Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 
3 ­4,  22  (1984) 

D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  O F  H E X A G O N A L ­ T Y P E  G R I D  P L A T E S 

T O M A S Z  L E W I Ń S KI  ( W A R S Z A W A ) 

Politechnika  Warszawska 

Instytut  Mechaniki  Konstrukcji  Inż ynierskich 

1.  Introduction 

The  subject  of  the  present  paper  is  an  analysis  o f  various  differential  models  appro­

ximating  deformations  of  dense,  elastic,  hexagonal­type  (honeycomb)  plates  in  plane­

stress  state. 

The  simplest  mathematical  model  describing  honeycomb  plate  response  is,  so  called 

in  engineering  literature,  technical  isotropy,  cf.  [1,  2].  Elastic  properties  are  determined 

by  two  effective  moduli  e.g.  effective  Y o u n g  modulus  and  effective  Poisson's  ratio.  These 

characteristics  have  been  found  by  Horvay  (see  [1])  in  1952;  some  adjustments  concerning 

the  deformability  of  nodes  have  been  proposed  in  [2]. 

M o r e  accurate  approximation  yields  from  Wozniak's models  of  grid  surface  structures 

based  on  the  two­dimensional Cosserats'  media theory,  [3]. A m o n g  many  papers  pertaining 

to  the  response  o f  lattice­type  plates  of  simple  and  complex  layout  (the  list  of  them  has 

been  published  in  [3])  the  only  one  [4]  is  devoted  to  hexagonal  surface  structures.  Gene­

ralisation  and  extension  of  Klemm's and  Wozniak's results  are  presented  in  [5].  However, 

in  the  latter  work,  some  new  questions  occur  concerning  the  existence  o f  two  different 

variants  resulting  from  Wozniak's  approach.  One  aim  of  the  present  work  is  to  elu­

cidate,  why  more  than  one  version  (in  a  frame  of one  Cosserats'  model)  can  exist.  In  order 

to  achieve  the  answer  a  new  look  at  the  problem  is  necessary. 

,,Phenomenological"  approaches  (resembling  to  that  of  W o ź n i a k,  for  instance)  w i l l 
n o t  be  applied  here.  Differential  approximations  for  difference  equilibrium  equations 

°f  the  lattice  w i l l  be  found  by  means  of  Rogula  and  K u n i n  quasicontinuum  method, 

[6,  10], analogy  between  the  mentioned  difference  equations  (yielded  from  the  well  known 

displacement  method)  and  crystal  lattice  equations  resulting  from  harmonic  approxima­

tion  [6,  7]  being  utilised. Such  a  method  makes  it  feasible  to  carry  out  a  consequent  accu­

racy  analysis  o f  the  proposed  models  and  in  particular  allows  a  new  look  at  Wozniak's 

theory;  a  separate  paper  w i l l  be  devoted  to  the  latter  problem.  Derivations  performed 

Via  the  R o g u l a ­ K u n i n  approach  result  from  physically clear  approximations.  Nevertheless 

the  obtained  differential  models  of  higher  order  than  zero  do  not  satisfy  stability  con­

ditions  (in  the  spirit  o f  K u n i n  [6],  for  example).  Thus  the  derived  models  cannot  be 
u sed  for  analysis  of  boundary  value  problems.  A  simple  method  of  formulating  a  stable. 



4 0 8  Т .  L E W I Ń S KI 

well  established  Cosserats'  type  model  derived  from  Ro g u la­Ku n in ' s  differential  appro­

ximations  w i l l  be  presented  i n  a  separate  paper.  In  the  prepared  work  a  comparison  of 

Wozniak's  and  modified  Rogula ­Kunin' s  Cosserat  models  w i l l  be  carried  out. 

It  is  worth  emphasising  that  more  complicated (of  higher  order  than  one)  continuum 

descriptions  o f  hexagonal­type  grid  plates  can  be  formulated  as  stable  models  via  appro­

priate  generalisation  o f  K u n i n ' s  methods  [6];  but  the  mentioned  topics  exceed  the  scope 

o f  the  present  paper. 

2.  Preliminaries.  Basic  assumptions 

Consider  elastic  grid  plate  (in  plane­stress  state),  cf.  F i g . 2.1  i n  [5],  axes  o f  the  rods 

constitute  a  honeycomb  layout.  A  thickness  of  the  plate  is  assumed  to  be  o f  unit  size. 

Rods'axes  form  hexagons  the  length  of  sides  being  equal  to  /.  The  rods  are  assumed  to 

have  two  axes  o f  symmetry,  cross  section  areas  and  moments  o f  inertia  can  vary. Lattice 

rods  are  made  o f  elastic  homogeneous  and  isotropic  material  whose  elastic  properties 

are  determined  by  Y o u n g  modulus  E  and  Poisson's  ratio  v.  Considerations  are  confined 

to  the  grids  composed  o f sufficiently  slender  bars  so  as  to  their  deflections  could  be  decri­

bed  by  means  o f  the  improved  theory  o f  rods,  where  transverse  shear  deformations  are 

taken  into  account.  External loads  are  assumed  to  be  subjected  in­plane  and  concentrated 

in  nodes  only. 

Notations,  sign  conventions  o f  the  external  loads  (forces  and  moments),  of  displa­

cements  and  o f  internal  forces  as  well  as  slope  deflection  equations  are  assumed  as  in 

the  previous  paper  [5]. 

