Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­4,  22  (1984)  Z A M K N I Ę TE  R O Z W I Ą Z A N IE  P R O B L E M U  P R O P A G A C J I  N I E S T A C J O N A R N E J  PŁASKIEJ  F A L I  U D E R Z E N I O W E J  W  S U C H Y M  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  E D W A R D  W Ł O D A R C Z Y K  ( W A R S Z A W A )  Wojskowa Akademia  Techniczna  1.  Wstęp  Problem  rozprzestrzeniania  się  oraz  o d d z i a ł y w a n i a  fal  uderzeniowych  na  r ó ż n e go  rodzaju  o ś r o d ki  i  obiekty  konstrukcyjne  lub  ich  elementy  był  przedmiotem  b a d a ń  wielu  a u t o r ó w  i posiada  b o g a t ą  l i t e r a t u r ę .  Obszerny  opis  zjawisk wraz z  przeglą dami  p i ś m i e n n i c­ twa  z  tej  dyscypliny  nauki  zamieszczony  jest,  mię dzy  innymi,  w  monografiach  [1 ­  17]  oraz  w  pracy  przeglą dowej  [18].  D o ś ć  szczegółowo  przebadane  są  zagadnienia  graniczne  dotyczą ce  propagacji  oraz  oddziaływań  stacjonarnych  fal  uderzeniowych  z  niecią głoś ciami  kontaktowymi  w  o ś r o d­ kach  jedno­  i  w i e l o s k ł a d n i k o w y c h .  Rozpatrzono,  mię dzy  i n n y m i ,  p r o p a g a c j ę  i  odbicie  fal  stacjonarnych  od  r ó ż n e go  rodzaju  p r z e g r ó d  [6,  10,  11,  15,  16,  18,  19­23],  refrakcję  tych  fal  na  granicy  o ś r o d k ów  [24­  30]  oraz  rozpady  dowolnych  niecią głoś ci  [31 ­  35].  W  wy­ mienionych  przypadkach  uzyskano  z a m k n i ę te  rozwią zania  poszczególnych  zagadnie ń   granicznych.  Niewiele  z a m k n i ę t y ch  rozwią zań  u d a ł o  się  s k o n s t r u o w a ć  dla  fal  niestacjonarnych.  Przede  wszystkim  należy  tu  wymienić  samopodobne  rozwią zania  dla  fal  koncentrycznych  [36 ­  38]  oraz  rozwią zanie  dla  silnego  punktowego  wybuchu  [39­41].  W  pracy  [42]  przed­ stawiono  przybliż oną,  analityczną  m e t o d ę  konstrukcji  rozwią zania  z a g a d n i e ń  p o c z ą t k o w o­ brzegowych,  dotyczą cych  rozprzestrzeniania  się  i  odbicia  płaskich  fal  uderzeniowych  w  o ś r o d k a ch  cią głych.  Autorzy  tej  pracy,  mimo  wprowadzenia  daleko  idą cych  u p r o s z c z e ń   (odcinkowa  linearyzacja  zwią zku  fizycznego  oraz  nieuwzglę dnienie  zmian  w  czasie  i  prze­ strzeni  z a b u r z e ń  odbitych  od  frontu  fali),  uzyskali  z a m k n i ę te  rozwią zanie  tylko  dla  ob­ cią ż enia  nagle  p r z y ł o ż o n e go  i  n a s t ę p n ie  liniowo  maleją cego  w  czasie  do  zera.  Podobne  rozwią zania  dla  modelu  ze  sztywnym  odcią ż eniem  uzyskano  w  pracach  [43  i  44].  Z  kolei  w  pracy  [45]  rozwią zano  explicite  zagadnienie  propagacji  niestacjonarnej,  płaskiej  fali  uderzeniowej  w  niejednorodnym  o ś r o d ku  politropowym, ze  stałym  łub  słabo  zmiennym  oporem  falowym  i liniowo  sprę ż ystym  odcią ż eniem.  Problem formowania  się i  rozprzestrze­ niania  niestacjonarnych  fal  uderzeniowych  obcią ż enia  i  odcią ż enia  w  o ś r o d ku  biliniowy m  rozwią zano  w  z a m k n i ę t ej  postaci  w  pracy  [46].  Wreszcie w  pracy  [47]  r o z w i ą z a no  w  zam­ knię tej  postaci  d o ś ć  z ł o ż o ne  zagadnienie  rozprzestrzeniania  się  fali  odcią ż enia  słabej  niecią głoś ci  sprzę ż onej  z  u d e r z e n i o w ą  falą  odcią ż enia  w  prę cie  sprę ż ysto­plastycznym.  344  E .  W Ł O D A R C Z Y K  W  niniejszej  pracy  przedstawimy  kolejne,  z a m k n i ę te  rozwią zanie  problemu  propagacji  niestacjonarnej  płaskiej  fali  uderzeniowej  w  suchym  gruncie  piaszczystym,  wygenerowanej  nagle  p r z y ł o ż o n ym  i  n a s t ę p n ie  dowolnie  maleją cym  w  czasie  obcią ż eniem.  