Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf


M E C H A N I K A
TEOR ETYC Z N A
I  STOSOWAN A

1/2,  22  (1584)

D YSKRETN A  AN ALIZA  M O D E LI  R E OLOG I C Z N YC H 1)

ROM U ALD   Ś WITKA,

BOG D AN   H U SIAR

Poznań ,  Politechnika Poznań ska

I .  Wstę p

Problemy  zwią zane  z  wyznaczaniem  naprę ż eń i  odkształ ceń w  ciał ach lepkosprę ż ystych
komplikują   się   przede  wszystkim  z  powodu  Teologicznych  równ ań  stanu, które  wystę pują
z  reguł y  w  postaci  zwią zków  róż niczkowych  bą dź  cał kowych  [l- r- 5].  Trudnoś ci  z  tym
zwią zane  rozwią zuje  najogólniej  zn an a  analogia  sprę ż ysto- lepkosprę ż ysta  ALFREY'a
i  LE E  [2],  Analogia  t a  dotyczy  podobień stwa  pomię dzy  transformatami  Laplace'a  zwią z-
ków  opisują cych  ciał o  lepkósprę ż yste  a równaniam i teorii  sprę ż ystoś ci.  Tą   drogą   moż liwe
jest  rozwią zanie  niektórych  podstawowych  zadań ,  co  unaocznia  znana  monografia  N o-
WACKIEG O  [2], Jedn akże  moż liwoś ci  tej  analogii  są   ograniczone  trudnoś ciami  natury ma-
tematycznej,  które  pojawiają   się   przy  wyznaczaniu  transformacji  odwrotnej.

Rozwią zania  wię kszoś ci problem ów  praktycznych  lepkosprę ż ystoś ci  należy wię c szukać
n a  drodze m etod numerycznych.

PED ACH OWSKI  [6]  zapropon ował   pewną   metodę   „ kontinualno- dyskretną"  opartą   n a
znajomoś ci  funkcji  peł zania.  Sumują c  przyrosty  odkształ ceń Teologicznych  otrzymał  on
zwią zek  mię dzy  odkształ ceniem  w  danej  chwili  a  naprę ż eniami  we  wszystkich  chwilach
poprzedn ich.

D o  rozwią zywania  zadań  lepkosprę ż ystych  w  uję ciu  metody  elementów  skoń czonych
powszechnie  stosowane  są   m etody  iteracyjne.  Spoś ród  nich  moż na  wymienić  sposób
n aprę ż eń  począ tkowych  i  sposób  odkształ cenia  począ tkowego,  obydwa  opisane  przez
Z IEN KIEWIC Z A  [7].  Sposób  odkształ cenia począ tkowego  był   stosowany  przez  wielu  auto-
rów,  m .in.  przez  Z I E N KI E WI C Z A  [8]  oraz  ARG YRISA  [9].

D o  rozwią zywania  problem ów  reologii  mają   też  szerokie  zastosowanie  metody  nu-
merycznego  cał kowan ia  liniowych  i  nieliniowych  równań  ruchu.  M etody  te,  a  mają   one
również  charakter iteracyjny,  dzieli  się   n a  proste  (explicit)  i  zł oż one (implicit). D o metod
prostych  zalicza  się   n p . m etodę  Eulera i  m etodę   Rungego- Kutty,  do  zł oż onych jn.in. me-
todę   stycznych  [10]  i  m etodę   czasoprzestrzennych  elementów  skoń czonych  KĄ CZKOW-

l !  Praca  został a  wykonana  w  ramach  problemu  wę zł owego  05.12  „Wytrzymał ość  i  optymalizacja
konstrukcji  maszynowych  i  budowlanych" — koordynowanego  przez  Instytut Podstawowych  Problemów
Techniki  Polskiej  Akademii  N auk.

14  M ech .  Teoret.  i  Stos.  1—2/ 84



210  R .  Ś WITKA,  B.  HUSIAR

i

SK.IEGO [11]. Ta  ostatnia m etoda stwarza, jak  się   wydaje,  nowe  moż liwoś ci  również  w dzie-
dzinie  lepkosprę ż ystoś ci.

Autorzy  niniejszego  opracowania  wybrali  inną   drogę .  Opierają c  się   n a  opisie  ciał a
lepkosprę ż ystego  za  pomocą   zwią zku  róż niczkowego  aproksymują   przebieg  naprę ż eń
w  poszczególnych  przedział ach czasu  wielomianem. Takie  uję cie  pozwala  n a  opis  zjawisk
peł zania  w  ciał ach  liniowo  lepkosprę ż ystych.  W  rezultacie  otrzymuje  się   zwią zki  reku-
rencyjne,  w  których  odkształ cenie w  danej  chwili jest  okreś lone  przez  naprę ż enie  w  tejże
chwili  i  przez  stan ukł adu w  chwili  poprzedniej. Przedł oż oną  m etodę  m oż na wię c  zakwa-
lifikować  d o  metod  prostych.  Przedział   czasu  dzielą cy  obie  chwile  może  być,  w  wielu
przypadkach  dowolnie  dł ugi, co jest  zaletą   metody,  w  pozostał ych —  dł ugość  przedział u
czasowego  należy  regulować  w  oparciu  o  kryterium  dokł adnoś ci. Powyż sza  m etoda był a
już  stosowana w  pracach  [12, 13].

W  niniejszej  pracy  problem  został  uogólniony  przez  dopuszczenie  niecią gł oś ci  funkcji
a(t)  i jej  pochodnej a(t)  oraz funkcji  e(t)  i k(t). Z astosowan o aproksymację   liniową   i  kwad-
ratową   funkcji  a(t).  P rzeprowadzono analizy  wyników  dla  podstawowych  m odeli reolo-
gicznych  (Kelvin- Voigt,  Zener, Burgers)  i  analizy  bł ę dów  obliczeń  w  zależ noś ci  od  apro-
ksymacji  i  dł ugoś ci kroku.

Jakkolwiek  ograniczono  analizy  tylko  do  modeli  reologicznych,  t o  jedn ak  uzyskane
wyniki  pozwalają   n a dalsze  zastosowanie  metody w  zł oż onych  ukł adach  lepkosprę ż ystych.
Jako  przykł ad  moż na podać  wstę pnie  napię tą   siatkę   cię gnową.  N ad  problem em peł zania
siatki  cię gnowej  są   prowadzone obecnie prace.

2.  Równanie  konstytutywne  ciał a  lepkospreż ystego  w  uję ciu  dyskretnym

Równanie  konstytutywne  dla  m ateriał u lepkosprę ż ystego  m oż na  przedstawić  w  po-
staci  zwią zku  róż niczkowego  [2]

P(D)a(t)  -   Q(D)e(t)  (2.1)

w  którym  D  =  d/ dt jest  operatorem róż niczkowania  wzglę dem  czasu  t,  P(D)  i  Q(D)  są
liniowymi  operatoram i  róż niczkowymi  (wielomianami  argum en tu  D  w  ogólnoś ci  stop-
nia  n,  przy  czym  stopień  może być  niż szy, jeś li  czę ść  współ czynników  wielom ianu  bę dzie
równ a  zeru),  a jest naprę ż eniem i  e —  odkształ ceniem.

