Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  22 (1984) OPTYMALIZACJA  PKZY JAWNEJ ZALEŻ NOŚ CI RÓWNAŃ  STANU OD   WARTOŚ CI BRZEGOWYCH   ZMIENNYCH  STANU B.  L E C H O W I C Z , Z.  P I E K A R S K I Politechnika  Krakowska 1.  WST Ę P P rzedstawion a  praca  skł ada  się   z  dwóch  czę ś ci.  Pierwsza,  ogólna  dotyczy  problemu optymalizacji  w  przypadku,  gdy  róż niczkowe  równ an ia  stanu  ukł adu  zależą   jawnie  od nieokreś lonych  wartoś ci  brzegowych  zmiennych  stan u.  Rozwią zanie  tak  postawionego problem u  optymalizacji  sprowadza  się   do  cał kowania, w  ogólnoś ci  nieliniowych  równań róż niczkowo- cał kowych  typu F redh olm a. D ru ga  czę ść  jest  ilustracją   pierwszej  i  stanowi  sformuł owanie  równań  optymalizacji mał ych  drgań  geometrycznie nieliniowej  belki. 2.  Postawienie  i  rozwią zanie  problemu W  dowodzie  przedstawion ego  zagadnienia  optymalizacji  stosować  bę dziemy  teorię rach un ku  wariacyjnego  wykorzystywaną   szeroko  n p .  w  [1].  W  ogólnoś ci  przyjmujemy, że  równ an ia  stan u  ukł adu  mają   post ać; w'j = fj(w,  u,  x,  w(x 0 ),  w(x^ ),  (1) gdzie: d ( ) ' • dx Ui —•  współ rzę dne wektora  sterowan ia  u i  =  1, 2,  ...,m W  równ an iach  (1)  wielkoś ci  w(x 0 ),  w(x k )  oznaczają   nieokreś lone  wartoś ci  zmiennych stan u  w(x)  w  pu n kt ach począ tkowym  i koń cowym,  przedział u optymalizacji  x 0   ^  x  ^  Xk Ogran iczen ia  n a  sterowan ie  u przyjmujemy  w  formie  ograniczeń równoś ciowych f k (u,x)  = 0, k"  1,2,...,r  <   m, 272  B.  LECH OWICZ,  Z .  PIEKARSKI do  której  t o  formy  m oż na  sprowadzić  ogran iczen ia  typu  n ierówn oś ciowego  przez  roz- szerzenie  wym iaru  przestrzen i  sterowan ia  (jak  n p .  w  [1]).  Waru n ki  brzegowe  d la  ustalo- nego  przedział u  optymalizacji  x 0   <  x  <  x k   m oż na  ogóln ie  zapisać  wzo ram i: Jako  funkcję   celu przyjmujemy  dla  prostoty  rozważ ań  wyraż en ie: J  =  g(w(*o)>  w(**))  -   m in im u m .  (4) Cał kową   funkcję   celu, ja k  wiadom o,  m oż na  zapisać  równ ież  w  postaci  (4).  D la  dowodu wprowadzam y  pomocniczy  funkcjonał   (w  którym  obowią zuje  kon wen cja  sum acyjn a): F=i,  (6) zaś  h am ilton ian H H  =   hfj+M*  (7) gdzie: A,  =   Xj(x)  są   zmiennymi  sprzę ż onymi Qi>  f*k —  stał e wielkoś ci Przy  wszystkich powyż szych  zał oż eniach  peł n a wariacja  funkcjonał u  (5)  m a  p o st ać : AF  - + Korzystają c,  jak  w  [1], ze  wzorów  (1)  i  (2), dobierają c  odpowiedn io  A,,  oraz  korzystają c z  niezależ noś ci  od  siebie  wariacji  dwj(x 0 ),  dwj(x k ),  du t ,  warun ek  stacjon arn oś ci AF=Q.  (9) jest  sł uszny przy  speł nieniu dodatkowych  wyraż eń a)  równ ań  sprzę ż onych OP TYM ALI Z AC JA  P R Z Y  JAWN E J  Z ALE Ż N OŚ CI  273 b)  warunków  transwersalnoś ci  (warunków  brzegowych  dla  XJ) nowego  typu dx, r  dx.  (11) f J gdzie w warunkach  tych  dodatkowo  wystę pują  skł adniki w postaci  cał ek.  D la  problemu klasycznego,  w  którym  funkcje  fj  nie zależą  od w(x 0 )  i w(x k )  cał ki  we wzorach  (11) są toż samoś ciowo  równe  zero.  Otrzymujemy  wtedy  problem  optymalizacji  rozpatrywany n p .  