Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4  22  (1984)  S T R U C T U R E S  O N T H E  P A R T L Y  E L A S T I C  S U B S O I L  M I C H A Ł  Ż U K O W S KI  ( Ł ó d ź )  „Transbud"  Introduction  The  aim o f the  present  paper  is the analysis.of  interactions between the structure  footing  and  the  subsoil,  surface  o f which  undergoes  subsequent  changes  o f configuration.  The i n ­ fluence  o f the  deformation  of subsoil  upon  the structure  behaviour has a deep significance  i n  the problems  concerning the  foundation  o f biddings  on the grounds  suffering  mining  damage.  Elastic  plates  and beams  as  well  as arbitrary  deformable  structures  o f rigid  foo­ tings  were  considered.  The following  two facts  were  taken  into  account:  1° — the  possi­ bility  o f losing the contact  between  the structure  foundation  and the subsoil,  2° — a  diffe­ rent  character  o f the  reaction  o f subsoil  i n primary  and secondary  deformations  o f the  subsoil,  according to  the  concept  o f a  partly  elastic  subsoil,  given  in  [1]. The solutions  were  obtained  for the special case  of structures  with  a  rigid  footing.  Denotations.  The symbol  a„ stands  for the sum a 0 +  tfi+  • •• + л л ,  at  the  same  time  a0  = a0  for n = 0. Thus, a„ =  5„ — a n _ !  are increments  o f quantities  for n =  1, 2,  . . . ,  K—\.  The quantities  aa,a^,  ...,an  are  referring  to  subsequent  states  o f the  structure  foundation,  the  subsoil,  as  well  as  their  mutual  interactions.  The subsequent  states are  distinguished  by indices  0,1,  ...,K.  The state  distinguished  by the  index  0  is an  initia l  state,  the states  denoted  by the indices  1, 2,  K—l  are subsequent  intermediate  states,  whereas  the state denoted  by the index К is a final  state. It is assumed  that  with the passage  from  the и ­th state to the state n+1,  at least  one  o f the  quantities  occuring i n the problem  under  consideration  is  changed.  1.  Deformations  of  the  subsoil  boundary  surface  The  subject  o f consideration  w i l l  by now the  deformations  o f the  subsoil  boundary  surface,  which  w i l l  occur  in geological  processes  or mining  exploit i.e.  without  any outer  loads acting at the  subsoil  from  the  structure.  Let us consider F i g .  1, where A0  is the  bounda­ ry  surface  o f the  underformed  subsoil  i n the vicinity  o f the  bulding  structure  we are intere­ sted  i n . It is assumed  that Q is a regular  region on the plane  Oxt x3.  Each  point P ( x , ,  x3)  i n  the region Q can be projected  along x2  — axis  on the boundary  surface  A0  of the  u n ­ deformed  subsoil.  Hence A0  w i l l  given  by the formula  x2  =• =  u0(xlt  x3);  (x!,x3)eQ.  (1.1)  494  M .  Ż U K O W S KI  It  is  assumed  that:  1 ° — A0  is  a  smooth  surface,  i.e.  there  exist  the  derivatives  И 0 .1  =  CllQ  dxi  ' 0 . 3  Sup  8x3  2°  —  z l 0  is  a  shallow  surface,  i.e.  д й0  д х „  <  1,  a  =  1,  3.  F i g .  1  The  conditions  given  above  concerned  the  boundary  surface  A0  of  the  initially  u n ­ deformed  subsoil.  Let  us  deal  now  with  a  description  o f  the  unloaded  but  deformed  sub­ soil  boundary  surface,  due  to  the  effects  of  n  subsequent  changes  o f  geological  processes,  where  n  —  1,2,  K.  This  boundary  surface  w i l l  be  denoted  by  An,  being  the  result  o f  n  subsequent  subsoil  deformations,  cf.  F i g . 2.  