Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 22 (1984) A  TRAN SVERSELY  I SO T R O P I C LAYER  P R E SSE D   ON TO  A  RIG ID   BASE  WI TH A  P R O T R U SI O N  O R  P I T BOG D AN   R  O  G   O  W  S  K  C Ł ódź ,  T echnical  University Institute  of  Construction  Engineering The  au t h or  solves  problem  poin ted  out  in  th e  title,  in  which  the  effects  of  transverse an isotropy  an d  body  forces  are  taken  in to  account,  by  means  of  H ankels  transforms an d  the  displacement  poten tials.  Th e  three- part  mixed  boun dary  value  contact  problem is  reduced to th e solution  of triple integral  equations  an d some conditions. These equations are  solved  by  expansion  of  th e  function  describing  the  displacement  and  stress  states in to  a  F ourier  cosine  series,  which  leads  t o  two  infinite  sets  of  linear  simultaneous  al- gebraic  equation s.  T h e  p art  of  th e lower  surface  of  th e plate  which  does  n ot contact with th e  base,  is  an  an n ulus, th e  in n er  or  outer  radii  of  which  are  n ot  known  a  priori  and  are determ ined. N um erical  results  are  shown  for  the  relation  am ong  th e  pressure  and  weight  of  th e layer,  its  thickness,  th e  an n u lar  region  an d  th e  magnitudes  of  the  protrusion  or  pit  of t h e  base  in  cadm ium  an d  m agnesium  single  crystals  an d  fiber- reinforced  composite  ma- terials. They are com pared with  these of th e isotropic layer  to show  the effect  of  anisotropy. T h e  variation  of  t h e  stress  con cen tration factors  at  th e  adges  of  the  contact  are  plotted versus th e ratio of t h e radii of th e con tact regions for  dissimilar materials and layer thickness. 1. Introduction The  in den tation problem s  of  an elastic,  isotropic  half- space  by  a rigid  cone  [1], sphere [2]  or  trun cated  con e  [3],  in  th e  case  of  circular  con tact  region,  contact  problems  of a  isotropic  half- space  or  layer  pressed  on to  a  rigid  base  with  a  protrusion  or  a  pit  [4,  5], pressed  by  a  concave  rigid  pun ch  (a  transversely  isotropic  case)  [6], problem  of  two  iso- tropic  half- space  pressed  against  each  other  with  a  rigid  paraboloidal  inclusion  between th em  [7] problem s  involving  an n ular  contact or  un con tact region,  an d  a  two- dimensional cases  [8, 9], have  been  analyzed. I n  t h e  presen t  paper,  th e  axisymmetric  con tact  problem s  of  a  transversely- isotropic layer pressed  on to a rigid base with  a cylindrical protrusion  (P roblem I ) or a pit  (Problem I I ) are  considered. 280  B.  ROGOWSKI 2.  Basic  equations  and displacement  functions We  denote  as  usual  the  cylindrical  polar  coordinates  of  a  point  by  (r, 0,  z)  where the  z­axis is chosen  as the axis  of geometric  and elastic  symmetry.  In the case  of the tor­ sionless  axisymmetric  problems  the  stress­strain  relations  for  a  transversely  isotropic solid are as follows: a„ = (2.1) where 8u fir ' <*re  = eee aez u r ' =  0, czz 8w £ + TT. (2-2) u, O, w are radial,  circumferential  and axial  components  of the  displacement  vector  and Cij  are elastic constants. Let  y  =  gi g be the body  force  density  acting  vertically,  where  gi  is the mass  density and g the gravitational  constant. The  displacement equations  of equilibrium  are: 8  \l  8  ,  A  ,  .  