Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1/2,  11  (1084) H YBRYD OWA  M E T O D A  E LE M E N TÓW  SKOŃ C Z ON YCH   W  ZAG AD N IEN IU KON TAKTOWYM WIESŁAW  O S T A O H O W I C Z Politechnika  Gdań ska 1.  Wstę p W  pracy  przedstawion o  m etodę   okreś lania  nacisków  w  sprę ż ystych  elementach  kon- strukcyjnych,  które  znajdują   się   w  stanie  fizycznego  kon taktu  pod  wpł ywem  obcią ż eń zewnę trznych  lub  odkształ ceń  począ tkowych. Z akł adam y, że ukł ad rzeczywisty modelujemy  jednocześ nie  odkształ calnymi elementami skoń czonymi  i  sztywnymi  elementami  skoń czonymi  (KRU SZ EWSKI,  [1]),  czyli  stosujemy hybrydową   m etodę   elementów  skoń czonych. Z astosowanie  m etody  elementów  skoń czonych  do  rozwią zania  zagadnienia  kontak- towego  przedstawiono mię dzy  innymi  w  pracy  P ARSO^SA  i  WILSON A,  [2].  CH AN  i  TU BA,  [3] oraz  O H T E ,  [4]  stosowali  m etodę   elementów  skoń czonych  do  rozwią zywania  pł askich zagadnień  kon taktowych .  W  pracy  SCH AFERA,  [5]  przedstawiono  specjalny  element  kon- taktowy,  który  stosowan o  w  rozpatrywanym  t am  modelu  tarcia. M odelowanie  ukł adów  rzeczywistych  jednocześ nie  odkształ calnymi  elementami  skoń- czonymi  i  sztywnymi  elementami  skoń czonymi  umoż liwia  analizę   konstrukcji,  której poszczególne  elementy  cechuje  duża  rozpię tość  sztywnoś ci. Stosowanie  hybrydowej  m etody  elementów  skoń czonych  jest  bardziej  uzasadnione z  pun ktu  widzenia  dokł adnoś ci  obliczeń,  [1]. Z akł adam y, że wł asnoś ci  sprę ż yste  elementów  konstrukcyjnych  okreś la  prawo  H ooke'a. Z godnie  z  tym  prawem  dopuszczalne  są   mał e  przemieszczenia  ukł adu  oraz  liniowa  zależ- n ość  mię dzy  n aprę ż en iami  i  odkształ ceniami elementów. D o  okreś lenia  stan u  naprę ż eń  n a  powierzchniach  styku  stosujemy  kryterium  C oulom - ba.  N a  podstawie  obliczeń  sił   wę zł owych  n a  powierzchni  styku  okreś lamy  jeden  z  trzech przypadków:  poś lizg,  brak  ko n t akt u  lub  adhezję . N a  podstawie  przedstawionych  zał oż eń  opracowano  algorytm  obliczeń  oraz  program kom puterowy  przystosowany  do  analizy  zagadnienia  przestrzennego. 2.  Sformuł owanie  problemu M odel  rozpatrywanego  ukł adu  przedstawiono  n a  rys.  1.  U kł ad  dyskretny  skł ada  się ze sztywnych  elementów  skoń czonych, oznaczonych dalej  przez R F E (Rigid  F inite Elem ent) 136  W.  OSTACHOWICZ Rys.  1.  Model  dyskretny  ukł adu  rzeczywistego oraz  odkształ calnych  elementów  skoń czonych,  oznaczanych  przez  D F E  (D eform able F inite  Element).  Sposób  przeprowadzenia  dyskretyzacji  ukł adu  rzeczywistego  w  tym  przy- padku  przedstawiono  w  pracach  KRU SZEWSKIEG O  [1,  6].  Sztywne  elementy  skoń czone poł ą czone  są .  elementami  sprę ż ysto- tł umią cymi,  których  opis  podan o  w  pracy  [1].  O d- kształ calne  elementy  skoń czone  poł ą czone  są   w  wę zł ach  wedł ug  powszechnie  zn an ych zasad.  