G r u n t  bę dziemy  m o d e l o w a ć  j e d n o p r ę d k o ś c i o w ym  o ś r o d k i em  d w u s k ł a d n i k o w y m ,  z ł o ż o n ym  z  powietrza  i  ziaren  kwarcu.  Szczegółowy  opis  modelu  o ś r o d ka  podamy  w  n a s t ę p n ym  rozdziale.  2.  Sformułowanie  problemu  Zbadamy  ruch  p ó ł p r z e s t r z e n i  w y p e ł n i o n e j  suchym  grantem  piaszczystym.  F i z y k o ­ mechanicznie  właś ciwoś ci  gruntu  m o d e l o w a ć  b ę d z i e my  nastę pują cym  r ó w n a n i e m  stanu:  C ­  =  A ( « i ) ,  (2.1)  Q  gdzie  Q0 jest  gę stoś cią  gruntu  w  stanie niezaburzonym,  natomiast  Q oznacza  gę stość  gruntu  w  danej  c h w i l i .  Symbol  a x  oznacza  obję toś ciową  z a w a r t o ś ć  powietrza  w  grancie  nieza­ burzonym.  F u n k c j ę  A(«i)  okreś limy  z  modeli  G .  M .  Lachowa  [3]  i  C h .  A .  Rachmatulina  [48],  k t ó r e  w  ogólnej  postaci  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  wzorem:  gdzie  funkcja  ^(p)  przyjmuje  p o s t a ć :  %  =  П Р ),  (2.2)  i  ­Г 7г (Р ­Р о )+\  Vi  + « з | ­ ^ V ( / > ­ / > < > ) + i l  V i ;  (2.3)  .  P i c i  J  L 9зсз  J  dla  modelu  G .  M .  Lachowa  oraz  —  dla  modelu  C h .  A .  Rachmatulina.  Ponadto  mamy:  *  =  ^ T '  в 1  +  Л з  =  U  (2.5)  I  Q0  =  CCiQt+CCiQj,  gdzie  oti są  obję toś ciowymi  z a w a r t o ś c i a m i;  y{  —  w y k ł a d n i k a m i  izentrop;  gt  —  gę stoś ciami  w ł a ś c i w y m i;  ct  —  p r ę d k o ś c i a mi  propagacji  d ź w i ę ku  w  poszczególnych  s k ł a d n i k a c h  gruntu  przy  ciś nieniu  atmosferycznym  p0;  p  —  aktualne  ciś nienie  w  gruncie.  K o m p o n e n t y  suchego  grantu  piaszczystego  stanowią  powietrze  i  ziarna  kwarcu.  W  dalszym  cią gu  r o z w a ż ań  b ę d z i e my  o z n a c z a ć  indeksem  i  =  1  parametry  powietrza,  natomiast  indeksem  i  =  3 —  parametry  kwarcu.  N a  ogół  w  obliczeniach  liczbowych  przyjmuje  się   F A L A  U D E R Z E N I O W A  W  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  345  p x  =  1,29  k g / m 3 ,  c x  =  330  m/s,  Q3  =  2650  k g / m 3 ,  c 3  =  4500  m/s,  (2.6)  Yi  =  1,4,  y 3  =  3.  Zatem  dla  gruntu  d w u s k ł a d n i k o w e g o ,  z  ogólnych  wyraż eń  (2.3)  i  (2.4),  po  uwzglę d­ nieniu  wartoś ci  (2.6),  otrzymamy:  VL(P)  =  о с1[Ю ,2Щ р ­Р о)+Ц ­ 0­11^  +  ^[5,59  •  Ю ­5(р ­Р о)+Ц ­113  VR(P)  =  Х 1 ~ Р ^  + а3[5,59­10­Ч р ­Р о )+1]­ 113.  (2"7)  Po + op  D l a  fal  intensywnych  (p  >  10  M P a )  w y r a ż e n ia  (2.7)  m o ż na  uproś cić  (przy  założ eniu,  że  (Xi  <ś 1)  do  postaci:  WL(P)  =  oc3[5.59­  1 0 ­ S G > ­ / > „ ) +  I ] " l / V  П 0>)  = ­ a i  + ̂ OO­  ( 2 ­ 8 )  Z  kolei  jeś li  /7  <  10 3  M P a , to  funkcję  (2.8)  m o ż na  zastą pić  w y r a ż e n i a m i:  4*L  =  1 ­ a ,  =  h&ttj,  v*  =  i ­ ­ § ­ « ,  = / ' « ( « . ) •  ( 2 " 9 )  Z  przytoczonych  r o z w a ż ań  wynika,  że  r ó w n a n i a  1 ­ a ,  lub  & ­ . i ­ 4 * i  (2.10)  Q  Q  6  dobrze  opisują  właś ciwoś ci  suchego  gruntu  piaszczystego  w  zakresie  ciś nień  (10  ­  1000)  M P a .  P r z y k ł a d o w e  charakterystyki  dla takiego  gruntu  opisanego  modelem  Lachowa  przed­ stawiono  na  rys.  1.  W r ó c i m y  obecnie  do  dalszego  f o r m u ł o w a n i a  problemu.  Zgodnie  z prawami  zachowania  m a s y .  p ę du  i energii  na  froncie  fali  uderzeniowej  mamy:  V l  = ( 1 _  f ) d '  ( 2 1 1 )  Pi  ­Po  =  QoVid,  (2.12)  е 1 ­ е 0  =  Щ Р ±1±­±.\  (2.13)  2  \£?o  Qil  gdzie  symbole  d,e,p,Q\v  odpowiednio  oznaczają:  p r ę d k o ść  propagacji  frontu  fali,  e n e r g i ę   właś ciwą  o ś r o d k a,  ciś nienie,  gę stość  i  p r ę d k o ść  przemieszczania  się  o ś r o d k a.  