Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 
3 ­ 4 ,  22  (1984) 

S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  P R Z E K Ł A D K O W Y C H  O  Z M I E N N E J 
S Z T Y W N O Ś CI  W Y P E Ł N I A C Z A 

W Ł A D Y S Ł A W  W A L C Z A K ,  M A R I A  K O T E Ł K O  ( Ł Ó D Ź ) 

Politechnika  Łódzka 

1.  Wstęp 

Konstrukcje  c i e n k o ś c i e n n e,  w  k t ó r y c h  g ł ó w n y m i  elementami  n o ś n y mi  są  jednowarstwo­

we  p ł y t y  izotropowe  b ą dź  cienkie  t r ó j w a r s t w o w e  płyty  p r z e k ł a d k o w e ,  znajdują  obecnie 

coraz  wię ksze  zastosowanie  nie  tylko  w  przemyś le  lotniczym,  lecz  r ó w n i e ż  i w  innych  dzie­

dzinach  techniki.  W  wielu  przypadkach  p ł y t o w e  elementy  tych  konstrukcji  pracują  przy 

obcią ż eniach  typu  tarczowego  i  wówczas  poziom  obcią ż enia  całej  konstrukcji  limitowany 

jest  na  ogół  poziomem  obcią ż eń  krytycznych  tych  elementów . 

W  przypadku  płyt  jednowarstwowych,  pracują cych  przy  obcią ż eniach  typu  tarczo­

wego,  skutecznym  sposobem  p o d w y ż s z e n ia  ich  noś noś ci  jest  zastosowanie  odpowiedniego 

u ż e b r o w a n i a.  S p o s ó b  ten,  wprawdzie  moż liwy  do  zastosowania  r ó w n i e ż  w  przypadku 

płyt  p r z e k ł a d k o w y c h ,  nie jest jednak  tak  powszechny  jak  w  przypadku  płyt  jednowarstwo­

wych.  Zastosowanie  bowiem  w e w n ę t r z n e go  u ż e b r o w a n ia  wzmacniają cego,  tj.  u ż e b r o w a n ia 

umieszczonego  p o m i ę d zy  o k ł a d z i n a m i  z e w n ę t r z n y mi  płyty  p r z e k ł a d k o w e j  (wewną trz 

wypełniacza),  wią że  się  z  t r u d n o ś c i a mi  natury  technologicznej,  natomiast  zastosowanie 

u ż e b r o w a n ia  z e w n ę t r z n e go  jest  w  wielu  konstrukcjach  p r z e k ł a d k o w y c h  bardzo  niepoż ą­

dane.  Z  tego  wzglę du  w  ostatnich  latach  z r o d z i ł a  się  koncepcja  p o d w ż y s z a n ia  noś noś ci 

Płyt  p r z e k ł a d k o w y c h ,  pracują cych  w warunkach  obcią ż enia  tarczowego  nie przez  stosowanie 

ż eber  wzmacniają cych,  lecz  przez  o d p o w i e d n i ą  z m i a n ę  sztywnoś ci  ich  wypełniacza. 

W  przypadku  lekkich  wypełniaczy,  np.  typu  pianki  poliuretanowej,  z m i a n ę  sztywnoś ci 

uzyskuje  się  przez  o d p o w i e d n i ą ,  racjonalną  z m i a n ę  gę stoś ci  wypełniacza.  Jak  bowiem 

wynika  z  danych  literaturowych  oraz  b a d a ń  w ł a s n y c h ,  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  postaciowej 

Gw  pianki  poliuretanowej  jest —  w  przybliż eniu  — k w a d r a t o w ą  funkcją  jej  gę stoś ci. 

Zagadnienie  wzrostu  obcią ż alnoś ci  p ł y t  p r z e k ł a d k o w y c h  przez  zastosowanie  lekkich 

wypełniaczy  typu  piankowego  o  zmiennej  sztywnoś ci  jest  j e d n a k ż e  rozpoznane  w  bardzo 

skromnym  zakresie.  Z  d o s t ę p n y ch  o p r a c o w a ń  w y m i e n i ć  tu  m o ż na  prace  [3],  [4]  i  [5]. 

Z  wymienionych  prac  dwie.pierwsze  dotyczą  obcią ż eń  krytycznych  p r o s t o k ą t n y ch  tarcz 

P r z e k ł a d k o w y c h  z wypełniaczem ,  k t ó r e g o  sztywność  zmienia się wzdłuż  przekroju  poprzecz­

nego  tarczy.  N a  szczególną  u w a g ę  zasługują  rozpatrzone  w  pracy  [3]  przypadki  tarcz 
0  skokowo  zmiennej  sztywnoś ci  wypełniacza,  poddanych  d z i a ł a n i u  r ó w n o m i e r n e g o , 

jednokierunkowego  ś ciskania.  Rozpatrzono  w  niej  teoretyczny  przypadek  tarczy  t r ó j ­



364  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

warstwowej  o  n i e s k o ń c z o n ej  szerokoś ci,  a  t a k ż e  trójwarstwowej  tarczy  p r o s t o k ą t n e j, 

które j  sztywność  wypełniacza  z m i e n i a ł a  się  w  kierunku  r ó w n o l e g ł y m  do  kierunku  ś ciska­

nia. 

W  pracy  [5]  rozpatrzono  natomiast  przypadek  zmiany  sztywnoś ci  wypełniacza  w  kie­
runku  p r o s t o p a d ł y m  do  płaszczyzny  ś r o d k o w ej  tarczy.  Stanowi  to jednak  o d r ę b ne  zagadnie­

nie,  dotyczą ce  głównie  grubych  tarcz,  ulegają cych  lokalnej  utracie  statecznoś ci. 

Jak  wynika  z  procesu  technologicznego,  istnieje  moż liwość  uzyskania  zmiany  gę stoś ci, 

a  zatem  i  modelowania  sztywnoś ci  piankowych  wypełniaczy  p ł y t  p r z e k ł a d k o w y c h  w  sto­

sunkowo  łatwy  s p o s ó b .  Z  tego  wzglę du  przeprowadzenie  analizy  w p ł y w u  r o z k ł a d u  sztyw­

noś ci  w y p e ł n i a c z a  na  poziom  obcią ż eń  krytycznych  cienkich,  p r o s t o k ą t n y ch  płyt  prze­

k ł a d k o w y c h  z  l e k k i m  wypełniaczem  oraz  wykorzystanie  w y n i k ó w  tej  analizy  do  optymal­

nego  modelowania  sztywnoś ci  wypełniacz a  ma  duże  znaczenie  z a r ó w n o  poznawcze,  jak 

i  aplikacyjne. 

