Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
l  S T O S O W A N A 
3 ­ 4 ,  22  (1984) 

D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  P I O N U  S Z T U C Z N E G O 

\s  H O R Y Z O N T U 

A L E K S A N D E R  D Ą B R O W S KI  ( W A R S Z A W A ) 

Z B I G N I E W  B U R D A 

Politechnika  Warszawska 

1.  Przeznaczenie  korektora 

Sztuczny  horyzont  służy  do  o k r e ś l a n ia  przestrzennego  p o ł o ż e n ia  samolotu  wzglę dem 

płaszczyzny  horyzontu.  Zasadniczym  elementem  sztucznego  horyzontu  jest  ż y r o s k op 

o  d w ó c h  stopniach  swobody  (przy  p o m i n i ę c iu  ruchu  obrotowego  w i r n i k a  ż y r o s k o p u ), 

k t ó r e g o  oś jest  osią  odniesienia.  Kierunek  tej  osi  powinien  być  zgodny  z  kierunkiem  pio­

nowym  w  danym  punkcie  ziemi  (pion  lokalny).  Ż y r o s k op  nie  jest  jednak  w  stanie  utrzy­

mać  swej  osi  głównej  na  kierunku  lokalnego  pionu  z  powodu  precesji  wywołanej  tarciem 

w  łoż yskach  ramki  oraz  dlatego,  że  kierunek  ten  zmienia  swe  p o ł o ż e n ie  wzglę dem  u k ł a d u 

inercjalnego  podczas  ruchu  samolotu  na  skutek  krzywizny  powierzchni  ziemi.  T o t e ż  nie­

z b ę d n ym  w y p o s a ż e n i em  k a ż d e go  ż y r o s k o pu  sztucznego  horyzontu  jest  korektor  pionu 

wymuszają cy  z g o d n o ś ć  osi  ż y r o s k o pu  z  kierunkiem  pionowym. 

N a  rys.  l a  przedstawiono  schematycznie  ż y r o s k o p,  k t ó r e g o  oś jest  odchylona  od  kie­

runku  pionowego  o  kąt  • &. Zadaniem  korektora  jest  wymuszenie  ruchu  ż y r o s k o pu  w  kie­

runku  pokrycia  się  osi  ż y r o s k o pu  0 f  z  osią  oz  równoległą  do  wektora  g  n a t ę ż e n ia  pola 

grawitacyjnego.  R u c h  ten  m o ż e  być  opisany  kinematycznie  torem  dowolnego  punktu  osi 

ż y r o s k o pu  oc  ( r ó ż n e go  od  punktu  O —  ś r o d ka  ruchu  kulistego  ż y r o s k o p u ),  np.  punktem 

okreś lają cym  koniec  wektora  H  momentu  p ę d u. 

D l a  optymalnej  korekcji  tor  powinien  leż eć  w  płaszczyź nie  wyznaczonej  przez  oś  

ż y r o s k o pu  Or  i  oś  wektora  H .  N a  podstawie  tzw.  elementarnej  teorii  ż y r o s k o pu  m o ż na 

powiedzieć,  że  aby  taki  ruch  n a s t ę p o w a ł,  na  ż y r o s k op  musi  działać  moment  z e w n ę t r z ny 

o  kierunku stale  p r o s t o p a d ł y m  do  wektora H  momentu  p ę d u,  leż ą cy  r ó w n i e ż  w  płaszczyź nie 

Hzy  (rys.  Ib).  P r ę d k o ść  opisanego  powyż ej  ruchu  precesyjnego  jest  ś ciś le  zależ na  od  mo­

d u ł u  wektora  momentu.  Oczywistą  jest  rzeczą,  że dla  #  =  0  moment  ten  powinien  z a n i k a ć . 

W y n i k a  stąd  b e z p o ś r e d n i o,  że  zadaniem  korektora  jest  wykrycie  odchylenia  osi  ż y r o s k o pu 

od  kierunku  pionowego  i  wytworzenie  momentu  o  odpowiednim  zwrocie  i  module  — wy­

muszają cego  precesję  ż y r o s k o pu  na  kierunek  pionowy.  M o m e n t  ten  nazywany  jest  mo­

mentem  korekcyjnym. 



454  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

tor  o ptyma lny. 

R y s .  1 

2.  Opis  konstrukcji  korektora  jednokulkowego 

Jednym  z  prostszych  konstrukcyjnie  rozwią zań  korektora  pionu  sztucznego  horyzontu 

jest,  opatentowany  w  roku  1974  w  Z S R R ,  korektor  jednokulkowy  o  oznaczeniu  Z . F . 

C a ł k o w i t y  brak  w  literaturze  fachowej  opisu  zjawisk  dynamicznych  zachodzą cych  podczas 

działania  tego  typu  korektora  uniemoż liwiał  dotąd  zastosowanie  go  w  wytwarzanych  przez 

przemysł  krajowy  sztucznych  horyzontach.  Niniejsza  praca,  które j  podję cie  z o s t a ł o  za­

inicjowane  sugestiami  kierownictwa  jednego  z  krajowych  biur  konstrukcyjnych  przemysłu 

lotniczego,  stwarza  moż liwoś ci zaprojektowania  korektora,  k t ó r y  dzię ki  swej  małej  masie 

i  prostej  konstrukcji  jest  szczególnie  predystynowany  do  wykorzystania  w  sztucznych 

horyzontach  m a ł y c h  s a m o l o t ó w  i  szybowców,  tak  licznie  wytwarzanych  przez  krajowy 

przemysł  lotniczy. 

