Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4  22  (1984)  B A D A N I E  S T A T E C Z N O Ś CI  S A M O L O T U  W  U S T A L O N Y M  K O R K O C I Ą GU  W O J C I E C H  B L A J E R  Wyż sza  Szkoła  Inż ynierska  1.  Wstęp  W  pracy  przedstawiono  m e t o d ę  badania  statecznoś ci  ruchu  samolotu  w  ustalonym  k o r k o c i ą g u.  Samolot  traktowano  jako  sztywny  u k ł a d  mechaniczny  o  sześ ciu  stopniach  swobody.  Badano  stateczność  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i  samolotu  w  k o r k o c i ą gu  o  osi  piono­ wej  wzglę dem  ziemi  dla  ustalonej  wysokoś ci  i  przy  ustalonych  parametrach  sterowania.  Niniejsza  praca  stanowi  rozwinię cie  pracy  [3],  podejmują cej  zagadnienie  wyznaczania  w a r u n k ó w  r ó w n o w a g i  ustalonego  k o r k o c i ą gu  samolotu.  Stan  lotu  samolotu  w  k o r k o c i ą gu  ustalonym  stanowi  bazę  wyjś ciową  przedstawionej  metody  badania  statecznoś ci  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i .  R ó w n a n i a  do  badania  statecznoś ci  ruchu  samolotu  w k o r k o c i ą gu  ustalonym  otrzymano  z  ogólnych  r ó w n a ń  ruchu  samolotu  w y r a ż o n y ch  w  q u a s i ­ w s p ó ł r z ę d n y ch  u k ł a d u  własnego  [2,  3,  6],  wyprowadzonych  z  r ó w n a ń  Boltzmana­Hamela  [5]  dla  u k ł a d ó w  mechanicznych  o  wię zach  holonomicznych.  R ó w n a n i a  te  u z u p e ł n i o n o  n i e z b ę d n y mi  zwią zkami  kinema­ tycznymi.  M a t e m a t y c z n ą  s t r o n ę  zagadnienia  oparto  na  pracy  [4]. Ograniczono się do wyznaczania  wartoś ci  własnych  macierzy Jacobiego  u k ł a d u  r ó w n a ń  ruchu  samolotu,  okreś lonej  w  punk­ cie  r ó w n o w a g i  k o r k o c i ą g u.  Z a  warunek  statecznoś ci  przyję to  ujemne  wartoś ci  rzeczywiste  wszystkich  wartoś ci  w ł a s n y c h  macierzy  Jacobiego.  O d d z i a ł y w a n i a  z e w n ę t r z ne  działają ce  na  samolot  w  locie  rozpatrywano  analogicznie  jak  w  pracach  [2,  3,  6].  Są  o d d z i a ł y w a n i a  aerodynamiczne,  od  zespołu  n a p ę d o w e go  i  od  siły  cię ż koś ci.  O d d z i a ł y w a n i a  aerodynamiczne  liczono  rozdzielając  je  na  p o c h o d z ą ce  od  skrzydła,  k a d ł u b a  i  usterzeń  poziomego  i  pionowego.  S k r z y d ł o  z o s t a ł o  dodatkowo  roz­ dzielone  na  N  =  20  p a s k ó w .  Uwzglę dnienie  lokalnych  w a r u n k ó w  opływu  poszczególnych  p a s k ó w  skrzydła  i  usterzeń  p o z w o l i ł o  na  p r z y b l i ż o ne  uwzglę dnienie  w p ł y w u  prę dkoś ci  ką towych  samolotu  na  siły  i  momenty  aerodynamiczne.  U w z g l ę d n i o no  też wpływ  poszcze­ gólnych  czę ś ci  samolotu  wzajemnie  na  siebie.  Obliczenia  p r z y k ł a d o w e  przeprowadzono  dla  przypadku  samolotu  T S ­ 1 1  „ I s k r a "  według  własnych  p r o g r a m ó w  w  O ś r o d ku  Obliczeniowym  Politechniki  Warszawskiej. W y ­ korzystano  czę ść  oprogramowania  uż ytego  poprzednio  do  obliczeń  w  pracach  [3, 6].  