Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 22 (1984) JED N OMOD ALN A I DWUMODALNA OPTYMALIZACJA Ś CISKANYCH   PRĘ TÓW  DRGAJĄ CYCH1 > BOHDAN   B O C H E N E K Politechnika  Krakowska ANTONI  G AJ E W S K I Politechnika  Krakowska 1.  U wagi  wstę pne D o  niedawna  w pracach  dotyczą cych  optymalizacji  drgają cych  i naraż onych na  utratę statecznoś ci  elementów  konstrukcji,  kształ towanie  przeprowadzane  był o jedynie  z uwagi n a  wybraną   pojedynczą   wartość  wł asną   (czę stość  drgań,  sił ę   krytyczną ).  Jednak  w wielu przypadkach  takie  sformuł owanie  (jednomodalne)  okazuje  się   niewystarczają ce.  M a  to miejsce  wtedy,  gdy  element  ukształ towany  z  uwagi  n a  począ tkowo  najniż szą   wartość wł asną ,  zwią zaną   z pewną   okreś loną   formą   drgań  lub  wyboczenia,  posiada  niż szą   wartość drugiej  wartoś ci  wł asnej,  zwią zanej  z inną   formą   drgań  lub  wyboczenia.  N ależy  wówczas stosować  dwum odaln e  sformuł owanie  problem u  optymalizacji,  polegają ce  n a  optymalnym kształ towan iu  z  uwagi  n a podwójną   wartość  wł asną ,  zwią zaną   równocześ nie  z  dwiema formami  drgań  (lub  wyboczenia). Konieczność  zastosowan ia  takiego  sformuł owania  został a zauważ ona  po  raz  pierwszy w  pracy  N .  OLH OF F A  i S. H .  RASMUSSENA  [1], w której  znaleziono  optymalny  kształ t obu- stron n ie,  sztywnie  utwierdzonego  prę ta  ś ciskanego  sił ą   osiową . Sformuł owanie  dwum odaln e  staje  się  z  reguł y  konieczne  w  przypadku  optymalizacji ł uków  drgają cych  i  n araż on ych  n a  utratę   statecznoś ci;  szereg  rozwią zań  dotyczą cych sprę ż ystych  ł uków,  znajdują cych  się   w  bezmomentowym  stanie  przedwyboczeniowym 0  osi  nierozcią gliwej,  otrzym an o  w  pracy  J.  BŁACH U TA  i  A.  G AJEWSKIEG O  [2]. P odobna sytuacja  pojawia  się  w  przypadku  prostej  ram y  portalowej  ś ciskanej  sił ami  skupionymi dział ają cymi  w kierun ku  osi  nieodkształ conych sł upów. Zwrócili  n a to  uwagę  E. F .  M ASU R 1  Z . M R Ó Z  [3], którzy  przedstawili  proste  przybliż one  rozwią zanie  dla prę ta  i  ramy  por- talowej,  zł oż onej  z  elementów  o  przekrojach  sandwiczowych.  Kompletne  rozwią zanie zagadnienia  jedn om odaln ej  i  dwumodalnej  optymalizacji  ze wzglę du  n a  wyboczenie  sprę - ż ystej  ram y  portalowej,  zł oż onej z elementów  o  zmiennych  przekrojach  (w sposób  cią gły lub  skokowy)  zawarte jest  w  pracy  B.  BOCH EN KA  i  A.  G AJEWSKIEG O  [4]. C harakterystyczne  cechy  zjawiska  optymalizacji  dwumodalnej  przedstawiono  również 1  Praca  została  wykonana  w ramach  problemu  wę złowego  PW. 05- 12. 186  B.  BO C H E N E K ,  A.  G AJ E WSK I w pracy  S.  PRAG ERA  i  W.  PRAG ERA  [5] na  przykł adzie  m odelu  prę ta  ś ciskanego,  skł adają - cego  się   z kilku  sztywnych  prę tów,  poł ą czonych ze  sobą   oraz  z  podporam i  za  pomocą sprę ż ystych  przegubów.  