Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z1_2.pdf


M E C H A N I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

1/2,  22  (1984)

F U Z Z Y  SE T S  I N   AD EQU AC Y  D E SC R I P T I O N  O F   M ATH EM ATI C AL  M O D E LS
O F   M E C H AN I C AL  SYSTE M S

M AR I AN   S A R N A

Politechnika  Ł ódzka

I n  this  paper  an  attem pt  towards  elaborating  adequacy  description  of mathematical
m odels  of  technical  m echan ical  systems  considering  vague  adequacy  problems  has been
presen ted.  F o r th is  purpose  th e n otion s  of  L. A.  Z adeh 's  fuzzy  sets  [2], fuzzy  measure
an d  fuzzy  in tegral  [18] have  been  applied.  A  hierarchical  arrangement  of  fuzzy  sets  on
t h e  level  of  physical  variables,  sets  of  physical  variables,  system  relations  an d sequences
of  relation s  h as been  formed.  The m eth od  presented  here  enables  carrying  out adequacy
estim ation s  of  m ath em atical  m odels  both  com parative  an d aiming  at a  goal  in a  formal
way.

1. Introduction
i

M ath em atical  m odelling  technical  mechanical  systems  (t.m.s.) requires  adjustment  of
formal  m ath em atical apparat u s t o t h e description of actual reality  on one han d, an d to th e
replacem ent  of which  would  be possible  describe  in a  formal  way on the  other. Throught
th e  last  twenty  years  stron g  tendencies  t o  search  for  mathematical  formalism  would  be
useful  in  th e description  of  some  vague  (not precise)  properties  of  physical  reality can
be  n oted.  One should  m en tion  here,  am on g  others,  th e theory  of  fuzzy  sets  [2- r- 7],  an d
am on g  con ception s  of  great  im portan ce in mechanics, the conception of tolerance  spaces
[8, 9, 10]. Th e  th eory  of fuzzy  sets  in itiated by L. A.  Z AD EH   [2] in 1965  undergoes  intense
development  £11- = - 15]. This  h as been  expressed,  among  other  things,  in a  large  num ber
of  publication s  of basic  an d  applicable  significance  since th e tim e of  th e first  publication,
th e  bibliographic  specifications  for  the ten year  period  recorded  1150 items  which  was
incom plete list  [14]. F uller specification  from a latter period  (1979) contains 1799 items  [15].
At  th e presen t  stage  periodicals  t o  dealing  exclusively  with  theory  an d applications  of
fuzzy  sets  are edited,  for  exam ple:  „ An I n tern ation al Journ al  F uzzy  Sets  an d  Systems"
an d  „ F uzzy M at h em at ics".

The  idea  of  fuzzy  sets  com prises  m any  fields  of  knowledge  and technique.  H ere are
some  of t h em :
—  tech n ique:  con trol  engineering  (power  plan ts,  beilers,  heat  exchangers),  inexact  mea-

surement, fuzzy  con trol  algorithm s,  fuzzy  robots,



300  M .  SARNA

—  physics:  fuzzy  spin  spaces,  scattering  particles  in  fuzzy  phase  space,  localizability  of
relativistic  particles  in  fuzzy  phase  space,  m easurem en t  in  quan tum  mechanics  as
stochastic processes  on  spaces  of  fuzzy  events,

—  mathematics  an d  cybernetics:  topology,  algebra,  graph s,  functions,  differential  equa-
tion s,  groups,  relations,  category  theory,  fuzzy  in form ation  theory,  fuzzy  sim ulation
of  processes,  classification  theory,  fuzzy  sets,  pattern recognition ,  clustering,

—  philosophy  an d logic  of  imprecision  an d  vagueness,
—  linguistic  and language  sings,
—  social  sciences,  e.g.  psychology  of  h um an  behaviour,
—  biology  and medicine, e.g.  model  of  brain  tissue,
—  behavioral  geography,
—  air  pollution, e.g.  fuzzy  program m in g  t o  air  pollution regulation  problem .

The  paper  refers  to  th e in terpretation  an d  application  of  the  fuzzy  sets  theory  n otion s
an d  m ethods  for  th e  m athem atical  m odels  adequacy  description  of  t.m .s.  with  modelled
mechanical object  while  takin g  into accoun t vague problem s  of  th is  adequacy.  Justification
of  this  problem  from  th e pragm atic  poin t  of  view  has  been  analysed  in  the paper [1].

2.  Mathematical  modelling  of  technical  mechanical  systems

2.1.  Real  system.  We  notice  the  investigated  technical  m echan ical  object  as  consisting
of  certain  parts  which  are  „ essential  elem en ts".  The  way  of  division  an d  th e  n um ber  of
separated  elements  depends  on  th e  aim  of  investigating  an  object,  kin ds  of  examined
properties  as  well  as  th e level  of  thoroughn ess  of  the  analysis.  I n  order  to  formalise  these
facts  let's  in troduce the  following  assum ptions  an d  definitions.  Let's  h ave:
(i) finite  set  X,  x

k
  e X,  k  e K,  K  is  a  finite  set  of  indices,

(ii) m appinga:  Xax*  ~*  <x(x
k
)a  (X

lk
,X

2
k,  ...,Xj

k
k),  where  x

Jk
  <=  R,jeĄ ,  Ą  is  afinite

set  of  in dices,  a n d  R  is  a  set  of  r ea l  n u m b e r s,

(iii)  set  of  r ela t io n s  R  =  {R
X
2>R

X
3,  • • •>  Rxp}  o n  C a r t e si a n  p r o d u c t s:  R

x2
  <=   X

jk
xXj,

t
.,

A
x3
  • =  X

Jk
  x  X

n
<  x  X

r
,

k
„  ,...,R

xp
<=X

jk
x...x  Xtf,  w h e r e  k,  k\   k",  ...,keK,  j e Ą ,

f  eJ
k
,,  ...,jeJ%.  R

xp
  is  a pth  product, whereas/ )  =   £  c a f d  - 4

keK

(IV)  sequence  of  relations  R
x
  =   (R

xn
)  where  i e  I

x
,  I

x
  is  a  fin ite  set  of  indices,  an d  R

x
„

t
  a

3  {x
l)
x

2
,  ...,x„);  Xi,x

2
,  ...,x„

t
eX  =  u l j t  for  k  e  K  a n d y  e  Jk.

