Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M E C H AN I KA TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1/2,  22  (1984) D RG AN IA  U KŁAD U   SAM OWZ BU D N E G O  Z  WYM U SZ EN IEM P AR AM E TR YC Z N YM   I  N I E LI N I OWĄ   SP RĘ Ż YSTOŚ CIĄ KAZ IM IERZ  S Z A B E L S K I Politechnika  L ubelska W  pracy  rozpatrzon o  drgania  z  mię kkim  samowzbudzeniem,  wymuszeniem  parame- trycznym  oraz  nieliniową   charakterystyką   sprę ż ystoś ci  typu  sześ ciennego.  Rozważ ając problem y  istnienia  i  statecznoś ci  rozwią zań  równ an ia  róż niczkowego,  okreś lono  efekty wzajemnego  oddział ywania  drgań  samookresowych.  Stwierdzono  mię dzy  innymi  zanik- nię cie  drgań  samowzbudnych  w  okreś lonym  przedziale  czę stoś ci  wymuszenia  parametrycz- n ego.  Badan ia  analityczne  przeprowadzono  przy  pewnych  zał oż eniach  upraszczają cych a  ich  wpł yw  n a  wyniki  okreś lono  n a  drodze  modelowania  analogowego. 1.  Wstę p W  zagadnieniach  drgań  mechanicznych  wyodrę bnić  moż na ukł ady  o  zmiennych  okre- sowo  param etrach  z  jednoczesną   moż liwoś cią   generowania  drgań  samowzbudnych. W  przypadkach  takich  nastę puje  wzajemne  oddział ywanie  dwóch  rodzajów  drgań  samo- okresowych:  param etryczn ych  i  samowzbudnych.  P roblemami  takimi  zajmowali  się N .  M I N OR SKI [1],  W.  O.  KON ON I EN KO  i  P .  S.  KOWALCZ U K  [2],  [3]  oraz  A.  T O N D L  [4]. D rgan ia  tego  typu  charakteryzuje  —  dla  okreś lonych  warunków  —  zaniknię cie  drgań  sa- m owzbudn ych.  Z  tego  wzglę du,  zjawisko  to  może  mieć  istotne  znaczenie  praktyczne. P rzytoczyć  m oż na wiele ukł adów, których  drgania  opisują   równ an ia róż niczkowe  zawiera- ją ce  czł ony równ an ia  Rayleigha  lub  Van  der  P ola  oraz  równania  M athieu lub  H illa. N a- leżą   do  nich  mię dzy  innymi  ukł ady  mechaniczne,  których  modele  fizyczne  przedstawić m oż na  w  postaci  wah adł a  F ro u d a  [4],  [5]  z  okresowo  zmiennym  w  kierunku  pionowym poł oż eniem  p u n kt u  zawieszenia  bą dź  w  postaci  prę ta,  ś ciskanego  sił ą   zmienną   okresowo z  jednoczesnym  jego  opł ywem  przez  gazowy  lub  ciekł y  oś rodek  [4]. Przyczyny  powstawan ia  drgań  samowzbudnych  w  ukł adach mechanicznych  [6],  mogą być  ró ż n e:  tarcie  suche,  sm arowanie  ł oż ysk  ś lizgowych  cienką   warstwą   oleju,  wewnę trzna histereza  wał ów,  bą dź  przejawiać  się   w  postaci  flatteru,  wę ż ykowania  kół  pojazdów  lub drgań  podczas  skrawan ia.  D rgan ia param etryczne powstają   najczę ś ciej  n a skutek  okresowo zmiennej  sztywnoś ci  lub  periodycznie  zmiennego  masowego  momentu bezwł adnoś ci.  T ak wię c,  zakres  ukł adów  w  których  oddział ywują   n a  siebie  oba  rodzaje  tych  drgań  jest  dość 1 7 2  K.  SZABELSKI znaczny.  