Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1/2,  22  (1934) PRZYROSTOWE  RÓWNANIA  N IELIN IOWEJ  TEORII  PŁYT  Z  NAPRĘ Ż ENIAMI I  U G IĘ CIAMI  POCZĄ TKOWYMI  W  ZAKRESIE  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNYM MATERIAŁU MARIAN   K M I E C I K Politechnika  Szczeciń ska 1.  Wstę p Badan ia  doś wiadczalne  [1]  pł yt  ś ciskanych  osiowo  z  naprę ż eniami wstę pnymi  i  ugię - ciami  począ tkowymi  wskazują   n a  ich  nieliniowe  zachowanie  się .  N ie  zachodzi  bowiem proporcjon aln ość  pom ię dzy  zewnę trznym  obcią ż eniem  ś ciskają cym,  a  wywoł anym  nim ugię ciem,  n awet  w  zakresie  sprę ż ystym.  G ran ica  plastycznoś ci  zostaje  osią gnię ta  przy obcią ż eniach  znacznie  niż szych  od  obcią ż eń  maksymalnych,  jakie  może  przenieść  pł yta. M aksym aln a  n oś n ość  pł yty  wystę puje  przy  ugię ciach  przekraczają cych  wielokrotnie  gru- bość  pł yty i  przy  zn aczn ym uplastycznieniu m ateriał u.  U wzglę dnienie naprę ż eń wstę pnych i  ugię ć  począ tkowych  w  obliczeniach wytrzymał oś ciowych  pł yt  ś ciskanych  osiowo  pocią ga wię c za  sobą   kon ieczn ość uwzglę dnienia  zarówn o nieliniowoś ci  fizycznej,  jak  i geometrycz- n ej.  Efektywne  rozwią zywanie  zagadnień  nieliniowych  wymaga  sformuł owań  przyrosto- wych  [2, 3, 4].  P oniż ej,  opierają c  się   n a  wariacyjnym  sformuł owaniu  równań  równowagi oraz  teorii  plastycznego  pł ynię cia  P randtla- R eussa,  wyprowadzone  został y  przyrostowe równ an ia  nieliniowej  teorii  pł yt  z  naprę ż eniami  wstę pnymi  i  ugię ciami  począ tkowymi. P odan o  także  stosown e  wyraż enia  przyrostowe  dla  rozwią zywania  zagadnienia  metodą elementu  skoń czon ego. 2.  P rzyrostowe  zwią zki  konstytutywne  w zakresie  sprę ż ysto- plastycznego materiał u R ozpatrzon e  zostan ą   pł yty  z  m ateriał u izotropowego.  Z akł ada  się   także  wzmocnienie izotropowe  p o  przekroczen iu  granicy  plastycznoś ci.  Przyjmujemy  pon adt o, że  speł niony jest postulat  D ruckera  [5] wykluczają cy  przyrost] odkształ cenia plastycznego  przy  spadku wartoś ci  n aprę ż en ia.  Cechę   tę   posiada  wię kszość  materiał ów  konstrukcyjnych,  w  tym stale  okrę towe.  W  powszechnym  zastosowaniu  są   dwie  teorie  plastycznoś ci:  odkształ ce- n iowa  i  plastycznego  pł ynię cia.  D alsze  rozważ an ia  bę dą   oparte  n a  tej  ostatniej.  Jest  on a bowiem  teorią   bardziej  ogólną .  Teoria  odkształ ceniowa  daje  poprawne  wyniki  i  zgodne z  wynikami  uzyskan ym i  n a  bazie  teorii  plastycznego  pł ynię cia  tylko  przy  obcią ż eniu 236 M .  K M I E C I K prostym, czyli  proporcjonalnym, które  zdefiniował   ILIU SZ IN   [6]. W  zwią zku  z  tym  wyniki oparte  na  teorii  plastycznego  pł ynię cia są   na  ogół  bardziej  zgodne  z  eksperymentem  [7]. Istotnym jest  także przyrostowy  charakter tej  teorii, bardziej  odpowiedni  do  rozwią zywa- nia  zł oż onych problemów  nieliniowych. P ostulat  D ruckera  zapewnia  jednoznaczność  uzyskiwanych  rozwią zań  [8],  a  jego speł nienie  wymaga  wypukł ej  powierzchni  pł ynię cia  plastycznego  oraz  ortogonalnoś ci do  tej  powierzchni  wektora  przyrostu  odkształ cenia plastycznego  [5,  8]. N ajczę ś ciej  sto- sowany  w  praktyce  warunek  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  należy  także  do  tych,  które dostarczają   wypukł ą   powierzchnię   pł ynię cia.  Zgodnie  z  tym  warunkiem  powierzchnię tą  moż na okreś lić  nastę pują co: f=o t - HM  =  0,  (2.1) gdzie: j/ 2 (2.2) N atomiast  H(x) —  granica  plastycznoś ci  zależ na  od  param etru  wzmocnienia  x.  