Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
1  STOSOWANA

1/ 2,  22  (1984)

WPŁ YW  PARAMETRU   WZMOCN IEN IA  NA  ZACHOWANIE  SIĘ
GRUBOŚ CDENNEJ  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNEJ  KULI

OBCIĄ Ż ON EJ  GRADIENTEM   TEMPERATURY

ZDZISŁ AW  Ś L O D E R B A CH

TADEUSZ  S A W I C K I

ZMOC  —  ZT K,  IPPT   PAN

W arszawa,

Oznaczenia  i  skróty

£ ,, e
e
  —  skł adowe  ten sora odkształ cenia

cr„  a
9
  —  skł adowe  ten sora naprę ż enia

£ p —  zredukowan e  (zastę pcze) odkształ cenie plastyczne
r —  prom ień bież ą cy  kuli

r
c
  —  prom ień strefy  sprę ż ysto- plastycznej

a —  prom ień wewnę trzny  kuli
b —  prom ień zewnę trzny  kuli
T —  t em perat u ra bież ą ca  (na prom ien iu  bież ą cym)

T
a
  —  t em perat u ra n a  prom ien iu  wewnę trznym

T
b
  —  t em perat u ra n a  prom ien iu zewnę trznym

a
0
  —  począ tkowa  gran ica  plastycznoś ci

a
e
  —  n aprę ż en ie zredukowan e  wedł ug hipotezy H - M-H

r
e
  —  prom ień bież ą cy  w  sprę ż ystej  czę ś ci  kuli

E —  m o du ł   sprę ż ystoś ci  Youn ga
E

r  —  m o du ł   wzmocnienia  plastycznego

Wielkoś ci  bezwymiarowe

m —  liniowy  param et r wzmocnienia
Q —  prom ień  bież ą cy

Q
C
 —  prom ień strefy  sprę ż ysto- plastycznej

/? —  param et r geom etrii  kuli
Pc —  param etr geometrii  kuli  dla  strefy  sprę ż ysto- plastycznej
Q

e
 —  prom ień bież ą cy  w  czę ś ci  sprę ż ystej  kuli

S
r
,  S

e
  —  skł adowe  ten sora naprę ż enia

e
r
,  e

e
  —  skł adowe  ten sora odkształ cenia



256  Z .  Ś LODERBACH, T.  SAWICKI

T —  tem peratura bież ą ca
e p  —  zastę pcze  odkształ cenie plastyczne

gp —  czę ść  plastyczna  skł adowej  obwodowej  i promieniowej  ten sora odkształ cenia
S

rc
  —  skł adowa  promieniowa  tensora  naprę ż enia  dział ają ca  n a  prom ien iu  g

c

T 0  —  tem peratura  n a prom ieniu wewnę trznym  kuli
T C —  tem peratura n a promieniu strefy  sprę ż ysto- plastycznej

r
Oc

  —  tem peratura  n a  promieniu  wewnę trznym  potrzebn a  do  uplastycznienia  kuli
do  promienia  q

c

1.  Wstę p

Celem  pracy  jest  zbadanie  wpł ywu  współ czynnika  wzmocnienia  n a  zachowanie  się
gruboś ciennej,  sprę ż ysto- plastycznej  kuli  obcią ż onej  gradientem  tem peratury.  Analizuje
się  wpł yw param etru wzmocnienia m n a rozkł ad tem peratur,  odkształ ceń, n aprę ż eń  (w tym
również  naprę ż eń  resztkowych  po  procesie  czysto  sprę ż ystego  odcią ż enia)  oraz  n a  poł o-
ż enie  strefy  sprę ż ysto- plastycznej.  Okreś la  się   również  wartoś ci  krytyczne  param etru
geometrii (|S  ~  bjd)  dla przypadku  gdy  druga  strefa  plastyczna rozpoczyn a się  n a zewnę trz-
nym promieniu badanej  kuli.

N aprę ż enia  i  odkształ cenia  w  kuli  spowodowane  są   polem  t em p erat u ry —  por
wyr.  (2.8). Tak  okreś lony  rozkł ad tem peratur był  już  cytowany  w  literaturze, n p .  w  pra-
cach  [1] +  [5]-   Powierzchnia  zewnę trzna  kuli  posiada  stał ą   tem peraturę   i  bez  tracenia
ogólnoś ci  rozwią zania  przyję to  ją   jako  równą   zero, por.  n p .  [5]. P owierzchni  wewnę trzna
i  zewnę trzna  kuli  wolne  są   od  obcią ż eń  mechanicznych, n p .  ciś nieniem.  Z akł ada  się ,  że
kula  jest  w  począ tkowym  stanie jedn orodn a  i  wolna  od  naprę ż eń  resztkowych.  M ateriał
kuli  przyję to  jako  sprę ż ysto- plastyczny  z  liniowym  wzmocnieniem  oraz  nieś ciś liwy  pla-
stycznie.  M aksymalna wartość param etru wzmocnienia m  uż yta  w pracy  wynosi  0.4  i  war-
tość  taka  był a  już  przyjmowana  w  literaturze,  n p .  w  [6].  Jako  warun ek  plastycznoś ci
przyję to  hipotezę   H ubera- M isesa,  przy  czym  zał oż on o,  że  gran ica  plastycznoś ci  n ie  za-
leży  od temperatury. D o analizy  powyż szego  zagadnienia  przyję to  teorię  m ał ych  odkształ -
ceń  w  stosunkowo  duż ym  zakresie  zmian  tem peratur.  Z akł ada  się ,  że  ciepł o  powstał e
podczas  procesu  deformacji  nie  zmienia  pola  tem peratur, co  wią że  się   z  wykorzystaniem
równań  konstytutywnych  niesprzę ż onej  termosprę ż ystoś ci  i  term oplastycznoś ci.  Z akł ada
się   pon adto,  że  wartoś ci  stał ych materiał owych nie ulegają   zm ianie.