Definition  1,  The  pair

S,- <X,XJ,  (2.1)

we  shall  call  a real  system.

I n  a  m appin g  we  attribute  to  elements  („ essential  elem en ts")  sequences  of  sets  of  real
numbers  which  have  been  given  physical  m ean in g  (physical  quan tities).

R elation R
x
  constitute all  kinds  of  actual  (real) relation ship  am on g  physical  quan tities.

I n  mechanical objects  these are spatial relationships, relation ships  of hierarchy  (constituting
a  part)  and  of  interactions  of  a  m echanical  n ature  (actin g  of  forces,  m ass  an d  energy
flows).



FUZZY  SETS  301

2.2.  Ideal  system.  A  mathematical  model  of  a  technical  mechanical  object  is  created
by  simplifications  and  idealization  of  mental  „picture"  of  an  object  [1].  Simplifications
result  from  complexity  of  object  on  one  hand,  and  from  possibilities  of  mathematical
physics  methods  on  the  other  and  axe  compromise  between  the  destiny  of  the  model,
possibilities  of  mathematical  formalism  anp  the  complexity  of  reality,  Simplifications
consist  in  leaving  out  components  of  quantities  attributed  to  them,  weak  couplings,
weak  reactions,  etc.  The  simplified  object  is  replaced  by  an  ideal  substitue  (physical
model)  consisting  of  ideal  components  such  as particles, undeformable  bodies,  deformable
mass  zones,  massless  connecting  links:  rigid,  elastic,  viscous,  etc.

In  order  to  formalise  these  facts  let's  have:

(i)  s e t 7  =  U  Yq,  Yq<=R,  Q is a  finite  set  of  indices,
qeQ  __

(ii)  set  of  relations  Ry  =  {RyZ,Ryi,,  ...,Ryr}  on  Cartesian  products:  Ry2  c  YqxYq,;
Rys c  YqxYq.xYq„;  ...  Ryr  a  Yqx  ...  x F j ,  where  q,q',q",  ...,qeQ[  Ryr  is  an f
product,  r is  a  maximum  element  of  Q,
(iii)  sequence  of  relations  Ry  =  (Rym),  iely,  where  Rymi3  (yi,y2,....  ym)',  yi>)>i, ...
• • •, Jm, e  Y,  Iy  is  a  finite  set  of  indices.
Definition  2.  The  pair

Sy  =  <F, R,>  (2.2)

we shall  call  an  ideal  system.
Definition  3.  An  ideal  system  Sy  will  be  called  a  mathematical  model  of  a  real  system  Sx
if there exists a mapping  f c l x  Y  such  that  when  Rxnj,  3 (xt,  x2,  ...,x„)&((xi,y1)  eF)
&((*2, y2)er)•  • • &((*»,,, ym,,,) eF)  =>Rym,,, 3(yi,ya,­­,  ym),  where  xltx2,...)Xal,eX\
yi,3>a>  —,ym,«  s  Y;  V elx,  i"  ely.

The  formed  ideal  system  Sy  (mathematical  model)  is  a  mathematical  description  of
the real, system  Sx.  Forming  of  an  ideal  system  Sy  may  be  carried  out  in  many  ways,  not
only  by  means  of  a  mathematical  description  of  the  so­called  physical  model;  it  is  an
activity  a  priori  in  character  and  it  is  chracterized  by  an  action  of  diverse  meaning.  The
diversity  of meaning  asserts  itself in the possibility  of constructing many reasonable models
describing  the  investigated  properties.  The  formed  a  priori  system  Sy  to  be  a  model  the
mapping  F  between  Sx  and  Sy  must  take  place. This  mapping  means  that  a few  relations
Rx„  may  by „modelled"  by  the  relation  Rym  or  that  one  relation  Rxn  may  by  „modelled"
by  a  few  relations  Rym.  Besides,  the  relations  Rxn  and  Rym  may  differ  from  each  other  in
the  number  of  variables  and  usually  n  >  m.

3.  Adequacy  of  mathematical  model

3.1.  Physical  aspects  of  the  adequacy  of  a  mathematical model.  By  the  adequacy  of  a  mathe­
matical  model  Sy  in  relation  to  the  examined  object  Sx  we  shall  understand  measurable
property  of  mapping  F  („degree"  of  mapping)  which  we  shall  assign  from  comparing  Rx
a n d i ? , .

