Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4 ,  22  (1984)  S T A T E C Z N O Ś Ć  D R G A Ń  P A R A M E T R Y C Z N Y C H  W A Ł U  N A P Ę D Z A J Ą C E GO  M E C H A N I Z M Y  R O Z M I E S Z C Z O N E  R Z Ę D O WO  S T A N I S Ł A W  W I Ś N I E W S KI  ( P O Z N A Ń )  Politechnika  Poznań ska  W  pracy  rozpatrzono  zagadnienie  statecznoś ci  d r g a ń  parametrycznych  w a ł u  s k r ę ­ canego  siłami  bezwładnoś ci  n a p ę d z a n y ch  przez  niego  czterech  jednakowych  m e c h a n i z m ó w  rozmieszczonych  r z ę d o w o.  Wyznaczono  dwa g ł ó w n e  obszary  niestatecznoś ci  d r g a ń .  A b y  z a c h o w a ć  wię kszą  o g ó l n o ś ć  r o z w a ż a ń,  przyjmuje  się, że mechanizmy  m o g ą  mieć   d o w o l n ą  s t r u k t u r ę .  Są jednak  p ł a s k i e  i  wykonują  ruch  cią gły  o  okresie  r ó w n y m  okresowi  wału  n a p ę d o w e g o.  Płaszczyzny  ruchu  m e c h a n i z m ó w ,  podobnie  jak  w  silnikach  t ł o k o w y c h ,  przyję to  pro­ stopadle  do osi wału  n a p ę d o w e go  r ó w n o m i e r n i e  r o z ł o ż o n e,  przy  czym  n a p ę d  m e c h a n i z m ó w  ś r o d k o w y c h,  tz.  2  i  3­go,  przyję to  przesunię ty  w  fazie  o  p ó ł obrotu  walu.  M o d e l  rozpatrywanego  u k ł a d u  przedstawia  rys. 1.  co=const 5  cot  R y s .  1  Momenty  b e z w ł a d n o ś ci  zredukowanych  do  osi  w a ł u  m e c h a n i z m ó w  j a k o  funkcje  C l 3 g ł e  są  przedstawione  w  postaci  s k o ń c z o n y ch  szeregów  Fouriera.  Z a k ł a d a j ą c  stałą   p r ę d k o ść  ką tową  a>  k o ł a  zamachowego  wału  o  momencie  bezwładnoś ci  J,  m o ż e my  zatem  n a p i s a ć :  Л   /,(#)  =  Л (0  =  Atcos(io)t+dt)  ;=o  0)  Ш =  mo = j ^ ­ i y c o s o w + ó , ) .  1 = 0  ,  Jest  to  oczywiste,  gdyż  ką ty  s k r ę c a n ia  w a ł u  spowodowane  reakcjami  n a p ę d z a n y ch  m e c h a n i z m ó w  są pomijalnie  m a ł e  w p o r ó w n a n i u  z jego  k ą t em  obrotu.  3'  356  S .  W I Ś N I E W S KI  Z a k ł a d a j ą c  jednakowe  sztywnoś ci  na  s k r ę c a n ie  с  o d c i n k ó w  w a ł u  zawartych  mię dzy  zredukowanymi  masami  m e c h a n i z m ó w ,  r ó w n a n i a  róż niczkowe  ruchu  drgają cego  w a ł u ,  bez  u d z i a ł u  sił technologicznych,  mają  p o s t a ć :  gdzie  с ? !,  9?2) 3)  =  ­J2co,  J23+2ccp3­c((p2  + 6(1 +0,57?) [1 + 0 , 5 ( ­ 1 ) " » ? ]  x  x  {4(1 +0,5*7)  +  (2 +  e)[l + 0 , 5 ( ­ \ ) k r j ] } +  I6p*{3(1  +0,5т 7)2  +  + 2(3 + 2 e ) ( l  +0,5т 7)[1 + 0 , 5 ( ­  1)*T/] +  (1 +  e) [1 + 0 , 5 ( ­  l)kV] 2  } +  ­64/>2(2 +  3 £ ) { 2 + 0 , 5 ? ? [ l  +  ( ­ l ) * ] } + 256e  =  0.  D l a  ry  =  0  r ó w n a n i e  (5)  staje  się  r ó w n a n i e m  czę stoś ci  w ł a s n y c h  d r g a ń  s k r ę t n y ch  wału  Czę stość  podstawowa  dla  e  =  1  wynosi  (5)  Go  =  j / o , 120  615  A0  (6)  Przedstawiamy  dalej  r ó w n a n i e  (5),  dla  e  =  1,  w  postaci  (г Ц г) 0 , 0 5 4 1 8 0 7 8 ( 1 + 0 ' 5 ł ?) 2 f 1 + 0 ' 5 ( - 1 W +  ­  (  0  +0,5т у )[1 + 0 , 5 ( ­  l)kV]  {1,796 817 3(1 +0,5rj) +  +1,347 612 96[1 + 0 , 5 ( ­  1 ) k  V ] } +  {11,172 847 28(1 + 0,5r;) 2  +  +  37,242  824 25(1 +0,5V)  [1 + 0 , 5 ( ­  l)"j7] + 7,448 564  86[1 + 0 , 5 ( ­  I)*»?] 2}  +  (7)  \2Q0)  154,3872{2 + 0,5[l  +  ( ­ l ) * ] »7} + 2 5 6  =  0,  gdzie  czę stość  d r g a ń  wymuszonych  parametrycznie  k­tą  h a r m o n i c z n ą  oznaczono  Q  =  km.  