M odel  ten  został  również  wykorzystany  w  pracy  A.  G AJEWSKIEG O [6] w  celu  zademonstrowania  dwumodalnej  optymalizacji  prę ta  ś ciskanego  z  uwagi  n a podstawową   czę stość  jego  drgań  poprzecznych.  Zawiera  on a  również  sformuł owanie (jednak  bez  szczegół owych  obliczeń)  problem u  jedn o-   i  dwumodalnej  optymalizacji rzeczywistego  prę ta  ś ciskanego. W  koń cu  należy  zauważ yć,  że  w  pracy  J.  BŁACH U TA  i  A.  G AJEWSKIEG O  [7]  podję to próbę  wykorzystania  dwumodalnego  sformuł owania  optymalizacji  w  niekonserwatywnych problemach  statecznoś ci  w  celu  znalezienia  optymalnego  kształ tu  prę ta  ś ciskanego  sił ą ś ledzą cą. Celem  niniejszej  pracy  jest  szczegół owe  rozwią zanie  zagadnienia  (sformuł owanego w pracy  [6]) optymalizacji  kształ tu prę ta ś ciskanego,  obustron n ie sprę ż yś cie utwierdzonego, z uwagi  na podstawową   czę stość jego  drgań  poprzecznych. Z agadnienie to mieś ci  się ,  jako przypadek  szczególny,  w  ogólnym  sformuł owaniu  problem atyki  optymalnego  kształ to- wania  drgają cych  prę tów  ś ciskanych,  przedstawionym  w  pracy  J.  BLACH U TA  i  A. G A- JEWSKIEGO  [7]  oraz  W.  G .  G RIN IEWA  i  A.  P .  F I U P P O WA  [8]. W  celu uł atwienia czytania pracy przytoczymy  tu podstawowe  wyprowadzenia  wzorów, jednak  tylko  w  odniesieniu  do  badanego  szczególnego  przypadku. 2.  Sformuł owanie  zagadnienia 2.1.  Równania stanu  i  warunki  brzegowe.  W  niniejszej  pracy  rozważ amy  drgania  prę ta  obu- stronnie  sprę ż yś cie  utwierdzonego,  ś ciskanego  stał ą   sił ą   osiową   P,  przedstawionego  n a rys.  1. Cał kowita obję tość prę ta o dł ugoś ci / jest  równ a  V.  Z ał óż my, że w każ dym  przekroju poprzecznym  obowią zuje  nastę pują ca  zależ ność  mię dzy  m om en tem bezwł adnoś ci  i  polem powierzchni  przekroju: =   c[A(M",  (2.1) 4/ w,y R ys.  1 gdzie i  jest  pewną   stał ą  a  wykł adnik v przyjmuje,  w  najczę ś ciej  spotykanych  przypadkach , wartoś ci  1,2  lub  3  (v  — 1 dla  pł askozbież nych  prę tów  o  stał ej  wysokoś ci  przekroju,  v  —  2 dla  prę tów  wszechstronnie  równomiernie  zbież nych,  v  =  3  dla  pł asko- zbież nych  prę tów o  stał ej  szerokoś ci).  G dy v  -   2,  stał a  c  *•  1/12  dla  kwadratu  lub  c  =   l/ 4n  dla  koł a. Równanie  róż niczkowe  mał ych  drgań  poprzecznych  prę ta  ś ciskanego: [E/ (f) w"]"+Pw"+QA  (f) w  =   0,  (2.2) po  rozdzieleniu  zmiennych  czasowej  i  przestrzennej  za  pomocą   przedstawien ia: w » » ( f ) e t o I  (2.3) OP TYM ALI Z AC JA  P R Ę T ÓW  D RG AJĄ CYCH   187 oraz  wprowadzeniu  nastę pują cych  stał ych  i  zmiennych  bezwymiarowych: X m  I/ / ,   }> (X)  = V(*)/ / ,  0(X)  =   A(X)IA O , *.   p l  p _ moż emy  przedstawić  w  formie  ukł adu równ ań  stan u: y't  =  