An ideal case  of adequacy  of the  object Sx  and the model Sy  takes place when the mapp­

ing  F  becomes  isomorphous  mapping  F.  This  means  there  exists  a  bijection  F:  Sx  <­> Sy



302  M.  SARNA

such  that:  Rx„t  3  (xx, x2,...,  *„,) =*• Rynt  a  ( ­ T ^ ) ,  F(x2),...,  F\xn)),  Ry„t  3(ylty2,  ...
­ym^Rxm^lr­1^),  r­1{y2)...r~

1{ym)),  where  mt = nt  and  Xl,  X2,...,x„ts
eX;  ylty2,  ...,ymieY.  In the practice  of technical  mechanical  systems  modelling the
mathematical  model  is not an isomorphous  mapping  of the investigated  object  and  the
problem  of adequacy  becomes more  complex.  Physical  quantities,  determined  by measu­
rement on the  object  „in  concrete",  forming  set X,  differ  from  X, the difference  resulting
from  measurement  errors  possible  or impossible to determine  (Rx different  from  Rx,  Rx­
sequence  of relations  determined  within  the same  spaces  as Rx).  Numerical  sets  X are
discrete  sets  and can be replaced  by a  continuous  „representation".  Incomplete, measu­
rement  investigation  of  a  technical  object  (a finite  number  of  point  of  measurements
and  readings)  requires  „extending"  of the  empirically  established  compatibility  between
Ry  and Rx to Ry  and Rx  which,  in turn,  requires  the  usage  of unreliable  empirical  infe­
rence  [1].  '

The idea  of the presented  concept is an attempt  at such an adequacy  description  based
on  the  notions  and  methods  of the  fuzzy  set theory  which  would  be „extending  compa­
tibility measures Rx and Ry" to „the  reality Rx  and  R/'.

3.2. Adequacy of a mathematical  model of the level of physical variables.  By a physical  variable
we shall understand  each set  Yit  yq e Yq  c  R, q e Q, if Yq has  physical  meaning  (physical
dimension  has been  attributed).

Lets have:
(i)  metric space  (Z, g) where Z s  XuY;  g: ZxZ  ­>  R+,
(ii)  subset  M of Cartesian  product  M  <= XxY  such  that  (x, y) e M  =*• (x, y) e F;  M =
=  F when ni = mf,  (see Def. 3),
(iii)  function  gr: Xx  Y­* R+  such  that  for zlt  z2eZ,  [cr(zi,  z2) =  Q(ZX,  z2)] <*•

(IV)  function/^:  Fs  (x, y)  ­*fA(xt  y) e  [0,1]  such  that:
1° for (x, y) e M,  \fA(x,  y)  ­  1] «•> x  ­  y,
2° for (*', / ) ,  ix", y") e M,  [Qr{x\  y') <  gr(x",  y"))  o  [&(*', y

1)  > fA(x,  y)],
3°  for (x, y) eF\M,  [fA(x,  y)  =  0].

Let Af denote a fuzzy  set:

A,  = graphs3 {(y,fA(y)\y  eF},  (3.1)

where y = (x,y)  eF,  function fA(y)  is a membership  function  of the fuzzy  set  Af.
The requirements put forward  for fA  are general  and determine  membership  function

family/a:

^ ( J n ) =  {fA(.x,y)\fA­.r­>  [0,1)]}

A(x  y)
An example of the fA  function  meeting  the  above  requirements  may befA  =  vf  '  v­

'\x>  y)
when (x, y) e R+  or (x, y)eR_,  A(x, y) and V(x,  y) denote a choice of a smaller or a larger
element  respectively.  This  function  resambles  proportional  determining  of  deviations.
Membership  degree of pairs  (x, y)  in a fuzzy  set,  determined by values of the so selected
membership  function fA,  may  be interpreted  as an indicator  of what  we understand by
the notion of adequacy  of a mathematical  model.



F U Z Z Y  SETS  303

It  can  easily  be  noticed  that  if  for  V (x,  y)  e F  takes  place fA(x,  y)  =  1 then  from  the
condition  1° and  3° f o r / ,  results  that  F  =  M,  («,  =  mO and  for  V(*, y)  e  M  holds  x  =
=  y  and  Rxm,3  (xlt  x2,  ...,xm)o  Rymia  {yt,y2,  ...,ym),  for  V i e / *  and  V i e / , .  Hence
isomorphous  mapping  5X to  Sy  takes  place,  relations  Rym,  are  „fully  adequate".

From  the  condition  2°  for  /<  results  that  with  the  increase  in  value  of  gr(*> jO.  the
values  of  membership  function/,  decrease  which  we  interpret  as  diminishing  „adequacy
degree" of  a mathematical  model. The fuzzy  set  Af  is  a  „picture  of  adequacy"  of  a  mathe­
matical  model  on  the  level physical  variables.

3.3.  Adequacy  of  a  mathematical  model  on  the  level  of  sets  of  physical  variables Yu.  L e ' t s  p i c k

out  for  Rymt s  (y1,y2,  ...,  ym)  in set F  subsets Fu  such  that  (xu,  yu)  e Fu  and  xu  eXu,yu  e
e  Yu,  where  u  =  1, 2,  ..., mt.  Let's  denote  fuzzy  set  At  on Fu  by:

Au  =  graph/,s  {(y,fA(y))\y  e Fu}
Let's  make  cuts F^  of  set  Fa:

Fua  =  {y  eFu\fA(y)  >  a }  for  Va  e  [0,1],

Let  distance  specification  be  given:  Q,:YX  Y­*  R+
Let's  denote  diameter  of  set  Fu  as  DU:DU — supQY(y',y")  while  diameter  of  c u t / ^  as

Dm  =  s u p g y ( / , / ' ) •

Let's form fuzzy measure  [16,  17] of  set  Fm:

r°^- (3.2)