2.  Przyję te  założ enia  i  podstawowe  równania 

Przedmiotem  r o z w a ż ań  jest  p r o s t o k ą t na  t r ó j w a r s t w o w a  p ł y t a  p r z e k ł a d k o w a  z  lekkim 

wypełniacze m  o  długoś ciach  krawę dzi  a  i  b.  Z a k ł a d a  się, że  p ł y t a  jest  cienka,  tj.  g r u b o ś ć  

c a ł k o w i t a  gc  =  2(h + t)  płyty jest  m a ł a  w  stosunku  do  długoś ci jej  k r a w ę d z i.  R o z p a t r y w a n ą  

p ł y t ę  opisano  w  p r o s t o k ą t n ym  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  0,  x,  y,  z  (rys. 1). 

R y s .  1.  P o d s t a w o w e  o z n a c z e n i a  t r ó j w a r s t w o w e j  p ł y t y  p r o s t o k ą t n e j. 

W  przypadku  o g ó l n y m  r ó w n a n i e  statecznoś ci  tak  opisanej  p ł y t y  —  otrzymane  w  wyniku 

zredukowania  u k ł a d u  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i ,  w y r a ż o n y ch  w  przemieszczeniach  [2] —  ma 

p o s t a ć : 

82w 
2B (л  +1|  v > > )  +11 -  $L  V 2 ) J 2 Z > W )  ­  №  

8x2 

­ ^ ^ ­ + 2 ^ —  |  =  0, 

gdzie: 

Nx,  Ny  i  Nxy  —  siły  przekrojowe  bę dą ce  z  z a ł o ż e n ia  funkcjami  zmiennych  x  oraz  y; 

w  =  w(x,  y)  —  s k ł a d o w a  przemieszczenia  dowolnego  punktu  płyty  w  kierunku 

osi  z; 

Gw  —  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  postaciowej  m a t e r i a ł u  w y p e ł n i a c z a ; 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  3 6 5 

В  
Et 

D  = 

l­v2 

Et3 

sztywność  o k ł a d z i n y ; 

p ł y t o w a  sztywność  zginania  o k ł a d z i n y ; 
12(1  ­ v 2 ) 

E—moduł  sprę ż ystoś ci  Y o u n g a  m a t e r i a ł u  o k ł a d z i n y ; 

v  —  w s p ó ł c z y n n i k  Poissona  m a t e r i a ł u  o k ł a d z i n y . 

Wymienione  wyż ej  siły  przekrojowe  Nx,Ny  oraz  Nxy  mogą  być  w y r a ż o ne  za  p o m o c ą  

jednego  tylko  parametru  obcią ż enia  N0  • W p r o w a d z a j ą c  mianowicie funkcje  Fw  =  Fw(x,  y), 

Fp  — Fp(x,y)  oraz  F,  =  Ft(x,y),  siły  te  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  w  nastę pują cy  s p o s ó b : 

Ł  =  F*(x,  y)­N0;  Ny  =  Fp(x,  y)­N0; 

Nxy  =  Ft(x,y)­N0.
  ( ) 

Postacie  funkcji  Fw(x,  y),  Fp(x,  y)  oraz  Ft(x,y)  zależą  od  charakteru  tarczowego  obcią­
ż enia  płyty.  D l a  k i l k u  p r z y k ł a d o w o  wybranych  t y p ó w  obcią ż enia  płyty,  podano  je  w  ta­
blicy  1. 

T a b l i c a  1 

F u n k c j e  F w ( A \  y)  Fp(x,  y)  i  F,(x,  y)  d l a  w y b r a n y c h  p r z y p a d k ó w  o b c i ą ż e n ia  p ł y t y . 

L p  C h a r a k t e r  o b c i ą ż e n ia  p ł y t y  Fy,(x, y)  Fp(x,y)  F,(.x,y) 

R ó w n o m i e r n e ,  j e d n o k i e r u n k o w e  ś c i s k a n ie 

J e d n o k i e r u n k o w e ,  n i e j e d n a k o w e  ś c i s k a n ie 

z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia 

D w u k i e r u n k o w e  r ó w n o m i e r n e  ś c i s k a n ie 

No 

tttttfff 
J e d n o k i e r u n k o w e  l i n i o w o  z m i e n n e  ś c i s k a n ie  ze  ś c i n a­

n i e m 

Л ц ­(п ­
x 

­ D 1 ­

­ 1 

­hi) 

la 



366  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

W  celu  uproszczenia  obliczeń  oraz  u o g ó l n i e n i a  ich  w y n i k ó w  wprowadzono  bezwymia­

rowe  w s p ó ł r z ę d n e: 

oraz  bezwymiarowe  w s p ó ł c z y n n i k i : 

—  k s z t a ł t u  płyty 

(4) 

obcią ż enia 

p o d a t n o ś ci  wypełniacza 

N0b\\­v
2) 

<P  =  '  (5) 
2n2Et\h  + 

*°  T  ( l ­ v 2 ) G w "  ft
2"'  ( 6 ) 

W  zastosowanej  metodzie  rozwią zania  zagadnienia  przyjmuje  się  założ enie,  że  m o d u ł 

sprę ż ystoś ci  postaciowej  Gw  wypełniacza  jest  funkcją  zmiennej  x  wzglę dnie  zmiennej 

y;  znaczy  to,  że  ulega  on  zmianie  wzdłuż  długoś ci  lub  szerokoś ci  płyty.  T y m  samym  w s p ó ł ­

czynnik  k0  p o d a t n o ś ci  wypełniacz a  jest  r ó w n i e ż  o d p o w i e d n i ą  funkcją  zmiennej  x  lub  y. 

Należy  zaznaczyć,  że  przyję cie  zmiennoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  k0  oznacza  moż liwość  rozpa­

trzenia  z a r ó w n o  zmiennoś ci  m o d u ł u  Gw,  jak  i  zmiennoś ci  innych  p a r a m e t r ó w ,  wystę pu­

ją cych  w  wyraż eniu  (6),  tj.  sztywnoś ci  o k ł a d z i n  В ,  a  także  gruboś ci  wypełniacza  2h.  N a j ­

wię ksze  jednak  znaczenie  praktyczne  ma  przypadek  zmiennej  sztywnoś ci  samego  wypeł­

niacza,  tj.  zagadnienie  r o z k ł a d u  zmiennoś ci  m o d u ł u  sprę ż ystoś ci  postaciowej  Gw. 