446  W .  B L A J E R  2.  Założ enia  matematyczne  R o z w a ż my  u k ł a d  r ó w n a ń  róż niczkowych  о  postaci  normalnej.  Z a ł ó ż my  dodatkowo,  że jest  to  u k ł a d  autonomiczny,  tzn.  r ó w n a n i a  nie  zależą  jawnie  od  czasu.  U k ł a d  taki  m o ż na  z a p i s a ć  w  postaci  [4]:  ~  =  F(Y),  (1)  gdzie:  Y  =  co\\yl,y2,  yn],  a  wektor  prawych  stron  F(Y)  =  ć o l [ / i O O » / a O O.  • • • ./n(Y)]  ma  cią głe  drugie  pochodne  w  pewnym  obszarze  | | Y | |  <  H,  H—stała.  Jeś li  F(Y 0 )  =  0,  gdzie  IlYoll  <  H,  (2)  to  wektor  Y  =  Y 0  wyznacza  stan  r ó w n o w a g i  u k ł a d u  (1).  W  p o ł o ż e n iu  Y  =  Y 0 + Y ,  gdzie  Y  oznacza  wektor  małego  wychylenia  z  położ enia  r ó w n o w a g i ,  r ó w n a n i e  (1)  przekształca  się  do  postaci:  4 ^ ­  =  A X + Ó ( | | X | | ) ,  (3)  gdzie:  A  =  F'(Y 0 )  —  macierz  Jacobiego  o k r e ś l o na  w  p o ł o ż e n iu  r ó w n o w a g i ,  0(||Y||) —  reszta  z  rozwinię cia  funkcji  F(Y)  w  szereg  Taylora  w o k ó ł  punktu  Y 0 .  P o n i e w a ż  z  cią głoś ci  drugich  pochodnych  funkcji  F(Y)  wynika  cią głość  0(||Y||)  w  za­ ł o ż o n ym  obszarze  oraz  p o n i e w a ż :  l i m  ° ( | | X | I )  П  Ш   x , m „ ­ ~ l i x i r   =   0 '  ( 4 )  r ó w n a n i e  (3) jest  r ó w n a n i e m  quasi­liniowym  i  ma jedyne  rozwią zanie  zerowe  X  =  0.  D l a  r ó w n a n i a  quasi­liniowego  (3),  k o r e s p o n d u j ą c e go  z  r ó w n a n i e m  ( 1 ) wg  powyż szych  zależ noś ci,  słuszne  jest  twierdzenie  (wg  twierdzenia  Lapunowa)  o  nastę pują cej  treś ci.  Jeś li  wszystkie  wartoś ci  w ł a s n e  macierzy  Jacobiego  F ' ( Y 0 )  mają  ujemne  czę ś ci  rzeczywiste,  to  stan  r ó w n o w a g i  Y  =  Y 0  nieliniowego  u k ł a d u  autonomicznego  ( 1 ) jest  asymptotycznie  stateczny  w  sensie  Lapunowa  przy  t  ­ »  o o .  3.  Równania  do  badania  statecznoś ci  położ enia  równowagi  samolotu  w  ustalonym  korkocią gu  Zgodnie  z  pracami  [1,  2,  3,  6]  przyję to  nastę pują ce  r ó w n a n i a  ruchu  samolotu:  a  ­  —  r _  ( A r e + r c o s ó ­ w g s i n 0 ) s i n a  +  ( Z , , ­ r s i n ( ! )  +  m  •  K c c o s p  + mgcos Ф c o s 0 ) c os  a] + Q ­  (7?sina +  F c o s a) tg/?,  (а)  /9  =  ­^y­  [ ­ ( A r a +  r c o S ( 5 ­ w g s i n O ) c o s a s i n / 9 +  ( y a  + mgsin0cosO)cos/5  +  — (Za­  r s i n ó  + m g c o s 0 c o s O ) s i n a s i n / ) ] ­ i ? c o s a  + P s i n a ,  (b)  S T A T E C Z N O Ś Ć  SAMOLOTU;  W  K O R K O C I Ą GU  447  Ve\Vc  = —у  [(Xa+Tcos<)­  mg sin 6») cos a cos fi + (Ya  + mgs\n Ф cos 0) sin/? +  + (Za—  ?"sin (> + w g c o s 0 c o s 0 ) s i n  acos/9],  P  =  +  ^  (Na­J0Qo>)  +  KĄPQ­KsQR^  Q  =  T ­ ­ ( Л / .