P ara- metr  wzmocnienia  jest  tak  okreś lony,  że  przy  braku  odkształ ceń  plastycznych  x  -   0. W  zwią zku  z  tym  H{x  =   0 ) — jest  wartoś cią   począ tkowej  granicy  plastycznoś ci  a pt (rys. 2.1). H' Si Rys.  2.1 Istnieją   dwa  sposoby  wyznaczania  param etru  x.  Pierwszy  zakł ada,  że  jego  miarą   jest praca odkształ cenia plastycznego • tr *= W  =  J  audeu,  (2.3) o lub (2.4) RÓWNANIA  NIELINIOWEJ  TEORII  PŁYT  2 3 7 gdzie: de? =   3  [ ( r f e * ~de*)2+(de' ~de*) +   ( « 2  + W  sposobie  drugim y  ( «  + y  (.dy> zy +  i  (rf̂ )*]*.  (2.5) D owiedzion o,  że  dla  warun ku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  obie  drogi  prowadzą   do  tego samego  rezultatu  [9]. W  dziewię ciowymiarowej  przestrzeni  n aprę ż eń  powierzchnia  /   oddziela  stan  sprę ż ysty od plastycznego.  W  zwią zku  z  t y m /   <  0 jest stanem sprę ż ystym ,/   =   0 —  stanem plastycz- nym, n a t o m ia st /  >  0 —  stan em niedopuszczalnym. Z godnie z  (2.1)  i  (2.6) róż n iczka  funkcji  uplastycznienia Stą d  w  stanie  plastycznym  ( /   =   0) Sf . 8 au JL 8a,j n atom iast doij  <  0  —  oznacza  odcią ż enie  (2.8) da u   =   0  —  obcią ż enie  n eutraln e,  (2.9) Sf  —  obcią ż enie  prowadzą ce  do  nowej - Ir-  d0  .  :  .  .  (2.10) day  powierzchni pł ynię cia P onieważ / je st  powierzchnią   ekwipotencjalną   gradient  tej  powierzchni jest  do  niej  orto- gonalny  a jego  skł adowymi  są   pochodn e czą stkowe  =   '  , co przy  ortogonalnoś ci coy  ć a tJ d o  powierzchni  także  wektora  przyrostu  odkształ cenia  plastycznego  o  module  def  po- zwala  n a  okreś lenie jego  skł adowych w  oparciu  o  zwią zek defj  =   - ^ - dtĄ .  (2.8) W  zapisie  macierzowym  wektor  skł adowych  przyrostów  odkształ ceń  plastycznych =   {da"}  = gdzie, zgodn ie z (2.2) \   dcti   \   =   1 3a'x  3ct'y  3a*  3 T ł y  3 T y r  3 T " 1  (213) \   8a,j)  \   2or,  2o,  2o,  o,  o t   a t   j ' 238 M.  KMIECIK natomiast  a' x ,  a' y ,  a' z   są   skł adowymi  dewiatora; ax  = ax — (2.14) W  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym  odkształ cenia cał kowite  efJ  m oż na  traktować ja ko  sumę odkształ ceń  sprę ż ystych  ef,  i plastycznych  ef,  rys.  (2.1), za  tym oraz s e }  =  {de}- {ck>}, {da u }  =  {da}  =   [E]{de°}  -   [E] ({<**}- { Je"}], (2.15) (2.16) gdzie  [E] jest  konwencjonalną   macierzą   stał ych  sprę ż ystoś ci.  P rzy  panują cym  w  pł ytach cienkich pł askim stanie naprę ż eń E "1 V V 1 ~~2~ (2.17) P o  wymnoż eniu  lewostronnym  równ an ia  (2.16)  przez  {  .  '  >  i  mają c  n a  uwadze  zwią zek I  * «  ) (2.12),  a  takż eda t   = =  H'de"  (rys.  2.1). def = (2.18) Wykorzystanie  (2.18) w zwią zku  (2.12), a uzyskany  w ten sposób  rezultat n astę pn ie w zwią z- ku  (2.16)  dostarcza: {dc}  =   [ E ] - {dz}  =   [E.J (2.19) M acierz  [E e p]  m a  bardzo  duże  znaczenie  praktyczne.  P ozwala  bowiem  okreś lić  przyrosty naprę ż eń  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym  w  oparciu  o  przyrosty  odkształ ceń  cał kowi- tych,  a  wię c  w  sposób  podobn y,  jak  w  zakresie  sprę ż ystym.  M acierz  t ę   wykorzystano w  opracowanym  algorytmie  i  program ie  nieliniowej  analizy  pan eli  [10].  Pierwszy  p o d a ł ją   YAMADA  Z innymi  w  [11]  w  1968  r.  Wyprowadził   ją   także  niezależ nie,  n a  nieco  innej drodze,  Zienkiewicz  z  innymi  [12] w  1969  r.  Ł atwo  zauważ yć,  że  m acierz  może  być  także wykorzystana  w  modelach  materiał ów idealnie  sprę ż ysto- plastycznych,  dla  których  H'  — =   0. RÓWN AN IA  N IELIN IOWEJ  TEORII  PŁYT 239 D la  pł askiego  stan u  n aprę ż eń  [2]: gdzie: ~Q 2( 1+ v)  9E 9E (2.20) 3.  