Szczegóły  konstrukcyjne  korektora  jednokulkowego  są  przedstawione  na  rys.  2.  K u l k a 

/  umieszczona  jest  wewną trz  rowka  prowadnicy  2  stanowią cej  g ó r n ą  czę ść  ruchomego 

korpusu  8.  K u l k a  spoczywa  na  wklę słej  ( p r o m i e ń  krzywizny  S)  powierzchni  bież ni  3 

zwią zanej  sztywno  z  r a m k ą  4  ż y r o s k o p u. K o r p u s  8  u ł o ż y s k o w a ny  jest  na  ramce  przy  po­



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  455 

R y s .  2 

mocy  łoż yska  7  i  n a p ę d z a ny  przez  ż y r o s k op  za  p o ś r e d n i c t w em  wielostopniowej  przekładni 

zę batej  6. 

3.  Analiza  dynamiczna  jednokulkowego  korektora  pionu 

3 . 1 .  Z a ł o ż e n ia  w s t ę p n e.  Opis  u k ł a d u  został  wykonany  w  inercjalnym  układzie  odniesie­

nia.  Odpowiada  to  sytuacjom,  w  k t ó r y c h  samolot  wraz  z  zamontowanym  na  nim  sztucz­

nym  horyzontem  porusza  się  ruchem  jednostajnym  prostoliniowym,  lub  też,  gdy  badamy 

zachowanie  się  sztucznego  horyzontu  z  korektorem  w  warunkach  laboratoryjnych.  Są  

to  zatem  te  wszystkie  przypadki,  w  k t ó r y c h  pion  pozorny  pokrywa  się  z  pionem  rzeczy­

wistym  (kierunkiem  g).  Z a ł o ż o no  dalej,  że  oś  ż y r o s k o pu  sztucznego  horyzontu  wychylona 

jest  o  stały  kąt  od  kierunku  pionowego.  D l a  takiej  sytuacji  napisane  są  r ó w n a n i a  ruchu 

k u l k i  oraz  dyskusja  i  obliczenia  momentu  korekcyjnego. 

Wreszcie  jeż eli  chodzi  o  d y n a m i k ę  ż y r o s k o p u,  oparto  się  na  tzw.  przybliż onej  teorii 

zjawisk  ż y r o s k o p o w y ch  (1)  i (2).  Wszystkie wzory zawarte  w  pracy  są  typu  wielkoś ciowego. 



4 5 6  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

3 .2 .  U k ł a d y  w s p ó ł r z ę d n y c h.  Przy  opisie  u k ł a d u  zostały  wykorzystane  trzy  nieruchome 

u k ł a d y  w s p ó ł r z ę d n y ch  (odniesienia):  p r o s t o k ą t ny  Oxzy,  p r o s t o k ą t ny  0'fr?f,  sferyczny 

QS'ó(p  (dla  S'  =  const)  oraz  ruchomy  u k ł a d  Q'oa  leż ą cy  stale  w  płaszczyź nie  Щ г \  (rys.  3). 

U k ł a d  Oxyz  jest  zwią zany  z  polem  grawitacyjnym,  a  ujemny  zwrot  osi  O z jest  r ó w n o ­

legły  do  wektora  pola  grawitacyjnego  f .  U k ł a d  0 Ł ł ? t  jest  zwią zany  z  o b u d o w ą  ż y r o s k o pu 

( r a m k ą  w e w n ę t r z n ą ),  a  oś  0 ' f  jest  r ó w n o l e g ł a  do  wektora  momentu  p ę du  H  ż y r o s k o p u. 

Punkt  O  u k ł a d u  Oxyz  pokrywa  się  ze  ś r o d k i em  ruchu  kulistego  ż y r o s k o pu  (z  punktem 

przecię cia  się  osi  ramek  zawieszenia  kardanowego  ż y r o s k o p u ).  Osie  О С  i  Oz  przecinają  

się  ze  sobą  w  punkcie  O  t w o r z ą c  kąt  • &. Punkt  O'  jest  oddalony  od  punktu  O  o  odległość  

R  + d/2  (por.  rys.  2).  Ruchomy  u k ł a d  O'QO jest  zwią zany  z  korpusem  8  (rys.  2),  a  oś O'Q 

jest  r ó w n o l e g ł a  do  osi  p o d ł u ż n ej  rowka  prowadnicy  2  (rys.  2). 

Powierzchnia  sferyczna  27  stanowi  miejsce  geometryczne  moż liwych  p o ł o ż eń  ś r o d ka 

k u l k i .  Chwilowe  p o ł o ż e n ie  ś r o d ka  k u l k i  opisuje  w  u k ł a d z i e  XYZ  wektor  r,  k t ó r y  m o ż e 
być  przedstawiony  w  postaci  sumy  ( s k ł a d n i k i  sumy  z o s t a n ą  o b j a ś n i o ne  p ó ź n i e j ): 

r  =  R' +  h +  p.  (1) 

W  u k ł a d z i e  sferycznym  p o ł o ż e n ie  to  o k r e ś l o ne  jest  jednoznacznie  przez  ką ty  6,  (p  (S'  = 

=  const). 

K ą t  <5 jest  k ą t em  p o m i ę d zy  ujemnym  zwrotem  osi  О 'С a  wektorem  w o d z ą c ym  S'  ś r o d ka 
k u l k i  poprowadzonym  ze  ś r o d ka  krzywizny  Q  powierzchni  sferycznej  27.  K ą t  9? jest  k ą t em 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E C . O  K O R E K T O R A  457 

pomię dzy  osią  0'£  a  osią  0'g.  Pochodna  czasowa  k ą ta  cp  jest  r ó w n a  prę dkoś ci  ką towej, 

z  j a k ą  obraca  się  korpus  z  p r o w a d n i c ą  2  (rys.  2): 

<p  =  co  =  const.  (2) 

R ó w n a n i e  (2)  n a k ł a d a  wię zy  na  w s p ó ł r z ę d ną  cp.  Zatem  przy  założ eniu,  że  k u l k a  toczy  się  
po  bież ni  bez  poś lizgu,  ma  ona  jeden  s t o p i e ń  swobody,  odpowiadają cy  współrzę dnej  д . 