N a  osi  czasu  wyodrę bniamy  chwile  t
T
  ( T  =   0 , 1 , 2 , . . . )  dzielą c  oś  n a  przedział y &

t
  =

Przyję to,  że  przebieg  naprę ż enia w  czasie  jest  funkcją   niekoniecznie  cią gł ą.  M iejsca  nie-
cią gł oś ci  bę dą   wę zł ami  n a  osi  czasu.  P oza  tym  inne  wę zły  rozmieszcza  się   stosownie  do
potrzeb  obliczeniowych.  T ak  wię c  w  ogólnoś ci  w  wę ź le  T  naprę ż enie  m oże  dozn awać
przyrostu  o

Aa
x
  -   <y'

t
~a

r
,

a  prę dkość naprę ż enia —  skoku  o

Ać r
x
 =   a

x
- ó

x
.



AN AU Z A  MODELI  REOLOGICZNYCH

Wprowadzon o  oznaczenia

Or  =   [o>(OŁ- <r- 0»  Ci  =   [0(.t)]l- t
x
+O,

T~ L  *  L, r 0 >  "• • [ "T
P odział   osi  czasu  i przebieg  funkcji  a(t)  ilustruje  rys.  1.

211

N aprę ż enie  o"(ż)  w  przedziale  czasu  &
r
  — ?r — fr_x  m oż na  aproksymować  za  pomocą

wielom ian u  stopn ia  m :

(2.2)

Jeś li  /n =   1 (aproksymacja  liniowa), to

oto  =   °V- IJ

Jeś li  m  — 1  (aproksymacja  kwadratowa),  to

i

(2. 3)

(2. 4)

Z  wyż szych  stopni  wielomianu  (2.2)  w  niniejszej  pracy  nie  korzystano.  Krzywe  aproksy-
mują ce  funkcję   a(t)  przedstawiono  n a  rysunkach  2  (aproksymacja  liniowa)  i  3  (aproksy-
macja  kwadratowa).

Rozwią zanie  równ an ia  (2.1), w  którym  a(t')  dane jest  wzorem  (2.2), bę dziemy  poszu-
kiwać  w  przedziale  t'  e  ( 0, oo), przyjmują c  najpierw,  że  funkcje  o(t')  i  s(t')  są   w  cał ym
tym  przedziale  okreś lone  i  są   funkcjami  rzę du  wykł adniczego,  co  pozwala  n a  zastosowa-
n ie  transformacji  cał kowej  Laplace'a.  Z  przedział u  ( 0, co)  m oż na  nastę pnie  wyodrę bnić

u*



212  R.  Ś WITKA,  B.  HUSIAR

przedział   (O, # T ) .  P o  wykonaniu  transformacji  Laplace'a  na  równ an iach  (2.1)  i  (2.2)
otrzymuje  się

P(p)a{p)- P
0
(p„  DM0)  =  Q(p)e(p)- Q

0
(p,  D)e(0),

1  1  2  m

W  równaniach  (2.5) <r(p)  i  e(p) są   transformatami  Laplace'a  funkcji  0(1!')  i  e(t'),  p  jest
param etrem  cał kowania, a wielomiany  P, Q, P

o
  i Q

o
  mają   p o st ać:

PoiP, D) =  ]?(aj  + a
J+i

p+  ...  +a
n
p-

J
)  D

J
~\   (2.6)

; = i

Qo(.P,D)=Y(b
J
+b

Ji
.

l
p+  ...  +b

ttP

Operację   D1~ ia(0)  lub  DJ~ is(0),  j  =  1, 2,  ..., «  należy  rozumieć  jako  granicę   lewo-
stronną   funkcji  i ich pochodnych w punkcie t'  =  0:

Jest  t o zwią zane  z  niecią gł oś cią   funkcji  transformowanych  w  pun kcie  t  =  t
T
.  M oż na się

tu powoł ać n a rozważ ania  zawarte  n p . w  [14] str. 75 -  762 )

Z  równania  (2.S)
l
  oblicza  się   transform atę   s(p).  D alsze  rozważ ania  wymagają   bliż-

szych  ustaleń  w  odniesieniu  do  zwią zku  konstytutywnego  (2.1) i  aproksymacji  (2.2).
Przyję to  model  Teologiczny  co  najwyż ej  pię cioparametrowy,  t o  znaczy  m odel  opisany
równaniem

aatf+diCt+aza  ~  boe+bi'e+bz'e,  (2.7)

w  którym  niektóre współ czynniki a
t
  i 6f mogą   być równ e  zeru, oraz  aproksymację   co naj-

wyż ej  kwadratową   (m — 2).  W  równaniu  (2.7) wystę puje  6  współ czynników,  z  których
jednakże  tylko  5 jest niezależ nych.
Rozwią zanie  zadania  bę dzie t ak uję te, że wyniki  bę dą   sł uszne również dla modeli  niż szych
rzę dów.

2>  D obrym  przykł adem  istoty  problemu jest  funkcja  H eaviside'a  H(t).  Transformata  Laplace'a
pochodnej  funkcji  H eaviside'a jest  równa

Taki  sam wynik  uzyskamy  n a  podstawie  twierdzenia  o  róż niczkowaniu  oryginał u

Se[H\ t)\

jeś li  przyjmie  się   H(0)  =  H(0~) =   0.



AN AL I Z A  M OD ELI  R E OLOG I C Z N YC H 213

U wzglę dniając  w  (2.5) powyż sze  uwagi  oraz  warunki  począ tkowe  a(0)  =   crr_t, ó(0)
=  ó

r
- i,  e(0)  =   e r _ , ,  e(0)  =   £ *_ !, otrzymuje  się

+ c 3 ( p ) (2ax  a 2
(2. 8)

We  wzorze  (2.8):

G O O '
(2.9)



1   'TT  I

Ę  <i  .̂   II  ||

„  5J-   a,-   v  - .[-«  «r #   - T«  v « i  |   •&  4
1

u  -   a  -   s   ̂ §  K  v  v  r ~ ^ f  t  »«  -

i   ̂ v  v  - f«  f  - ui«  i  i i  /   /
*   - 14   -   a  ««  v  *    ̂ - U f  '  a  s

«  *T>  - Tj  - TJ  - -S  S-   &•

i  ,   ,    ̂ «"  f  f  f  f
i^ł  O  .  1  O  i  *  I  O  M

t  tf  *-   ł  8°
•a  «  5   '  £  n  i

i  r h  rt  3  «.  i
S  ' l i

1   ^
j.   .  «  ©

1   1   1   3

S  o  -   -   -   |   1   ?  > -   '»  1
»•   M   +
TH  -   V*

II

 ̂ II  o  *   o  II  o  II  o  II  o  *   o  7   ̂ "T
T 3  • "<  I I  **   I I  "  ̂ M J  "  ̂ S l  * ^  " U  ^ 1 1

O *  « P ł  « P i  „ t S  n N  K < S  « M  o |   H

g>  O- O  O O  O- O  O<S  O- O  O- Q  - g  =    ̂ -O  |>O
-   (S  % o"  II  o"  II  o"  II  o"  K-   o"  H.  o"  %  >)(.   - ł),   ||

'.  •   II  o  - .M  (  l  li  O  II  O  II  °  Ml  i i  M  M
»Q  II  »Q  11*  > Q  i!  >Q  11   >Q  II  < l ( K  £  1 *   £  O

[ 2 1 4 ]



AN AL I Z A  M OD ELI  R E O LO G I C Z N YC H   215

P o  wykonaniu  transformacji  odwrotnej  otrzymuje się

+ [a
1
c

s
(t')+a

2
c

6
(t

r
)K<x

0
- a

r
-

1
)+a

2
c

5
(t')(a

l
- a

t
„

l
).  (2.10)

Podstawiają c  t'  — # r i uwzglę dniają c,  że e(&T) =  etf  dostajemy

+ c
3
 ,

T
(2a

t
  a 2 + a 0

  a i ) +  c 4 p T •  2a0 a2 +

• +(aiC
5
.i:+a

2
c

6tr
)(ci

Q
- 0

T
_

1
)  + a

2
cs,A<Zi - ^ - i )-   (2.11)

D la  prostoty  zapisu ozn aczon o:

Ą , t - c , ( #T ) ,  /  =   0 , 1 , . , . , 6 .