Additionally,  let  it satisfy  condition:  if Da  =  0 and £>„« =  0 then g(r«a)  =  1. Let's  perform
fuzzy  integration  [18] of  membership  function/^(y)  over  set Fu  to regard  of fuzzy  measure

=  sup  [a  A  g(F^\  (3.3)
ae[0,l]

where  A  denotes  choice  of  smaller  element.  Let's notice,  that

Fuzzy  set  Ae  will  be  defined  as:

Ae  ­  graph©.3  {(Fu,  <9J(FV))\FU  c  2
r } .  (3.4)

It can easily be seen that the fuzzy  mesaure  (3.2) has the following  properties:
1°  gOfte.)  =  0 when  FM  =  <j>  or  Dm  =  0, Du  /  0
2° £(/",„,)  =  1 when  a  =  0

Let  the  cuts: F'^  <=.  FM,  F'n  <=.  Fua  be given.
If  r ^  c  T1^ then  g ( O  <  g ( O  which  may  be  interpreted  that  the  „range"  of  mapping
of variable  Yu on the level a is for the „model / ^ " s m a l l e r  than for the „model f^".  Measure
giFux) assigns relative mapping range  of variable  Ytt"  on the level a in the considered mathe­
matical  model.  From  the  properties  of  a fuzzy  integral  results  that:

1°  If  F'u c  F'J  where  F'u  a  Fu,  F^'  c  Fu  then  0U(T'U)  <  0U(F»)  which  means  that
together  with  enlargement  of  „scope"  of  physical  variable  in  model  the  value  6U
increases.



304  M.  SARNA

2° If /i(y)  >/2(y)  then  J W i ( ­ ) o * ( ­ )  >  U ( ' ) O g ( ' ) ,  which  means  that  with
increase  of membership function  value, the value 0U increases.

3°  0U = 1 when  [forVy  eru,fA(y)  =  1],
4°  6>u = 0 when  [forVy  eru,fA(y)  = 0],

Membership  function  <9U  of a fuzzy  set  4̂Q  maps  to each  pair  of sets  {Xu, Yu) a  number
from  the interval  [0, 1].  This number  is the closer to one the  greater  values the membership
function  fA(x,  y) assumes and the greater  the diameter  of the  subset  Fm  on which fA{x,  y)
reaches  these  values  (a  = fA(x,  y)).  So the  membership  function  &u may be  interpreted
as  „adequacy  measure"  of  particular  sets  of  physical  variables  Yu  whose  elements  are
in the investigated  relation  Ryntl.

3.4. Mathematical  model adequacy on the level of relation  Rym,­  Let's  assume  that  we  are
given  a  fuzzy  set  for  itH relation  Rymi,  whose  membership  function  &u  assumes  values:
& 1 , 6 2 ,  •••,  0 m r  W e  a t t r i b u t e  f o r  @i,@%,  .... &m,  w e i g h t s  (*i, f i 2 ,  •••, f*m,  s u c h  t h a t
0  <  JJ,U  <  1 for  « = 1, 2,  ...,  mt.  Let's  form  a sequence 0t = (/*„©„)  where  u =  1,2,  ...
...,/«(, and  set

^ =  {0t\iely}.

Let's form a  functional:

­x^C^efO.l],  (3.5)

satisfying  conditions:
1°  $A(@t)  = 1 when  [for u ­  1, 2, ..., mt,  /iu0u  =  I],
2°  0A(6t)  =  0 when  [for u ­  1 , 2 , . . . . m t f  ixu0u  =  0],
3°  0A{0',)  > fA9")  when  [for u ­  1 , 2 , . . . ,  mu  fiu0'u  >  uu0'u']
Fuzzy  set A$ is expressed as

A*  =  g r a p h s s  {(€>],  <PA(0t))\@t  S 2 ° } ,  (3.6)

where  <pA( • ) is a membership  function.
Weights  filt  fitt...  attributed  to particular  physical  quantities  ocurring  in the investi­

gated  relation  Ryn,t  enable us to give these  quantities  subjective  meaning  in the  description
of the  adequacy  of a model. As a functional  (3.5) we may take in  particular

4>A(@I)  =  ftl&l+(t2®2+  •••  +/iml@mi,  (3.7)

where  weights  satisfay  an additional  condition  fii+/i2+  ...  +iMm, = 1­ Values  of the fun­
ctional <j>A(0i) mapped  to particular  relations  Rymt,  may be interpreted  as  „adequacy  in­
dices" of particular  relations of a mathematical  model.  Fuzzy  set  A&  is then  an  „adequacy
picture"  of a model  on relation  level.

3.5.  Adequacy of a mathematical  model on the level of relation  sequences R".  Let's  assume  we
are given a fuzzy  set A#  whose  membership  function  assumes  for  the  sequence  Ry =
=  (Rym,), i £ /, v a l u e s ^ . ^ . . . . . ^ „ . W e  attribute  for 4>1,<f>2,...,<£(o  weights^,Jl 2 ,...,fit,
such  that  0  < ju, < 1 for / =  1,2,  .... *0.



F U Z Z Y  SETS  305

Let's  form  a  sequence  <t>
w
  ~  QiiAi),  i  -   1,  2,...,  i

Qw
.