Proceeding  analogously  as  in  [4,5]  two  families  of  nodes:  main  and  intermediate 

are  distinguished, F i g .  1.  T o  each  main  node  a  pair  o f  integer  numbers  m  =  {т ц /п А  

is  assigned.  Cartesian  coordinates  x m  of  a  node  m  and  a  vector  m  are  interrelated  by 

means  o f  the  formula 

x­  =  n . » ,  a  =  6 ­ [ J  B = L ^ ­  ( 2 1 ) 

M a i n  node  displacements  are  denoted  as  follows 

"• I,  =um  =  w'(x
m),  H m =  vm  =  м

2 ( х т ) ,  wi  =  (fm  =  99(x
m).  (2.2) 

Forces  and  moments  subjected  to  main  m  and  intermediate  m'  nodes  are  denoted  by 

pm  _  y r a ( x m ) ;  fm  =  M(X*),  F™' =  / ™ ( х
т ' ) ,  Ff  =  M ( x m ' ) ,  « = 1 , 2 .  (2.3) 

Each  main  node  m  is  surrouned  by  six  main  nodes  mj,  J  =  I ,  V I 

xmj  =  xm­tj  (2.4) 

which  lie on  the  circumference  of  the  circle  r  =  b  =  1\/Ъ  (t,:  vectors  are  shown  in  F i g . 1) 

and  by  intermediate  nodes  m),  /  =  a,  b,  с  



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  409 

F i g .  1 

Without  afraid  of misunderstandings  one can  write  also 

m —  ITIJ  =  t j ,  m ­ n i j  =  Xj, 

where 

t,  =  (0, ­ 1 ) ,  t „ =  ( + 1 , ­ 1 ) ,  t , „ =  ( 1 , 0 ) , 

t / K  =  (0, 1),  ty =  ( ­ 1 , 1 ) ,  tvl  =  ( ­ 1 , 0 ) , 

and 

z a  =  ( ­ 2 / 3 ,  1/3),  z b =  ( 0 , ­ 2 / 3 ) ,  z c =  (2/3,  1/3). 

In  the course  o f the  procedure  a  discrete  Fourier transform  (cf.  [9], [10])  w i l l  be  applied. 
Discrete  Fourier transform  of a  discrete  argument  function fm  is defined  with  the aid  o f 
the  formula* ) 

/ ( k )  =  P ­ 2 e ­ k = ( k 1 , k 2 ) 
m 

where P  —  1,5 y3l2  denotes  a hexagon's  area  indicated by a dot  line  in  F i g .  1. 

(2.5) 

3.  Difference  equilibrium  equations  referred  to  mains nodes 

Slope  deflection  equations  (which  express  internal  forces  in terms  of displacements, 
see  (2.6),  [5]) make  it  possible  to  f i n d  equilibrium  equations  o f each  node  o f the  grid. 
However,  these  difference  formulae  vary  depending  on  intermediate  nodes.  B y 
utilising  equilibrium  conditions o f the  latters  it is feasible  to  eliminate  displacements and 
rotations  of the  intermediate  nodes  and  then to arrive at rrtain nodes'equilibrium  equations 
involving  displacements  o f  main  nodes  only.  These  formulae  w i l l  be  called  difference 

"  N o t a t i o n s  used  i n  R o g u l a ' s  p a p e r  i n c l u d e d  i n  [10]. 



4 1 0  Т .  L K W I Ń S KI 

equations  referred  to  main  nodes.  A brief  derivation  of  these  equations  is presented be­

neeth;  more  detailed  procedure  can  be found  in [12]. 

A  starting  point  of the  derivation is a set  of equilibrium  conditions of the  intermediate 

a, b and  с nodes  which  surround  the  main  node  m.  Equations  of  equilibrium  of  the  node 

a  have  the form  (the proof  is  omitted  here) 

1  _  l>3 
­  y 0 + 3 » j ) ­  ( й  +  й К у ) ­ 2 й и +3  • (1 +  / ? ) й ,+  ~­(n­\)(v­vvl)  + 

1 1  i)  I2  * 
­  T<P­  y ? V / + c v ­  E j F . = b > 

2~^~  ^  & ­ u v l ) ­ у  (fj + 3) • (v + vy,)­2ri  • vv  + 

l / 3  fi  I2  *  ( 3 . 0 
+ 3 ( 1 + 4 ) 5 . +  Ц ­(<Pv  i ­ < F ) F *  = °. 

1  / ­  ­  щ ­ ч  | / 3  ­  .  З п  +  П  
—{и +иУ 1­2иу)+  ­

Lj~(v­vVI)  +
  гщ  •  <рл+ 

3fi — 7]  Ti  I  * 

where 

(3.2) 
(fi,  Щ , И /,  V,V,,Vj)  =  (t/m,  Um,  Uj\Vm,  Vm„  Vj)jl, 

<P  =  <Fm,  ?i =  <fmn  '  = Л — »  ./ =  a, b, c. 

Quantities  // and  /у stand  for  slenderness  ratios  o f  grid  bars,  EJ  denotes  an effective  fle­

xural  stiffness  (cf.  [5],  Sec. 2.1). 

Note  that  the  set  o f equations (3.1)  is decoupled  with  respect  to  и », юл and  <рл  unknowns. 

Thus  it is easy  to express  these  quantities  in terms  o f displacements  o f main  nodes m, 

m v  and  mVi  and  in  terms  o f  the  loads  subjected  to a. 

The  equations  of equilibrium  o f b and с  nodes  assume  an analogous  form  (which 

will  not be  reported  here).  Thus  the  intermediate  nodes'displacements  Wj,j = a, b, c, 

can  be  expressed  by means  of main  nodes'displacements  wm  and  wm,  i =  / „ . . . ,  VI  and 

with  the  aid  of  the  loads  subjected  to intermediate  joints,  i.e. the functions Щ  

<  4  h%w"m;  w m , ;  Ff, Щ ,  а =  1, 2, 3,  а =  1, 2,  / =  a, b, с,  i = /,  VI 

(3.2) 

are  known,  where,  according to (2.2),  vt'1 = u, w2  = v, it'3  =  <p. 

Let  us write  equilibrium  equations  of  the  m's  node 

1  V73 
­  2  (I + 3 ^ ( и , + ис ) ­ 2 и И ­ 3 (1  +г ))й +  y ­ C 7 ­ l ) ( o . ­ © ć )+ 

^2~(й ,­  Mt) ­  \  (ij + 3)•  (v.  + vc) + 3(1+  ф ­2rj  • vb +  у ( < p . ­  <fc)­ ^  •  : • F
2  = 0, 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  4 1 1 

y ( " . 

+  

2мь + йс) 
1 3 ,~  ­  ч  3w + w 

(3.3) 

[cont.] 

6T] 
(с р п +  (р ь +  <р с )­

6rj 

I 

EJ 
M  = 0. 

