Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 
3 ­ 4 ,  22  (1984) 

T W O  V E R S I O N S  O F  W O Z N I A K ' S  C O N T I N U U M  M O D E L  O F  H E X A G O N A L ­ T Y P E 

G R I D  P L A T E S 

T O M A S Z  L E W I Ń S KI  ( W A R S Z A W A ) 

Politechnika  Warszawska 

Instytut  Mechaniki  Konstrukcji  Inż ynierskich 

1.  Introduction 

The  subject  o f  the  considerations  are  plane­stress  statical  problems  o f  dense,  elastic, 

hexagonal  grid  plates,  constructed  from  bars,  F i g . 1.  The  structures  o f  this  type  are  widey 

used  i n  c i v i l  engineering,  cf.  [1]  as  well  as  i n  aerospace  technology.  Diffuculties occuring, 

when  exact  solutions  o f  statical  problems  o f  lattice­type  plates  are  being  sought,  justify 

attempts  endeavouring  to  formulate  approximate  continuum  approaches. 

The  most  simple,  asymptotic  (in  Wozniak's meaning,  [2])  model  has  been  established 

by  Horvay,  cf.  [3,  4].  In  these  papers  effective  Y o u n g  modulus  and  Poisson's  ratio  for 

honeycomb  plates  have  been  obtained  and  exhibited by  means  o f the  appropriate  diagrams. 

The  aim  o f the  present  paper  is to  discuss  continuum  descriptions  o f the  analysed  plate 

response  by  means  o f  the  two­dimensional  Cosserat's  media  with  fibrous  structure,  uti­

lized  by. W o ź n i ak  i n  his  lattice­type  shell  theory,  [2].  In  the  most  general  among  many  of 

Wozniak's  concepts,  the  deformation  o f  the  grid  surface  structure  consisted  o f  nodes 

(..elements")  and  rods  ( „ l i g a m e n t s " )  is  approximated  by  means  o f  a  model  o f  a  regular 

system  o f  bodies,  cf.  [2],  part  I.  The  ,.elements"  o f  the  structure  act  as  the  bodies  o f  the 

system.  The  interactions  between  the  bodies  are  transmitted  by  the  „ l i g a m e n t s " .  One 

of  the  basic  assumptions  o f  the  theory  is  the  existence  o f  the  potential  o f  binary  interac­

tions.  This assumption  (see  (3.4),  p.  39,  [2]) restricts  the  applications  o f the  theory  to  a  cer­

tain  class  o f  surface  structures,  that  w i l l  be  further  called  the  structures  o f  simple  layout, 

in  which  any  two  directly  interacting  elements,  being joined  by  one  ligament  only  (cf.  [2], 

P.  50). 

The  behaviour  o f  a  complementary  class  of  structures,  which  w i l l  be  called  the  struc­

tures  o f  complex  layout,  cannot  be  examined  (without  additional justifications)  by  means 

o f  the  regular  system  o f  bodies  theory.  C o n t i n u u m  approach  to  the  lattice­type  plates  o f 

complex  layout  has  been  presented  i n  the  paper  [5] o f  K l e m m  and  W o ź n i a k.  The  authors 

assume,  that  also  in  the  case  of  complex  structure  the  Wozniak' s theory  o f  grid  shells  and 

"  B y  means  o f  this  t e r m ,  g r i d  structures  constructed  f r o m  bars  connected  i n  r i g i d  nodes  are  under­

s t o o d  i n  the  paper. 



390  Т .  L E W I Ń S KI 

plates  (based  on  the  regular  system  of bodies  theory)  can  be  applied. The  complex  geometry 

implies  modifications  o f  constitutive  equations  only. 

Constitutive  equations  of  the  theory  o f  complex  layout  grid  plates  are  not  uniquely 

definite.  Several  topics  resulting  from  this  fact  are  discussed  in  the  paper.  A n  analysis  is 

exemplified  by  the  case  o f  honeycomb  grids  which  belong  to  the  complex  ones. 

Thus  the  internal  forces,  i.e.  stress  pap  and  couple  stress  ma  tensors  are  not  uniquely 

determined,  because  o f  the  arbitrariness  o f  the  definitions  of  elastic  plate  potential  a. 

T w o  ways  o f  computing  this  function  w i l l  be  presented.  The  first  one  has  been  proposed 

by  K l e m m  and  W o ź n i a k,  [6].  It  is  thought  appropriate  to  recall,  to  correct  (an  isotropy 

o f  the  model  has  not  been  revealed)  and  to  generalise  K l e m m  and  Wozniak's  results  by 

taking  into  account  transverse  shear  deformations  of  the  lattice  rods. 

In  Sec.  4  a  new  method  of  defining  the  plate  potential  a  leading  to  the  new  version 

o f  constitutive  equations  is  presented. 

Some  o f  effective  elastic  moduli  (so  called  micropolar  moduli)  can  not  be  uniquely 

defined.  This  has  been  noted  by  W o ź n i a k,  Pietras  and  Konieczny  in  the  papers  [7 ­  9] 

pertaining  to  the  discrete  elasticity  theory.  This  lack  of  uniqueness  follows  from  an  ina­

dequacy  o f  the  relatively  simple  continuum  Cosserat's  model  when  deformations  o f  dis­

crete  two­dimensional  structure  are  being  analysed.  Nevertheless  such  a  model  is  undoub­

tedly  more  accurate  than  Horvay's  asymptotic  theory. 

2.1  B a s i c  assumptions.  The  grid  is  assumed  to  be  composed  of  straight  bars  whose  axes 

constitute  a  plane,  regular,  equilateral  honeycomb  (hexagonal)  layout,  the  internode  spa­

cings  being  equal  to  /,  see  F i g .  1.  Allthough  the  lattice  bars  need  not  to  be  prismatic 

they  are  required  to  possess  two  symmetry  axes.  The  structure  is  made  o f  an  elastic,  iso­

tropic  and  homogeneous  material  elastic  properties  o f  which  being  characterized  by 

Y o u n g  modulus  E  and  Poisson's  ratio  v.  Considerations  are  confined  to  the  grids 

constructed  by  bars  sufficiently  slender  so  as  to  the  conventional,  improved  (by  taking 

2.  Formulation  of  the  problem 

F i g .  1 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  .191 

into  account  transverse  shear  deformations  of bars)  theory  o f  elastic  rods  can  be  applied. 