D alszych  badań  wymaga  przypadek  gdy  n a  zewnę trznym  prom ien iu  kuli  rozpoczyna
się   propagacja  drugiej  strefy  plastycznej.  P rzypadek  t aki  omawia  się   w  pracy  [5]  lecz
dla  materiał u bez  wzmocnienia.  Bardziej  ogólną   analizę   sprę ż ysto- plastycznych  kul  dla
materiał u  ze  wzmocnieniem,  przeprowadzić  m oż na  podobn ie jak  w  pracach  [3],  [4], do-
dają c  do  obcią ż enia  termicznego  obcią ż enie  ciś nieniem  wewnę trznym  o  stosun kowo  du-
ż ym  zakresie  zmian.  M oż na  by  w  ten  sposób  sporzą dzić  odpowiednie  trójparam etrowe
nomogramy  w  miejsce  dotychczasowych  dwuparam etrowych.  R olę   trzeciego  param etru
odgrywał by  współ czynnik  wzmocnienia  m.  P roblem  analizy  gruboś ciennych  sprę ż ysto-
plastycznych  kul jest  licznie  cytowany  w  literaturze, por.  n p.  [2]H -  [16].

N owe  wyniki  otrzymane  w  niniejszej  pracy  n a  drodze  numerycznej  przedstawion o
w postaci  odpowiednich wykresów i  tabel.



W P Ł YW  P AR AM ETR U   WZ M OC N I E N I A  257

2.  Podstawowe  równania  wyjś ciowe

Wykorzystują c  prawa  symetrii  kulistej  równ an ia  zapiszemy  we  współ rzę dnych sfe-
rycznych:  promieniowych  r,  obwodowych  0,  oraz  w odpowiednich  wielkoś ciach  bezwy-
miarowych.
Równania  równowagi  i  nierozdzielnoś ci  odkształ ceń  wyglą dają   nastę pują co:

dS
r
  ,  2(S

r
- S

9
)

dg
=   0,  (2.1)

Z akł adają c  nieś ciś liwość plastyczną   materiał u,  otrzymamy:

e?  +  2eg  =  0.  (2.3)

Warunek  plastycznoś ci  H - M -H   m a postać,

| SP- Se|  =  | S| ,  (2.4)
gdzie:

s
p
  + 0  dla  |5| >  1

e»  = 0  dla  \ S\   <  1.

Warunek  \ S\   =  1  okreś la  począ tkową   granicę   plastycznoś ci  przy  prostym  rozcią ganiu
lub  ś ciskaniu.  Odkształ cenie zastę pcze  ep, po uwzglę dnieniu  (2.3) jest  nastę pują ce,

t»- |«fl,  (2.5)

Zwią zki  konstytutywne  wyglą dają   nastę pują co:

e, m S
r
~2vS

e
  +  (1 - v)  r+e?

e
e
  =  (lv)SvS  + (lv)r+e>  (  "  }

R ównania  plastycznego  pł ynię cia  P randtla- Reussa  dla przyję tego  w  pracy  monotonicz-
nego  obcią ż enia  gradientem  tem peratury,  po  scał kowaniu  przyjmują   postać  nastę pują'
cą   [2],

«f  =   fi'- ]fź §f  -   e'Sga(Sr- Se).  (2.7)

Równanie  dla  pola  tem peratury  przyję to  w nastę pują cej  formie,  por. n p.  [2]  - 4-   [5],  [10] 4-

[ U ] :

A ( H  dla  n= 0'  (2>8)
gdzie:

EaT
a
  —jest  bezwymiarową   temperaturą   dział ają cą   na  wewnę trznej  po-

( 1— v)a
0
  wierzchni  kuli,  oraz:

'- T;  »- T:  *- .t-   *. "*•
E e r  E e e  _  ET

17  Mech.  Teoret.  i  S tos,  1—2/ 84



2 5 8  Z .  gLOD ERBACH ,  T .  SAWICKI

Jak  wiadomo  w  przypadku  symetrii  kulistej  warunki  plastycznoś ci  H uberta- M isesa i  Tre-
ski  pokrywają   się , wię c z (2.4)  otrzymać m oż na  nastę pują ce  wyraż enie,

S  =   S@- S
r
.  (2.10)