Zakł adamy pon adto moż liwość  ł ą czenia sztywnych  elementów  skoń czonych  mię dzy sobą   oraz  R F E i  D F E innym typem  elementu zwanym  G AP  (z  ang.  przerwa). Rozpatrzmy  punkty  p  i  r  znajdują ce  się   n a  powierzchniach  dwóch  elementów  ( R F E lub  D F E ). Jeż eli  istnieje  moż liwość  styku  elementów  w  tych  pun ktach  t o  przyjmujemy, że ł ą czy je  wspomniany  element o nazwie  G AP  (rys.  2). Warunki  kon taktu  rozpatrywane są   przy  zał oż eniu kryterium  poś lizgu  Coulomba.  D la  elementu  G AP  przewiduje  się   trzy moż liwe  rodzaje  warunków  kon taktu:  adhezja  (brak  moż liwoś ci  poś lizgu),  poś lizg  i  u t ra- t a kon taktu. W przypadku  adhezji  lub poś lizgu  G AP odkształ ca się  niezależ nie w  trzech kierunkach, K, 1, ~s  (rys. 3). Model G AP przyjmujemy  zatem jako  ukł ad trzech sprę ż yn ł ą czą cych wspom- niane wyż ej punkty p  i  r.  Osie  tych  sprę ż yn  okreś lają   kierunki  n,  t  oraz  s. Zakł adamy  dalej,  że  sprę ż yny  te  mają   wł asnoś ci  liniowe.  Róż nicę   przemieszczeń  koń- ców  tych  sprę ż yn  okreś la  wektor {Au}  =   col[Au t ,  Au s ,  Au„],  (2.1) gdzie  Au,  i  Au a   oznaczają   róż nicę   przemieszczeń  w  kierunku  osi  t  i  s,  Au„ w  kierunku  n. Oznaczamy przez k t ,  k s   i- /c„  współ czynniki  sztywnoś ci  sprę ż yn  odpowiednio  w  kierun- kach  stycznych  i  kierunku  normalnym.  G AP  może  być  obcią ż ony  w  kierunku  osi  t  i  s obcią ż eniem,  które  powoduje  rozcią ganie  lub  ś ciskanie  sprę ż yn  o  sztywnoś ci  k t   i  k,  na- tomiast  sprę ż yna  o  sztywnoś ci  k„ przenosi  jedynie  obcią ż enia  ś ciskają ce. 2.1  Siły normalne.  Rozpatrzmy  przypadek  styku  ciał   w  pun ktach p  i  r  (rys.  2).  Jeż eli sprę ż yna  o  sztywnoś ci  k„ jest  ś ciskana  t o  sił a n orm aln a N   m a  zn ak  ujemny.  W  tym  przy- HYBRYDOWA  METODA  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH 137 Rys.  2. Element G AP ł ą czą cy  elementy  skoń czone (D F E ,  R F E ) Rys.  3.  U kł ady  współ rzę dnych  zwią zane  z G AP pad ku  moż liwa  jest  adhezja  lu b  poś lizg  n a  pł aszczyź nie  styku.  Jeż eli  sił a N   ma  wartość dodatn ią ,  kon takt  mię dzy  ciał ami jest  przerwany. Róż nicę   przemieszczeń  koń ców  sprę ż yny  o  sztywnoś ci  k„ okreś lamy  zwią zkiem Au„  =   u„ p - u„ r +N T ,  (2.2) gdzie  w„p i  «,„•  oznaczają   przemieszczenia  pun któw p  oraz  r  w  kierunku  normalnym n, N T (n orm al  tran slation )  oznacza  luz  wstę pny  (dla  N T   >  0)  lub  odkształ cenie  wstę pne  (gdy N T   <  0).  Z ależ ność  funkcyjną   mię dzy  obcią ż eniem  i  przemieszczeniem  koń ców  sprę ż yny o  sztywnoś ci  k„ przedstawion o  n a rys.  4. NT Au„ W Ih NT 7 Rys. 4.  Zależ ność  obcią ż enia  od  odkształ cenia  sprę ż yny  o  sztywnoś ci  k n 2.2  Siły styczne.  Sił y  styczne  w  G AP ,  T   i  S,  okreś lone  są   tylko  wówczas  gdy  N   <  0. Jeż eli  wartoś ci  bezwzglę dne  sił   T i  S  są   mniejsze  od iloczynu fc\ N \ ,  (gdzie  JJL   oznacza współ - czynnik  tarcia  C oulom ba)  w  rozważ anym  G AP  nie  wystę puje  poś lizg.  