W a r t o ś ć   P a r a m e t r ó w  przed  frontem  fali  oznaczyliś my  indeksem  „ 0 " , a  na  jej  froncie  indeksem „ 1 " .  Ponadto  na  froncie  fali  s p e ł n i o n e  jest  r ó w n i e ż  r ó w n a n i e  stanu  (2.1).  W  tej  sytuacji  r ó w n a n i e  (2.13)  nie  sprzę ga  się z  p o z o s t a ł y m i  z w i ą z k a m i;  służy  do  o k r e ś l e n ia  strat  energii  n a  froncie  fali  uderzeniowej.  346  F..  W Ł O D A R C Z Y K  Z a  frontem  fali  uderzeniowej,  cią głym  ruchem  gruntu  rzą dzą  r ó w n a n i a  róż niczkowe  wyraż ają ce  lokalne  prawa  zachowania  masy  i  p ę d u:  8u  8x  Q  Qo  8t2  1,  ­Bp  dx  (2.14)  (2.15)  u z u p e ł n i o n e  r ó w n a n i e m  stanu  (2.1).  x  jest  współrzę dną  Lagrange'a,  skierowaną  w  głąb  p ó ł p r z e s t r z e n i ,  natomiast  /  oznacza  czas;  symbol  u  oznacza  przemieszczenie  o ś r o d k a.  0.1  0,2  R y s .  1  Fale  generowane  są  r ó w n o m i e r n i e  r o z ł o ż o n ym  na  powierzchni  półprzestrzeni  ciś nie­ niem,  nagle  p r z y ł o ż o n ym  i  n a s t ę p n ie  monotonicznie  maleją cym  do  ciś nienia  atmosferycz­ nego.  Zatem  warunek  brzegowy  na  powierzchni  p ó ł p r z e s t r z e n i  przyjmuje  p o s t a ć :  p(0,  t)  =  g(t).  J  =  g(0  ^  0  (2.16)  Z a k ł a d a m y ,  że  grunt  do  chwili  /  =  0  znajduje  się  w  stanie  niezaburzonym.  M a m y  zatem:  « ( . v , 0 )  =  0,  v(x,0)  =  ~ \  = 0 .  (2.17)  ot  |, =  0  T y m  samym  problem  zosta ł  jednoznacznie  o k r e ś l o n y.  Rozwią ż emy  go  w  n a s t ę p n ym  roz­ dziale.  F A L A  U D E R Z E N I O W A  W  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  347  3.  Rozwią zanie  problemu  Ze  wzorów  (2.10)  wynika,  że uproszczone  modele  G .  M . Lachowa  i X . A . Rachmatulina  róż nią  się  tylko  stałym  w s p ó ł c z y n n i k i e m .  Dlatego  w  dalszym  cią gu  rozważ ań  posłu­ giwać  się bę dziemy  r ó w n a n i e m  stanu  w  ogólnej  postaci:  ^ ° = l ­ a ,  (3.1)  Q  przy  czym  a = a t  dla  modelu  Lachowa  oraz a =  ~  a ,  dla modelu  Rachmatulina.  o  Z  r ó w n a ń  (2.14)  i  (3.1) wynika,  że  u(x, t)  =  ­ax+f(t),  (3.2)  gdzie  funkcja  f(t)  oznacza  przemieszczenie  powierzchni  półprzestrzeni .  Z  kolei  podstawiając  wyraż enie  (3.2)  do  r ó w n a n i a  (2.15)  mamy:  e o / ( 0 = ­ 4 | ,  (3.3)  a  po s c a ł k o w a n i u  i wykorzystaniu  warunku  brzegowego  (2.16)  otrzymujemy:  p(x, t)  ­  ­Qof(t)x+g(t).  (3.4)  Przejdziemy  obecnie  do realizacji  w a r u n k ó w  zgodnoś ci  (kinetycznego  (2.11)  i dynamicz­ nego  (2.12))  na froncie  fali  uderzeniowej.  W tym  celu  r ó w n a n i e  frontu  fali  zapiszemy w po­ staci :  x  =  (')•  (3­8)  Z  jednorodnych  w a r u n k ó w  p o c z ą t k o w y ch  (2.17)  i  wyraż enia  (3.2)  wynika, że  / ( 0 )  =  0.  (3.9)  Zatem  z  (3.8),  po  s c a ł k o w a n i u  i  uwzglę dnieniu  (3.9),  otrzymujemy:  №  = acp(t).  (3.10)  N a s t ę p n i e,  podstawiając  w y r a ż e n ia  (3.4),  (3.6),  (3.8) i  (3.10)  do  dynamicznego  wa­ runku  zgodnoś ci  (2.12),  po  przekształceniac h  otrzymujemy:  Л 0 / ( 0 + /2 ( 0 =  ~Ш ­Р о ]  ( 3 . U )  eo  348  E .  W Ł O D A R C Z Y K  lub  dt2  [  /40  =  —Ш ­Р о ].  Qo  P o  s c a ł k o w a n i u  r ó w n a n i a  (3.11)  i  uwzglę dnieniu  warunku  p o c z ą t k o w e go  (3.9)  otrzy­ mujemy  z a m k n i ę ty  wzór  na  f u n k c j ę / ( r ),  rozwią zują cą  badany  problem:  Д О  =  {2~~f  f  is{t2)­Po\dt2dt\  '  .  0  o  (3.12)  4.  