(x),  okreś lają ca  przekrój  poprzeczny  prę ta  musi speł niać  warunek un orm owan ia: J 2( 0)  =   0,  m 2( l/ 2)  =   0. b.  niesymetryczne  zamocowanie  koń ców  prę ta. 188  B.  BO C H E N E K ,  A.  G AJ E WSK I W  tym  przypadku  cał kowanie  przeprowadzamy  dla x e ( 0 , l )  i  nie mamy  moż liwoś ci rozróż nienia  form  drgań  poprzez  zadanie  odpowiednich  warunków  brzegowych.  Warunki brzegowe  dla  obu  form  drgań  są takie  sam e: y,(0)  =  0,  M l )  =   0, 1  1  (2.10) natomiast  rozróż nienie  form  drgań  nastę puje  poprzez  liczbę  miejsc  zerowych  linii  ugię cia (linia ugię cia  odpowiadają ca  pierwszej wartoś ci  wł asnej  nie m a miejsc  zerowych  a  odpowia- dają ca  drugiej  m a  jedn o  miejsce  zerowe).  Wystę pują ce  w  zwią zkach  (2.8),  (2.9),  (2.10) parametry  | ,  fx,  | 2 ,  charakteryzują  zamocowanie  koń ców  prę ta.  G dy  param etry  te  są równe  zeru  wówczas  koń ce  prę ta  są  sztywnie  utwierdzone,  gdy natomiast  zmierzają  do nieskoń czonoś ci  pręt jest  przegubowo  zamocowany. 2.2.  Warunek  konieczny  optymalnoś ci.  Problem  polega  n a znalezieniu  funkcji  &(x)  speł - niają cej  równania  stanu  (2.5),  warunki  brzegowe  (2.8),  (2.9)  albo  (2.10),  warunek  un or- mowania  (2.7),  geometryczne  warunki  ograniczają ce: <£o <   < <£i»  ( 2 . H ) która  minimalizuje  obję tość  przy  ustalonej  czę stoś ci  drgań  lub,  w sformuł owaniu  dual- nym,  maksymalizuje  czę stość  drgań  przy  stał ej  obję toś ci. 2.2.1.  Optymalizacja  jednom odalna  i = 1 albo  i  — 2.  Warunek  konieczny  dla  ekstre- mum  funkcjonał u  obję toś ci  prę ta  wyprowadzimy  w oparciu  o teorię  sterowania  optymal- nego, wykorzystując  „ zasadę  m aksim um "  P ontriagina. Wprowadzając  dodatkową  zmienną stanu y o (x),  speł niają cą  warun ki: yfo)  =  0(x) s   y o (l)  =  1,  y o (O)  =  0,  (2.12) OTaz wektor  stanu  sprę ż onego: <£ -   (y>n> f vt ,  fm t >  V»„   V>o),  (2.13) otrzymamy  H amiltonian w  nastę pują cej  postaci: H  -   ipy l f i +% l (- m l l4> v )+ip mi (q i   +  P(p i )  + 1 / t ,(,py,)f 0 l) l   ( " = 1  a l b o  i =  2. U kł ad  równań  sprzę ż onych: może  być  w  naszym  przypadku  sprowadzony  do  równań  stanu  za pomocą  podstawień : Vn  = kq t ,  f m ,  = kę u   ę 9t   =   - fcm( ,  y,, =  - kyu  (2.16) w  którym  k jest  dowolną  stał ą  Tóż ną  od  zera.  Również  odpowiednie  warunki  brzegowe, wyznaczone  z  warunków  transwersał noś ci  przyjmują  identyczną  postać  z  równaniam i (2.8),  (2.9),  (2.10).  M ówimy  wówczas,  że  ukł ad  równ ań  stanu  jest  samosprzę ż ony  w  sil- nym  sensie  a hamiltonian  (2.14)  przyjmuje  postać: / / =   kilqw+mflp+Ptf+Q^ yfi  + eott).  (2.17) OP TYM ALI Z AC JA  P R Ę T ÓW  D RG AJĄ C YCH   189 Poszukiwany  warunek  konieczny  optymalnoś ci  jest  warunkiem  ekstremum  hamiltonianu (2.17) wzglę dem  zmiennej  sterowan ia;  dH/ dri IV+Pv?  +®tyf) + ?o  (2.19) i~ 1 gdzie  k t   i  k 2   są  dowolnymi  stał ymi  róż nymi  od  zera. Warun ek  ekstrem um  ham ilton ian u (2.19) prowadzi  do  nastę pują cego  warunku  optymal- noś ci : *<*> -  i H d - ^^+W  I  (2>20) gdzie  wprowadzon o  nowe  stał e: A =   V o / ( * t  +k 2),  n  =   kilfa  + * i ) .  (2.21) Stał ą  X dobieramy  tak  aby  speł niony był  warunek  un orm owan ia  (2.7), a  stał ą fi  tak,  aby czę stość  drgań  otrzym an a  w  rozwią zaniu  ukł adu  (2.5)  dla  i  =   1  był a  równa  czę stoś ci otrzymanej  z  rozwią zania  tego  ukł adu dla  /  =   2. 3.  M etoda  rozwią zania  zagadnienia Poszukiwanie  optym alnego  kształ tu prę ta  opiera  się  n a  iteracyjnej  metodzie numerycz- nej  szeroko  stosowanej  przez  W.  B.  G RIN IEWA  i  A.  P .  F ILIP P OWA  [9]  i  wykorzystywanej również  w  pracach  J.  BŁ ACH U TA  i  A.  G AJEWSKIEG O  [2],  [7].  Schemat  obliczeń  zależy  od rodzaju  optymalizacji. a.  Optymalizacja jedn om odaln a. Z akł adamy  wstę pnie  $ ( 0 )  =   1  (pręt  pryzmatyczny).  N astę pnie  cał kujemy  ukł ad  rów- n ań  (2.5)  z  odpowiednimi  warun kam i  brzegowymi  i  wyznaczamy  odpowiednią  czę stość drgań.  Z warun ku  optymalnoś ci  (2.18) i  z warunków  (2.7),  (2.11)  okreś lamy  poprawiony kształ t  4>ll),  który  podstawiam y  do  ukł adu  (2.5)  i  powtórnie  cał kujemy.  G dy  wartoś ci czę stoś ci  otrzym an e w  dwóch  kolejnych  powtórzeniach  procesu  bę dą  (z przyję tą  dokł ad- noś cią)  bliskie  sobie  proces  koń czymy. b.  Optymalizacja  dwum odaln a. Z akł adając  począ tkową  postać  funkcji  «&<0)  cał kujemy  ukł ad  równań  (2.5)  dł a  i  =   1, a  nastę pnie  dla  i  =   2  oraz  wyznaczamy  odpowiednie  czę stoś ci  Qf*,  ^3(2 O).  Przyjmując pewną  wartość  4̂ wyznaczamy  z  warun ku  optymalnoś ci  (2.20)  poprawioną  funkcję  (1>, którą  podstawiamy  do  równ ań  stanu  i  powtórn ie  cał kując  otrzymujemy  czę stoś ci  (na 190 B.  BO C H E N E K ,  A.  G AJ E WSK I ogół   róż ne  od  siebie).  Odpowiedni  dobór  wartoś ci  / u,  pozwala  zrówn ać  czę stoś ci  w  danej iteracji.  Kolejne  iteracje  koń czymy  gdy  podwójna  czę stość  w  danej  iteracji  nie  róż ni  się (z przyję tą   dokł adnoś cią) od  podwójnej  czę stoś ci  w  iteracji  poprzedniej. 4.  Analiza  wyników Opisane  powyż ej  metody  zastosowano  do  przykł adowych  obliczeń  w  przypadku  prę ta równomiernie  wszechstronnie  zbież nego,  tzn.  dla:  v  — 2.  D la  róż nych  wartoś ci  S lt   f2 oraz  p  znalezione został y optymalne kształ ty i  odpowiadają ce  im  czę stoś ci  drgań .  P on adt o w  każ dym  z  przypadków  zmieniano  dolne  ograniczenie  geometryczne  0 =   $ !  