3.  Wyprowadzenie  podstawowych  równań

Z  analizy  przeprowadzonej  w  pracach  [3],  [4],  [11]  oraz z przesł anek fizycznych  wy-
nika, że  pierwsza  strefa  plastyczna  pojawi  się   zawsze  n a  wewnę trznym  prom ien iu  (Q =  1)
dla  kul  obcią ż onych  tylko  promieniowym  gradientem  tem peratury.
Podstawiają c  równanie  konstytutywne  (2.6)  do  zwią zku  nierozdzielnoś ci  (2.2), wykorzy-
stują c  równanie  równowagi  (2.1)  oraz  przeprowadzają c  cał kowan ie  otrzym a  się   nastę -
pują ce  równania, por.  [2]:

e

e  i
(3.1)

•   i  v  i
P o uwzglę dnieniu  (2.10)  oraz  (3.1), otrzym a  się ,

Stał ą   cał kowania  C j  wyznacza  się  z nastę pują cych  warun ków  brzegowych:

• 5,(1) -   0,  S
r
(fi)  =  0.  (3.3)

ską d,

Oznaczmy symbolem  x'
Oc

  tem peraturę  przył oż oną  n a wewnę trznej  powierzchni kuli  (Q =   1)
i  potrzebną   do  pierwszego  uplastycznienia  tej  powierzchni.  Wówczas  po  przekroczeniu
tej  temperatury  strefa  sprę ż ysto- plastyczna  osią gnie  prom ień  oznaczony  Q

C
, a odpowiada-

ją cą   m u  tem peraturę  n a  wewnę trznym  prom ien iu  oznaczmy  przez  T O C .  Wewną trz  strefy
plastycznej  1  <  Q <  Q

C
 warunek  plastycznoś ci  (2.4) jest  speł n ion y, zatem  obwodowe  n a-

prę ż enia  S
Q
  bę dą   wię kszymi a promieniowe  naprę ż enia  S

r
  bę dą   mniejszymi  naprę ż eniami

ś ciskają cymi.  Stą d, por.  [2]- r [5]:

S
B
- S

r
  <  - 1  dla  1 ^  Q  <  Q

C
,

S
&
- S

r
=  - 1  dla  e =   ec-   (  " '

Przyjmują c  liniowy  charakter wzmocnienia plastycznego  m ateriał u przedstawiony  w zmien-
nych —  (S,  sp)  —  rys.  1, por. n p .  [2], moż emy napisać,

B'^ ~- (\ S\ r- D,  •"  (3- 6)



WPŁ YW  PARAMETRU   WZMOCNIENIA 259

Rys.  1.  Krzywa  naprę ż enie- odksztalcenie dla  liniowego  wzmocnienia

gdzie  m  =   E T / E  jest  param etrem  liniowego  wzmocnienia  m ateriał u.  Wówczas  z  zależ-
noś ci  (2.4),  (2.7),  (3.5),  wyznaczyć  m oż na  nastę pują cy  zwią zek.

ef  = dla  ^ - - - (3. 7)

ostatecznie  z  (2.1),  (2.10)  i  (3.7)  otrzym am y:

r >£ d l a
d l a

(3. 8)

gdzie:  S
r
(g)  =   S

r
,  S

F
(Q

C
)  =  S

rc
.

Aby  wyznaczyć  rozkł ad tem peratury  r,  który  z  kolei  pozwoli  okreś lić  stan naprę ż enia,
deformacji  oraz  krytyczne  wartoś ci  param etru  geometrii  kuli  /?, należy  z  równań  (3.1),
(3.2),  (3.4)  i  (3.8)  wyznaczyć  stał ą  C 1 (  naprę ż enie  S rc  oraz  tem peraturę  tOc.  W  tym  celu
uwzglę dnia  się  równ ież  nastę pują cy  warun ek  brzegowy,

S  =  - \  dla  •   g  =   &.  (3.9)

Stał ą  C
±
  wyznaczyć  m o ż na p o  podstawieniu  warun ku  brzegowego  (3.9) do równania (3.2).

N astę pn ie  porówn ując  t ak  wyznaczoną  wartość  C
L
  ze  wzorem  (3.4)  i  po  uwzglę dnieniu

w  nim wyraż enia  (3.8) p o  przekształ ceniach otrzym am y:

(3.10)

Aby  okreś lić z zależ noś ci  (3.10) wartość  t
Oc

,  należy wcześ niej  wyznaczyć  zależ ność S
r
(g

c
)  =

=   Src-  W  tym  celu  w  kuli  uplastycznionej  do  prom ien ia  q  =   Q
C
 rozpatrzymy  kulę  z  we-

wnę trznym prom ien iem Q
e
 i param etrem geometrii  /Sc znajdują cą  się w  stanie sprę ż ystym  —

17*



260 Z.  Ś LODERBACH,  T.  SAWICKI

T b - 0

Rys.  2.  Schemat  kuli  z  dwiema  strefami  rozdzielonymi  powierzchnią :  strefą   plastyczną   do  (i  strefą
sprę ż ystą   powyż ej)

rys.  2.  D la  kuli  zewnę trznej — sprę ż ystej,  wprowadzić  należy  nowe  bezwymiarowe  wiel-
koś ci  analogiczne jak  w  (2.9), mianowicie:

Qe  =

r  1 8  \
T
°

  =
  ~B~tr\   ~

1
)'

  T c
  "

  T ^ '  g d z i e  Sc<Qe'