Jest  to  przypadek adhezji  i  wówczas  sił y  wzajemnego  oddział ywania  ciał   powodują   przyrost  przemieszczeń koń ców  sprę ż yn  o  sztywnoś ci  k t ik s . Róż nicę  przemieszczeń  koń ców  sprę ż yn  w  kierun ku  stycznym  okreś lają   zwią zki Au t   =  u tp - u tr - T SL W E, du, =   u sp - u rs - SSL IDE, (2.3) gdzie  M,p, uSp  oraz  w,,,  w„   oznaczają   przemieszczenia  pun któw  p  i  r  w  kierunkach,  s i t , T SL IDE  i  SSL 1DE  okreś lają   poś lizg  wstę pny  G AP odpowiednio w  kierunku  /  i  s. N a  rys.  5a przedstawion o zależ noś ci funkcyjne  mię dzy obcią ż eniem i róż nicą   przemiesz- czeń  koń ców  sprę ż yny  o  sztywnoś ci  k, w  przypadku,  gdy  T SL IDE  «*  0.  N a rys.  5b  przed- 138 W .  OSTACH OWICZ flu -T Rys.  5.  Zależ ność  obcią ż enia  od  odkształ cenia sprę ż yny  o  sztywnoś ci  k, stawiono  tę   samą   zależ ność  w  przypadku  poś lizgu  wstę pnego.  Z azn aczon e  n a  rysun ku wielkoś ci  T SL IDEi  obliczamy  iteracyjnie  ze  zwią zku T SL JDE,  =   ( M t p - M t r ) i - M W r ),  (2.4) gdzie i oznacza kolejny  krok  iteracji. Analogiczne  zależ noś ci  funkcyjne  opisują   przemieszczenie  G AP  w  kierun ku  osi  s.  Poś lizg SSL IDEt  okreś la  zwią zek SSUDE,  -   (u sp -   u w ) t   -   O*|ATf| m .  (2.5) Proces  iteracyjny  okreś lania  stan u  G AP  trwa  do  chwili  gdy  w  kolejnych  dwóch  ite racjach  róż nica  mię dzy  wynikami  obliczeń  (obcią ż enie  G AP  i  jego  ewentualny  poś lizg) mieś ci  się   w  przedziale  z  góry  okreś lonej  tolerancji. 3.  Tworzenie  macierzy  sztywnoś ci M acierz  sztywnoś ci  ukł adu okreś lamy  sumują c  energię   odkształ cenia elementów  sprę - ż ystych  ł ą czą cych  R F E ,  energię   odkształ cenia D F E oraz  elementów  typu  G AP .  Poszcze- gólne elementy skoń czone  ( R F E , D F E  i  G AP )  opisujemy  w  lokaln ych  ukł adach współ - rzę dnych.  Przyjmujemy  nieruchom e, prawoskrę tne  ukł ady  kartezjań skie. W  przypadku  R F E  począ tki  ukł adów  lokalnych  pokrywają   się   w  stanie  równowagi ze  ś rodkami  m as  elementów,  [1], W  pracy  [1]  p o d an o  szczegół owo  sposób  tworzen ia macierzy  sztywnoś ci  elementu.  Sposób  opisu  D F E w jego  lokaln ym  ukł adzie współ rzę d- nych  podan o  w  pracy  BATH E  i  WI LSON A,  [7].  T am  też  przedstawion o  sposób  tworzen ia macierzy  sztywnoś ci  róż nych typów  elementów. Poł oż enie  m odelu  dyskretnego  w  przestrzeni  okreś lamy  w  ukł adzie  globalnym  współ - rzę dnych  (X lt X 2 ,X 3 ).  W  ukł adzie  tym  opisujemy  przemieszczenia  uogóln ion e  ś rodków m as  wszystkich  R F E ,  przemieszczenia  wszystkich  wę zł ów  D F E  oraz  przemieszczenia wę zł ów  G AP .  Istnieje  zatem  konieczność  transformacji  macierzy  sztywnoś ci  elementów z  ich  ukł adów  lokalnych  d o  ukł adu globalnego.  Transform acja  polega  n a  obustron n ym mnoż eniu  lokalnej  macierzy  sztywnoś ci  przez  macierz  współ czynników  kierunkowych. H YBR YD O WA  M ETOD A  ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH 139 M acierz ta w przypadku  m etody  R F E przyjmuje  postać [&,}  = ?,12  0 r 1 3 ]  0  0  0 ? r 2 2  6> r 23i  0  0  0 0 , 3 , !  