Let's  assume  t h at  a  sequence  ( i?p ,  w  -   1, 2,  ...,  w
0
,  is  given  whose  elements  are

sequences  JRJ,.  Let's  form  set  of  sequences:

^ =   {0
w
;w=  1, 2  w0 },

and  a  fun ction al:

e  [0,  1],  (3.8)

satisfying  co n d it io n s:

1°  V>A($W ) =   1 when  [for  i  =  1, 2,  ..., i
Ow>

jj.
i
4>

i
  =   1],

2°  v^(^w)  -   0  when  [for  i  -   1, 2, . . . ,  fOw,  ft  4,  =   0],
3°  vu(# w)  5? v^ ( ^ w)  when  [for  / =   1, 2,  ...,  i

Qv
,  £,<£,'  ź  / ii <£','].

F uzzy  set  A
v
  will  be  defined  by:

A
v
  =  g r a p h s  a  {(cp

w
, y

A
(v

w
))\ y

w
  e 2*},  (3.9)

where  vu(  • ) is  a  m em bership  function  of  set  A
v
,

A  fuzzy  set  A
v
  has  been  formed  in  a  similar  way  to  the  set  A*.  Weights  jt

t
  attribut-

ed  t o  particular  relation s  R
ym

  enable  us  to give them  subjective  meaning  in  the  description
of  the  adequacy  of  a  m odel.  I n particular  we  can  define  as  a  functional:

VA(®W )  =   Mi01.+ iM2# 2+  • ••   + £ wo 0wo ,  (3- 10)

where  weights  / iu  satisfy  th e  con dition  / t *i+ i a 2 +   • ••   +A«w0  =   1
We  shall  in terpret  values  of  th e  functional  ^ ( < £ w )  mapped  to  particular  sequence  of

relations  R
y
  ~  (R

ymt
)  as  „ adequacy  in dices"  for  particular  sequences  of  relations.  In

particular,  if  for  a  given  m athem atical  model,  we  present  the  examined  relations  as  one
sequence,  \ p

A
  will  attribute  for  this  sequence  a  number  from  th e  interval  [0,  1]  which  be

an  „ index  of  the adequ acy"  of  th e m odel.  F uzzy  set  A
v
  is  then  the  „ picture  of  adequacy"

of  th e  m odel  on  th e  level  of  relation  sequences  (the level  of  a  mathematical model).

4.  Example

I n  order  illustrate  th e presented  concept  of  forming  fuzzy  sets  „ a describing  adequacy"
of  a  m athem atical  m odel  we  shall  consider  th e problem  of inducing vibrations  of  collecting
electrodes  of  an  electrical  precipitator  [19, 20].  A  physical  model  of  the  considered  system
has  been  presen ted  in fig.  1. A  m ovable  rod th e lenght  /  strikes  a  stationary  fixed  rod  with
th e  speed  v

0
.  Th e  in duced  wave  of  stresses  in  the  rod  influences  particular  solids  linked

with  th e im m obile  base  by  a  spring.  Let's  in troduce  the following  n otation :
/ — [m] —  length  of  th e  strikin g  rod,

v
0
  —I —  —  speed  of  th e  striking  rod,

T— [s] —  duration  of  th e  collision,
m— [kg] —  m ass  of  h arm on ic  oscillator,

k—  —  —  rigidity  of  spring,

20  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 8*



306 M.  SARNA

P  X- 0  X- l,  X= l2  X

Fig,  1. Model  of induction of vibrations  to electrostatic  precipitator  collection  electrodes

Q~  - ~  — density of material,

S-   [m
2
] — cross- section  area  of th e  rod,

P
1
,P

2
—  [N ] — force  of  acting  of  the  ro d o n h arm on ic  oscillators,  x «  l

lt
  x  =   / 2,

n
i
,n

2
—  [N ] — „ pression "  in front  of th e  wave  reachin g  the  cross- section  of th e  rod

X
x
  —  l

l t
  X  —  l

2
,

- M- speed  of longitudinal  wave  in th e  ro d .
k  S

1

I n  appropriate  assumptions  are satisfied  [19, 20]  together  with  —  <4 h2  = Q2a2

=>Q
2
a

2
S

2 >   km  the  investigated  mechanical  system  is  defined  by in terrelation s:

Ry6
L
:Po(t)  =  gav

0
S  for  0 < t  <  t  as  well  as  P(t

0
)  =  0  for  /  >  r,

i

RflMt)  =  2P 0( 0- 4A  f  P0(s)exp[- 2h{t- s)]ds,

R
yh
:P

2
(t)  -   2P X( O - 4

R
f5
,- .Q

2
a

2
S

2
  > km

So we  investigate  the relations  / ?,„,,,  z =  1, 2, 3, 4:

/ ł ,6,3  (P
0
,Q,a,v

0)
S,t),

Rtf,3  (P
1>

P
0
,Q,a,S,m,t),

Ry7
3
3(P

2
,Pi,Q,a,S,m,t),

Rys
t
3  (.Q,a,S,k,m).

Lets  assume  we have  at our  disposal  empirical  data for the  m odelled  object  i.e.  physical

quantities which  are in the following  relation s:

R
xll
3  ( Ą , P

o
,  Q, a, S,m,  t),



FUZZY  SETS  307

Rxi,3  (P
2
,Pi,0,a,S,m,f),

R
X
5*=>  {Q,a,Ś ,k,m).

Relations  R
y
&

t
,  R

y
T

1
,  R^

3
,  R

y
s

Ą
  and  R

x
e,,  R

x
ii,  R

X
7

3
>  R

x
s*  are  of  course  defined

within  the  same  spaces  but  between  the  physical  quantities  which  are  in  these  relations
mapping F  takes  place, an d  mapping F

u
  takes  place  in  distinguishing  particular  variables,

where  u  — P
o
,  P

t
,  P

2
,  Q,a,V

a
,  S, t, m, k,  (see Def.  3). F or simplification  sake  we  assume

th at  th e  subsets  F
u
  are  th e  same  for  the given  variable  „u"  irrelevant  of  the fact  in  which

of  the examined  relation s  this  variable  appears.
In  order  to  form  a  set  A

f
  lets  denote  y

u
  =  (x, y),  y

u
  eF

u
  while  yp

0
  =   (P

o
,  P

o
),  ...