Przykład  Okreś limy  parametry  stanu  i  ruchu  gruntu  piaszczystego  wypełniają cego  p ó ł p r z e s t r z e ń   obcią ż oną  na  powierzchni  nadciś nieniem  zmieniają cym  się  w  czasie  wg  nastę pują cego  przepisu  funkcyjnego:  Д р Ш  =  g(t)­p0  =  | l  ­  ,  jeś li  0  ^  t  ^  T,  ,  j e ś li  t  ^  т . 0  W  celu  uproszczenia  dalszych  obliczeń  i  unikacji  w y n i k ó w  numerycznych  wprowadzimy  nastę pują ce  wielkoś ci  bezwymiarowe:  s  =  Щ )  =  P(£,  y)  =  a0r  v i m ,  t m  Mv)]  T  a0x  F(rj)  =  Mn)1  aa  T  a0  P[x(f),  t(s)]  Po  (4.2)  Po  aQx  g[t(n)]  Po  gdzie  a0  =  y W e o  •  (4.3)  Z e  w z o r ó w  (3.2)­f­(3.12),  po  wprowadzeniu  wielkoś ci  bezwymiarowych  (4.2),  otrzy­ mamy:  U{€,  rj) =  ­a$+F(v),  w ,  v)  =  щ  =  m ,  F2(v)  (4.4)  А Р М  =  1  Ф (у )=—Р (у ).  F A L A  U D E R Z E N I O W A  W  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  349  gdzie:  Fin)  m  Fin)  \n  + F(W  [ n+l  )  (4.5)  F{rj)  =  1  dla  0  ^  г )  ^  1 oraz  F(v)  G{ri) =  Pm(\­ij)\  Fin)  =  [aPm(l­v)"­F(v) 2],  2a  Pm  =  const,  (4.6) n + 2  F(V)  =  F(V)  =  Щ  a  o  dla  >  1.  4  Ciekawym  wnioskiem  wynikają cym  z  przedstawionych  w z o r ó w  jest  fakt,  że  nad  ciś nienie  na  froncie  fali  nie  zależy  od  zawartoś ci  s k ł a d n i k a  gazowego.  Rzeczywiś cie,  pod  stawiając  w y r a ż e n ia  (4.5),  i  (4.5)2  do  wzoru  (4.4)4  otrzymamy:  pm  [ i ­ O ­ ^ r 1 ] 2  AP  =  2 ( и + 1)  1  (4.7)  n + 2  [ ( l ­ » ? ) " + 2 ­ l ]  +  4  Z m i a n ę  wielkoś ci  AP\Pm  w  funkcji  IJ  dla  r ó ż n y ch  wartoś ci  parametru  и  pokazujemy  na  rys.  2.  R y s .  2  350  E .  W Ł O D A R C Z Y K  P r ę d k o ść  przemieszczania  się  o ś r o d ka  roś nie  wprost  proporcjonalnie  do  у a  (wynika  to  b e z p o ś r e d n io  ze  w z o r ó w  (4.4) 2 ,  (4.5)x  i  (4.5)2).  Z m i a n ę  wielkoś ci  V(rj)  w  funkcji  r\  przy  r ó ż n y ch  z a w a r t o ś c i a ch  powietrza  i  r ó ż n y ch  w a r t o ś c i a ch  parametru  n  pokazujemy  na  rys.  3.  Z w r ó ć my  u w a g ę  na  fakt,  że dla n  =  0,  co  oznacza  obcią ż enie  stale  w czasie  —  „ p r o ­ s t o k ą t n e ",  p r ę d k o ść  zachowuje  również  stałą  w a r t o ś ć  r ó w n ą :  V(rj) =  ]/aPk  (4.8)  Vltjll  l  l  I  — _  Osu  2 h  q=orj1  ­ — 5  0,2  Q,U  0,6  08  R y s .  3  P o z o s t a ł e  wielkoś ci  dla  tego  przypadku  odpowiednio  w y n o s z ą :  P(S,rj)  =  P„,  (4.9)  N a  rys.  4  w y k r e ś l o no  k s z t a ł t y  frontów  fał  dla  r ó ż n y ch  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  a  i wy­ k ł a d n i k a  n.  Z w r ó ć my  u w a g ę  na  fakt,  że  ze  wzrostem  w s p ó ł c z y n n i k a  zawartoś ci  powietrza  d o ś ć  intensywnie  maleje  g ł ę b o k o ść  wnikania  frontu  fali  uderzeniowej  w  o ś r o d e k.  Wzrost  zawartoś ci  powietrza  powoduje  intensywne  nagrzewanie  się  gruntu  na  froncie  fali,  co  powoduje  szybkie jego  zanikanie.  M a k s y m a l n ą  g ł ę b o k o ś ć,  na  k t ó r ą  wnika  front  fali  ude­ rzeniowej,  okreś la  nastę pują cy  w z ó r :  X  (n+2)a  (4.10)  Z  kolei  na  rys.  5  pokazujemy  z m i a n ę  funkcji  U{ń )  na  brzegu  p ó ł p r z e s t r z e n i  ( |  =  0),  przy  k i l k u  ustalonych  w a r t o ś c i a ch  p a r a m e t r ó w  a  i  n.  Zgodnie  z  fizyką  badanego  zjawiska  wzrost  zawartoś ci  powietrza  w  o ś r o d ku  zwię ksza  jego  przemieszczenie —  o ś r o d ek  staje  się  bardziej  podatny  na  o d k s z t a ł c e n i a .  F A L A  U D E R Z E N I O W A  W  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  351  20  "  "  W  "  ~  ~  60  80  100  Щ )  R y s .  