P rzyrostowe  wariacyjne  sformuł owanie  stanów  równowagi Z godn ie z  zasadą   prac przygotowan ych  w  dowolnym  stanie równowagi  pł yty  (rys.  3.1) przy  pominię ciu  sił   m asowych Yol  S gdzie: {de}  —  wektor  wariacji  skł adowych  ten sora odkształ ceń, {a}  —  wektor  skł adowych  ten sora n aprę ż eń, {dq}  —  wektor  wariacji  skł adowych  pomieszczeń, {/>} —  wektor  powierzchniowych  obcią ż eń  zewnę trznych. a )  b) /Py isT pofotehie(N) ototenie| N*1) potoż en ietO) W  pł ytach  cienkich istotn e znaczenie mają   tylko  trzy  skł adowe ten sora  odkształ ceń  {e}  = =   {s x s y y X y})  i  n aprę ż eń  ({er}  =   {},  (3.7) gdzie: {a 0 }  — wektor  skł adowych  tensora samozrównoważ onych  naprę ż eń  począ tkowych Stą d, zgodnie z (3.3) T0},  (3.8) oraz ff-   f  (- ^«T[E]{8}+ W> °}W-   f {€»}<».  (3.9) Równanie  (3.5)  ł ą cznie ze zwią zkami  (3.9) i 3.2)  może  stanowić  podstawę   wielu  algoryt- mów  analizy  pł yt  w  zakresie  sprę ż ystym.  Zastosowanie  wariacyjnych  równ ań  Eulera sprowadza  (3.5) do znanych nieliniowych  równań  duż ych  ugię ć  pł yt  von K arm an a, które nastę pnie  mogą   być rozwią zywane  stosowanymi  m etodam i  analitycznymi  lub numerycz- nymi  [13,14].  Wykorzystanie  natomiast w  równ an iu  (3.5) wyraż eń  róż nicowych  n a  po- chodne  czą stkowe  stanowi  podstawę   numerycznych  m etod  wariacyjno- róż nicowych  [15], a  wprowadzenie  do tych  równań  stosowanych  funkcji  opisują cych  przemieszczenia ele- mentów  pł yty za  pomocą   przemieszczeń  ich wę zł ów — t o  zn an a  i  powszechnie  już  sto- sowana  metoda elementu skoń czonego  [2.16]. Jak już zaznaczono;  przy  rozwią zywaniu  zadań  nieliniowych w mechanice  ciał  stał ych stosuje  się   zazwyczaj  przyrostowy  opis  zagadnień  brzegowo- począ tkowych.  W  zakresie sprę ż ystym  materiał u i  problemie  tylko  geometrycznie  nieliniowym  uję cie  takie  jest jed- nym  z  moż liwych,  podczas,  gdy  przy  przyrostowych  zwią zkach  konstytutywnych,  n a które  zdecydowano  się   wyż ej,  jest  ono  nieuniknione.  Traktują c  stan  równowagi  (N ) RÓWNANIA  NIELINIOWEJ  TEORII  PŁ YT  2 4 1 (rys.  3.1b)  jako  stan  odniesienia  dla  stanu  równowagi  ( iV+ l) ,  zgodnie  z  zasadą  prac przygotowanych  win n o być  speł nione równanie  [17]: /   {qn{p}{p})  -   0,  ( 3 . 1 0 ) Vol  S którem u,  wzorując  się  n a  (3.3)  i  (3.4 -  6),  moż na także  n adać postać: Ó(AII)  =   0,  (3.11) gdzie: AH  =  J  AUdV- f  {Aqf({pi N >}+{Ap})dS,  (3.12) Vol  S {a } -   {ff°}+ {<>},  (3.13) jest  stanem  naprę ż eń  w  N   wywoł anym  naprę ż eniami  począ tkowymi  {er0}  oraz  obcią ż e- niem  {/ ">}. D la  ostatecznie mał ych  przyrostów  odkształ ceń, zgodnie z  (2.16) {A (N )}  (3.15) a  n a tej  podstawie f ' ( 3 . 1 6 ) s gdzie: {Zl8}  -   {AsxAeyAyxy},  {Az>} n atom iast  w  oparciu o  (3.2) Ae x   =   A t u x - Ae y   =   Av^ - A  +  ^ A + Ay xy   =   Au^ W  powyż szych  zwią zkach (3.18) Jest  t o  sum a ugię cia  począ tkowego  w0  oraz ugię cia  w wywoł anego  obcią ż eniem w  poł oż e- n iu  równowagi  (N ).  Suma  t a  stanowi  więc  ugię cie  począ tkowe  dla  przyrostu  obcią ż enia 16  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 84 242  M . {Ap}.  P odobnie, jak  w  zakresie  sprę ż ystym,  n a  bazie  równ an ia  (3.11)  oraz  zwią zków (3.16)  i  (3.17)  m oż na  budować  algorytmy  w  technice przyrostowej.  