The  parametric  equation  o f  the  surface  Afi  i s :  * 2  =  " n ( * i >  * з ),  (x1,x3)eQ,  n  =  1 , 2 , . . . .  K.  (1.2)  L i k e  i n  the  case  o f  the  surface  A0,  it  is  demanded  here,  as  well,  that  the  surface  A0  be  smooth,  i.e.:  fan  dxy  8x3  '  and  shallow  du,  8x,  ­  <  1,  a  =  1,  3 .  Increments  w n ( x l t  x3) — u„_1(xi,  x3)  for  и  =  1, 2,  . . . ,  AT  w i l l  be  designated  by  u„(xx,  x3)  i.e.  w„C*i.  ^ 3 )  =  « n ( * i ,  ^ 3 ) ­ « n ­ i ( j f i »  ^ з ).  for  « = 1 , 2 , . . . , A  assuming  also  that  н 0 ( * 1 > * з )  =  ы 0 ( * 1 . Х з)  (compare  the  denotations  in  the  beginning  o f  the  paper).  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  495  F i g .  2  2.  Deformations  of  the  structure  foundation  footing  Let  us  assume,  on  the  basis  o f  F i g .  3,  that  in  the  region  Q  the  bulding  structure  pro­ jection  II  upon  the  plane  x2  =  0  was  given.  In  the  projection  those  structure  elements  are  neglected  which  cannot  have  a  contact  with  the  subsoil.  Moreover  it  is  assumed  that  П  is  a  subregion  o f  Q,  П  cz Q.  The  structure  footing  after  it  is  founded  on  the  surface  subsoil  A0  is  designated  by  S0.  The  parametric  equation  o f  the  footing  S0  w i l l  be  x2  =  ft>(>i,  x3),  (xt,  л ­3) e Я .  (2.1)  F i g .  3  L i k e  in  the  case  o f  deformations  of the  boundary  subsoil  surface,  it  w i l l  be  assumed  that:  1' — S0  must  constitute  a  smooth  surface,  i.e.  there  exist  the  derivatives  0)o  dw0  8w0  2'  —  S0  is  a  shallow  surface,  i.e.  8OJ0  dx„  и( *1»*з )»  ( х 1 , х 3 ) е Я,  (2.2)  The  above  formula  being  the  parametric  equation  o f the  surface  S„.  It  can  be  seen  that  the  structure  footing  w i l l  pass  from  S0  to  Sn  and  the  subsoil  boundary  surface  w i l l  pass  from  A0  to  An.  In  both  cases n  =  1, 2,  . . . ,  K.  It  is required  here, as  well,  that  each  Sn  should  have  the  properties  l ' , 2'.  F i g .  4  It  is  to  be  pointed  out  that  the  consequence  of  the  assumptions  2°  and  2'  w i l l  be  the  possibility  o f  neglecting  the  friction  forces  between  the  subsoil  and  structure  footing.  Increments vv„(x,,  x3)  — w„_1(x1,  x3)  for n  =  1,2,  К  w i l l  be  designated  by  w„(x1,  x3)  i.e.  wa(xi>   хз )  =  w„(Xi,  x 3 ) ­ v v n _ i ( x i ,  * з )  for  n  =  1,  2 ,  K,  (2.3)  assuming  also  that  w0(x!,x3)  s  i v 0 ( X i ,  x3).  3.  Interaction  between  the  structure  footing  and  the  subsoil  F o u n d i n g  the  structure  on  the  subsoil,  the  deformation  of  the  subsoil  is  caused.  The  cause  o f  the  deformation  can  be  both,  the  action  o f  external  forces  transferred  through  the  structure  footing  on  the  subsoil,  as  well  as  the  deformations  o f  the  subsoil  boundary  surface  resulting  from  the  mining exploit. The  first  subsoil  deformation  due  to  the  loadings  is  distinguished  as  a  primary  one  and  occurring  after  it,  a  secondary  one.  The  notion  o f  a  subsoil  primary  deformation  is  usualy  treated  as  a  certain  stipulated  notion,  being  not  strictly  defined.  Namely,  there  appear  some  doubts  whether  the  very  small  subsoil  displa­ cement,  caused  by  the  foundation  transferring  only  small  loods,  can  be  recognized  as  p r i ­ mary.  In  such  a  case,  the  soil  parosity  remains  practically  the  same  after  the  deformation  as  it  was  before.  