W  rzeczywistoś ci  m o d u ł  Gw  może  ulegać  zmianie,  ale  w  s p o s ó b  cią gły,  wzdłuż  o k r e ś l o­

nego kierunku.  W  dalszych  r o z w a ż a n i a ch  przyję to  założ enie,  że  w a r t o ś ć  m o d u ł u  Gw  zmienia 

się  jedynie  wzdłuż  osi  y,  przy  czym  rzeczywistą  z m i a n ę  tego  m o d u ł u  przedstawiono  za 

p o m o c ą  zastę pczej,  skokowo  zmiennej  funkcji  у  (rys.  2).  Funkcja  ta  m o ż e  być  tak  przyję ta, 

aby  była  o k r e ś l o n ym  przybliż eniem  rzeczywistej  funkcji  cią głej.  Przy  takim  przyję ciu 

w s p ó ł c z y n n i k  k0  jest  r ó w n i e ż  s k o k o wą  funkcją  zmiennej  y,  tj.  k0  =  k0(y). 

R ó w n a n i e  (1)  ulega  uproszczeniu  przez  p o m i n i ę c ie  w  nim  płytowej  sztywnoś ci  zginania 

D  samych  o k ł a d z i n  jako  pomijalnie  m a ł e j .  Błąd  wynikają cy  z  wprowadzenia  takiego 

uproszczenia  nie  przekracza  5%  [6].  W ó w c z a s ,  po  wprowadzeniu  bezwymiarowych  w s p ó ł ­

rzę dnych  £  i 0  oraz  wyż ej  zdefiniowanych  w s p ó ł c z y n n i k ó w ,  r ó w n a n i e  (1)  przyjmuje  p o s t a ć : 

­ я  d 4 w  8Aw  d*w  ...  Г,  5 4 w  8*w 
8?  '  8£28Q2  •  a e 4  '  " r l " " V  a f 4  '  a £ 2 a o 2 

82w  1  Г  /  a 4 w  a 4 i f  \  82w  1 

­  э И  FM*  0 )  +  v  Г  \­sF8W  +  ­W)  ~ Ж2'\F^'fJ)  +  ( 7 ) 

1  A,  8*w  8*w  \  82w  1  „ r t  rt 
+Ъ р Х  [k0  [?

2

  W e Q ­  +  ^ 3 " ) ­  Ш \  FM,  0)  =  0. 

Wartoś ci  w ł a s n e  powyż szego  r ó w n a n i a  są  poszukiwanymi  w  analizie  statecznoś ci  współ­

czynnikami  obcią ż enia  krytycznego  płyty,  oznaczonymi  dalej  symbolami <pkr. 

file:///-sF8W


S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  367 

Przyję to  dalej,  że  rozpatrywana  p ł y t a  jest  zamocowana  wzdłuż  całego  swego  obwodu. 

U w z g l ę d n i o no  przy  tym  dwa  warianty  podparcia  z e w n ę t r z n y ch  krawę dzi  p ł y t y :  podparcie 

przegubowe  na  całym  obwodzie  oraz  podparcie  przegubowe  krawę dzi  x  — 0  i  x  =  a, 

przy  jednoczesnym  utwierdzenia  k r a w ę d zi  у  =  0  i  у  =  b. 

b -

.1 — 

7& 

R y s .  2.  M o d e l o w a n i e rzeczywistej  z m i a n y  m o d u ł u  G „  w y p e ł n i a c z a  p ł y t y  z a  p o m o c ą / u n k c ji  s k o k o w o  z m i e n ­

nej 

Zgodnie  z  powyż szymi  z a ł o ż e n i a m i,  rozwią zanie  r ó w n a n i a  (7)  musi  spełniać  n a s t ę ­

pują ce  warunki  brzegowe  odnoszą ce  się  do  funkcji  w  =  w(£,6),  opisują cej  kształt  ugię­

t e j —  po  utracie  statecznoś ci  — powierzchni  p ł y t y : 

82w 

cĘ2 

w  = 
82w 

8в2 

­ d l a  £  =  0, т с, 

0  — d l a  0  =  0, TU; 

(8) 

—  gdy  tarcza  jest  swobodnie  podparta  wzdłuż  obwodu,  lub 

82w 

8w 
w  =  W  =  0 

dla  £  =  0, т с, 

dla  0  =  0,  rc; 

(9) 

—  gdy  k r a w ę d z ie  у  =  0  (в  — 0)  oraz  у  =  b  (0  =  к )  płyty  są  utwierdzone,  a  p o z o s t a ł e 

Podparte  swobodnie. 

3.  Rozwią zanie  zagadnienia 

Uwzglę dniając  przyję te  uprzednio  warianty  podparcia  zewnę trznycli  krawę dzi  płyty, 

rozwią zanie  r ó w n a n i a  (7)  z a ł o ż o no  w  nastę pują cej  postaci  o g ó l n e j : 



3 6 8  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

w(t,d)  = £ш,*т т  (10) 
i= 1 

gdzie fi{6)  są nieznanymi  funkcjami  zmiennej  (в ). T a k  przyję ta  funkcja  w =  w(f, в )  spełnia 

z a ł o ż o ne  warunki  brzegowe  na  k r a w ę d z i a ch  x  =  0 i . x =  a ( £ =  0 i £ =  Tc)  płyty. 

W  celu  r o z w i ą z a n ia  podstawowego  r ó w n a n i a  statecznoś ci  (7) zastosowano  przybliż o­

ną  m e t o d ę  K a n t o r o w i c z a ­ K r y ł o w a  [7], [8], sprowadzając  rozpatrywane  r ó w n a n i e  róż nicz­

kowe  o  pochodnych  czą stkowych  do  u k ł a d u  m  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  zwyczajnych. 

Uzyskano je  wykorzystując  niż ej  podane  warunki,  jakie  muszą  spełniać  nieznane  funkcje 

№ )• 
Jeż eli  mianowicie  przez  wt  oznaczyć  г '­ty s k ł a d n i k  wzoru  interpolacyjnego  (10), tj. 

wyraż enie  wt  = /f(0)sin(/,  | ) ,  symbolem  L(w) — lewą  s t r o n ę  r ó w n a n i a  (7),  to  nieznane 

funkcje fi{6)  muszą  spełniać  nastę pują ce  w a r u n k i : 

J  L ( w ) s i n ( / ,  =  0,  / = 1 , 2 , . . .  m.  (11) 
o 

P o s t a ć  powyż szych  w a r u n k ó w  jest  analogiczna  do postaci  r ó w n a ń  otrzymywanych  przy 

zastosowaniu  metody  ortogonalizacyjnej  Bubnowa­Galerkina. 