Otrzymane  r ó w n a n i e  (7),  jest  szukaną  gałę zią  pierwszego  g ł ó w n e g o  obszaru  niesta­ tecznoś ci.  D r u g ą  gałąź  g ł ó w n e g o  obszaru  niestatecznoś ci  otrzymamy  poszukując  całek  r ó w n a ń   róż niczkowych  jednorodnych  u k ł a d u  (2)  w  postaci:  /  ч  o  fcti)  9Л 0  =  0i 1 cos —  f,  (8)  358  S.  W I Ś N I E W S KI  tp­{f) =  0 2 1 c o s  —  ,  ч  n  few  =  631  cos  — / ,  . . .  koj    + 256  =  0.  W  tabeli  1  oraz  na  rys.  2  przedstawiono  w y n i k i  obliczeń  dla  wałów  o  parametrze  e  =  1.  G ó r n y  obszar  przedstawia  główną  strefę  r e z o n a n s o w ą  z  d o w o l n ą  h a r m o n i c z n ą   wymuszenia  parametrycznego  —  szeroki  dla  к  parzystego,  w ą s k i — z a z n a c z o ny  linią   p r z e r y w a n ą  dla  к  nieparzystego.  Drugi  obszar  niestatecznoś ci  przedstawiono  na  wykresie  tylko  dla  harmonicznych  parzystych.  D l a  harmonicznych  nieparzystych  drugi  obszar  Q  niestatecznoś ci  praktycznie  sprowadza  się  do  prostej  „  =  0,5.  Л  Jo  T a b l i c a  1  V  0  0,2  0,4  0,6  0,8  1,0  Q  I  o b s z a r  к  =  2л   1  1,054  1,116  1,195  1,291  1,415  Q  I  o b s z a r  к  =  2л   1  0,952  0,913  0,877  0,845  0,816  Q  I  o b s z a r  к  =  =  2 л +1  1  1,009  1,005  1,002  1,001  0,999  Q  I  o b s z a r  к  =  =  2 л +1  1  0,998  0,995  0,992  0,979  0,971  2 Й 0  I I  o b s z a r  к  =  2/1  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5 2 Й 0  I I  o b s z a r  к  =  2/1  0,5  0,456  0,422  0,395  0,372  0,353  2 Й 0  I I  o b s z a r  к  т   =  2/1 + 1  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  0,5  2 Й 0  I I  o b s z a r  к  т   =  2/1 + 1  0,5  0,5  0,5  0,498  0,495  0,491  file:///2Qol S T A T E C Z N O Ś Ć  D R G A Ń  W A Ł U  359  _i  i  l  I  i  i  l  1—  n  0,?  0/.  0,6  0,6  r , = ^ c o s 6 k  R y s .  2  D r u g i  obszar  niestatecznoś ci  d r g a ń ,  wymuszonych  także  k­tą  h a r m o n i c z n ą ,  otrzymano  dla  d r g a ń  swobodnych  o  dwukrotnie  mniejszym  niż poprzednio  okresie,  a  mianowicie:  c =  2,4  •  =  2,4  Vi  .  vkco  :y­  Vjl „  rrCCD  У з (0  =  ^  fl»t,81H'­y­t',  i(0  =  J ^ f l i ^ c o s ^ ­ f ;  5­  ( 1 3 )  Z a m y k a j ą ca  krzywa  drugi  obszar  niestatecznoś ci,  wyznaczona  dla  funkcji  (11),  ma  natomiast  p o s t a ć  (dla  e  =  1):  У У  0,05418078(1  + г у )2 [ 1 +  ( ­ 1 ) ^ ] 2 ­ ( ­ щ ­]  ( 1 + ч ) [1 +  ( ­ 1 ) * Ч ] х   х  {0,44920432(1+r7) + 0,33690324[l  +  ( ­ l ) f c r ? ] }  +  | ^ ­ |  {0,69830295 х   х  (1 + * 7 ) 2  +2,32767652(1  +  »?)[1 +  (­1)*??] + 0,4655353[1  +  ( ­  1 ) ^ ] 2 }  +  • 2 ' 4 1 2 3 ^ 2 + t 1  +  ( ­ 1 ) ^ } + 1  =  ° ­ Dalszych  o b s z a r ó w  niestatecznoś ci  d r g a ń  parametrycznych  w a ł u  nie  wyznaczono,  gdyż   dyssypacja  energii,  które j  w  pracy  nie  u w z g l ę d n i o n o,  czyni  je  n i e g r o ź n y m i.  Jest  to  spowodowane  nie  tylko  tym,  że  dla  m a ł y c h  modulacji  są  one  obcię te  przez  dyssypację,  ale jako  wą skie  na  skutek  małej  iloś ci  dostarczanej  energii z zewną trz  w  czasie  jednego  c y k l u  d r g a ń  i  nisko  p o ł o ż o n e,  są  łatwe  do  przekroczenia  przy  stosunkowo  małej  zmianie  p r ę d k o ś ci  ką towej  co.  