Z astosowan ie  waria- cyjnych  równań  Eulera  dostarcza przyrostowych  róż niczkowych  równ ań równ owagi  nie- liniowej  teorii  pł yt  z  uwzglę dnieniem  uplastycznienia  m ateriał u.  R ówn an ia  te  mogą  być nastę pnie  rozwią zywane  na  drodze  obliczeniowej.  Bezpoś rednie  wykorzystanie  w  równa- niu  (3.11)  zwią zków  róż nicowych  na  pochodn e  czą stkowe  jest  podstawą  algorytm ów o  technice  wariacyjno- róż nicowej,  natom iast  opis  wektora  (A e)  za  pom ocą  stosownych funkcji  kształ tu prowadzi  do  metody elementu  skoń czonego. 4.  Przyrostowe  równania  róż niczkowe  równowagi  nieliniowej  teorii  pł yt  z  naprę ż eniam wstę pnymi  i  ugię ciami  począ tkowymi  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym W  przyrostach  odkształ ceń (3.17)  wyróż nimy  czę ść  liniową  {Ae1}  i  nieliniową  {Ae"1} oraz przyjmiemy  oznaczenia: Ae x   =  Ael+Ae'J+Ae'/ '+Ae'/   =   Ael x +Ae n J, Ae,  -   Ae'y+Ael'+Ae'/ '+Ae1/   =   Ael,+A$,  (4.1) Ay xy   =   Ay xy +Ay xy   + Ay'/ / ' + Ay x ^   — Ay' xy   +  Ay xy , gdzie: Ae' x   m  Au, x ,  Ae'y  -   Av >y ,  Ay l xy   =  Au iy +Av tX , Ae"  =   - zAw tXX ,  Ae'/ t  =   - zAw t y y ,  Ay%  =   - 2zAw lXy ,  (4.2) v, x ,Ae y "  = Wobec tego ^ 4  =   ^ £ y + ^ f i "  +  / l E " r '  ^ e j '  =   ^ eyK»  (4.3) Korzystając  z  równań wariacyjnych  Eulera m oż na dowieś ć, że T t E H ^ 8}- {^ e }r [ E ] {z] 8P }+ {ziB' "}VN ) }jr fF - J  {Aq}T{Ap}dS  (4.5) Po  uwzglę dnieniu  zwią zków  (4.1),  wartoś ci  poszczególnych  czł onów pierwszej  cał ki  po - wyż szego wyraż enia  wyniosą: Ae 1 /   = —Awf x ,Ae y v   —  - ~Awf y ,Ay' x v y   -   Aw tX Aw, y . (4.6) V'ol RÓWN AN IA  N IELIN IOWEJ  TEORII  PŁYT  2 4 3 1  /*  1  C  C m —  {As'}T\ E]{A^ }dV+—  I {Asu}T\ E]{A8II}dV+  I  {A8I}T\ E]{As"I}dV+ Vol  Vol  Vol \   c  c - -  {As ln } r \ E]{A8 IU }dV+  {As ul } T  [E]  {AsIV}dV+ 2  J  J Vol  Vol  Vol + - X- (  {̂ «IF}T[EI{/ l«IF}dF .  (4.6) 1   vii  [cd.] W  wyraż eniu tym pom in ię to  czł ony  zawierają ce  skł adowe wektora  {As11}  w  pierwszej potę dze.  Skł adowe  te są  zależ ne od z  (4.2), a wię c wartoś ci cał ek, w których  one wystę - pują   są  równe zero. j  {AB} T [E]{Ae p }dV  =  J  {AB l } T \ E]{A8<'}dV+  j{Aa II } T [E]{As l> }dF+ Vol  Vol  Vol +  J{AE m } r [E]{Ae<'}dV+  j  {A8 Ir } T [E){A8'}dV.  (4.7) Vol  Vol f  {As nl f{a^ }dV  =   j{Aslyf{a^ }dV.  (4.8) Vol  Vol Korzystają c  z kolei z zależ noś ci  (4.2) oraz przyję tych  oznaczeń  n a rys. (3.la) 1  f  {A8'nE]{A s '}dV  = « 4 - T —T  I  \ (Au   x +vAv %y )Au iX +(vAu   X +Av   y )Av >y +—~(Au, y +Av iX ) 2 \ dS,  (4.9) 1  f  - 1  Et3  f + (?Aw tXX +Aw iyy )Aw, y3 ,+2(l—  v)Aw? xy ]dS.  (4.10) J Et  r \{A8I}T\ E]{A8III}dV  =   T  I  (Au  x+vAv  y)woNlAw  x+(vAu  X+Av  y)w[yAw  y +I- *  j  L  • T (4.13) 16* 244  M .  K M I E C I K 1  J  {A*«nn{A*lv}dV  =  1  ~~   J* [(A w ? I+ vA W ? y )Aw? x  + Vl  S J Vol ? y +2(l  - v)(Aw iX Aw, y ) 2 ]dS,  (4.14) J +  ±ZL Ay b/ y (Au,  ,+Av,Ą dS,  (4.15) J{zlE"} T[E ]{ziE ''}rfF =   - ^ j-   J  [(Amp x  + vAm>)Aw, xx   + Vol  V  S + {vAm p x +Am y r )Aw ii , y +(\ - y)Am p xy Aw, xy ]dS,  (4.16) Vol  V  S  *- + - d ej") w£$ zl w,  y + ,, +  wfftA w, Ą  dS,  (4.17) +  (v4e*'1+ ZleJp)zlw,2), +  (l- »')zly* pzlM 'iI4K', }, ]rf5,  (4.18) f {zJe/ K}VW)}̂ ^ =   f  ( 4 - ^ ^ ^ +   4 - #f M w2, +  iyS»4w »v , )d»,  (4.19) vol   J s  \ 2  2  ' J{/ lg}T{zlp}fiK'=   J  [ 4p I < d w+ fd p xZ l«, x+ i; - d py4o i , 4- ^ pw( i4u , , + id «> x) ] d S,  (4.20) s  s gdzie: 2  'i ~ 2  2   2 2   2   7 i  'i 2 "2 /   x fdz. > i t T  "7   "7 RÓWNANIA  NIELINIOWEJ  TEORII  PŁYT  2 4 5 Z sumowanie  wszystkich  cał ek  (4.9 -  20) z  uwzglę dnieniem  znaków  wystę pują cych  w  rów- n an iu  (4.5) daje  funkcjonał (j>  = (Au, x , Au, y ,  Av_ x , Av, y ,  Aw iX ,  Aw_ y , Aw. xx ,  Aw >yy ,  Aw iXy ),  ( 4.22) zgodnie  z którym An=f 8Aw  8x  \ 8Aw, x J  dy\ dAwl 8 2   I  8 + Amy'),yy+ (\ —v)Am p xy],  (4.26 gdzie:  D  =  . 