(3.11)

fi.
Rozpisują c  równania termosprę ź ystoś ci, por.  [2] - -̂  [5],  [16]- ^ [20] oraz uwzglę dniając  (3.11),
otrzymamy  równania  dla sprę ż ystej  czę ś ci  kuli  analogiczne  do  równ ań  (3.1),  wiedzą c,
że  EP —  0.  Wykorzystują c  nastę pnie  te  równania,  warun ek  brzegowy  oraz  biorą c pod
uwagę   parametry  (3.11)  otrzymać moż na  dla  sprę ż ystej  czę ś ci  kuli  nastę pują ce  wyraż enie,

S
rc
  =  5^3  ,  (3.12)

gdzie  r
c
  =   °e  (fi

c
~l).  Jest  to wyraż enie  na naprę ż enie  promieniowe n a prom ien iu  g

c

kuli,  natomiast dla kuli  sprę ż ystej  jest  to ciś nienie  wewnę trzne  dział ają ce  wraz  z tempe-
raturą   x

c
. Podstawiają c  wyraż enie  (3.12) do równoś ci  (3.10) i uwzglę dniając  wyraż enie  (2.8)

po  wykonaniu  operacji  cał kowania  oraz  po ż mudnych  przekształ ceniach  otrzymam y  na-
stę pują ce  wyraż enie  na  r

Oc
:

A- B
(3.13)

gdzie:
A  -   2/ ?30?- 1) •  (m -   1) • + #   - 1 ),

D  - {2g3
c
0

c
- 1)- l)- 2(g

3

c
  - 1)]}.



WP Ł YW  P ARAM ETRU   WZ M OC N I E N I A  261

Kł adą c  w  wyraż eniu  n a  T O C —  (3.13) wartość  współ czynnika  wzmocnienia  m  — 0,  otrzy-
mać  moż na  nastę pują ce  równanie,  analogiczne  do  równania  przedstawionego  w  pracy
[5] oraz  [3], mianowicie:

z  tym,  że  wyraż one  w  odpowiednio  innych  parametrach. Podstawiają c  zaś  do  wyraż enia
(3.13)  wartość  Q

C
 =   1  i  uwzglę dniając  wielkoś ci  (3.11)  po  przekształ ceniach  otrzymamy:

Jest  to  wyraż enie  okreś lają ce  temperaturę   potrzebną   do  zapoczą tkowania  pierwszego
plastycznego  pł ynię cia n a  wewnę trznej  powierzchni  kuli.  Tego  rodzaju  zależ ność  był a już
wyprowadzona  w  pracach  [2],  [5] dla  przypadku  materiał u bez wzmocnienia. W  przypad-
ku  zewnę trznej —  sprę ż ystej  czę ś ci  kuli  (rys.  2)  okreś lonej  bezwymiarowymi  wielkoś ciami
(3.11) i  w  przypadku  obcią ż enia  jej  tylko  gradientem  temperatury  (S„  =   S

0e
  — 0), ana-

logiczne  wyraż enie  otrzyma  się   kł adą c do  (3.15)  zamiast  /? odpowiednio  fi
c
.  N ależy  pod-

kreś lić  w  zakoń czeniu  tego  pun ktu,  że  wyprowadzone  równania  i  warunki  sł uszne  są
tylko  do  m om en tu  pojawienia  się   drugiej  strefy  plastycznej  na  promieniu  zewnę trznym
kuli.

3.1. Analiza  strefy  plastycznej  (1 <  Q < gc).  Stan  naprę ż enia  okreś la  się   na  podstawie  rów-
nań  (3.1) w  których  uwzglę dnić  należy  wyraż enia  (2.8), (3.8), (3.13) oraz stał ą  cał kowania
C j,  którą   z  kolei  otrzymamy  z  równania  (3.2)  po  uwzglę dnieniu  (2.8)  i  (3.9). Wyniesie
ona,

Rozkł ad  deformacji  wyznaczymy  z  równań  (2.6),  (2.10),  (3.7)  po  uprzednim  okreś leniu
stanu  naprę ż enia —  S

rf
  S

s
,  S.  Rozkł ad temperatury,  po  obliczeniu  wartoś ci  TÓ'C (tempe-

ratura  przył oż ona  do  wewnę trznej  powierzchni  w  chwili  gdy  rozpoczyna  się   drugie  pla-
styczne  pł ynię cie n a  zewnę trznym  promieniu  kuli)  wyznaczyć  należy  z  (2.8). N aprę ż enia
resztkowe  pozostał e  po  procesie  sprę ż ystego  odcią ż enia,  znajdziemy  z  nastę pują cych
zwią zków, por.  [2], [3]:

S ; - 5r  +  Ś ;',  S^ S e  + Se,  (3.17)
gdzie:

}s>  - 2 - ro îr / *'««*-  }  /
r

p



2 62  Z .  Ś LODERBACH,  T .  SAWICKI

3.2.  Analiza  strefy  sprę ż ystej  (Q
C
 <   Q < /?).  Stan naprę ż enia okreś limy z równ ań (3.1), w któ-

rych  odpowiednio uwzglę dnia  się   wyraż enia  (2.8), (3.8),  (3.12),  (3.13)  oraz  stał ą  cał kowa-

n ia  C 1 (  kt ó ra jest  t aka  sama jak  w  strefie  plastycznej —wz ó r  (3.16). R ozkł ad tem peratury

wyznaczymy  podobnie  jak  w  strefie  plastycznej  ze  zwią zku|(2.8)  przy  znajomoś ci r'
0
'
c>

n atom iast  stan  deformacji  odpowiednio  z  równ ań  (2.6)  i  (2.8).  N aprę ż en ia  resztkowe

otrzym am y  także  z  równ ań  (3.17),  przy  czym  naprę ż enia  S
r
  i  S

g
  należy  wzią ć  ze  strefy

sprę ż ystej.