Such  cases  occur  seldom  i n  practice.  F o r  practical  purposes  a  m i n i m a l  penetration  h  o f  the  structure  fooling  in  a  subsoil  should  be  taken  into  account,  which,  in  a  sufficient  way,  would  condition  the  possibility o f treating  further  subsoil  deformation  S T R U C T U R E S  O N T H E  P A R T L Y  497  as  secondary.  H a v i n g  taken  into account  the above  remark,  a  definition o f primary  subsoil  deformations  w i l l  be  formulated,  cf. F i g . 5.  B y  the  subsoil  deformation  at  the  point  P(x,,  x3)  ell  after  the  «­th change  of its  configuration  we shall  mean  the  number  d^Xi,  x 3 )  defined  by  <5n(*i, x3)  =.  wM(xlt  x3)­u,(Xitsx9),  n  =  0,  1,  ...,K,  (3.1)  assuming  that  it  is  not  negative.  When  dn(xi,x3)  < 0  then  the  subsoil  deformation  is  assumed  to  be  equal  to  zero.  P ( x , , x 3 )  T T  i ! й п 1*1.х з1  !  6 n ( x „ x 3 )  у тл   I  I  | W M l x i | X 3 |  i  y~\  П !  • I  j w n ( x , , x 3 |  I  И ­ 1.  /  =  0 ,  1,  ...,n­\,  F i g .  5  B y  the  primary  deformation  (or  more  precisely  Л ­primary,  where  h  > 0  is  a  given  number)  at  the  point  ( x 1 ; x3)  е П  we shall  mean  the  deformation  д „(х1г  x3)  fulfilling  the  conditions:  for  n  =  0  0 o ( * i ,  x3)  > h  I  дп(х ,,  x3)  > h  and  tor  n  > 0  j _  I di(x,,  x3)  < h  for  /  = 0 , 1 ,  The  above  conditions  result  from  the  inequalities  й « ( *1» * з )  >  2и( *1»*з )+Л>  ^ / ( ^ I ,  ^ з )  <  ufa,xa}+h  for  where  the positive  number  h is interpreted  as a minimal  penetration  o f the  structure  footing  in  the  subsoil, the  exceeding  o f which  changes  physical  properties  of the  foundation.  Let  us  designate  by p„(x,,  x3)  the  subsoil  reaction  to  structure  footing  after  the  л ­ th  change  o f its  configuration,  р „(х1г  x3)  <  0.  The reaction  increments  for  n  =  1, 2,  К   w i l l  be denoted  by p„(xt,  x3)  i.e. />„(*,, x3)  =  p„(x,,  x 3 )­.P«­iC*i,  x3)  for n  =  1,2,  ...,K  assuming  also  that  pQ(Xl,  x3)  в  ,  x3).  ^Analogously,  the  deformation  increments  w i l l  be  defined  by  д „(х ,,  x3)  =  dn(x,,  x3)—  — dn_ j ( x , ,  x 3 ) .  Let us  introduce  the  following  basic  assumptions  about  the  interaction  between  the  structure  footing  and  the  subsoil:  1° — i f o„(x,,  x3)  is a  primary  deformation  at  the point  ( x t ,x3)eIJ  then  the  reaction  increment  at  this  point  is  equal  to:  Pn(xi ,x3)=  ­  k(xt,  x 3 ) d^Xi,  x 3 )  where  к  denotes  the  known  W i n k l e r  coefficient.  12  Mech.  T e o r e ł .  i  Stos.  3­4/84  498  M .  Ż U K O W S KI  2 ° —  i f  6H(Xi,x3)  is  not  a  primary  deformation  at  the  point  but  it  is  positive,  o~n(x,i  x 3 ) > 0,  then  the  reaction  increment  o f  this  point  is  equal  to:  Pn(xi, x3)  =  ­  xk(x,,  x3)  <5„(x,, x 3 )  where  x,  x  >  1  designates  the  subsoil  inelasticity coefficient [1].  3° — i f  <5 n (x,,x 3 )  is  not  positive  at  the  point  ( x 1 ( x 3 )  eLJ,  ó„(x, , x 3 ) <  0,  then  the  total  reaction  at  this  point  is  equal  to:  P„(xi,x3)  =  0  i.e.  p„(xi,x3)  =  ­pn­i(xlt  x 3 ) .  O n  the  basis  of  the  assumptions  introduced  above  it  is  possible  to  call  the  subsoil  interacted  with  the  structure  footing,  a  partly  elastic  subsoil  (or  more  precisely  the  h­ partty  elastic  subsoil since  the quantity  h i n included i n the definition of this subsoil).  J .  