P o  wykonaniu  c a ł k o w a n i a  i  u p o r z ą d k o w a n iu  w y r a z ó w  warunki  (11) przyjmują  p o s t a ć  

nastę pują cego  u k ł a d u  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  zwyczajnych  czwartego  r z ę du  wzglę dem 

funkcji  f,: 
m 

2Li'(f"fi>fi">f<"'>f'"")  =  °>  i=h2,...m.  (12) 
1= 1 

W  r ó w n a n i a c h  tych  symbolem  Lit  oznaczono  nastę pują ce  w y r a ż e n i a: 

Ln  =  ę {X4
2{\+k0X4

2)Frlfi­2W\+k0l
2i2)Ftilf;­[kQX

1i2F?l  + 

­(l+k0Pi
2)Ffl]fi"+2k0AiFllfi'"+k0Frlfi""}  dla  1ф 1 

oraz 

(13) 

Ux  =  ­ J ^ 2 ' 2  ^2Pi2  + ^ao{\+k0X4
2)FĄ fl­2<pki{\+k0cpX

2i2)Fllf;  + 

­  \nXH* ( l +  ±­k0<pFn)  + 9 ' ( l + A : o A
2 / 2 ) ^ ] / / ' + 2 A : 0 ^ / F / ) / ( ' " 4 . ( | ­  +  kQq>F^fi'" 

dla  i  =  1.  (14) 

W  powyż szych  w y r a ż e n i a ch 

я  

Ffi  = f  iKG>  0)smOe)$m№ № ,  (15) 
o 

TC 

Fk  =  f  [PĄ S,  0 ) c o s ( i Ł ) s i n ( / | ) ] # . 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  369 

W  dalszym  p o s t ę p o w a n iu  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  (12)  zostaje  przekształcony 

w  u k ł a d  r ó w n a ń  całkowych . 

Uwzglę dniając  ogólną  p o s t a ć  w a r u n k ó w  brzegowych  przy  0 =  0  (dla obydwu  przyję­

tych  w a r u n k ó w  podparcia  krawę dzi  у  =  0 i у  = b płyty)  oraz  wykorzystując  ich jednorod­

noś ć,  poszukiwane  funkcje ft  = ft(6)  m o ż na  wyrazić  przez  ich  czwarte  pochodne: 

в  о  o  o 

(16) 

ft  =  ~  c2l  •  Q« + cu  ^­  + /  /  f  f  /Г "(в )  [dd]\ 
a  °  o  o  o o 

0  0  0 

#  =  c 2 i ­ e p + c u ~ +  f  j  f  / г ' т Ш  
z  О ОО  

f*  =  с 2 Г Р + с 1 Г в +J  f  / / ' " ( в )  д а , 
о  о  

о  

/ Г  =  си+[л 'у Ц в у т , 
о  

gdzie: а  =  1 oraz  /3 =  0 — przy  z a ł o ż e n iu  w a r u n k ó w  brzegowych  (8),  а  =  2 oraz / 3 = 1 — 

Przy  założ eniu  w a r u n k ó w  brzegowych  (9). W a r t o ś ci  s t a ł y c h  С ] ; i C2l  wyznacza  się z  wa­

runku  brzegowego  dla  в = т с , tj. dla krawę dzi  у  =  b płyty. 

W p r o w a d z a j ą c  zależ noś ci  (16)  do u k ł a d u  r ó w n a ń  (12) otrzymuje  się  nastę pują cy  u k ł a d 

równań  całkowych. 

m 

%Ltt[A\
lW,A\2m>  А \аЩ ,  А ?Щ ]  =  0 ,  / = 1 , 2 ,  . . . ш ,  (17) 

gdzie: 

о  

AV\0)  =  Jfr"(P)dO, 
о  

о  о  

л ?\о )  =  f  f  г г т т2 , 
о  о  

О ОО  

А \Щ =  J  J  J  fi""(в )  [d&l3, 

(18) 

О ОО  

o o o o 

А ?Щ  = Jff  ff""(0)[clOy 
0  0  0  0 

Układ  r ó w n a ń  c a ł k o w y c h  (17) rozwią zuje  się n a s t ę p n ie  m e t o d ą  sum s k o ń c z o n y ch  [4], 

stosując  macierze  c a ł k o w a n i a  [9]. Przy  zastosowaniu  tej  metody  przedział  c a ł k o w a n i a 

t<5,  т с]  dzieli  się na n  p o d p r z e d z i a ł ó w ,  o t r z y m u j ą c  w ten s p o s ó b  (n+1)  p u n k t ó w  oblicze­

niowych  Oj, przy  czym  j  =  1,2, . . . . (n+1).  F u n k c j ę  cią głą  k0  = k0(Q),  przedstawiają cą  
2 m i a n ę  w s p ó ł c z y n n i k a  p o d a t n o ś ci  płyty,  zastę puje  się funkcją  skokowo  z m i e n n ą ,  k t ó r a 
w  k a ż d ym  z p o d p r z e d z i a ł ó w  obliczeniowych  ma stałą  w a r t o ś ć  (k0)j.  Dobierając  odpowied­

Mcch.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



370  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

nio  liczbę  p o d p r z e d z i a ł ó w  c a ł k o w a n i a  n,  m o ż na  z  okreś loną  dokładnoś cią  o d w z o r o w a ć  

przebieg  cią gły  funkcji  k0  za  p o m o c ą  przebiegu  skokowo  zmiennego. 

W  wyniku  zastą pienia  całek,  wystę pują cych  w  układzie  r ó w n a ń  (17),  przybliż onymi 

w y r a ż e n i a mi  zawierają cymi  sumy  s k o ń c z o ne  [9]  otrzymuje  się  u k ł a d  algebraicznych  rów­

n a ń  jednorodnych  wzglę dem  niewiadomych  хи  =  fi""(Qj).  Układ  ten  ma  p o s t a ć : 

gdzie  współczynniki  bik  są  zależ ne  od  p a r a m e t r ó w  geometrycznych  i  materiałowyc h  płyty, 

a  także  jej  obcią ż enia. 

A b y  u k ł a d  r ó w n a ń  (19)  m i a ł  niezerowe  rozwią zanie,  jego  wyznacznik  charakterystyczny 

musi  być  r ó w n y  zeru.  Z  warunku  tego  m o ż na  obliczyć  ciąg  wartoś ci  własnych  <p  r ó w n a n i a 

(1).  Najmniejsza  z  tych  wartoś ci  jest  p o s z u k i w a n ą  wartoś cią  krytyczną  w s p ó ł c z y n n i k a 

q>,  o z n a c z o n ą  dalej  j a k o  c?kr. 
P r z e d s t a w i o n ą  powyż ej  m e t o d ę  wykorzystano  do  rozwią zania  r ó w n a n i a  statecznoś ci 

t r ó j w a r s t w o w y c h  płyt  p r z e k ł a d k o w y c h  o  zmiennej  sztywnoś ci  wypełniacza.  Realizowany 

w  praktyce  cią gły  r o z k ł a d  tej  sztywnoś ci,  zwią zany  z  cią głym  r o z k ł a d e m  gę stoś ci  wypełnia­

cza,  z a s t ą p i o no  r ó w n o w a ż n ym  w  przybliż eniu  r o z k ł a d e m  zmiennym  skokowo,  zacho­

wując  okreś loną  d o k ł a d n o ś ć  odwzorowania. 