Przed  p r z y s t ą p i e n i em  do  dalszej  analizy  należy  okreś lić  zwią zki  mię dzy  wersorami 
u k ł a d ó w  OXYZ,  О 'С п С  i  Oga.  Zwią zki  te  zostały  wyznaczone  na  podstawie  rys.  4: 

1Ł  =  l y c o s t f — l z s i n # , (3) 

1,  =  ­ l x ,  (4) 

l c  =  l y s i n # + l z c o s # ,  (5) 

lp  =  l{COSc> +  l^sinc>,  (6) 

a  po  podstawieniu  (3)  i  (4)  do  (6)  otrzymamy: 

l p  =  — l x sin<j9 + lyCos#cos9> — l z sin#cosc/>.  (7) 

R y s .  4 



458  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

Podobnie: 

1„  =  l ^ c o s i p ­ l f s i n c ) ,  (8) 

1  =  lxcos(p  — lyCos#sin(p +  i z s i n # s i n c p .  (9) 

Jak  to  wykazano  we  wzorze  (1),  wektor  r  m o ż na  p r z e d s t a w i ć  jako  s u m ę  wektorów 

R',  h  i  p,  gdzie: 

R'  =  1 с ( д + у ).  (10) 

3 . 3 .  K i n e m a t y k a  u k ł a d u .  A b y  wyrazić  p o ł o ż e n ie  ś r o d ka  k u l k i  (okreś lone  przez  wektor  r) 
przy  pomocy  zmiennych  д  i  (p,  co  bę dzie  potrzebne  do  wyznaczenia  funkcji  opisują cej 

energię  k u l k i ,  należy  d o k o n a ć  podanych  dalej  przekształceń.  Podstawiając  (5)  do  (6) 

otrzymano  nastę pują cy  zwią zek: 

R'  =  l r ( j ? + y j  s i n 0 + l 2 | i? + y j c o s 0 . 

W p r o w a d z a j ą c  do  (11)  R'  =  R+^=r  otrzymano  ostatecznie: 

R'  =  l y t f ' s i n #  +  l z t f ' c o s # . 

N a  podstawie  rys.  5  m o ż na  n a p i s a ć : 

h  =  l { ( S " ­ S ' c o s ó )  =  1 5 ' ( l ­ c o s ó ) , 

gdzie:  S'  =  S—  —  . 

( I D 

(12) 

(13) 

R y s .  5 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  4 5 9 

Po  wstawieniu  (5)  do  (13)  otrzymamy: 

h  =  l y S ( l  ­cos<5)sin# +  l z S ' ( l  ­ c o s Ó ) c o s #  (14) 
oraz 

p  =  l p 5 ' s i n ó  (15) 

Q  ­  S'sind  (16) 

a  po  podstawieniu  w  miejsce  l p  wyraż enia  (7) 

p  =  — l A ­S'sinÓsincp  +  l ) ­ S ' s i n ó c o s # c o s 9 ? —  lzS'sin<5sin#cos<p.  (17) 

Po  podstawieniu  do  (1)  zwią zków  (11),  (14)  i  (17)  otrzymano  ostateczną  p o s t a ć  wyraż enia 

okreś lają cego  wektor  r : 

г  =  ­  l x S'smósin9?+ly[/?'sin#­r­S'(l  — cosд )sin#  + S'sin<5cost?cos<p]  + 
+  l z [ / ? ' c o s ^  +  S ' ( l ­ c o s ó ) c o s t ? ­ 5 ' s i n ( 5 s i n t > c o s 9 ) ] .  (18) 

P r ę d k o ść  ś r o d ka  k u l k i  może  być  wyznaczona  przez  z r ó ż n i c z k o w a n ie  wzglę dem  czasu 

wyraż enia  (18).  Łatwiej jednak jest  tę p r ę d k o ść  (a  właś ciwie jej  m o d u ł )  wyrazić  b e z p o ś r e d n io 

przez  pochodne  w s p ó ł r z ę d ne  u k ł a d u  sferycznego. 

Prę dkość  ś r o d ka  k u l k i  v C M  m o ż na  przedstawić  w  postaci  sumy: 

УСМ  =  У г +У е ,  (19) 

gdzie: 

v r —  p r ę d k o ść  ś r o d ka  k u l k i  wzglę dem  u k ł a d u  O'gC, 

У е  —  p r ę d k o ść  unoszenia. 

Korzystając  z  rys.  6  napiszemy: 

v r  =  8 x S'  8  ma  zwrot  przeciwny  do  osi  0'cr  (por.  rys.  3)  (20) 

| v , | = / o ­ S '  (21) 

oraz 

v e  =  t o x p ,  (22) 

|T,|  =  tu  • Q,  (23) 
Ponieważ  v r J . v , , .  więc 

i v C M l  =  Vm2Q
2+'d2S'2,  (24) 

VcAl  =  (o2Q2  +  d2S'2.  (25) 

Przy  wyznaczaniu  bezwzglę dnej  chwilowej  prę dkoś ci  ką towej  k u l k i  z a k ł a d a m y ,  że  prę d­

kość  k ą t o wa  k u l k i  wzglę dem  u k ł a d u  ocrf  jest  stale  równoległa  do  osi  O'o.  Po  przyję ciu 

tego  założ enia  otrzymujemy: 

O J C  =  O J ^ +to.  (26) 

Zgodnie  z  powyż szym  założ eniem  co  ma  zwrot  osi  O'a.  D l a  wyznaczenia  <ok  posłuż ymy 

się  r ó w n a n i e m 

vr  =  ÓS',  (27) 

z  drugiej  zaś  strony 



460  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

czyli 

Stąd 

R y s .  6 

ÓS'  =  W f c y . 

cok = —  ÓS', 
a 

Wobec  tego,  że  с ок±с о ,  m o ż na  n a p i s a ć : 

co2  =  —  ó2S'+co2. 