Zestawienie  współ czynników  c,- .T dla  róż nych  postaci  wielomianu  2( D )  zawiera tab-
lica 1,
Wykorzystanie  tej  tablicy  i  dobór  współ czynników  a

0
,  a

l
  i a

2
  we wzorze  (2.11)  pozwala

wykorzystać  ten zwią zek  dla każ dego  modelu  co najwyż ej  pię cioparametrowego.
Zwią zek  rekurencyjny  (2.11)  pozwala  obliczyć  e  w  chwili  t

t
  jeś li  jest  w  tejże  chwili

okreś lone  a oraz jeś li  dan y jest  stan  ukł adu w chwili  poprzedniej  ? r _ t . W równaniu  (2.11)
wystę puje  również  prę dkość  odkształ cenia e i niezbę dny jest  wzór  dla jej  obliczenia. Prę d-
kość  odkształ cenia  otrzym am y  obliczają c  pochodną   s(ł ') ze wzoru  (2.10)  i  podstawiają c
t'  =  # T . W wyniku  otrzymuje  się

+ ć 3  i T ( 2
a J L - ó 'I _ 1 ) ,  (2.12)

Współ czynniki  ć i i T  zestawiono  w  tablicy  2.  Wzory  (2.11)  i  (2.12)  są   sł uszne zarówno
dla  aproksymacji  kwadratowej,  jak i liniowej.  W tablicach  1 i 2 został y zestawione  współ -
czynniki  cj, T i  ć i i T  dla  wszystkich  moż liwych  teoretycznie  kombinacji  współ czynników
bo>  bj. i b

2
.  N iekoniecznie musi  to oznaczać, że wszystkie podan e kombinacje  są   fizycznie

moż liwe.  N p . p o d pozycją   1 przypadek  b
0
  ^   0, b

x
  =  0, b

2
  -   0  oznaczał by w  ogólnoś ci,

że  odkształ cenie jest  kombinacją   liniową   a, a, a, co raczej  wydaje  się  być przypadkiem
fizycznie  niemoż liwym.  Jeś li  jedn akże  przyją ć,  że a

0
  j=  0  i  a±  =  a

2
  — 0, t o przypadek  1

doprowadzi  nas d o ciał a  H ooke'a. P odobnie pojawianie  się  dystrybucji  <5(#r) i jej pochod-
nych  przy  niektórych  współ czynnikach  c 6 > 1 trudn e jest  do  fizycznego  zinterpretowania.
N ależy jedn ak  zwrócić  uwagę ,  że współ czynnik  c

6
,

x
  wystę puje  w  iloczynie  ze współ czyn-

nikiem  a
2
.  M oż na  by  wię c  postawić  pytanie,  czy  istnieją   takie  modele  Teologiczne, dla

których  wystę puje  w równ an iu  stan u przyspieszenie  naprę ż enia i jednocześ nie  współ czyn-
niki  b

0
,  b

L
  i  b

2
  odpowiadają   przypadkom  poz.  2 i  poz.  6  omawianych  tablic?  N a to py-

tanie brak jest w tej pracy  odpowiedzi,  choć autorzy są dzą, że odpowiedź  był aby  negatyw-
n a.  D o takiego  są du  skł an ia  analiza  wszystkich  znanych  autorom modeli  reologicznych.
W  dalszych  rozważ aniach przyjmuje  się  wię c, że jeś li zachodzi przypadek  2 lub 6, to a

2
  = 0.



­u  ^  ^  ­ ;  Ij?  1  «  *>  «  i  ,

:­  ­u­ f­ "rf.  T  i  4  =  t
" l * > .  '  i

1  ­.  o  ,.  *w  7  ­f  1  ­5"

i  „­  ?r  . x  i x * ?•
!  1  °  9  ­  '  I  °  3  *  1:  i  ^
rl  8  *  I'  1  *  " i
a  C  J  8.  g  a
&  X

*:  .  i 4­T J­ i
.5"  o  o  o  o  ­g  ­8  f  §  o  H  |  ­

f  f  ^ |  1 *  \  i  i

^ ­i  ­i
^  "  o  t  o  II  o  ­ H ­ o  II  o  * ° 7  V  T 1

^  « •  II  J ?  II  uJ. %  ^  *  j ?  %  *  U  o  <=l  Q

P;  O < I O ­ Q O ­ O  o < s  cT­<a  cT  •«?

a  %  o "  II  o"  11 o "  II  o "  H> o "  ~H~  o"  ­^  ^  ^

j ?  II  j ?  U.  4 "  H  ­s  *  4  II  ­ o * ^  ^  j ?

P16J



AN AL I Z A  M OD ELI  R E OLOG I C Z N YC H   217

W  przypadku  aproksymacji  liniowej  podstawia  się   a 0  i  oct  zgodnie  ze  wzorami  (2.3)
oraz  uwzglę dnia  się ,  że  a 2  =   0.  P o  przekształ ceniach  otrzymuje  się   nastę pują cy  zwią zek
rekurencyjny  dla odkształ cenia

-
7
:—{a

T
_

t
- a'

x
„

2
).  (2.13)

We  wzo r ze  ( 2.13) :

T *
  =

  - §~  ( flo c 3 ,r +  at  c2  >T +  «2  c 5 , r ) ,

/ If f , .  =  ar^—  O T .

We  wzorze  (2.13) wystę puje  pon adto prę dkość odkształ cenia, którą   oblicza  się   wzorem

,t~—

1

W  przypadku  aproksymacji  kwadratowej  otrzymuje  się :

e r  =   C o . T fi r - i + c1 . T e r _ 1 + y T ( T r  +  (flroc

(2.16)

2
yt  =   - ^ 2  (a

0
c

Ą
,

r
+a

s
c

3iX
+a

2
c

2tX
),

et  =  ć 0 , r e t _ a + ć 1 , T g t _ 1

2
Yt  =   ^ 2  ( «o i - ' 4 . T + a i ć3 > r + a 2 ć 2 > r ) ,  (2.17)

2

2

Wzory  (2.13)  i  (2.16)  pozwalają   obliczyć  e r ,  to  znaczy  granicę   lewostronną   funkcji
s(t)  w  pun kcie  t  =  t

r
.  Jeś li  funkcja  jest  w  tym  punkcie  niecią gł a, to  zachodzi  potrzeba

obliczenia  również  gran icy  prawostronnej  e'
x
.  G ran icę   tę   obliczymy  za  pomocą   wzoru