By  inserting  (3.2)  into  (3.3)  the sought  equilibrium  equations  o f the m's node  referred  to 
main  nodes  only  (i.e.  to m and m,, i = 1  V I nodes)  are arrived  at.  These  equations 

can  be displayed  in the  following  discrete­convolution form 

3  3 

­p  22  0Tfl­a)<+p  E 2 s$~m,) • h+K ­ o.  (3.4) 
where  a, ft =  1, 2, 3;  n, m  denote  main  nodes.  Summation  with  respect  to  n  extends 
(for  the m fixed)  on seven  vectors: n =  m and six vectors  such  that  |m —n|  =  b. F o r  other 
pairs  (m, n)  Ф а ™

­ П )  =  0.  Summation  with  respect  to  m'concerns  three  vectors  m' =  m — 
— Zj,  J  =  a, b, c.  F o r others  S(™­m">  =  0.  Nonvanishing  components  of the  matrix  Ф <Ј> 

read 

0(0) 

Ф <«}> = 

ф («|) 

0(Uv) 

ф (.,п, 

4 

У З  
rj2  +  6rj+\ 

rj+\  »? +  З г7 

Ј 7 
Is  ' 

t  .4/ 
'з  ч  V 

4и  /  и  1+3??  \  EJ 

Г  2  и 2 
ф < 1 и /)  =  —  _  '  ­  н  

[  |/з  п (л +1ч ) 
4r)  (­З г )2­6г ]+1)1  & / 

6 |  3 >; '  i + ч  j /
5 ' 

ф и /i) 
4г?  г/ 

+ 
Ч  

( ч ­ Р2 
60?+1) 

­1 

EJ 

7*" 

3?; + ??  3(г ?+1) 

ф <<;>  = 
­4n(r]­\)  EJ 

3(ч + 1) 
(3.5) 

=  ф ( » „ ).  _ J 4 _  [ ч ­ зч  +  i ­ з ч ].  3 EJ 
4~  ' 

ф (<И  = 
2у  \y­3rj  +  1 +3>/  J Ъ \/Ъ 'г )  [ ч  +  З г?  '  1 + 1 /  J  / 

4??  Г  З г7 — ?7  1 

Ј 7 
4  ' 

3 | / 3  ­г? [ З г/ + »?  1+г/ 

'/",'!  "<>  for  /  =  / , Я ,  Ш  

for  У =  / К ,  V,  VI 

2  + 6 ł ? + l  3JJ 

EJ 

1+ 

| ф ( 0 ­ , „) 
т  
т  

4г )  Г rj2 

7W[~  3r/ + r?  s  » 

file:///y-3rj


4 1 2  Т .  L E W I Ń S KI 

Ф22  =  *22rt =  Ф 2 2 У )  ~  Ф22  = 
­4y(>i + 3) EJ 
3 0 / 5  ' 

2»? 
ф ('/»)  =  ф ('> /) = 

j/3­5J  [1V  +  V  3­(1+^) 

3?7  fj2 — 6r] — 3  EJ 
P ' 

tiitvi)  =  ­ ф « » /)  =  t 4 ­ ^  ^ 
2 3  2 3  3  ­0? +  З г у)  / 4  ' 

^ 2 3  [ 77 — 1  79 — 377 1 Ј У  
ч +f  ~  ł?+3łi J'  7 * " ' 

4т?  EJ 

3(ч +1)  '  / 4 ' 

(3.5) 
[cont.] 

Ф30> 

О Д  

| ф ^  + / „ )  f o r  /  _  j f 7 / )  / / / 

for  J  =  / К ,  К,  VI 

Р = 1,2, 

­ 4г? 
+  2(71+377)  _  m­3ijf . 1  Ј f 

|/3  ч О + J Ż)  У '3'»?  3̂ /3̂ (77 + 377)]'  / 3 ' 

Г  2ч  2 ^ ­ З т ? )2  1  EJ  J = / 

[  3]7з ­ ч ­ О + ч)  9 ] / з ­ ч ­ ( ч + З ч )]  / 3 ' 

Nonvanishing  components  of 5^?  have  the  form 

(l+3i?) 
S<z=> =  S№> = 

9|/3­(l+4) 
/ ­ 2 ,  = 

9]/3­(1+Ч) 

S\V  =  ­ S g d =  • Z " 2 ,  =  ­S®>  =  Д О , 

5(Za)  ­  e(Zc) _  _25
<zb) =  ?5 

1 3  1 3  1 3  З . / З ­̂  + З т ?) 

9|/3­(4+l) 

«ад  =  _ ? 4 _ . 
2 3  3(4 + 3/7) 

44 
9 ]/3­(4+1) 

• /•  

(3.6) 

° 3 2 

?У З ;(1+Ч) 
­ / •  

=  ­ Ą 2C )  =  ! / 9 / > 

C(Za) _  C(Zb) _  O(Zc)  . 2?  !L .1­2 
л зз  з̂з  з̂з  9 j / 3  3 ^ 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  413 

4.  Main  node  equilibrium  equations  in  k­representation 

A  formal  derivation  o f  equilibrium  equations  in  k­representation,  similar  to  that  of 

Rogula  and  K u n i n ,  see  [6,  10],  concerning  crystal  lattices,  wil l  be  presented  herein.  O n 

performing  the  discrete  Fourier  transform  (cf.  (2.5))  o f  Eqs.  (3.4),  algebraic  equations 

3  3 

­  J Ј  Фа у Р(к )  w
p(k)  +  Ј  $*<k) F„(k)  + Fa(k)  =  0,  (4.1) 

/ )=! P=l 
where 

Ф а / 5( к )  m  p  Је­""*
тФ $>,  и *Ч к)  =  p Ј е ­ * *и  •  wL 

m  m 

О Д Ю  =  P%e­*'"^,  Р , ( к)  =  P  • ^ e ­ ' k " m '  •  (4.2) 
s  m' 

Fe(k)  =  P 2  e ­ * »
e  • Ј < ­ ) , 

m 

are  obtained.  Vectors  s  assume  all  the  values  m  —m'.  The  Eqs.  (4.1)  have  been  found  with 

the  aid o f the  theorem  on  the  transform  o f convolution equations,  cf.  [10]. The  summations 
л  — 

in  definitions  of  Ф а /)  and  Sap are  finite.  By virtue  of  (2.4)  we  arrive  at 

vi 

P ­ '  • Ф а Д к )  =  Ј e * *  •  С
4 ­ 3 ) 