(29) 

(30) 

(31) 

3.4.  E n e r g i a  u k ł a d u .  R ó w n a n i e  (18)  pozwala  okreś lić  z­tową  składową  p o ł o ż e n ia  ś r o d ka 
k u l k i  wzglę dem  u k ł a d u  OXYZ: 

rz  =  l2[R'cos6  +  S'(l­cosd)cos'&­S'smasmi)cos(p], 

r2  ­  7*?'cos?? +  5 " ( l ­ c o s < 5 ) c o s ? ? ­ 5 " s i n ó s i n ^ c o s r . 

(32) 

(33) 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  461 

Oznaczmy  przez  V  energię  potencjalną  k u l k i  i  przyjmijmy  jej  zerową  w a r t o ś ć  dla rx  = 

=  c o s & R ' 

V(r,  =  COS*JJ')  =  0. 

Bę dzie  wtedy 

V  =  mg[S'(\­cos  d)cos&­S'smdsmftcos(p],  (34) 

gdzie: 

m — masa  k u l k i , 

g  — n a t ę ż e n ie  p o l a  grawitacyjnego. 

E n e r g i ę  kinetyczną  m o ż na  wyznaczyć  n a s t ę p u j ą c o: 

E  =  | m v 2 C M + | / C M < o ? .  (35) 

gdzie: 
E—energia  kinetyczna, 

JctA — moment  bezwładnoś ci  k u l k i  wzglę dem  osi  przechodzą cej  przez  ś r o d e k,  fCM  = 

=  0,1  md2. 

P o  podstawieniu  do  (35), (25) i  (31)  otrzymamy: 

E  = ~moi2q2  + ~m'd2S'2  + ~md2<o2.  (36) 

A  p o d s t a w i a j ą c  (16) do  (36) otrzymamy  ostatecznie: 

E  =  i ­ / j i w 2 S ' 2 s i n 2 ( 5  + ^m'62S'2  + ­jrjmd2­  (37> 

P o  założ eniu,  że dla <5  przyję tej  jako  w s p ó ł r z ę d na  u o g ó l n i o n a  nie wystę pują  siły  niepoten­

cjalne  (Qa  = 0), a  więc  że  ruch  k u l k i  wzglę dem  prowadnicy  jest  ruchem  n i e t ł u m i o n y m , 

r ó w n a n i e  Lagrange'a  II  rodzaju  opisują ce  u k ł a d  przybierze  nastę pują cą  p o s t a ć : 

d  I8E\  8E  dU  „ 

l ( Ą ] ­ Ą + Ą  =  ( ) '  .  ( 3 8 ) 

Wyznaczmy  poszczególne  s k ł a d n i k i  (38) 

Щ . =  ^mS'4, 
dó  5 

d  I  8E\  7 

BE 
=  / ? i ( u 2 S " 2 s i n ó c o s ó ,  (40) 

co 
dV 

—r­  =  mgrS'sin<!>cosf?­S'cos<5sin#cos(p].  (41) 
00 

P o  wstawieniu  (39), (40), (41) do  (38) otrzymamy  ostatecznie 

7 

—mS'2d­ma>2S'2s'mdcosÓ  + mgS'sinócos&  — w g S " c o s ó s i n # c o s c s  =  0 .  (42) 

Jest  to  r ó w n a n i e  ruchu  k u l k i  ś cisłe,  przy  wszystkich  dotychczasowych  założ eniach. 



462  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

Obecnie,  dla  uwzglę dnienia  rozproszenia  energii,  załóż my,  że  ruch  k u l k i  t ł u m i o n y 

jest  siłą  p r o p o r c j o n a l n ą  do  prę dkoś ci  ś r o d ka  k u l k i  wzglę dem  zabieraka­prowadnicy.  R ó w ­

nanie  (42)  wzbogaci  się  wtedy  o  s k ł a d n i k  vS'd.  W s p ó ł c z y n n i k  v  charakteryzuje  intensyw­

ność  t ł u m i e n i a : 

7 
­  mS'2d  — w o 2 5 " 2 s i n ócos  ó + mgS'sin  ócos  д — mg S'cos Osin ftcosqi + vS'  o  —  0 . 

P o n i e w a ż  q>  =  wt,  m o ż e my  więc  n a p i s a ć : 

7 
—  mS'2d+vS'd  + m(o'S'2sinócosó  + mgS's\ndcos&  =  mg S'cos Ósin&cos((ot).  (43) 

D l a  uproszczenia  dalszej  analizy  r ó w n a n i e  (43)  zlinearyzujemy  w  otoczeniu  punktu  6  =  0. 

Otrzymamy: 

­  mS'zb  + vS'ó  — mc»2S'2b  + mgS'cos&d  =  mgS'sin&cos(cot),  (44) 

7  mS'2d  + vS'o  + mS'(gcosft­(o2S')d  =  mg S'sin  dcos(«>t).  (45) 

D l a  uproszczenia  postaci  r ó w n a n i a  wprowadzimy  nastę pują ce  oznaczenia: 

/ = ^ < 2 , 

b  =  rS', 

к  =  mS'(gcos9­a)2S'), 

M  =  mgS'sinft. 

Po  ich  podstawieniu  do  r ó w n a n i a  (45)  otrzymamy: 

IŚ +bÓ  + kd  =  Mcosoit,  (46) 

Jest  to  liniowe  r ó w n a n i e  róż niczkowe  o  stałych  w s p ó ł c z y n n i k a c h .  Rozwią zanie  jego  m o ż na 

przedstawić  w  postaci  sumy  rozwią zań  opisują cych  ruch  wymuszony  i  ruch  swobodny. 

A b y  ruch  swobodny,  a  zatem  i  wypadkowy,  był  ruchem  n i e r o z b i e ż n y m,  musi  być  s p e ł n i o ­

ny  warunek: 

к  >  0 

Stąd  wynika,  że 

,  gcostf 

A  zakładając 

otrzymamy  warunek  w  postaci: 

TT 

4~ 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  463 

D l a  к  >  0  s k ł a d o w a  opisują ca  ruch  swobodny,  ze  wzglę du  na  t ł u m i e n i e ,  po  upływie  czasu 

r ó w n e g o  k i l k u  stałym  czasowym  zmniejsza  się do  zera.  Dlatego  też w  rozwią zaniu  uwzglę d­

niamy  tylko  składową  wymuszoną. 