D o  przypadków  takich  należą  mię dzy  in n ym i:  drgan ia  sprzę ż one  wirują cego w  ł oż yskach  ś lizgowych  wał u  którego  sztywność  przy  zginaniu  jest  okresowo  zm ien n a n a  skutek  róż nych  gł ównych  m om entów  bezwł adnoś ci  przekroju,  drgan ia  podczas  t o - czenia  pryzmatycznego  prę ta,  drgania  skrę tne  wał ów  korbowych  przy  uwzglę dnieniu okreś lonego  momentu tarcia  w  ł oż yskach  ś lizgowych  oraz  zm iany  m om en tu bezwł adnoś ci mas  ukł adu  korbowo- tł okowego,  drgania  sprzę ż one  przedniego  koł a  sam ochodu  przy okresowo  zmiennej  sztywnoś ci  promieniowej  ogumienia,  spowodowanej  niejednorodnoś- cią  budowy  opony  [7]. W  konkretnym  przypadku  ukł adu,  efekty  oddział ywania  obu  rodzajów  drgań  sam o- okresowych  zdeterminowane  bę dą  strukturą  modelu  matematycznego  oraz  wartoś cią współ czynników  sprzę gają cych  poszczególne  współ rzę dne  uogóln ion e. Rozpatrzmy  drgania  ukł adu  opisane  równ an iem  róż niczkowym  zawierają cym  czł ony równania  Van  der  P ola  [4],  [5],  [8] i  równania  M athieu  [5],  [6]  oraz  nieliniową  sił   sprę- ż ystoś ci  typu  sześ ciennego mx t —(a 0 - a 1 xj)x l   + (c~c 0 cos2cot)x 1   + c t xl  =   0,  (1) gdzie: m —  masa, a 0   i  a t   —  współ czynniki  tł umienia Van  der  Pola, c —  sztywność  ś rednia, c 0   —  amplituda modulacji  sztywnoś ci, c x   —  współ czynnik  nieliniowoś ci, co —  czę stość  wymuszenia  parametrycznego. Wprowadzając  czas  bezwymiarowy r  =   cot, oraz  oznaczenia P 2 fit  — 7 x  = c m CiXl c ~x '̂ X 01*0 mp x0  = co _£o_ c a 0 c (2) P  ' równanie  (1)  przyjmuje  postać  zapisaną  we  współ rzę dnej  bezwymiarowej A2 x- A( a - / ? x2 ) x+ ( l- / a c o s2 T ) ; c + y; r s  =   0,  (3) gdzie u  d2x D R G AN I A  U K Ł AD U   SAM OWZ BU D N EG O  173 2.  Badania  drgań  metodą   analityczną P rzeprowadź my  analizę   drgań  ukł adu  w  zakresie  gł ównego  rezonansu  parametrycz- nego.  Z  tego  wzglę du  przyjmujemy  rozwią zanie  równ an ia  (3)  w  postaci x  =  AcosQT +BxCosr  + BiS'mr  (4) w  którym  (drgan ia  samowzbudne  aproksym owano  funkcją   harmoniczną ) A —  am plituda drgań  samowzbudnych, B L   i  B 2   —  skł adowe  am plitudy  drgań  parametrycznych, Q  —  czę stość  drgań  samowzbudnych. P odstawiają c  rozwią zanie  (4)  do  równ an ia  (3),  po  przekształ ceniach  i  uwzglę dnieniu  że am plituda  drgań  param etrycznych  okreś lona jest  zależ noś cią R  =\ / Bj+Bl a  nastę pnie przyrównują c  do  zera  wyrazy  z  cos T,  sin r,  cosi3r,  sinQr,  otrzymujemy =   0,  (5) 0,  (6) 2  = 0 ,  (7) X [«- i- / +̂ ^ ij2) ] jB l  + J 1 +  ̂ . ̂ - A'+ ly^ + ljp J JA  =  0.  (8) Z  powyż szych  zależ noś ci  wynika,  że istnieją   rozwią zania: trywialne  dla  którego  A  =   0;  B x   =   B 2   =  R  =  0 pół trywialne  A  ^  0;  R  =   0 pół trywialne  A  =   0;  R  ±   0 nietrywialne  ^  ^  0;  i?  ^  0. P odstawiają c  w  równ an iach  (5) i  (6) R  =  0,  znajdujemy A = 2'\ / j'  ( 9 ) o r a z 1  •   ( 10) Ską d  czę stość  drgań  samowzbudnych  w  czasie  rzeczywistym  wynosi - j  =   con st.  (11) W  przypadku  rozwią zania  nietrywialnego,  am plituda  drgań  samowzbudnych —  po  wy- korzystaniu  równ an ia  (6) —  wynosi 174  K .  SZABELSKI Uwzglę dniając  również  zależ ność  (5)  znajdujemy  czę stość  drgań  samowzbudnych  dla i ^ 0 ; i ? ^ 0 w  postaci  (10). Oznacza t o , że poszukiwana  czę stość drgań  samowzbudnych jest dla danego ukł adu stał a i nie zależy  od czę stoś ci  wymuszenia  parametrycznego. Z rów- nania  (12)  wynika,  że amplituda  drgań  samowzbudnych  zależy  od amplitudy  drgań pa- rametrycznych. D rgania  samowzbudne  zanikną   gdy (13) natomiast  bę dą   istniał y w  przypadku  speł nienia warunku Zamiast parametru  X wprowadź my ^ = 1  =  ̂ .  (15) / co Równanie róż niczkowe  (1) przyjmuje  wtedy  postać x- X x (.a- ^ x 2 )x+kl[(l~ficos2r)x+yx 3 ]  =  0.  (16) Przedstawmy  zależ ność  (15) w formie A? =  1 +  0;  ^ w l + y ,  (17) gdzie  d jest  wariacją   czę stoś ci  wymuszenia  parametrycznego.  Podstawiają c  wyraż enia (17) do  (16)  przy  uwzglę dnieniu, że «, /?, y, fi, d są  znacznie  mniejsze  od jedn oś ci,  otrzy- mujemy x—(a—px  )x+(l  + d—/ icos2r)x+yx3  =  0.  (18) W  przypadku  tym pominię to  wyrazy  zawierają ce  iloczyny  dwóch  mał ych  param etrów ukł adu.  Ponieważ  wartoś ci  tych  wyrazów  determinują   również  wielkoś ci  kinematyczne drgań,  dlatego  porównajmy  wyniki  badań  równania  (18)  wzglę dem  (16).  Tak  wię c  uję te zagadnienie,  umoż liwia  także  ocenę   wpł ywu  pomijania  tego  typu  wyrazów  n a  wyniki badań.  Podstawiają c  rozwią zanie  (4) do równania  (18) po przekształ ceniach  znajdujemy (19) (20) 2 =  0,  (21) =   0 .   (22) D la rozwią zań A #   0, R -   0 oraz A  #   0, R #  0 z równań  (19) i  (20) znajdujemy  wyraż e- nie  okreś lają ce  amplitudę   drgań  samowzbudnych — identyczne  jak w  przypadkach (9) D RG AN IA  UKŁADU   SAMOWZBUDNEGO  175 oraz  (12). Czę stość  drgań  samowzbudnych  w  tym  przypadku  oznaczmy  przez  Q lt   okreś la ją   zależ ność ~  ,   (23) lub  w  czasie  rzeczywistym W  odróż nieniu od  (11), w  uję ciu  tym  czę stość  drgań  samowzbudnych  wyraż ona jest  rów- nież  przez  wariację   czę stoś ci  wymuszenia  parametrycznego.  Podkreś lić  należ y,  że  odchy- lenie  wzglę dne  obliczonej  z  (24)  czę stoś ci  drgań  samowzbudnych  w  odniesieniu  do  (11) jest  nieznaczne, gdyż  o jego  wartoś ci  decyduje  tylko  iloczyn  pd. W  przypadku  A  — 0, R  #   0  z  równań  (21) i  (22)  otrzymujemy ską d  znajdujemy lub * * • »-   9y2 + ^   ~ gdzie 2 [2  \ 4  /   [ 2  \ 4  /   J  )' D la  rozwią zania  nietrywialnego,  wykorzystują c  zależ ność  (12) z  równ ań  (21) i  (22)  otrzy- mujemy (26) gdzie Aby  am plitudy  drgań  był y rzeczywiste,  muszą   być  speł nione  warunki A x   >  0;  A 2   >  0, co  prowadzi  do  wspólnej  nierównoś ci 9 p-   \ J  • 17 6  K.  