D l a  przeprowadzenia  odpowiednich  obliczeń  numerycznych  opracowano  specjalny 

program  na  e.m.c.  w  j ę z y ku  F O R T R A N .  Program  ten  umoż liwia  wyznaczanie  wartoś ci 

krytycznych  wszystkich  podstawowych  obcią ż eń  typu  tarczowego  dla  p r o s t o k ą t n y ch  płyt 

p r z e k ł a d k o w y c h  o  dowolnym,  skokowo  zmiennym  rozkładzie  sztywnoś ci  wypełniacza. 

Jedynym  ograniczeniem  jest  dopuszczalna  —  ze  wzglę du  na  obszar  pamię ci  zajmowany 

przez  program  w  e.m.c.  —  liczba  n  p o d p r z e d z i a ł ó w  obliczeniowych. 

P r z y k ł a d o w e  obliczenia  numeryczne  przeprowadzono  dla  p r o s t o k ą t n y ch  płyt  przekład­

k o w y c h  z  lekkim  wypełniaczem  o  zmiennej  gę stoś ci,  swobodnie  podpartych  wzdłuż  ob­

wodu  i  poddanych  d z i a ł a n i u  jednokierunkowego  obcią ż enia  ś ciskają cego.  Rozpatrzono 

trzy  r ó ż ne  przypadki  obcią ż enia  płyt ,  dla  k t ó r y c h  znane  są  rozwią zania  dotyczą ce  ich 

obcią ż eń  krytycznych,  przy  założ eniu  stałej  gę stoś ci  w y p e ł n i a c z a :  przypadek  r ó w n o m i e r ­

nego  ś c i s k a n ia  [2]  niejednakowego  ś ciskania  z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia  [10]  oraz  szczególny  przy­

padek  liniowo­zmiennego  ś ciskania,  a  mianowicie  zginania  tarczowego  [11]. 

D l a  k a ż d e go  z  tych  p r z y p a d k ó w  obcią ż enia  przyję to  w  obliczeniach  takie  warianty 

r o z k ł a d u  gę stoś ci  wypełniacza,  a  tym  samym  funkcji  k0  =  k0(y)  lub  k0  =  k0(x)  jego  po­

d a t n o ś c i,  aby  u z y s k a ć  moż liwie  najwię kszy  wzrost  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  q>kr  obcią ż enia 

krytycznego  płyty. 

W  przypadku  jednokierunkowego,  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciskania  (poz.  1  tablicy  1),  tj. 

gdy  w s p ó ł c z y n n i k  obcią ż enia  rj  =  1,  a  także  niejednakowego  ś ciskania  z  jednoczesnym 

ś cinaniem  (poz.  2  tablicy  1),  tj.  gdy  i]  ф  1,  najsłuszniejsze  było  przyję cie,  że  gę stość  wy­

pełniacza  zmienia  się  skokowo  w  kierunku  osi  y,  ale  z  zachowaniem  symetrii  wzglę dem 

Л ! ( Л+   i )  

bikxtk  =  0,  / = 1 , 2 ,  ...,m(n+\),  (19) 

4.  Przykładowe  wyniki  obliczeń  



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  371 

osi  symetrii  płyty  —  równoległej  do  kierunku  ś ciskania.  Jak  w y k a z a ł a  w s t ę p na  analiza, 

dla  wszystkich  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  г / najbardziej  racjonalnym  był  wariant,  gdy  w  wy­
pełniaczu  płyty  przyjmowano  jedno  tylko  pasmo  o  p o d w y ż s z o n ej  gę stoś ci,  leż ą ce  wzdłuż  

wspomnianej  osi  symetrii  płyty.  Pasmo  takie  o  zmniejszonej  p o d a t n o ś ci  s t a n o w i ł o  pewną  

analogię  wzmocnienia tarczy jednorodnej  symetrycznym  ż ebrem  p o d ł u ż n y m,  równoległym 

do kierunku  ś ciskania. 

Zagadnienie  rozpatrzono  przyjmując  róż ne  szerokoś ci  ob  pasma  (0  ^  Q ̂   1)  o  zwię k­
szonej  gę stoś ci  i  róż ne  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  wzmocnienia  q,  zdefiniowanego  wzorem: 

„  (G„)2  (*o)i  n m 
(<Jw)l  (« 0 )2 

gdzie: 

(G„)2  i  ( G w ) i — m o d u ł y  sprę ż ystoś ci  postaciowe  wypełniacza  płyty  odpowiednio  dla 

Pasma  o  p o d w y ż s z o n ej  gę stoś ci  i  pozostałej  jego  czę ś ci,  a  (k0)2  i  (^ 0 )1 —  odpowiadają ce 

współczynniki  p o d a t n o ś ci  płyty.  W  przypadku  jednokierunkowego,  niejednakowego 

ś ciskania  z udziałem  ś cinania  (poz.  2 tablicy 1), kiedy to  obcią ż enie  Nx  jest  liniowo  rosną cą  

funkcją  współrzę dnej  .Y  (przy  r\ <  1),  postanowiono  rozpatrzy ć  r ó w n i e ż  przypadek,  gdy 
gę stość  wypełniacza  wzrasta  liniowo  w  kierunku  osi  x.  W  przypadku  obcią ż enia  płyty 

w  postaci  jednokierunkowego  zginania  tarczowego  rozpatrzono  skokowo  zmienny  roz­

kład  gę stoś ci  wypełniacza  wzdłuż  osi у  — z jednym  pasmem  o  zwię kszonej  gę stoś ci.  Pasmo 

'o  usytuowano  równolegle  do  osi  x  po  stronie  ś ciskanej  płyty,  zgodnie  z  zasadą  racjonal­

nego  ż e b r o w a n ia  płyt  jednorodnych  poddanych  działaniu  zginania tarczowego.  Przyję to, 

że  szerokość  tego  pasma  wynosi  b0  =  0,16,  a  jego  oś  symetrii  znajduje  się  w  odległoś ci 

У  od  ś ciskanej  krawę dzi  płyty. 

