Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3 ­ 4 .  22  (1984) 

T H E R M A L  S T R E S S E S  I N  A  T R A N S V E R S E L Y  I S O T R O P I C  L A Y E R  C O N T A I N I N G 

A N  A N N U L A R  C R A C K . 

T E N S I L E ­  A N D  S H E A R ­ T Y P E  C R A C K 

B O G D A N  R O G O W S K I  ( Ł ó d ź ) 

Politechnika  Łódzka 

Instytut Inż ynierii  Budowlanej 

The  thermal  stress  problem  for  an  annular  crack  contained  i n  a  transversely  isotropic 

layer  is  investigated  using  the  technique  of  Hankels  transforms,  triple  integral  equations 

and  series  solutions.  F o r  symmetrical  constant  temperature  over  the  crack  surfaces  and 

for  two  cases of antisymmetrical  thermal  loadings  namely  a  prescribed  temperature  applied 

to  the  surfaces  o f the  layer  and  uniform  heat  flow  disturbed  by  an  insulated  crack,  expres­

sions  for  the  crack  shapes,  the  normal  and  shearing  thermal  stresses  i n  the  crack  plane 

and  the  mode  I  and  II  stress  intensity  factors  are  obtained.  Results  are  presented  illustra­

ting  the  effect  o f  the  physical  properties  o f  the  material  on  the  stress  intensity  factors. 

1.  Introduction 

The  penny­shaped  crack  i n  a  temperature  field  was  treated  by  Olesiak  and  Sneddon, 

who  showed  that  the  crack  opens;  the  problem  was  symmetrical  with  respect  to  the  crack 

plane  [1].  The  features  o f  antisymmetry  were  presented  by  Florence  and  Goodier  i n  the 

linear  thermoelastic  problem  o f  uniform  heat  flow  disturbed  by  a  penny­shaped  insulated 

crack  [2].  The  thermal  stress  problem  for  an  annular  crack  contained  in  a  transversely 

isotropic  medium  [3 ­ 5]  is  investigated  in  the  present  work.  The  thermal  conditions  con­

sidered  are  symmetrical  [1]  and  antisymmetrical  [2]  (two  cases  of  thermal  loadings)  with 

respect  to  the  crack  plane.  Assuming the  heat  flux  on  the  crack  surface  as  a  Fourier  cosine 

series  (with singularities  at  the  tips  of the  crack)  in symmetrical problem  or  the  temperature 

on  the  crack  surface  i n  the  form  o f  Fourier  sine  series  i n  antisymmetrical  one,  and  axial 

or  radial  displacement,  respectively,  as  a  Fourier  sine  series,  we  have  reduced  the  triple 

integral  equations  o f  the  heat  conduction  and  thermoelastic  problems  to  the  solution  o f 

infinite  sets  o f  linear  simultaneous  equations  for  the  coefficients  introduced  i n  the  series 

representations.  Thus,  the  mode  I  and  II  thermal  stress intensity  factors  are  easily  evaluated 

in  terms  of  the  coefficients  of  series  expansions  of  the  physical  quantities. 

4 



474  В .  R O G O W S K I 

2 .  The  potentials  of  thermoelastic  displacements 

The  thermoelastic  displacement  potentials  <pt(r,  z)(i  =  0 , 1 , 2 )  satisfying  the  foregoing 

equilibrium  equations  are  defined  [6]  as: 

и  =  dr(kcpl+cp2  + <p0),  & =  0,  w  =  dz(<pi  +k<p2+k1<p0),  (2.1) 

a,  =  ­Gl(k+\)d
2(<Pi+cp2)­2G>­

lu­Glsź x(\+k1)T, 

ав  =  ­ C 1 ( A : + l ) a | ( ? ) l + ? ) 2 ) ­ 2 G a r w ­ G 1 i
2 ? < ( l + A : 1 ) r , 

at  =  G^k+^d^sj^+sj^  + G^il+k^T,  (2.2) 

arz  = { ^ ( f t + l R d a C p i + 9 ^ + 6 , ( 1 + * i H d , * > . 

CrO  =  °~z0  =  0, 

(d2  + r­i8r  + sr
2d2z)cpi(r,z)  =  Q,  (7  =  0 , 1 , 2 ) , 

so2  82<p0(r,z)  =  xT(r,z),
  ( " 3 ) 

where  the  symbols  8r,  8Z  etc.  denote  partial  differentiation  and 

Pr(Cl 3 +  C 4 4 )  ­  Pz(Cl 1 ~  *o 
PACttSl-CiJ­PtSKcu + Cu) ' 

fir(c33sO  —  C 4 4 )  —  fiz  S o i C l i  +  C 4 4 ) 

(2.4) 

^0 (^13  +   P 4 4 ) 2  ( c i i   so  C 4 4 )  (.c3iso  CAA) 

fir  =  ( f n  +  c l 2 ) a r  +  ct  3 « „  /?,  =  2 с 1 3 о ^ + С з з «„  ^ o
2  =  Л ./А ,­. 

The  temperature  field  in  the  medium  in  a  steady  state  is  governed  by  the  following  equa­

t i o n : 

(82+r­i8r  + s0­
282)T(r,z)  =  0.  (2.5) 

In  above  equations,  the  z­axis  is  along  the  axis  of  symmetry  of  the  material  that  has  five 

elastic  constants  си  and  u, v,  w  are  the  radial,  circumferential  and  axial  components  of 

the  displacement,  ar,  a0  etc.  are  the  components  o f  the  tensor  stress,  T  is  the  deviation  of 

the  absolute  temperature  from  the  temperature  of  the  medium  in  a  state  of zero  stress  and 

strain,  G  and  Gi  are  the  shear  modulii  in  the  planes  of  isotropy  and  along  the  z­axis  res­

pectively,  Д Г |  Я,  and  xi,  xr  are  the  coefficients  of  thermal  conductivity  and  the  linear 

thermal  expansion  along  the  z­axis  and  in  the  planes  of  isotropy,  respectively,  and  J l ( 
s2,  к  are  the  material  parameters  [6]. 

3.  Statement  of  the  problem  and  temperature  fields 

The  geometry  is  illustrated  in  F i g .  1.  The  middle  plane  of  the  layer  is  taken  as  the 

plane  z  =  О (С  =  0)  in  cylindrical  polar  coordinates,  the  annular  crack  extending  over 
the  region  a  <  r  <  b  (A <  Q <  1).  The  crack  is  opened  by  the  application  o f  constant 

temperature  —  T0  to  its flat  surfaces  and  the  heat flux  is zero  outside  the  crack  in the  middle 

plane  ( F i g .  la  —  symmetrical  problem).  T w o  cases  of  antisymmetrical  thermal  loadings 

also  are  to  be  considered  ( F i g .  lb  —  antisymmetrical  problem). 