82w  82u  n Cu  ­5—  5— \ni)  + (Ct3 + c44) ­^—5—He4 4.­r­T=  0, 8r  [ /"  3r  .  J  '  3rSz  9z2 , „ / o \ o f i d 1 01 ( 2 - 3 ) 1  3  3»\  o i l  3 1  82w c**~~^­\r~^r)  +(ci3 + c4*)­3­1 — ­~­(™)  +^33 ­5­3­  =  y­ The particular  part of the displacement  components  corresponding to y and  the  clamp­ ing uniform  pressurep0  in the z direction  may  be obtained  separately as: (2.4) ZC33 ZC where A is a geometric and  c material  parameter C  —  (cll+c12)c33~2Ci3.  (2.5) This gives the stress  state (f„(z) =  erse(z)  =  ­=­11­  y ( 2 z ­ A ) , _ ( / j _ l ( 2-6> tf„ =  0, A TRANSVERSELY ISOTROPIC LAYER 2 8 1 which  satisfies  the  con dition s *xz(h)  ~  - Po,  o'«(0)  =   ~p o - yh  =   ~p e , h f  o„{z)dz  -   0  ( 2 > 7 ) 0 an d  in  addition w(r.  0) =  0,  w(r,  h) =   -   C~~ Ł   h(2p 0  + yh).  (2.8) To  solve  th e  h om ogen eous  equilibrium  equation s  (2.3)  we introduce  the  displacement poten tials q> x (r, z) an d 

  z )   m a y  o e  taken  in the following  forms, n otin g  some  sym m etries  of  t h e  stress  state,  th e con dition  at infinity  and the conditions 282 B.  ROGOWSKI -0)1 =  1,2  (2.13) where  g =  r\h, £ = z/A and  J0(*e)  is  Bessel  function  of  the  first  kind  of  order  zero,  p(x) and  «) (x)  are  unknown  functions  which  are to  be determined  by  the boundary  conditions and  the  functions  gj(x)  and  g2(x)  axe defined  as  follows sh/Sx­e­"*,  i = l x­j2shi'2x),  / =  2.  ^ 2"14^ The  displacement  w  and  stresses   Problem Tl 284  B.  ROGOWSKI The layer is pressed by uniform pressure and the effect  of gravity is also taken into  account. We  assume,  that  the magnitude  of  depth  e0  is small. In the second problem, if the pressure  is small  (without the body  force)  and the lower surface  of the plate  does not make  contact  with the bottom  of the pit, the stress  state of the  plate  is equivalent  to that  of the plate  with  a penny­shaped  crack,  which  is  analyzed by  COLLINS [11] and author  [12] for isotropic and transversely  isotropic cases, respectively. In  the present paper  we analyze, in the second  problem,  a three­part  mixed  boundary value  problem  where  the applied  pressure  and  the weight  of  the layer  are  so  large,  that a  part  of  the  lower  surface  of  the  layer  0 <  Q <  g;,  makes  contact  with  the  bottom  of the pit. The uncontact region is annular and it inner  Qi  or outer  Q0 radius is not known  a priori in second or first  problem,  respectively. The radii  gf and Q0 depend  on />0, y, e0, h and  QQ or  Q(, respectively,  and on the material properties of the layer. The boundary  conditions are: *  (3.1) ,  0)  =  0,  Q, <  Q ̂   Q0  o r  Qt ^  Q < Q0,  (3.2) ^  e  =  , o  or  9^Qtt  (3.3) 0„(g,  0) =  azr(g,  1) =  0,  Q > 0,  (3.4) "„<£, 1) ­ -Pa, Q> 0,  (3.5) where the upper  and the lower  of the double sings denote the cases of the first  and second problems, respectively. With the help of Eqs.  (2.18) for the shearing stresses the boundary conditions  (3.4) are satisfied  automatically. 4.  