  n a  jedn ostkę  powierzchni  każ dej  z  warstw  pł yty.  Przyjmijmy,  że  każ da z  warstw  jest  oś rodkiem  sprę ż ystym  z  pł aszczyzną  symetrii  z  =   con st.  Energia  odkształ - cenia  pł yty  analogicznie  do  danej  w  (2) jest  okreś lona  zwią zkiem gdzie: Z  = Symbol  „ o "  oznacza,  że  wielkoś ci  te  są  okreś lone  dla  konfiguracji  wyjś ciowej. M acierz  sprę ż ystoś ci  A  m a  nastę pują cą  budowę - DKLMN 0 D 3K3M J 0  ~D3Km  0  Dli*13 D 3 -4 33MN 4 33Mli B g Q  jr)KL33 o £ )3333 D la  pł yty  utworzonej  z  n  warstw  o  ł ą cznej  gruboś ci  h  =   £  h(w)  elementy  macierzy  A w = l mają  budowę *C«> \ KLMN  _ m- 1 Ł if/r  =   J D ft ""  =   J  C"M "( w) •   ( Z)^+ B  •  dz, F D* L 33  =   j  CKL 33(w)  •   A  •   (Z)*'1  •  dz, F D*tf 3  =   f  C * Ł 3 3( w ) •  5 •   (Zy*+B- 1  dz,  A , B = \ , 2 , 3 D* 3U3  =   /   CK3M3(w)  •  dz, F =   J  C K3M3 (W )  •   ( Z ) 4 •   ł fe, F 13   = f  C " M 3 ( w )  •   (Z)A+B  •  dz, (17) M E S  DLA  TEORII  PŁ YT 129 m  J F =  J  C K3M3 (w)  •  B • 1   •   dz, . A . B . DAB 33  =  /   C 3 3 3 3( vv) •  A •   B •   ( Z ) x - 1 + B - ł < fe . C ał kowanie  po  gruboś ci  pł yty w powyż szych  wyraż eniach  m oż na przeprowadzić  zgodnie z  zasadą  podan ą w zwią zku  (17.1).  Współ czynniki  Cu'""(w)  okreś lamy  dla  każ dej  warstwy „w"  jako  wyraz  macierzy  sprę ż ystoś ci  dla  ciał a z pł aszczyzną  symetrii z  =   const. [1] - C U 1 1  C 1122  C 1133  0  0  £ 1112" £ 2222  £ 2233  Q  Q  C2212 C 3333  0  0  C 3312 C 2 3 2 3  C 2331  Q C 3131  0 (18) P o  zdefiniowaniu  nastę pują cego  funkcjonał u W  =  J yk+M kA  •   d£+  [pk} (19) statyczne  równ an ia  równ owagi  pojedynczego  elementu  „ a "  moż emy  zapisać  nastę pują co 8W 8q, =  0 . (20) 3.  Równania  dla  elementu  skoń czonego W  rozdziale  tym  zapiszemy  równ an ia  dla  pojedynczego  elementu  skoń czonego. G lo- baln y  ukł ad  równ ań  równ owagi  m oż na uzyskać  zgodnie z wzorem  (8) jako  sumę równań dla  poszczególnych  elementów  skoń czonych. F un kcja  ruch u i  wewną trz  elementu „a"  jest  dan a przez funkcję  kształ tu N  i „n"  wartoś ci wę zł owych  q t  funkcji  ruch u d A   =  N d - qj. Wektor  gradien tu  funkcji  ru ch u  dan y  wzorem  (15) jest  wówczas  równy VR V   0  0  0 0  R dI   0  0 0  0  R iU   0 0  0  0  R iUI ii U (21) (2 2 ) 9  M ech .  T eoret.  1 Stos.  1—2/ 84 130  B.  M I C H AL AK gdzie R jest  macierzą ,  wyrazy  której  są  pochodnymi  funkcji  kształ tu wzglę dem  współ rzę d- nych  Xk.  Zgodnie ze  wzorem  (14)  moż emy  okreś lić  gę stość  energii  odkształ cenia  n a  jed- nostkę   powierzchni  elementu j  (23) Energię   odkształ cenia elementu  „ a "  okreś loną   wzorem  (9.2)  moż emy  zapisać  nastę pują co e = ̂ - q r Kq- q T K°  + D  (24) gdzie ni 1 (25) N atomiast  funkcjonał   W  zdefiniowany  wzorem  (19) m a  nastę pują cą   budowę W   =  y  fEq  -  qTK° + D + qf,-   (B+p)  + ą f  •   (M A   + m A )  (26) gdzie wektory  sił  są  zdefiniowane  w nastę pują cy  sposób n "  • =   JN j- M A dn a> "'  ±   (27) p=  )N T [\ \ dn Róż niczkując  odpowiednio  funkcjonał   W  wzglę dem  q v   i qi  otrzymujemy  zgodnie  z  (20) równania  równowagi  dla  elementu „ a " - K  ̂ + B+p^ 0 0 4.  