o  o  .o Sym. ?r22  0, 2 (3.1) gdzie:  & rxfl   =  co s( Xr a , J Q ,  o, /8 =   1, 2, 3, X ra   — oś  ukł adu  lokalnego, Xp — oś  ukł adu  globalnego. W  metodzie  D F E transformacji  dokonujemy  analogicznie jak w metodzie  R F E mno- ż ąc  lokalne  macierze  sztywnoś ci  przez  macierz  współ czynników  kierunkowych [7]. Rys.  6.  Wzajemne  usytuowanie  osi ukł adów  współ rzę dnych  /,  s, n  raz Xi, X 2 , Xi M acierz  sztywnoś ci  G AP  tworzymy  n a podstawie  równ an ia  równowagi  tego  elementu w  lokalnym  ukł adzie współ rzę dnych.  R ozpatrzm y  punkty p  i r  (rys. 6).  N a  rysunku  tym przedstawion o  wzajemne  usytuowanie  lokalnych  współ rzę dnych  t, s, ń i  globalnych  X x , Xx,  X 3 .  Z akł adam y, że kierun ki  osi 1,  ~$,  n w pun ktach ,  które  ł ą czy  G AP są  takie  same. Oznacza  t o , że  macierz  współ czynników  kierunkowych  każ dego  z  dwóch  ukł adów lo - kalnych  zwią zanych  z G AP są  takie  same. R ównanie  równowagi  G AP w lokalnym  ukł adzie współ rzę dnych  przyjmuje  postać {F L }  =   [JTJ  {K Ł },  (3.2) gdzie  '  {F L } T   =  [T p , S fl   N „ T „ S„ N r ], { "i )  =   [MJp>  wsp>  unp>   utr>   w i ri  wnrj> 0 0 - *, 0 0 0 K 0 0 - k, 0 0 0 K 0 0 — fc - K 0 0 K 0 0 0 - K 0 0 K 0 0 0 - *. 0 0 fc. 140 W .  OSTACH OWICZ Równanie  (3.2)  sprowadzamy  do ukł adu  globalnego.  N a  podstawie  rys.  6  otrzymujemy {u L }  =   [0,]  {««},  (3.3) gdzie przy  czym =   bhpt  M2p»  M3p> Wir> U 2r ,  U 3r ], P> fi  '  n  n  o i i i  ^ ^ 112  ^ ^ il.3  i  "  *̂   ^ &122  <5><23|  0  0  0 © i 3 3 i  0   0   0 Sym. &122 0 =   1 , 2 , 3 . Wektor  sił  wę zł owych w globalnym  ukł adzie współ rzę dnych przyjmuje  postać gdzie (3.4) a wektor  {F L } okreś la  2wią zek  (3.2). M noż ąc lewostronnie  równanie  (3.2) przez  macierz  [<9;]r n a  podstawie  (3.4)  otrzymujemy {F G }  =   [€>t] T[KL]  {uL}.  (3.5) Podstawiają c  (3.3) do zwią zku  (3.5)  otrzymujemy {F G }  =   [K G ]{u 0 } t   (3.6) gdzie  [K G ] jest globalną   macierzą   sztywnoś ci  elementu typu  G AP o postaci [K u ]=  [0 t MK L ][0 t ].  (3.7) Jeż eli  jeden  z  punktów  elementu typu  G AP (p lub  r) znajduje  się  n a  powierzchni  R F E , t o  wektor  przemieszczeń  tego  pun ktu  przedstawiamy  w  funkcji  współ rzę dnych  uogóln io- nych  R F E za pomocą   zwią zku {u L }=[0 rl ][B ri ){q r },  (3.8) gdzie © F / i.l  &rli,2  © rll.S 6> r(2,2  6>rI2.3 Sym. o o o  o 0  0 0  0 0 ®m,i  ®ftt,2  &HUZ &rt2.2  ®rl2.3 no  *   o. H YBR YD O WA  M ETOD A  ELEM EN TÓW SKOŃ C Z ON YCH 141 [Bri]  = 1 0  0  0 0  1  0  - 6„ 0  0  1  b rl2 0  0  0  1 0  0  0  0 0  0  0  0 b r ti 0 0 0 1 przy  czym {9r} T .  =   [?r l»  • • • ,<7r6]. @rl0,l  -   c O S ( A/ i l 3 ,  O , 6>rl/ 3>3  =   cos(XL / , , n ), dla  /S =   1, 2,  3. Elementy wektora  {q r }  okreś lają   współ rzę dne uogólnione  R F E , X L ?   i  b rl 0  =   1, 2,  3) odpowiedn io  osie  współ rzę dnych  lokalnych  R F E  i  współ rzę dne  pun ktu  zamocowania G AP  (rys.  7). R ys.  7.  