Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4  22  (1984)  / L I N E A R I Z E D  E Q U A T I O N S  O F  S T A B I L I T Y  O F  E L A S T I C ­ P L A S T I C  C O N I C A L  S H E L L  I N C L U D I N G  T H E  E F F E C T S  O F  P A S S I V E  P R O C E S S E S  J E R Z Y  Z I E L N I C A  ( P O Z N A Ń )  Politechnika  Poznań ska  Buckling  loads  of elastic­plastic  shells  can  be  determined  by  means  of two  approaches.  In  the  first  one,  called  the  constant  load  approach,  it  is  assumed  that  the  external  load  does  not  change  in  post­buckling  state  this  is  accompanied  by  arising  local  unloading  regions  (passive  processes).  In  the  second  one,  the  so  called  S H A N L E Y  approach  is  assu­ med  [2,  3], i.e.  that  the  load  increases  in  the  post­buckling state,  and  the  passive  processes  develop  only  as  a  result  o f  post­critical deflections.  In  paper  [4] the  S H A N L E Y  approach  has  been  used  for  calculating bifurcation  loads  of  conical  shells.  The  presented  procedure  account  for  the  stability  analysis  o f  elastic­plastic  shells  basing  on  the  two  fundamental  plasticity  theories,  i.e.:  the  incremental  (plastic  flow)  theory,  and  the  total  strain  (defor­ mation)  theory.  It  is also  possible  to  use  the  results  o f paper  [4] for  analyzing elastic shells.  The  problem  is  quite  complicated  when  including the  effects  of  unloading.  This  leads  to  nonlinear  differential  equations;  although  geometrical  linearity  is  assumed.  It  is  the  purpose  o f this  paper  to  linearize  these  equations  for  a  simply  supported  conical  shell,  with  the  assumption  o f  a  two­parametrical  external  load  and  a  linear  stress­deformation  material  hardening  relation.  The  basic  stability  equations  for  a  conical  shell,  according  to  linear  shell  theory,  are  as  follows  [4]:  1.  Introduction  2.  Stability  equations  and  physical  relations  F, xxs'mfi  + 6MXi  xxxcosfl  + 26MX_  xcosfi  +  xcos/?  =  0,  + (2.1)  424  J .  Z l E L N I C A  where  dMaP  are  the  additional  buckling  moments  per  unit  length,  NaP  are  the  membrane  forces,  and  w  is  the  normal  deflection.  E q .  (2.1 ) 2  is  the  equilibrium equation  with  intro­ duced  force  function  F,  and  eq.  (2.1)2  is  the  strain  compatibility  equation.  A c c o r d i n g  to  the  constant  load  concept  the  local  unloading  regions  appear  at  the  mo­ ment  of  buckling;  so  the  three  main  zones  are  distinguished  (see  I,  II,  H I  in  F i g . 2).  In  the  first  zone,  a  part  o f  the  shell  that  was  deformed  into  the  plastic  state  before  buckling.  F i g .  2  returns  to  the  elastic  state;  it  is  governed  by  physical  relations  of  generalized  Hooke's  law.  The  second  zone  (II)  is  so  distinguished  that  before  buckling  material  is  deformed  plastically,  but  in  post  buckling the  state  a  part  o f  the  material  returns  into  the  elastic  state  and  the  rest  remains  plastic.  So,  active  and  passive  processes  develop  here.  In  the  third  zone  (III)  the  plastic  deformations  hold  for  the  pre­and  post­buckling  states;  the  unloading  does  not  take  place  here.  The  physical  relations  in  the  first  and  i n  the  third  zones  are  evident,  i.e.  the  generalized  Hooke's  law  and  apropriate  plasticity  relations,  respectively.  