Hie  triple  integral  equations Get a new unknown  function t(x) and set as follows: a>(x)  = -gz(x) t(x), P(x)  ­ [l-gs(x))t(x),   C ) the boundary  values of the displacement  and stresses which  correspond  to Eqs.  (2.18)  are then given by ^) = C-1 J t(x)J0(XQ)dx, 0 QO **(Q,0)  =  ­ h ~ 2 J xt(x)[l- , 0 = c- A  TRANSVERSELY  ISOTROPIC  LAYER  2 8 5 with  the  aid  of  the  relation  (2.20)  in  the  first  Eq.  (2.18).  The  condition  (3.5)  is  satified automatically. The  remaining  boundary  conditions  (3.1) ­ (3.3)  lead  to  the  triple  integral  equations  with the  unknown  function  t(x): 00 w(e,  0)  =  (G,  Ch)­1  /  t(x)  J0(XQ)dx  =  j ± 6 ° '  °  ^  Q  *  Q"  (4.3) o  10  g0  <  Q, CO cxz(e,0)  =  ­ / r 2  j  xt{x)[i­g3(x)]J0(xQ)dx­pe  =  0,  Qi <  Q  <  6o  or  Ci ̂   Q  <  Q0, d (4.4) under  condition dw(e,0) dQ 1  J  xt(x)J1(xQ)dx  =  0,  Q =  g0  or  g =  g,.  (4.5) We  use  here  the  series  expansion  method  to  solve  the  above  integral  equations.  This technique  reduces  the  mixed  boundary  value  problem  to  the  solution  of  an  infinite  set of  simultaneous  linear  algebraic  equations  [4], which  are  easier  to  solve  than  complicated integral  equations. 5.  Analysis We  employ  a  nondimensional  geometric  parameters *-f. * - ~ . (5-1) ro ro These  parameters  describe  the  contact  regions  and  are  generally  unknown  quantities, because  rt  or  r0  are  unknown  in  the  second  and  first  problems,  respectively. Then,  Eqs.  (4.3) and  (4.4), and  condition  (4.5) can  be rewritten to  the  form w(e, 0) =  (G, O­o)­1  f  *e*)J,fo)dc  =  j ^ e ° '  °*  Q * Xt  (5.2) oo ­ r o 1  j  x t ( x ) [ \ ­ g 3 ( x 7 f ) ] h ( x g ) d x ~ p e  =  0 ,  A < p < l  o r  A = S e < l , o (5.3) dw(Q, ^ L  =  _ ( G ,  Cro)­1  /  ^ ( ^ J ! ^ ) ^  =  0,  Q =  1  or =  A.  (5.4) The  function  g3(xrj)  tends  exponentially  to  zero  as  xr\  tends  to  infinity,  is  continuous for  any  x  e  (0,  oo),  because  a  6 R+  and  its  limit  is  equal  unity  for  xr\ ­> 0. 286  B.  ROG OWSKI When  t\  tends  to  infinity  i.e.  in  the  case  of  the  half- space,  then  th e  function  gz{xrj)  identi- cally  equals  zero.  F or  th e  isotropic  solid,  i.e.  when  s 2   - > s t  - >  1  an d  k  - +   1,  th e  function g 3 (x)  assumes  th e  form : x+x 2 +e~ x shx and  does  n ot  depend  on  the  m aterial  properties  of  t h e  solid.  F o r  our  solid  th e  boun dary functions  g 3 (x),  gi(x)  an d  g 2 (x)  depend  on  th e  m aterial  properties  an d  t h e  solution  of the  integral  equations  depends  on  th e  an isotropic  properties  of  t h e  m aterial. N ow,  interchanging  the  variable  Q in  X  ^  Q <  l t o < P i n O ^  0  <  n Q  =   - —  [1 +  P  -   (1 -   A 2 ) c o s0 ] i  (5.6) the  variables  Q an d  CP  correspond  each  oth er  an d  Q =  X is  0  = 0  an d  Q =   1 t o  0  —  n. We  put th e function  t(x)  in  the form  of  integral  as  follows: 1  -i F( f )h(xR)df,  R  =  - L r  [1 +  P- (1  - A2) c o sV]^ ,  (5.7) o  \ 2 where  F ^ )  is  an  arbitrary  con tin uous function  in the  interval  0  <  f  <  n. Substituting  Eq.  (5.7) in to  W (Q,  0) of  Eq.  (5.2)  an d dw{q,  0)/ CIQ of  Eq.  (5.4), we  o bt ain : F ( y) i f( i ? e ) r fv ,  (5.8) HZ - i  J  1  F( y)ó( i?~ e)^.  (5.9) o Since the argument  of th e delta function  is  i ? - g  ?Ł  0 in the intervals  0  <  Q <  X an d  1  < Q because  of  X <  R  <  1,  the  radial  gradient  of  the  displacement  w(g, 0)  is  always  equal to  zero  on  th e  contact  surface  <  0,  A) u ( l,  oo) in depen den t  of  t h e  function  F(f).  On  th e other  hand,  using 1,  O^ Q^ X,  (0  <  X<  H   «  1), 0^ w<(f>,  (R < p), • «*<».  »*t  (510) o,  K g ,  (X  <  i?  <  i  <   e ) , we  see  that  the  displacement  w(g, 0)  is  equal  con stan t  in  the  interval  0  ^  Q  <  X, is  a function  of  g  in  th e  interval  X ^  Q <. 1  an d  equals  zero  in  th e  rem ain in g  one  1  <  q, independent  of  th e  function  F(f). I n tegratin g  in  Eq.  (5.9), we  obtain an d zero  in  the contact  region. i  A  TRANSVERSELY  1S0TR0PIC  LAYER  2 8 7 Because th e layer  contacts smoothly  at the edges  Q =  1 or  Q =   A with the rigid  base  in the first  and second  problems,  respectively,  the gradient  of  W (Q, 0) must  be finite  at  Q - *•   1 or  Q - »  A, respectively.  Th at is  equivalent  to the conditions  (5.4), which  lead  to F(n)  =   0  or  F(d)  -   0  (5.12) in  the first  an d second  problems,  respectively. The  integral  representation  of  the  function  t(x)  by  Eq.  (5.7)  satisfies  the  displacement conditions,  if  the  function  F(ip) satisfies  first  or  second  Eq.  (5.12), respectively.  I t  should be  noted  that,  rigorously  speaking,  we  have  two  unknown  functions  F + (ip)  and F_(y)) for  first  and second problems, respectively.  We  assume  also, that these unknown  functions take  a finite  and  non- zero possitive  or  negative  values  in  the intervals  0 < y < ^ o r O ^ <  ip <  n  in  the  first  an d  second  problems,  respectively.  Then  the  displacement  W (Q , 0) is  continuous  in  the  interval  A <  Q Ą  I,  it  gradient  takes  definite  and  non- zero  values negative  or  positive  in  A <  Q <  1,  tends  to  minus  infinity  at  contact  edge  Q - * A+   or infinity  at  Q - >  1",  an d equals  to zero for  Q =  1 or  Q =   A  in the first  and second problem respectively,  and  consequently,  the  slope  of  w(g,  0)  at  contact  edges  Q =   A and  Q =   1 coincides  with  th at  of  the contact face. The  function  F (y) can be  expressed  by  a  F ourier cosine  series 00 F(w)  =   —p e roR  / ,  a n cosnf.  0  <  y>  <  n,  (5.13) 71  X—J where an  are unknown coefficients,  which  are to be determined by  the boundary conditions (5.3), and for  which  from  the conditions  (5.12), we  obtain l ) X  =   0  or £a„ = Q.  (5.14) Substituting  Eq.  (5.13) in to  Eq.  (5.8)  and integrating, we  obtain the displacement: an d  the relation Eq.  (5.16)  gives  th e  relation  between p c , e  0 ,  /"0  or  r(  and  c 0  where a0  depends  on  the parameters  of  the contact regions  A  and rj and  on the properties  of  the material. Substituting  Eq.  (5.13)  in to  E q.  (5.7)  and  the  result  into  Eqs.  (5.3),  and  using  some re- lations  for  Bessel  functions,  we  obtain : 288  B.  ROG OWSKI CO  CO n= 0  O 00  00 E I ( e, 0)  =  pe  y  an  I  [l~gi(xrj)]—~~- xS0(xQ)dx- pe,  (5.18) n= 0  0 OH  I  [ '  ~~Sz( X7j)\    ̂ xJ0(XQ)dx  = 1 ,  k  <   Q  Ś :  I  OT  A  <   g  <   1,.1  OX n- =()  0 (5.19) where Z „ (*)  =   J «I "f- 0  +  A)J J, | y  (1 ~  • *)]•   (5.20) M ultiplying  the  both  sides  of  Eq.  (5.19) by  Q, using  t h e form ula  XQJ 0 (XQ)  «=  d[Qj i (xQ)]ldQ, integrating  with  respect  t o Q an d  using  t h e  formula  8[S 0 (XQ)]18X  =   - QJ^ XQ),  we o bt ain : o r  A <  g  <  1,  (5.21) where  c, (i =   1, 2)  are un kn own  integral  con stan ts. U sing  the N eum an n 's form ula  [13] CO } 0 (XQ)  = Z 0 (x)+2 £z m (x)cosm ] — c , ,  0  <  0  ^ n , i—\ ,2.  ( 5. 23) As s u m i n g  t h e  c o e ffic ie n t s a K   a s o,  « a' f - c t d„',  ( =   1,2  (5.24) and  equatin g  the  coefficients  of cos m y  in both  sides  of E q.  (5.23), we o bt ain  two  infinite systems  of  simultaneous  equation s  for  t h e determ in ation of  t h e  coefficients  a' n  an d  a'n) 1  2 2 =   0 1 2 where  ^4WB denote the symmetrical  m atrix  given  by CO Am  =   J  [l- gs( s»?)]  ,  r *  "  g    oo.  In  addition,  in  the  first  problem   O) equals  zero,  whereas  in  the  second ozz{ri,  0)  equals  zero.  Using  Eq.  (6.6)  we  can  easily  evaluate  the  stress  concentration factors. 7.  The  stress  concentration  factors In  analogy  with  the  stress  intensity factors  in  the  annular  crack  problem,  we  define  the stress  concentration  factors  at  the  edges  of  the  contact  regions  by  the  expressions: N,  =  lim q­tk" or in  terms  of  the coefficients  a„: JV, = ^ y  {alz{e, (7.D (7.2) A  TRANSVERSELY  ISOTROPIC  LAYER  291 for  the  inner  contact  edge and the  outer  one in the first  and  second problems,  respectively. In  the first  problem  azz(r0,  0) equals zero, whereas in the  second   0 and  y\ ­> oo (the half­space  problem),  Eq.  (5.19) can be rewritten  as follows " ~ y v Using  the  formula Ot*  A  i  o in  Y  \ —  I  XJ0(XQ)­J­[  ) =  — 1,  0 < o < l ,  (8.3) it  J  ax  \  x  /  s o  ' we  have Making  use  of the  formulae [13] j  J0(xsm@)$m®d&  =  S 00 J0(xsin6>)  =  J5 l ­ y l + 2  }  5l \~)  cos2n6>, we  see  that B/2 X (8.5) 19* 292  B.  ROGOWSK! It  is apparent  from  Eq.  (8.6)  that * ­ ­ ! •  ^  = ^ ­ 4 ^ 1 '  ­I.2.3....  (8­7) are the  solution  of  Eq.  (8.2). The solution  (8.7)  satisfies  the  second  condition  (5.14).  Substituting  the  value  a0  =  ­2/n into Eq.  (8.1), we get for  larger values of  hjr0 : r = y < ? , C ^ .  ,  (8.8) Especially, if 2 r0 or for  the  pressure  p0  without  the  body  force  and  for  the  tension  p0  and  the  weight  y  h, respectively  a  part  of  the  lower  surface  of  the  thick  plate  is  in  contact  with  the  bottom of the  pit.  When  r\ ­  h/r0  decreases,  then  the  critical  load  also  decreases.  In  the  limiting case  of  r\  ­> 0  the  function  g3(xr])  tends  to  unity  and  the  solution  a0  tends  to  infinity, and consequently  the  critical  value  of  the  load  tends  to  zero. If pe  < 7tCGt e  o/2r0  the  elastic  body  does  not  make contact  with  the  bottom  of  the pit and  the  solutions  are  as  follows: sinx  \ 71 The formulas  (8.11)  agree  with  the  results  for  the  solid  with  a  penny­shaped  crack  if  we replace­^  by  p 0 ,  which  are  given  by  Collins  [11]  and  author  [12] for  isotropic,  i.e.  C  = — lIQ—v),  and  transversely  isotropic  case,  respectively.  