Elementy  izoparametrycznc Rozważ ania  przeprowadzono  dla elementu  izoparametrycznego  o  czterech  wę zł ach (rys. 1) G eometria elementu jest interpolowana  jako x  =   [N tt , JV„  N c ,  JVJ  •   X*  =  N •  Xs, y- N -  F e ,  (  ^ gdzie  X6,  Ye  są   współ rzę dnymi  wę zł ów  elementu.  D la elementu  izoparametrycznego funkcje  ruchu  $ i dA  są  podobnie  zdefiniowane  w zależ noś ci  od ich  wartoś ci  wę zł owych M E S  DLA  TEORII  PŁYT 131 X 1 - * Rys. Wę zły N i JO + lJ O + io) d A   = (30) Wektory  wielkoś ci  wę zł owych  uż yte  w  zwią zkach  (30)  są   zdefiniowane  w  nastę pują cy sposób 'JAM  ( 3 1 ) (32) (33) (34) W  konfiguracji  wyjś ciowej  skł adowe  funkcji  ruch u  mają   nastę pują ce  wartoś ci M acierze  R  i  Ri  z  (22)  okreś lają ce  wektor  gradientu  funkcji  ruchu  o  skł adowych zapiszemy  w  zależ noś ci  od  wę zł owych podmacierzy gdzie 9 L̂  W  o  o .   o  0 dx  dy  . 0  0 - ^ *^ .0  0 dx  dy 0   0   0   0 aw,  dN j_ dx  dy Jfli  _  Dl/ i  _  D«fi â ,-   dN, dx  dy o  o  ~ 0   0   0   0   AT(  0   0 i  dN, dy 0  0   0   JV,   0 o  o  o  o  Ę L  Ę L  O  O  Nt dx  dy ( 35) 9* 132 B.  MICH ALAK Relacje  pomię dzy  róż niczkowaniem  funkcji  kształ tu  N   wzglę dem  współ rzę dnych  f  i  r\ a  wzglę dem  współ rzę dnych  globalnych  X, y  potrzebn e  do  tworzen ia  macierzy  R v   i  Rj są  dane poprzez macierz I c dx  dx' di  dr, dy  dy 9 |  dr. (36) Jeż eli  róż niczkowania  funkcji  kształ tu N  wzglę dem  współ rzę dnych  f  i  r\  są zapisan e  jako N a   dN b   dN c   dN d Y dr\ ' drj ' drj ' drj • r- wtedy  macierz / c może  być  zapisana (37) (38) Wektory  okreś lają ce  pochodn e funkcji  kształ tu N  wzglę dem  współ rzę dnych x, y są okreś- lone  nastę pują co dx dx dN b dx dx dN d (39) j  '  3j;  '  dy  '  dy J  dy gdzie  róż niczkowania  £  i ?j wzglę dem  x, y  są  otrzym an e  z  / j " 1 .  M acierz  sprę ż ystoś ci  A daną w (16)  moż emy  zbudować  z czterech  podmacierzy -  u? A%A (40) które  mają  nastę pują cą  budowę 2 ) 1 2 1 2  2)1221  £ (1222 JT)2111  2 ) 2 1 1 2  X ) 2 1 2 1 2)2211  2)2212 0 0 0 o o o o o 0  0  0 0  0  0 2, iu i   D un  2)3,1" D X2X1  2)^221  2 ) ^ 2 2 2)2U 1  2 ) 2 »2  2)2121 0 0 0 0 Z ) 3 1 3 1  D 3 1 3 2 D 3 2 3 1  / ) 3 2 3 2 2)22!! 2)2212 2) 2 2 2 1 2 ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o o o o 2)3131 2)3132 2)3131 2)3231  2)3232 j)3232 2, ^33 2)2133 2,2233 0 0 M E S  DLA  TEORII  PŁ YT 133 (41) r> A21 i i  D }2 1 2 D 2 A n  2 ) J i " o o o o o o o o o o o o o o o o \ 1133  r\ 1233  r\ 2133  r)2233 Z nając  budowę  macierzy  JR i A moż emy  z  wzoru  (25)  okreś lić  macierz  sztywnoś ci  K  ele- m en tu  skoń czonego 0 0 0 0 DA 13 D 2 A 13 DA 13 D A % 13 0 0 0 0 0 D ii 2 3 £ i i 2 3 DA 23 D i i 2 3 0 0 0 0 0 £ ~ i 3 B 1 3 n i  313 jn [2313 0 0 0 0 0 Ą ll2 3 ^"il23 BA23 52A23 0 D AB DA 33 D 2 A 33 DA" 3 0 0 0 0 D 3 , 3 * 3 3 Ha ~   f z* J n (42) =  JltJ A - A d AB - R dB dn a . n Q G lobaln ą  macierz  sztywnoś ci  struktury  otrzymamy  zgodnie  z wzorem  (8)  sumując  od- powiedn io  elementy  macierzy  sztywnoś ci  poszczególnych  elementów. 5.  