K w i a t e k  in his paper  [1] suggested  the notion o f a partly  elastic  subsoil affected  both  by  outer  loads  as  well  as by the changes  of the boundary  surface  subsoil curvatures  under  the  structure  footing, and proposed  and evaluated  the coefficient  x,  which  is to be  applied  both  at  the  secondary  loadings  as  well  as  at  the  unloadings.  The numerical  values  of the  coefficient  x  was  given  i n  [1] on  the  basis  of experiments.  A c c o r d i n g  to  the  theoretical  model  suggested  above,  it  seems  that  the  experimental  model  penetration  should  be de­ fined  to  a  conventional  m i n i m u m  depth  h, h  > 0,  according  to  the  interpretation  of this  quantity  accepted  above.  In  many  problems  it can be assumed  that  the condition  <50(x1 ;  x 3 )  >  h occurs  for each  ( x , ,  x 3 ) elJ  i.e.  the  primary  deformation  can  only  take  place  before  the  first  change  o f  the  configuration  i.e. for n  =  0.  It  seems  that  such  an  assumption  was silently  accepted  i n  the paper  [1]. In this  case the reaction p  ( x , , x 3 ) of the  foundation  after  the n­the  change  o f  its  configuration  is  determined  by  the  conditions:  1'  Po(xi, x 3 )  =  k(x,,  x 3 ) ó 0 ( x , ,  x 3 )  for  each  ( х , , х3 ) е Я,  2'  i f  o „ ( x 1 ; x 3 ) > 0  then  p„(xt,  x 3 )  =  ­xk(x,,  x 3 ) ( 5 n ( x , , x 3 ) ,  3'  i f  дп(х1гх3)^0  then  pn(x,,  x 3 )  =  0  i.e.  р„(х ,,,  x 3 )  =  ­ / 5 „ _ 1 ( x 1 , x 3 ) .  Conditions  2', 3'  hold  only  i f n  =  1, 2, . . . ,  K,  where  К  is  the  number  o f  all  changes  o f  the  subsoil  configurations  and changes  o f the  loadings.  4.  Elastic  plates  on  the  partly  elastic  subsoil  We  are  to  confine  ourselves  to  the  linear  theory  o f  thin  elastic  plates,  cf.  [2]. It  is  assumed  here  that  the  plate  deflections  are  relatively  small  as  compared  with  the  plate  thickness.  We also  assume  that  the  plate  edges  can shift  freely  i n the  plate  middle  plane.  We  restict  ourselves  to the  equilibrium  plate  problems.  The scheme  o f plate  loadings and  deformations  is  given  on  F i g . 6,  i.e. after  the  л ­th change  o f the  subsoil  configuration,  q„ being  the  и ­th  change  o f the  plate  load  (thus  the  possibility  o f subsequent  К  changes  o f  the  plate  load  is  assumed).  The  governing  equation  o f the  plate  normal  displacement,  plate  being  made  of homo­ geneous  isotropic  material,  has  a  known  form  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  499  where:  w is the plate  deflection,  q is the load,  D =  Eg3/12(1  —v2)  is the rigidity  of  the  plate  i n which g is the thickness  o f the  plate,  E is  Young's  modulus,  and v is the Poisson's  ratio.  In the Cartesian  coordinates  х ±, x 3 this  equation is  w, 3 3 3 3 + 2 и >, з з 1 1 + * . 1 П1  =  D'  where  w =  и >(х1 ;  x 3 ) ;  ( x x ,  x 3 ) elJ.  The deflection  w is to  fulfill  the above  equation  at  each  point  o f the  region  77.  This  equation  has to be complemented  with  the boundary  conditions  on the free  edge  577, of the  region 77,  given at the end  of this  section.  In  the case  of taking  into  consideration  the reaction  of the subsoil, the plate  equation  wil l  have  the  f o r m :  V ^ Q c , ,  x 3 ) =  for  « = 1 , 2 , . . . , * ,  ( x 1 ;  x 3 )  е Я,  thus,  it w i l l  also  hold  for the increment  V > . ( * i , * s )  =  fcfo'*a+ft(*i.*a>  f o r  „ =  0 , 1 ,  (Х 1,х3)е П   together  with  the conditions on the free  edge  811.  