•  • • .  y*  =   (k,  k). Let's  define  membership  function  as follow f
A
(y

u
)  =   - „,  Vl,  (see  p.  3.2)

where  y
a
  =   (x,y)  eR

+
  or  y

u
  e J t .  and  for  x  — y  =   0  takes  place f

A
(y

tt
)  =   1.  We  shall

denote  the fuzzy  set  A
f
  over  the  subsets  F

u
  a s:

A
H
  =   gr a p h f

A
3  {(y

u
,f

A
(Yu))\ y«  eF

u
},

whereas  the set  Af  over  Fas:

A
tt
  =  graph/ ,9  {(y,Uy))\ ren,

where y  =   (x, y).
I n  order t o form t h e set A

e
  we perform fuzzy  in tegration over th e sets F

u
  of appropriate

physical  variables  which  are in  th e relation s R
f6l

,  i?y73, ^ , 7, ,  RySt;

wh ere:  u  ==   P
o
,  P

lt
  P

2
,  Q, a,  V

o
,  S,  t, m,  k.

F o r  t h e  sh ake  of  physical  m otivation it  seems  reason able for  d
e
  =   1,  d

a
  =  1,  d, =  I,

&m  — li  "5* =   1. A  detailed exam ple of calculatin g t h e fuzzy  integral ©
u
  has been presented

in  p ap er  [1]. T h e  sets  A
e
,  correspon din g to  particular  relation s  R

y
6

lf
  R^ ,  R,i„  R,s

Ą
,

we shall p u t down as  follows:

Ae,  =   {(A.  Wl«  =   A .  Po,  Q, a, S, m,  t},

^ e ,  =   i(r
u
,  d

u
)\ u  = P

2
,Pt,e,a,S,m,  t},

Ae
A
  =   {(/ „ ,  5 U ) |M  =   Q,  a, S,  k,  m },

whereas  set  ^ 9  for  all  con sidered  relation s  as  follows:

A
e
  -   {F

U1
, 6

u
)\ u  = Po,Pi,P2,Q,<*,v

o
,S,  t,m,k}.

I n  order t o  form  set  A*  let's  attribute particular weights  fi
u
  to  th e physical  variables

which  are  in  t h e relation s i?, 6M  R^ ,  Ryis,  Ryu-   F °r  physical  variables  in  the relation
*j , 6 l  let  it  b e : (iPa  -   0, 5; fie  =  0,  (ia  =   0, /*«,„  =   0, 5; / t, =   0.

T h is  signifies  t h a t  it  is  of  vital  im portan ce  for  us  to  determine  correct values  of  the
force  P

o
  as  well  as  t h e  speed  of  strikin g v

0
.  Weights  (i

u
  satisfy  the condition  fip

o
+p

e
  +

+tia+(tv
a
+(t,+f*t  =   1> F o r  physical  variables  in  th e  relation  R

y7l
  let's  assume  in  an

7 0 *



308  M .  SAR N A

analogous  way  t h at :  fi
P
,  =   0,5;  / u

Po
  =   0,5;  [A,

B
  -   0,  p„  =   0,  (i

s
  =   0,  (i

m
  =   0,  ^  =   0;

for  physical  variables  in relation  Ry7
3
:[ip

2
  ~  0,5;/ / / >,  =   0,5;[i

Q
  =   0,/ x

a
  — 0, ^  =   0,  fi

m
  =

=   0,  ,«,  =   0;  for  physical  variables  in  relation  «y 5 4 :  / j, e  =   0,2;  ,«„   =   0,2;  ,MS  =   0,2;  ^  =
=   0,2;  p

m
  =   0,2.

Appropriate  sequences  <9„  expressed  a s:

B\   -   (0, 5d, o; 0de;  0da;  O,56Va; 0ds;  0dt),

0
2
  =  (0,5d

Pl
;0,5d

Po
;Od

e
;Od

a
;05

s
;Od

m
;Od

t
),

0
3
  =   ( 0 , 5 ^ ;  0 , 5 ^ ;  0d

e
;  Qd

a
;  Qd

s
;  0d

m
;  0d

t
),

0
4
  m  (0, 2a e s  0,2<Sa; O,2(5s; 0,2<3k;  0,2<5m),

Accepting  the membership  function  in  th e  set  A®, given  by  the  proposition  (3.7), we  shall
write  down the  following:

^ ( 0 ' t )  -   0, 5(0, . + d p . )  =  fliStf>(6> 2) -   0, 5( «, t +   «/.„)  -   e 2 ;

<^A(© 3)  =   0, 5(aP 2  +  ̂ )  =   e3;ę (@Ą)  -   0,2(<Je +  d a + d , +  ^  =   s 4 .

The fuzzy  set  ^4* assumes  form :

^ * =   {(©i,  ««)!'  =   1 , 2 , 3 , 4 }.