In  the  special  case  for  a  half­ space  problem  and  r{ =  0,  the  contact  stress  and  the  stress  concentration  factor  NQ  do not  depend  on  anisotropy  of the  material,  whereas  the  displacement  depends.  In  the  layer contact  problem,  the  stress  and  displacement  fields,  and  the  stress  concentration  factor depend  on  the  material  properties  of  the  solid.  By  means  of  results  present  in  the  paper, the effect  of transverse  isotropy  may  be  examined. A  TRANSVERSELY  ISOTROPIC  LAYER  2 9 3 9.  N umerical  calculations At  present,  we  m ust  determine  the values  A =  rijr o   for  given  p e ,  e 0 , h, r;  or r0 an d m aterial  con stan ts.  H owever,  it is considerably  difficult  to determine the un kn own  ratio A by  the above  procedure.  Therefore,  we  determine  the relationship  am ong  p e ,  e 0  and h from  E q.  (5.16)  un der  th e  con dition th at  the  ratios  of the  inner to outer radius  1 =  ri/ r 0 an d  t] — h/ r 0   =   hk/ ri  are given  an d solving  th e  simultaneous  equations  (5.25). To  solve  these  equation s  we  evaluate  the infinite  integrals  A mn   involving  the product of  four  Bessel  functions  by  th e following  m ethod.  The  element  A mn   of  m- th  row  an d n- th  column can be rewritten  as -   j  gs(joj) - A.  [Zm(x)}  J L [Zn(x)]dx,  (9.1) 0 where o -   (9.2, an d  A*! , is taken t o be a very  large  value,  and x 0   a large  value. The  second  term  A' mn   is  obtained  by  using  the asymptotic  approximation  of  Bessel function,  in tegratin g  E q.  (9.2) by parts  and  using  sine  an d cosine  integral  functions si(x) an d  ci(x).  The first  an d th ird  term s  on th e righ t  h an d  side  of  Eq.  (9.1) are integrated  n u- merically  with  sufficient  convergence  by  m ean s  of  Simpson's  rule  taking  Xj  =   500  an d JC0  =   20/ ary.  The algebraic  equation s  are solved  by  trun cation , i.e. we calculate  only th e first  n  roots  of  th em . We can get numerically  good  results,  taking  n  =   15 or n =   10 for k  < 0,2  or  A > 0,2  an d r\  >  1, respectively,  an d n =  20 or  n =  15 in the case  I  4  0,2 o r  A >  0,2 an d  • >]  <  1. With  a  decreasing  degree  of  anisotropy  (EIE X ,  GjGi)  the  conver- gence  in the num erical  calculation  becomes  slower.  F or E/ E t   - 4 1 an d GIG 1   <ś lwe m ust t ake  m ore equation s, respectively  for E\ Ei,  G\ G^  >  1 we can take less. 10.  N umerical  results N um erical results  show  th e relations  bet ween p e ,  e 0 , h, /- ,-, an d rQ (in P roblems I and I I ) in  cadm ium  an d  m agnesium  single  crystals  and  fiber- reinforced  composite  materials such  as E  glass- epoxy  an d graphite- epoxy  with  fiber  direction  along  z- axis,  an d they are O  0,5  X= r;/r0  1,0 Fig.  2.  Relations  of  pe>  ea,  li,  rt  and  r0  for  dissimilar  materials  in  Problem  I 0  0,5  A=ry/r0  1,0 Fig.  3.  Relations  of  pe,  e 0 ,  A,  n  and  r0  for  dissimilar  materials  in  Problem  II [294] A  TRANSVERSELY  ISOTROPIC  LAYER 295 12 4,Ci >4,5,1 >6G­E ^C,rj—1 ^EG­E.rf­1 XG­E,q­1 ii,n­i 3 0 0  0,5  A = n/r 0  1,0 Fig.  4.  The  variation  of  Nt  with  A  for  dissimilar  materials  and  r\ ­  h/r0  in  Problem  I 0  0,5  A­fi/r0  1,0 Fig.  5.  