3.3. Druga — zewnę trzna strefa  plastyczna.  Warunek uplastycznienia zewnę trznej powierzch-

ni  kuli  bę dą cej  w  stanie sprę ż ystym,  por.  n p .  [2],  [3]- r-  [5] jest  nastę pują cy:

S=l  dla  Q =   p,  (3.18)

gdzie  S  wyraż one jest równaniem (2.10) oraz równ an iam i n a n aprę ż en ia S
r
  oraz S@  w stre-

fie  sprę ż ystej.  Odpowiadają cą   temu  stanowi  tem peraturę   r'ó
c
  p o  dokon an iu  odpowied-

nich  przekształ ceń przedstawić  m oż na nastę pują co,

_"

gdzie Q'
C
 jest promieniem strefy  sprę ż ysto- plastycznej  w chwili  gdy n a zewnę trznej powierzch-

n i  kuli  pojawi  się   drugie  uplastycznienie, t o  znaczy  gdy  speł niony bę dzie  warun ek  (3.18).
Wartość  promienia  Q'

C
  okreś limy  podstawiają c  w  równ an iu  (3.13)  w  miejsce  wartoś ci Q

C

wartość  Q'
C
  i  porównują c je  nastę pnie z wyraż eniem  (3.19).  Korzystam y  zatem ze  zwią zku

r
oc(Sc  =   Q'C)  — *'óc-   Z  takiego  porówn an ia  wynika,  że  w  przeciwień stwie  d o  m ateriał u
bez  wzm ocn ien ia—[ 3]  - 5-  [5],  [11],  tem peratura  r'ó

c
  lub  co  jest  równ oważ ne  prom ień

Q'
C
 —  zależy  nie tylko  od param etru geometrii kuli  p  lecz także  od  współ czynnika  wzmoc-

n ien ia  m  oraz  od  współ czynnika  P oissona  v.  D la  przypadku  m ateriał u bez  wzmocnienia
(m  =   0), promień  Q'

C
  okreś lić  m oż na po  podstawieniu  Q

C
 =  Q'

C
  we  wzorze  (3.14)  oraz  po

porównaniu  tego wzoru  z  (3.19). Czyli  [5]:

e x p
3

\ Qc]

(3.20)

Otrzymanie  wyraż enia  analogicznego  do  (3.20)  lecz  dla  m ateriał u ze  wzmocnieniem
n ie jest  moż liwe  ze  wzglę du  n a  zł oż ony i  uwikł any  ch arakter  funkcji  r

Oc
  — f(g

e
)  —  por.

(3.13).  W pracy  [3] analizują c problem uplastycznienia pierwszej  i drugiej  strefy  plastycznej
gruboś ciennych  kul,  autorzy rozpatrzyli  mię dzy  innymi  warun ki  wystę powania  tych  stref.
Z  uzyskanych  przez  tych  autorów  rezultatów  wynika,  że  dla  kul  obcią ż onych  tylko  gra-
dientem  temperatury  istnieją   dwie  moż liwoś ci  pojawienia  się   drugiej  strefy  plastycznej
i  które  to  zależą   tylko  od  param etru geometrii  kuli  /?. G dy  mianowicie  p  jest  wię ksze  od
pewnego  p

cr
  (/? >  p„),  to  drugie  uplastycznienie  pojawi  się   w  ś ciance  kuli,  n atom iast

gdy/ 3 jest  mniejsze  od tej  wartoś ci  (8  <  B,.\  \ n uplastycznienie t o  pojawi  się   n a zewnę trz-



WPŁYW  PARAMETRU   WZMOCNIENIA 263

nej  powierzchni  kuli  i  bę dzie  propagować  się   do  wewną trz.  W  przypadku  materiał u  bez

wzmocnienia  wartoś ci  / ?„   =   2.791  był a  pierwszy  raz  okreś lona  w  pracy  [5]  a  nastę pnie

cytowan a  i  uż ywana  w  pracach  [3]  - t-   [4].  D la  przyję tego  w  obecnej  pracy  materiał u  sprę -

ż ysto- plastycznego  ze  wzmocnieniem,  wartość  p
er
  zależy  dodatkowo  od  współ czynnika

wzmocnienia  m  i  od  współ czynnika  P oissona  v.  Wartoś ci  / ?cr i  odpowiadają ce  im tempe-

ratury  rQ
Cr

  lub  co  jest  równ oważ ne  —  odpowiadają ce  im  promienie  strefy  sprę ż ysto-

plastycznej  (>'
cr
  dla  dan ego  m  i v  okreś la  się   z  nastę pują cej  zależ noś ci:

,  v)
d

Q

dS(Q
r

cr
,Q,p,m,v)

= 0 , (3.21)

oraz z  równań  (3.13)  i  (3.19).