D l a  w a ł ó w  rozpatrywanego  typu  —  szczególnie  w a ł ó w  korbowych  silników  spalino­ wych  lub  sprę ż arek  t ł o k o w y c h  —  czę stość  podstawowa  QQ  d r g a ń  s k r ę t n y c h,  przy  zredu­ kowanych  masach  n a p ę d z a n y ch  m e c h a n i z m ó w  do  stałego  wyrazu A0,  jest  bardzo  wysoka  Zredukowane  momenty  bezwładnoś ci  (1)  są  sumami  bardzo  szybko zbież nych  szeregów  Fouriera.  Jeż eli  jednak  istnieją  nie  pomijalnie  m a ł e  amplitudy  wzglę dne  cos<5fc  dla  AQ  wyż szych  harmonicznych  parzystego  r z ę d u,  np.  dla  к  =  6,  to  wtedy  drugi  obszar  nie­ statecznoś ci,  a  właś ciwie jego  dolna  krzywa,  m o ż e  realnie  o g r a n i c z a ć  m a k s y m a l n ą  p r ę d k o ść   ką tową  co  w a ł u .  W  obecnych  konstrukcjach  rozpatrywanego  typu  obszar  statecznoś ci  zawarty  mię dzy  drugim  i  pierwszym  ( g ł ó w n y m )  obszarem  niestatecznoś ci  nie jest wykorzystywany.  Р е з ю ме   У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К ИХ  К О Л Е Б А Н ИЙ  В А ЛА   В Е Д У Щ Е ГО  Р Я Д О ВО  Р А С П О Л О Ж Е Н Н ЫЕ  М Е Х А Н И З МЫ   В  р а б о те  р а с с м о т р е но  п р о б л е му  у с т о й ч и в о с ти  п а р а м е т р и ч е с к их  к о л е б а н ий  в а ла  в е д у щ е го  р я­ д о во  р а с п о л о ж е н н ые  м е х а н и з м ы.  И с с л е д о в а но  с л у ч аи  ч е т ы р ех  о д и н а к о в ых  м е х а н и з м ов  н е п р е р ы в н о го  д в и ж е н ия  с  п е р и о д ом   р а в н ым  п е р и о ду  о б о р о т ов  в а л а,  р а с п о л о ж е н н ых  и д е н т и ч но  к ак  в  ч е т ы р е х т а к т н ом  д в и г а т е ле  в н у­ т р е н н е го  с г о р а н ия  с  п л о с к им  к о л е н ч а т ым  в а л о м.  П а р а м е т р и ч е с к ие  в ы н у ж д е н н ые  к о л е б а н ия  о с у­ щ е с т в л я ю т ся  к р у т я щ им  м о м е н т ом  п р о и с х о д я щ им  и з ­ за  с ил  и н е р ц ии  в е д о м ых  м е х а н и з м о в.  О п р е д е л е но  д ве  г л а в н ые  о б л а с ти  н е у с т о й ч и в о с ти  к о л е б а н ий  и  о б н а р у ж е но  о п а с н ую  р о ль   ч е т н ых  г а р м о н ик  п а р а м е т р и ч е с к о го  в ы н у ж д е н и я.  S T A T E C Z N O Ś Ć  D R G A Ń  W A L U  361  S u m m a r y  P A R A M E T R I C  V I B R A T I O N  S T A B I L I T Y  O F  A  D R I V E  S H A F T  F O R  M E C H A N I S M S  S P A C E D  I N  A  R O W  A  p r o b l e m  o f  s t a b i l i t y  o f  p a r a m e t r i c  v i b r a t i o n s  o f  a  shaft  d r i v i n g  the  mechanisms  spaced  i n  a r o w  is  c o n s i d e r e d .  I n v e s t i g a t i o n  is  l i m i t e d  t o  the  case  o f  four  i d e n t i c a l  m e c h a n i s m s  e x h i b i t i n g  c o n t i n u o u s  m o t i o n  w i t h  the  p e r i o d  e q u a l  t o  that  o f the  shaft.  S p a c i n g  o f the  m e c h a n i s m s  is assumed  to  be  the  same  as  i n a  I . C .  f o u r s t r o k e  engine  w i t h  a  flat  crankshaft.  T h e v i b r a t i o n s  are  b e i n g  forced  p a r a m e t r i c a l l y  b y the  torques  i n d u c e d  by  the  i n e r t i a l  forces  o f the  d r i v e n  m e c h a n i s m s .  T w o m a i n  regions  o f  i n s t a b i l i t y  o f the  v i b r a t i o n s  are  determined .  T h e danger  r e s u l t i n g  f r o m  the  even  h a r m o n i c s  o f the  p a r a m e t r i c  f o r c i n g  has  been  i n d i c a t e d .  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  21  paź dziernika  1980  roku