The  variation  of  No  with  X for  dissimilar  materials  and  r\ = h/r0  in  Problem  II compared  with  those  of  the  isotropic  material  [4] to  show  the  effect  of  anisotropy.  The stress  concentration  factors  are  also  shown  graphically. The  elastic  constant  cl}  given  by  HUNTINGTON  [15] and  CHEN  [16] arc used.  The values of  st,  s2,  k  are 1,58;  0,98;  1,85  1,41;  0,70;  2,78 1,67;  0,34;  12,7  1,36;  0,23;  21,4 for  cadmum,  magnesium  ,  E  glass­epoxy,  graphite­epoxy,  respectively  and  for  isotropic material  1;  1;  1;  G ;  =  10 10  N/m 2 ,  v  =  0,30. As  shown  in  Figs.  2  and  3 in  each  case,  {l—v)perojGi  e0  increases  with  an  increasing A ~  ri/ro  and  tends  to  the  case  of  an  elastic  half­space,  with  corresponding  material,  with an  increaing  r\ — h/r0.  In  each  figure,  the  results­indicated  by  the  chain  line,  show  those 296 for  isotropic  material. These  results  agree  with  the  ones  of  Refs.  [4.5], where  th e  weight is  omitted  (p e   - +  p 0 ).  F igs  4  an d  5  show  the  variation  of  th e  stress  con cen tration  factors with  X-   nlr 0   an d  t]  =   h/ r 0   for  dissimilar  m aterials.  N t   (for  th e  protrusion )  is  always greater  th an  N o   (for  th e  pit)  an d  becomes  very  large  when  I  - * 0.  With  th e  increasing  of X, N t  decreases  an d  N o   decreases  slowly.  The  stress  con cen tration  factors  are  different for  presented  material  an d  become  small  (N o )  or  larger  (N t )  as  the  layer  becomes  thick under  the same  protrusion  or  pit  dimension, converging  to  the  sam e  values  for  an  infinite body. References 1. A. E.  LOVE,  Quart. J. M ath. Oxford,  10- 39 pp.  161 - 175, 1939. 2.  B.  AN N ,  Trans.  JSME  24 -  147  pp.  757  -  766, 1958. 3.  T.  SHIBUYA,  An elastic contact problem of  a  half- space  indented by  a  truncated conical  stamp,  Bull ISM E  22, 163 pp. 16 -  20, 1979. 4.  T.  SHIBUYA,  T.  KOIZ U M I, I . N AKAHARA,  T.  H ARA,  Elastic contact problem of  a  half- space pressed onto a rigid base with a cylindrical protrusion or pit,  Int. J. Engng Sci. 17, 4, pp. 349 -  356,  1979. 5.  T.  SHIBUYA,  T.  KOIZ U M I, K.  IID A, T.  H ARA,  Contact  stresses of  an  elastic plate pressed onto a  rigid base with a cylindrical protrusion or pit, Bull. JSM E 24,198,  pp. 2067 -  2073,1981. 6.  B.  ROG OWSKI,  Indentation of  an  elastic transversely  isotropic  body by a  concave  rigid punch,  Zeszyty N aukowe  PŁ Budownictwo  z.  31 s.,  81- 99,  1984. 7.  G . M. J.  D AMEN ,  On the three- dimensional  contact problem of  a  rigid  inclusion pressed between  two elastic  half- space,  Rozprawy  Inż ynierskie, 25, 3 pp. 483 -  493,  1977. 8.  J.  TWEED ,  T lte  stress intensity factor of  a  Griffith crack which  is opened by a  thin symmetric  wedge, J.  of  Elasticity  1, pp. 29 -  35,  1971. 9.  M .  M AI TI and S. S. P ALIT, Stress distribution  due to a Griffith crack opened by a thin symmetric  wedge. Bull.  Acad.  Polon. Sci.,  Vol. XXV, N s 8  pp. 273- 280,  1977. 10.  B.  ROG OWSKI, Funkcje przemieszczeń  dla oś rodka poprzecznie izotropowego,  Mech. Teoret.  i  Stos. 1, 13  69- 83, 1975. 11.  