W  tym  przypadku  obcią ż enia,  efekt  wzrostu  współczynnika  <pkI  obcią ż enia  krytycznego 

Płyty  zależy  od  p o ł o ż e n ia  pasma  o  podwyż szonej  gę stoś ci,  tj.  współrzę dnej  y'.  Z tego  wzglę­

du  celem  tej  czę ś ci  obliczeń  b y ł o  okreś lenie  w p ł y w u  p o ł o ż e n ia  tego  pasma  na  wartość  

współczynnika  ук,  obcią ż enia  krytycznego  płyty. 

Przyję te  do  obliczeń  warianty  r o z k ł a d ó w  gę stoś ci  wypełniacza  odpowiadają ce  wymienio­

nym  wyż ej  obcią ż eniom  płyty  zestawiono  w  tablicy 2.  Obliczenia  numeryczne  przeprowa­

dzono  na  e.m.c.  O D R A  1305,  a  ich  w y n i k i  przedstawiono  w  postaci  wykresów,  ilustrują­

cych  zależ ność  w s p ó ł c z y n n i k a  <pkr  obcią ż enia  krytycznego  płyty,  od  odpowiednich  para­

metrów  r o z k ł a d u  gę stoś ci  — dla  wyż ej  wymienionych  p r z y p a d k ó w  obcią ż enia  płyty. 

Wszystkie  wykresy  s p o r z ą d z o no  dla  swobodnie  podpartej  p ł y t y  kwadratowej,  o  współ­

czynniku  k s z t a ł t u  X =  1,  oraz  przy  j e d n a k o w e j — d l a  k a ż d e go  z  rozpatrywanych  przy­

padków  —  wartoś ci  parametru  podstawowej  p o d a t n o ś ci  płyty  (k0)2
  =  0,2.  Wykresy 

Pkr  =  9>kr(e) —  dla  róż nych  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  ą —  odpowiadają ce  rozkładowi 
gę stoś ci  wypełniacza,  oznaczonego  symbolem  S  (tablica  2)  przedstawiono  odpowiednio: 

dla  jednokierunkowego,  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciskania  —  na  rys.  3  oraz  dla  jednokierunko­

wego  niejednakowego  ś ciskania  z  udziałem  ś cinania  —  przy  wartoś ci  parametru  obcią­

ż enia  /у  =  0,4  —  na  rys.  4. 

D l a  tego  ostatniego  przypadku  obcią ż enia  płyty,  na  rys.  5  przedstawiono  przebieg 

zmiany  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  <pkr,  odpowiadają cy  liniowej  zmianie  m o d u ł u  sprę ż ystoś ci 

Postaciowej  Ć 7„. wypełniacza  wzdłuż  osi  x  (symbol  r o z k ł a d u  P  w  tablicy 2). 



[372] 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T 

W y b r a n e  p r z y p a d k i  r o z k ł a d u  s z t y w n o ś ci  w y p e ł n i a c z a 

3 7 3 

T a b l i c a  2 

c h a r a k t e r  o b c i ą ż e n ia  p ł y t y 
S y m b o l 

r o z k ł a d u 
C h a r a k t e r  r o z k ł a d u  s z t y w n o ś ci  w y p e ł n i a c z a 

R ó w n o m i e r n e  j e d n o k i e r u n k o w e 

ś c i s k a n ie 

No  N 0 

J e d n o k i e r u n k o w e  niejednakowe 

ś c i s k a n ie 

—­i 
—\ 

"  1 

'y 

z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia 

J e d n o k i e r u n k o w e ,  niejednakowe 

ś c i s k a n ie  z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia 

( s z k i c  j . w . ) 

J e d n o k i e r u n k o w e  l i n i o w o 

z m i e n n e  ś c i s k a n ie 

No 

(zginanie  t a r c z o w e ) 

,P" 

7 ' 

(G„ 

1  1 

Jj  L ­

Bb  u 

(ko), 

( k 0 ) 2 

0 

(Gw),  (ко )г  

(Gw)? ­ iKo )i 

( G w ) , ~  IK0 ) 2 

l G . b  ­ ( Knb 

( G „ ) ,  " ( K0 ) 2 

p r ! n ( G w ) 2 

(Gw), 

Ь Г  0 

­|(K0)i 

i(Ko)2| 

N a  rysunku  6  przedstawiono  wykres  zależ noś ci  <pkT  =  9?kr(/)>  odpowiadają cy  przypad­

kowi  czystego  zginania  tarczowego  przy  przyję tych  uprzednio  założ eniach,  dla  p r z y k ł a ­

dowej  wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  q  =  10.  W y n i k i  obliczeń  numerycznych,  przedstawione 
w  postaci  w y k r e s ó w  pokazanych  na  rysunkach  3­н б,  otrzymano  przy  z a ł o ż e n iu  funkcji 

Powierzchni  wyboczenia  p ł y t y  zgodnie  z  w y r a ż e n i em  (10),  biorąc  do  obliczeń  w  k a ż d y m, 

kolejnym  punkcie  obliczeniowym  wyraż enie  o  liczbie  w y r a z ó w  m  =  1 do  m  =  5.  W  przy­

padkach  jednokierunkowego,  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciskania  (rj  =  1)  oraz  niejednakowego 



374  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

1  2  4  6  8  10 

q 

R y s .  5.  W y k r e s  z a l e ż n o ś ci  <pt,  =  <pk,(q)  d l a  p ł y t y  poddanej  d z i a ł a n i u  j e d n o k i e r u n k o w e g o ,  niejednakowego 

ś c i s k a n ia  z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia  ( p o z .  3 —  t a b l i c a  2) 

У' 

R y s .  6.  W y k r e s  z a l e ż n o ś ci  (pv<  =  9 \ , ( / )  d l a  p ł y t y  poddanej  z g i n a n i u  t a r c z o w e m u  (poz.  4 —  tablicy  2) 

ś ciskania  z  udziałem  ś cinania  (>/  =  0,4)  wystarczają cą  d o k ł a d n o ś ć  obliczeń  otrzymano 

dla  funkcji  jednowyrazowej  (m  =  1).  W  przypadku  czystego  zginania  tarczowego  wystar­

czają cą  d o k ł a d n o ś ć  otrzymano  dla  funkcji  trójwyrazowej  (m  =  3). 