U kł a d  osi  / ,  *,  n  oraz  AW,  - ^ 2, - -̂ W  przypadku  m odelowan ia  styku  brył   z  elementem  odkształ calnym  przyjmujemy,  że jeden  z  koń ców  G AP  znajduje  się   w  wę ź le  D F E , stą d  przemieszczenie  tego  pun ktu  jest zgodne  z  przemieszczeniami  wę zł a. M acierz  sztywnoś ci  cał ego  ukł adu  tworzymy  sumują c  lokalne  macierze  sztywnoś ci, tran sform owan e  do  u kł ad u  globalnego,  wedł ug  powszechnie  znanych  zasad  [1,  7]. 4.  M odel  poś lizga  G AP P rzypadek  poś lizgu  G AP  wymaga  innego  sposobu  modelowania  sztywnoś ci  elementu. Zależ noś ci  funkcyjne,  n a  podstawie  których  m odelowan o  przypadek  adhezji  (rys.  4,  5) wymagają   modyfikacji  koniecznej  z pun ktu widzenia  skutecznoś ci  obliczeń  numerycznych. 142 1 J J |R | / T AUt Rys.  9. Zmodyfikowana  zależ ność  obcią ż enia  i  odkształ cenia  sprę ż yny  o  sztywnoś ci  k, W  przypadku  rozwarcia  pun któw  styku  nie  m oż na przyją ć,  że  sprę ż yny  obcią ż one  w  kie- run ku  norm alnym i  kierunkach  stycznych  mają   zerową   sztywność  ponieważ  prowadzi  t o do  niestabilnoś ci  procedury  iteracyjnej. W  sytuacji,  gdy  sił a  n orm aln a  osią ga  wartość  dodatn ią   przyjmujemy,  źe  sprę ż yna  m a niewielką   sztywność  (w  stosun ku  do  sztywnoś ci  k„). P odobn ie, gdy  sił y  styczne  osią gają wartoś ci  p\ N \  przyjmujemy  niewielką   sztywność  sprę ż yn  stycznych  (w  stosun ku  d o  sztyw- noś ci  k t   i  k s ).  Z modyfikowane  zależ noś ci  funkcyjne  mię dzy  obcią ż eniem  i  przyrostam i przemieszczeń  koń ców  sprę ż yn  przedstawiono  n a  rys.  8  i  9.  N a  podstawie  tych  zależ n oś ci sił y n orm aln e i  styczne, które  obcią ż ają   G AP przyjmują   wartoś ci N   = k n -  Au„,  dla  Au n   <  0, N   =   R I G I D   - k n  •   Au n ,  dla  Au n   >  0, (4.1) oraz T   =   0, T =k t - Au t , i dla  Au„  >  0, d la  \ k t - Au t \   <  fi\ N \ , (4.2) H YBR YD O WA  M ETOD A  ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH   143 gdzie  sign  =   + 1 ,  dla  Au,  >  0, sign  =   — 1,  dla  Au,  <  0, S  =   0,  dla  Au,  >  0, S  =   k s   •   Au s ,  dla  \ k s  •   ń u s \   < ft\ N \ , S  =   sign Y\ N \  + RIG ID  •   k s  - l\ / lu.\ -   - ^ - j  1,  (4.3) gdzie  sign  -   + 1 ,  dla  Au s   >  0, sign  =   — 1,  dla  Au s   <  0. 5.  Zbież ność  iteracji Zbież ność procedury  może być  okreś lona  n a podstawie  obserwacji  stanu każ dego  G AP oraz  każ dego  elementu  skoń czonego,  czyli  modelu  dyskretnego  konstrukcji.  Obserwacja dotyczy  stan u  naprę ż eń  i  przemieszczeń  w  wę zł ach  elementów  oraz  stanu  wszystkich G AP  w  kolejnych  iteracjach. Stan  G AP u  oznaczony  przez  I F L AG  okreś lamy  nastę pują co I F L AG   =   1  przypadek  adhezji, I F L AG   =   2  przypadek  poś lizgu, I F L AG   =   0  przypadek  utraty  kon taktu. Z akoń czenie  procedury  obliczeń  nastę puje  w  momencie,  gdy  w  kolejnych  dwóch  iterac- jach  róż nica  mię dzy  wynikami  obliczeń  (obcią ż enie  G AP  i  jego  stan)  mieś ci  się   w  prze- dziale  z  góry  okreś lonej  tolerancji. 6.  