+  ^  + Уо  Ra>)  +  K6PR­K2(P 2­R2),  R  Ф   6  A  j­La+  j{Na­J0Qo>)+h nPQ­KsQR  ,  / > + ( 0 s i n 0 + . K c o s 0 ) t g 0 ,  £>cos0­.tfsin ,  (c)  (d)  (5)  (e)  (f)  (g)  (h)  gdzie:  [Xa,  Ya, Za,  La,  Ma,  Na] — wektor  sil u o g ó l n i o n y c h  od o d d z i a ł y w a ń  aerodynamicz­ nych.  T— siła  cią gu,  ó —  kąt  pomię dzy  linią  d z i a ł a n i a  siły  cią gu  i osią  Ox  u k ł a d u  własnego  samolotu,  J0  —  moment  bezwładnoś ci  czę ś ci  wirują cych  silnika,  2 )  oznacza  silniejszą  niestateczność  po­ ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i ,  stwierdzić  m o ż n a,  że  najsilniejszą  n i e s t a t e c z n o ś ć  stwierdzono  dla  óH  =  —13°,  najmniejszą  dla  6B  =  —30°.  Z m i a n y  wartoś ci  wychylenia  steru  wysokoś ci  wpływają  też  na  zmiany  wartoś ci  Re  ( l i , 2 )  silniej  niż  analogiczne  zmiany  wartoś ci  wychy­ lenia  steru  kierunku.  Stwierdzenie  niestatecznoś ci  ruchu  samolotu  w  ustalonym  k o r k o c i ą gu  ś wiadczy,  że  w  rzeczywistoś ci  samolot  w  ruchu  niesterowanym  nigdy  nie  osią gnie  tego  stanu  lotu.  W  ruchu  rzeczywistym  samolot  bę dzie  oscylować  w o k ó ł  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i .  W y n i k i  metody  są  trudne  do  oszacowania  iloś ciowego.  Stwierdzenie  niestatecznoś ci  (lub  statecznoś ci)  nie  wnosi  też wielu  informacji  o  w ł a s n o ś c i a ch  k o r k o c i ą g o w y ch  samolotu.  Rozbudowany  aparat  matematczny,  skomplikowane  wzory  na  liczenie  w s p ó ł c z y n n i k ó w  9  M e c h .  Teoret.  i  Stos.  3­4/84  450  W .  B L A J E R  T a b l i c a  1  Z m i a n y  p a r a m e t r ó w  s t e r o w a n i a  P a r a m e t r y  p u n k t u  r ó w n o w a g i  a(deg),  /?(deg)  K r ( m / s ) ,  0 ( l / s )  (deg),  0 ( d e g )  W a r t o ś ci  w ł a s n e  std  a  =  38,6,  /<'  =  ­ 3 , 0  Vc  =  68,8,  Q =  2,54  Ф  =  1,0,  0  =  ­ 5 1 , 3  t 1 > 2  =  0,452  ± 3 , 6 7 3 i  | 3 > 4  =  ­ 0 , 1 1 6 ± 2 , 6 7 9 i  Ł5,6 =  ­ 0 , 1 8 6 ± l , 5 6 2 i  f ,  =  ­ 0 , 8 0 3 ,  f a  =  ­ 0 , 0 0 5  dv  =  30'  a  =  46,6,  />'  =  ­ 2 , 8  Vc  =  62,5,  u  =  2,32  Ф  =  0,5,  0  =  ­ 4 3 , 4  | , , 2  =  0 , 3 4 6 ± 3 , 3 8 1 i  | 3 > 4  =  ­ 0 , 1 2 0  +  2,446i  h.6  =  ­  0,497  ± l , 5 5 9 i  Ь  =  ­ 0 , 3 1 8 ,  SM  =  ­ 0 , 0 0 6  6,  =  I0C  a  =  32,5,  ft  =  ­ 2 , 2  =  79,5,  Q  =  3,04  Ф  =  5,2,  0  =  ­  57,2  | l t ,  =  0 , 4 3 8 +  4,055i  f S f 4  =  ­ 0 , 0 9 8  ± 3 , 1 4 3 i  f 5 ; e  =  ­ 0 , 1 4 4 ± l , 5 4 0 i  £ ,  =  ­ 0 , 6 6 8 ,  f i  =  ­ 0 , 0 0 6  ­ ,)„  m  ­ 3 0 °  a  =  38,8,  =  ­  2,8  Vc  =  69,5,  ii  =  2,27  Ф  =  1,8,  0  =  ­ 5 1 , 1  =  0,217  +  3,472i  fą ,4  =  ­ 0 , 1 2 9 ± 2 , 6 1 5 i  f 5 , 6  =  ­ 0 , 3 0 9 +  l , 6 1 9 i  f ,  =  ­ 0 , 5 3 3 ,  | „  =  ­ 0 , 0 0 5  b„  =  ­ 1 3 c  a  =  39,3,  /»  =  ­ 3 , 1  Vc  =  67,8,  L ' =  2,66  Ф  =  0,5,  0  =  ­ 5 0 , 6  | , i 2  =  0,491  ± 3 , 5 9 3 i  f ? , «  =  ­ 0 , 1 0 6 ± 2 , 3 9 2 i  fs.e  =  ­ 0 , 3 1 8 ±  l , 5 4 7 i  Ł 7  =  ­ 0 , 7 0 2 ,  f ,  =  ­ 0 , 0 0 5  macierzy  Jacobiego  [2] i ostre  wymagania  co do cią głoś ci  drugich  cią głoś ci  w s p ó ł c z y n n i k ó w  sił  i  m o m e n t ó w  aerodynamicznych  samolotu  przyjmowanych  do  obliczeń,  sprawiają,  że  w  zastosowaniach  technicznych  wartość  uzyskiwanych  w y n i k ó w  obliczeń  może  o k a z a ć   się  n i e w s p ó ł m i e r n a  do  n a k ł a d ó w  pracy.  