J=I 

Similarly 

P - 1 - S J Q L ) =  Ј  е л ^ . ^ ).  (4.4) 

"  y=a,b,c 

5.  Formulation  of  differential  approximate  models 

A  set  o f  k­representation  Eqs.  (4.1)  is  a  starting  point  (cf.  [6])  to  obtain  differential 

equations  approximating  discrete  argument  functions  being  solutions  o f  (3.4).  The  known 

functions  Ф а /) and  Sup  can  be  expanded  in power  series  with  respect  to  the  variables  i k , , i k 2 

­  P ­ 1  • Ф а „(/с а )  =  Cfp B y . ,  SafS{k„)  =  s#  , 
.  (5.1) 

H y  =  i"kyf,  i  =  у  — 1  ,  (not  summed) 

where  fi  denotes  a  multiindex,  cf.  [11]  p.  77.  Substituting  Eqs.  (5.1)  into  (4.1)  and  then 

carrying  out  an  inverse  integral  Fourier  transformation,  differential  equations  o f  equili­

brium  in  x­representation 

C t p d ^ w ^ i x ^ + P ­ =  0,  a , j 5 , f f =  1 , 2 , 3  (5.2) 

where 

P  =  P­\Ffi,  pP^P­i­F,  (5.3) 



4 1 4  Т .  L E W I Ń S KI 

are  arrived  at.  In  order  to  avoid  misunderstandings  let  us  display  first  few  terms  of  the 

expansion 

3  3 

3 

3  3 

+  2  2  c S r « * M « ^ +  2  2  c$rdkat8m3„wi'+.... 
Bml k.l.m  P= I k.l.m.n 

Coefficients  CJ$  are  proportional  to  consecutive  powers  o f  the  quantity  6  which  express 

a  spacing  o f  main  nodes  o f  the  grid.  The  Eqs.  (5.2)  w i l l  be  assumed  to  be  of р ­о т о с т  pro­

vided  the  coefficients  Q ' , ' proportional  to  bs,  s  ^  p,  are  retained.  It  wil l  be  said  that  Eqs. 

(5.2)  are  of  />­order  with  respect  to  the  displacement  u(v  or  <p)  provided  all  the  terms  i n ­

volving  и  (v  or  <p)  proportional  to  bs,  s  ^  p,  are  taken  into  account  and  the  other  terms 

are  assumed  to  be  negligible. 

Substitution  of  infinite  series  of  E q .  (5.2)  by  polynomials  of  p­order  with  respect  to 

differential  operators  да  amounts  to  assuming  that  deformation  patterns  o f  wave  lengths 

being  shorter  than  some  value  Lp  have  a  negligible effect  on  resulting  lattice  plate  response. 

It  is  always  required  here  that  Lp  >  2b,  hence  \kub\  ^  it.  Thus  physical  facet  o f  the  pro­

blem  restricts  a  domain  o f  variation  o f  the  wave  vector  к  to  a  certain  circular  neighbour­

hood  o f point  к  =  0. 

The  smaller  the  parameter  p  is,  the  longer  the  deformation  waves  can  be  admitted. 

In  the  limiting  case  o f  p  =  0  a  zero­order  approximation,  so­called  long­wave  approxi­

mation,  is  obtained  the  solutions  of  which  are  quantitatively  different  from  those yielding 

from  the  more  complex  models.  In  particular,  the  simplest  model  does  not  describe  dis­

persion  o f  waves,  cf.  [6].  It  w i l l  be  shown  below  that  in  this  model  the  hexagonal 

lattice  is  considered  as  a  point­wise  centrosymmetrical  structure  so  that  an  interchange 

o f  main  and  intermediate  nodes  do  not  change  the  governing  equations  o f  the  theory. 

Nevertheless,  the  formulation  o f  this  model  is  not  a  main  goal  of  the  paper.  This  work 

ought  to  be  treated  rather  as  an  introduction  to  further  considerations  (see  [13])  pertaining 

to  Cosserat­type  models  o f  hexagonal  grids,  i.e.  to  the  models  of  the  same  mathematical 

structure  as  those  of  Wozniak's­type  outlined  in  [5]. 

6.  Second  order  approximation  equations 

B y  neglecting  in  (5.2)  the  terms  dependent  on  the  powers  b", s  ^  3,  second­order 

equations  (with  respect  to  all  displacements)  are  found.  Appropriate  rearrangements 

give 

Г  3  i 
[(fi +  a ) V 2 w +  ( A + / г ­a )  b\u]  +12 —  ( / /  +  < X ) V 4 M + —  ( А + / И ­ а ) Э |и   + 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  415 

2  y ( A + ^ ­ a ) ^ 5 2 ( a f + 3 a l ) » +  (Х +/г ­а )д1  d2v+l[d­  8l(8
2~3822)v]  + l

2^  g  (/. + /<­a) d l ( ? 2 ( a
2  + 3 d i ) v | + 

+2«д2Ч>+Щ д \­dl)<p+l
2  ( ­ ^ a 3 2 V

2 c > J + y  =  0, 

(/.+/u­<x)8182u  + l[­d8l(8
2­3822)]u  + l  j(A+fi­«)d!d2(8

2  + 3822)iĄ +  ( 6 1 ) 

+  (jt + a)V2v  + (A + ̂  ­  a) 8\ v +  ~12  [0*  + a)V*v + (A + ц ­  a) ( ­  ^  9}+  d l +  2 3 2 d 2 j w j 