Moreover  the  thickness  of  the  grid  is  assumed  to  be  o f  unit  depth.  The  loads  consi­

dered:  in­plane  tangent  forces  and  moments  normal  to  the  mid­surface  are  concentrated 

in  nodes. 

Consider  a  bar  i­k,  cf.  F i g . 2.  Generalized  forces  and  displacements  at  both  nodes 

i  and  к  are  given in  F i g . 3;  slope  deflection equations,  cf.  [10], read 

w h e r e 

EJ 
[s<p, + r(pk­(s  + ryFlk\,  M, 

EJ  (s­r\ 

' ­  1  \  2  J  (<Pk­<Pt)> 

Tlk  =  ­Ti~  2(s + r) 
EJ 

I 

EJ  EJ 
Nlk  =  Nj  =  \2r]p  yr­ylk  =  2(s4­r)4­^f­У л. 

t] =  Al2j\2J,  ~T)  =  6tj­  pl(s  +  r), 

s  =  VufA,  r  =  ­(pJA,  A  =  (p2,­<pjk, 

1  * 0 + v ) 
9?„  =  2c, +  у  с2  +  —­——  с3, 

fą  =  2с, ­  у  Ca +  — — с 3 , 

1/2 

I 2 / 
Й 5, 

1/2  _  1/2 

Г  Jdi  1  г  
J  Ж '  C 3  =  ­ 2 ^  =  J 

(2.1) 

(2.2) 

(2.3) 

Functions  А (С )  and  7(f)  express  cross  section  area  and  moment  of  inertia whereas  A  and 

/  denote  auxiliary  effective  quantities.  In  the  considered  case  o f  rectangular  cross  sections 

л /г  

Д ( | ) Лф  

­ 1 / 2 ­

F i g .  2 

Tid 

S l > M '  N 

­ 1 / 2 ­

F i g .  3 



392  Т .  L E W I Ń S KI 

o f  the  rods,  the  coefficient  к  is  equal  to  1.2,  cf.  [10].  The  slope  deflection  yik  and  the  ex­

tension  yik  o f  the  member  i­k  are  defined  as  follows 

Ш  =  (wk­wt)/l,  Yik  =  (и* ­ и , ) / /.  (2.4) 

Setting  the  effective  quantities  A  and  /  so  as  to 

/ ­ 2 c ,  « ' 1 ,  c2  =  1/2,  (2.5) 

the  simplified  versions  o f  the  relations  (2.1) 

Ј 7  1  _ 
Mtk  =  r  [ ( 3 J J + rj) <p, +  (3r? ­rj)cpk­  6r]

lFik], 
l  Г ): 

EJ  EJ 
A / i  =  ­  ­r(<Pk­<Pi),  Ntk  ш N,  =  12r? ­ ­ / T ­  • y № .  (2.6) 

are  found,  where  the  formulae 

s + r  =  6rj/rj,  s­r  s= 2 ,  ( 2 . 7 ) 

are  used 

In  the  case  o f  A(Ј)  =  1 • h  =  const,  7 ( | )  =  1 • /г 3 /12  =  const  (where  h  stands  for 

a  height  o f  bars)  we  have 

c,  =  1/24,  c 2  =  1 / 2 ,  c 3  =  W 2  =  1 / 2 ,  (2.8) 

hence 

/ 2  £ • 

^  =  , +  1 2 C ,  C = 0 + v ) / 5 ,  V = w ,  ­ ^  =  _ _ 7 _  ( 2 9 ) 

If  the  lattice  bars  are  sufficiently  slender  (hi  <  1/6,  say)  and  influence  o f  shear  deforma­

tions  o f  the  bars  can  be  neglected  thus 

ц  =  rj,  s  =  4,  r  =  2.  ( 2 . 1 0 ) 

In  the  course  o f  the  procedure  one  more  ratio  Q  (defined  as  a  quotient  o f  the  diameter  o f 

the  circle  inscribed in  the  hexagonal  opening  to  the  spacing  o f the  centres  o f  neighbouring 

openings)  is  employed.  We  have 

Q  =  V  =  у ( 1 ­ « ? Г 2 ­  ( 2 . 1 1 ) 

The  ratio  Q varies  from  zero  to  one. 

2.2  Foundations  o f  W o z n i a k ' s  continuum  approach.  Continuum  description  of  a  response  o f 

the  considered  grid  structure  is  based  on  the  Wozniak's concept  [5, 6]. It  is  worth recalling 

here  the  basic  ideas  o f  the  approach,  exemplifying  the  methods  by  the  specific  case  ot 

hexagonal  plate. 

Proceeding  in  this  way  as  in  [4],  the  nodes  o f  the  lattice  are  divided into  two  families 

o f  main  and  intermediate  nodes,  F i g . 4.  The  division  depends  on  the  observation,  i.e. 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  393 

on  the fixed  coordinate  system.  Displacements  of main  nodes  are  assumed  to  be  appro­

ximated  by  functions:  xa  ­» wa, <p,  a  =  1,2,  which  are  supposed  to  be  regular  and  suffi­

ciently  smooth,  so as t ó i n the vicinities  г ^  / ] / 3 of  the nodes  linear  approximation  can 

be  applied. The  grid  plate  can be devided  (by various ways) into  repeated  segments.  F i g .  4 

shows  two types  o f hexagonal  segments:  with  the centres  i n the intermediate  joints  (type 

I)  or in the main  ones  (type  II).  Assuming  the function  if,  <p  to be linear in the  segments' 

areas,  displacements  o f the  main  nodes  (adjoining the centre  o f the  segment)  can be  ex­

pressed  by  means  o f the  values  o f functions  if,  <p  and their  first  derivatives  dau
p,  8*(p, 

referred  to the segments'centre.  Then an energy  o f the  segment  (i.e. the energy  due to de­

formations  o f the  rods  belonging  to  the  segment)  can be  found.  D i v i d i n g  this  energy 

by  the area  P o f the  s e g m e n t i  =  I, II, an energy  density a(i) is obtained. The function 

o­(i)  can  be expressed  (as it  w i l l  be shown  further)  i n terms  o f components  o f strain  mea­

sures 

Yop*  дащ ­е ,ф <р ,  xa  =  да<р ,  да  =  д \д х *  (2.12) 

(eap  denote  R i c c i  tensor)  and  external  loads  subjected  to  intermediate  nodes.  Internal 

forces  /7(f) and raft, i.e.  stresses  and stress  couples,  which  are defined as  follows 

­  ­  Ś *fi  mit,  =  Ш  (2.13) 
8yae  '  '"<"  dx, 

satisfy  (see [2]) the equations  o f equilibrium 

д «Р $  +Л )  =  0 .  3">$> + e4>f&> +J<0 =  0 ,  (2.14) 

where  pp(i),  Yft)  denote  densities  o f external  forces  and couples. The equations  of  equili­

brium  (2.14),  constitutive  Eqs.  (2.13)  and  strain  —  displacements  relations  (2.12)  con­

stitute  the  system  o f  equations  o f the  lattice­type  plate  theory.  B y adding  appropriate 

boundary  conditions, (see  [2] C h . I V ) the theory  is completed  and well­established; thus 

the  boundary  value  problems  for finite  domains can be examined. 