4  o  q ?  о /.  0,6  o,8  i;o  R y s .  5  5.  Wnioski  koń cowe  Zaproponowana  w  pracy  uproszczona  p o s t a ć  r ó w n a n i a  stanu  o ś r o d ka  d w u s k ł a d n i k o ­ wego  (3.1),  k t ó r e  dobrze  modeluje  zachowanie  się  suchego­gruntu  piaszczystego  pod  ob­ cią ż eniem  nagle  p r z y ł o ż o n ym  i  n a s t ę p n ie  maleją cym  do  zera  z  a m p l i t u d ą  z a w a r t ą  w  prze­ dziale (10 <  Ap  < 1000  M P a )  (patrz  wykresy  na  rys. 1),  p o z w o l i ł a  na  skonstruowanie  z a m k n i ę t e go  rozwią zania  d o ś ć  z ł o ż o n e go  problemu  propagacji  niestacjonarnej  fali  ude­ rzeniowej  w  takim  o ś r o d k u.  Wyprowadzone  wzory  mają  p r o s t ą  b u d o w ę  i  nadają  się  do  3 5 2  E .  W Ł O D A R C Z Y K  praktycznych  inż ynierskich  obliczeń.  Ponadto  z ich struktury  b e z p o ś r e d n io  wynika  cha­ rakter  w p ł y w u  p a r a m e t r ó w  opisują cych  obcią ż enie  (P,„,  r, n) oraz  w s p ó ł c z y n n i k a  zawarto­ ś ci  powietrza  (a) na generowane  przez  falę  w gruncie  pola  przemieszczenia,  p r ę d k o ś ci  i  ciś nienia  oraz  na  i n t e n s y w n o ś ć  zanikania  frontu  fali  wskutek  zachodzą cych  p r o c e s ó w  dysypacyjnych.  Dodatkowo  należy  podkreś lić,  że  charakter  tego  wpływu  jest  zgodny  z  fizyką  zjawisk  towarzyszą cych  propagacji  fali  uderzeniowej  w suchym  gruncie  piaszczy­ stym.  Przedstawione  r o z w a ż a n ia  są  p r z y k ł a d e m  prac,  w  k t ó r y c h  kosztem  uzasadnionych  eksperymentalnie uproszczeń  natury fizycznej  uzyskuje  się  z a m k n i ę te  rozwią zanie  złoż onych  p r o b l e m ó w  niestacjonarnej  dynamiki  falowej.  Pozwala  to  na  wyeliminowanie  w  pracy  inż ynierskiej  kosztownych  i  ż m u d n y ch  obliczeń  numerycznych.  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  R . H .  C O L E ,  Underwater  explosions, P r i n c e t o n  U n i v e r s i t y  Press,  P r i n c e t o n ,  N e w  Jersey 1948.  2.  R .  C O U R A N T ,  K .  O .  F R I E D R I C H S ,  Supersonic flow  and shock  waves,  Interscience  P u b l i s h e r s ,  N e w Y o r k  1956.  3 .  Г . M .  Л я х о в,  О с н о в ы  д и н а м и к и  в з р ы в а  в  г р у н т а х  и ж и д к и х  с р е д а х ,  Н е д ра  1964.  4 .  X .  А .  Р А Х М А Т У Л И Н,  А . Я .  С А Г О М О Н Я Н,  Н . А .  А Л Е К С Е Е В,  В о п р о с ы  д и н а м и к и  г р у н т о в ,  М Г У,  М о с к ва 1964.  5.  Z .  D Ż Y G A D L O,  S.  K A L I S K I ,  L .  S O L A R Z ,  Е .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Drgania  i fale,  P W N ,  W a r s z a w a  1966.  6.  Я .  Б .  З Е Л Ь Д О В И Ч,  Ю .  П .  Р А Й З Е Р,  Ф и з и к а  у д а р н ы х  в о л н  и  в ы с о к о т е м п е р а т у р н ы х  г и д р о д и н а м и ­ ч е с к и х  я в л е н и й ,  Н а у к а,  М о с к ва 1966.  7.  N .  C R I S T E S C U ,  Danymic plasticity,  N o r t h ­ H o l l a n d  P u b l i s h i n g  C o m p a n y ,  A m s t e r d a m  1967.  8.  Б . Л .  Р О Ж Д Е С Т В Е Н С К И Й,  H .  H .  Я Н Е Н К О,  С и с т е м ы  к в а з и л и н е й н ы х  у р а в н е н и й  и  и х  п р и л о ж е н и я   к  г а з о в о й  д и н а м и к е ,  Н а у к а,  М о с к в а, 1968.  9.  R . K I N S L O W ,  High­velocity impact phenomena,  A c a d e m i c  Press  N e w  Y o r k  a n d  L o n d o n  1970.  1 0 .  К . П .  С Т А Н Ю К О В И Ч,  Н Е У С Т А Н О В И В Ш И Е СЯ  д в и ж е н и я  с п л о ш н о й  с р е д ы ,  Н а у к а,  М о с к ва  1971.  1 1 .  Г . М .  А Р У Т Ю Н Я Н,  Л . В . К А Р Ч Е В С К И Й,  О т р а ж е н ы н е  у д а р н ы е  в о л н ы ,  М а ш и н о с т р о е н и е,  М о с к ва   1973.  