O n  the basis  o f the  formulae  cited  above,  we shall  determine  the equation  for the ela­ stic  plate  on the partly  elastic  subsoil.  A n d so we shall get:  1°  — i f the  deformation  д „(х 1,х3)  is primary  at the point  (xt,  X3) б П ,  then  „ .  ,  v ,  к  ,  л  qH(xt, x3)+kun(x1,  x3)  V 4 H ' „ ( X 1  ,  X 3 )  +  — Wn(Xi , x 3 )  =  ­  ,  for  such  ( x I ; x 3 ) ell,  for which  Mxi,  x 3 ) > un(xi, x 3 ) + h  and  Щ (хх,  x3)  ^  м , ( х1 ;  х 3 ) + Л  for  / = 0, 1,  ...,n­\.  2 ° —  i f the  deformation  ^ „ ( х ^ Х з)  is not primary at the point  ( x l 5 x 3 ) e77 and it is  positive,  then  „ 4  ,  v i * k  ,  ^ \  Я п (х1,х3)  +  )(к ип(х1,х3)  У 4 а )л ( х !,  x 3 ) + ­=­ w,(Xi,  x3)  =  ­  ,  12»  3 0 0  M .  Ż U K O W S KI  for  such  (xlt  x3)  ell,  for  which  and  for  which there is  such  /, 0 < / <  № , that  x3)  >  ui(xiyx3)+h.  3°  — i f  the  deformation  at the point  (xt,  x3)  e П  does  not occur  i.e.  d„(Xl,  x3)  < 0,  then  V M * i ,  * з )  for  such  (x1, x3)  for which  g n ( * i , * 3 ) ­ P , . ­ i ( * i > * 3 )  D  * з )  s=  Ј „ ( * ! , . v 3 ) .  If  a primary  deformation  o f  the  subsoil  takes  place  at the  first  loading,  i.e. i f  « o ( * i ,  x3)  > u0(Xl,  x 3 )  for  each  ( х х , x3)  е П ,  then  the conditions  1°, 2°, 3°  w i l l  assume  the form,  respectively:  1° — V*w0(Xl,  x3)+ —  Woixt,  x3) =  9o(*i. х  ̂+  к и о ^х ^Х з )  assuming  that  for all (xlt  x3)  е П  the  condition is  fulfilled  о о0(х1гх3)  ft  u0(xltx3)+h  which  should  be checked  after  the solution  o f the problem  (after  finding  w0(Xl,  x3),  (Xi,  x3)  eLT).  ­ o  ^74 t  ч ,  xk  <1н( х1* xi)  +  xku„(xltx3)  for  such  (*!,  x 3 )  e / J and  л =  1, 2,  A ' for which  й « ( * х , * з)  >  й „ ( л : , , х3 ) .  ? n ( x i > * 3 ) ­ A , ­ i ( x i , * 3 )  3 ° ­ У Х( * 1, * з )  =  D  F i g .  7  for  such  (xlt  x3)  е П  and  n = 1,2,  A" for which  Wn( xl,  * з ) ̂   "п(* 1,  * з )­ Each  o f  the  cases  considered  is to be complemented,  according to the theory  of  plates,  with  the following  two  boundary  conditions  (viz.  F i g .  7):  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  501  M 3 C o s 2 a + M ; s i n 2 a —2M3,sinacosa  =  0  а  (4.1)  (63COsa + P " s i n a ) ­ ­ ­ ­ [ M S 1 ( c o s 2 a ­ s i n 2 a ) + (JW5­M,")sinacosa]  =  0  8b  in  which  the  following  were designated  Ml  =  —  /  82wn  8w„\  M i = ­ D \ ^ x T + V 8 x J ) '  Ml^­MU­Dil­v)­^,  (4.2)  С з  ­  °  э *з I  a*§  +  ax2  о ­  Ь  Д  8  (  +  g 2 w "  \  y i 0*1  \  ax2  ax 2  / '  S'  being  on  are  co­ordinate  along  the  boundary.  V/e  are  still  maintaing  the  convention  that  the  quantity  after  the  и ­th change  of configuration  or  loading is  overlined  by  a  ,,tilde''  over  it,  while the  quantity  increments  do  not  have  a  „ t i l d e "  over  them.  The  solution  o f  the  plate  problem  lies  in  determining  the  function  w„ =  wn(x,,  x3)>  n  — 0,  1,  A',  fulfiling  for  each  (х1г  x3)  е П  one  of  the  conditions:  1°, 2°  or  3 ° , a n d  such  that  the  boundary  conditions  (4.1)  are  fulfilled  for  all  those  (xlt  x3)  е П  for  which  the  unit  normal  и  exist.  After  determining  vv„(x,,  x3)  from  the  formulae  (4.2),  bending  couples  M"  and  M3  and  torques  M"3  can  be  calculated  from  Eqs.  (4.2).  If,  having  deter­ mined  H>O(XI  ,  x 3 )  it  w i l l  turn  out  that  for  each  (xlt  x3)  e77  exists  w 0 (x,,  x3)  >  M 0 ( X I , X3) + + h  then  we  can  only  apply  the  conditions  2'  and  3'  further  on,  instead  o f  1°, 2°, 3°.  