The  topics  o f the present  paper  are concerned  with  the constitutive  equations  (2.13). 

In  the  subsequent  sections  two versions  o f these  equations,  resulting  from  two  methods 

of  defining  the density  o f strain energy  o f the  lattice,  w i l l  be  presented. 



394  Т .  L E W I Ń S KI 

3.  Constitutive  equations  due  to  Woź niak  and  Klemm  (variant  I) 

The  derivation  presented  i n  [5]  w i l l  be  recalled  here;  considerations  are  generalised 

to  the  case  o f  deep  bars,  for  which  the  slope  deflection  equations  (2.6)  hold  true.  The 

starting  point  o f  the  procedure  is  a  division  o f  the  plate  into  repeated  segments  of  the 

type  I,  the  intermediate  nodes  „a"  being  the  centres  o f  them,  F i g . 5.  Three  main  nodes 

S{,  i  — I,  II, III  lie  on  the  vertices  o f  the  hexagon.  W i t h  the  each  bar  a— 5,  a  local  base 

/(,),  ta)  is  associated,  cf.  F i g . 5.  We  have 

i / з  1 

' / o  =  ?<2i)  =  Vy  ei2,  r (
2

( )  =  ­t~ln - — ( 1 ­ 3 ­ ( 5 , 2 ) ,  (3­D 

where  Kronecker delta  and  the  difference  (i­j) are  denoted  by  ди  and  etJ,  respectively. 

F i g .  5 

By  using  o f  the  assumption  o f  the  segment­wise  linear  behaviour  of  displacement 

functions,  the  displacements  of  S',  points  can  be  determined  by  means  o f  the  values  of 

u" and  <p  functions  and  their  first  derivatives  computed  in  the  point  , , a " 

"ft)  =  Ив|(а )+^Ыа|(в)  •  f f o  •  / ,  <pu)  =  <p\(a)+  dx<p\la)  •  •  /. 

In  order  to  simplify  notations  the  values  o f  a  certain  f u n c t i o n / i n  a  point  will  be  de­

noted  by  the  sign  , , v " , i . e . / | ( a )  =  f.  Thus  the  above  relations  can  be  rewritten  to  the  form 

« с о  =  й *+(>р йа  • 4)1,  4>m  =  Ф +  ^ Ф .̂ 

Quantities  it*  and  <p  ought  not  to  be  misinterpreted  as  displacements  of  the  node;  the 

latters  are  denoted  by  w", cpa.  By  means  of  appropriate  projections  o f  M * F )  and  ifi  on  the 

directions  of  ta)  and  vectors  the  displacements  o f  the  ends  of  the  bar  a—Si,  referred 

to  the  local  base  tw,  can  be  calculated  as  follows 

"at  =   '( V ^ a / b   Щ „ =  '( V ( < A / b  

Then  the  slope  deflection  ip{i)  and  the  extension  y ( i )  o f the  bar  a­Sh  defined  by 

V(0  =  (Wla  ~Wai)/l,  yci)  =  (U,a­Uai)ll, 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  395 

can  be  easily  rearranged  to  the  form 

Yw  =  д "%)д *1> +  Ъ А )У «{1, 

and,  similarly. 

A(Pw  =  P a ­ ( P i  =  fy­*a*<V'» 

where 

tV  =  (йа­1ф /1,  dqj =  9Pe­c>, 

and,  the  components  of the  state  o f strain  referred  to  the  point  , , a " read 

А /; =  дайй­еа й(р ,  xa  =  3ac>. 

If  one  inserts  the  quantities  yU)  and  Arpa)  into  slope­deflection equations,  the  internal 

forces  M0).  Г » ) , i ŷ  (referred  to  the  middles  o f  bars  a­Si,  cf.  F i g . 3.1),  expressed  in 

terms  of strain  components  y a / J  and  Ј„, and  with  the  aid  o f  ё с р ,  du* 

/ V / ( . )  ­  _ _  _ _  [d<p­tf0xa  •  /], 

v  KJ 

Na)  =  2(t+s)jl  [Ъ ,Ш <Ф +*«М <*],  (3.2) 

are  obtained.  The  quantities  У M " ,  óc?  can  be  expressed  in  terms  o f  strain  components  and 
*  *  . 

the  loads  F",  M*\  subjected  to  the  node  T o  this  end,  consider  the  equations  of  equili­
brium  of  the  node  see  F i g .  5 

/ / /  

^Wutfi­Tuytlj  + F*  =  0, 
i = I 

in  in 
V ~ 1  v  /  V H  V  * 

By  substituting  the  formulae  (3.2)  into  above  equations  and  by  making  use  o f  (3.1),  we 

arrive  at  the  diagonal set  o f  algebraic  equations,  the  solutions  o f  which  read 



396  Т .  L E W I Ń S KI 

M M  — 

V  V  V 

B y  inserting the above  equations  into  (3.2), the internal  forces  M(k),  T(k),  and  N(k)  as  fun­

ctions  o f  strain  measures 

Mik)  =  ~~[­ls]/3ek2xi+ls(3dk2­l)x2  + (s + r)(y12­y2l)]  + ̂ ^  • M, 

(r+s)EJ  j  | / 3  ^  v  ,  П  i n ,  n v 

— г ­ г "  w  " / " в м " * 1  +  ^ ( i W v \ ( 3 ^ ­ ^ ­

J 5 + r  1  3<5  t  l v  1 +  ( З Й " ~ 1 )  + 

| / 3  1  *  s+r  М  

+ ( ч + з а *2 ) Ь 2 +  i / 3 e * 2 ( y i 2 + y 2 1 ) } ­  3 ( S )  fr^
1*  з ( Д я)  ( з « Ц ­ 1 ) ^2 ­

are  finally  found.  Strain  energy  o f the  rods  a—Si,  i = I, II, III,  belonging to the segment 

can  be  calculated  as  follows 

in 

Ew  = ^ E „  Et  =  Ef+Ef+Ef,  where 
i = l 

42'  V  v  ł/2  v  ~ v  ; " 

J J M  _  Г  ( Д /( | ) ­ д с ­ Г( 0 №  Г  ( М ш +  х Г( 0 №  

'  J  2­EJ(x)  J  2EJ(x) 

Ц 2  у  •  •  1/2 

E l ­ i l " ^ ,  Ei  =  2.  f . ­ d u e ;  c 7 =  / ; 
j /  2EA{x)'  ~'  "  • >  2GA(x)""'  ~  2(1 

The  potential  or7 =  <r(v}  =  £•„,//>, /> =  1.5 •  j / 3 /
2 . 