First  case  concerns  the  temperature,  odd  in  z,  applied  on  the  layer  surfaces.  The  pro­



T H E R M A L  STRESSES  475 

a) 

b) 

oz  0 

el/.,) 

ima g ina ry 

z O 

line of 

<f­(l2=0 

•+  S k i  f  ? W  ^ 
a ntisymme try /  

b(1) 

tra nsve rse ly isotropic  la ye r 

F i g .  l a ,  G e o m e t r y  a n d  c o o r d i n a t e  s y s t e m ; 

F i g .  l b ,  G e o m e t r y ,  c o o r d i n a t e  system  a n d  b o u n d a r y  c o n d i t i o n s 

blem  of  uniform  heat  flow  disturbed  by  a  crack  whose  faces  are  thermally  insulated  in 

second  case  is  considered.  Because  of  symmetry,  attention  may  be  restricted  to  the  region 

0  ^  С ^  V­

The  thermal  conditions  inside  and  outside  the  annulus  f  =  0,  A <  p  <  1  and  at  f  =  r] 

are  as  follows: 
T(Q,0)  =  ­ T 0 ,  Д <  Q <  1, 

3T 
­^­(Q,0)  =  0,  0  ^  Q  <  A ,  1  <  Q, 

T(Q,  ф  =  0,  Q>0, 

i n  symmetrical  problem  and 

case  1: 

'W 
( e , o )  =  o, 

T(Q,0)  =  o, 

\ T 0 , 

A  <  Q  <  1 , 

0  ^  Q  <  A ,  1  <  rt, 

0  ^  Q  <  A , , 

A,  <  Q, 

case  2: 

( e , o )  =  ­ T 0 ,  A  <  Q  <  i , 

П е . о)  =  о , 

T(Q,rj)  =  o, 

о  =s  Q  <  A ,  i  <  e, 

<?  >  o, 

(3.1) 

(3.2) 

(3.3) 

(3.4) 

(3.5) 

(3.6) 



476  В .  R O G O W S K I 

in  antisymmetrical  problem,  where  T0  and  т 0  are  constants.  The  boundary  condition  for 

the  case  2  is  equivalent  to  the  problem  of  uniform  heat  flow  disturbed  by  the  annular 

crack  whose  faces  are  thermally  insulated. 

The  solution  of  this  problem  can  be  obtained  by  superposing  the  solutions  of  the 

following  problems,  (i)  The  problem  o f  crack­free  region  having  temperature  distribution 

T  =  T 0 Z ;  and  (ii) the  problem  of the  annular  crack  with  a  temperature  distribution  T(r,  z) 

which  is  an  odd  function  o f z,  vanishes  at  the  edges  of  the  medium  and  satisfies  the  condi­

tion  (3.5),. 

The  disturbed  temperature  field  is  r0z+T(r,  z). 

The  solutions  o f  E q .  (2.5),  appropriate  to  the  conditions  (3.2),  (3.4)  and  (3.6),  respec­

tively,  are  as  follows: 

F 
T(e,S)  =  J  60(x)shsox(i;­rj)j0(xQ)dx,  (3.7) 

о  
oo  

T(e,S)=  f  ^ ( x H c h J o x C ­ c t o f o  (3.8) 

00  

T(Q,  J)  ­  )  02(x)[chsoxt­cth(soxr))shsoxC]Jo(xg)dx,  (3.9) 
b 

where  J„'xg)  is  the  Bessel  function  of  the  first  k i n d  in  order  n.  The  unknown  functions 

6o(x),0,(x),62(x),  can  be  found  from  Eqs.  (3.1),  (3.3),  (3.5),  which  lead  to  the  following 

triple  integral  equations: 

(3.10) 

j  60(x)sh(s0xrj)J0(xQ)dx  — T0,  A ̂   g  <  1, 
о  

00  

j  xd0(x)ch(s0xr])J0(x(>)dx  =  0,  0  <  Q <  X,  1  <  g, 
о  

00  

1  xOi(x)[l+h0(xrj)]J0(XQ)dx  = 
b 

00  

=  A t Г о  Г ­ г ^  Jl(xXl)J0(x6)dx,  A <  Q <  1,  (3.11) 
J  S i l  Sn  XT] 
о  ' 

oo  

j  e,(x)J0(xo)dx  =  0,  0  ^  Q <  X,  1  <  Q, 
0 

00  

1  x02(x)[l  +h0(xri)]J0(xg)dx  =  r0bso\  ?. <  g  <  1,  (3.12) 
b 

00  

jf  0 2 ( x ) / o ( x g ) d x  =  0,  0  ^  g  <  X,  1  <  g, 



T H E R M A L  STRESSES  477 

with  h0(xrj)  being  defined  as 

h0(xri)  =  2[exp(2s0x>))­\]­
1.  (3.13) 

The  above  triple  integral equations  correspond  to  the  symmetrical problem,  Eqs.  (3.10), 

and  antisymmetrical one  in the  case  1, Eqs.  (3.11),  and  in the  case 2,  Eqs. (2.12),  o f  thermal 

conditions. 

We  use  here the  series  expansion  method  to  solve the  above  triple integral equations  [7]. 

Interchanging  the  variable  Q i n  A <  g  <  1 to  ф  in  0  <  ф  ^  к  

2Q2  =  l + A 2 ­ ( l ­ A 2 ) c o s ^  •  (3.14) 

the  variables  Q and  ф  correspond  each  other  and  о  =  X  is  ф  =  0  and  Q =  1  to  ф  =  т с. 

The  following  integral  formulas  are  to  be  utilized  [8]: 

0,  0  <  Q  <  л ,  1  <  Q, 

4  COSAZ</ >  /„  =  j  xZn(x)J0(xo)dx  = 

[ т г ( 1 ­ А2 )  sin<ri  ' 

00  

/ » ­ ! ­ / * + 1  =   J  c„(x)/ o (*e)<k  = 

A  <  Q  <  1 , 

о ,  о  <  £i <  i,  i  <  g, 

8  
$т п ф  A <  g  <  1, 

(3.15) 

7 t ( l ­ A 2 ) 

where 

Z„(x)  =  / , ( x  1 **  j / , f X — ^ ­ j ,  C„(x) =  x[Zn­,(x)­Zn+l(x)]. 

Then,  the  unknown  functions  0o(x),  0,(.v)  and  0 2 (*)  can  be  expressed  by  series: 

00 

e0(x)ch(s0xr])  =  T0 2}а',гя(х ), 
я =  0 

00 

6t(x)  =  Я, Го ^b'„  C„(x), 
/1 =  1 

00 

02(x)  =  T 0 f e o
  1  ^ c ń C „ ( x ), 

(3.16) 

(3.17) 

(3.18) 

(3.19) 

where  a'0,  a\,  ...,  b[,b'2,  ...  and  c[,c'2,  ...  are  unknown  parameters. 

Thus,  the  appropriate  series  representations  (3.17)­  (3.19)  satisfied  two  of  the  three 

equations  exactly.  Substituting  Eqs.  (3.17),  (3.18)  and  (3.19)  into  Eqs.  (3.10),,  (3.11), 

and  (3.12),,  respectively,  and  using  the  Neumann's  formula  [9] 

JO(XQ)  =  Z0(x)  + 2  ^  гт(х )с о *т ф,  A <  g  <  1,  (3.20) 

we  get  the  following  infinite  sets  of  simultaneous  equations  for  the  determination  of  the 

coefficients  a'n,  b'„,  c,\ 

CO  00 

E«'*f[l­goixt})]ZMZJx)dx  ­=  <50m,  {m  =  0,  1,  2,  . . . ) ,  '(3.21) 
n=0  0 



478  В .  R O G O W S K I 

0 0   0 0  

]?Ь '„  f  U + h0(xV)]C„(x)Cm(x)dx  = 

п =\  О  

00 

­ ' f ^ ' ^ c j u * .  ( й ,  =  1 ' 2 ' ­ ) ' 
00  с о  

/  [1 +h0(xr])]Cn(x)Cm(x)dx  =  д1т,  (>п =\,  2,  ...), 
я =1  О  

where  д0т  and  д ш  are  Kronecker's  deltas and 

go(*v)  =  2[1 +exp(2A:r7^ o)] _ 1­

In  terms o f coefficients  a'n, b'„, c'n it is found  that 

GO  00 

7 ­ 0  0 

CO  CO 

Г ( е,  С) =  Я, Г 0 J  J ^
1 ^ C n ( . Y ) [ c h 5 o ^ ­ c t h ( J o x r ? ) s h j o ­ v a  + 

O  n=  1 

+  / l ( X A l ) f ^ } / o ( ­ V 0 ) ^ ' 

0 0   CO 

T(g,  O' ­  r0bss
l  ^ c ' n j  C „ ( x ) [ c h 5 ' o X c : ­ c t h ( j o X ? 7 ) s h 5 o x C ] / o ( ^ ) ^ . 

n=  1  0 

i n  the symmetrical  and antisymmetrical  (case  1 and 2) problems,  respectively. 