Values  e x ,  e 2 >
  fi3.  £<t °f  the  membership  function  of  the  set  A® are  adequacy  indices  for

particular  relations  R
ym

..
I n  order to form  th e set  A

v
  let's  attribute th e following  weigh ts:  ]i

t
  -   0,25;  JL

2
 -   0,25;

/<3 =   0,25;  Ji
4
  -   0,25  t o  the  particular  relation s  i ? ^ , ,  R,i

x
,  R

y
i

3
,  R

y
s

Ą
-   This  m ean s  that

each  the investigated  relations  has  the  same  significance  in  th e  investigated  mathematical
model.  Let's  formulate  a  sequence

# i  =   fat  <l>i)  -   ( 0, 25st ;  0, 25e2;  0, 25e3;  0, 25e4).

Accepting  th e membership  function  of  th e  set  A
v
,  given  by  th e proposition  (3.10), we can

put  down :  y ^ ^ t )  =  0, 25s! + 0, 25e 2+ 0, 25e 3+ 0, 25e4  =   <pt.  T h e  fuzzy  set  Av  will  be  as
follows:

A
v
  a  {(4>

w
,  <p

w
)\ w=  1 }.

Value  cp!  of the membership function  constiutes a fuzzy  index the investigated  mathematical
model.

5.  Final  remarks

The  considerations  presented  above  con stitute  a  m odification  of  t h e  problem  of  iden-
tification  of  m athem atical models  of  technical  m echanical  systems  including  th e  problem s
of  vagueness.  I n  order  to  describe  th e  adequacy  of  a  m ath em atical  m odel  of  technical
mechanical  system  a  hierarchic  arran gem en t  of  fuzzy  sets  h as  been  form ed  on  th e  level
of physical  variables,  sets  of physical  variables,  system  relation s an d sequences  of  relations.
The  presented  formalism  enables  a  description  of  adequacy  on  various  level  of  mmutenes
of  detail  analysis  an d  for  models  having  various  degree  of  m ath em atical  complexity.



FUZZY  SETS  309

This  description  may  serve  the  purposes  of  making  comparative  evaluations  as  those
aiming  at a goal  of the  adequacy  of the  model  when  the aim of the  model  has  been pre­
sented  in the form  of a  fuzzy  set of type  2  [21]. A  relevant  algorithm  of the adequacy
evaluation of the model, resolving the problem into inclusion  of fuzzy  sets has been  presen­
ted in paper [1].

6.  Basic  notions  and properties  concerning  fuzzy  sets

When fuzzy  sets are given:

A = graph/, a  {(x,fA(x))\xeX,fA{x)  e [0,1]},
B = graphs B  {(x,Mx))\xeX,fB(x)  e [0,1)},

hence  their  sum  AKJB  =  C is a fuzzy set:

C  =  g r a p h / C 9  {{x,fc{x))\x  eX},  where,

fc(x)  m  max(fA(x),fB(x)).

The  fuzzy  set  D =  g r a p h / o 3  {(x, fD(x))\x  e X)  is  the  product  of  AnB  ~  D  when
fD = mm(fA(x)JB(x)).

Inclusion  of fuzzy  sets A  <=.  B means  t h a t / ^ x )  < fB(x)  for Vx e X.
If  the set X  and  Borel  field  /? of set X  are  given  then  function  g( •)  defined  on p and

satisfying  the following  three  conditions  will be the fuzzy  measure of the set:

i°  s«0 = o, g(x) = i,
2°  If A,  B e  /3 and A  <z B then g(A) < g{B),
3°  If A„ € p for 1  5$ n <  oo and An is monotonie in the sense of inclusion  then  lim (A„)  =

/t-tCO

=  g(lim A„).
n-»oo

Given  a  fuzzy  set A,  cut FK of set A:  Fa =  {x\fA{x)  >  a e  [0,1]}  and Fa e /?,  where

/S is  Borel  field,  by a  fuzzy  integral  of  the fA(x)  function  over  the set E  <=• X  to  regard

of  the fuzzy  measure  g( •)  we shall  understand:  f"f
Ą
(x)Og(  • )  «•  sup[ocAg(EnF)],  where

E  if|l), II

A  denotes  th e  choice  of  a  smaller  element.

References

1.  M .  SARN A,  Adekwatnoś ć  modelowania  matematycznego  technicznych  systemów  mechanicznych  w ję -
zyku  teorii zbiorów  rozmytych.  Zeszyty  N aukowe  Politechniki  Łódzkiej  nr 412,  Rozprawy  N aukowe
48, 1982.

2.  L. A. ZAD EH , Fuzzy sets., Information  and C ontrol, Vol.  8, N o 3, June  1965.
3.  A.  KAUFMAN , Introduction  a la theorie des sous — ensembles flows,  1:  Elements theoretiques de  base,

Masson  E t C JE, Paris 1973.
4.  A.  KAUFMAN , Introduction  a  la theorie  des sous — ensembles flows,  1: Applications  a la  linguistique

et  a la semantique,  Masson  E t CJE, Paris 1975.
5.  A.  KAUFMAN , Introduction  a  la theorie des sous — ensembles flows,  3: Applications  a  la  classification

et  la reconnaisance  des formes, aux automates  et aux systems,  aux choix des criiures,  Massor  Et  CIE,
Paris  1975.