­ 2 « а 1 у + / ( ­ 2 / з а , г2 0 + /
2 ( ­  ^  a ^ v v j + y  = о , 

­ 2 а Э2 м + / / ? ( а ? ­ а | ) и ­ /
2 ( ­ ^  а а2 у

2 и | + 2 а а , ^ + / [ ­ 2/ з а,  э 2 © ] + 
4 

/  ( ^ ­ а а1 У
2 г ; | ­ 4 с с  9 : + /

2 (yV 2 ? )) + ' K
3  = О, 

where  functions  и (ха),  v(x") and  ^ ( J C " )  are equal  to  и д ( х а ) ,  w 2 (;t a )  and iv 3 (x"),  respectively. 
The  following  definitions  o f  effective  elastic  moduli,  depending  on  slenderness  ratios 

rj and rj  only, 

_  2^3  ??(??­1)  EJ  4 j / 3 _  _  2|/3­i?  EJ 

<• ~  I V '  ^  ~  (1+7?)  ' T r '  а  ~  " 17 + З Г7  Z3 ' 

|/3_  щ \3г )­г )  3rj­\  1  Ј7 
P  "2  '  ч  L'3//i­»/  4+1  J  I3  ' 

a  = 

7  = 

3j/3  ^  Г  (rj—  I)2  EJ 
2  '  rj  [ 3(r7+l)  7] + З т?  J'  / 3  ' 

]/3  f _(3д ­^ 2  _  г ,  1  Ј7 
»7  L 3 ( 4 + 3 ł ? )  »y+i  J  ' 3  ' 

(6.2) 

are  introduced,  where,  in the case o f prismatic  rods,  see  [5],  E q .  (2.9)4 

Ј7  Ј 
/ 3  ~  12??yq' 

T w o  first  definitions  expressing  effective  Lame  moduli  A and /г are exactly  consistent  with 
Horvay's  results  [1].  Moreover,  the same  expressions  for  A and ц  have  been  obtained  in 
[5] by means  o f two  different  approaches  resulting  from  the general  concept  of  W o ź n i a k. 

Functions  'pa  and  ' У 3 depend  on  the  loads  subjected  to  both  intermediate  and  main 

nodes.  Their  form  is complex  (see [12]) and w i l l  not be given  here. 
Note  that  displacements  w, v  and  rotations  <j>  are  involved  in  different  ways  in the 

second  order  equilibrium  equations  (6.1).  T w o  first  equations  involve  the  fourth  order 
derivatives  of functions  и and  v at coefficients  proportional  to / 2 , whereas  the  fourth  order 



4 1 6  Т .  L E W I Ń S KI 

derivatives  of  cp do  not  occur  in  (6.1).  Thus  the  considered  set  o f  equations  is  not  con­

sequent  with  respect  to  orders  o f  powers  o f  the  parameter  1.  In  order  to  make  the  system 

o f  Eqs.  (6.1) consistent  in  the  mentioned  meaning  the  last  E q .  (6.1)3  should  be  substituted 

by  the  relation  o f order  three  with  respect  to  u, v  and  o f fourth  order  with  respect  to  cp: 

­2ad2u+i  • p(d
2­a|)w­p|^aa2v

2

wJ+/ 3^(5a f­3a f­6ri252)Mj  + 

a8,  V2z>] + / 3  [ ­  82(8\  + 3 3 f > j  +  (6.3) + 2adlv  + l[­2Sdl  82v\  + P 

•4a­  cp + l2(yV2cp)  + l*\­~yV\\  + 'Y3  =  0. 
16 

Stability 

It  w i l l  be  shown  that  both  systems  o f  Eqs.  (6.1)  and  ( 6 . 1 ) l i 2 ,  (6.3)  do  not  allow  us  to 

formulate  boundary  value  problems,  e.g.  these  sets  are  not  well­established  since  they 

do  not  satisfy  stability  conditions.  The  stability  K u n i n ' s  criterion  [6],  means  positive 

determination  o f  the  matrix  Ф а ;р (к)  (for  the  arbitrary  wave  vector  k),  associated  with  the 

second  order  approximation.  One  of  the  necessary  conditions  reads 

p­«  • 0ft>  =  (Ц  + «)  (k\  + к
2

2)  + (Х + ц ­а )­к {­1
2­  [ J L  • (pi + a)  • (k2  + k22)

2  + 

+  ^(l+pi­a.)­kĄ  >  0  Wkl,k2eR.  (6.4) 

Let  kt  — |k|cos0, k2  —  |k|sin0,  q  =  [k[/.  The  condition  (6.4)  takes  the  form 

Q2^(pi + a) + (ź  + /j.­oi)cos20­  ^  ^ ( ^  +  a) +  (A +  , M ­ a ) c o s 4 0 J |  >  0 

for  arbitrary  0 e  (0, 2т :) and  §  >  0.  Inserting  в  =  т с /2, we  have  g  <  4  j / 3 / 3 ,  |k|  • /  <  2,31. 

Thus,  the  analysed  inequality  is  satisfied  i n  some  vicinity  o f  к  =  0  vector:  |k|  <  kciit. 

Moreover  it  can  be  proved  that  such  k c r H  exists  that  in the  region  |k|  <  fccrit  the  stability 

condition  o f second  order  equations  is  satisfied. 

In  the  case  o f  sufficiently  long  wave  deformation  patterns  (sufficiently  small  |k|),  an 

application  o f  the  second  order  equations  is justified.  However, the  mentioned  equations 

are  not  correct  in general  so that  they  lose their  sense  in the  case  o f particularly  short  wave 

lengths. 

Elimination  of  rotation  unknowns 

Proceeding  similarly  to  the  K u n i n ' s  method  (cf.  [10],  Sec.  I l l ,  p.  134),  function 

(which .stands  for  rotations  o f  nodes)  w i l l  be  eliminated  from  Eqs.  (6.1).  T o  this  end  the 

last  o f  the  latter  equations  is  expressed  i n  к  —  representation 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  4 1 7 

J  II  „  .,  .  .  3 
(4a +  l2\k\2­y) 

+  \la  • fc, / + 2/?/ ­ k r k 2 ­  ­
3 ­ / 2  ukt­i­(ki  + kj) v +  'Y

3 

Provided  jl • k|  <  2 \  <x\y  the R H S o f the above  equation  can be expanded  in convergent 

power  series  with  respect  to k a . Retaining terms  of lower order  than  second  and  transfor­

ming  the obtained  formula  into  x­representation,  we arrive at 

+  /H(^  +  ^ ) V 2 ( a ^ ­ ^ ^ + W ­ V 2 ' r 3 } ­

Substituting  the R H S o f the  above  equation  into  two  first  o f Eqs.  (6.1)  and  neglecting the 

terms  involving  the powers  /*, s ^  3, we finally  find 

[(2^ + ; 0 ^ i + ^ 3 ! ] M + ^ [ ( 7 ^ + 4 A ­ a  + 4 / 3
2 a ­ 1 ) a t + ( 3 ^ ­ 8 a ­ 4 y  + 4 / 3 2 a ­ 1 ) S f + 