Assuming  the  Kirchhoff­Love  hypotheses  the  additional  forces  and  moments  during  buckling  in  the  shell  are:  dN, 04?  ­  /  h  + 2 ^Ma?  =  j  daapx3dx3.  (2.2)  W h e n  calculating  the  forces  and  the  moments  in  the  second  zone  each  of  the  integrals  (2.2)  should  be  devided  into  two,  i.e.:  (  —  — ,  x 3 0  ,  and  * з о,  +~2  )l  хз о  is  a  coordi­ S T A B I L I T Y  O F  C O N I C A L  S H E L L  425  nate  of active  and passive  processes  boundary.  We have  for example  8 N l  _  1 ^ л г2  =  J  (dEi_dJtlX3)dx3+~(Es­E,)d°y.  +  1  +1  x  J  (x3­x30)dx3  +  J  {de1­6x1x3)dx3,  where  x3  = 2x3/h  — dimensionless  variable,  and Es,  E,  are secant  and tangent  modules  respectively.  W h e n  appropriate  calculations  are made,  for the total  strain  (deformation)  theory  one  obtains:  ÓN2  = B1[de2  + ~de1^+D1[dx2  + ­^dx^  +  B2dqidx,  6N12 =  В ^у ^  +  ^­В ^х ^+В ^д х ,  (2.4)  óMi  =  óMx  =  ­Dl{^6s1  + ­^­д е2^­С2^д х1  + ^­д х2^  +  С3ахд х ,  д М2  =  <5M„  =  ­D1^ds2  + Y d ^ ­ C 2 ^ 6 x 2  + ^­óx^  +  C3aędx,  6Ml2  =  6MXV  =  ­01д у 12­^ С2^12+С3тх ч,д х ,  where  В1г  В2,  Dlt  Clt  and C2  are the stiffnesses  o f the  shell,  given  by the formulas:  Bi  ­  | ­ Ј Л [ 2 ­ Д (1  ­ x 3 0 ) ] ,  B2  =  i ­ Ј A 2 ( / k ­ / J ( l ­ х 3 0 ) \  Z),  =  ~Eh2fa(l­x 2 30),  С2  = ^Eh 3[2­fM  ­ x j o ) ] ,  (2.5)  С 3  =  ±.Eh4f k­fJ(l  + х 2 30)(2  + х30),  х30  = ^  <  1.  The  quantities  in  (2.5)  are as  follows:  E  E  _  / « . =  l ­ — j p  Л  =  1 — o ' *  =  0 **0 71>   0 * =   < V*Tli  (26)  If  before  buckling  the plastic  deformations  are small  with  comparison  to elastic  deforma­ tions  one  may  put fm  = 0, then  Eqs.  (2.5) are reduced  to the  f o r m :  4  1  Eli3  Bt  = ­  Eh,  B2  =  ^Eh 2fk{\  ­x30) 2,  D,=0,  C2=D  2  —  g   7 ) i V i  ­^30/  >  " 1  — V»  ^ 2  — is  —  g  ,  (  (2.7)  C 3  = ­ ­ Ј А 3 Л ( 1 + х 3 о ) 2 ( 2 ­ Х з о ).  426  J .  Z l E L N I C A  The  physical  relations  (2.4)  are coupled  and nonlinear,  because  the position  parameter  3 ć 3 0 ,  denoting  the  boundary  between  elastic  and  plastic  region,  is a variable  and  it depends  on  the  unknown  functions  [2]:  x30  =  1 ­ 2 C ,   A  i  =   1 ­ / ( 1 + Ф ) ] А ­\  Ф =  (l­fk)Ehdx  (ax  ­  у  a^j  SN i +  ^  ­  у  o­x|  6N2 + 3rxif  ON,  (2.8)  F r o m  the first  three  equations  of  (2.2)  deformations  deap  may  be expressed  in terms  o f  the  force  function  F.  Substituting óMa/i  (expressing  the curvatures dxxp  by  the  deflection  и ')  and  deal>  from  (2.2)  into  stability  equation  (2.1)  we  obtain  a set  o f two  nonlinear  diffe­ rential  equations  for  the deflection  tv  and  the force  function  F, to analyse  the stability  o f  an  elastic­plastic  conical shell under  small deflections  including effects  of passive  processes:  D  F,^sin/3  +  a,  i f , x x x x  + a 2 w t X X X  + a 3 i v , x x  +  a 4 и » ,x + a 5 i v . x X n  +  +  « 7 H», X V P +  cc9  w,  w +  a,  о w,,  D  \  xcos O   W. +  x c o s p  ,  Px  2  + cos 0w,  x)­f­j  +  ­p­cos/Sw.  P  • ( * i ­ *2 ) ­ ^ . * ,  +  I 2 t g / S  +  «14 F ,  x x x x  +  ccl2F,xxx  +  x13FiXX  +  alAF,x  +  cclsF,  xxq,.,  +  , x x , №  +  +  ^ 1 3 H ' , . W  +  ^ 1 4 > * ' , X № +  / 3 I 5 " ' , a : . x x  +  /3I6M',, / ,.  =  0.  N o w  we come  to  linearizing the above  equations.  In the formulae  for С (2.8)  under the  square  root  there  is the function  Ф .  