C a r r y i n g  out the integration  we obtain 

o­j  =  рауа Я  +  т
аха. 

Tensors  A , B, Ć,  p*, m  take  the  form 

A'**  =  Zd&d^+ip  + abFvdP  + ip­u)­  6"№ , 

В111  =  ­ В 1 2 2  =  ­ В 2 2 1  =  ­ В 2 1 2  = B,  the  others  Вф'  =  0,  (3.7) 

С *  =  Ć 8#,  p*"" =  0,  m« =  0  V ( F " , M ) , 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  397 

where  moduli  A,  Ji, x, В and С are defined  as follows 

v  '.  2 | / 3 Ј 7  ­  =  4 | / 3 ­ i y  Ј 7 

O 7 + I )  / 3  '  Л _  1 + i j  '  / 3  '  (3.8) 

j  _  2 ] / 3 ­ i ?  Ј 7  v =  г у /Ъ ­ц  EJ  v  | / з  + g +  Ј у  
а _  jj + 3q  / 3  '  f + 1  '  / 2  '  3 ( 1 + ч ) 

The  quantities  Л and J  are fixed  acc. to  (2.5).  The parameters  r\ and ~r\  are defined by 

(2.9)  provided  the bars  are prismatic.  Moreover, i f the  grid  members  are slender  one  can 

substitute  r]  = rj into  (3.8),  cf. (2.10),  to obtain  effective  moduli  independent  o f / 2 ) 

Ш &п ,  т ~ Щ =­  (3.9) 
6 j / r / ( > ?  +  l )  ?VV'U+V)  24rjyi) 

v 
and  „ m i c r o p o l a r "  constants 

BIE­.  \  Ć IE =  y*;<to  + »  (3.10) 
6yn(l+rj)  36t)  Vf)­(l+i]) 

proportional  to I1  and I2  respectively. 

Thus  the elastic  properties  o f the hexagonal  plate  in the plane­stress  state are descri­
'  V  V  V  V  V 

bed  by the tensors  A, B, and C. The tensors A  and С are isotropic  because the  geometry 

o f  the lattice  (observing,  say, a  rotation  o f it  around  the fixed  main  node)  is  invariant 

under  the rotation  at the angles  2/З т ш, n =  1 , 2 , . . . .  Tensors  o f the second  and the  fourth 

orders,  which are invariant  under  such  transformations,  have  isotropic  forms,  invariant 

under  arbitrary  change  o f the  coordinate  system.  Thus  the components  o f the  tensors 
V  V 

A  and С do not vary  provided the main  nodes are defined  as intermediate  and vice  versa. 

One  can say that  these  tensors  do not depend  of the  choice  o f main  nodes. 
v 

The  В tensor  is characterised  by different  properties.  It can be shown  that the compo­

nents o f B,  referred  to the cartesian  coordinate  system xa' rotated  at an angle  ip  (cf. F i g .  5), 

can  be written  as follows 

jfcfir  = в ­  У ***,  (3.11) 

where  components  of the  tensor  % read 

f n '  =  ­X1'2'2'  =  ­ X 2 ' 2 ' 1 '  =  ­ X 2 ' 1 ' 2 '  =  c o s 3 ^ , 
X2'2'2'  =  ­X1'1'2'  =  ­X1'2'1'  =  ­ X 2 ' v v  =  s i n 3 V .

  { i A 2 ) 

v 

Components  o f the tensor  В  depend  on the choice  o f the coordinate  system  as  well 

as  on the choice  o f main  nodes;  namely,  an interchanging  of main  and  intermediate  no­

nodes  imply  changes  o f  signs  o f  all components  Bal>y.  The tensor  В  couples  consti­

tutive  equations.  Its  existence  results  from  the  lack  o f centrosymmetry  o f the  lattice, 

i.e.  from  the noncentrosymmetry  o f the  vicinity  o f the  each  lattice  node.  Thus  the conti­

nuum  description  o f the  honeycomb  plate  requires  to  apply  the  uncentrosymmetrical 

models,  cf.  [11]. 

2 1  H o r v a y ' s  results  [3, 4] y i e l d  the same  d e f i n i t i o n s  o f the  effective  m o d u l i  Л a n d  //. 



398  Т .  L E W I Ń S KI 

The  tensors  p  and  m  are  identically equal  to  zero  for  the  fixed  (cf.  F i g .  1)  coordi­
nate  system  xa.  Thus  the  mentioned  tensors  vanish  in  an  arbitrary  coordinate  system. 

The  following  factors  have  inclined  the  author  to  recall  the  K l e m m ­ W o ź n i a k,  [6], 

derivation  o f  constitutive  equations: 

a)  some  o f  the  components  o f  the  tensor  A  obtained  in  [6]  are  incorrect,  so  that  an 

isotropy  of  this  tensor  as  well  as  its  relation  to  Horvay's  results  could  not  be  revealed 

b)  considerations  have  been  generalised  by  taking  into  account  the  transverse  shear 

deformations  o f  the  lattice  (not  necessarily  prismatic)  rods 

c)  tensors  vp  and  m  vanish.  This  fact  has  not  been  shown  in  [6]. 