w [1]. c)  warunków  optymalnoś ci • £  -  «•   02) 8u Aby  zakoń czyć  dowód  postawionego  zagadnienia  należy  jeszcze  zapisać  konieczny wa- runek  Weierstrassa  istnienia  silnego  minimum funkcjonał u  (4). Jak  wynika  z  [1] warunek ten  sprowadza  się  d o nierównoś ci H  (x)  > H(x)  (13) optym gdzie  optymalny  ham iltonian H op   okreś lony  jest  dla optymalnego  sterowania  U =   U*$, natom iast  ham iltonian H dla  sterowania  U dowolnego,  ale  dopuszczalnego. Rozwią zanie  rozważ anego  problemu  sterowania  optymalnego  sprowadza  się do  roz- wią zania  równań (1) i (10)  z warunkami brzegowymi  (3) i (11),  przy ograniczeniach (2) i (13). Od  dotychczas  rozpatrywanych  problemów  optymalizacji  przedstawione  zagadnienie róż- n i  się postacią  warunków  transwersalnoś ci  (11),  gdzie  dodatkowo  wystę pują  skł adniki w postaci cał ek. P rzedstawione rozważ ania moż na ł atwo uogólnić na przypadek zmiennego obszaru  optymalizacji. 3.  Przykł ad D la  ilustracji  powyż szych  wyników  sformuł owane  został y  równania  optymalizacji mał ych  drgań  geometrycznie  nieliniowej  belki.  Przy  zmiennym  przekroju  moż na metodą podaną  w  [2]  otrzymać  nieliniowe  równanie  drgań  poprzecznych belki  z uwzglę dnieniem wstę pnego,  osiowego  nacią gu: i  i —Ę - w"  [Fu'dx- ~w"  f  FW '2(!X+QFW  -   0,  (14) 1  i  .  ll  i gdzie: 18  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 84 274  B.  LECH OWICZ,  Z.  PIEKARSKI Q,  F,I,  I,  E —o d po wied n io :  gę stoś ć,  przekrój,  moment  bezwł adnoś ci,  dł ugoś ć,  m oduł Younge'a w(x,  t)  — przemieszczenie  poprzeczne u(x,  t)  — przemieszczenie  podł uż ne Wzór  (14)  otrzymujemy  przy  zał oż eniu, że  szybkość  zmian  w  czasie  przemieszczeń  osio- wych  u jest  mał a. W  dalszych  rozważ aniach  przyjmować  bę dziemy,  że  przemieszczenie «(x,  0  -   u(x),  (15) jest  z  góry  zadane.  Aby  móc  w  (14)  rozdzielić  zmienne  zakł adamy,  że  n a  duże  odkształ - cenia statyczne został y nał oż one mał e  drgan ia: , t)  =   y t (x)+ ewi  (x) T (t),  (16) e —  mał y parametr Zaniedbują c  wyrazy z  e2  i wyż sze, po  wstawieniu  (16) d o  (14)  otrzymujemy  ukł ad  równań róż niczkowo  cał kowych  postaci (/ / / )" -   j  y'l f  Fu'dx -  - L y'l j  Fy?dx  =  0,  (17) o  o (Iw[y- j<  f  Fu'dx- ^ w',' f  Fy[ 2 dx-   .  :  ' ; oraz f +co 2 T   -   0.  (19) Przez wprowadzenie  nowych,  dodatkowych  zmiennych  m oż na róż niczkowo- cał kowe  rów- nania  (17) i  (18)  sprowadzić  do  postaci  (1)  i  zastosować  przedstawioną   w  pun kcie  2 me- todę   optymalizacji.  Rozważ ać  bę dziemy  mianowicie  zmienne  typu y5 X JFy[ 2 ds, o w s   =  J  Fylw'tds,  (20) o x =  J Fu'ds.z Pozwala  to równania  (17) i  (18) i zwią zki  (20) sprowadzić  do  11- tu równ ań  róż niczkowych 1- ego  rzę du: O P T YM ALI Z AC JA  P R Z Y  JAWN E J  Z ALE Ż N OŚ CI  275 a)  dla  statycznego  ugię cia ^4 ^+ i 2 7 T* '  < 2 I > Z'  m  Fu'. b)  dla  mał ych drgań 1 1 j  W, w *k f  .vs(0 2/ i  = = 1 / = •   w 2 , 1 w4, W3  + • ^ 2 ^ 3} wS ( 0 / !2- 1 e c o 2 1  E (22) R ówn an ia  powyż sze  są   typu  (1),  wystę pują   w  nich  bowiem  nieokreś lone  wartoś ci  z(J), J5(O>  W s(I) zmiennych  stan u  w  punkcie  koń cowym  przedział u  optymalizacji. D la  prostoty  rozważ ać  bę dziemy  belkę   obustron n ie  podpartą .  