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  W .  M .  A D A M S ,  Analitic  Prediction  of  Airplane  Equilibrium  Spin  Characteristics,  N A S A  T N  D ­ 6 9 2 6 ,  N o v e m b e r  1972.  2.  W .  B L A J E R ,  Badanie  dynamiki  samolotu  w  korkocią gu,  p r a c a  d o k t o r s k a  P o l i t e c h n i k i  W a r s z a w s k i e j ,  (nie  p u b l i k o w a n a ) ,  W a r s z a w a  1982.  3.  W .  B L A J F . R ,  J .  M A R Y N I A K ,  Ustalony  korkocią g  samolotu,  warunki równowagi,  M e c h .  T e o r e t .  i  S t o s . ,  2 2 ,  1/2,  1 9 8 4 .  4.  R .  G U T O W S K I ,  Równania  róż niczkowe  zwyczajne, W N T ,  W a r s z a w a 1971.  5.  R . G U T O W S K I ,  Mechanika analityczna,  P W N , W a r s z a w a  1971.  6.  J .  M A R Y N I A K ,  W .  B L A J E R ,  Numeryczna symulacja  korkocią gu,  M e c h .  T e o r e t .  i  S t o s . ,  2 1 , 2 / 3 ,  1 9 8 3 .  S T A T E C Z N O Ś Ć  S A M O L O T U  W  K O R K O C I Ą GU  4 5 1  P  e 3  ю  M  e  И С П Ы Т А Н ИЯ  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  С А М О Л Ё ТА  В О  В Р Е МЯ  У С Т А Н О В И В Ш Е Г О СЯ   Ш Т О П О РА   П р е д с т а в л е но  м е т од  и с п ы т а н ия  у с т о й ч и в о с ти  д в и ж е н ия  с а м о л е та  в о  в р е мя  у с т а н о в и в ш е г о ся   ш т о п о р а.  С а м о л ёт  п р и н я то  к ак  ж ё с т к ое  т е ло  с  ш е с т ью  с т е п е н я ми  с в о б о д ы.  В ы ч и с л е н ия  с в е д е но   к  о п р е д е л е н ию  с о б с т в е н н ых  з н а ч е н ий  и  с о б с т в е н н ых  в е к т о р ов  м а т р и ца  Я к о би  с и с т е мы  у р а в н е н ий   д в и ж е н ия  в  т о ч ке  р а в н о в е с и я.  П р и в е д е ны  в ы ч и с л е н ия  с д е л а но  д ля с а м о л ё та  T S ­ 1 1  „ I s k r a " .  S u m m a r y  A  S T U D Y  O F  A I R P L A N E  M O T I O N  S T A B I L I T Y  I N  S T E A D Y  S P I N  A  m e t h o d  investigating  s t a b i l i t y  o f a n a i r p l a n e  m o t i o n  i n steady  s p i n  is presented.  A n  a i r p l a n e  has  been  treated  as  a  r i g i d  b o d y  h a v i n g  six degrees  o f freedom.  T h e m e t h o d  c o r r e s p o n d s  to  e x a m i n i n g  eigenvalues  o f  J a k o b i a n  m a t r i x  o f the  system  o f m o t i o n  equations,  defined  at  the  e q u i l i b r i u m  p o i n t .  Test  c a l c u l a t i o n s  have  been  c a r r i e d  out for  P o l i s h  t r a i n i n g  a i r p l a n e  TS­11  „ I s k r a " .  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  2  lutego 1983 roku