A t  the  plane  f  =  0  we  have: 

0 0  

Г ( е , 0 )  =  ­Т0]?аа[Г0­2(?0],  0 <  Q <   A,  1 <  e > 
л = 0 

AR,  L  4Г 0 5 0  i  v  '  /•  2 ̂   i 
^ ^ ^ ^ T r a ^ ­ s i r ^ Z ^ ^ ' ^ '  ; ­ < ^ < ь  

for  symmetrical  thermal  loading  and 

О  T '  1  V""l 

П   =  1 

+  XXTQSQ  I  ­ r —  J1(XX1)J0(XQ)CIX,  O  Q  <  Л ,  1 



T H E R M A L  STRESSES  479 

П а ,  0)  =  _ ( 1
8 _ T p K  £

  f » s i n W ) .  A ̂   g  <  1  , 

(3.30) 

AR 
д о  

о < p < я,  i  <  о  

i n  the  case  1 and  2  o f  the  antisymmetrical  problem. 

In  above  equations: 

00  

/3  =   /   / 0 ( A' e ) z n ( x ) c / x , 

C70  =  /  [exp(2xqj 0 )+  I ]
­ V 0 ( ­ v e ) Z „ ( x ) J x ,  (и  =  0,  1,  2,  . . . ) , 

о  
00  

HE  = j  [ e x p ( 2 ^ 0 ) ­  1]­
1J0(XQ)X­­­j^­dx,  ( « = 1 , 2 , . . . 

(3.31) 

The  integrals  /5  can  be  presented  analytically  by  Gaussian  hypergeometric  series  and  a 

G a m m a  function  [10].  The  integrals  C70  and  #3  can  be  easily  evaluated  numerically, 

because  those  integrands  decrease  exponentially  to  zero.  The  heat­flux  on  the  plane  С =  0 

has  singularities  o f  the  form  (g— Я )_ 1 / 2  at  Q  =  Я and  (1 — Q)~112  at  g  =  1 i n  the  symmetri­

cal  problem  and  (Я — g)~112  and  ( g — 1 ) ~ 1 / 2  i n  antisymmetrical  one  (see  Appendix  to 

[10]). 

In  the  limiting  case  of  a  penny­shaped  crack  problem  (Я  =  0)  in  the  infinite  medium 

(jj  ­> co,gQ(xn)  =  h0(xrj)  =  0)  we  obtain  from  the  above  results  the  closed­form  solu­

tions: 

1 

Ф  +  д п о )  4 « 2 ­ Г  
Ы  =  0, 

2 
с „  =  — тс  4 л 2 ­ 1 

(3.32) 

and  at  С =  0 

T(Q,  0)  =  Т0  arc  sin 
тс  

Q>  1, 

AR 
" а с" 

2  1 
(g,0)  =  —  Г о Ло  .­  =•,  0 < р < 1 . 

я  yi—  g 

(3.33) 

i n  the  symmetrical  problem  and 

г (е ,о)  =  ­ ^ T 0 ^ o 1  j / i y ,  o < e ^ i : 

1 
"я 5г  ( £ , 0)  =  —  T 0 O 

а с  тс  
• arcsin 

(3.34) 

1  <  g, 

n  the  uniform  heat­flux  problem. 



480  В .  R O G O W S K I 

4.  The thermoelastic  problem 

The  solutions  of Eqs.  (2.3) appropriate  to our problems are: 

00  

<Pt(Q, 0  =  T w r r f v T ­  "Г f  • <­2[Al(x)shstxC  + Bi(x)ChsixC}Jo(xQ)dx,  (4.1) 

00  

cp0(Q, 0  = b
2xj  x­20o(x)shsox(C­rj)Jo(xQ)dx,  (4.2) 

о  

oo  

<Po(Q,  ?)  =  6 2 « Jx­2loi(x)[chs0x!;­cth(s0xri)shs0x!;]  + 

+  Я, T0J1(xXl)^^]j0(xQ)dx,  (4.3) 
s n ^ o ^ ł / ) 

00  

9>o(e» 0  = b2x  J  x­2Q2(x)[chs0xC­cth(s0xr))shs0xl;]J0(xQ)dx.  (4.4) 
0 

The  potentials  (4.1)  and (4.2)  are used  to  solve the boundary  conditions  ( F i g .  l a ) : 

ff:(c>,0)  =  О,  Я <  Q <  1, 

o­zr(?, o) =  cr2(e,  J?)  =  tr„(e,  J?) =  o,  e  >  o,  (4.6) 
which  correspond  to  tensile­type  crack  problem  i n the  layer  with  traction­free  surfaces 

and  the potentials  (4.1)  and (4.3) or  (4.4)  to  solve the boundary  conditions  ( F i g . lb): 

GZAQ,  0) =  О,  Я <  Q <  1, 
(4.7) 

U(Q,0)  =  0 ,  0  ^  Q ^  Я,  1 <  Q, 

o,(e;  o)  =  <yz{Q,  v)  =  <r*r(e,  fi)  ­  о ,  e  ^  o,  (4.8) 

which  correspond  to  shear­type  crack  problem. 

5.  The triple  integral  equations 

A t  first  we consider  the  mode  I  tensile­type  crack  problem.  Substituting  Eqs.  (4.1) 

and  (4.2)  into  Eqs.  (2.2) and (2.1) the stress and  displacement  components  can  be obtained 

i n  terms  o f the four  unknown  functions  A^{x),  A2(x)  etc. The  conditions  (4.6)  yield  equa­

tions: 

A2(x)  =  ­A1(x)­fiso(s1s2)~
1G1x(l+k1)0o(x)chsoxr], 

4o(xrj)Bi(x) =  ­  Al(x)(cb.a.xri  +  afi­
ic\vfixri­2slfi­

x]­

— 2xs0s2
iG1(l  +k1)0o(x)(chs2xr] — chsoxr]),  (5.1) 

A0(xii)B2(x)  =  Al(x)(ch<xxr]  — afi~
ichfixr]+2s2fi~

1)+s0(s1s2)~
1xG1  x 

x  (1 + к i) 0 с , (х )  [ch(s0  xrj) (fi ch axr) — a ch fixrj) + 2s2 ch Si xrj\, 



T H E R M A L  STRESSES  4 8 1 

where 

A0(x)  =  shoLx+xp­hhpx,  {a,  /?} = s1±s 2.  (5.2) 