F o r  elastic  deformations  0  = 0, for pure  plastic de­ formations  Ф =  —fK.  It  can  be prooved  that  \Ф \  < fk  <  1. Substituting  С from  (2.8)  to  the  eqs.  (2.9)  we  expand  the characteristic  terms  in series,  with  respect  to  powers  of  Ф .  ( Л ­ /( „ К 2 ( 3 ­ 2 С )   fk  jm  i   —f  ^ l O " !  7  .Ik  Jk  +  +  . . . .  (2.10)  Jk  (fk  —У в)­Т  — :2   Л  ­ 4 .  2   ­ Л   ­ 2 / 1  ­ Л   2 Л ­ / . ­ / . | / Ь ­ Л   л2  .  y«\f»t/r­7  i ­ / *  2 (л ­/„+/;((/i­л ) 3  х ( 1­ Л ­ / Г ­ Л) Ф +  where  (2.11)  / ,  о  =  [ ­  8 +  12/i ­  З Л2 +  8(1  ­ Л )1 ] / * " 2 ,   я ?о  =  (1 ­Л )1з л­б + б | / ь=л ]л ­2.  In  eqs.  (2.9)  terms  there  are also  which  cannot  be linearized.  However,  their  influence  S T A B I L I T Y  O F  C O N I C A L  S H E L L  427  is  so  small,  when  plastic  deformations  are  smaller  than  the  elastic  ones.  So  the  nonlinearity  parameter  x 3 0  we  put  x 3 0  =  — 1  on  one  hand,  or  with  the  Iliushin  hypothesis  [2]  assuming  zero  values  of  force  variations  in  the  shell  middle  surface  AA/j  =  6N2  =  dNi2  =  0  we  take  a  3c3 0  value  accordingly on  the  other  hand.  In  such  an  approach  we  obtain  two  diffe­ rent  values  o f  buckling load,  and  the  set  of  equations  (2.9)  is  linear  with  variable  coeffi­ cients.  3.  Method  of  Solution  The  basic  functions,  i.e.  the  deflection  w,  and  the  force  function  F a r e  taken  as:  . W T C  .  .  W J T C  .  w(x,  cp)  — t v 0 s m — j ­ ( x ­ X i ) C O S  ncp,  F(x,  cp)  =  F0sin—j~(x  — xjcoswq?,  (3.1)  where  m,  and  n  are  parameters.  The  functions  (3.1)  satisfy  kinematic  boundary  conditions  for  simply  supported  shell  edges,  but  the  static  boundary  conditions  are  satisfied  in  part  only.  The  previous  investigations  show  that  it  is  insignificant  for  shells  o f  medium  and  large  lengths  whether  all  o f  the  boundary  conditions  are  satisfied.  The  linearized  set  o f  equations  (2.9)  we  integrate  using  the  G A L E R K I N  type  procedure.  When  F , .  and  F2  are  the  left­hand  side  of the  eqs.  (2.9)  one  may  put  2rt x%  2rc  x2  J J  F , ( x ,   A,  =  H i  i  Xl  h  for  ai  >  ffpl,  (3.4)  i•  /  i :  .  i  f  r /  \ 2  tcont.]  1  2д :2  j  s i n ( x  — X i ) |  rfx,  ^  =  J  V " r )  Г ГП  ^ n S . n 2 ­ T ­ ( x ­ x 1 ) + y r ( e 1  2m re  2  + e2 1)sin—j—  (x­xi)­ 1  miz  \  —~е22ь о ь —r~\pC~Xi)}ax,  ...  here  a,­ is  effective  stress,  apl  is  plastic  limit,  eu  are  the  shell  stiffnesses  (еи  depend  on  the  load).  4.  Numerical  Results  and  Conclusions  A  research  procedure  elaborated  by  the  A u t h o r  [4]  to  find  the  buckling  load  from  the  buckling  criterion, eq.  (3.3),  is  used.  In  this  procedure  we  evaluate  the  critical  load  numerically  from  the  buckling  criterion by  searching  for  zero  points  o f eq.  (3.3) according  to  Newton's  iteration  technique;  the  integrals  were  evaluated  by  Simpson's  rule.  The  buckling  load  is  the  lowest  buckling  load  o f  many  buckling  loads  for  a  specified  range  o f  m  and  n.  The  calculations  were  made  on  the  computer  O D R A  1305. Let  us  consider  a circular  conical  shell  loaded as  in  F i g .  1. In the  presented  series  o f  investigations the  follo­ wing  basic  data  have  been  assumed:  x±  =  34.635  cm,  „Y2  =  77.635  cm,  /5 =  20°,