(2.10), bowiem  e(0)  - d -
M oż na  wykazać,  że  wył ą czywszy  przypadek  1 w  tablicy  1 jako  mogą cy  prowadzić  tylko
do  ciał a  H ooke'a,  dla  wszystkich  pozostał ych  przypadków  otrzymuje  się   co(0)  =   1,



218  R . Ś wiTKA,  B.  H U S I AR

Ci(O) =   c 2(0)  =   c3(0) -   c4(0)  =   O  oraz  c5(0)  =   y - ,  jeś li ^  «p* 0 i Z>2 « 0  oraz  c s( 0)  =  0

jeś li b
2
 ̂   0.  W   koń cu  c 6(0)  =  T  -  jeś li fc2 ̂   0, a w przypadkach  2 i 6 uzasadn ion e  zo-

«2
stał o już,  że  a

2
  =  0.  Otrzymuje  się   wię c  w  postaci  ogólnej

lub,  z  uwzglę dnieniem  powyż szych  wywodów

g ; =   ez+j- Aar,  (2.18)

jeś li b
x
  T̂   0 i b

2
  =   0,  oraz

' B J - ^ + ^ - J O ,,  (2.19)

jeś li  &2  T^ 0.

Wzory  (2.18- 2.19)  są  sł uszne  dla  aproksymacji  liniowej  i  kwadratowej.  Z e  wzorów

tych  wynika  też,  że  funkcja  e(t)  jest  cią gła  (mimo  niecią gł oś ci  funkcji  a(t)),  jeś li  a
1
 — 0

w przypadkach  2 i 6,  lub  a 2  =   0 w  przypadkach  pozostał ych. Jest  t ak  n p .  w  m odelu  Kel-

vina- Voigta  (przyp.  6), w  którym  a
x
 =  0.  D la  m odelu  M axwella  (przyp.  2) jest  a

L
  =  ~

Et

i  skok  funkcji  a(t)  powodxije  niecią gł ość s(t).
W  podobny  sposób  m oż na  okreś lić  granice  prawostron n e  funkcji  e(t)  jeś li  jest  nie-

cią gł a.  Otrzymuje  się :

&  =   e,
T
+ -

U
° "7 M l •   • Ao

r
+ ~-  Aa

r
,  (2.20)

jeś li b
x
 #  0 i b

2
 — 0,  oraz

4 I - M - ^ T2 I ^ + T Ł ^ T ,  (2.21)
o 2  6 2

jeś li  Z>2 7̂  0.

3.  D yskretna  analiza  modeli  Teologicznych

3.1.  Model Kelvina- Voigta.  Wł asnoś ci  fizyczne  ciał a  Kelvina- Voigta  opisuje  zwią zek  róż-
niczkowy

a(t)  =  E&(t)+i)'s(t)  (3.1)

w  którym  wystę pują   dwa  param etry:  E i rj.

M odel  Kelvina- Voigta  jest  wię c  przypadkiem  szczególnym  m odelu  opisan ego  równa-
niem  (2.7), w  którym  należy  przyją ć:  a 0 =  1> «i =  a2 =   0,  6 0  =  E,  &!  ==  i?, 6 2  =   0.

W  uję ciu  dyskretnym  równ an ie  stan u  ciał a  Kelvina- Voigta  m a  postać

',- u  13.2)



AN ALIZA  MODELI  REOLOGICZNYCH   219

w przypadku  aproksymacji  liniowej,  oraz

w przypadku  aproksymacji  kwadratowej.  We  wzorach  (3.2) i  (3.3)

— e  "t

2 e - »

3.1.1.  Wyznaczmy  krzywą   peł zania przyjmują c  w tym celu

tf(0  -   o°H(t),  (3.5)

H(t)  —  funkcja  H eaviside'a.
Rozwią zanie  ś cisłe jest  ogólnie znane

fi(O  =   ~ O - e - f >-   (3.6)

Ponieważ  dla  t  >  0 jest  a(t)  =  0,  wię c  ó C i  = 0  oraz  cv_j  =   a
T
  =   <T°, wobec  czego

A- e - S f c -i  +  ̂ Cl- e - f? ),  (3.7)

zarówno  dla  aproksymacji  b'niowej,  jak  też  kwadratowej.  Wyniki  uzyskane  za  pomocą
wzoru  (3.7)  pokrywają   się   dokł adnie z  wynikami  ś cisł ymi  wg  (3.6)  i  to  niezależ nie  od
doboru  dł ugoś ci kroku  # T w  (3.7).

3.1.2.  Przebieg naprę ż eń w przedziale  t  e 10, —  I dany jest  funkcją

a(t)  =  o°ń ncot.  (3.8)

Rozwią zanie  ś cisłe m a postać [1]:

1 +   U  7  (3- 9)

<P  =   a r c t g—  .
a

D o  dalszych  obliczeń  przyję to  dane  wedł ug  monografii  [15]  s.  170  zawierają ce  wy-
niki  badań  J.  Kmity  nad  parametrami lepkosprę ż ystymi  lin  stalowych:  E  =   2 •   105  M Pa,

n
  =  4 249 000  kG dni/ cm 2 =   42,49-   104  M Pa  dni  =   102-   105  M Pah.  Przyję to,  że  wol-

nozmienne  obcią ż enie  przebiega  w  przedziale  (0;  14 dni)  wg  pół fali  sinusoidy;  m =

=   T 7 - AT  -   ^ ^ T T -   Ł "1 .  w0  =   6- 10-3  M Pa.
14  dzień  24- 14
Obliczenia wykonano

1°  wedł ug wzoru  ś cisł ego  (3.9);
2°  wedł ug zwią zku  rekurencyjnego  (3.2)  (aproksymacja  liniowa)  ze  stał ym krokiem  rów-

równym  kolejno:  • &  =  24h, • &  -   2 •   24/ ;, #   =   4 •   24h;



"H  O p
•3  8   5

I  °  a  2

?  I"*-   00   O

• 1 {   s.   ą  s
|   4 °  =,   8  ?3

i s "  »-< m  * t  as  ^t  O\   »n
S  . ,   oo m  ui  "n  «s  O\   oo
E  M   <S f n *- *   * - l t"-  *£>  W"ł
> i l l  \ O VO ©< t »  • *   »- i  \ O
8  "  O  • *"  m"  - T vo vt> - T  J "
" n c f e  >-t N  N  W  <S  »H

H

flj   ̂ "̂ ł*   00  O O O O O  ^5 O O O C  C?
• n  O N O O O M ^ O ' - O ' — t 1  ̂ t  ̂*S vo es <5  »o

11  O rt ̂   M  W 00   ^ l ^ ł f l l ^ ^ ^ H ^ r t

O

X  ' 3   N  • *   S
C  '0   8   S  S
V  *   S  K  3

II  0 0   O  "O
_  "  O  »S"  1O  CT\
" )  tfc  rH  M   "

1  1
• B  g  ' 5  h - o o o o o o
»•   1 — t w  m  m  f*~i —1   r- 1  Ch  v£j

e d f s t  m « S f O T t - Q l v - - ' r t -
. 2 .  ^̂   o o o f ^ ' ^ i ^ o o v o
y  u  1 0  • *   >n r j  ̂ CJ,   •   r-   "*
3  0   • *"  tń  <-T  «?  «3   0 "  —*

|

M

|ł  0   r- i  t "  00  t»{  h  «-i ̂   vo"  r*"  \o  " ł   <H  \ D  H  •

1
.,.  m ̂ ^  " * * o o o o o o o o o o m < ? o

â,,,,   n«ono0 5 i»iOfCł * Hi»»