5.  Elastic  beams  on  a  partly  elastic  subsoil  The  equilibrum  o f  elastic  beams  on  a  partly  elastic  subsoil  is  treated  like  the  equili­ brium  of  elastic  plates,  the  basic  equation  has  the  form  ( F i g . 8  for  x  =  xL)  i n  which  the  plate  rigidity  D  was  replaced  by  the  beam  rigidity  EJ,  and  w  —  w(x)  =  w(x,,  0).  The  boundary  conditions  have  now  the  form  = о  ^  = o  8x2  '  8x3  '  for  Xt  =  lt  and  x2  =  h  (F'g­ 8).  The  interaction  conditions  Г ­ 3 °  and  l'—3'  for  the  plate  502  M .  Ż U K O W S KI  also  hold  for  the  beam  i f  в  x  and  i f  the  dependence  of  the  function  w„, qn,  u„, n  =  =  0,  1,  К  on  the  variable  ;c 3  is  neglected.  l 2  ­ Т Т Т ГТ  TłTi  111111 rtŁ  i  gpc  F i g .  8  6.  Structures  with  rigid  footing  on  a  partly  clastic  subsoil  Let  us  assume  according  to  F i g . 9 that  any  point  P(xl,  x3)  ell,  o f  the  structure  on  a  rigid  footing,  is  displaced  under  the  influence  o f  structure  load  and  subsoil  configuration  changes.  Since  the  structure  undergoes  only  rigid  deformations,  the  position  o f  the  point  P(xltx3)  is  determined  by  , * з ) =  Ł+x3%­XiW„•  (6.1)  F i g .  9  The  equilibrium  condition  o f  the  forces  acting  upon  the  structure  footing  has  the  form  К  +  j  Pn(xi, л 'з) dxi  dx3  =  0,  (6.2)  n  where  Rn  is a  resultant  (in the  direction  o f the  axis .v2)  of the  loads  acting  from  the  structure  o n  its  footing.  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  503  The  remaining  equilibrium  conditions  are  Л * п3 )  +  / P n ( X i ,  x3)x,  dx,  d x 3  = 0 ,  (6.3)  +  J  pB(x1,x3)x3dx1„,  (6.4)  and  Л „+  Sp»(xl,x3)dxi.dx3  =  0,  n  M„3)+  f  ,  x3)xx  dx±  dx3  =  0 ,  (6.5)  я   A f « ł > +  J  Pn(xi,  x3)x3dxi  clx3  =  0.  я   The  basic  unknowns  are  now the  numbers  •&„,  y „ ,  г р „  for  each  n =  0 , 1 ,  K.  Each of  the  triples  o f these  number  w i l l  be  determined  from  the  three  equations  (6.5)  assuming  that  Rn  (the  increment  of the  resultant  o f normal  loads  acting  upon  the structure  footing)  and  M „ 2 ) and  Mn l)  (the  couples  increments  acting  upon  the  structure  footing  after  the  «­th  change of its configuration)  arc k n o w n . The  increment  of the  subsoil reaction  p„(x,,  x3)  is  to  be  distinquished  here,  by the  conditions  1°, 2°, 3° included  in  section  3. It  leads  to  the  equations:  R„+  j  ­k[§  +  x3(pn­xlWn­u„(x,,  x3)]  dxy  dx3  +  П п   +  f­xk[e  +  x3(p„­xly>­un(xl,x3)]dxldx3­  jp„_i(xi,  x^dx^dx^,  = 0 ,  Я л  Яп   M„3}  +  J  ­  kxj  [&„ +  x3n­u„(x,,  x3)]  dx,  dx3  +  ul  +  j  ­xkxt[Ф „+х3<ря­xtipn­ц ,(х !,  x3)]dxtdx3­  /  A ­ i f e . * } ) ^ * ! ^  =  ° .  Mi1  > +  J  ­  kx3  [&„ +  x3  (pn ­  A­,  y>„ ­  u„(xi,  x3)]  dxt  dx3  +  ni  +  j  ­xkx3[&a+x3H­uH(xi,  x3)]dxidx3­  J  pn­x(x,,  x3)x3dxtdx3  =  0 ,  ni  Яп   whereIIn l  is a set o f all those  (x,,  x3)  ell  for which d^x,,  x3)  is primary  and Ml  is  a  set  o f  all  those  ( х х , х 3 ) е П  for  which  й л ( . г ,,  x3)  is  not  primary  but  is  positive,  and  М ъ„  504  M .  Ż U K O W S KI  is  a  set  o f  all  those  ( x j , x3)  ell  for  which  д „(хх,  x3)  ^  0.  It  is  to  be  pointed  out  that  i n  the  general  case  the  regions П ^,П2,П3  are  disjointed  and  not  known  a  priori.  