12(1  —vz) F—funkcja  n aprę ż eń Airy'ego,  zgodnie z którą „  AN y   =  tAF.„,  ANxy  =   - tAFtXy R ówn an ia  (4.25) są  zn an ym i róż niczkowymi  warunkam i  równowagi  N aviera  dla pł askiego stan u  n aprę ż eń, n ie dotyczą   wię c  naszego  zagadnienia.  Równanie  (4.26)  wią że  przyrosty funkcji  ugię ć  A w  z  przyrostam i  funkcji  naprę ż eń  bł onowych  AF,  powstał e  w  wyniku przyrostu  obcią ż enia  Ap x ,  przy  zadan ym  stanie  naprę ż eń i  ugię ć  pł yty w poł oż eniu rów- nowagi  (N ). Jest  t o wię c  równ an ie z  dwoma  niewiadomymi,  bowiem  przyrosty  odkształ - ceń  plastycznych,  których  miarą   w  tym równaniu  są   Ami,  Am? y ,  Am v xy   zależą   także od Aw  i AF. 246  M .  K M I E C I K D odatkowe  równanie  wią ż ą ce  obie  te  wielkoś ci  otrzym am y  n a  bazie  równ an ia  niero- zdzielnoś ci  odkształ ceń  de  Saint- Venanta  odniesionego  d o  pł aszczyzny  ś rodkowej  pł y- ty  [19]. (A4),   yy   + 0e y ),   xx -   (Ay h xy ), xy   =   0.  (4.27) M ają c  n a  uwadze,  że  (3.17) As b x   =   Ae x (z  =   0)  =   Au >3 1 Ae b  =   AeJz  =   0)  =   Av  r,+w^ lAw   y  + - =- Aw 2 y ,  (4.28) Ay xy   =   «^yI y(z  =   0)  =   4 l/ , y  +  / l«, x  +  Wo 1!*^M ',j- + W;o!'y^M ;,s +  ^ M ' , i ^ *t ' , y) a  także As b  =   Asbe+Aeh/ ,  (4.29) oraz E  ' S iL ,  (4.30) równanie  (4.27)  dostarcza: ^ , „ . , , ( 5 , 5 ] }  (4- 31) Równanie  (4.31)  m oż na  również  otrzym ać  n a  drodze  wariacyjnej,  jeż eli  wykorzystan a zostanie  znana  zasada  stacjonarnoś ci  potencjał u  kom plem en tarn ego  [ 19, 20].  O ba  rów- n an ia  natom iast,  tzn.  (4.26)  i  (4.31)  jednocześ nie,  m oż na  uzyskać  takż e,  ale  p o  wprowa- dzeniu  do  zasady  prac  przygotowawczych  mnoż ników  Lagran ge'a  czyli  w  oparciu  o  za- sadę   wariacyjną   H ellingera- Reissnera  [20, 21, 22].  Ł atwo  dostrzec,  że  w  zakresie  sprę - ż ystym,  i  gdy  nie  istnieją   naprę ż enia  począ tkowe,  a  przyrost  obcią ż enia  Ap  i  ugię cia  A w potraktujemy  jako  obcią ż enie  i  ugię cie  cał kowite  (tylko  jeden  przyrost  obcią ż enia),  rów- n an ia  (4.26)  i  (4.31)  przyjmują   postać  znanych  równ ań  nieliniowej  teorii  duż ych  ugię ć pł yt: + 2H >,  xxyy +w,   y w )  =  pt+t[F,   xx(w0+w),  „ , + F,   yy(w0  + w)- 2F,  xy(w0+w)], F. xxxx +2F, xxyy +F,   yyyy   =   E[(w? xy -   w,  xx   •   w, yy )  -   (4.32) w. xx - 2w 0)X w y , xy )}. ,   xxxx RÓWN AN IA  N IELIN IOWEJ  TEORII  PŁYT 247 Równania  te dla  pł yt  bez  ugię ć począ tkowych  (w 0   = 0) został y wprowadzone  w roku  1910 przez von Karm an a, n atom iast postać podaną  wyż ej nadał  im znacznie póź niej, bo w 1937 r., M arguerre  [23]. Równania  (4.26)  i  (4.31)  stanowią   wię c  uogólnienie, w uję ciu  przyrostowym,  nieliniowej teorii  duż ych  ugię ć  pł yt  cienkich von  Karm an a n a  obszar  sprę ż ysto- plastyczny  z uwzglę d- nieniem  zarówno  naprę ż eń, jak  i ugię ć  począ tkowych. 5.  Przyrostowe  równania  równowagi  nieliniowej  teorii  pł yt z naprę ż eniami i  ugię ciami począ tkowymi  w  zakresie  sprę ź ysto- plastycznym  materiał u  w metodzie elementu skoń czonego Zgodnie z (4.2) 0 8 Jy 8 8 8x [Au(x,y) {Ae 1 }  -   {Ać x Ał y Ay l xy }  = D la  każ dego  elementu  pł yty  dobieramy  odpowiednią   funkcję   opisują cą   przemieszczenia jego pł aszczyzny  ś rodkowej  w postaci: {g(x,y)}= m*,y)]{*},  (5- 2) gdzie  {«}  jest  wektorem  przemieszczeń  liniowych  punktów  wę zł owych elementu. Stą d MrfojW- PlWMW,  a,  (5.3) {Ae 1}  =  [A1]  [&] {Au}= [C] {Au}.  (5.4 Wobec  tego  (4.5) Vol gdzie: - 4- /w Vol Vol u}dV  =   ±- {Auf  [k6] {Au},  (5.5) (5.6) jest znaną   liniową   macierzą   sztywnoś ci  bł onowej elementu pł yty [16]. Ponieważ  (4.2) {AB 11 }  =   - z 2 8 2 8x 2 8 2 8x8y Aw(x,y)  =  [A. n ]Aw(x,y) (5 . 7 ) 248  M.  KMIECIK wię c  po  doborze  odpowiedniej  funkcji  opisują cej  ugię cia  elementu pł yty w postaci: w(x,y)~  [B'\ x,y)]{w},  (5.8) gdzie  {w} jest  wektorem  przemieszczeń  liniowych  i  ką towych  punktów  wę zł owych  ele- mentu,  wówczas Aw{x,y)=[B"(x,y)]{Aw},  a,  (5.9) {ós"}  =   [A"J  [B"]  {Aw}  =  [C r i] {Aw}.  (5.10) Stą d  (4.10) T =  4  JiMW m  [C"\ {Aw}dV  m ±- {Aw} T [k z ]{Aw}, (5,11) VlVol  Vol gdzie: [ k z ] =   §[C u \ T [E\ [C n \ dV,  (5.12) Vol jest  natomiast znaną   liniową   macierzą   sztywnoś ci  n a  zginanie  elementów  pł yty  [16], Kontynuują c  okreś lanie  w  podobny  sposób  wartoś ci  nastę pnych cał ek  (4.11 -  20) przy  za- ł oż eniu, że ugię cia począ tkowe dla stanów równowagi  (N ),  w^   bę dą   wyznaczane w  oparciu o  zbliż one lub  identyczne funkcje  kształ tu, jak  w  wyraż eniu  (5.8) otrzym am y: /   {Ae'}T[E]{As!"}dV  =   Q  ({>• >&">}, {Au},  {Aw}),  (5.13) Vol gdzie,  zgodnie  z  (4.11)  elementy  wektorów  { H ^ } ,  {AU},  {AW }  W tej cał ce  wystą pią w pierwszej  potę dze. N astę pnie C 2 ({Au},  {Aw 2 })  (5.14) Vol gdzie  z kolei,  zgodnie  z  (4.12)  elementy  wektora  {Au}  wystą pią   w pierwszej,  n atom iast wektora  {Aw}  w  drugiej  potę dze. I dalej: Vol {Aw*}),  (5.15) W * 3 }),  (5.16) - i  J'{A^ nn{M v}dV  =   C s ({Aw*J),  (5.17) J  {Az'r\ E]{Ae p }dV  =   C 6({Z le"}, {zlB}),  (5.18) Vol ^ H - }),  ( 5.19) Vol RÓWN AN IA  N IELIN IOWEJ  TEORII  PŁ YT  2 4 9 /   {AĆ »Ym{A£p}dV  =  C8({/ ls 6*}, {<«>}, W ),  (5.20) Vol f  C 9 ({Ae>">),{Aw 2 }),  (5.21) / (5.22) Vol f  {Aq} T {Ap}dS =  J  Ap,AwdS+t  j s  s  ś =   C „ ( ^ „  {Aw}) +  C 1 2 ( { ^ ,  {J«})  (5.23) W  powyż szych  cał kach  przez  {̂ ef>p})  {Am p },  {M W)},  {Zl/>6} oznaczono  nastę pują ce wek- tory: Z,}, {A Pb }  - Ponieważ  winno  być  d(AII)  =  0,  a  przyrost  potencjał u  jest  funkcją  wektorów  {Au}, {dw}  przeto: gdzie  przez « oznaczono liczbę  elementów pł yty. Stąd ^ Z O  (526) Warunki  (5.26)  dostarczają  poniż sze  nieliniowe  równania  algebraiczne, w oparciu o które moż na  wyznaczyć  {Au} i  {Aw} [K b ]{Au}+ ([KL {» r a + [ K g ( {j » » D   {4 » }+ ( [ K 3 + w  ( {H - SW ) 2}) ]+ [K fj( {H - n.  {̂ H - })]+ +   [K7({ZIw2})] +  [K?({J 66"})] +  [# f'({# <">})])  {4 H-} =  {J ^ }  (5.27) +  {Apl'({Am<- })} + {Apl»} (K»> }, {Aa""})} gdzie: —  liniowa  macierz  sztywnoś ci  bł onowej pł yty liniowa  macierz  sztywnoś ci  na zginanie pł yty {Au} — wektor  przyrostów  przemieszczeń  bł onowych  pł yty  (przemieszczenia  linio- we  w kierunku  osi x i y, rys. 3.la) {Aw}  — wektor  przyrostów  przemieszczeń  wywoł anych  zginaniem  pł yty  (przemiesz- czenia  liniowe  wzdł uż osi z i  ką towe  wzglę dem  x  i y) {Ap' b } — wektor  przyrostu  ekwiwalentnych  zewnę trznych  obcią ż eń  bł onowych  pł yty {Ap\ }  — wektor  przyrostu  ekwiwalentnych  zewnę trznych  obcią ż eń  poprzecznych pł yty. 250 M .  K M I E C I K (5.28) Bardziej  zwię zła postać równań  (5.27) przystosowana  do powszechnie już  uż ywanej  w  za- gadnieniach  nieliniowych  procedury  numerycznej  N ewton a- R aph sona z  sił ami  korekcyj- nymi  [2.3] jest  nastę pują ca: gdzie: Ap{\ 2 ^ {AR K } B , {  }BC  = 0  ' KJJ .  (5.29) (5.30) (AB Znaczenie  poszczególnych  symboli  w  równ an iu  (5.29)  wyjaś nia  rys.  5.1 RÓ WN AN I A  NIELINIOWEJ  TEORII  P Ł YT 251 Rys.  5.1 D la  dostatecznie  m ał ych  kroków  obcią ż eń  równ an ia  (5.27)  moż na  nieco  uproś cić n a  drodze  ich  linearyzacji,  czyli  przez  pominię cie czł onów zależ nych  od  iloczynów  przy- rostów  skł adowych  poszczególnych  wektorów,  wzglę dnie  przyrostów  skł adowych  wekto- rów  w  potę dze drugiej i wyż szych.  Wówczas  K g  =   K #   =   K £ "  =   K1/   =   K£  =   0.  W kon- sekwencji  tego  sił y korekcyjne  zależą  tylko  od ugięć począ tkowych  oraz stopnia uplastycz- nienia  m ateriał u: (5.31) (  {Am' W  odniesieniu  d o  przyrostowych  róż niczkowych  równań  (4.26)  (4.31)  takie  uproszczenie jest  równ ozn aczn e  wyeliminowaniu  iloczynów  AF tXX Aw, yy ,AF, yy Aw, xx ,  2AF iXy Aw, xy , w  równ an iu  (4.26)  oraz  Awf xy —Aw, xx Aw, yy   w  równ an iu  (4.31).  D la  tych  samych  re- zultatów  prowadzi  zan iechan ie w  wektorze  {J e }  w  wyraż eniu  (4.5) jego  skł adowych nie- liniowych —  J w? *, - ~- Aw? y , Aw iX Aw w y  n a  począ tku  wszelkich  dział ań. P rzyrostowa  nieliniowa  teoria  pł yt  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznych  odkształ ceń m ateriał u  oraz  m et o d a  elem en tu skoń czonego stanowił y podstawę  algorytmu  i  program u obliczeń  noś noś ci  granicznej  pł yt,  których  szczegół owy  opis  zamieszczono  w  pracy  [10]. P rogram  opracowan o  w  ram ach  problem u  mię dzyresortowego  M RI- 27.  Jest  on  wyko- rzystywany  do  analizy  wpł ywu  naprę ż eń  i  ugięć  począ tkowych  n a  noś ność  graniczną pł yt poszycia  statków  przy  ś ciskaniu  osiowym.  U zyskane wyniki  badań bę dą przedmiotem kolejnych  publikacji. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  M .  KM IECIK,  Badania modelowe  noś noś ci  granicznej  osiowo- ś ciskowych  wzdł uż nie usztywnionych  pł yt okrę towych,  Zeszyty  Problemowe Techniki Okrę towej, Zeszyt N r 1. Budownictwo Okrę towe,  G dań sk, 1972. 252  M.  KMIECIK 2.  R. D.  COOK,  Concepts  and applications of finite  element analysis,  John Wiley  Sons, I n c.  1974. 3.  M .  KXEIBER,  N ieliniowa,  styczna i dynamiczna  analiza powł ok metodą  elementów skoń czonych.  Mecha- nika  Teoretyczna  i  Stosowana,  Tom  18, Zeszyt  2,  PWN  —  Warszawa,  1980. 4.  C.  S.  SMITH ,  J.  BACKLU N D ,  P.  G .  BEBG AN ,  Y.  F U JITA,  N .  JON ES,  M .  KM IECIK,  P.  M AIJERS,  P.  T  P E- DERSEN,  K. A.  RECKLIN G , A. B.  STAVOVY,  N onlinear  structural  response.  Proceedings  of  the  Seventh International  Ship  Structures  Congress,  Vol.  I, Institute  de  Recherches  de la Construction  N avale  — Paris,  1979. 5.  T eoria plastycznoś ci, praca zbiorowa  pod redakcją : W.  OLSZAKA,  P .  PERZYN Y  i A.  SAWCZUKA,  PWN   — Warszawa,  1965. 6.  A.  A.  ILIU SZIN , Pł asticznost,  G ostiechizdat —  Moskwa,  1948. 7.  N . N .  M E U N I N , J.  RŻ YSKO,  Mechanika materiał ów,  PWN  —  Warszawa,  1981. 8.  J. B.  M ARTIN ,  Plasticity: Fundamentals and general results, The M IT Press, Cambridge,  Massachusetts, 1975. 9.  R.  H I LL,  Mathematical theory of plasticity, Oxford,  1950. 10.  A.  JAZU KIEWICZ,  M.  KM IECIK,  Opis programu PL AMES  do  nieliniowej  analizy  usztywnionych  pł yt z  uwzglę dnieniem  odkształ ceń  i  naprę ż eń  spawalniczych  metodą  elementu skoń czonego. Opracowanie N r  37- S.  Politechnika  Szczeciń ska,  Instytut  Okrę towy,  Zakł ad  Konstrukcji  i  Mechaniki  Okrę tów, Szczecin,  1981. 