R o z w i ą z a n i em  (46)  b ę d z i e: 

6  =  ómcos(a)t  + yi), 

gdzie:  óm  —  amplituda;  y>— kąt  przesunię cia  fazowego. 

M 
o„,  = 

(48) 

W =  argj 

—  / с о2  Ą ­jbcoĄ ­k 

M 

lub  w  postaci  rzeczywistej: 

• Too2 + jbco + к  

M 

V{k­Ioo2)2  + (bco)2  ' 

boo 
ip =  — arctg 

k  — Ico2 

(49) 

(50) 

7Г  
Efekt  korekcji  bę dzie  maksymalny  dla  ką ta  przesunię cia  fazowego  y>  =  — —  i  zerowy 

dla  ip =  0  lub  f  =  —Ti.  Warunek  ten  pozwala  wyznaczyć  p r ę d k o ść  ką tową  o>, z  j a k ą  

powinna  być  n a p ę d z a na  prowadnica  2  (rys.  2): 

boo 

czyli 

—  =  —arctg — 
2  k­Ioo2 

k­Iw2  =  0, 

2  к  
ш  =  —, 

a  po  podstawieniu  uprzednio  przyję tych  o z n a c z e ń : 

,  5  gcos# 
co  = 

12  S' 
(51) 

P o n i e w a ż  u k ł a d  jako  całość  pracuje  w  otoczeniu  (d  —.0)  i  s p e ł n i a  warunek  o k r e ś l o ny 

przez  n i e r ó w n o ś ć  (47),  m o ż na  przyją ć: 

12  S'  ' 
(52) 

W  dalszym  cią gu  tę  właś nie  w a r t o ś ć  czę stotliwoś ci  bę dziemy  oznaczali  cor  (pulsacja  re­

zonansowa). 

3.5.  T r a j e k t o r i a  k u l k i .  A m p l i t u d a  d„,  dla  co  =  cor  wyniesie: 

<5|n(r)  ^ 
M 

bm 

=  / 1 2  5 : 

г  Г  5  g 

wg sini? 

g  v 
(53) 



464  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

Rozwią zanie  (53)  dla  co = cor  przybierze  nastę pują cą  p o s t a ć : 

Ь =  c>mMcos(wrt  + y>r), 

,  _  / 1 2  S'  mg  .  I  n  \ 

Oznaczmy: 

wtedy: 

.  ,  /  12  5 '  mg  . . .  ;  . 
(5 =  1 /  —  —  sin#sin(a>rf). 

<5 =  /lsin#sin(ri) r f).  (55) 

Wstawiając  (55)  do  (18)  otrzymamy  wektorowe  r ó w n a n i e  trajektorii  ś r o d ka  k u l k i  w  u k ł a ­
dzie  OXYZ.  Trajektoria  ta jest  krzywą  leż ą cą  na  powierzchni  sferycznej  27. 

Przeanalizujemy  teraz,  j a k  przedstawia  się r ó w n a n i e  trajektorii  ś r o d ka  k u l k i  w  u k ł a ­

dzie  O'CrjC,  a  właś ciwie,  przy  p o m i n i ę c iu  składowej  h,  w  płaszczyź nie  0'Crj (rzut  trajek­

torii  na  płaszczyznę  O'Erf). 

W  płaszczyź nie  0'%r\  p o ł o ż e n ie  ś r o d ka  rzutu  k u l k i  opisane  jest  wektorem  p  (16),  a w 
przybliż eniu  (por.  rys.  5) 

p  =  lPS'd.  (56) 

M o d u ł  wektora  p jest  o k r e ś l o ny  n a s t ę p u j ą c o: 

|p|  =  S'd  = S'Anm&$in(o>rt). 

Trajektoria  ś r o d ka  k u l k i  w  płaszczyź nie  0'Có  dana  jest  r ó w n a n i a m i  parametrycznymi: 

cp =  cort, 

Q  ш  S ' , 4 s i n # s i n ( c o , ł ) ­

P o  wyrugowaniu  /  otrzymamy: 

Q  =  S'A sin#sin<p.  (57) 

R ó w n a n i e  to  m o ż e my  n a p i s a ć  w postaci: 

s i n *  ­  Г Ш *  =  Ł  ( 5 8 ) 

Jest  to  biegunowe  r ó w n a n i e  rodziny  o k r ę g ów  o  ś rednicy  D  =  S M sin#  zależ nej  od  k ą ta 

#  (rys. 7). 

3 . 6 .  W y z n a c z e n i e  momentu  korekcyjnego.  W  p o n i ż s z y ch  obliczeniach  z a k ł a d a m y ,  że  ż y­

roskop  jest  całkowicie  w y w a ż o ny  dynamicznie  i  że  u k ł a d y :  ż y r o s k o p ­ r a m ka  w e w n ę t r z na 

(obudowa)  oraz  ż y r o s k o p ­ r a m ka  w e w n ę t r z n a ­ r a m ka  z e w n ę t r z na  są  idealnie  w y w a ż o ne 

statycznie  wzglę dem  ś r o d ka  ruchu  kulistego  ż y r o s k o pu  ( ż y r o s k op  astatyczny).  W y n i k a 

stą d,  że jedynym  ź r ó d ł em  niewyważ enia  bę dzie  przemieszczanie  się k u l k i  (I  rys.  2 ) k o ­

rektora. 