W. D .  COLLIN S,  Some  axially  symmetric stress distribution  in elastic solids containing  penny- shaped, cracks I. Cracks in an infinite solid and a thick plate.  P roc. Roy. Soc. ser. A, Vol. 266,  N» 1326,  pp. 359- 386,  1962. 12. B.  ROG OWSKI,  Zagadnienie  szczeliny w ciele poprzecznie izotropowym,  Zeszyty  N aukowe  P Ł Budow- nictwo  z.  25 s.  7- 20, 1979. 13.  G . N . WATSON,  A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge,  1944. 14.  B. ROG OWSKI, Mixed boundary value problems of  a transversely isotropic layer under torsion and various boundary  conditions,  Rozprawy  Inż ynierskie  31, 3  pp. 293- 315,  1983. 15.  H . B.  H U N TIN G TON ,  Solid state physics, (Eds. F , Seitz  and D . Turnbull), Vol. 7 pp. 213 -  351,  N ew York,  Academic Press 1957. 16.  C. H .  CH EN  and S.  CH EN G , Mechanical properties  of  anisotropic fiber- reinforced composites,  J,  Appl. Mech.  Trans.  ASME  ser. E  37, 1 pp. 186 - 189, 1970. P  e 3  K)  M  e TP AH C BE P TAJI Ł H O- H 3OTP On H BIH   CJIOK  ITPH >KH M AEM blft  K  > KECTKOM y OCH OBAH H K)  C  BŁ I C TYriOM   H JI H   BITAJIH H Oft AB T O P  pem n ji  cypbe  c  H eo n p e# eJ ieH H biM H   n o K a  KoscjxpH U H eH TaMH   S T H   yp a Biien H H   n p H BO fla ic H   K  p e u ie H H io  flByx 6e c K O H e iH h ix  c a c r e M   H H H eiiH Bix  ajire6paH V.ecKH X  y p a B n e r n u i  OTHOCHTejibiio  K03({xJ)Hn,HeHTOB  pH fla ypi>e. B  Ka>Kfloii  H 3 yii KeH H H  H a  K p a a x  B t i c r y n a  wm  Bn aAH H t i  B  3 a - BHCHMOCTH   OT COOTHOUieHHH   paflH yCOB  KOHTaKTHOH  o6jiaC TH   flJIH   P83H LIX  MaTepH aJIOB  H   TOJTIUHH   n ^ a C - TH H KH . S t r e s z c z e n i e WARSTWA  P OP RZ ECZ N IE IZOTROPOWA  D OCISKAN A  D O  SZTYWN EG O  POD ŁOŻA Z  WZN IESIEN IEM  ALBO ZAG ŁĘ BIEN IEM Autor  rozwią zał   sformuł owane  w  tytule  zagadnienia,  w  których  uwzglę dnił   efekty  poprzecznej  ani- zotropii  i  sił y  masowej,  za  pomocą   transformacji  H ankela  i  potencjał ów  przemieszczenia.  Mieszane  za- gadnienie  brzegowe  sprowadzono  do  rozwią zania  potrójnych  równań  cał kowych  i  pewnych  warunków. Te  z  kolei  sprowadzono  do  dwóch  ukł adów  nieskoń czonych  równań  algebraicznych  liniowych  za  pomocą rozkł adu  funkcji  okreś lają cej  stany  naprę ż enia  i  przemieszczenia  w  kosinusowy  szereg  F ouriera.  Czę ść dolnej  powierzchni  pł yty,  która  nie  kontaktuje  się   z  podł oż em, jest  pierś cieniem,  którego  promienie  we- wnę trzny  albo  zewnę trzny  nie  są   znane  a  priori  i  został y  wyznaczone. Wyniki  liczbowe  przedstawiają   zależ noś ci  mię dzy  ciś nieniem  i  cię ż arem  pł yty, jej  gruboś cią,  pierś cie- niowym  obszarem  i  wielkoś ciami  wzniesienia  albo  zagł ę bienia  podł oża w  materiał ach z kadmu,  magnezu i  kompozytów  zbrojonych  wł óknami.  Porównywano  je  z  wynikami  dla  ciał a izotropowego  w  celu  wyjaś- nienia  efektu  anizotropii.  G raficznie  pokazano  także  jak  zmieniają   się   współ czynniki  koncentracji  naprę - ż enia  n a  brzegach  wzniesienia  lub  zagł ę bienia  w  zależ noś ci  od  stosunku  promieni  okreś lają cych  obszary kontaktu  dla  róż nych  materiał ów  i  gruboś ci  warstwy. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 1  lipca 1982 roku