F unkcję   S  we  wzorze  (3.21)  wyznaczyć  należy  z  zależ noś ci  (2.10)  i  równań  naprę ż enio-

wych  S,,  S
Q
  term osprę ż ystoś ci  okreś lonych  dla  górnej  —  sprę ż ystej  czę ś ci  badanej  kuli.

Otrzym ane  n a  drodze  numerycznej  rezultaty  są   przedstawione  w  tabeli  pierwszej,  dla

wybranych  wartoś ci  współ czynnika  wzmocnienia  m  z  przedział u <0- r- 0.4>  i  dla  przyję te-

go  we  wszystkich  dalszych  obliczeniach  wartoś ci  współ czynnika  P oissona  v  =   0.3.  Jest

t o  jakoś ciowo  jeden  z  zasadniczych  rezultatów  uzyskanych  w  niniejszej  pracy.

Tabela  1

Współ czynnik  Poissona v  =  0.3

m

0.00
0.10
0.20
0.30
0.40

A,
2.7910
2.6214
2.5453
2.4983
2.4655

T
Ocr

5.3640
4.8643
4.6359
4.4948
4.3964

©'er

1.3950
1.3107
1.2726
1.2492
1.2328

Jak  widać  z powyż szej  tabeli,  wyznaczone  wartoś ci  / ?cr, x'óct,  oraz  Q'C,  maleją   wraz  ze wzro-

stem  współ czynnika  wzmocnienia  m.

4.  Analiza  otrzymanych  wyników

Z  tabeli  pierwszej  wynika,  że  dla  przyję tego  do  obliczeń  param etru  geometrii  kuli

fi  =  2  oraz  dla  współ czynnika  P oissona  v  =   0.3,  drugie  uplastycznienie  pojawi  się   n a

zewnę trznej  powierzchni  badan ej  kuli,  co jest  w  zgodnoś ci  z nał oż onymi warunkam i  brze-

gowymi  wyprowadzon ych  w  pun kcie  trzecim równ ań .

N a  rysunku  trzecim  wykreś lono  zależ ność  r
Oc

  od  c>
c
 dla  trzech  wybranych  wartoś ci  para-

m etru  wzmocnienia  m.  P u n kt y  „A",  „B",  „ C " , oznaczają   wartoś ci  tem peratur  T O C  i  od-

powiednio  wartoś ci  prom ien ia  Q
C
 W chwili  gdy  zaczyna  się   drugie  plastyczne  pł ynię cie n a

zewnę trznej  powierzchn i  kuli.  Jak  widać  tem peratura  r'ó
c
  maleje  wraz  ze wzrostem  współ -

czynnika  wzmocnienia.  M aleć  bę dzie  wię c  także  tem peratura  T " , oraz  maleć  bę dzie  pro-

mień  strefy  sprę ż ysto- plastycznej  Q'
C
.  D okł adn e  okreś lenie  powyż szych  wielkoś ci  znaj-



264 Z.  Ś LODERBACH,  T.  S AWI C KI

5'oc

Sio
Toc

1
2
3

P

w punkcie

w punkcie

w punkcie

dla  m =

dla  m =

dla  m -

= 2,0

= 0,3

A  -

C  «

0

0,2

0,4

T "

J o c

T "

-  3,7860

- 3 , 6 5 74

-   3,592- 1

1,0 1,0+ 1,08 1,12

Rys.  3

1,16 1.20

duje  się  w  tabeli  drugiej,  dla przyję tych  wartoś ci  współ czynnika  geometrii  kuli  i  współ -
czynnika  Poissona.  Rysunki  czwarty  i  pią ty  przedstawiają   odpowiedn io  rozkł ad n aprę ż eń
i  odkształ ceń w  ś ciance  kuli  podczas  procesu  obcią ż ania  i  dla wybranych  wartoś ci  para-
metru  wzmocnienia m.

Tabela  2

2.0, 0.3, 5=   1 dla

m

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

3.7860

3.7078

3.6574

3.6207

3.5924

<

2.5400

2.5662

2.5856

2.6004

2.6123

Q'.

1.1970

1.1820

1.1727

l;1640

1.1579



WP Ł YW  P ARAM ETRU  WZ M OC N I E N I A 265

1  dla  m«0  i.  0^=3,7860

2  dla m- 0,2  i  f£.-  3,6574

3  dla  rn- 0,4  i  <T«= 3,5924

j3=2, 0
V  - 0 ,3

R ys.  4

R ozkł ad  n aprę ż eń  resztkowych  powstał ych  po  procesie  czystego  sprę ż ystego  odcią ż e-
n ia  zilustrowano  n a  rysun ku  szóstym.  Warun ek  aby  proces  odcią ż ania  przebiegał   czysto
sprę ż yś cie  otrzym ać  m oż na  z  równ an ia  n a  S«  —  (3.17) 4,  po  uwzglę dnieniu  w  n im wyra-
ż enia  (3.17)5  i  p o  przeprowadzen iu  cał kowania. Otrzymamy  wówczas,  por.  n p. [3]:

,3(2,5+ 1)
(4.1)

gdzie  TÓ'/   oznacza  m aksym aln ą  wartość  tem peratury jaką  należy  przył oż yć  do  wewnę trz-
nej  powierzchni  kuli  bez  obawy,  że  w  procesie  odcią ż enia  zachodzić bę dą  lokalne  procesy
plastycznego  pł ynię cia.  W  wyniku  przeprowadzonych  obliczeń  z  równ an ia  (4.1)  wynika,
że  gdy  m  >  0.11436,  t o  wówczas  m oż na  przył oż yć  tem peraturę  TÓ'J  W miejsce  T 'ÓJ  aby
zachodził   proces  czysto  sprę ż ystego  odcią ż ania.  Powyż sze  przedstawiono  w  tabeli  trzeciej.
D la  przypadku  m ateriał u bez  wzmocnienia  mamy  (—Se)|p«u  =   1>  w i ? c  wartość  tempe-
ratury  r'óć  jest  dwukrotn ie  wię ksza  od  wartoś ci  tem peratury  potrzebnej  do  pierwszego



1  dla  m = 0  i  0 " O ; L - 3 , 7 8 60

2  dla  m=0,2  Ą g-  3,6574

3  dla  m  = 0,4  f o»=3,5924

Rys.  5

Tabela  3

! =   2.0  v  =   0.3

m

0.00
0.10

0.11436

0.20
0.30
0.40

2.8000
3.6000

3.6994

4.2318
4.7555
5.2021

3.7860
3.7078

3.6994

3.6574
3.6207
3.5923

[266]



WPŁYW  PARAMETRU  WZMOCNIENIA 267

=   2, 8

2  d la  m =  0,2  i  fo'J.  = 3 , 6 5 7 4

• 0,4  i  <T0"  = 3 , 5 9 2 4

Rys.  6

uplastycznienia  wewnę trznej  powierzchni  kuli  r'
Oc

.  Z atem  wiedzą c,  że  T '
OC

 =   1.4,  mamy,
p o r.  n p .  [3]:

t i'. '  =   2 T ^  =   2.8.  (4.2)

D alsze  rozwinię cie  zagadn ien ia  n aprę ż eń  resztkowych  m oż na  przeprowadzić  badają c
m ateriał   kuli,  w  którym  granica  plastycznoś ci  zależy  od  tem peratury.  Takie  próby  był y
podejm owane  lecz  jedyn ie  dla  m ateriał u  bez  wzmocnienia.  W  rozważ anym  przypadku
przyję cie  granicy  plastycznoś ci  jako  niezależ nej  od  tem peratury jest  uproszczeniem,  gdyż
otrzym an e  n a  podstawie  równ an ia  (2.8)  wymiarowe  tem peratury  T

a
(m)  wynoszą :

459  C°  dla  m  =   0.0,
443  C°  dla  m  =   0.2,
435  C°  dla  m  =   0.4.

(4 . 3 )

Tem peratury  t e  odpowiadają   pu n kt o m  „A",  „B",  „ C " z  rysun ku  drugiego.  D o  obliczeń
przyję to:  granicę   plastycznoś ci  m ateriał u  a

0
  =  4000  kG / cm 2, m oduł   Youn ga  E  =   2.1  x

x  106  kG / c m 2, współ czynnik  P oisson a  v  =   0.3,  oraz  współ czynnik  rozszerzalnoś ci  linio-
wej  a  =   11 •   10 - 6  l/ K .



268  Z .  Ś LOD ERBACH,  T.  SAWICKI

W  zakoń czeniu  warto  dodać,  że  w  przypadku  kuli  z  m ateriał u ze  wzmocnieniem,  po-

dobnie  jak  w  przypadku  kuli  z  m ateriał u  bez  wzmocnienia  [5],  peł ne  uplastycznienie

ś cianki  kuli  nastą pi  dla  temperatury  x
Oc

  osią gają cej  wartość  nieskoń czenie  wielką .

Literatura  cytowana w tekś cie

1.  H .  S.  CARSLAW, J. C. JAEG ER,  Conduction of  Meat in Solids, Oxford, 1947.
2.  A.  M EN D ELSON , Plasticity:  T heory and  Application,  The M actnillan  C om pan y, N ew York  1968.
3.  W.  JOH N SON  an d P . B.  M ELLOR , Elastic- plastic behaviour of  thick- walled spheres  of non- work- hardening

material  subject to a steady- state radial temperature gradient, I n t . Journ al  of  M ech.  Sciences,  Vol. 4,
147,  M arch - April  1962.

4.  F . D RABBLE  and W.  JOH N SON ,  T he development of  the  Zones of Yielding in  T hick- walled Spherical Shells
of  N on- work hardening  Material  Subjected  to  a  Steady  State  Radial  T emperatures  Gradient  and  on
Internal or External  Pressure. Conf.  on Thermal  Loading and  C reep,  P aper  19, I n st,  M ech. Engrs.,
1964.

5.  G . R.  COWPER,  T he Elastoplastic  T hick- W alled Sphere  Subjected  to  a  Radial  T emperature  Gradient,
Transaction of th e ASM E , Ser. E, J . Appl.  M ech., Vol. 27, Ser. E ,  N o .  3,  1960.