+  (6> ­  6 a ­ 4 y ­  8 £ 2 с Гł ) 8\ 8\)и +  [(Л + ft) di d2]v +1(6 + ^/2)81(д
2

1­3d
2

2)v  + 

+  ­Г  • d1d2[(5ot  + X + fi + 2y­4p
2oc­1)d21  + (3?. + 3ii + 3a + 2y + 4p

2a­1)8i)v+p1  = 0 0 
O 

82u­!(d  + p/2)81(8
2­3d22)u+^r8i  82[(5oc +Л +fi  + 2y­4p

2a~1)  • 8j + 
O 

+  (3X + 3f* + 3oi + 2y + 4(3
2a­1)822]u+[(2/i  + ł)8

2

2  + fi8
2

l]v+j6­  [ ( 2 / i ­ ; . ­ 8 a ­ 4 y ) 3 f + 

+  (6/г + З Я ) а! + (12/г + 6 Я ­ 1 2 а ­ 4 у + 1 6 , 92 с Г1 ) г 2 < 9 2 ] г > + >2  =  0,  (6.5) 

where 

P* = y+~e*p8'pY
3  + l.  ­L  . G«iie^ji­i2^L_  +  ^Utf^ypy*  ( 6 6 ) 

and  C { ,  =  — G\2  = G\2  =  C f ,  =  1, the other  G",,  =  0, eaP  denotes  a  permutation  sym­

b o l . 

It  can  be shown  that  the obtained  system  of Eqs.  (6.5)  is not stable. 

7.  First  order  approximation 

B y  neglecting the underlined terms  i n  Eqs.  (6.1)  we  arrive at the  first  order approxima­

tion  equations.  The  functions  'pa,  'Y3  take  the  form 

У  =  (р \+И +  ~ ^ S 2 Y
3  + l 

3­n + i} 

Jv^)­8  v2  3  4  (32  32)Y3] 
2(ч + 1)  У l P  4  ч + З у  i S l  d l ) Y J' 

2(4 + 1) 
(7.1) 

* 

1  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



4 1 8  Т .  L E W I Ń S KI 

,у г  =  _^LZgY
3  + Y3,  (7.1)  [cent] 

3*9 +  4 

where  У 3  =  p3,  Y3  =  p3,  see  Eqs.  (5.3). 

The  last  equation  allows us  to  express  the  function  gy  in  terms  of  functions  u,v,  their 

derivatives  and  — function'/" 3  depending  on  moment  loads.  The  elimination  o f  rotations 

does  not  require  here  any  additional  assumptions  and  leads  to  equations  involving  two 

functions  и  and  v  only 

[(2p,+ A)d2l+^
2

2]u+(X  + fi)dld2v  + l(b + pl2)di(d\­3d
2

2)v  + ''p
l  =  0, 

[(л +  / л ) а1 г 2 ] г / ­ / ( г) + / 5 / 2 ) г 1 ( г
2 ­ З г2 ) ^  =  0,  (7.2) 

­>« =  >«+  U « " a ^ 3 + / £ ­ G ^ ć n ą / y
3 . 

However,  it  can  be  proved that  Eqs.  (7.2)  are  not  stable. 

The  derived  model  (and  the  obtained  before  too)  takes  into  account  the  lack  o f centro­

symmetry  of  the  neighbourhoods  of  nodes.  This  is  revealed  in  Eqs.  (7.2)  by  terms  i n ­

volving  the  third  derivatives  of  the  displacement  functions.  These  terms  include  constants 

ó  and  /5, the  signs  of which  depend  on  the  choice of main  nodes.  Thus  the  first  order  equa­

tions  are  sensitive  to  the  division  o f  the  nodes  on  two  families  o f  intermediate  and  main 

nodes. 

8.  Zero­order  equations  (Horvay's  model) 

Zero­oder  equations  are  obtained  by  neglecting  of  all  the  terms  o f  first  and  second 

order  in  Eqs.  (6.1)  and  (7.1).  Hence,  we  have 

[(fi  + o[)W
2 + (A + fi­a)dj]u  + (?. + fi­oc)d1c2v  + 2ixd2(p+p

i  =  0, 

[(X + p­a)d1d2]u+[(fi  + a)V
2  + (A + /u­<x)d22]v­2ad1(P+p

2  =  0,  (8.1) 

­2«d2u+2adiV­4n  • y+  Y
3  =  0, 

where 

pf  =  ^ + / 5  +  ­ J ^ e ^ ą , r
3 , 

3*7 + 77 
(8.2) 

у З  =  у з  ,  ­  377 +  77  * з  
З т7 + 77 

The  last  equilibrium  equation  can  be  rearranged  to  the  form 

q>  =  2­(dtv­c2u)+­^  • Y
3.  (8.3) 

M a k i n g  use  of  the  above  formula  the  function  <p  can  be  eliminated  from  Eqs.  ( 8 . 1 ) 1 > 2 , 

and,  the  classical  equations  (involving  и  and  v  only)  of  isotropic  plate  in  a  plane­stress 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  4 1 9 

state  occur.  They  can  be  associated  with  the  name  of  Horvay  to  honour  of  his  pioneer 

achievements  concerning effective  moduli  (cf.  remarks  in  Sec. 6) 

[(2ju  + ?.)di+/xdz2]u  + (?.+fi)dl82v+p
l  =  0 , 

(Z + {t)d182u+[(2{x  + X)d
2

2+fid
2]v+p2  =  0 ,  (8.4) 

The  system  (8.4), , 2  is  stable,  provided 

2/л  + Я  >  0 ,  ft  >  0 .  .  (8.5) 

By  inserting  the  definitions  ( 6 . 2 ) , t 2  into  above  inequalities  it  is  clear  that  by  virtue 

of  positiveness  of  Y o u n g  modulus  and  slenderness  ratio  ry the  conditions  (8.5) are  fulfilled 

for  all  real  hexagonal­type  lattices. 