• *  1 3  >  - . n r t N M P I M N N r t - i

„ C L  H  m A  m  00  >o  * n  0 0   o\  a\  tn  * - *
X r j  t n r o o o l n c s  C h v ^ Q Q t n w ^
^^sS  f l O ̂  *  Q ^t   ̂O 5  T  O  <O

1  V,  ' 3   0 - ^ r ^ m T f « \ o r - o o ^ O ' - H M m '*
»5  ^ t «-^  »-ł  TH  ł - l

[230]



AN AL I Z A  MODJGLI R E O U XJI C Z N YC H 221

ff!tl

0   .1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14

0 1   2   3   U  5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   *„

Łltl

Rys.  4

alt)

20*

o"

0   T  2T  3T  a  5T  6T  7T

. »h, 2 4 h.

0  T  2T  3T  4T  5T  6T  7T

S x i f f 6 -

Rys.  5

3°  wedł ug  zwią zku  rekurencyjnego  (3.3)  (aproksymacja  kwadratowa)  ze  stał ym krokiem
równym  kolejno  & =  24h,  #   =   2 •   24h, 0  =   4  •  2Ak,  & =   7 •   2Ah.
Wyniki  zestawiono  w  tablicy  3  oraz  n a  rysunku  4.  Widoczny  jest  wpł yw  dł ugoś ci

kroku  n a  dokł adn ość  obliczeń  oraz  przewaga  aproksymacji  kwadratowej  n ad  liniową .
N iemniej  m oż na  stwierdzić,  że  aproksymacja  liniowa  daje  dostatecznie  dokł adne  dla
celów  praktycznych  wyniki  nawet  przy  znacznej  dł ugoś ci  kroku.

3.13.  Przebieg  naprę ż eń jest  funkcją   niecią głą   przedstawioną   n a  rysunku  5:

cr(t)  =

7 "
0  <  t  <  T ,

2<r°,

2<r°

0.

2T   <

3T <

t  <

t  <

t  <

t >

2T ,
37,

AT ,

AT .

(3.10)



222  R.  Ś WITKA,  B.  H U SIAR

Otrzymuje  się  nastę pują ce  rozwią zanie  ś cisł e:

te  [1,21).  s(t)  -   - = - li  ^ r - e

* e  [42\  oo):  s( 0  =  - ^™  (1 - ea T - a 7 ' e2 a r - 2 e3 a r + 2 e 4 a r ) e ^ ' .

W uję ciu dyskretnym przyjmujemy  # r  =  T   uwzglę dniając  się , że

o'
0
  = 0 ,  ffj  =   ffi  =   cr°,  cr2  =   cr°,  o'2  -   2o °,  0-3 =   03  =  2o- °,

<T Ą   =  a*.  =   O,  o 5  =   a ś  =   O,  . . . ,  o r a z

D la  aproksymacji  liniowej  otrzymuje  się  zwią zek  rekurencyjny  w postaci

"»  w  I~ 1'  E \   « r  / "  E
ską d,  przy  warunku  począ tkowym  e 0 =  0, oblicza  się  kolejn o:

l - e - a T '61 "Tl 1 " a T  / '
ar  i

E 2
~  BV  OL T

.0  /   „ ar  i
1  - 3 °eT

.,2- e—  _ ^ -

—

Stosują c  aproksymację   kwadratową   otrzymuje  się  zwią zek  rekurencyjny



AN AU Z A  MOD ELI RKOLOG IC/ .N YCH 223

Wyniki  otrzymane za  pomocą   wzoru  (3.13)  są   identyczne z  otrzymanymi ze  wzoru  (3.12)
oraz, jak  ł atwo  sprawdzić,  z  wynikami  rozwią zania  ś cisł ego  (3.11).

3.1.4.  Przebieg  naprę ż eń dany jest  funkcją

(3.14)
ff°, T .

W  tablicy  4  zestawiono  wartoś ci  funkcji  s(t).  Aproksymacja  kwadratowa  daje  wyniki
pokrywają ce  się   ze  ś cisł ymi,  ponieważ  dokł adnie opisuje  przebieg  naprę ż eń  w  cał ym za-
kresie  zmiennoś ci t.  Wykresy  a(t)  i  s(t)  pokazan e są   n a  rysunku  6.

o(t)

0   T  2 T 3 T  CT  5T

0  T  2T  3T  4T  5T  t r

1 0 "8

6 { t )

Rys.  6

Tablica  4

f

Igodz.]

0

6

12

1 8 '

24
48
72
96

120

144

o(t)  x  103

[M P a]

0

2,625

4,500

5,625
6,000
6,000

6,000
6,000

6,000

6,000

wartość

d o kł ad n a

0
0,77750

2,71353

5,26316
7,94196

16,22330

21,39553
24,62593

26,64352

27,90364

e( r ) xlO 9

aproksymacja
liniowa

0

0,74282

2.64802

5,17024

7,82468

16,15007

21,34982

24,59740

26,62573

27,89255

%  bł ę du

4,46

2,41
1,76

1,48
0,45

0,21

0,12

0,07

0,04

3.2.  Model  Zenera  (rys.  7)
Równanie  stanu m a postać

E ,

12
(3.15)



224  R-   Ś WI T K A,  B.  H U SI AR

Przyjmują c  stał y krok  $
T
  =   T , otrzymuje  się   dla  aproksymacji  liniowej

+
  ~E

S
  \ E t + E 2

oraz  dla aproksymacji  kwadratowej

E,

+ •

+ E 2  ~uT

E ,  r  2

a  =

D la  granicy prawostronnej otrzymuje  się   wzór

zlcrr
° ' - c ' n  E 1 + E 2 -

N iech przebieg  naprę ż eń przedstawia  wykres n a  rysunku  8. T o  znaczy

0  <  t  <  T ,

T   <t  <2T ,

0,  2T   <  t  <  oo-

Oil)

n'

1

s.
s,

zr 3T
t

eiu

10-

2T  3T

96h  , | ,  96h  |

R ys.  8

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)



AN AL I Z A  M OD ELI  REOLOG IC Z N YC H 225

Rozwią zanie ś cisłe ma  postać:

/  6( 0,  T ):

te(T ,2T ):

te(2T ,  oo):

l + e -
(3.20)

W  uję ciu  dyskretnym  przyjmujemy  stał y  krok  # T =   T  i  uwzglę dniamy  w  obliczeniach,
że  a'

o
  =   o°,  Aa

0
  =   o- 0,  a

x
  =   <r°,  crj  =   2a°,  Aa

t
  =   ff°,  a 2  =   a°,  a'2  -   0,  /J<x2  =   - o -

0,

a 3  =   a'3  =   ...  =   0;  bo  =   ^  =   0,  er i  =   tf2  =   -   y ,  ^  =   ^3  =   ^ 3 =   ...  =   0.