w  prze- dziale  (0, 1). Rezultaty  obliczeń przedstawiają   rysunki  2,  3,  5, 6,  8, 9, n a których oznaczo- n o :  Q lmtx —  maksymalną   czę stość  odpowiadają cą   pierwszej  formie  drgań ,  Q 2   —  doliczo- ną   do  otrzymanego  optymalnego  kształ tu  czę stość  odpowiadają cą   drugiej  form ie  drgań. N a  Rys.  4,  7,  10  przedstawiono  optym alne  kształ ty  dla  wybranych  wartoś ci  ograniczenia $ o >  odpowiadają ce  pierwszej  formie drgań . $,= 00 6=5 O l wax 2000 500 - 1000 500 100 0.2  0A  0.6  0.8  10 Rys.  2 Rys.  3 Okazuje  się   jedn ak,  że  dla  pewnych  przypadków,  przedstawionych  n a  Rys.  6,  8,  9 krzywe  Q lmax (0 o )  i  ^ 2( ^ 0)  przecinają   się .  D la  ograniczeń  mniejszych  od  ograniczenia odpowiadają cego  punktowi  przecię cia,  otrzym ane kształ ty  nie  mogą   być  traktowan e  ja ko optymalne  [1]  [6]. Zachodzi wtedy  konieczność  zastosowania  optymalizacji  dwum odał n ej. G raniczny  przypadek  zamocowania  koń ców  prę ta  f x  =   f 2  =   0  (prę t  obustron n ie  sztyw- nie utwierdzony) jest  analizowany  bardziej  szczegół owo. Rys.  9 przedstawia  pary  krzywych &2  dla  róż nych  wartoś ci  /S;  dodatkowo  n an iesion o  krzywą   przedstawiają cą   za- OP TYM ALI Z AC JA  P R Ę T ÓW  D RG AJĄ C YCH 19J fi, =0.01, §2=100, fi=12 Rys.  4 i i i i i r f)=0 Q2 6 G2 Rys.  5 3000 2500 2000 1500 V 2500 2000 R ys.  6 leż ność wartoś ci  czę stoś ci,  odpowiadają cej  punktowi  przecię cia tych krzywych  od  wartoś ci ograniczenia,  dla którego  krzywe  przecinają   się . Rys.  l l a  przedstawia  zależ ność  ograni- czenia,  odpowiadają cego  pun ktowi  przecię cia  tych  krzywych  od  /?, n atom iast  Rys.  l i b zależ ność  czę stoś ci,  odpowiadają cej  punktowi  przecię cia  od  /?. Widoczne  jest  przejś cie graniczne  do  przypadku  utraty  statecznoś ci,  dla  którego  Q  =  0,  Cf>0 =  0.28,  §  =  52 (dokł adn a  wartość  /?  znalezion a w pracy  [1] wynosi  52.36). 192 B.  BOCHENEK,  A.  G AJEWSKI §,=0.002 , £ 2 = 0,002 .0=45 |,=0,  § 2 =0 ,  0=45 Rys. 7 2000 1000 500 - 100 Rys. 8 0 02 Of. 0.6  0,8 \0 Rys. 9 Z  zależ noś ci  powyż szych  moż emy  odczytać  również,  iż  konieczność  stosowan ia  opty- malizacji  dwumodalnej  do  kształ towania  prę ta  obustron n ie  utwierdzonego  z  uwagi  n a czę stość  drgań,  zachodzi  dla  §  e  (30,  52).  Przykł adowy  rezultat  otrzymany  z  uwzglę dnie- niem  takiego  wł aś nie  sformuł owania  przedstawia  Rys.  12.  C harakterystyczne  jest  t o , iż  począ wszy  od pewnego  ograniczenia  kształ ty  optymalne  n ie zalezą  od  niego  (ogranicze- nie jest  nieaktywne);  kształ t optymalny  jest  również  przedstawiony  n a  rysun ku. £,=0 , £v= oo , 0=18 1 0 £ , =0,0017, £2=0j0O25, 0=30 Rys.  10 a) b) Q28 Q20 C - ) 1 20 / 30 / / i / / i 60 I 5? n 600 500 400 300 200 100 - - - 0 \ 20 \ \ 30 \ > 40 TSS2 50 v n Rys. 11 6,-0 $0=0-1 , O f Qj= 125 D,2 a* ae slormutcwoniedw 1 p " ograniczenie nk oktwne aktywne 1000 - 5 0 0 KM Rys. 12 13 Mech. Teoret. i Stos. 1—2/84 194  B.  BOCHEN EK, A.  G AJEWSKI 5.  