1 2 .  Г . М .  Л я х о в,  О с н о в ы  д и н а м и к и  в з р ы в н ы х  в о л н  в г р у н т а х  и г о р н ы х  п о р о д а х ,  Н е д р а,  М о с к ва  1974.  13.  G .  В .  W H I T H A M ,  Linear  and nonlinear waves,  A W i l e y — Interscience  P u b l i c a t i o n ,  N e w  Y o r k ,  L o n d o n ,  S y d n e y ,  T o r o n t o 1974.  14.  W . K .  N O W A C K I ,  Zagadnienia  falowe  w teorii plastycznoś ci,  P W N ,  W a r s z a w a  1974.  1 5 .  Ф .  А .  Б А У М,  Л .  П .  О Р Л Е Н К О,  К . П .  С Т А Н Ю К О В И Ч,  В .  П .  Ч Е Л Ы Ш Е В,  Б . И .  Ш Е Х Т Е Р,  Ф и з и к а   в з р ы в а ,  Н а у к а,  М о с к ва 1975.  16.  J .  H E N R Y C H ,  77ге  dynamics of  explosion and its  use,  A c a d c m i a ,  P r a g u e , 1979.  17.  M . A .  M E Y E R S ,  L .  E .  M U R R ,  Shock  waves  and high strain­rate  phenomena in metals,  N e w Y o r k a n d  L o n d o n  1981.  18.  Л . В .  А Л Ь Т Ш У Л Е Р,  П р и м е н и т е  у д а р н ы х  в о л н  в  ф и з и к е  в ы с о к и х  д а в л е н и й ,  У с п е хи  Ф и з и ч е с к их   Н а у к,  8 5 , в ы п.  2 , 1965.  19.  Z .  Ł Ę G O W S K I,  Е . W Ł O D A R C Z Y K ,  Regular reflection  of  an  oblique stationary  shock  wave  from  an in­ deformable plane partition  in saturated soil, P r o c .  V i b r .  P i o b l .  1 5 ,  2 ,  1974.  20.  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Shock wave  reflection from a plane partition moving  in gas, J . T e c h n .  P h y s . ,  2 1 ,  4,  1980.  2 1 .  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Reflection  of  a  strong  detonation  wave  from  a  moving non­deformable  partition, J .  T e c h n .  P h y s . ,  2 1 , 4, 1980.  2 2 .  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Stationary — shock — wave  reflection from  a  solid partition  by  deformable  damping  systems, J . T e c h n .  P h y s . ,  2 2 , 2 ,  1981.  2 3 .  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Reflection  of  a  stationary  shock  wave  from  a  rigid  partition  in a  three­component  medium, J . T e c h n .  P h y s . ,  2 3 , 3 ­ 4 , 1982.  F A L A  U D E R Z E N I O W A  w  G R U N C I E  P I A S Z C Z Y S T Y M  353  2 4 .  А . И .  Г У Е А Н О В,  О т р а ж е н и е  и  п р е л о м л е н и е  у д а р н ы х  в о л н  н а  г р а н и ц е  д в у х  с р е д ,  Ж . Т . Ф .,  2 9 , в .  5 ,  1959.  2 5 .  L .  F .  H E N D E R S O N ,  The refraction of a plane shock wave at a gas interface, J . F l u i d .  M e c h . ,  v o l . 26, p . 3  1966.  26.  L . F .  H E N D E R S O N ,  On expansion waves  generated by  the refraction of a plane  shock at a gas interface,  J F M ,  v.  30, p .  2,  1967.  27.  L .  F .  H E N D E R S O N ,  A .  K .  M A C P H E R S O N ,  On the irregular refraction of a plane  shock  wave  at  a  Mach  number interface,  J F M , v .  32, p .  1, 1968.  28.  R . G . J A H N ,  The refraction of shock waves at a gaseous interface, J . F l u i d ,  M e c h . ,  1, 457, 1956.  29.  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Wpływ  fizycznych  parametrów  oś rodków  gazowych na  refrakcję  płaskiej  fali  ude­ rzeniowej, B i u l .  W A T  2 5 , 5,  1976.  30.  Z .  Ł Ę G O W S K I,  E . W Ł O D A R C Z Y K ,  Boundary solutions to regular refraction of plane  shock  waves in ideal  gas,  J .  T e c h n .  P h y s . ,  2 2 , 1,  1981.  3 1 .  Б .  Р И М А Н,  О  р а с п р о с т р а н е н и и  п л о с к и х  в о л н  к о н е ч н о й  а м п л и т у д ы ,  С о ч и н е н и я ,  М о с к ва  1948.  3 2 .  Н . Е .  К о ч и н,  К  т е о р и и  р а з р ы в о в  ж и д к о с т и ,  С б о р,  с о ч и н е н и й,  т . 