Aproksymacja  liniowa  (3.16)  i  kwadratowa  (3.17)  daje  identyczne  nastę pują ce  wyniki:

E 2
E i + E j

(3.21)

G ranice prawostronne funkcji  e(t)  są  równe:

e'o =  p  , „   ,  ei  =   £1 + E , + E 2 ' (3.22)

e
2
  =  e

2
-

Ł atwo  m oż na  sprawdzić,  że  za  pomocą  wzorów  ś cisł ych  (3.20)  otrzyma  się  identyczne
wartoś ci  odkształ ceń  w  chwilach  t

x
  =  T *

a
  2T *,  3T", . . . .  W  celu  sporzą dzenia  wykresu

e(/ )  zagę szczono  wę zły  n a  osi  czasu  przyjmując  # T =   - ~T .  Wyniki  obliczeń  dla  T  =   96 h,

a 0  =   5  M P a,  E i  =   9,5  •   103  M P a,  E 2  =   22,5  •   10
3  M P a,  r/ 2  =   49,92  •   10

5  M P ah  ilu-
struje  wykres  n a  rysun ku  8.  Powyż sze  dane  został y  wzię te  z  monografii  I.  KISIELA.  [15]
wedł ug  badań  A.  M itzla  i  A.  D ziendziela  dotyczą cych  betonu.

Rys.  9

15  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 84



226 R .  Ś WI T K A,  B.  H usiAR

3.3.  Model  Burgersa  (rys.  9)

W  czteroparametrowym modelu Burgersa  jest  a
0
  =   1,

Przyjmując  stał y krok  # T  =   T  otrzymuje  się  dla  aproksymacji  liniowej

\ - e~
XT

  .

E 2  XT

tyi  EiE 2  \ Vl  E j  XT

1  / l  i  \   i- e-»  1  J__l

B~   I'M   VI  A  I   T 1  ~E~

1  1 . - 1  l - e-
J ! r

E J  T

D la  aproksymacji  kwadratowej  otrzymuje  się

£ T  =   S T -
7X  ElE2  E2  XT

2

'l~  —

" T - 1  +

16i?

2  / E 1 + Ę 2  2
+6»!  T  E2A  \   EjEa

  T  E2AT,

1  /   1  1 \   l - e - *r l  .  1  l - e - *T  , .

| ' | 2  E 1 + E 2  2  l -
cr—1  ~

2  l - e - A r \   ,

[E2E 2  AJ
E 1 + E 2  1(  } J

1(   } J r"

(3.24)

(3.25)

(3.26)



AN AL I Z A  M OD ELI  REOLOGrczNYCH   227

3.3.1.  D la  obcią ż enia

or(0  -   a°H(t)  (3.27)

otrzymuje  się

e(t)  = - £[f +   (a, -  j ]  (1 - z-M)+a
2
h- A.  (3.28)

Jest  to wynik  ś cisł y. Identyczne wyniki  otrzymuje  się  za pomocą wzorów  rekurencyj-
nych,  co wynika  stą d,  że każ da  aproksymacja  opisuje  dokł adnie funkcję  typu  (3.27).
Krok  # T może być dowolnie dł ugi.

W  aproksymacji  liniowej  w pierwszym  kroku należy przyją ć:  e0 =  0, ś0  =  0, a0 = 0,
a'

o
 =  ff°, Aa

0
 = o

0
, tft =  a°, czyli  dla r = 1 ( 0, =  T );

G ranice  prawostronne odkształ cenia i prę dkoś ci  odkształ cenia  dla t =  0 obliczamy wzo-
rem  (2.19)

i  wzorem (2.21)

Identyczne wyniki  otrzymamy z (3.28)
D la  T =  2, 3, ... otrzymuje  się

l - e - A r  .  a°T
—j —A^ . ,  +   —

D la  aproksymacji  kwadratowej  należy  dodatkowo przyjąć  Aa
x
 = 0 dla  wszystkich  r.

3.3.2.  Przyję to  program  obcią ż enia

a(t)  = ahincot.  (3.29)

Bezpoś rednie  rozwią zanie  równania  róż niczkowego  metodą  transfonnacji  Laplace'a
daje wynik

,  \   o° r i  •   / 1  \   /   A  A  .  i
eu )  =  - r-1—- r- +Ae~  — —.r + / 4  coscof+   a2H   A] sinaiM,b

2
  \ _toX  \ o>l  I  \   (o  I  J  3 Q ^

15*



(S  "*f  OS
• C  O\   M   OS
f s  >n  o  m

-   <r>  <s  \ o

II  o  os"  os  " i

=6  '  7

j?  ©  vo  r- .   .- i
>  „  —.   oo  r-   ui

2  u  R,   * i.   * i  *"«
• a  "  o  oT  "•   »  o
|   *   -   - ,   |

•S  H  o  o"  t̂ *1  ocT  r i  i- H1  o"  t  ̂ i*^1  r*   o"

o.   *   1   1   1   1   '
<

II  O " ) " Ó ' W T ' | ^' O C 0 0 « > ( N '  >£>rt  *   O  *   f- "  OO  ^ "  Ifl  rt  VO  O"

*   '  1   1   1   1   1   1   1   '  '

„  S  S  3   S
2   rt  C5   N

x  11   o  »  o"  4
£  *   i i
to

«  f  ̂ CT*   Ĉ -   O

li  I  i  1   i
H  d  "  o  °o  O  oo  o -

 ̂ *   -   7   i
S.   _  m O N — i o o y s M - t - T - i M *
g °  » o \ - > ? 5 \ — i O K m S > n \ o
D<  II  o  o "  (-  ̂ oo"  w  ^*   o "  (- •"  t~  ̂ rn1  cT

<  es,   7   7   7   7   i

w  ^ £ i o o T - H O \ ł - i T t o o o \ ' — i h - O ^ n i o ^ i o v i T t̂
It  o  v{   o"  >n  h-"  cT  «  \o*   N "  \O  t -   rj-"  O  • *" K  oo  h-"  <o   ̂ ô  o

*   '  1   1   1   !  1   1   1   '  '

• O SO  O T W ' O ' t O ' n ^ N O O O O ^ V O a ^ ' t ^ Q O O ^

f  ri   ̂ ' O 0 0 i - t O \ ł - H r t - O © < j \T - ł t ^ © T l - f O » n 0 \ > ^ ł n
i < t - ^0

ri  22   ©  »n  ©"  * n  o-   oC  oo"  ô"  n"  ô   ̂ r f  ©  - t̂"  t*-'  oo"  t  ̂ <n  *-<  ô  o

• «  *   '  |   |   |   |   |   |   |   '  '

O  —i O  • *   • r f O ^ - iO  O r t O T j -   - >t O  —i  O
,   T - t t ^T —tm  f n  • —i  t—•  »—̂  H  t  ̂ r 4   m  C * I ^ * ^ ^ H

• ~ ,̂?  T t v o - i t >o  < o - * ^ o - *   r t  «  Tf  vp  vo - ^i - vo - -̂
^• Oi  ' n r - l ' nO  O  n  M   1   > O < S w - lO  O  m  N  " 1
^ E  o o m o o r ^ o t ^ o o v n o o  o o t n o o ^ o t ^ o o w - i o o Q

£ ,   o  H  cn ' t  in  y )  i n  ^f  rn  - H o  f- i m  i t  in"   ̂ >n  TJ-   m  H
1   1   1   1   1   1   1   1   1

f  ̂ ( S T t V O O O O M T j - V O O D O f ^ ' ^ ' O O O O f S ^ V O O O O

[ 2 2 8 ]



AN AL I Z A  M OD ELI  R E O LO G I C Z N YC H 229

Obliczenia  num eryczn e  wykon an o  przyjmują c  dla  polistyrenu  KA  w  tem peraturze
293  K  (~ 20°C )  za  [16]  nastę pują ce  d an e:

E i  =   3,32  •   103  M P a,  E 2  =   4,30 •   10*  M P a,
tji  -   6,45  •   108  M P a •   s,  rj

2
  =  9,62 •   107  M P a •   s.