310  M .  SARNA

6.  A.  KAUFMAN ,  Introduction to the theory of fuzzy  subsets vol. 1, Academic Press, N ew—York 1975.
7.  D . D U BOIS M. PRAD E,  Fuzzy sets and systems,  Acad.  Press. N ew- York 1980,
8.  Cz. WOŹ N IAK,  T owards  tolerance, fuzziness and indiscernibility  in solids mechanics,  M echanika Teore-

tyczna  i  Stosowana  (in print).
9.  Cz.  WOŹ N IAK,  On  the tolerance  approach  to  solid  mechanics,  Archiwum  Mechaniki  Stosowanej  (in

print).
10.  Cz. WOŹ N IAK,  T olerancyjna  interpretacja  nieklasycznych  zagadnień brzegowych  liniowej  teorii powł ok,

Zeszyty  N aukowe  Wyż szej  Szkoł y  Inż ynierskiej  w  Opolu,  1982.
11.  K.  RAG AD E,  M. M.  G U P TA,  Fuzzy  set  theory and applications: A.  Synthesis;  in book:  Advances  in

fuzzy  set theory  and applications, N orth- H olland Publisning  Comp. — 1979.
12.  D . D U BOIS, M. PRAD E,  Outline et fuzzy  set  theory: An  introduction, in  book:  Advauces  in  fuzzy set

theory  and applications, N orth — H olland Publisning  C omp.  1979.
13.  D . R ALE SC U , ^  Survey of  the  reprezentation of fuzzy  concepts and its applications;  in book:  Advances

in  fuzzy  set theory  and applications,  N orth — H olland Publising  Comp. 1979.
14.  B.R .  G AIN ES.  L . I .  KOH OU T,  T he  fuzzy  decade: a  bibliography  of  fuzzy  systems  and closely  related

topics. I n t. J.  M an  —M ach in e  Studies  9, 1977.
15.  A.  KAN D EL,  R. R.  YAG ER,  A  1979 bibliography  on fuzzy  sets,  their  applications,  and related  topics.

In  book:  Advances  in fuzzy  set theory  and applications; ed. by M adau M . G upta, N orth — H olland
Publishing  Company 1979.

16.  M.  SU G EN O,  Fuzzy  measures  and fuzzy  integrals; a  survey  in  book:  Fuzzy  automata  and decision
processes,  N orth — H olland,  N ew- York  1977.

17.  G . BAN ON ,  Distrinction  between  seweral subsets  of fuzzy  measures,  Fuzzy  Sets  and Systems  5  (1981).
18.  M. SU G EN O, T heory of fuzzy  integrals and its applications,  P h . D . Thesis. Tokyo  Institute  of Techno-

logy 1974.
19.  M. SARN A,  Optimization problem of induction of vibrations to electrostatic precipitator collection electro-

des;  Staub- Reinhalt, Luft  35,  (1975)  N r  10  October.
20.  M. SARNA,  Analiza  i synteza  dyskretno  cią gł ego  ukł adu mechanicznego, Rozprawy  Inż ynierskie 24,

1, 1976,
21.  K. MIZUMOTO M . TAN AKA, Some properties of fuzzy  sets of type 2, Inf. and Control 31,  1976.

P e a w M c

P A3M LI TH E  MHO5KECTBA  B  OI I H C AH H H  AflE KBATH OC TH   M ATEM ATH M EC KH X
TE XH H U E C KH X  M E XAH O T E C K H X C H C T E M

B  pagoTe  npoBefleno  orracam ie  a«eKBaTH0CTH  MaTeiwanraecKHX  Mofleneił   TexmraecKH X  MexainraecKHX
KOTopoe  nprnauwaeT  BO BHHMaHHe He^eTKHe npo6jieM W  aReKBaTHOCTH. H cnonB30BaH O  noHHTHH

pa3M Łm.ix  MHO5KecTB J I . A.  3afle,  pa3M brroń  iwepti  H  pa3MWToro  H BTerpan a.  Coo6pa30BaH Ó  KtepapxH-
lecKyio  CHcreiwy  pa3Mbm>ix  MHOJKCCTB  Ha ypoBH e  d;H3iraecKHX  nepeM eH H bix, MHOH<ecTB
nepeiwenHbiXj  oiH omeH uft  CHCTCMLI  H  Kopie>Keft  OTHOiHemra.  npeflCTaBjieH H bifi  Merofl  o rm cam ra
BaTHOCTH  flenaeT BO3MOH<HŁ>IM  dpopiwajiBHoe  npoBefleH H e  cpaBHHTejiBHbix  H  H anpaBjieH bix  n a ijejib  oijeHOK
afleKBaiH ociH   MaieMauraecKH X  MOfleneń  o pa3JuraH oii  CTeneHH  M aieM aiiwecKoro  ycno5KH eH iw.

S t r e s z c z e n i e

ZBIORY  ROZMYTE  W  OPISIE AD EKWATN OŚ CI  M OD ELI M ATEM ATYCZN YCH
TECH N ICZN YCH   SYSTEMÓW M EC H AN IC Z N YCH

W  pracy  przedstawiono  próbę   opisu  adekwatnoś ci  modeli  matematycznych  technicznych  systemów
mechanicznych  uwzglę dniają cego  nieostre  problemy  adekwatnoś ci.  Wykorzystano  do  tego  celu  poję cia
zbiorów  rozmytych  L. A.  Zadeha  [2], rozmytej  miary  i  rozmytej  cał ki  [18]. U tworzono  hierarchiczny



F U Z Z Y  SETS  311

ukł ad  zbiorów  rozmytych  n a  poziomie  zmiennych fizycznych,  zbiorów  zmiennych  fizycznych,  relacji  sy-
stemowych i cią gów  relacji.  Przedstawiona metoda opisu  adekwatnoś ci  umoż liwia  formalizację   dokonywa-
nia  ocen  porównawczych  i  docelowych  adekwatnoś ci  modeli  matematycznych o  róż nym  stopniu  zł oż o-
noś ci matematycznej.

Praca został a  zł oż ona w  Redakcji  dnia  2  maja  1983 roku