Uwagi  koń cowe W  przedstawionej  pracy  podan o  sposób  rozwią zania  grubych  pł yt  warstwowych  z  wy- korzystan iem  m etody  elementów  skoń czonych  i  przyję ciem  funkcji  ruchu  dowolnego p u n kt u ja ko  funkcji  trzeciego  stopn ia  zmiennej w  kierunku  gruboś ci  pł yty. P otraktowanie pł yty ja ko  ciał a  z wią zami  dyskretyzacyjnymi  pozwala  w  prosty  sposób  uzyskać  równania równowagi  elementów  skoń czonych  przy  dowolnej  budowie  funkcji  ruchu.  Pozwala  t o również  p o  znalezieniu  rozwią zania  okreś lić  sił y  reakcji  wię zów  wewnę trznych,  które m oż na  wykorzystać  do  sterowania  dyskretyzacją  ciał a  (4). Jak  pokazan o  w  pracy  [6]  zastosowanie  wyż szego  rzę du  rozkł adu wzdł uż  gruboś ci  pł yty daje  znacznie  dokł adniejsze  wyniki  dla  pł yt  warstwowych  o niezbyt  duż ym  stosunku gruboś ci  do rozpię toś ci, bo  wynoszą cym  0,25. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  R .  M .  CHRISTEN SEN , Mechanics of  Composite Materials,  John Wiley  Sons, N ew—York  1979. 2.  S.  KON IECZN Y, B.  M ICH ALAK, Ciał a z cienką warstwą na powierzchni brzegowej, Zesz. N auk. Pł , Budów. Z .  27  1981 s.  31  -  43. 134  B.  MICHALAK 3.  W.  KOTEL,  F .  PIETRAS,  Ocena dokł adnoś ci rozwią zań problemów brzegowych  sprę ż ystych dal dyskre- tyzowanych,  Rozpr.  Inż yn.  22/ 1974 s.  427 -  434. 4.  W.  KOTEL,  Sterowana  dyskertyzacja pł yt  i powł ok, Mech. Teor. i Stos.  14  (1976)  s.  19- 31. 5.  K. H . Lo, R. M. CHRISTENSEN, E. M. WU ,  A High- Order  T heory of Plate Deformation,  P art 1, Jour, of App.  Mech. Vol. 44,  Trans. ASME Vol  99 Series E 1977 s.  663 -   668. 6.  K. H . Lo, R. M.  CHRISTENSEN, E. M. WU , A High- Order  T heory of  Plate Deformation,  Part 2. Jour  of. App. Mech. Vol 44,  Trans. ASME Vol 99 Series  E 1977 s.  669 -  676. 7.  R. L.  SPILKER,  N . I .  M U N I R ,  Comparison  of  hybrid- stress  element throughthickness  distributions  cor- responding  to  a  High- Order  Plate theory, Comp.  Stru.  1980 s.  579- 586. 8.  Cz,  WOŹ N IAK,  Constrained Continuous Media II Discretized Formulation of the Continuous Media  T heory, Bull.  Acad.  Polon Sci. S6r. Sci Techn Vol 21 (1973)  s.  167 - 175. P  e 3  IO  M  e METOJi; KOHE^IHLIX  3JIEMEHTOB  flJM   YTO^H EH H OH   TEOPHH  CJIOH CTblX nJIACTH H MeTOfl  KOH etmtix  ajieiueirroB  HCiionB3OBaH  B pa6oTe  jp ra  npeflCTaBneHHH   pemeH H H   mm. xeopHH   cjioHCTbix  HJiacTHH. ypaBH eiiH H   paBtionecH Ji  H JIH   KOHe^iiMX  3neMeiiT0B  nojiyiieH bi  H3 Ten  c  orpaHHHHUBaiomHMH   CBH SH M H ,  MexaHHKa  KOTopbix  6buia  n o c r p o e n a  X I . BosŁH aKom.  B  pa6oTe yKa3aHa  MaTprnja  JKCCTKOCTH   H JIH   H3onapaMeipiCTtecKKX aneiHeHTOB. S u m m a r y TH E  F IN ITE  ELEM EN T  M ETH OD  F OR LAM IN ATED   PLATES  WITH   A  H IG H - ORD ER TH EORY  OF  PLATE  D EF ORM ATION The  finite  element  method  is  applied  to solution  of  laminated  thick  plates  with  a  high- order  theory of  plate  deformation.  In order  to derive  the equilibrium  equations  of  elements  the theory  of  constrained bodies  has been applied.  The mechanics of  such  bodies  was formulated  by  Cz. Woź niak.  Paper  describes stiffness  matrices  for  isoparametric  elements. Praca został a  zł oż ona w  Redakcji  dnia 1  lipca 1982  roku