11.  Y.  YAMADA, N .  YOSHIMURA,  T.  SAKARAI, Plastic stress- strain matrix and its  application for  the solution of elastic- plastic problems by the finite element method, IJM Sci, Vol.  10, N o . 5,  1968. 12.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  S.  VALLIAPPAN,  I . P.  K I N G ,  Elastoplastic solutions  of  engineering problems,  Initial stress,  F inite  element  approach,  IJN M E,  Vol  1,  N o .  1,  1969. 13.  M.  KMIECIK, Metody rozwią zywania  równań  nieliniowej teorii pł yt, Prace  N aukowe  Politechniki  Szcze- ciń skiej  N r  162,  Szczecin,  1981. 14.  H .  PFAU ,  M.  KM IECIK,  H . J.  KN AP P E,  Ein  Beitrag zur  Berechmng der  Verformungenund  Spannungen in  druckhelasteten  isotropen Rechteckplatten grosser  Ausbiegung unter  Vervendung von  Geeigneten Differenzenmethoden,  Schiffbauforschung  5/ 6,  1978. 15.  J.  D AN KERT, N umerische Methoden  der  Mechanik, VEB  F achbuchverlag,  Leipzig,  1977. 16.  O. C. ZIEN KIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych,  Arkady — Warszawa,  1972. 17.  K.  WASH IZU ,  Complementary  vuriational  principles  in  elasticity;  P raca  zamieszczona  w:  „D uality and  complementarity  in  mechanics  of  solids",  PAN   IP P T,  Ossolineum,  1979. 18.  J.  COLVILLE,  A general solution of  the  von Kdrmdn plate equations  by  finite  element method,  U niversity Microfilms,  A XEROX  Company, Ann  Arbor,  Michigan,  1971. 19.  T.  KOZŁOWSKI,  Zarys teorii sprę ż ystoś ci,  Arkady —  Warszawa,  1968. 20.  W.  N OWACKI,  T eoria sprę ż ystoś ci,  PWN  — Warszawa,  1970. 21.  T. H . RICH ARD S, Energy methods in stress analysis,  Applied  Science Publishers  Ltd, London,  1977. 22.  H .  PFAU ,  U .  H AR ,  Mathetnatische  Modelle zur  Berechnung  von axial  und normal belasteten,  vorvers- formten Rechteckplatten grosser Verformung  mittels Differenzenmethoden,  Schiffbauforschung,  3/ 1980. 23.  S.  WOLMIR,  Gibkije pł astinki  i oboloczki,  Moskwa,  1956. P  e  3  io  M  e H H KP H M E H TH Ł I E  yP ABH EH H H   H E JI H H E flH Oft  T E O P H H   ITJIAC TH H OK C  H A^AJI bH BI M H   HAITJWDKEHtLHMH   H   I I P O rH BAM H   B OBJIACTH ,  3eKTHBHoe  peuieH H e  H ejiKH etebix  3 aflai  Tpe6yeT  HHKpHMeHTHofi  dpopMyjmpoBKH.  B  pa6 oTe, Ha  OCHOBC  BapaaqHOHHoJi  (popiwyjnrpoBKH  ypaBHeiarii  paB H Oseciw  H  TeopHH  reueHHH BtiBeją eHŁi  raiKpiiMeHTHbie  ypaBHeBHH  HejiHHeftHoii  Teopsm  nnaciHHOK  c  HaManBHBiMH H  nporH6aiHH.  TB KH M  cnoco6oiw  nojryneHO  HHKpHMeHTHoe  o6 o6 meH H e  HejnnieHHoft  TeopHH  iuiacrHHOK 4>OH  KapMaHa  a a  ynpyronjiac npie c Kyio  o6jiacn>.  flaHbi  TaiOKe  cooTBeicTBeHHbie  BbipajKemw  «J I H  pe - o6o6meHHoft  TeopHH  MeroflOM  KOH CIH BD C  9JieMeirroB. RÓWNANIA  NIELINIOWEJ  TEORII  PŁYT  2 5 3 S u m m a r y IN CREM EN TAL  EQU ATION S  OF   N ON LIN EAR  TH EORY  O F   PLATES  WITH IN ITIAL  D EF LEC TION S AN D   STRESSES  I N   ELASTIC- PLASTIC  RAN G E Incremental approach is necessary  for  effective  solution of nonlinear problems  of structural  mechanics. The incremental equations  of finite  deflection  theory  of  plates  have been  derived  on the base  of  variational formulation  of  equilibrium  equations  taking  into  account  Prandtl- Reuss flow  theory. Initial  deflections  and  stresses  have  also  been  into  account. In this  way  an  incremental  generalization on elastic- plastic  range  of  von  Karm an nonlinear theory  of  plates has been derived.  F inite element solution of  the  generalization  has  been  demonstrated. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  maja  1982  roku