The  functions  A2(x),  B,(x) and B2(x)  are expressed  in terms  o f AL(x),  and hence  they 
can  be eliminated  from  the rest  o f analysis.  O n  the crack  plane  |  =  0  Eqs.  (5.1),  (4.1), 
(4.2),  (2.1)  and (2.2)  give: 

CO 

w(6,0)  =  ­(G.Q­'b  f  {Al(x)  +  xs0CG1(k­kl)(k+l)­
ie0(x)chs0xr,}x­

1J0(xQ)dx> 
0 

0 0  (5.3) 
0z(Q,V)  = J  {U ­giixrj^A^  + SoSj1  xGt(l  +k1)60(x)chs0xrj  x 

0 

x  [1  ­g2(xv)­g3(xrj)]­G1x(l+k1)0o(x)shsoxr]}JQ(xQ)dx, 

where 

1 + a 2 /?" 2 (ch/Jx ­ 1 )  +  a/?~1 sh Rx ­  e~  « , 

a/3­1 (sh (ix+chpx)  ­  2s2 jr
1  ­  e"  a x , 

2s2r3~
i(chs1x—chs2x)lchs0x, 

C=  (k+l)(k—l)~1(s2
1  ­si1).  (5.5) 

Substituting  Eqs.  (5.3)  into  Eqs.  (4.5)  we obtain 

Mx) 

=  1, 

=  2,  (5.4) 

=  3, 

J  [A1(x)  + xsoG1C(k­k1)(k+\)­
10o(x)ch(soxr])}x­

1Jo(xQ)dx  =  0, 
о  

0  ^  Q ^  A,  l ^ o ,  (5.6) 
CO 

/  {[ 1 ­  gi Wfl  A i (x) + s0 s2
  1 №t  (1 + fcr) 9 o W  c h ( 5 0  xq)  [1 ­  g 2 (Xl?)  ­

0 

­g3(xrj)]}Jo(xQ)dx  =  С ^ О + А г О Г о,  A < g <  1,  (5.7) 

where  in the  second  equation  the  relation  (3.10)!  is used.  Next,  for  the  case  1 o f the  thermal 
conditions  in antisymmetrical  problem  we have: 

SlB2(x)  =  ­s2Bl(x)­G1x(\+k1)i301(x), 

A^xrfiA^x)  =  ­B1(x)(chaxr]­ap­
1chlexri  + 2s2R­

1)  + 

+  G, x(l + k^ls^hsoxr])'1  [2(s0shs2xii — s2shs0xr/)61(x)  + 

+ T0  Ai J,  (xA,) (y, s h y 2  X7] ­  y2  s h y ,  х ф ],  (5.8) 

Л ( х » ? ) Л2 ( х )  =  B,(x)s2Si
1(chixxrj  +  ar3~

1chr3xrj­2sir3­
1)­

— Glx(\+k1)(s,shsoXr])~
1{[2soshslxr] — shsoXrj(achftxrj  + 

+  Bch axrj)] 0X(x) + T0 Яа Ą(xA,)  (S,  sh d2 xr\ — b\ sh d,  xrj)}, 

where 

di(x)  =  shax—  a/3 ­ 1 sh/Sx,  y l i 2  =  5 2 + ^ 0 ,  <5,,2 =  ^ I + ^ о ­  (5­9) 

The  boundary  conditions  (4.7)  lead  to the triple  integral  equations: 
CO 

U(Q,  0)  =  ­  b(G,  Cs,)~1  f  [Bt  (x) ­Ą  C7, Cx(kx  — k)x 
о  

x  (k + \)­101(x)]x­
iJ1(xQ)dx  = 0,  0 <  Q <  A,  1 ̂   Q,  (5.10) 

11  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



482  В .  R O G O W S K I 

г  

о  
с о  

­G^il+k,)}  {ei(x)[s2(l+h3(xr]))­So(l+h0(xrj))]  + 
о  

+  XyToJ^xX^ixr^J.^dx  =  О,  X  <  Q <  1,  (5.11) 

where 

l ­ a V " 2 ( l ­ c h / 5 j c ) ­ a j 9 ­ 1 s h j 9 j c ­ e ­ " * ,  / =  1, 

(sh s0  x)~
1  [si B~1  (y,  sh y 2  л: ­  у 2 sh у , x)  ­

­s2e­
1(d1shS2x­S2shdlx)+s0],  i  =  2,  (5.12) Ш  

Mx) 
e ­ a x  +  a/3"1 (ch/3x + sh/9x ­  2 ^  a " J ) + 

+  2i'o(i'2/3shj0A:)
  1(si  shs2x  — s2shst  x),  i  — 3. 

The  unknown  functions  S2(x),  AC*)  and  Л 2 ( х )  and  the  triple  integral  equations  of 

the  case  2  o f  thermal  conditions  can  be  obtained  by  replacing  6,(x)  by  62(x)  in  Eqs.  (5.8), 

(5.10)  and  (5.11)  and  setting  J^xXA  =  0. 

6.  Infinite  sets  of  linear  simultaneous  equations 

U s i n g  the  formula  (3.15) 2 ,  the  unknown  function  A,(x)  in  E q .  (5.6)  can  be  expressed 
by  series 

OS  

Ay{x)  =  01М х П х $Ъ Щ е )±х *,<Ъ  C(k­k1)(k+  1Г '%(>0<Ы ?о Х ч ),  (6.1) 
n = 1 

where  a„ are  the  arbitrary  coefficients  and 

M=  (l+k^il­SoSl^  + Cik­kAik+iy^o  (6.2) 

is  the  material  parameter. 

Thus,  the  equations  (5.6)  are  satisfied  exactly,  while the  equation  (5.7)  leads  to 

00   CO  CO  CO 

y^aRj  [l­g1(xrj)]xCn(x)J0(xQ)dx  =  1+  ]?a'nJ  {(1  ­m 0 )g 0 (xrj)~ 
n=1  0  n = l  0 

­m1gi(xrj)  + m2[g2(xrj)+g3(xrj)]}Zn(x)J0(xQ)dx,  I  <  Q <  1  (6.3) 

where  the  result  (3.17)  is  used  and 

m0  =  ( l + f c J M ­
1 ,  ntj  =  Csoik­kjlil+kjk]­1,  m2  =  s0(l+k1)(s2M)~

1  (6.4) 

are  the  material  parameters. 

Substituting  the  relation  (3.20)  into  E q .  (6.3)  and  equating  the  coefficients  o f  cos(/?i0) 

in  both  sides  we  obtain  infinite  system  of  algebraic  equations  with respect  to  the  unknown 

coefficients  a„.  Substracting  the  (w + 2)­th  of these  from  the  w­th,  we  obtain 

0 0   CO 

Za«f  t 1  ­gi(xv)]C„(x)Cm(x)dx  =  dlm+  (6.5) 
n  =  1  0 



T H E R M A L  STRESSES  483 

00  CO 

+  ]^a'„f  { ( l ­ m 0 ) g o ( ^ ) ­ w ł g 1 ( x » 7 )  + w2
rg2(^)+  ^ ' ~ \ 

n=o  о  [com.  I 

+ g3(xv)]}Zn(x)  [ Z m _ 1 ( x ) ­ Z m + 1 ( x ) ] i / A ­ ,  ( и  =  1,  2 ,  . . . ) . 