N a  k u l k ę  (w  układzie  inercjalnym,  np. OXYZ)  działają  siły:  cię ż koś ci  i  reakcje  prowa­

dzą cej  oraz  bocznej  powierzchni  zabieraka.  Z a ł ó ż m y,  że  boczne  powierzchnie  zabieraka­



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  465 

prowadnicy  są  równoległe  do  osi  ż y r o s k o p u,  a  co  za  tym  idzie,  reakcja  k u l k i  na  powierzch­

nię  boczną  zabieraka jest  p r o s t o p a d ł a  do  tej  osi.  M o m e n t  tej  reakcji  wzglę dem  punktu  O 

(ś rodek  ruchu  kulistego  ż y r o s k o p u)  jest  wektorem  leż ą cym  na  osi  momentu  p ę du  ż yro­

skopu  (osi  ż y r o s k o p u)  i  jako  taki  nie  m o ż e  z m i e n i ć  kierunku  wektora  momentu  p ę d u. 

Stanowi  on  natomiast  dodatkowe  obcią ż enie  silnika  ż y r o s k o p u. 

R y s . * 7 

Moment  korekcyjny  (moment  powodują cy  precesję  osi  ż y r o s k o pu  na  kierunek  piono­

wy)  bę dzie  zatem  momentem  reakcji  k u l k i  na  p o w i e r z c h n i ę  p r o w a d z ą cą  (bież nię  3,  rys.  2). 

Reakcja  ta  jest  sumą  reakcji  statycznej  i  dynamicznej.  P o n i e w a ż  składową  przyspieszenia 

k u l k i  równoległą  do  osi  0 Ł  m o ż na  p o m i n ą ć,  zatem  r ó w n i e ż  składową  dynamiczn ą  wyż ej 

wspomnianej  reakcji  pominiemy  w  dalszych  obliczeniach. 

Statyczna  s k ł a d o w a  tej  reakcji  jest  r ó w n a  składowej  siły  cię ż koś ci  równoległej  do  osi 

OL,  (rys.  8): 

P  =  G t  =  ­ l t / n j j c o s # .  (59) 

Moment  chwilowy  tej  siły  wzglę dem  punktu  O  wyniesie: 

M 0  =  r ( / ) x P  (60) 

a  p o n i e w a ż  [R'  +  h]|iOC  (rys.  3),  w i ę c: 

M 0 ( / )  =  P ( / ) x P .  (61) 

Podstawiając  (56)  i  (59)  do  (61)  otrzymamy: 

M o ( / )  =  [\„S'd(l)]x  [ ­ l f m g c o s # ] , 

M Q ( 0  =  l 0 S " ó ( / ) m g c o s # ,
  ) 

10  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



466  A .  D Ą B R O W S K I)  Z .  B U R D A 

R y s .  8 

a  podstawiwszy  (55): 

oraz 

M 0 ( / )  =  laS'mgA&m&As'm'&sin^o.t) 

|M0(OI  =  y S ' w g . 4 s i n 2 # s i r i ( w r r ) . 

A b y  wyrazić  M0(t)  w  u k ł a d z i e  nieruchomym,  podstawiamy  (8)  do  (63): 

M 0 ( 0  =  [­\^sm{(ort)  +  \nco%(o)rt)]~S'mg2smdsm{c)rt), 

a  po  przekształceni u 

(63) 

(64) 

M 0 ( f )  =  ­ l Ł " ­ S ' m g / l s i n 2 # [ l ­ c o s ( 2 c o r r ) ]  +  l , ; Ą ­S'mgAs'm2&s'm(2cort)  (65) 

R ó w n a n i e  (65) przedstawia  r o z k ł a d  chwilowego  momentu  korekcyjnego  na  s u m ę  momen­

t ó w  wzglę dem  osi  i  0'r\. 

N a  rys.  9  przedstawiono  przebiegi  s k ł a d o w y c h  tych  m o m e n t ó w .  Z  r ó w n a n i a  (65) 

Z  r ó w n a n i a  (65) widać,  że przebiegi  zmiennoś ci  s k ł a d o w y c h  momentu  korekcyjnego  mają  



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  467 

okres  podstawowy  T/2,  gdzie  2™=—^­.  Wyznaczmy  impuls  momentu  korekcyjnego  za 
COf 

jeden  okres  (T/2): 
Г /2 

п ( М о ,т )=  /  М о ( ? ) Л; 

analogicznie 

П » ,.  M o , 

Г /2 

j  M(ln(t)dt. 

Impuls  całkowity  jest  sumą  s k ł a d o w y c h : 

п  = nf+n,r 

м „' 

1 ^ S m g A s i n 2 i > 

\ s m g A s i n 2 i > s i n ( 2 u r t ) 

1 ^S'mgAsin2i!' 

R y s .  9 

S k ł a d o w e  impulsy  momentu  korekcyjnego  m o ż na  wyznaczyć  z  poniż szych  z w i ą z k ó w: 

Г /2 

j  l,\­j­SmgAsm2&sin(2<ort)\dt  =  0, 

Г /2 

j'  ­ l f  ^­SmgAsin2Ą \­cos(2(ort))  dt = 

Г /2 

­l^S'mgAsmlft  j  ( l ­cos(2o>rf))ift  = 

l(­C­S'mgAś m2d  ­ =  ­ I * J­S'wg/<sin207'. 



4 6 8  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

Ostatecznie  impuls  c a ł k o w i t y  bę dzie  r ó w n y  7 / f : 

Щ М0,  T/2)  ш  ­U  \­S'mgAsin20  • T.  (66) 
o 

Z a ł ó ż m y,  że tego  samego  impulsu  udzielałby  stały  moment  M ś r  =  —  \$М \Г  (w  tym  samym 

czasie), 

П  =  ­ L M s r y  =  ­li—S'mgAs\i\2&­  T=>  Mir  =  ~S'mgAsm2d 

dla  niewielkich  odchyleń  osi  ż y r o s k o pu  od  pionu 

Mir  =  —S'mg  Ad. 

Powracając  do  pierwszych  oznaczeń  (14)  i  (54)  otrzymamy 

* ,  =  | / j ­ ( S " £ )  (67, 

gdzie  Q —  gę stość  właś ciwa  m a t e r i a ł u  k u l k i . 

u 
0  <  i> <  arcsin  ^r=r­r. 