2 ,  М о с к ва  1948.  33.  Е .  W Ł O D A R C Z Y K ,  On  the disintegration of an arbitrary discontinuity generated by a centrically  cumulated  simple wave finite  deformations in an isotropic elastic medium, A M S , 3 2 , 6,  1980.  34.  E . W Ł O D A R C Z Y K ,  Collision  between  stationary synchronous waves  of finite  deformations in the  isotropic,  elastic medium, isentropic approximation, J . T e c h n .  P h y s . ,  2 2 , 2,  1981.  35.  E . W Ł O D A R C Z Y K ,  Centered compression­wave  in polytropic  gas, and its  disintegration, J .  T e c h n .  P h y s .  2 2 ,  3,  1981.  3 6 .  Л . Д .  Л А Н Д А У,  К .  П .  С Т А Н Ю К О В И Ч,  О б  и з у ч е н и и  д е т о н а ц и и  к о н д е н с и р о в а н н ы х  В В, Д А Н, 4 6 ,  №  9 ,  1945.  37.  G . G U D E R L E Y ,  Starke  kugelige  und zylindrische  Verdichtungstosse  in der Nohe  des  Kitgelmittelpunktes  bzw. der Zylinderachse,  L u f t f a h r t f o r s c h u n g ,  1 9 , №  9,  1942.  38.  P . И .  Н И Г М А Т У Л И Н,  С х о д я щ и е с я  ц и л и н д р и ч е с к и е  и  с ф е р и ч е с к и е  д е т о н а ц и о н н ы е  в о л н ы ,  П М М,  в .  I , 1967.  3 9 .  Л . И .  С Е Д О В,  Р а с п р о с т р а н е н и е  с и л ь н ы х  в з р ы в н ы х  в о л н ,  П М М,  т . 9 ,  в ы п.  2 ,  1946.  4 0 .  J . G .  T A Y L O R ,  The  formation  of a blast wave  by a  very intense  explosion,  M i n i s t r y  o f  H o m e  Security  R .  C . 210 [ 1 1 5 ­ 1 5 3 ] ,  1941.  4 1 .  J . G .  T A Y L O R ,  The propagation  and decay of blast waves,  B r i t i c h  C i v i l i a n  Defence  R e s e a r c h  C o m m i t e e  1944.  4 2 .  Г . M .  Л я х о в,  H . И .  П О Л Я К О В А,  П р и б л и ж е н н ы й  м е т о д  р а с ч е т а  у д а р н ы х  в о л н  и и х  в з а и м о д е й ­ с т в и й ,  И з в. А Н  С С С Р,  О Т Н,  М е х а н и ка  и  м а ш и н о с т р о е н и е,  №  2 ,  1 9 5 9 .  4 3 .  Л . В .  З в о л и н с к и й,  О б  и з у ч е н и и  у п р у г о й  в о л н ы  п р и с ф е р и ч е с к о м  в з р ы в е  в  г у р н т е ,  П М М,  2 4 , I ,  1960.  44.  S.  K A L I S K I ,  W . К .  N O W A C K I ,  Е .  W Ł O D A R C Z Y K ,  On a  certain  closed solution for  the shock­wave  with  rigid  unloading,  B u l l .  A c a d .  P o l o n .  S c i . , Ser. S c i .  T e c h n . ,  15, 5,  1967.  45.  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  O pewnym  zamknię tym  rozwią zaniu  problemu propagacji  płaskiej  fali uderzeniowej  w  niejednorodnym  plastycznym  oś rodku  politropowym  z  liniowosprę ż ystym  odcią ż eniem,  M T S ,  16,  2,  1978.  46.  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Exact  solution  to  the formation  and propagation  problem  of  non­stationary shock  wave  in bilinear media, J . T e c h n .  P h y s . ,  2 2 , 4,  1981.  47.  E .  W Ł O D A R C Z Y K ,  Double unloading wave  in an elastic­plastic medium, J . T e c h n .  P h y s .  2 4 , 4 ,  1983  4 8 .  X . А .  Р А Х М А Т У Л И Н,  О  р а с п р о с т р а н е н и и  в о л н  в  м н о г о к о м п о н е н т н ы х  с р е д а х ,  П М М,  т .  3 3 , в . I I ,  1969.  Р е з ю ме   З А М К Н У Т ОЕ  Р Е Ш Е Н ИЕ  П Р О Б Л Е МЫ  Р А З П Р О С Т Р А Н Е Н ИЯ   Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н ОЙ  П Л О С К ОЙ  У Д А Р Н ОЙ  В О Л НЫ  В  С У Х ОМ  П Е С Ч А Н ОМ  Г Р У Н ТЕ   В  р а б о те  п р е д л о ж ен  у п р о щ е н н ый  в ид  у р а в н е н ия  с о с т о я н ия  д в у х к о м п о н е н т н ой  с р е д ы,  к о т о р ое  д о в о л ь но  х о р о шо  м о д е л и р у ет  п о в е д е н ие  с у х о го  п е с ч а н о го  г р у н та  п од  н а г р у з к ой   3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84  354  E .  