The  matrix  of the  system  (6.5)  i n l.h.s. is symmetrical with  respect  to  m  and  n  and  in  r.h.s. 

is  not.  The  functions  g0(xrj),  gi(xr[)  etc.  are  continuous  for  all o f x  and  tend  exponentially 

to  zero  as  xr] tends  to  infinity.  F o r  the  case  of  infinite  medium these  functions  are  inden­

tically  zero  and  the  system  (6.5)  reduces  to 

00  CO 

Ј a n f  Cn(x)Cm(x)dx  =  dlm,  (m = 1,  2 ,  3,  . . . ) .  (6.6) 
1=1  о  

« 

Next,  in  antisymmetrical  problem,  using  [8] 

0,  0  ^  Q ̂   X,  I  <  Q, 

J  J1(xo)Z„(x)dx  sinnó  .  ,  ,  (6.7) 
Я <  Q <  1,  (n  =  1,2,  . . . ) , 

к п д  

from  E q .  (5.10)  we  obtain 
CO 

Btix)  =  St Cd  Wi  ­  k) (k +1)­
1  [O, (x) +  Aj Г 0  A­ j£  6, Z„(x)],  (6.8) 

where  bn  are  the  arbitrary  coefficients. 

Substituting  E q .  (6.8)  into  E q .  (5.11),  using  the  solution  for  O^x)  and  the  formula 

corresponding  to  Neumann's  addition  theorem  [9] 

CO 

XĄ (XQ)  =  Q _ p ) s m ,  mZm(x)s\nm<p,  X  <  Q  < 1,  (6.9) 

it  is  found  that  the  set  o f  linear  simultaneous  equations  of  the  thermoelastic  problem  o f 

the  shear­type  crack  in the  case  1 o f thermal  conditions is 

CO  CO  CO  CO 

'ZKJ  [\­lh(xtj)]Zn(x)Zm(x)dx  =  ^Kf[Zn­i(x)­
n = l  0  п =1  0 

­ Z n + , ( . v ) ] Z m ( x )  [­l+m3y1+  hi(xr))+s2m3h3(xrj)­
CO 

­s0m3h0(xi])]dx  + m3 f  x~
1J1(xXl)h2(xrj)Zm(x)dx,  (w  =  1 , 2 , 3 , . . . ) ,  (6.10) 

6 

where 

m3  =  (1 +k1)(k­l)P~
1(kl—k)~

1.  (6.11) 

F o r  the  case  2  o f thermal  conditions  the  set  o f simultaneous  equation  can  be  obtained 

by  replacing bn  and  b'„ by  cn  and  c'„, respectively,  and  setting  JiixXi)  =  0  i n  Eqs.  (6.10). 

The  unknown  function  BL(x)  i n  this  case  can  be  obtained  by  replacing  б х ( х ),  XtT0  and 

by  02(x),  T 0 b s 0
_ 1  and  c„,  respectively,  i n  E q .  (6.8). 

i i ' 



4 8 4  В .  R O G O W S K I 

7.  Thermal  crack  shape 

The  Eqs.  (5.3)1;  (6.1) and  the formula  (3.15)2  give  the following  crack  shape  in  the 
case  when  the  applied  temperature is symmetrical  with  respect  to the crack  plane 

00  

w( e ,o)  =  ­  TC(flp)c  £
a " 5 1 ф ф )­ '  *<e<i<  (7­1) 

n=l 

F o r  the  cases of antisymmetrical  problem  the  following  thermal  crack  shapes  we  obtain: 

00  

•  u(g,0)  =  ­  —  r 0 M i ­ И Г У "
1  У ,  —'  sin(w/>),  Я <  Q <  1,  (7.2) 

Tl  •ć —l  n 
л =1 

.0 0 

u ( e > 0 )  = - —  Tob^xikt­kUk+l)­^­
1  У  C"­sin(ncb),  A < g < l ,  (7.3) 

ii  n 

in  the case  1 and  2 o f  the  thermal  conditions,  respectively. 

8.  Thermal  stress  distribution 

The  normal  stress  in  E q .  (5.3),  with  the aid o f  E q .  (6.1) and the solution  (3.17) 
may  be  rewritten  to the  form 

00  

at(s,0)  =  G1M>i{T(Q,0)  +  To^an[l­gl(xr1)].xCn(x)Jo(xo)dx­
П = 1 

00  00 

­  TO2J  j  [d  ­  mo)go(xn)  ­  m  gi (xri)  +  . 
=  0  о  

+ m2 (g2(xrj)  + g3(xr]))]).  Z„(X)J0(XQ)  dx\.  (8.1) 

Using  the  formulas 

с t o ­  JS— &EŁ 
nK '  1­Х2  8x 

(8.2) 

/  xC„(x)J0(xQ)dx  =  ­  ­j —p­  (/5 + Q  A  fij 

and  the result  (3.28)i,  we  obtain 

, r z ( e ,  0) =  ­ G , Л / к Г0  { ­ р Л̂   И в я (/S + о A y j +  G i )  + 

' ^ [ / S ­  2w0  GS ­  W, G I + m2(G2  + G$)]},  (8.3) 

00 

n = 0 



T H E R M A L  STRESSES  485 

where 
CO 

GJ  = {  gj{xrj)Zn(x)J0(xQ)dx,  . / = 1 , 2 , 3 ,  (и =  0,  1, 2 , . . . ) , 
0 

со  (8.4) 

G1  =  j  gl(xr,)xJ0(xe)  dx,  {n =  1, 2, . . . ) , 
0  

are  the convergent  integrals. 

The  normal  stress  OZ(Q,0)  involves  singularities  o f the form  (А — о )~
1,г  and  ( g ­ l ) _ 1 / 2 

(BVOIBQ,  see  A p p e n d i x  to  [10]). 

E m p l o y i n g  Eqs.  (6.8)  and (3.18)  in E q .  (5.11),  using the formula  (8.2),  and integrating 

by  parts, we obtain  the shearing  stress for the case  1 o f antisymmetrical  o f thermal  loading 

CO 

CO  CO 

CO 

+m3J  J1(x)n)h2(xrj)J1{xQ)dx\,  (8.5) 
о  ' 

where 
CO 

It  =  /  J,(xe)Zn(x)dx,  1 =  0,2, 
0  

CO 

H"  = J  hl(xrj)xZn(x)Jl(xQ)dx, 
CO 

Л "i =  f  [s2 h3(xfi) +ma
1h1  (xtj) ­  s0 h0 (xtj)] Ą (XQ)  . 

0  

are  convergent  integrals. 

The  shearing  stress  involves a  square­root  singularity  at the crack  tips.  The  singularity 

of  OZ,[Q,  0) is included  in term  8151 BQ,  while the remaining  terms are  nonsingular. 

Replacying,  i n  E q .  (8.5),  X,T0,bn,b'n  by  T 0 b s o \  c„,c'„,  respectively  and  setting, 

in  E q .  (8.5),  / Д х А ,)  =  0 we obtain  the shearing  stress  for  the case  2 of  antisymmetrical 

problem. 