F o r all  (xlt  x3)  ell 2  there is no contact  o f the  structure  footing with  the  subsoil,  i.e.  р(х1г  x3)  =  0  i f  n  =  0  then  R0  =  R0,  MQ 3)  =  M0 3\  M 0 n =  M 0 "  and  for  n  =  0  it  is  to  be  assumed  />„_!  =  0,  both  in  the  above  and  further  equations.  The  above  conditions  lead  to  the  set  o f  equations:  •&„(  Jk(x\,  x3)dxtdx3+H  jk(xt,  x3)dxxdx3)  +„. The  total  values  o f  the  displacements  and  rotations  are  equal  to  ёп  =  #0  +  +  ...  +#„;  0 + (pi+  . . .  + 9 5» ;  Wn  = W0 + W1+  ••• +Vn,  respectively.  The  final  position  o f  the  structure  footing  w i l l  be  determined  by  E q . (6.1).  Essential  difficulty  in  solving  the  above  three  equations  lies  in  the  fact  that  regions  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  505  / / „ ' ,  / 7 2 ­ Щ are not  known  i n  advance  but are expressed  by the conditions given  in  Sec. 3.  This  means  that:  1 —  ( *1, * з )  е ­Я л1  for  n =  0  w0(xi,x3)  >  w 0 ( x i ,x3)  + h  for  n > 0  wjfai.xi)  >  M „ O J , X 3 )  and w ^ i ,  * з ) < fi>,(x,, x 3 ) +  /;.  2 ­ ( х 1 , х 3 ) б Яп 2  i f  w „ ( x i , x 3 )  >  й Д х̂Х з)  and (x,,x3)  does  not belong  tp Щ .  3  — ( x , , x 3 ) e / 7 „ 3  i f  wu(xi,  x3)  <  м „ ( х ,,  x 3 )  i.e.  the contact  between  the footing  and  subsoil  does  not  take  place.  The  above  problem can  be  solved  in an elementary  way, if the  deformations  are primary  for  each  ( x 1 ;  x 3 )  e77  before  the first  change  o f  subsoil  configuration. Thus  ^ о  +  Х з ^ и­ х ^ о  ^  » o ( ­ V ' i ,  x3)­f­/?  for each  ( х 1 , х 3 ) е Я.  (6.7)  The  second  condition  is the lack  of contact  loss  o f the  structure  footing  with  the subsoil  i.e.  Vn+XstPn­XiVn  >  x3)  for  each  ( x , ,  x 3 ) е П ,  n =  1,2,  K.  (6.8)  These  conditions can be checked,  however,  only  after  the problem  has been  solved,  since  #o, 9?0, y>0 and # „ , cp„, yn,  n = 1, 2,  . . . , К  occurring  only  i n the  conditions  (6.7),  (6.8)  are unknown.  When  the conditions  (6.7),  (6.8)  are fulfilled,  then  i n Eqs.  (6.6) for  n  — 0 integrals  over/7, 2  do not occur  (because  for n =  0 only  primary deformations  take  place)  and 77^  = 77 as there  is no loss  of contact  o f  the  structure  footing  with  the subsoil.  By  analogy,  for n = 1, 2,  . . . , К integrals  over 77„L  do not occur  and  7 7 2  = 77.  Let's  assume  that  the assumptions  (6.7)  and  (6.8)  are fulfilled  and  let's  take  the coor­ dinate  system  O x t x 3  on the plane  i n such a way  that:  J ^ ( X i ,  x 3 ) x 3 c / x 1 r / x 3  =  0,  Jк (х1г  x 3 ) x ! d x x d x 3  =  0,  n  n  J k(x,,  x 3 ) X j x3  dXt dx3  =  0 .  n  Moreover,  let us  denote  A  =  j  k(xi,  x 3 ) d x , dx3,  7j s  j  k(x,, x3) (x3) 2<7x,  dx3,  (6.9)  я  я   J3=  j  k(xt,  x 3 ) ( x J V x !  dx3.  (6.10)  If  k'xy, x 3 ) = к  = const,  for each  ( x , , x 3 )  e / 7  i.e.  i f Winkler's  coefficient  is  constant,  then  the coordinate  axes  on the plane  x 2 =  0 are obviously  the main  central  axes  of the  region  77  and  А /к , I,/к ,  I3/k  are a  surface  of the  region 77, and the main  central  inertia  moments  o f this  region,  respectively.  The co­ordinate  system  x x x 3  fulfilling  the  above  conditions  always  exists  because  o f k(x^,  x 3 )  >  0 the numbers  A, I,,  7 3  are always po­ 506  M .  Ż U K O W S KI  sitive.  