4.  The  second  version  of  constitutive  equations  (variant  II) 

New  procedure,  based  on  the  second  (II)  method  (see  Sec.  2.2),  of  defining  the  strain 

energy  density  a,  is  proposed  here.  A  starting  point  is  a  division  of  the  grid  plate  into 

repeated  segments  o f  the  II  type,  their  centres  being  in  main  nodes.  Consider  the  circular 

vicinity (r  ^  / ] / 3 ) o f  the  main  node  „<"', F i g . 6.  Six main  nodes  Лк,  Л  =  I,  II,  к  =  1, 2,  3 

lie  on  the  circumference  r  =  /  j / 3 .  The functions  u", (p  are  assumed  to  be  linear  in the  circle 

r ^ l  | / 3 . Displacements o f  main  nodes  adjoining  the  node  , , / "  can  be  expressed  by  means 

о  

F i g .  6 

o f  the  values  o f  functions  z/*, <p  and  their  first  derivatives  in  this  point.  Displacements  of 

the  intermediate  nodes  Rk,  к  =  I,  II,  III,  can  be  found  with  the  aid  o f  the  conditions 

of  their  equilibrium, analogously  to  the  derivation  outlined  in  Sec.  3.  Tiresome  rearran­

gements  prove  that  also  the  latter  displacements  can  be  expressed  in terms  o f  the  functions 

м ", <p,  Э р и " and  dp<p  referred  to  the  point  Then  on  substituting  these  expressions  into 
А  Л  Л  

slope­deflection  Eqs.  (2.6)  the  internal  forces  Mik^,N(k)  and  T,k)  in  the  middles  o f  the 

rods  i­Rk  (see  F i g .  6) 

Mm  =
  Г^­~1~\­  firle^+rlU­3dk2)x2­(r+s)(Y2I­YI2)L  +  ~­A%»  (4­1) 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  399 

";/'"!<(,;,  Щ Ш  ­ ­ ' / ' ­ I + 

* 
"  ^ ^ . ­ ^  ( З д *2 ­ 1 ) 1 д > + ^ | 8̂ к А ,  (4.1) ^3/  w  3(1+i?)  ™  '  3(1+,?) 

(/­+5)17  Ј / ( 1  л  i / з  r 
N(k) =  j p — j = ­ ­ ­ у 2 ­ | у ( 1 ­ 3 й/ к 2) / х 1 +  ­ y ­ e f c 2 / * 2  + 

+  й ' +  ( 2 ­  З йм ) ]  у ,, + (fj +  3 ó ł 2 ) y 2 2  ­  |/3  e*2<y, 2  + y 2 1 ) J  + 

[cont.] 

V  j / 3  J J * 2  1  >  1. 
(З й *2 ­  1 ) F

2

k ) +  ­ V  — ^  ek2 3(1+7?)  v ­ " " 2  ' ' ' V  3  f+if!W3.<S» 

are  obtained.  F o r  details  the  reader  is  referred  to  [12].  The  components  of  the  state  o f 

strain  computed  in  the  point  „ 1 "  are  denoted  by  yajl  and  xa. 
Compare  Eqs.  (3.4)  and  (4.1).  Neglecting  differences  in  signs,  which  depend  on  the 

numbering  o f  the  nodes,  we  have 

Mm{ya!>,  xa)  =  Mik)(yall,  xa),  TM(yan,  *Q  =  Tw(y<#,  xa), 

provided  there  is  inserted  yap  =  уа Р,  на  =  xa  =  0;  and 

provided  one  substitutes  yaP  =  yaP  and  xa  =  xa.  Therefore,  Eqs.  (3.4)  and  (4.1)  have 

different  right  hand  sides,  if  хл  exist.  This  fact  implies,  what  w i l l  be  shown  further,  that 

the  second  version  analysed  herein  leads  to  the  different  tensors  o f  elastic  moduli  from 

those  obtained  via  W o z n i a k ­ K l e m m ' s  method. 

Proceeding similarly  as  in Sec. 3 an  energy  EU1)  accumulated  in the  rods  i— Rk,  belonging 

to  the  segment  of  the  type  II  (cf.  F i g .  4),  can  be  evaluated.  The  energy  density  a n  =  < т ( л ) 

is  defined  as  a  quotient  E,,jP,P  =  1.5)  3 / 2 .  After  appropriate  rearrangements  we  f i ­
nally  obtain 

O  *V  A  о  A  A ̂ &mJ Л  
О ц  =  on  + af,,  о 'li  =  ра руа Р  +  т

аха, 
i  A  л.  i  л  (4.2) 

°Ч  —  2  л  YapYrS^D  У а ^ Л у + yL  ХаХ р . 

А  А  А  

Tensors  А,  В  and  С  have  the  forms 

=  А *Р у 6,  В 0 " 5 " =  Btf*,  Ьр  =  С да Р,  (4.3) 

where 

^  2 ) / 3  7?(37?­i?)  EJ  л  ] /3[(37?­7?)
2  +  (37?  + ^)]  Ј / 

(I+7?)(37?+r?)  / 2  '  ^  3(1 + ^ ) ( ^  +  3»7)  / '
  У ' } 



400  Т .  L E W I Ń S KI 

Quantities  A,  J  and  rj  are  fixed  according  to  Eqs.  (2.5)  and  (2.9).  The  tensors  A  and % 

are  defined  i n  Sec.  3.  i n  the  case  o f  the  grid  constructed  from  slender  rods  (rj  «  rj),  we 

have 

Л  l v  л  1 +  W  1 ' i v  1  v 

в  =  т в '  c  =  ­ r d f C x T c '  w 
V  .  V 

where  5  and  С  are  defined  by  Eqs.  ( 3 . 8 ) 4 t 5 . 

The  components  o f  tensors  p  and  in  depend,  in  a  complicated  way,  on  the  external 

loads  F?k},  Мш,  к  =  I,  II, III,  subjected  to  intermediate  nodes.  F o r  the  sake  o f  brevity, 

these  formulae  (obtained  i n  [12])  w i l l  not  be  reported  here.  However,  it  is  worth  mentio­

ning  that *paP  ф  0  and  ma  ф  0,  provided  the  loads  in  the  intermediate  joints  exist. 

5.  Estimations  of  elastic  moduli  (resulting  from  the  positive 

determination  of  the  strain  energy) 

Obtained  i n  the  preceding  sections  the  sets  o f  elastic  moduli  (А, ц ,  а,  В ,  C)  and 

(А, Ц , x,  В ,  C)  satisfy  the  conditions  which  yield  from  the  positive  definition  of  the  qua­

dratic  forms  o­j  =  ó \ v ) , О ц  =  с г( Л )  defined  by 

This  fact  follows  from  the  derivation  of  cr ( r )  : e.g.,  w h : n  r  =  I,  the  R H S o f  thj  E q . (3.5) x , 

which  defines  an  energy  Eu)  accumulated  i n thz  rods  belonging to  a  segment,  is  expressed 

by  means  of  integrals  w i t h  positive  integrand  functions;  thus  the  energy  EM  is  positive 
( T )  (  T ) 

definite  for  all arbitrary  values  o f  components  yaP  and  xa.  Nevertheless,  the  explicit  form 

o f  energy  estimations,  which  impose  certain  restrictions  on  the  values  o f  effective  elastic 

moduli,  is worth considering. 