Wtedy  warunki  brze- gowe  dla  (21)  i  (22)  bę dą   p o  wykorzystaniu  (16)  i  (20)  nastę pują ce: dla  zmiennej  w(x) »i( 0)  -   ws(0)  =   w6(0)  -   0, Ml)  -   w3Q)  =  o,   ( 2 3 } dla  zmiennej  y(x) =   0, t 2 ) Jako  funkcję   celu  przyjmujemy  m in im um masy  belki  przy  stał ej  czę stoś ci  drgań J  (25) co =   con st. Sterowanie F  podlega  ograniczeniu  nierównoś ciowemu Ą   -   ( F - J D ( * ł - * 3 : - «a  -   0.  (27) 1 E * 276  B.  L E C H O WI C Z ,  Z .  P I E KAR SKI Przyjmujemy,  że optymalizacji  podlegać  bę dą   m ał e  drgan ia,  tzn .  optym alizacja  przepro- wadzona  bę dzie w oparciu  tylko  o  ukł ad równ ań  (22).  N ależy  wię c  znaleźć  optym aln e  roz- wią zanie  ukł adu  (22)  z  warun kam i  brzegowymi  (23)  przy  zał oż en iu  (25)  oraz  ogranicze- niami  (27) pamię tają c,  ż e  muszą   być  speł nione równ an ia  (21) z warun kam i  (24). W  celu  rozwią zania  wprowadzam y  funkcję   brzegową   q>  oraz  h am ilt on ian H. Z  (23)  m am y  zwią zek  (6) w postaci: natom iast z (22) i  (25)  wyraż enie  jest  (7) w  postaci: 1  om2 H  =   — F+  X, w- , + X- ,  - =-  w 3   + X, w A   + X±   - ^SS— F w, + /   E ;0  y a (l)  \   1  w5(/ )  1  (29) + X s Fy 2   w 2  +n{F—F Y )  (F 2 - F)- pv z . Z a  pomocą   ham ilton ian u  (29)  m oż na  wprowadzić  równ an ia  sprzę ż one  (10)  w  form ie: q(°2 X'2 =   - h l  +   21 / T / 4 ' A.4.  —  —  A 3 , A5  = 0 . Z a  pomocą   funkcji  brzegowej  (28)  wprowadzam y  waru n ki  brzegowe  d o  ró wn ań (30) typu  (11): Aa(0)  =   A4(0)  =   A2(/ )  =   XĄ (l)  =   0, 4/ o Z  warun ków  optymalnoś ci  (12) przy  zał oż eniu /   =  aF" (32)  dostajemy 2rjv  =  0.  (33) Z równania  (33)  i warunku  (27)  wynika a)  (x ź  0,  v  =   0, ^ = 2 ^ !  lub  F=F 2 , b)  //  =  0,  v  ź  0, c)  ^  =  0,  v  =   0, F = F j  lub  F=F 2 . O P T YM ALI Z AC JA  P R Z Y  JAWN E J  Z ALE Ż N OŚ CI  277 W  przypadkach  b) i c) z  drugiego  warunku  optymalnoś ci  - 5=-  =   0  otrzymujemy OF r  _ ~ - Z a  pom ocą   wzorów  (34)  i  (35)  okreś lamy  optymalny  przekrój  rozpatrywanej  belki. Ostatecznie,  aby  rozwią zać  problem  optymalizacji,  trzeba  rozwią zać  równania  (22) i  (30) z  warun kam i  (23) i  (31), z  warunkiem  optymalnoś ci  (35), zakł adają c, że  mamy  (15) oraz  stał e  w  (32)  przy  jedn oczesn ym  speł nieniu (21) z  (24). Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  W. A.  TROIC KD ,  Optymalnyje prociesy koliebanij miechankzieskich sistem, Leningrad 1976. 2.  S.  KALISKI, Drgania  i fale  w dalach  stał ych Warszawa  1966. P  e 3  JO  M e On TH M AJI H 3AI i;P La  n P H  3ABH C H M OC TH  yP ABH E H H fł   COCTOH H H H   OT KPAEBBIX  3H Aq E H H ft  I I EP EM EH H BI X  C OC TOJI H H a B  paSoTej  on H paacb  Ha KnaccsmecKOM   BapiiaijHOHHOM   H Ctł acjiemni  npeflcraBnaeTCH   Meiofl  OH TH - M ajitH oro  ynpasjieH H H   CHCTeMaMH, onHcaHHWMH  CHCTEMOH   flH $4> eP eHU H ajIŁH I>ix  ypaBH emrił   3aBHcamHX OT  H eonpefleneH H bK  siiaqeH H H  nepeM emrbix  COCTOHHHH   B Ha^aJiBHoft  H   KOH CTH OH   Tom