Note  that  p*  do  not  depend  of  rj.  Substituting  (8.2) into  (8.4) 3  one  obtains 

P "  =  (jf+p*)+у  е ° * а , ( г3 + У 3 ) .  (8.6) 

It  is  worth  emphasising  a  fact  that  external:  main  as  well  as  intermediate  loads  affect  in 

(8.6)  in  an  equal  manner.  Thus  the  zero­order  approximation  does  not  distinguish  between 

main  and  intermediate  nodes:  both  Eqs.  (8.4)  as  well  as  (8.6) retain  their  forms  i f  one 

choose  a  family  of  main  nodes  by  an  opposite  way  to  the  way  previously  assumed.  The 

lack  o f  centrosymmetry  of  neighbourhoods  o f  nodes  is  ,,a  p r i o r i "  ignored. 

9.  Final  remarks 

It  has  been  shown  that  only  one  zero­order  version  leads  to  a  stable,  well  established 

mathematical  model,  which  makes  it  feasible  to  examine  boundary  value  problems  o f 

the  hexagonal­type  grid  plates.  The  other  models  can  be  applied  to  analysis  of  local  effects, 

for  instance. 

The  unstable  differential  equations  can  be  transformed  into  stable  ones.  In  the  subse­

quent  paper  [13]  a  derivation  o f  such  a  model  of  a  mathematical  structure  analogous 

to  that  known  from  the  micropolar  plane­stress  theory  w i l l  be  proposed.  O n  the  other 

hand  such  models  have  been  considered  by  W o ź n i a k,  [3].  Thus  there  are  two  ways  o f 

constructing  Cosserats'­type  approximations:  the  first  due  to  W o ź n i a k,  obtained  via  va­

riational  calculus,  and  the  second  one  resulting  from  Rogula­Kunin's  methods.  A s  it 

w i l l  be  shown  in  [13],  it  is  difficult  to  indicate  the  best  version  satisfying  both  conditions 

o f  stability  and  approximation. 

In  the  present  paper  our  attention  has  been  focused  on  the  specific plate  of  honeycomb 

layout.  Nevertheless,  the  presented  procedure  does  not  lose  its  value  for  all  dense  regular 

grid  plates;  i n  particular  it  is  not  diffucult  to  examine  by  the  same  method  lattices 

constructed  of  two  families  of  orthogonal  bars  or  of  three  families  o f  bars  intersecting 

at  an  angle  60°. The  mentioned  structures  belong  to  the  class  of  simple  layout  grids,  the 

centrosymmetry  o f  the  vicinities  o f nodes  being  fulfilled.  It  can  be  proved, that  an  essential 



420  Т .  L E W I Ń S KI 

difference  exists  between  the  lattices  o f simple  geometry  and the  considered  hexagonal 

structure,  namely,  an effective  modulus,  у  (cf. (6.2)6),  which  is positive in the latter  case, 

and  takes  a  negative  value  in case  o f simple  layout  structures.  This  fact  is o f significant 

interest,  because in the Cosserats'­type  approximation the modulus  у  determines  a  fluxural 

stiffness  corresponding  to  polar  couples.  Specific  problems  concerning  Cosserats'  conti­

nuum  models  of hexagonal­type  grids  w i l l  be a  subject  o f the prepared  paper [13]. 

• 

References 

1.  G .  H O R V A Y ,  N .  Y .  S C H E N E C T A D Y ,  The  plane­stress  problem  of  perforated  plates,  J .  A p p l .  M e c h . ,  19, 

3 5 5 ­ 3 6 0 , 1952. 

2.  Т .  L E W I Ń S K I,  On asymptotic theory of  perforated  hexagonal­type  plates,  ( i n  P o l i s h )  X X V I I I  C o n f e ­

rence  o n  A c t u a l  C i v i l  E n g i n e e r i n g  P r o b l e m s ,  v o l .  I,  T h e o r y  o f  structures,  p .  91 ­ 9 7 ,  K r y n i c a 1982. 

3.  С .  W O Ź N I A K,  Lattice­type  shells and plates,  ( i n  P o l i s h ) ,  P W N ,  W a r s a w  1970. 

4.  P .  K L E M M ,  C .  W O Ź N I A K,  Dense elastic lattices of  hexagonal­type ( i n  P o l i s h )  M e c h .  T e o r e t .  S t o s .  8, 

3,  277  ­ 293,  1970. 

5.  Т .  L E W I Ń S K I,  TWO versions  of  Woź niaks'continuum  model of  hexagonal­type  grid  plates.  M e c h .  Teoret. 

Stos.,  2 3 , 3 ­ 4 , 3 8 9 ­ 4 0 5 , 1984. 

6.  L A .  K U N I N ,  Theory of  elastic media with  microstructure  ( i n  R u s s i a n ) ,  N a u k a ,  M o s k w a  1975. 

7.  M .  B O R N ,  К .  H U A N G ,  Dynamical  Theory  of  Crystal  Lattices,  U n i v e r s i t y  Press,  O x f o r d  1954. 

8.  S.  B Ł A S Z K O W I A K ,  Z .  K A C Z K O W S K I ,  Cross  Method,  ( i n  P o l i s h ) ,  P W N , W a r s a w 1959. 

9.  I .  B A B U Ś K A,  The Fourier  transform  in  the theory of  difference equations and  its  applications.  A r c h . 

M e c h .  S t o s . ,  11, 4,  1959. 

10.  W .  W .  K O S T R O W ,  I. A .  K U N I N ,  D .  R O G U L A ,  Theory of defects  in solid media (in  P o l i s h )  O s s o l i n e u m , 

W r o c ł a w 1973. 

11.  С .  W O Ź N I A K,  F o u n d a t i o n s  o f d y n a m i c s  o f d e f o r m a b l e  solids  ( i n P o l i s h )  P W N , W a r s a w 1969. 

12.  T .  L E W I Ń S K I,  Continuum  models  of lattice­type  hexagonal plates (in  P o l i s h )  D o c t o r ' s  T h e s i s ,  T e c h n i c a l 

U n i v e r s i t y  o f  W a r s a w  1983 

13.  T .  L E W I Ń S K I,  Physical  correctness  of  Cosserat  models  of  honeycomb grid  plates,  M e c h .  T e o r e t .  S t o s . 