Komputerowy  program  obliczeń N a  rysunku  10  przedstawion o  schemat  blokowy  program u  komputerowego.  P rogram ten  skł ada  się   z  9  m oduł ów i  w  obecnej  wersji  stosowany  był   do  analizy  ukł adu  hybrydo- wego,  zł oż onego  z  R F E  i  D F E  typu  pł ytowego.  M oduł y  program u  napisano  w  ję zyku F ortran - 4.  P rogram  P L AR F E  jest  program em  gł ównym.  W  programie  tym  podaje  się dan e  wielkoś ci  fizycznych  i  geometrycznych,  które  opisują   kontaktują ce  się   ciał a.  Okreś- lam y  w  n im  równ ież  współ rzę dne  wszystkich  potencjalnych  pun któw  styku  ciał   (elemen- tów  G AP ).  Podajemy  współ czynniki  sztywnoś ci  sprę ż yn  każ dego  G AP ,  współ czynniki tarcia,  luzy  wstę pne  oraz  ewentualnie  wstę pny  poś lizg.  P on adto  okreś lamy  maksymalną liczbę   iteracji  oraz  zakres  tolerancji  zbież noś ci  wyników. Lokalne macierze  sztywnoś ci  elementów  typu  D F E tworzymy  w  podprogram ie  P LAT E a  macierze  sztywnoś ci  R F E  okreś la  podprogram  ST I F R E .  P odprogram  P LATE  opraco- wan o  n a  podstawie  algorytm u  przedstawionego  w  pracy  D ESAI ,  [8]. P odprogram  P LAT E współ pracuje  z  m oduł am i  C AR VD E  i  SI M U L,  które  realizują   operację   odwracania i  m noż enia  macierzy. 144 W.  OSTACHOWICZ I  Wczytanie  danych  j Tworzenie  lokalnych  macierzy sztywnoś ci  FE T Tworzenie  lokalnych macierzy  j sztywnodci  RFE  { Tworzenie  globalnej macierzy sztywnoś ci  uktadu |   Wprowadzenie sztywnoś ci GAP  | - 1-   II [   Rozwią zanie  równań równowagi \ - ~ :  ~ ~  i.  • -  ~ ~ Okr eś lenie  p r zem ieszc zeń  wg zf ó w  | PLATE STIRFE ASSCMB SOLVG LOGIC Rys.  10.  Schemat  blokowy  programu  komputerowego G lobalną   macierz  sztywnoś ci  okreś la  podprogram  ASSE M B.  W  kolejnym  etapie realizacji  obliczeń  rozwią zujemy  równ an ia  równowagi  ukł adu.  Z ad an ie  to  realizuje  pod- program  SOLVG ,  który  opracowano  n a  podstawie  m etody  rozwią zywania  u kł ad u  lin io- wych  równań  algebraicznych  (metodą   eliminacji  G aussa). N a  podstawie  wyników podprogram u SOLVG   podprogram  L O G I C okreś la  przemiesz- czenia  i  obcią ż enia  elementów  typu  G AP .  P on adto  okreś la  o n  stan  G AP ,  czyli  param et r I F LAG .  P odprogram  L O G I C  zmienia  sztywność  G AP  wedł ug  zależ noś ci  funkcyjnych z  rys.  8 i  9. Obliczenia  stanu  G AP  mają   charakter  iteracyjny.  P roces  ten  koń czy  się   w  przypadku gdy  wyniki dwóch  kolejnych  kroków  iteracji  mieszczą   się   w  okreś lon ym  zakresie  toleran cji. Wówczas  podprogram  STRESS  oblicza  n aprę ż en ia  w  wybranych  pun ktach  i  koń czy  się realizacja  program u.  P rogram  koń czy  obliczenia  równ ież  w  przypadku ,  gdy  liczba  iteracji przewyż sza z  góry  zał oż oną  wartoś ć. 7.  Przykład Okreś lić  przemieszczenia  wę zł ów  elementów  typu  D F E ,  elem en tu  R F E  oraz  G AP ukł adu  przedstawionego  n a  rys.  11.  P o n ad t o  okreś lić  sił y  n orm aln e i  styczne  w  pu n kt ach HYRBYDOWA  METODA  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH 145 Rys.  11. Model  dyskretny  ukł adu  obliczeniowego A1- A6  oraz  ich  stan  (param etr I F LAG ) .  