Let  us  transform  the  function  a  (an  index  т  is  neglected  now),  to  the  convenient  form 

for  the  further  analysis 

b~^S#n*m,  « , / = 1 , 2 ,  ..,6,  (5.2) 

where  t]t  =  у и ,  tj2  =  y22,  Ч з  =  У н ,  ЦА  =  У 21,  Vs  —  * i ,  П б =  *г ­  A  coordinate  system 
is  fixed  as  i n  F i g . 1. The  matrix E  can  be  written  i n the  form 

2 / ( 4 ­ A  A  В  

A  2fi +  A  ­ В  

/« +  a  ix —  a  ­ в  

fi — a.  li —a.  ­ в  

В   ­ B  с  

­ B  ­ B  с  



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  401 

By  applying  Sylvester  theorem  the  following  necessary  and  sufficient  conditions  for  the 

matrix  S  to  be  positive  definite 

ft  >  0,  a  >  0,  /< +  Я  >  0,  С  >  0,  В2  <  С /л  (5.3) 

are  obtained.  Positive definition  o f  the  quadratic  form  (5.2)  does  not  depend  of the  choice 

o f  a  coordinate  system.  Therefore,  the  inequalities  (5.3)  are  sufficient  for  a  to  be  positive 

determined.  Note  yet  that  the  sign  В  (which depends  on  the  choice  o f  main  nodes)  does 

not  affect  i n  (5.3).  The  inequality  (5.3)5  shows  that  the  moduli  В  and  С  are  not  arbitrary; 

this  estimation  can  be  treated  as  an  upper  bound  for  В  or  a  lower  one  for  C . 

6.  Effective  Young  moduli  and  Poisson's  ratios 

The  tensor  A  (symmetrised  in  respect  to  both  pairs  of  indices)  can  be  written  in  the 

form 

dMHv»)  =  .  _ ^ l _ s
a f i d v t +  i­  « " о * ")  (6.1) 

1 +vt  [I­Vi  2 

similar  to  that  known  from  a  classical theory  o f  a  plane­stress  state. 

M o d u l i  Ј ,  and  j ' t ,  being  effective  Y o u n g  and  Poisson  constants,  can  be  expressed  by 

means  o f  Horvay's  [3]  formulae 

E  =  4/г Сц +  Я)  _ 4  E 
1  '  2ц + Х  j / 3 n ( q +  3)  ' 

(6.2) 
Я  7 ? ­ l 

V i  ~  2/i+X  ~  ~Щ +3' 

Energy  inequalities  (5.3)  imply  estimations 

Ex  >  0,  ­  1 <  v,  <  1,  (6.3) 

weaker,  than  those  known  from  a  classical  three­dimensional  theory  o f  elasticity:  E  >  0, 

­ 1  <  v  <  1/2.  Effective  Y o u n g  and  Poisson's  moduli  can  be  defined  in  different  way, 

taking  as  a  starting  point  the  reverse  form  of  the  constitutive  equations  (2.13) 

­ i  ­ l 

У О С /J  =  Aal>YÓp
vó + B^Ym'' + y*p, 

*« =  Варур  ̂ + Са Рт
р  +  ^ 

­ i 

Displaying  the  symmetrized  part  o f  the  tensor  A  in  the  form 

We  obtain 

_  Щ  + !*)(у ­В2/С )  X + B2IC  . 
2  2ju + X­B2/C  '  2  lp+\­B2IC  '  K ) 

It  is  not  diffucult  to  prove  that  constants  Ea,va,  a  =  1,2,  satisfy  inequalities 
E2<  Elt  v2>  vt  (6.6) 

Mech,  Tcoret.  i  Stos.  3­4/84 

(6.4) 



402  Т .  L E W I Ń S KI 

and 

E2  >  0,  ­ 1  <  v2  <  1,  (6.7) 

the  latter  of  which  are  identical  with  (6.3).  Note  that  moduli  E2  and  v2  do  not  depend 

of  a  constant.  In  the  case  o f  В  =  0,  we  have  Ј \  =  Ј 2 ,  =  j»2, of  course. 

M o d u l i  E2  and  v 2  depend  on  the  choice  of the  version  (I  or  II)  o f  constitutive  relations; 

this  dependence  is weak  i n  the  case  of  slender  lattice  rods  (cf.  Figs.  7,  8)  since  then,  accor­
А  Л   V  V 

ding  to  (4.5)  one  obtains  B2jC  X  B2/C.  The  patterns  of  variation  of  effective  moduli 

F i g .  8 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  403 

Ei,vi,  E2,v2,  E2,vi  and  a  depending  on  the  ratio  Q  are  shown  in  Figs.  7,8.  The 
diagrams  were  made  under  the  the  assumption  r\ =  rj.  It  is  readily  seen  that 

UmEa((>)  =  0,  l i m r a ( p )  = 1 ,  a  =  1,2. 
0­>O  e­*"i 

A n  analysis  of  variation  o f  moduli  В  and  С  w i l l  be  presented  in  a  separate  paper. 

7.  Governing  equations  in  terms  of  displacements.  Boundary  value problems 

Consider  a  lattice­type  honeycomb  plate,  F i g .  9,  whose  mid­surface  is  referred  to 

cartesian  coordinate  system  Xя.  Assume  the  family  o f  main  nodes  according  to  F i g . 9­

i \  part  .Г,  of  the  boundary  is  loaded  by  forces  and  couples: p"  and  in.  O n  Г2  —  displa­
cements  it" and  <p  are  k n o w n . The  loads  subjected  to  internal  main  nodes  are  approximated 

by  functions  p",  Y3.  The  loads  in  intermediate  nodes  are  characterized  by  tensors  p* 
and  m*. 