9.  The stress  intensity  factors  (SIFs) 

T o  determine  the singularities  o f the  normal  stress,  the transform  i n E q .  (8.1) is  cal­

culated  for C„ given  in E q .  (8.2),  and the asymptotic  formula  [9] 

X  8 Z ^ X )  =  'r=  [ A s i n ^ ­ ( ­ l ) n c o s x ] + 0 ( x ­ 1 ) ,  (9.1) 
8x  r c / l ­ A 2 



4 8 6  В .  R O G O W S K I 

as  follows: 

' л ­ 0 )  ~  ~  2  nai7W=7  (~  W^fy  (9­2) 

where the nonsingular terms  have  been  neglected  and  H( •) denotes  Heaviside unit  functio­

nal. 
Defining  the mode  I  ,,thermal"  stress  intensity  factors  as: 

A 7 i n .  =  }/2b  l i m y/k­Q  { < r z ( p , 0 ) } e < A , 

С  =  V2b l i m — 1 {<t*(Q>  0 ) } 0 > i , 

we  obtain 

(9.3) 
л 1 о Ш. 

K{ T  _ 
\6GxMy.T0\

,a  y i 

n = l 

(9.4) 

_  1 6 ( 7 , ^ x 7 ^ "  у  , 

A l o u t . —  ­  _ / | _ ^ 2 \ 3 / 2 "  "  y_j  У  l>  "an­

n=  1 

The  SIFs  in shear  at  p =  X~ and о =  1 +  can be  obtained  from  equation (8.5) 

U s i n g 
00 

f  8 

J  xJ1{xo)Zn(x)dx  = 

2 

xZn(x)  =  ;  [ c o s A x + ( ­ l ) " s i n x ] + 0 ( A ; ­
1 ) , 

• к у  1­Х2 

(9.5) 

we  have  as  Q ­* 1 +  and p ­>  Я  

2 

cr2r(p,o)  Р = = л '1 . у 2 с 1 а < £1 ­ / с ) ( А : + 1 ) ­
1 я 1 : г 0 е ­'  x 

T t i / 1 ­ Я 2 
CO 

Both  case  1 and  case  2 thermal  loadings give the following  S I F s : 

2 y'a 
^11  i n .  —  —  ­ y ­ 7 = =  d  * 2  ­  A:) (k +  1 ) ­

1 Я ,  T0  J £  b„, 

*  rt=  1 

uu 

K[loat.  =
  :t^JL=GlCsls2x{kl­k){k+\)­niT0  У  (­l)

n+1b„, 
т х х /l­X2 

(9.7) 



T H E R M A L  STRESSES  487 

for  the  temperature  T0  applied  at  the  surfaces  of  the  layer  and 

i—  00 

4 i D .  = -——-/===  G1Cs1s2xiki­fyik  +  1 ) ­ 1 T 0 b s o 1  У  c„, 
(9.8) 

^..om.  =  ­  *yb_  G1Csls2x(k1­k)(k+\)­
iTpbsp  1  V ( ­ l ) n  +  1 c n , 

T t l / l ­ A 2  « »  n= 1 

for  uniform  heat  flow  т 0  disturbed  by  an  annular  crack. 

10.  The  special  cases 

(a)  Cracks  in  an  infinite  medium 

Particulary,  taking  г/ ­>•  с о, we  have  gi(xt])  =  G"  =  0  (i  =  0,  1,  2,  3)  and  shs0x(C—rj)l 

lchs0xrj  =  ­exp(­s0xЈ). 

Using  preceding  results  in  Eqs.  (3.21),  (3.25)  and  (3.28)  we  obtain  easily  the  tempe­

rature  field  in  infinite  medium  under  symmetrical  loading.  F r o m  Eqs.  (6.6),  (7.1),  (8.3) 

and  (9.4)  we  obtain  the  solution  o f  thermoelastic  problem  of  the  mode  1 tensile­typ  crack. 

Next,  taking  r\ ­>  со  in  antisymmetrical  problem,  we  have  hi(xrj)  =  h\  =  H"  =  0 

(/  =  0,  1,  2,  3).  In  this  case  the  r.h.s.  in  E q .  (3.22)  degenerates  to  zero  and  b'n  are  iden­

tically  zero.  Consequently,  the  solutions  b„ o f  Eqs.  (6.10)  are  equal  zero  and  both  the 

SIFs  approache  zero  for  infinite  medium  in  the  case  1 of  thermal  loading.  F o r  uniform 

heat  flow  disturbed  by  an  annular  crack  the  infinite sets  of  linear  algebraic  equations  are: 

V c ;  j  fa(x)cm(x)dx  =  6lm,  (m  = 1 , 2 ,  . . . ) , 
n=  1  0 

с о  

^ c n j  Zn{x)Zm(x)dx  =  ( ­  1 +mly1)  У  ^ [ Z „ _ 1 ( x ) ­ Z B + 1 ( x ) ] Z m ( x ) < / A ­ . 
n=  1  0 

In  the  classical case  of  a  penny­shaped  crack  problem  (A  =  0)  i n  the  infinite  medium 

the  thermal  fields  and  the  coefficients  a'„,  b'„,  c'n  are  given  i n  closed­form  by  formulas 

(3.32)­(3.34).  F o r  the  mode  I  tensile­type  penny­shaped  crack  problem  the  equations 

(6.6)  have  a  closed­form  solution: an  =  2 я / т г ( 4 л
2 ­  1) and  the  normal  components  W(Q,  0), 

OZ(Q,  0)  and  the  S I F  are: 

w(e;G)  =  ­i­K­'TobxMc­'o­Q2)1!2,  o<  Q < I , 

<TZ(Q,0)  ­  ­In­^oxG.MiQ
2­])­1!2,  Q > \ ,  (10.2) 

Л 7  =  ­2­K~lT0b^
2xGyM. 

O n  the  other  hand,  i f  X =  a/b  ­*• 0  but  b is bounded,  the  S I F  K?out.  tends  to  the  result 

o f  a  penny­shaped  crack  and  A7i„.  tends  to  infinity,  while  i f  X ­*  1  — 2e(e — a  small  value) 

the  „ t h e r m a l "  SIFs  become  equal:  A r I
T

0 U t  ­ •  K?in  X  ­GxxMT0^be  and  tend  to  zero 

as  e  is  zero. 

F o r  the  uniform  heat  flow  disturbed  by  a  penny­shaped  insulated  crack  i n  an  infinite 



488  В .  R O G O W S K I 

transversely  isotropic  medium  the temperature  field  is  given  by Eqs.  (3.34)  and the  S I F 

assume  the  value 

KTi =  Y_Tob3l2G1Cs1s2x(kl­k)(k+\y
1s0­

l(l­m3y1).  (10.3) 

gt(.X)  = 
sh 2x + 2x 

(b)  Isotropic  medium 

A  limiting  case  o f isotropic  state  gives: 

Si  1,  s2­*l,  s0  =  \,  k­*l,  a  =  y 2  =  c52 =  2,  fi­*0,  Yi'­tO, 

d1­+0,  Pr  = Pz,  « r = « . »  Gt =  G,  k,­>3­2v,  x ­>  ( 1 + „ ) а г / ( 1 ­ у ), 

m0  = m2  =  — m3  =  — 2(2—v),  m1  =  1,  С =  (1 — v )
­ 1 ,  Л / =  — 1,  х (кл—к )  x 

(Jfc+l)­ 1  =  ( l + v ) a r ,  G1Cs1s2x(k1­k)(k+\)­
1  =  G a r ( l  +v)/(l­v)  and the  boundary 

function  are: 

g0(x)  =  2[exp(2x)+l]~S 

1 + 2 л : ( 1 + х ) ­ е х р ( ­ 2 х ),  / =  1 

1 +2x  — exp( — 2x),  i ' = 2 

2.v+th.v,  i  =  3 

h0(x)  = 2[exp(2.v) ­  l ] "
1  (10.4) 

h2{x)  =  0 

1  | 1 + 2 x ( x — l ) ­ e x p (  —2x),  / = 1 
=  sh~2x­2x  \\  +2x(\  ­ c t h x ) + e x p ( ­ 2 x ) ,  i  =  3. 