Przyję to  róż ne  dł ugoś ci kro ku  w  celu  zbadania, jaki  t o  m a wpł yw  n a dokł adn ość obliczeń

( 0  =   0,2/ r, 0  =   0,4A,  • &  =  \ h, & =   1,2A), Przyję to  n adt o a  =   6 M P a i co =   —h'1.

W  pierwszym  kro ku  należy  przyją ć  nastę pują ce  wartoś ci  począ tkowe:  e 0  =   0,  e 0  =   0,
tfo =   <f'- i — o'o =   0,  Aa

0
  =   0,  ć >ó =   coa°,  Aa

0
  =   ma0.  G ranicę   prawostronną   prę dkoś ci

odkształ cenia  dla  t  =   0  oblicza  się   wzorem :

P- 0  =
coa°

Wyniki  zestawiono  w  tablicy  5.  Widoczne  jest,  że  aproksymacja  kwadratowa  daje
przy  tej  samej  dł ugoś ci kro ku  znacznie dokł adniejsze  wyniki.

4.  U wagi  koń cowe

P rzedstawion a  m et o d a pozwala  opisać  zjawisko  peł zania materiał ów, przy  czym  w n i-
niejszej  pracy  ogran iczon o  się   d o  jednoosiowego  stan u  naprę ż enia.  M etoda jest  dobrze
przystosowan a  d o  skoń czonej  liczby  niecią gł oś ci  funkcji  a(t)  i jej  pochodnej  a(t).  Punkty
niecią gł oś ci  muszą   być  wę zł ami  n a  osi  czasu.

M etoda  jest  obcią ż ona  tylko  bł ę dem  aproksymacji  przebiegu  naprę ż eń.  Oznacza  t o ,
ie  jeś li  funkcja  a{i)  jest  odcin kam i  liniowa  lub  paraboliczn a  i jeś li  wę zły umieś ci  się   przy-

aproksymacja  liniowo

-   aproksymacja kwadratowa

Rys.  10



230 R.  Ś WITKA,  B .  HUSIAR

aproksymacja
liniowa

———  aproksymacja
kwadratowa

Rys.  11

najmniej  we  wszystkich  pun ktach niecią gł oś ci  funkcji  a(t)  i  jej  pochodn ej  cr(t),  to  otrzy-
m am y  we  wszystkich  wę zł ach wyniki  ś cisłe niezależ nie  od  dł ugoś ci  kroku.

Przebieg  naprę ż eń  w  ogólnoś ci może być  bardziej  zł oż ony. W  takim  przypadku  otrzy-
muje  się   wyniki  obarczone bł ę dem zależ nym  od  dł ugoś ci  kroku.  P roblem  ten został  prze-
analizowany  dla  przebiegu  sinusoidalnego  w  przypadku  m odelu  Kelvina- Voigta  opisa-
nym  w  pkt.  3.1.2  i  w  tablicy  3  (rys.  10)  oraz  w  przypadku  m odelu  Burgersa  opisan ym
w  pkt.  3.3.2  i w tablicy  5  (rys.  11).
N a  wykresach  przedstawiono  bł ą d  bezwzglę dny  Ae  (róż nica  mię dzy  rozwią zaniem  ś cis-
ł ym  a  rozwią zaniem  wg  opisanej  metody) jako  funkcję   czasu  (lub  ś ciś lej:  wskaź n ika  ko-
lejnych  chwil  r)  oraz w  zależ noś ci  od rodzaju  aproksymacji  i  dł ugoś ci kroku.  Z wykresów
tych  wynika  oczywista  zresztą   przewaga  aproksymacji  kwadratowej  n ad  liniową   i  wyraź na
stabilność  metody.  Jest  charakterystyczne,  że  przebieg  bł ę du  aproksymacji  liniowej  jest
w  przybliż eniu  proporcjon aln y  do  przebiegu  funkcji  aproksym owanej,  n atom iast  przy
aproksymacji  kwadratowej  bł ą d  oscyluje  zmieniają c  zn ak  kro k  za  krokiem .  „ Am p lit u d a"



AN AL I Z A  M OD ELI R E O LO G I C Z N YC H 231

aproksymacja kwadratowa

tej  „ krzywej  oscylują cej"  jest,  praktyczn ie rzecz  biorą c, stał a  w cał ym badanym przedziale
czasu.  O  stabilnoś ci  m etody  ś wiadczy  też przebieg  bł ę du zanotowany w  tablicy 4.

N a  rysun ku  12  przedstawion o  ś redni  bł ą d  kwadratowy  jako  funkcję   dł ugoś ci  kroku.
D la  modelu  Kelvina- Voigta  i  dan ych  dotyczą cych  lin  stalowych  ś redni  bł ą d  kwadratowy
obliczono  w  przedziale  czasu  (0,  14  dni). K ro k  • &  — 7  dni  odpowiada  ć wiartce  sinusoidy

przebiegu  n ap rę ż en i— T \ .  Widoczne  jest  n a  rysun ku  12a,  że jeś li  dł ugość kro ku  zbliża

się   do - -  T ,  t o  bł ą d  m etody szybko  roś nie nawet  przy  zastosowaniu  aproksymacji  kwadra-

towej.

Wykresy  n a rys.  12b  dotyczą   modelu Burgersa  i danych przyję tych  dla polistyrenu  K A.
Ś redni  bł ą d  kwadratowy  obliczono w  przedziale  czasu  (0, 4h  ).  N ależy  zwrócić  uwagę   n a

T
zjawisko  zbliż ania  się   o bu  krzywych  bł ę du  do  siebie  dla  • &  >  - j- ,  co  się   tł umaczy tym ,

że  przy  t ak  dł ugim w  stosun ku  do  okresu  funkcji  kroku,  aproksym owanie  sinusoidy  od-
cinkam i  parabol  staje  się   równ ie  m ał o  przydatn e,  jak  aproksymowanie  jej  odcinkam i
prostych.

Stą d  należy  wnosić  postulat takiego  doboru dł ugoś ci kroku  ż eby w  przedziale  ( f, _ i, U)
funkcja  aproksym owan a  i jej  poch odn a był y  m on oton iczn e.