1Ъ  A 

W z ó r  (67)  obowią zuje  w  zakresie  k ą t ó w:  j . w . 

D l a  ką tów  & wię kszych  od  arcsin j ^ s ' ^ ) '  Z e  W Z S ' ^ U  n a  ograniczon ą  długość  prowad­

nicy,  korektor  pracuje  nieliniowo  —  trajektoria  k u l k i  zbliża  się  do  p ó ł o k r ę gu  o  ś rednicy 

L'  (rys.  10).  Moment  korekcyjny  wyraża  się  wtedy  wzorem  (dla  czę ś ci  obwodowej  tra­

jektorii) 

M 0 n  =  l0L'mgcos§  M0n  —  moment  nasycenia), 

a  po  podstawieniu  (8) 

Mo„  =  lq^­L'mgcosdcoscp­lc  ^­L'mg  cosv sin <p.  (68) 

Impuls  momentu  za  p ó ł  obrotu  zabieraka  wyniesie  (przy  p o m i n i ę c iu  impulsu  „ w y t w a r z a ­

nego"  na  prostoliniowej  czę ś ci  trajektorii): 
772 

П„  =  j  M0ii(t)dt,  ( I L , —  impuls  nasycenia) 
o 

Г /2 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E O O  K O R E K T O R A  469 

п„ 

Г /2 

=  1„ •  ­ y L ' w Ł C 0 S #  J "  cos(cor0^  =  О, 

Г /2 

i  Г  i  г  
I L  =  — Ь •­—­L'mgcosft  sin(wrt)dt  =  ­ 1 £  • —­L'tngcosft  —, 

"  2  J  2  7i 

П„  =  ­ 1 

L ' 

2 

1  Т  
• —­L'mgcosft  •  — 

Mir  = — m g c o s & , 

gdzie:  A / Ś r  — moment  ś redni  nasycenia. 

P o n i e w a ż  

otrzymamy: 

m  =  ­rQnd
i, 

o 

Mit. 
1  L' 

QT:d3gcose.  (69) 

C h a r a k t e r y s t y k ę  momentu  ś redniego  korekcyjnego  przedstawia  rys.  11. 

4.  Uwagi  koń cowe 

Stworzony  w  niniejszej  pracy  model  matematyczny  korektora  oraz jego  analiza  dają ca 

szczegółowy  opis  zasady  d z i a ł a n i a  tego  typu  korektora,  a  nadto  zbudowanie  funkcji  o p i ­



470  A .  D Ą B R O W S K I,  Z .  B U R D A 

sują cej  moment  korekcyjny  „ w y t w a r z a n y "  przez  korektor,  w  zależ noś ci  od  k ą ta  odchy­

lenia  osi ż y r o s k o pu  od  kierunku  pionowego  i  p a r a m e t r ó w  konstrukcyjnych,  wzbogacone 

o  pewne  dane  d o ś w i a d c z a l n e,  powinny  s t a n o w i ć  pomoc  przy  projektowaniu  tego  typu 

; jn |  1/   j  Ko t  odc hyle nia  osi 

2 SA  ż yro sko pu  od  pionu 

R y s .  11 

u r z ą d z e ń.  M o g ą  one  być r ó w n i e ż  wykorzystane  jako  wstęp  do  bardziej  zaawansowanej 

analizy  lub do  obliczeń  numerycznych. 

W y b ó r  typu  korektora  podyktowany  został  potrzebami  przemysłu  krajowego. 

L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie 

1.  R . H .  C A N N O N ,  J r  Dynamika  układów  fizycznych,  W N T ,  W a r s z a w a  1973. 

2 .  W .  R U B I N O W I C Z ,  W .  K R Ó L I K O W S K I ,  Mechanika  teoretyczna, P W N , W a r s z a w a 1980. 

3.  A .  S T E F A N O W I C Z ,  Wyposaż enie  samolotu,  W P W ,  W a r s z a w a 1981. 

4.  M .  K A Y T O N ,  W . R .  F R I E D ,  Elektroniczne  układy  nawigacji lotniczej,  W K . Ł , W a r s z a w a ]  976. 

5.  E . J . S I F F ,  C . L . E M M E R I C H , An Engineering Approach to Gyroscopic Instruments,  R o b e r t  S p e l l e r a n d  S o n s , 

P u b l i s h e r s ,  Inc,  N e w  Y o r k  1960. 

6.  P . H .  S A V E T ,  Gyroscopes:  Theory and  Design,  M c G r a w  H i l l ,  B o d e  C o , Inc, N e w Y o r k  1961. 

7.  J . B . S C A R B O R O N G H ,  The  Gyroscope: Theory and Applications Inlcrscicnce P u b l i s h e r s ,  Inc,  N e w  Y o r k  1958 

8  P .  D E V E R G N E ,  Horizons  Gyroscopiques de  conception  francaise  en produktion  industrielle W :  A i r  T e c h ­

niques,  v o l . 4, 1963. 

P a t e n t y 

P I .  H o r y z o t  s z t u c z n y ,  G O l c  15/4 N r  2425,  P o l s k a , 1935. 

P 2 .  A u f r i c h t v o r r i c h t u n g  fur  K r e i s e l h o r i z o n t e ,  42c  25/50  N r  863 422, R F N ,  1950. 

P 3 .  K u g e l a u f r i c h t e r  fur  V e r t i k a l k r e i s e l ,  42 с  2 5 / 5 0  N r  11466663,  R F N ,  1958. 

P 4 .  I m p r o v e m e n t s  i n  E r e c t o r s  o f  G y r o ­ v e r t i c a l s ,  G 6 1 c  19/50  N r  34086,  A n g l i a , 1965. 