U wagi  koń cowe N iniejsza  praca  zawiera  szczegół owe  rozwią zanie  numeryczne  problem u  optym alnego kształ towania  drgają cego  prę ta  ś ciskanego  sił ą   osiową ,  z  uwagi  n a  podstawową   czę stość jego  drgań.  D opuszczono  moż liwość  istnienia  asymetrii  ukł adu,  spowodowanej  róż nymi wartoś ciami  parametrów  charakteryzują cych  sprę ż ystość  utwierdzeń  koń ców  prę t a.  Wy- kazano  konieczność  stosowania  optymalizacji  dwumodalnej  dla  pewnych  przypadków zamocowania  koń ców  prę ta  i  pewnych  wartoś ci  sił y  osiowej.  Bardziej  szczegół owo  zba- dano  przypadek  prę ta  obustronnie sztywnie  utwierdzonego. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  N .  OLH OFF, S. H .  RASMUSSEN,  On single  and bimodal optimum buckling  loads of clamped  columns,  I n t. J.  Solids  Structures,  7, 13, 1977, 605- 614. 2.  J. BLACHUT,  A.  G AJEWSKI,  On unitnodal  and bimodal optimal design  of funicular arches,  I n t. J.  Solids Structures,  7,  17, 1981,  653 -  667. 3.  E. F .  MASU R,  Z.  M R ÓZ ,  Singular solutions  in structural optimization problems,  P roc.  1U TAM   Conf. on  „Variational  Methods  in Solid  M echanics",  N orthwestern  U niversity,  Sept.  1978,  e d . S. N emat- N asser,  337 -  343.  New  York:  Pergamon  Press, 1980. 4.  B. BOCHENEK, A.  G AJEWSKI,  Jednomodalna  i  dwumodalna  optymalizacja  ramy portalowej,  Rozpr.  Inż ., 1,  30, 1982,  21  - 36. 5.  S. PRAG ER, W.  PRAG ER, A  note on optimal design  of columns,  I n t . J. M ech. Sci., 4, 21,1979, 249 -  251. 6.  A.  G AJEWSKI,  A  note on  unitnodal  and bimodal optimal design  of  vibrating compressed columns,  Int. J. Mech.  Sci., 1, 23, 1981, 11  - 16. 7.  J. BŁACHUT,  A.  G AJEWSKI,  A  unified approach  to optimal design  of  columns,  Solid  Mech.  Arch.,  4, 5, 1980,  363 -  413. 8.  W. B.  G RIN IEW, A. P .  F ILIPPOW,  Optimizacja  stierż niej po  spektru  sobstwiennych  znaczenij,  N aukowa D umka, Kijew, 1979. 9.  W. B.  G RIN IEW,  A. P.  Frxxppow,  Ob optimalnych oczertanijach  stierż niej w  zadaczach  ustojeziwosti, Stroit.  Mech.  i  Rascz.  Sooruż .,  2,  1975,  21 -  27. P  e 3  M   M e OflHOMOflAJILHAfl  H   EH MOJIAJ1BH AE  O n T H M H 3AH H J I  KOJIEBJIIOU TErOOI O K H M AE M O rO  C T E P K H iI HacTOHmeii  paSoTM   HBKHeiCH  no/ rpo6H oe  p ein em ie  3aflaMH   onxHMH3artHH  (JiopMBi  OKiiiwae- Moro  crepHffiH, flByxcTopoH H e yn p yro  3ameMJieHHoro  H3- 3a  OCHOBHOH   yacroTM   ero  n o n epe^m bix  Kojie- CaH nił . BO3MOJKHOCTB  cymecTBOBamra  acHMMeTpini  CHCieMw,  npoH 3BefleH H oii  pa3HbiMH   3Ha- n apaM eipos  xapaKrepirayiomiix  yn p yr o c n .  3ameMjieH irii  KOH IJOB  cTepwcHeił .  JJoKaabraaeiCH 6nM0flenŁH0H   om'HMH3amiH  fljiH  neKoTopbix  cji'yqaeB  3ameMJieHHH   KOH H OB CTep>KHH   H  HeKOTOpblX  3Ha^eHHfl  OCeBOft  CHJIŁI. Bonee  n o^poBn o  HCCJieflOBaH   crryqaii  crepWH H  flByxcTopoH H e M