F r o m  preceding  equations,  we note  that  the  boundary  functions  do  not  depend  on the 

physical  properties  of the  material  in the  case  of isotropic  medium,  while  in the  trans­

versely  isotropic  case  depend,  as  shown  Eqs.  (5.4)  and  (5.12). 

The  results  (10.2)  and  (10.3)  agree  with  those  in the  case  o f the  penny­shaped  crack 

i n  isotropic  medium,  where  are given by Olesiak and Sneddon  [1], and Florence  and G o o ­

dier  [2]. 

11.  Numerical  results  and discussion 

Solving  the  infinite  systems  of  linear  algebraic  equations  (3.21)  — (3.23)  and  (6.5), 

(6.10)  in both  cases  numerically and by truncation,  we have  examined  the effects  of geo­

metrically  parameters and  physical properties  o f the  medium  on the stress  intensity  factors. 

The  integrals  involving  the product  o f four  Bcssel  function  can  be evaluated  by the  similar 

method  as in the previous  papers  [10, 11]. The  first  ten roots  o f the  sets of algebraic  equa­

tions  give  the  desired  accuracy. 

The  value  o f  normalized  stress  intensity  factors  —KJlG^MxT^b  versus  Л =  ajb 

are  shown  in  F i g .  2, for  infinite  medium.  B o t h  SIFs  increases  monotonically  with  the 

decrease  ajb  and  become  infinity  or  2/т с,  respectively,  as  ajb ­» 0.  Since  KUn.  >  KfouU, 

growth  o f the crack  under  mode  I  thermal  loading  would  tend  to  occur  at the  inner  edge 

suggesting  that  an  annular  crack  w i l l  develop  into  a  penny­shaped  crack.  In  contrast  to 



T H E R M A L  STRESSES  489 

the  results  of  the  crack  i n  infinite  medium  under  mode  I  [11]  and  III  [10]  mechanical 

loading,  the  intensity  o f  the  local  thermal  stresses  depends  on  the  physical properties  o f 

the  material.  The  effect  o f  the  material  dissimilarity  is  used  by  the  parameters  xG±  M. 

The  crack  opens  i f  T0xM  <  0. 

0  0.5  a/b  1.0 

F i g .  2  Stress  intensity  factors  for  a n n u l a r  c r a c k  u n d e r  u n i f o r m  temperature 

ejT 

ipb/b 

F i g .  3  V a r i a t i o n  o f the  t h e r m a l  stress  intensity  factors  Ku  ,a  a n d  Kn  out  w i t h  a  layer  thickness  u n d e r  A =  0,5 

a n d  At  =  2,0  f o r  d i s s i m i l a r  material s  i n  p r o b l e m  / ;  C (  =  1 0
4 M P a 



4 9 0  В .  R O G O W S K I 

F o r  the  mode  II  shear­type  crack  problem  numerical  computations  were  done  for 

cadmium  and  /?­quartz  crystals  and  comparative  isotropic  material  (Gt  =  1 0
4 M P a ,  v = 

=  0,30).  The values  o f elastic  constants  ctJ,  coefficients  o f linear  expansion  a , ,  a x and 

the  ratio  o f the thermal  conductivity coefficients  so2  are  taken  from  references  [12]. The 

anisotropic  thermal  and elastic  properties  o f materials  were  presented  i n  [13] for metallic 

substances  and  in [14] for composite  materials.  The  results  for the antisymmetrical thermal 

conditions  o f the case  1 are shown  i n F i g . 3  and  those  for  the  case  2  shown  in  F i g . 4. 

F i g .  3  shows  the  mode  II  ,,thermal"  SIFs  at  the  inner  and  outer  tips  o f the  annular 

crack,  in  presented  materials,  versus  ­ц = hjb  under  Я =  a/b =  0,5 and  Я2  =  c/b = 2,0. 

V 

I I I I I I I I 
0  1 2  3  4  5  6  7  , i  =  h / b 

F i g .  4  V a r i a t i o n  o f  the  t h e r m a l  stress  intensity  factors  Kiim  a n d  A n  out  w i t h  a  l a y e r  thickness  under 
Л  =  0,5  for  d i s s i m i l a r  materials  i n  p r o b l e m  I I ;  Gt  =  10*  M P a 

It  is observed,  that  both  SIFs approach  infinity  as rj ­* 0 and decrease  monotonically with 

the  increase  o f t] tending  to  zero  for  infinite  medium.  F o r the  case  2  and  Я =  0,5, the 

SIFs  are plotted  versus  r\ in F i g . 4. It  is observed  that,  Kuout  approaches  zero  as  rj ­» 0 

but  Xjiia  doesn't  and K[Iin  decreases,  while K[loul  increases  with  the increase  o f  rj.  When tj 

is  larger  then  some  щ  the solution tends  to that  o f the infinite  body  i n which  is uniform 

heat  flow  disturbed  by an  annular  insulated  crack.  In  this  case  o f thermal  conditions the 

effect  o f  material  dissimilarity  and  anisotropy  is  more  visible. 

References 

1.  Z . O L E S I A K ,  I . N .  S N E D D O N ,  The  distribution of  thermal stress in  an  infinite elastic solid containing 

a penny­shaped crack,  A r c h .  R a t . M e c h .  A n a l .  4,  238 ­ 254, 1960. 

2.  A . L .  F L O R E N C E , J . N .  G O O D I E R ,  The linear thermoelastic problem  of  uniform  heat flow  disturbed  by 

a penny­shaped crack,  Int. J .  E n g n g  S c i . 1,  533 ­  540, 1963. 



T H E R M A L  STRESSES  491 

3.  Y . M O R I ,  Y .  S H I N D O ,  A . A T S U M I ,  Thermal stresses  in a slab containing an annular crack, Int.  J .  E n g n g . 

S c i .  18,  1161  ­  1172,  1980. 

4.  K .  M U R A T A ,  A .  A T S U M I ,  Thermal stresses in a transversely  isotropic cylinder  containing a penny­shaped 

crack,  L e t t .  A p p l .  E n g n g .  S c i .  5,  1 7 3 ­  185, 1977. 

5.  D . K .  R A M ,  H .  K .  P A R H I ,  A .  K .  P A U L ,  Thermal stresses  in a  transversely isotropic  solid  containing  an 

annular crack,  I n d i a n  J .  T e c h .  18, 4 3 7 ­ 4 4 3 , 1980. 

6.  B .  R O G O W S K I ,  Uogólnione  równania  termosprę ż ystych  zagadnień  grubych  płyt  ortotropowych.  Z e s z y t y 

N a u k o w e  P Ł , N r 309, B u d o w n i c t w o  z . 2 1 ,  209  ­ 222,  1978. 

7.  T .  S H I B U Y A ,  I .  N A K A H A R A ,  T .  K O I Z U M I ,  The axisymmetric  distribution of stresses  in an infinite  elastic 

solid  containing a flat  annular crack  under internal pressure,  Z A M M  55, 3 9 5 ­ 4 0 2 , 1975. 