P 5 .  D e v i c e s  f o r  R e d u c i n g  the  A c t i o n  o f  P e n d u l o u s  E r e c t o r s  o n  G y r o ­ v e r t i c a l s , G 0 1  с  19/54  N r  34613, 

A n g l i a ,  1965. 

P 6 .  A u f r i c h t v o r r i c h t u n g  m i t  P e n d e l m  fur  V e r t i k a l k r e i s e l ,  42 с  25/50  N r  1498027,  R F N ,  1965. 

P 7 .  G y r o  E r e c t i o n  S y s t e m ,  G O l c  19/30,  19/46.  N r  3,  498, 146, U S A ,  1966. 

P 8 .  A . D e v i c e  for S u p p r e s s i n g  the  E r e c t i o n  i n G y r o  H o r i z o n s  for  A i r c r a f t ,  G O l c  19/54. 

P 9 .  U s t r o j s t v o  k o r e k c j i  g i r o v e r t i k a l i , G 0 1  С  19/50,  N r  583372,  Z S R R ,  1974. 



D Y N A M I K A  J E D N O K U L K O W E G O  K O R E K T O R A  471 

P I O .  D i s p o s i t i t i f  de  c o r r e c t i o n  m e c a n i q u e  d'une  centrale  g y r o s c o p i q u e  de  v e r l i c a l e ,  G O I С  1 9 / 4 2 . N r 7 6 

26712,  F r a n c j a ,  1976. 

P i l .  E r e c t e u r  de  gyroscope  de  verticale,  G O I  С  19/50.  N r 78 06250,  F r a n c j a 1978. 

P 1 2 .  K o r e k t o r  g i r o s k o p u  p i o n o w e g o ,  G O I  С  19/50.  N r  213824,  P o l s k a ,  1979. 

P 1 3 .  E i n r i c h t u n g  z u m A u f r i c h t e r  u n d S t u t z e n  eines  L o t k r e i s e l s ,  G O I  С  19/50  N r 28  38 740, R F N , 1978. 

P 1 4 .  D i s p o s i t i f  p o u r  le redressement  et  le s o u t i e n  d ' u n gyroscope  g r a v i t a t i o n n e l ,  G 0 1  С  19/50  N r 79 06176, 

F r a n c j a ,  1979. 

P 1 5 .  D e v i c e  for  E r e c t i n g  a n d  S t a b i l i z i n g  a  G y r o  V e r t i c a l ,  G  01  С  19/50  N r 4 ,  294, 128, U S A , 1979. 

P 1 6 .  V o r r i c h t u n g  z u m A u f r i c h t e n  u n d S t u t z e n  eines  L o t k r e i s e l s ,  G 0 1  С  19/46  N r 30 00 265,  R F N , 1980, 

P 1 7 .  D i s p o s i t i f  de  redressement  et  de  soutien  d ' u n  gyroscope  g r a v i t a t i o n n e l ,  G 0 1 С  19/46 N r  8100109. 

F r a n c j a ,  1981. 

Р е з ю ме  

Д И Н А М И Ч Е С К ИЙ  А Н А Л ИЗ  М Е Х А Н И Ч Е С К О ГО  К О Р Р Е К Т О РА  В Е Р Т И К А ЛИ  П О  

А В И А Г О Р И З О Н ТУ  

В  с т а т ье  п р и в о д и т ся  д и н а м и ч е с к ий  а н а л из  м е х а н и ч е с к о го  к о р р е к т о ра  в е р т и к а ли  п о  а в и а г о р и­

з о н т у. 

О п и с ы в а е т ся  н а з н а ч е н ие  к о р р е к т о ра  и  в ы п о л н е н ые  и м  ф у н к ц и и.  Д а на  т а к же  к л а с с и ф и к а ц ия  

с и с т ем  к о р р е к ц и и,  п р е д л о ж е н н ая  а в т о р а м и.  О с н о в н ая  ч а с ть  р а б о ты  п о с в я щ е на  к о н с т р у к ц ии  а н а­

л и зу  и  п о д р о б н о му  р а с с м о т р е н ию  м а т е м а т и ч е с к ой  м о д е ли  о д н о ш а р н о го  к о р р е к т о ра  с  п р я м о л и н е й­

н ой  н а п р а в л я ю щ е й. 

А в т о ры  п р и н я ли  р яд  п о л о ж е н и й,  к о т о р ые  с ч и т а ют  т е о р е т и ч е с к ой  о с н о в ой  д ля  р а з р а б о т ки  

с и с т ем  к о р р е к ц ии  с  у ч е т ом  р е а л ь н ых  у с л о в ий  р а б о т ы. 

S u m m a r y 

D Y N A M I C A L  A N A L Y S I S  O F  T H E  M E C H A N I C A L  E R E C T O R  F O R  G Y R O ­ V E R T I C A L 

T h e  subject  o f  the  paper  is  a  d y n a m i c a l  analysis  o f  the  m e c h a n i c a l  E r e c t o r  for  G y r o ­ V e r t i c a l  (for 

A r t i f i c i a l  H o r i z o n ) . 

T h e  paper  i n f o r m s  a b o u t  a p p l i c a t i o n  a n d  functions  o f  G y r o ­ E r e c t i n g  D e v i c e s .  It  also  includes  c l a s s i ­

f i c a t i o n  o f  G y r o ­ E r e c t i n g  Systems  — p r o p o s e d  by  the  a u t h o r s . 

T h e  m a i n  part  — covers  design,  analysis  a n d  detailed  d i s c u s s i o n  o f the  m a t h ,  m o d e l  o f one  b a l l  type 

G y r o ­ E r e c t o r  w i t h  straight­line  g u i d e w a y . 

A u t h o r s  have  t a k e n  i n t o  account  a  n u m b e r  o f  p r i n c i p l e s  treated  as  theories  i n  w o r k i n g  out  s o l u t i o n s 

to  real  situation s  i n the  w o r k  o f  E r e c t o r  for  G y r o ­ V e r t i c a l . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  3  grudnia  1982 roku