Wymiary  elementów  D F E i  R F E przedstawiono n a  rys.  11. Przyję to  nastę pują ce  dane  liczbowe —  dł ugość D F E  a  =   0,1  m —  szerokość  D F E  b  — 0,1  m —  grubość  D F E  h  =   0,015  m —  dł ugość R F E  a t   =   0,2  m —  szerokość  R F E  b t   =   0,1  m —  wysokość  R F E  h ±   =   0,1  m —  m oduł  You n g'a  E  =  0,21  •   101 2  N / m 2 —  liczba  P oisson a  v  =  0,3 a) Rys.  12. N umery  wę zł ów  D F E  oraz  przemieszczenia  RF E Elementy  typu  D F E  mają   jedn akowe  wymiary  i  wł asnoś ci  fizyczne.  Są   to  pł ytowe elementy  prostoką tn e,  cztero wę zł owe,  o  trzech  stopniach  swobody  w  wę ź le.  Opis  tego elementu  znajduje  się   w  pracy  Z I E N K I E WI C Z A,  [9].  _ Sztywny  element  skoń czony  R F E  obcią ż ają   dwie  sił y,  w  kierunku  stycznym  F T   i  kie- ru n ku  n orm aln ym  F N   (rys.  11).  Przyję to  stał ą   wartość  sił y  F K   «=  2-   10s  N .  Waitość  sił y FT  zmienia się   wedł ug tablicy  3. 10  M ech . T eoret.  i  Stos.  1—2/ 84 146 W .  OSTACH OWICZ Tablica 1 M umur IN  U Ł U Ci wę zta t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 U cm 0,000 0,483 0,480 0,754 0,483 0,755 0,000 0,480 0,636 0,741 0,741 0,636 0,463 0,706 0,706 0,463 0,000 0,425 0,425 0,000 I  iteracja \ 3yli rad 0,0565 0,0291 0,0299 0,0175 - 0, 0291 - 0, 0175 - 0, 0565 - 0, 0299 0,0101 0,0075 - 0, 0075 - 0, 0101 0,0265 0,0155 - 0, 0155 - 0, 0265 0,0497 0,0256 - 0, 0256 - 0, 0497 I8z\ rad - 0, 0548 - 0, 0303 - 0, 0337 - 0, 0128 - 0, 0303 - 0, 0128 - 0, 0548 - 0, 0337 0,0013 0,0030 0,0030 0,0013 0,0336 0,0156 0,0156 0,0336 0,0523 0,0308 0,0308 0,0523 z, cm 0,000 0,430 0,769 0,989 0,430 0,989 0,000 0,769 1,060 1,170 1,170 1,060 0,746 0,924 0,924 0,746 0,000 0,354 0,354 0,000 V  iteracja (£), rad 0,0501 0,0260 0,0221 0,0147 - 0, 0260 - 0, 0147 - 0, 0501 - 0, 0220 0,0079 0,0086 - 0, 0086 - 0, 0079 0,0176 0,0121 - 0, 0121 - 0, 0176 0,0411 0,0214 - 0, 0214 - 0, 0411 \ 8xjt rad - 0 , 0 8 54 - 0 , 0 5 94 - 0 , 0 5 84 - 0, 0419 - 0 , 0 5 94 - 0, 0419 - 0 , 0 8 54 - 0 , 0 5 84 0,0018 0,0039 0,0039 0,0018 0,0584 0,0455 0,0455 0,0584 0,0820 0,0601 0,0601 0,0820 R ys.  13.  P rzem ieszczen ia  wę zł ów  pł yty  w I  iteracji Wł asnoś ci  sprę ż yste  elementów typu  G AP są  jedn akowe i wynoszą  odpowiednio k N   =   0,2 •   101 0  N / m , k T   =   0, 2- 109  N / m . Współ czynnik tarcia G AP przyję to równy p- 0,1. W  tablicach  1 -  3  przedstawiono wyniki  obliczeń. W  tablicy  1 zestawiono przemiesz- czenia  wę zł ów elementów skoń czonych dla  obcią ż enia F T   =   18 •   103  N .  N um erację wę z- ł ów  przedstawiono n a rys.  12a. W pierwszej  kolum nie tej tablicy  oraz n a rys.  13 przedsta- wiono  wyniki  pierwszego  kroku  iteracji.  W  drugiej  kolum nie zestawiono  wyniki  pią tego kroku  iteracji.  