Z  punktu  widzenia  projektowania  konstrukcji  p r z e k ł a d k o w y c h  interesują ce  jest  rów­

nież  —  o p r ó c z  analizy  wpływu  r o z k ł a d u  gę stoś ci  wypełniacza  na  poziom  obcią ż enia  kry­

tycznego  ­  rozpatrzenie  wpływu  tego  r o z k ł a d u  ma  cię ż ar  konstrukcji,  a  ś ciś lej  na  sto­



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  375 

sunek  siły  krytycznej  do  cię ż aru  elementu  tarczowego.  Z a  kryterium  optymalizacyjne  mo­

ż na  wówczas  przyjąć  współczynnik  lekkoś ci  tarczy  zdefiniowany  wzorem: 

f  ­ — Q — »  (21) 

gdzie  (yV0)kr jest  wartoś cią  siły  krytycznej,  a g  —  cię ż arem  tarczy. 

W s p ó ł c z y n n i k  ten  m o ż na  również  okreś lić  za  p o m o c ą  wzoru  o  nastę pują cej  ogólnej 

postaci: 

?  =  C x .  (22) 

W  wyraż eniu  tym  С  jest  w s p ó ł c z y n n i k i e m ,  zależ nym  jedynie  od  p a r a m e t r ó w  m a t e r i a ł o ­

wych  i  w y m i a r ó w  geometrycznych  p ł y t y : 

T '  I  /  •  1  I  a  ­  i л 2(е + j) 
c=...  ,  2 V '  ,  (23) 

gdzie:  yw  —  cię ż ar  właś ciwy  m a t e r i a ł u  wypełniacza  o  najmniejszej  gę stoś ci. 

h  b 

/  7  t 

W s p ó ł c z y n n i k  zaś  y.  wyraża  się  nastę pują cymi  wzorami  —  zależ nie  od  r o z k ł a d u  gę­

stoś ci  wypełniacza  p ł y t y : 

'n  =  %  (24a) 

—  dla  płyty  z  wypełniaczem  o  stałej  sztywnoś ci, 

­  .  K  V*  (24b) 
Ą \ +L , ( y ' q ­ \ ) \  +  K 

—  dla  płyty,  które j  gę stość  wypełniacza  zmienia  się  według  schematu  S  oraz  Z  (poz. 
1  i  3  tablicy  2), 

x  =  ­  .  (24c) 

eli  + 

—  dla  płyty,  o  liniowo  zmiennej  gę stoś ci  wypełniacza  (poz.  2  w  tablicy  2). 

We  wzorach  tych 

gdzie  y o k i —  cię ż ar  właś ciwy  m a t e r i a ł u  o k ł a d z i n . 

P r z y k ł a d o w o ,  na  rys.  7  przedstawiono  wykresy  w s p ó ł c z y n n i k a  H  odpowiadają ce  przy­

padkowi  tarczy  poddanej  d z i a ł a n i u  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciskania  (//  =  1,0)  oraz  jednokierun­

kowego  niejednakowego  ś ciskania  z  udziałem  ś cinania  przy  parametrze  obcią ż enia  щ  = 

5  0,4  —  w  przypadku  r o z k ł a d u  gę stoś ci  wypełniacza  typu  S.  Wykresy  s p o r z ą d z o no  przy 

'^stę pują cych  z a ł o ż e n i a c h: 



\ 

376  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E Ł K O 

0,200 

0,175 

0,150 

0,125 

1—  — j l 
1 
ł ­
j 

­ i 
i 
L _ _ — J i 

l,  ­4 

R y s .  7.  W y k r e s y  z a l e ż n o ś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  x —  X(Q)  d l a  p ł y t y  poddanej  d z i a ł a n i u  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciska­

n i a  t a r c z o w e g o  ('n  =  1)  o r a z  niejednakoweg o  ś c i s k a n ia  z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia  0?  =  0,4) 

e  =  5  oraz  AT =  18,  co  odpowiada  przypadkowi  tarczy  z  o k ł a d z i n a m i  duralowymi 

(y 0 ki  =  2700  [kg/m
3])  oraz  wypełniaczem  o  cię ż arze  właś ciwym  (yw)i  =  150[kg/m

3 ]. 

5.  Wnioski 

1.  Przedstawiona  metoda  obliczeniowa  pozwala  na  przeprowadzenie  analizy  statecz­

noś ci  tarcz  p r z e k ł a d k o w y c h  z  l e k k i m  wypełniaczem  o  zmiennej  sztywnoś ci  w  szerokim 

zakresie  w a r i a n t ó w  r o z k ł a d u  tej  sztywnoś ci,  w  podstawowych  przypadkach  obcią ż enia 

typu  tarczowego. 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P R O S T O K Ą T N Y CH  P Ł Y T  3 7 7 

2 .  Z przytoczonych  p r z y k ł a d ó w  obliczeniowych  wynika,  że  racjonalna  zmiana  sztywno­

ś ci  wypełniacz a  w  znaczą cy  s p o s ó b  w p ł y w a  na  wzrost  obcią ż enia  krytycznego. 

3.  Odpowiednie  k s z t a ł t o w a n i e  r o z k ł a d u  zmiennoś ci  sztywnoś ci  wypełniacza  m o ż e być  

w  pewnych  przypadkach  skutecznym  n a r z ę d z i em  optymalizacji  z  punktu  widzenia  stosu­

nku  noś noś ci  elementu  tarczowego  do jego  cię ż aru. 

4.  Z  przebiegu  krzywych  przedstawionych  na  rys. 7  wynika,  że  efekt  racjonalnego 

k s z t a ł t o w a n i a  gę stoś ci  wypełniacza,  mierzony  wartoś cią  w s p ó ł c z y n n i k a  x,  a  tym samym 

i  w s p ó ł c z y n n i k a  lekkoś ci  %, jest  znacznie  wyraź niejszy  w przypadku  płyt  poddanych  dzia­

łaniu  jednokierunkowego  niejednakowego  ś ciskania  z  u d z i a ł e m  ś c i n a n ia  (г ) Ф 1) niż  

w  przypadku  płyt  poddanych  d z i a ł a n i u  r ó w n o m i e r n e g o  ś ciskania  tarczowego  {r\ =  1) 

L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie 

U ]  F . R O M A N Ó W ,  L .  S T R I C K E R ,  J .  T E Y S S E Y R E ,  Statecznoś ć  konstrukcji przekładkowych.  W y d .  P o l i t e c h n i k i 

W r o c ł a w s k i e j ,  W r o c l a w  1972. 

[2]  А . С .  В О Л Ь Л Ш Р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  И з д а т.  „ Н а у к а ",  М о с к ва  1 9 6 7 . 