SZABELSKI W rezultacie  znajdujemy 3.  Zagadnienie  statecznoś ci Zbadajmy  metodą   analityczną   stateczność  rozwią zania  A  = 0;  R #  0.  P rzypadek ,4 #  0;  .R =  0 —  z  mię kkim  samowzbudzeniem — odpowiada  niestatecznemu  poł oż eniu równowagi  i statecznemu cyklowi granicznemu  [1]. Wprowadź my  do rozwią zania  x(r) zaburzenie  dx = y(r), p o  czym  otrzymamy x(x)  = x(r)+y(r) Wykorzystują c  równanie  (18)  znajdujemy y- (a.- Px 2 )y+2pxxy+(l  + d- - / j,cos2T +3yx 2 )y  =  0. Podstawiają c  nastę pnie x  = .BiC osr+ .BjSin T, ró wn an ie  w wariacjach  przyjm uje  p o st a ć y+y  ( ' ' + ' ' C o s 2 T + r s m 2 ) j '  +  ( + J C 2 + s m 2 )  (28) gdzie l / S i ? 2 ;  r L   =  - L ,  s Q =  - id+^ - yR 2 ),  (29) lub w formie  skróconej Podstawiają c otrzymujemy  równanie dla  którego,  wykorzystują c z D R G AN I A  U KŁ ADU   SAM OWZ BU D N EG O  177 znajdujemy (s 0 - Q 2 ) 2 - - \ -  (s, -   r 2 f  + (r 0 -   2 e ) 2   - 1  (r, +  * 2 ) 2  =   0. Rozwią zując  powyż sze  równ an ie,  otrzymujemy W  rezultacie, warun ki  statecznoś ci  przyjmują  postać 1 4u   <  0;  rg  >   T l ( J i - r2 ) 2  +  ( / - 1 + 5 2 ) 2 ] - .̂  (30) U wzglę dniając  zwią zki 2 i " gdzie p o  wykorzystaniu  zależ noś ci  (29), znajdujemy  warunki  statecznoś ci  rozwią zania ± 3y}/ M "+ / ? ( a - - i- / ? i?2 )  <  0.  (32) 4.  Przykł ady  liczbowe  i  badania  analogowe W  celu  ilustracji  wyników  badań  analitycznych  obliczono  amplitudy  drgań  w  funkcji wariacji  czę stoś ci  wymuszenia  param etrycznego. Przyję to  nastę pują ce  wartoś ci  współ czynników  bezwymiarowych a  =   0, 01;  £   =   0,05;  y  =   0, 01;  ^  =   0, 1. Wyniki  obliczeń  ilustruje  rys.  1. W  okreś lonym  zakresie  czę stoś ci  wymuszenia  parametrycznego  nie  wystę pują  drga- n ia  samowzbudne,  n atom iast  krzywe  amplitudowe  dla  rozwią zań  , 4 = 0 ,  R  ^   0  oraz A  ^   0,  R  T& 0  przecinają  się  dla  am plitudy drgań parametrycznych i?  =   1 /   2- ^-.  Od  tej wartoś ci  —  zgodnie  z  warun kiem  (31) —  dla rozwią zania  A  =  0, R  ^   0  drgania  stateczne dotyczą  czę ś ci  krzywej  am plitudowej  zaznaczonej  linią  grubą.  G ranica  statecznoś ci  okreś- lon a  jest  n a  wykresie  R(d)  styczną  pionową  (32).  P odkreś lić  należ y,  że  wzrostowi  <5  od- 12  M ech .  Teoret.  i  Stos.  1—2/ 84 178 K .  SZ ABE L SK I R A 2.0 1.5- 1 . 0 - 0 . 5 - 1   ! R ^ I T A  0- Wol 'il 1  f l i r\ \ \ R.-V • •   i / I 1 \ A 1 VO f • - 0.12  - OXIi  0  0.04 Rys.  1 0.12  6 Rys.  2 powiada  malenie czę stoś ci  wymuszenia  parametrycznego  (15),  (17) i  odwrotn ie. T ak  wię c, charakter  przebiegu  R(6)  dla  A  =   0;  R  ^   0  odpowiada  sztywnej  charakterystyce  sprę - ż ystoś ci. Równania  (16)  i  (18)  poddan o  także  analizie  na  maszynie  analogowej.  W  obu  przy- padkach, równania maszynowe  przyjmują   postać II X  — gdzie:  sm  —  współ czynniki skali  am plitud,  («  =   0 , 1 ,  2) D R G AN I A  U KŁ AD U   SAM OWZ BU D N EG O 179 D la  równ an ia  (16)  e t   =   1 + T J - !  «2  =   l +  <5,  zaś  dla  (18)  e t   »  1;  e 2  =   ł  +  <5. Schemat maszynowy  zawierają cy  u kł ady:  pom iaru  amplitudy,  zmiany  param etru  <5  oraz  sterowa- n ia  logicznego  przedstawia  rys.  2. Badan ia  przeprowadzon o  n a  maszynie  analogowej  M E D A  43H   przy  automatycznym sterowaniu  zmianą   param etru  <5. P isak  rejestrował   graniczne  wartoś ci  wychyleń,  w  przy- padku  drgań  dwuczę stoś ciowych  zakreś lał   pewną   powierzchnię   [9], natomiast  dla  drgań jednoczę stoś ciowych  wyznaczał   krzywą   gł adką  —  obwiednię   am plitud.  W  celu  okreś le- n ia  przedział ów  dwuznacznoś ci  rozwią zań,  rejestrację   przeprowadzono  przy  zwię kszaniu a  n astę pn ie  zmniejszaniu  wartoś ci  <5. W  badan iach  analogowych  przyję to  dane  liczbowe zamieszczone  w  tabl.  1. Tablica  1.  Drgania  układu  samowzbudnego  z  wymusze- n iem  param etryczn ym  1 nieliniową   sprę ż ystoś cią Wa r ia n t I I I I I I IV a /   0,01 0,04 0,01 0,05 P 0,05 0,04 0,05 0,01 0,1 0,2 0,1 0,2 V 0,01 0,01 0 - 0 , 01 W  przypadkach  I,  I I  i  IV  badan ia  analogowe  przeprowadzono  dla  równania  (16) oraz  (18).  Rezultaty  dotyczą ce  obu  równ ań  zamieszczono —  w  celach  porównawczych  — n a  tych  samych  rysun kach. Z upeł ną   zgodn ość  wyników  tych  badań  otrzym ano  dla  wariantów  I  (rys.  3)  oraz  I I (rys.  4). - 006 Rys.  3 Rys.  4 180 K. 6=0 B= - 0.063 0 = - 0 . 0 63 6=- OCl9 Rys.  5 U kł ad  odpowiadają cy  wariantowi  I  poddan o  n a  podstawie  (18)  również  badan iom dodatkowym.  D la  niektórych  wartoś ci  param etru  d  zarejestrowano  przebiegi  czasowe drgań  (rys. 5). Wyniki  obliczeń  czę stoś ci  drgań  samowzbudnych  przy  wykorzystaniu  (10)  oraz  (23) zamieszczono  w  tabl.  2.  Okreś lono  również  odchylenie  wzglę dne  wartoś ci  Q t   w  stosun ku do  Q  wykorzystują c  przy  tym  zależ ność s  = 1 - Q 100%. Tablica  2.  D rgan ia  ukł adu  samowzbudnego  z  wymuszeniem  param et- rycznym  i  nieliniową   sprę ż ystoś cią Wariant I rv d 0,070 - 0 , 0 63 - 0 , 0 90 0,400 Q 1,039 0,972 0,959 1,152 13, 1,037 0,971 0,957 1,118 e  [%] 0,19 0,11 0,21 2,95 iir/ p 1,0029 0,9219 Porównują c  wyniki  badań  analitycznych  i  analogowych  (wariant  I,  rys.  1  i  rys.  3)  pod- kreś lić  należy  dobrą   zgodność wyników  badań . Róż nią   się  on e w  przypadkach :  m aksym al- nej amplitudy drgań parametrycznych o 1%, amplitudy drgań  samowzbudnych  o 2,5%, oraz szerokoś ci  przedział u  <5  w  którym  nie  wystę pują   drgania  sam owzbudne  o  4%.  