F i g .  9 

Substituting  constitutive  Eqs.  (2.13)  into  equations  of  equilibrium  (2.14)  (where  aa) 
has  the  form  (3.6),  provided  i  =  1  or  (4.2),  provided  i  =  II),  and  taking  into  account 

strain­displacement  relations  (2.12),  the  governing  set  o f  equilibrium  equations  in  terms 

of  displacements 

[(2// +  А) 8] + Qi+a)  d\\ ux  + [ ( A + f i ­  a) S,  82] и
2  +  [В (д \  ­  8\)  + 2ad2] cp + 'p

1  =  0, 

[ ( Д +  lu­a)8l82)u
l  +  [(2ц +).)822  + (р + *)8

2}+[­2В 8{  82­2<x8l](P  + 'p
2  =  0,  (7.1) 

[B(8\  ­  8\)­2aS2]»'  +  [ ­ 2 B 8 l  d2  + 2*8l]u
2  + [C(82  + 822)­4a]<p +'Ч '

3  =  0, 

where 

У  =  Pa+  З р р ",  'Y3  =  Y3  + dam  + eaf>p
al>  (7.2) 

are  obtained.  The  mixed  boundary  value  problems  are  formulated  due  to  W o ź n i ak  [2]: 

find  the  functions  ua  and  <p  satisfying  Eqs.  (7.1)  and  boundary  conditions 

"a  =  <p  =  <P  on  Г 2  3 ) 

Pal>"p  =  P * «  mana  =  m  on  J T I , 

where  n"  denote  components  o f  a  unit  vector  normal  to  the  boundary. 



404  Т .  L E W I Ń S KI 

8.  F i n a l  remarks 

T w o  versions  of  the  lattice­type  hexagonal  plate  theory  (in  plane­stress  state)  based 

on  the  various ways o f defining  density  of strain  energy  of the  structure  have  been derived. 

It  is  worth  distinguishing between  similarities  and  differences  of  the  presented  variants 

by  W o ź n i a k ­ K l e mm  and  by  the  present  author. 

i)  stress  tensors  (p,m)  and  (p,  m),  and  strain  measures  (у ,  У С), (у ,  x)  as  well  as  displa­
cements  ua,  cp are  referred  to  intermediate  (version  1)  or  to  main  nodes  (version  II).  This 

is  not  in contradiction with  the  fact,  that  in both  cases,  functions  ua,  <p  approximate  displa­

cements  o f  main  nodes 

ii)  in  both  versions  constitutive  equations  have  similar  form;  specifically,  tensors  A 

and  A  are  identical.  The  components  of  A  are  expressed  by  moduli  А, ц  and  a  which  do 

not  depend  o f  the  length  , , / "  o f  the  bars,  but  depend  on  the  slenderness  ratio  v,  only. 

The  qualitative  differences  occur  between  the  tensors  В  and  C ,  dependent  explicitly  on 

„ / "  and  , , / 2 " ,  respectively.  The  mentioned  moduli  describe  a  „ m i c r o s t r u c t u r e "  o f  the 

grid  plate  and  determine  a  scale  effect 

i i i )  The  physical  meaning  of  equilibrium  Eqs.  (2.14)  is  different  in  both  versions.  In 

K l e m m ­ W o z n i a k ' s  approach,  Eqs. (2.14)  can  be  understood  as  approximate  conditions  of 

equilibrium  o f  all  o f the  repeated  segments  o f  the  I type  (cf.  F i g .  4);  thus  the  equilibrium 

o f  intermediate  nodes  is  satisfied.  It  is  worth  emphasising, that  the  latter  conditions  have 

been  utilised  in  the  course  o f  derivation  of  the  stress­strain  relations.  E q u i l i b r i u m  o f  the 

segments  (I)  does  not  imply  the  equilibrium  of  main  nodes.  Therefore,  only  the  necessary 

equilibrium  conditions are  satisfied.  In  the  second  version, Eqs.  (2.14)  express  equilibrium 

conditions  o f  segments  o f  (II)  type,  hence  the  equilibrium  equations  of  main  nodes  are 

fulfilled.  The  equilibrium  equations  of intermediate  nodes  have  been  satisfied  in the  course 

o f  the derivation o f  stress­strain  relations. Therefore  both sufficient and  necessary conditions 

are  fulfilled 

iv)  the  essential  quantitative  difference  between  two  analysed  approchcs  results  from 

the  fact,  that  in  the  II  (second)  version  tensors  V  an  m  do  not  vanish,  whereas  in  the 
first  one  these  tensors  are  equal  to  zero.  Therefore,  in  II  variant,  constitutive  equations 

depend  on  the  loads  subjected  to  intermediate  nodes  o f  the  lattice,  whereas  the  loads 

i n  main  nodes  occur  in  the  R H S  of  equilibrium  equations.  In  the  governing  equations 

(7.1)  all  of  the  loads  have  effect. 

In  version  I  diffuculties  occur,  when  loads  in  main  nodes  are  taken  into  account, 

because  in  the  R H S  of  (2.14)  only  these  loads,  which  are  subjected  within  the  segment 

(I),  can  be  included. Therefore,  perhaps,  in the  first  variant  the  loads  in main  nodes  cannot 

be  considered. 

In  the  subsequent  papers  an  attempt  w i l l  be  made  to  evaluate  the  range  o f  applicability 

of  the  considered  versions  o f  Wozniak's  lattice­type,  honeycomb  plate  theory.  It  w i l l 

be  shown  that  valuable  results  can  be  obtained  using  the  methods  o f  solid  state  physics 

cf.  [13]. 



H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S  405 

References 

1.  J .  B .  O B R Ę B S K I,  Statics of  hexagonal lattice­type  structures,  I P P T  R e p o r t s ,  36,  1972. 

2.  C .  W O Ź N I A K,  Lattice­type shells  and plates (in  P o l i s h ) ,  P W N ,  W a r s a w  1970. 

3.  G .  H O R V A Y ,  Thermal stresses  in  perforated  plates, P r o c .  F i r s t  U S  N a t i o n a l  C o n g r e s s  i n  A p p l .  M e c h . , 

2 4 7 ­ 2 5 8 , 1 9 5 2 . 

4.  G .  H O R V A Y ,  N .  Y .  S C H E N E C T A D Y ,  The  plane­stress  problem  of  perforated  plates,  J .  A p p l .  M e c h . ,  19, 

3 5 5 ­ 3 6 0 , 1952. 

5.  С .  W O Ź N I A K,  P .  K L E M M ,  The  elasticity  of dense grids of composite  structure  ( i n P o l i s h ) ,  E n g n g .  T r a n s . . 

18,  3,  4 1 5 ­ 4 4 0 , 1970. 

6.  P .  K L E M M ,  C .  W O Ź N I A K,  Dense  elastic lattices of  hexagonal type, ( i n  P o l i s h ) ,  M e c h .  T e o r e t .  Stos., 

8,  3,  2 7 7 ­ 2 9 3 , 1970. 