6.  H . A.  N I E D   an d S. C.  BATTERMAN ,  On  Coupled T hermoplastidty:  An  Exact  Solution for  a Spherical
Domain, Israel Journ al  of Technology, Vol. 9, N o s,  1- 2,  1971 p p . 37 -  46.

7.  B. RAN IECKI, N aprę ż enia w sprę ż ysto- plastycznej  kuli  z pustką   kulistą   znajdują cej się  w zmiennym polu
temperatur, R ozpr. I n ż. 3, 14,  1966.

8.  B.  R AN I EC KI ,  A  Quasistatic,  Spherically  Symmetric  Problem  of  T hermoplastidty,  Bull.  Acad.  Sci.p
Ser.  Sci. Techn.,  2, 13,  1965.

9.  H . P ARKU S, Spannungen  beim Abkuhlen einer Kugel,  Ing.- Arch., 28, 1959, pp. 251 - 254.
10.  P .  PERZYN A  and A.  SAWC Z U K,  Problems  of  T hermoplastidty,  N uclear  Engineering an d D esign, 24,

1973,  1 -  55,  N orth- H olland  P ubl.  C om p.
11.  M .  G .  D ER R I N G TON  an d W.  JOH N SON ,  T he Onset of  Yield in a T hick Spherical Shell Subject  to  Internal

Pressure  and Uniform Heat Flow.  Appl. Sci. Research, Series A, 7, 408,  1968.
12.  W. JOH N SON  an d P . B.  M E LLOR ,  Engineering  Plasticity,  Van N ost ran d  R ein hold C om pan y,  London,

1973.
13.  A. SAWCZU K,  A  note on plastic expansion of  irradiated spherical shells, N u d .  Struct. E n gn .,  1, pp. 155 -

158,  1965.
14.  R . S.  BOD N ER,  Elasto- plastic  Stress  Analysis  of  T hick- W alled Spherical  Shells  Subjected  to  Radial

T emperature Gradient,  AVCOR  an d D , D ivision, Lawrence, M ass, R eport,  N o ,  R AD T — R- 2- 57- 25,
1957.

15.  R . H I L L ,  T he  Mathematical  T heory of  Plasticity,  C larendon  Press, Oxford, 1950.
16.  M . SOKOŁOWSKI, N aprę ż enia  cieplne  w powł oce  kulistej  oraz  cylindrycznej  w przypadku  materiał ów

o  wł asnoś ciach zależ nych od temperatury, Rozprawy Inż ynierskie, Tom  VJTI, zeszyt 4, p p .  641  -  669,1960.
17.  W.  N OWAC KI ,  T hermoelasticity, Pergamon Press, Oxford,  1962.
18.  W.  N OWAC KI ,  Dynamiczne Zagadnienia T ermosprę ż ystosci, P WN ,  Warszawa, 1966.
19.  J. S. SOKOLN IKOF F , Mathematical T heory of  Elasticity,  M e G raw- H ill Book C ompany,  I n c.  N ew York,

N .Y.,  second  edition,  1956, p p . 362 -  364.
20.  B. A. BOLEV  an d J. H .  WE I N E V,  T heory of  T hermal Stress,  Wiley,  N ew York,  1960.

P  e 3  K) M  e

BJIHflHHE  HAPAMETPA  ynPOtfflEH H fl  HA  IIOBEflEHHE  TOJICTOCTEH H OrO

yn p yr o - n jiAC T H ^ E C K o ro  U I AP A  HOR  H Arpy3Koft  T E M n E P AT ypti

B  pa6oTe  HccneflOBano  BJiHHHHe niraeH H oro  napaM erpa  yn po iH em iH   Ha  noBeflemie  TOJicrocreH H oro
n iapa  n oflBepn ryroro  H arpy3K0H   TesinepaTypbi.  JfeyiieH o  Bn am ase  napaiweTpa  yKpeiuieH H H   H a pacrtpe-

TCiwnepaTypbi fledrapM ainm, HanpHHteHHH  a Taioice  Ha  nojioweH H e  yn pyro- m iacwraecKoft  3O H Ł J .



W P Ł YW  P ARAM ETRU   WZ M OC N I E N I A  269

OnpeflejieH O  TaKHte K pu n rqecK n e  Bejii- nmubi  reoM eTpiraecKoro  napajwerpa  /? a m i cjiyMan  Kor«a  ppyraa
nnacTH ^ecKaa  30Ha  nonsjineTCH   CHapy>KH   m a p a .

S u m m a r y

ELASTIC- PLASTIC  BEH AVIOU R  O F   TH ICK- WALLED   SPH ERE  OF  WORK- H ARD EN ING
M ATERIAL  SU BJECT  TO  A  RAD IAL  TEM PERATU RE G RAD IEN T

The  paper  consider  the influence  of  strain- hardening  on  the  behaviour  of  elastic- plastic  thick  walled
sphere  under temperature load.  The  distributions  of  temperature, strain, stress  and  localisation  of  elastic-
plastic  bound  for  various  values  of  strain- hardening  parameter  are  given.  Critical  values  of  geometrical
parameter  ji  for  which  form  the second  plastic  zone  are  defined.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  9  listopada  1982  roku