8.  A . E R D E L Y I  ( E d i t o r ) ,  Tables of  integral transforms, V o l . 2  M c G r a w ­ H i l l ,  N e w Y o r k  1954. 

9.  G . N .  W A T S O N ,  Theory of  Besselfunctions,  2 n d E d . ,  C a m b r i d g e  U n i v e r s i t y  Press,  L o n d o n 1966. 

10.  B . R O G O W S K I ,  Mixed  boundary  value problems of a  transversely isotropic layer under  torsion and various 

boundary conditions,  R o z p r a w y  I n ż y n i e r s k i e,  31, 3, 293 ­ 315,  1983. 

11.  В . R O G O W S K I ,  An annular  crack  in layered  composites  with  transversely isotropic constituents,  Z A M M . 

12.  H .  B .  H U N T I N G T O N ,  The elastic constants  of  crystals,  Solid state physics  ( F . Se i t z ,  D . T u r n b u l l ,  E d s . ) , 

7,  2 1 3 ­ 3 5 1 ,  A c a d e m i c  Press,  N e w Y o r k 1957. 

13.  J . L .  N O W I Ń S K I,  Theory of  thermoelasticity  with  applications, Sijthoff  and Noordhoff  A l p h e n  a n n  den 

R i j n ,  T h e N e t h e r l a n d s ,  p .  118,  1978. 

14.  R . M .  C H R I S T E N S E N ,  Mechanics of  composite  materials,  W i l e y ,  p .  311, N e w Y o r k  1979. 

Р е з ю ме  

Т Е П Л О В ЫЕ  Н А П Р Я Ж Е Н ИЯ  В Т Р А Н С В Е Р С А Л Ь Н О ­ И З О Т Р О П Н ОМ  С Л ОЕ  С  К О Л Ь Ц Е В ОЙ  

Т Р Е Щ И Н О Й.  Р А С К Р Ы Т ИЕ  И  С Д В ИГ  Т Р Е Щ И НЫ  

З а д а чу  т е п л о в ых  н а п р я ж е н ий  в  т р а н с в е р с а л ы ю ­ и з о т р о п н ом  с л ое  о с л а б л е н н ом  к о л ь ц е в ой  

т р е щ и н ой  и  п о д в е р ж е н н ом  д е й с т в ию  с и м м е т р и ч н ой  и  а н т и с и м м е т р и ч н ой  т е п л о в ой  н а г р у з ки  с ф о р­

м у л и р о в а но  к ак р е ш е н ие  т р о й н ых  и н т е г р а л ь н ых  у р а в н е н ий  с о о т в е т с в у ю щ их  з а д а ч ам  т е п л о п р о­

в о д н о с ти  и  т е р м о у п р у г о с т и.  Д о  р е ш е н ия  в ы ше  у к а з а н н ых  п р е д п о л о ж е но  т а к ие  п р е д с т а в л е н ия  

и с к о м ых  ф у н к ц ий  в  в и де  р я д ов  с  н е и з в е с т н ы ми  п о ка  к о э ф ф и ц и е н т а м и,  к о т о р ые  у д о в л е т в о р я ют  

д ва  и з т р ех  у р а в н е н ий  т о ч н о,  в  т о в р е мя  к ак  т р е т ие  в о д ут  к  д в ум  б е с к о н е ч н ым  с и с т е м ам  л и н е й н ых  

а л г е б р а и ч е с к их  у р а в н е н ий  о т н о с и т е л ь но  э т их  к о э ф ф и ц и е н т о в.  С о о т в е т с в у ю щ ие  с у м мы  э т их  к о э ф­

ф и ц и е н т ов  о п р е д е л я ют  к о э ф ф и ц и е н ты  и н т е н с и в н о с ти  н а п р я ж е н ий  п ри р а с к р ы та  и  с д в и ге  т р е­

щ и н ы,  а  о б р а з о в а н н ые  п ри и х п о м о щи  р я ды  Ф у р ье  о п р е д е л я ют  в ид  т р е щ и ны  в  з а д а ч а х.  Р е з у л ь­

т а ты  в ы ч и с л е н и й,  п р е д с т а в л е ны  г р а ф и ч е с к и,  и л л у с т р и р у ют  к о э ф ф и й и е н ты  и н т е н с и в н о с ти  н а п р я­

ж е н ий  и  э ф ф е кт  ф и з и ч е с к их  с в о й с тв  м а т е р и а л ов  в  п р о ц е се  р а з р у ш е н и я. 

S t r e s z c z e n i e 

N A P R Ę Ż E N IA  C I E P L N E  W  P O P R Z E C Z N I E  I Z O T R O P O W E J  W A R S T W I E  Z  P I E R Ś C I E N I O WĄ  

S Z C Z E L I N Ą . 

R O Z W I E R A N I E  I  Ś C I N A N IE  S Z C Z E L I N Y 

Z a g a d n i e n i e  n a p r ę ż eń  c i e p l n y c h  w w a r s t w i e  p o p r z e c z n i e  i z o t r o p o w e j  o s ł a b i o n e j  p i e r ś c i e n i o wą  s z c z e l i n ą  

i  poddanej  [ d z i a ł a n i u  symetryczneg o  i  a n t y s y m e t r y c z n y c h  o b c i ą ż eń  t e r m i c z n y c h  s f o r m u ł o w a n o  j a k o 

r o z w i ą z a n ie  d w ó c h  u k ł a d ó w  p o t r ó j n y c h  r ó w n a ń  c a ł k o w y c h ,  o d p o w i a d a j ą c y ch  z a g a d n i e n i o m  p r z e p ł y w u 



492  В .  R O G O W S K I 

c i e p ł a  i  t e r m o s p r ę ż y s t e m u.  W  c e l u  r o z w i ą z a n ia  t y c h  o s t a t n i c h  z a p r o p o n o w a n o  t a k i e  p r z e d s t a w i e n i a  p o ­

s z u k i w a n y c h  f u n k c j i  w  p o s t a c i  s z e r e g ó w  z  n i e z n a n y m i  w s p ó ł c z y n n i k a m i ,  k t ó r e  s p e ł n i a j ą  d w a  z  trzech  r ó w ­

n a ń  ś c i ś l e,  podczas  gdy trzecie  p r o w a d z ą  d o  d w ó c h  n i e s k o ń c z o n y ch  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  a l g e b r a i c z n y c h  l i n i o ­

w y c h  w z g l ę d em  t y c h  w s p ó ł c z y n n i k ó w .  O d p o w i e d n i e  s u m y  t y c h  w s p ó ł c z y n n i k ó w  w y z n a c z a j ą  w s p ó ł c z y n n i k i 

i n t e n s y w n o ś ci  n a p r ę ż e n ia  p r z y  r o z w i e r a n i u  i  ś c i n a n iu  s z c z e l i n y ,  a  u t w o r z o n e  z  i c h  p o m o c ą  szeregi  F o u r i e r a 

o k r e ś l a ją  k s z t a ł t  szczelin y  w o b u z a g a d n i e n i a c h .  P r z e d s t a w i o n o  graficzni e  w y n i k i  i l u s t r u j ą ce  w s p ó ł c z y n n i k i 

i n t e n s y w n o ś ci  n a p r ę ż e n ia  i  efekt  f i z y c z n y c h  w ł a ś c i w o ś ci  m a t e r i a ł ó w  w  procesie  p ę k a n i a. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  8  czerwca  1983 roku