7.  С .  W O Ź N I A K,  Discrete  elasticity,  A r c h .  M e c h . ,  2 3 ,  6,  1971. 

8.  С .  W O Ź N I A K,  Discrete  elastic Cosserat  media,  A r c h .  M e c h . ,  2 5 ,  2,  1 1 9 ­  136,  1973. 

9.  S.  K O N I E C Z N Y ,  F .  P I E T R A S ,  С .  W O Ź N I A K,  On  linear problems in discrete theory  of  elasticity.  E n g n g , 

T r a n s .  2 0 ,  2,  1972. 

10.  S t .  B Ł A S Z K O W I A K ,  Z .  K A C Z K O W S K I ,  Cross  Method,  P W N ,  W a r s a w  1959 ( i n  P o l i s h ) . 

11.  W .  N O W A C K I ,  Theory  of  unsymmetrical elasticity, P W N ,  W a r s a w  1981  ( i n  P o l i s h ) . 

12.  T .  L E W I Ń S K I,  Continuum  models of  lattice­type  hexagonal plates,  D o c t o r s  T h e s i s ,  T e c h .  U n i v .  i n 

W a r s a w ,  1983 ( i n  P o l i s h ) . 

13.  I. A .  K U N I N ,  Theory  of  elastic  media with  microstructure  ( i n  R u s s i a n )  N a u k a ,  M o s c o w  1981. 

Р е з ю ме  

Д ВЕ  К О Н Т И Н У А Л Ь Н ЫЕ  М О Д Е ЛИ  ( П О  В О З Н Я К У)  Г Е К С А Г О Н А Л Ь Н ЫХ  С Е Т Ч А Т ЫХ  

П Л А С Т И Н ОК  

В  р а б о те  в ы в о д я т ся  д ве к о н ц е п ц ии  к о н т и н у а л ь н ой  о п и си  г у с т ы х,  у п р у г и х,  г е к с а г о н а л ь н ых  

с е т ч а т ых  п л а с т и н о к.  О бе в е р с ии  б а з и р у ю т ся  н а  т е о р ии  В о з н я к а,  в  к о т о р ой  п о в е д е н ие  с е т ч а т ых  

П о в е р х н о с т н ых  к о н с т р у к ц ий  о п и с ы в а е т ся  п ри  п о м о щи  м о д е ли  К о с с е ра  с  в о л о к н и с т ой  с т р у к т у р о й. 

П е р в ая  в е р с ия  я в л я е т ся  о б о б щ е н и ем  и  р а з в и т и ем  т р у д ов  К л е м ма  и  В о з н я ка  п о с в я щ е н н ых  с е т ч а­

т ым  п л а с т и н к ам  с о с т р у к т у р ой  с о т ов  м е д а.  В о в т о р ой  в е р с ии  п р и н я ты  и н ые  п р е д п о л о ж е н ия  к а­

с а ю щ и е ся  м е т о да  о п р е д е л е н ия  у п р у г о го  п о т е н ц и а ла  п л а с т и н к и.  П о л у ч е н н ые  м о д е ли  д а ют  р а з н ые  

> > м и к р о п о л я р н ы е"  к о н с т а н ты  {В , С ),  в ы з ы в а ю щ ие  м а с ш т а б н ые  э ф ф е к т ы. 

И с с л е д о в а ны  о г р а н и ч е н ия  в ы т е к а ю щ ие  и з п о л о ж и т е л ь н о с ти  э н е р г ии  д е ф о р м а ц ии  и  п о к а з а н о, 

ч то  м о д е ли  В и С с в я з а н н ые  н е р а в е н с т в ом  В2  <  C/t,  г де  /« —  э ф ф е к т и в н ый  м о д у ль  Л я м е. 

В  р а б о те  в ы в о д я т ся  у р а в н е н ия  в  с м е щ е н и ях  и  с о о т в е т с т в у ю щ ие  к р а е в ые  у с л о в и я. 

S t r e s z c z e n i e 

D W A  K O N T Y N U A L N E  M O D E L E  ( T Y P U  W O Ź N I A K A)  H E K S A G O N A L N Y C H  T A R C Z 

S I A T K O W Y C H 

W  p r a c y  p r z e d s t a w i o n o  d w i e  koncepcje  o p i s u  k o n t y n u a l n e g o  g ę s t y c h,  s p r ę ż y s t y c h,  h e k s a g o n a l n y c h 

' a r c z  s i a t k o w y c h .  O b i e  wersje  b a z u j ą  n a  t e o r i i  W o ź n i a ka  — a p r o k s y m a c j i  z a c h o w a n i a  się  d ź w i g a r ów 

s i a t k o w y c h  z a  p o m o c ą  m o d e l u  matematyczneg o  d w u w y m i a r o w e g o  o ś r o d ka  C o s s e r a t ó w  o  w ł ó k n i s t e j 

strukturze.  P i e r w s z a  wersja  s t a n o w i  u o g ó l n i e n i e  i  r o z w i n i ę c ie  w y n i k ó w  pracy  K l e m m a  i  W o ż n i a ka  d o t y ­
c z ą c ej  siatek  o  s t r u k t u r z e  plastra  m i o d u .  W  drugiej  wersji  p r z y j ę to  nieco  inne  z a ł o ż e n ia  d o t y c z ą ce  sposo­

bu  d e f i n i o w a n i a  p o t e n c j a ł u  s p r ę ż y s t e go  tarczy.  O t r z y m a n e  wersje  p r o w a d z ą  d o  i n n y c h  z e s t a w ó w  s t a ł y c h 

» m i k r o p o l a r n y c h "  ( S , C ) o d p o w i a d a j ą c y ch  z a  efekt  s k a l i .  Z b a d a n o  o g r a n i c z e n i a  w y n i k a j ą ce  z  w a r u n k u 

dodatniej  o k r c ś l o n o ś ci  energii  o d k s z t a ł c e n i a  i  w y k a z a n o ,  ż e  s t a ł e  В  i  С  p o w i n n y  s p e ł n i a ć  n i e r ó w n o ś ć  

B2  <  C/t,  gdzie  /< — z a s t ę p c zy  m o d u ł  L a m ć g o.  W y p r o w a d z o n o  r ó w n a n i a  „ p r z e m i e s z c z e n i o w e "  i  s f o r m u ­

° w a n o  d o p u s z c z a l n e  w a r u n k i  b r z e g o w e . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  26  kwietnia  1983 roku