2 3 2  R .  Ś WITKA,  B.  HUSIAR

D ł ugość  kroku  moż na  wię c  n a  ogół   przyjmować  znaczną ,  co  ma  istotn e  znaczenie

przy badan iu  dł ugotrwał ych  procesów peł zania  i  stanowi  zaletę   opisanej  m etody.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  W.  D E R SK I , S.  ZIEM BA,  Analiza  modeli reobgicznych, P WN ,  Warszawa 1968.
2.  W.  N OWAC KI ,  T eoria peł zania,  Arkady,  Warszawa, 1963.
3.  I. K I SI E L, Reologiczne równania stanu oś rodków quasiliniowych,  Wyd. P AN   Oddz. we Wrocł awiu, 1980.
4.  F .  J.  LOC KETT, N onlinear Viscoelastic Solids, Akadem ie  P ress,  Lon don ,  N ew  York, 1972.
5.  Y. C.  F U N G ,  Podstawy mechaniki  ciał a  stał ego,  P WN ,  Warszawa 1969.
6.  H .  H .  IlEflAXOBCKHttj  RucKpemHO- KOHtnuHyajibHuu  Memod  «  Auuemou  meopuu  ynpyzo—no/ ią yneeo

mejia,  ITpHMeHeHHe 3JieKTpoH H bix  BLiqacJiH Ten tH bix  AianiHH   B  crpoH TeJisH OH   MexaH H Ke,  H ayi< o5a

flyM Ka,  KneB, 1968.
7.  O.  C.  Z I E N KI E WI C Z , Metoda  elementów skoń czonych, Arkady,  Warszawa, 1972.
8.  O.  C .  Z I E N KI E WI C Z ,  M . WATSON ,  I .  P.  K I N G , A  numerical method of  visco- elastic  stress  analysis,  I n t .

J.  of  M ech.  Sci.,  1968.
9.  J.  H .  ARG VRIS,  H .  BALM ER,  J. S.  D OLTSI N I S, N ieliniowoś ć materiał u w analizie metodą  elementów skoń -

czonych,  Metody  obliczeniowe  w mechanice  nieliniowej,  Ossolineum, 1977.
10.  Zastosowanie metody  elementów skoń czonych  w geotechnice,  praca  zbiorowa,  Ossolineum,  1980, s.

130- 135.
11.  Z.  KĄ CZ KOWSKI,  Metoda  czasoprzestrzennych elementów skoń czonych,  Arch .  ln ż. Lą d., 22, 3, 1976.
12.  B.  H U SIAR,  R .  Ś WITKA,  Quaslstatyczne peł zanie  cię gna lepkosprę ż ystego  w  uję ciu dyskretnym,  Arch,

ln ż.  Lą d.,  25, 1,  1979.
13.  B. HusrAR, R .  Ś WITKA,  Statyka  lepkosprę ż ystej  siatki  cię gnowej ze  wstę pnym napię ciem,  7ASZ.  N au k.

P P ,  Budownictwo  Lą dowe  n r 24, 1979.
14.  G .  D OETSC H , Praktyka  przekształ cenia L aplace'a  ,  P WN ,  Warszawa, 1964.
15.  I . K I SI E L, Reologia w budownictwie,  Arkady, Warszawa,  1967.
16.  J.  Z AWAD Z KI ,  Problemy wytę ż enia i  znuż enia polimerów jako  tworzyw  konstrukcyjnych,  P WN ,  War-

szawa, 1978.

P  e  3io  M  e

flH CKPETH Llfł  AH AJIH 3  PEOJIOri- mECKHX

B  pa6oTe  n peflcraBjraercH   Merofl  flH CKpeTH 3aipni  ypaBH eH H H   COCTOH H H H   JI H H C H H O -   BH 3KoynpyrH X

T en .  MeTOfl  COCTOHTCH   B  p a sfle n e m n i  OCH   BpeMeiiH   Ha  H H TepBaJiM, u  K O i o p u x  H anpjD KeH H e  anpoKC K-

MHpyeTCH   n in ieiin o ń  H J I H   KBaflpaTHMHoii  4>yH i«mieft.  KoHCTwryTHBHoe  ypaBH em ie  BH 3i< oyn pyroro  i e n a

n pin m TO  B BHfle flH (J)c])epeH qH ajiBH oił  3aBHCHiwocTH3  B KOTopyio  BxoflHT  n e  6ojn>ine  BTopoń  n p0H 3B0flm .ie

n o  BpeiweHH. florrj'CKaeTCH  KOHe^Hoe  tjn cjio  pa3pwBH 0CTeH   (JiyHKqHH   a(t),  a  TaiOKe  npoH SBOAH oft  b(t).

ypaBI KH H e  COCTOHHHH  flJIH  flaH H OH  annpOKCHMaUHH  B npOH3B0J!BH0M   H H TepBa^e  MO>KHO pelH H Tb TO ÎHO.

B  pe3j'Ji6TaTe  n on yn aeM   pei<ypeH TH yio  (J)opMyjryj  B KOTopoft fled)opiwai;H H  B flaH H OM  MOMeme  B b i p a wa c r o i

i e p e 3  H anp»i< eH H e  B  TOM  caiwoM   MoiweHTe  H  ve p e 3  cocT om n ie  cn creM bi  B  n peflin ecTByiom eM   M O M C H T C

<t>opMyjia  oSpeMeH eH a  TOJIŁKO  onniG Koii  annpoKCH M ainł H .  3 T O  o 6o 3H a ia e T ,  m o  fljw  j m H e t e o r o  H J I H   n a -

paSojiiP iecK oro  n p o 6 e r a  H an pH wen irii  KBaflpaTHUHaa  annpoKCH MaqH H   flocraBJiaeT  TOJffiwe  p e3yjn .T aiw

He3aBHCHMO  OT fljiH H M  m a r a .  B  flpyrnx  cjiyqaH x  fljunra  H H TepBana  peryjin pyeivia  H a  ocH OBe  npH 3H ai<a

TOMHOCTH  M0>KeT BbITŁ 3HaxiHTejIBH0Hj  a 3TO H M eei CymeCTBeHHOe 3HaMeHHe TipH  HCnblTaHHHX ^JIH TeJlbH btX

n poi?eccoB  n o ji3yn ec iH .

IIpoBefleH O  p«H   H cn brraT en tH bix  BbWH cneH H ń  «H H   pa3H biK  peon orH qecKH X  MOReneH   (KenbBH H   —

3H H ep , Byp r e p c )  H   HJIH  pa3H bix  n p o rp aM  H arpyweH H H .  n poBefleH O  aH0JiH3 O I H H 6O K flJiH

H   ana  pa3H brx  p^ nwa  m a r a .



ANALIZA  MODELI,  REOLOGICZNYCH  233

S u m m a r y

DISCRETE  ANALYSIS  OF  RHEOLOGICAL  MODELS

The  discretization method  of  the  equation  of  state  for  the  linear visco-elastic materials has been pro-
posed. The time axis has been divided into seperate time intervals; within each time interval the stresses
have been approximated by means of the linear or quadratic functions. The constitutive relation for a visco-
elastic material has been assumed in the form of a differential relation with the time derivatives at most
of the second order. It has been assumed that the number of points at which functions  a(t), &(f) suffer
discontinuities is finite. The constitutive relation for the given approximation can be solved in the exact
form.

As a result the reccurence relation has been obtained for which the state of derfomation at a given
instant is determined by the state of stress at the same instant and by the state of the body in the preced-
ing (discrete) time instant. Thus for the linear and parabolic time distributions of stress, the quadratic
approximation leads to the exact results for any length of steps. In other cases the length of the step, con-
trolled by the criterion of accuracy, can be rather big; this fact plays an essential role when long time creep
processes are considered.

A number of test calculations for different Theological models (Kelvin-Voigt, Zener, Burgers) and
for different loading programs have been performed. The error analysis for some special approximations
and different step lenghts has been given.