Wyniki  te przedstawiono graficznie  n a rys.  14. Tablica  2 Iteracja I V Przemieszczenia « i cm 0,0140 0,0188 cm 0,7350 0,9590 rad 0,00246 0,00326 Tablica  3 GAP Al A2 A3 A4 A5 A6 F T  =  12 000  N JV [N] f[N] IFLAG 51500 3000 1 51  500 3000 1 0 0 0 0 0 0 48 500 3000 1 48 500 3000 1 Fr  =  14 000  N N  [N] T  [N] IFLAG 51750 3 500 1 51750 3 500 1 0 0 0 0 0 0 48 250 3 500 1 48 250 3 500 1 JV  [N] T  m FLAG 52 000 4 000 1 F j 52 000 4000 1 • =  16 000  N 0 0 0 0 0 0 48 000 4000 1 48 000 4000 1 F r  =  18 000  N N  [N] T  [N] IFLAG 52 250 4 500 1 52 250 4 500 1 0 0 0 0 0 0 47 750 4500 1 47 750 4 500 1 N  m T  [N] IFLAG 52 500 0 2 F, 52500 0 2 •  =  20 000  N 0 0 0 0 0 0 47 500 0 2 47 500 0 2 10* [147] 148 W.  OSTACHOWICZ Ac  ^ A / . ' / / / / / i 7 / Rys.  14. Przemieszczenia  wę złów  pł yty  w  V  iteracji W  tablicy  2  przedstawiono  przemieszczenia  R F E w  pierwszym  i  pią tym  kro ku  iteracji dla  obcią ż enia  jak  wyż ej.  Przemieszczenia  gt  (i  =   1, 2, 3)  przyję to  zgodnie  z  rys.  12b. W  tablicy  3  zestawiono  wyniki  obliczeń  dla  pię ciu  warian tów  obcią ż enia.  Elem enty typu  G AP  oznaczono jak  n a rys.  11. Sił ę  normalną   w  G AP  oznaczono przez  N   n atom iast sił ę  styczną   przez  T . Stan  G AP okreś lamy  param etrem I F LAG  zdefiniowanym  w  rozdz.  5. Wyniki  obliczeń  zamieszczone  w  tablicy  3  otrzym ano  po  5  krokach  iteracji.  Obliczenia przeprowadzono  n a  komputerze  ICL- 4. Łą czny  czas  obliczeń  cał ego procesu  iteracyjnego nie  przekroczył   3 m in ut. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J. KRUSZEWSKI  i inni, Metoda sztywnych  elementów skoń czonych, Arkady,  Warszawa 1975. 2.  S.  PARSONS,  E. A.  WILSON ,  Finite element  analysis  of  elastic contact problem using differential  displa- cements,  I n t. Jour, for N um.  M eth. in Eng., vol.  2,1970, str. 387 -  395. 3.  S. K.  CH AN ,  T. S.  TU BA, A finite element method for  contact problems of  solid bodies— Parts I , I I ,  I n t. Jour.  Mech. Sol., vol.  13, 1971,  str.  615- 639. 4.  S. OH TE, Finite element analysis of  elastic contact problems,  Bull, of JSM E, vol. 16, 1973, str. 797 -  804. 5.  H . SCHAFER,  A  contribution  to the solution  of  contact problems with the aid of  bound elements,  Comp. M eth.  in Appl.  Mech.  and Eng.,  vol. 6,  1975,  str.  335 -  354. 6.  J.  KRUSZEWSKI  i  inni, HESAS  — system obliczeń  konstrukcji oparty na metodach  elementów  skoń czo- nych,  Mechanika  i  Komputer,  t.  1,  1978, str.  81 - 100. 7.  K. J.  BATH E,  E. L.  WILSON , N umerical methods infinite element analysis,  Prentice- H all, Inc.  Englewood Cliffs,  N ew  Jersey 1976. 8.  C. S. D ESAI,  Finite Element Methods,  Englewood  Cliffs,  N ew  Jersey, 1979. 9.  O. C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa, 1972. P  e 3 io  M  e METOJI,  K OH E 'qH OrO  3JI E M E H T A  B  KOH TAKTH LI X  3A# A*I AX B pa6oie npeflwaBJieHo  MCTOA onpeflejiernra  KOHTaKn&ix flaBJiemrii B ynpyrax sneiweHTax KOHcrpyK- ,  KOTOpfeie  HaXOflHTCH   B  COCTOHHHH   CpH3HKeciKHx 9JleiWeHT0B. Bo  Bcex  cjiyqaax  Kor/ ja  cym ecrByei  BO3MO>KHOCTŁ  KOHTaKTa Ten ,  M M  BBoflHM   ^acTH tiii  KOHe^HBift ajieiweirr  o6o3naiieH H wii G AP . Kpoi(ep,ypa  onpefleneniiH   COCTOHHIW  Hanpa>KeHHfl H  fle