[3]  В . Н .  Р А Й М У Ш И Н,  Н . К .  Г А Л И М О В,  И .  Н .  С о т о в,  У с т о й ч и в о с т ь  т р е х с л о й н ы х  п л а с т и н  с  з а ­

п о л н и т е л е м  п е р е м е н н о й  ж е с т к о с т и  —  Т р у ды  С е м и н а ра  п о  т е о р ии  о б о л о ч е к,  К а з а нь  1 9 7 4 . 

[4]  А . М .  Г О Л Ь Д Е Н С Т Е Й Н,  У с т о й н и в о с т ь  б е з к о н е ч н о  ш и р о к о й  п л а с т и н ы  с  з а п о л н и т е л е м  п е р е м е н н о й  

ж е с т к о с т и  п р и  с ж а т и и  —  И з в.  В У З,  С т р о и т е л ь с т во  и  А р х и т е к т у р а,  H p . 1,  1 9 7 7 . 

[5]  F .  R O M A N Ó W ,  Obcią ż enia  krytyczne  konstrukcji  wielowarstwowych.  Prace  n a u k o w e  I­tu  K o n s t r u k c j i 

i  E k s p l o a t a c j i  M a s z y n  P o l i t e c h n i k i  W r o c ł a w s k i e j ,  N r  3 6  seria  8,  M o n o g r a f i e ,  W y d .  P o l i t e c h n i k i 

W r o c ł a w s k i e j ,  W r o c ł a w 1979. 

[6]  К . H .  H A H N ,  Uber  die  statische Stabilitat  einer  einseitig gedriickten,  mit  einer  mittigen Langsrippe 

versteiften rechteckigen  Sandwichscheibe bei  unterschiedlichen Randlagerungsarten, praca  d o k t o r s k a , 

Instytut  M e c h a n i k i  Stosowanej  P o l i t e c h n i k i  Ł ó d z k i e j ,  Ł ó d ź  1979. 

[7]  3 .  В .  К А Н Т О Р О В И Ч,  В . И .  К Р Ы Л О В,  П р и б л и ж е н н ы е  м е т о д ы  в ы с ш е г о  а н а л и з а  —  Г о с.  И з д а т. 

Т е х н.  —  Т е о р е т.  Л и т .,  М о с к в а,  Л е н и н г р а д, 1 9 5 2 . 

[8]  3 .  В .  К А Н Т О Р О В И Ч,  О д и н  п р я м о й  м е т о д  п р и б л и ж е н н о г о  р е ш е н и я  з а д а ч и  о  м и н и м у м е  д в о й н о г о  

и н т е г р а л а  —  И з в.  А к.  Н а ук  С С С Р,  I I  с е р и я,  И р.  5 ,  1 9 3 3 . 

[9]  М . В .  В л х и т о в,  И н т е г р и р у ю щ и е  м а т р и ц ы  —  а п п а р а т  г и с л е н н е г о  р е ш е н и я  д и ф ф е р е п ц и я л ь н ы х  

у р а в н е н и й  с т р о и т е л ь н о й  м е х а )ш к и  —  И з в.  В У З.  А в я ц и о н н а яа  т е х н и к а,  H p . 3 ,  1 9 6 5 . 

110]  М . K O T E Ł K O ,  Statecznoś ć  prostoką tnej  płyty  trójwarstwowej  z  mię kkim  wypełniaczem  poddanej dzia­

łaniu  nierównomiernego  ś ciskania,  Z e s z y t y  N a u k o w e  P o l i t e c h n i k i  Ł ó d z k i e j  N r  393,  M e c h a n i k a  z. 6 2 , 

Ł ó d ź  1981 

t H ]  W .  W A L C Z A K ,  R .  M A N I A ,  Statecznoś ć  prostoką tnej  płyty  trójwarstwowej  poddanej  działaniu  jednokie­

runkowego,  liniowo  zmiennego  ś ciskania  przy  róż nych  warunkach podparcia  krawę dzi  płyty  —  A r c h . 

B u d o w y  M a s z y n  T o m  X X I X ,  z .  3 ­ 4 ,  P . W . N ,  W a r s z a w a  1982. 

„  • 
Р е з ю ме  

У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х,  Т Р Е Х С Л О Й Н ЫХ  П Л А С Т ИН  О  П Е Р Е М Е Н Н ОЙ  

Ж Е С Т К О С ТИ  З А П О Л Н И Т Е ЛЯ  

В  р а б о те  и с с л е д у е т ся  в л и я н ие  п е р е м е н н ой  ж е с т к о с ти  л е г к о го  з а п о л н и т е ля  п е н к о го  т и па  н а  

У с т о й ч и в о с ть  „ в  ц е л о м"  п р я м о у г о л ь н ой  п л а с т и н ы.  П ри  р а с с м а т р и в а н ии  з а д а чи  и с п о л ь з у е т ся  

Ч и с л е н н ый  м е т о д,  б л а г о д а ря  к о т о р о му  я в л я е т ся  в о з м о ж н ым  о п р е д е л е н ие  к о э ф ф и ц и е н т ов  к р и т и­

ч е с к о го  у с и л ия  п л а с т и ны  в  с л у ч ае  д и с к р е т но  п е р е м е н н ой  ж е с т к о с ти  з а п о л н и т е л я.  В  р а б о те  п р е д­

с т а в л е ны  р е з у л ь т а ты  н у м е р и ч е с к их  в ы ч и с л е н ий  д ля  н е к о т о р ых  с л у ч а ев  н а г р у з ки  д и с к о в о го  т и п а. 



.478  W .  W A L C Z A K ,  M .  K O T E L K O 

S u m m a r y 

S T A B I L I T Y  O F  R E C T A N G U L A R  S A N D W I C H  P L A T E S  A T  V A R I A B L E  R I G I D I T Y 

O F  T H E  P L A T E  C O R E 

I n  the  paper  a n  influence  o f  v a r i a b l e  r i g i d i t y  o f the  cor e  o n  general  stabilit y  o f  rectangular  s a n d w i c h 

plates  was  c o n s i d e r e d .  I n  c o n s i d e r a t i o n s  the  special  n u m e r i c a l  m e t h o d  was  u t i l i s e d .  A p p l i c a t i o n  o f the 

m e t h o d  a l l o w e d  for  d e t e r m i n a t i o n  o f  coefficients  <pk, o f  the  plate  c r i t i c a l  l o a d i n g  at  the  a s s u m p t i o n  that 

the  r i g i d i t y  o f  a  plate  c o r e  is  discretely  v a r y i n g .  E x e m p l a r y  results  o f  n u m e r i c a l  c o m p u t a t i o n s ,  c a r r i e d 

out  for  some  chosen  cases  o f a  d i s k  l o a d i n g ,  were  also  presented. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  10  czerwca  1983 roku 

»