W  rezul- tacie  obu  rodzajów  badań ,  stwierdzono  wystę powanie  dwóch  przedział ów  wartoś ci  d dla których  istnieją   pół trywialne rozwią zania  stateczne A  ^   0, R  =   0  oraz  A  =   0,  R  =fc  0. Zależ nie  od  kierunku  zmiany  param etru  6  odpowiadają   im  dudn ien ia lub  okresowe  drga- nia parametryczne  (rys.  5). D RG AN IA  UKŁ ADU   SAMOWZBUDNEGO 181 Rys.  6 2.0 o Rys.  7 (181 Rys.  8 W  tego  rodzaju  badan iach  nie  wystą piły  drgania  odpowiadają ce  rozwią zaniu  A  ź  0, R  =£  0, podobn ie ja k  dla  analogicznych ukł adów w  [4]. P on adto obliczono  odpowiadają ce tem u  rozwią zaniu  warun ki  począ tkowe  dla  d  =   —0,0315  i  zbadan o  n a  maszynie  an alo- gowej  drgania  ukł adu. W  przypadku  tym  ukł ad nie  realizował   drgań  zgodnych  z rozwią- zaniem  nietrywialnym  n atom iast  jego  ruch  ustalony  odpowiadał   krzywej  amplitudowej A  =   0, R  ź  0  (rys.  6). Rys.  7  przedstawia  wyniki  badań  analogowych  dla  ukł adu  z  liniową  charakterystyką sprę ż ystoś ci. 182  K .  SZABELSKI Zgodnie  z  rezultatam i  badań  analitycznych,  krzywa  szkieletowa  jest  tutaj  liniową pionową   tj.  niezależ ną   od  czę stoś ci  wymuszenia  param etrycznego.  Wyniki  badań  an alo- gowych  równań  (16)  i  (18)  w  przypadku  IV  przedstawia  rys.  8. D la  okreś lonego  zakresu  wartoś ci  d ujawnia  się   tutaj  wpł yw  poczynionych  uproszczeń w  równaniu  róż niczkowym  n a  wartość  am plitud  drgań  param etrycznych.  M aksym alne amplitudy  tych  drgań  róż nią   się   w  tym  przypadku  o  okoł o- 7%.  Stą d  również  wynika wpł yw  na  szerokość  przedział u wartoś ci  igi;AIOmEń  CH CTEM ŁI C  rLAPAM ETPlOTECKH M   BO3fiy)KJi;EH H EM   H   H EJIH H EŚ ł H OH   yflP yrO C T BI O B  paC oie  pacciwoTpejiii  iK,nenneM,  napaMeipiwecKH M  BO3- a  TaroKe  H ejiwieiiH yio  xapaKTepncTHKy  ynpyrocTH   Ky6iwecKoro  TH na. PacowoipiiBaH   n p o 6- jieM ti  cymecTBOBaHHH  H  ycToił ^HBOcTH  pein em rii  HHtbihepeHi^HaJibHoro ypaBHeHHH  o n p en en wu i 3(J>4)eKTbi B38HMHoro  BO3neHCTBHH  nepHOflHiecKHX  KOJie6aHHii. KoHcraTHpoBajiH   Mewfly  nponH M ,  i r o  B  onpefle- jieHHbnc  H H Tepsajiax  tiacTOTbi  n apaiwerpiwecKoro  Bbmy>Kfl;eHHH   caMOBO36y>KflaiomHe  Kone6aHHH  He BbicxynaioT.  AH ajurrH ^ecKH e  H ccjieH OBamw  npoBejiH   yiH TbiBan  on pom aiom H e H cxo^H bie a a m a i e  a  HX Ha  pe3yjitTaTbi  onpefleJiiinH   rryieM   aiian oroBoro S u m m a r y T H E  VIBRATION S  O F   T H E  SELF - EXCITED  SYSTEM   WITH   TH E  P ARAM ETRIC  IN P U T  AN D N ON - LIN EAR  ELASTICITY I n this work  there were considered the vibrations  of a system with the soft  self- excitation,  the parametric input  an d  with  a  non- linear characteristic  of  the  cubical  type  elasticity.  Considering  the  problems  of  the existance  and stability  of  the issues of  the differential  equation there were  defined  the effects  of  the mutual influence  of self- periodic  vibrations  in the determinate range of  the  parametric force's  frequency.  Analytical researches  were  proceeded  under  the  certain,  simplifying  conditions,  which  influence  was  defined  with the  method of  an analogue  modelling.