W Ł O D A R C Z Y K  в н е з а п но  п р и л о ж е н н ой  и  з а т ем  у б ы в а ю щ ей  к  н у лю  с  а м п л и т у д ой  с о д е р ж а щ е й ся  в  и н т е р в а ле   (10  <  А р  <  1000)  М П а.  Э то  у р а в н е н ие  д а ло  в о з м о ж н о с ть  п о с т р о и ть  з а м к н у т ое  р е ш е н ие  п р о б л е мы   р а с п р о с т р а н е н ия  н е с т а ц и о н а р н ой  п л о с к ой  у д а р н ой  в о л ны  в  п о л у п р о с т р а н с т в е,  з а п о л н е н н ом  с у х им   п е с ч а н ым  г р у н т о м.  В ы в е д е н н ые  ф о р м у лы  и м е ют  п р о с т ое  с т р о е н ие  и  п р и г о д ны  д ля  п р а к т и ч е с к их   и н ж е н е р н ых  р а с ч е т о в.  К р о ме  э т о го  и з и х с т р у к т у ры  н е п о с р е д с т в е н но  в ы т е к а ет  х а р а к т ер  в л и я н ия   п а р а м е т р о в,  о п и с ы в а ю щ их  н а г р у з ку  (рт,  г ,  л ),  а  т а к же  о б ъ е м н о го  к о э ф ф и ц и е н та  с о д е р ж а н ия   в о з д у ха  ( а ), н а г е н е р и р о в а н н ые  в о л н ой  в  г р у н те  п о ля  п е р е м е ш е н и я,  с к о р о с ти  и  д а в л е н и я,  а  т а к же   н а  и н т е н с и в н о с ть  з а т у х а н ия  ф р о н та  в о л ны  в с л е д с т в ие  п р о и с х о д я щ их  д и с с и п а т и в н ых  п р о ц е с с о в.  Д о п о л н и т е л ь но  с л е д у ет  п о д ч е р к н у т ь,  ч то х а р а к т ер  э т о го  в л и я н ия  с о в п а д а ет  с  ф и з и к ой  я в л е н ий   с о п у т с т в у ю щ их  р а с п р о с т р а н е н ию  у д а р н ой  в о л ны  в  с у х ом  п е с ч а н ом  г р у н т е.  S u m m a r y  C L O S E D  F O R M  S O L U T I O N  T O  T H E P R O P A G A T I O N  P R O B L E M  O F  A  N O N ­ S T A T I O N A R Y  P L A N E  S H O C K  W A V E  I N  A  D R Y  S A N D Y  S O I L  A  s i m p l i f i e d  f o r m  is  suggested  o f the  e q u a t i o n  o f state  o f a  b i n a r y  m e d i u m ,  this  e q u a t i o n  m o d e l l i n g  f a i r l y  w e l l  the  b e h a v i o u r  o f a  d r y , sandy  s o i l  u n d e r  l o a d  s u d d e n l y  a p p l i e d  a n d  subsequently  decreasing  to  z e r o  w i t h  the  a m p l i t u d e  c o n t a i n e d  w i t h i n  the  i n t e r v a l  o f  (10 <  Д р <  1000)  M P a . T h i s  e q u a t i o n  enabled  the  c l o s e d ­ f o r m  s o l u t i o n  t o  be  c o n s t r u c t e d  to  the  p r o p a g a t i o n  p r o b l e m  o f a  n o n ­ s t a t i o n a r y ,  p l a n e  s h o c k ­ w a v e  i n  half­space  f i l l e d  w i t h  d r y  sandy  s o i l .  T h e f o r m u l a e  d e r i v e d  are  o f a  s i m p l e  structure  a n d  l e n d  themselves  to  p r a c t i c a l  engineerin g  c a l c u l a t i o n s .  F u r t h e r ­ m o r e ,  f r o m  their  structure  d i r e c t l y  results  the  character  o f  the  effect  o f  the  parameters  d e s c r i b i n g  the  l o a d  ( P m , т , л ),  as  w e l l  as  o f  the  v o l u m e t r i c  coefficient  o f  a i r  content  (a)  u p o n  the  generated  by  the  w a v e i n  the  s o i l  fields o f  displacement ,  o f  v e l o ­ c i t y  a n d  o f  pressure,  as  w e l l  as  u p o n  the  decay  intensity  o f the  wave­front  as  a  result  o f  the  d e s s i p a t i o n  processes.  I n  a d d i t i o n  it  s h o u l d  be  e m p h a s i z e d  that  the  character  o f  this  effect  is  i n  agreement  w i t h  the  physics  o f the  p h e n o m e n a  that  a c c o m p a n y  the s h o c k ­ w a v e  p r o p a g a t i o n  i n a  d r y ,  sandy  s o i l .  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  30  grudnia  1983  roku