2 4 , 1 , 1 9 8 5 . 

Р е з ю ме  

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н ЫЕ  М О Д Е ЛИ  Г Е К С А Г О Н А Л Ь Н ЫХ  С Е Т Ч А Т ЫХ  П Л А С Т И Н ОК  

В  р а б о те  в ы в о д я т ся  и  а н а л и з и р у ю т ся  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  м о д е ли  а п п р о к с и м и р у ю щ ие  п о­

в е д е н ие  г у с т ы х,  у п р у г и х,  г е к с а г о н а л ь н ых  с т е р ж н е в ых  п л а с т и н о к.  Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  а п п р о к с и­

м а ц ии  р а з н о с т н ых  у р а в н е н ий  р а в н о в е с ия  с т е р ж н е в ой  р е ш е т ки  п о л у ч е ны  м е т о д ом  Р о г у ли  и  К у н и­

н а,  и с п о л ь з уя  а н а л о г ию  м е ж ду  э т и ми  у р а в н е н и я ми  и  у р а в н е н и я ми  т е о р ии  к р и с т а л л и ч е с к их  р е­

ш е т о к.  П р и м е н е н н ый  п о д х од  д а ет  в о з м о ж н о с ть  п р е д с т а в и ть  к о н с е к в е н т н ый  а н а л из  т о ч н о с ти  ф о­

р м у л и р о в а н н ых  м а т е м а т и ч е с к их  м о д е л е й,  п о л у ч и ть  у р а в н е н ия  в  с м е щ е н и ях  п у т ем  э л и м и н а ц ии  

у г л ов  п о в о р о та  у з л ов  и ,  к р о ме  т о г о,  п о з в о л я ет  в ы я в и ть  ф и з и ч е с к ий  с м ы сл  п р и б л и ж е н ий  в  

к ­ р е п р е з е н т а ц и и. 

В  р а б о те  д о к а з ы в а е т с я,  ч то с р е ди  о б с у ж д а е м ых  п р и б л и ж е н н ых  в е р с и й,  т о л ь ко  о д ин  в а р и а нт  

н у л е в ой  а п п р о к с и м а ц ии  д а ет  с т а б и л ь н ые  у р а в н е н ия  и  п о т о му  т о л ь ко  в  т ом  с л у ч ае  м о г ут  б ы ть  к о р­

р е к т но  п о с т а в л е н ны  к р а е в ые  з а д а чи  д ля о г р а н и ч е н н ых  р е ш е т о к.  О с т а л ь н ые  м о д е ли  м о г ут  б ы ть  

п о л е з ны  п ри а н а л и зе  л о к а л ь н ых  э ф ф е к т о в. 

П р е д с т а в л е н н ые  и с с л е д о в а н ия  м о ж но  и с п о л ь з о в а ть  д ля  а н а л и за  ф и з и ч е с к ой  к о р р е к т н о с ти  

м о д е л ей  т и па  К о с с е ра  ­ ( к о т о р ые  б ы ли  п р и с п о с о б л е ны  В о з н я к ом  в  е го м о н о г р а ф ии  п о с в я щ е н н ой  

с е т ч а т ым  п о в е р х н о с т н ых  к о н с т р у к ц и я м ). 



D I F F E R E N T I A L  M O D E L S  421 

S t r e s z c z e n i e 

R Ó Ż N I C Z K O WE  M O D E L E  H E K S A G O N A L N Y C H  T A R C Z  P R Ę T O W Y CH 

W  p r a c y  w y p r o w a d z o n o  i  p r z e a n a l i z o w a n o  m o d e l e  r ó ż n i c z k o we  a p r o k s y m u j ą ce  d e f o r m a c j ę  g ę s t y c h, 

s p r ę ż y s t y c h,  h e k s a g o n a l n y c h  tarcz  p r ę t o w y c h.  R ó ż n i c z k o we  p r z y b l i ż e n ia  d y s k r e t n y c h  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i 

s i a t k i  p r ę t o w ej  o t r z y m a n o  m e t o d ą  R o g u l i  i  K u n i n a  w y k o r z y s t u j ą c  a n a l o g i ę  m i ę d zy  w / w  r ó w n a n i a m i 

i  r ó w n a n i a m i  t e o r i i  siatek  k r y s t a l i c z n y c h .  Z a s t o s o w a n e  p o d e j ś c ie  z e z w a l a  n a :  k o n s e k w e n t n ą  a n a l i z ę  d o ­

k ł a d n o ś ci  f o r m u ł o w a n y c h  m o d e l i ,  m o d y f i k a c j ę  r ó w n a ń  p o l e g a j ą cą  n a  e l i m i n a c j i  p r z e m i e s z c z e ń  k ą t o w y ch 

i  u m o ż l i w ia  p o n a d t o  f i z y c z n ą  i n t e r p r e t a c j ę  p r z y b l i ż eń  d o k o n y w a n y c h  n a  r ó w n a n i a c h  w  к­reprezentacji. 

W  p r a c y  w y k a z a n o ,  ż e  s p o ś r ód  o m a w i a n y c h  wersji  j e d y n i e  w a r i a n t  zerowego  p r z y b l i ż e n ia  p r o w a d z i 

d o  r ó w n a ń  s t a b i l n y c h .  Z a t e m  t y l k o  w t y m p r z y p a d k u  m o ż na  p o p r a w n i e  f o r m u ł o w a ć  z a g a d n i e n i a  brzegowe 

d l a  tarcz  o g r a n i c z o n y c h .  P o z o s t a ł e  m o d e l e  m o g ą  s ł u ż yć  d o  b a d a n i a  zjawisk  l o k a l n y c h . 

P r z e d s t a w i o n e  w  pracy  w y w o d y  z e z w a l a j ą  n a  a n a l i z ę  fizycznej  p o p r a w n o ś ci  m o d e l i  t y p u  C o s s e r a t ó w 

w y k o r z y s t a n y c h  prze z  W o ź n i a ka  w  jego  m o n o g r a f i i  [3]  d o t y c z ą c ej  d ź w i g a r ów  s i a t k o w y c h . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  26  kwietnia  1983  roku