The set o f  equilibrium  equations  (6.6)  for n  — 0 w i l l  have  the  following  form  now  &0A  =  R0  +  J k(Xi.  x 3 ) M 0 ( . V ,  , x3)dxt dx3,  n  (poli =  M[0)+  Jk(xlt  Х з)х3Ц о(х 1,  x3)dxtdx3,  n  ­rpoh = M(30)+ J  k(x1,x3)x1u0(x1,x3)dxldx3  h  and  for the increments  n = I, 2, ..., К   &„xA  =  RN  + x  yk(xl,x3)un(xi,x3)dxldx3,  a  (faxly  = Mf  + x  Jk(xit  х 3 )л ­3 м л (х 1 ,  x3)dxydx3,  П   ­y„xl3  = M ( n l>  + x  j  kix^x^XiUnix^x^dxydXj.  л   F r o m  the above  formulae  we shall  obtain  #o  = #o =  ~  [R0  +  /k(xL,  * з ) И о( *1,  x3)dXi  dxA.   + jk(x!,  x3)x3u0(x1,  x3)dxldxA.  (6.11)  1  и   Vo  =  Vo =  ­ у ­ Г л ^Ч  fk(x1,x3)xiu0(xl,x3)dx1dx3\  F o r  n =  1, 2,  . . . , K,  on  the  other  hand,  we  shall  get  =  #o  | l  ­  +  щ  [К  + *  J  k{xi,  x3)u,(Xi,  x3)dXi  dxA,  Ф п  =  9>o(l ­  ^ ) + — [M^ + X /k{xx,x3)Xiun(xl tx3)dxl,dx3],  (6.12)  V­  =  Vo | l ­  ^ ) + ­щ ­  \M^ + X /k(X l,  х 3 )х 3 ы „(х ,, x3)dxt,  dx3].  It  is to be  emphasized  that  the  formulae  (6.11)  and  (6.12)  are to  hold  only  when the  condi­ tions  (6.7)  and  (6.8)  are fulfilled.  If the  conditions  (6.7)  and  (6.8)  are not  satisfied,  then  the  formulae  (6.11)  and  (6.12)  do not represent  the solution  o f  the  problem  and  cannot  be  applied.  In  order  to  draw  attention  to inelastic  features  o f the  subsoil  let us consider  a  case  i n  which  йк  = 0 and  let us assume  that  RK  = 0, M l K l)  = 0 and  M ^ 3 )  = 0.  This  means  that  we  have  taken  the whole  load  off  the  structure  under  consideration.  S T R U C T U R E S  O N  T H E  P A R T L Y  507  Then,  according  to  the  formulae  (6.12),  for  n  =  AT we  shall  get  h  Ф к   Ф к   In  the  above  formuale  # 0 ,  cp0,  y>0 characterize  primary  deformations  of  the  subsoil  caused  by  the  action  o f  the  rigid  construction  loaded  with  the  resultant  force  R0  and  the  resultant  couples  M0'\M0 3)  (according  to  the  formulae  (6.11)  while  &к,Ф к ,Ф к  cha­ racterize  analogous  deformation  o f  the  not  loaded  structure  (as  we  have  assumed  RK  =  0,  А /к"  =  0,  =  0).  Thus,  it  can  be  seen  that  &к,фк,  WL characterize  inelastic  defor­ mations,  i.e.  deformations  that  are  not  accompanied  by  any  forces.  Thus,  the  formulae  (6.13)  characterize  a  certain  effect  of  inelasticity  o f  the  subsoil  which  w i l l  allways  occur  when  я  ф  1.  I f  Jt,  is  the  symmetry  axis o f the  region П  and  when  the  loads  are  symmetric in  relation  to  that  axis,  and  the  subsoil  surfaces  after  deformations  are  cylindrical  surfaces  o f  con­ stant  curvatures  and  independent  o f  x3,  then  M„ l)  =  0,  y>„  =  0,  n  =  1,2,  К  and  we  shall  get  the  special  case  o f  the  considered  problem,  which  was  discussed  in  [1],  where  four  states  o f  the  subsoil  were  considered  (i.e.  К  =  3),  assuming  u0  =s 0,  и х  =  ul(x1),  u2  =  u2(x1),  u3  =  0,  where  « i ( x , )  and  H 2 ( * I )  being  assumed  as  the  cylindrical  surfaces  o f  constant  curvature  o f  a  different  sign.  7.  Finals  remarks  In  sections  4,5  and  6 general  formuale  were  introduced  describing the  footing  structure  behaviour  on  a  partly  elastic  subsoil  which  undergoes  subsequent  deformations.  The  so­ lution  o f  the  problem  was  obtained  only  for  a  special  case  of  the  rigid  footing,  the  i n ­ teraction  o f  which  with  the  subsoil  is  described  by  the  conditions  (6.7)  and  (6.8).  These  conditions  can  be  checked,  however  only  obtaining  after  the  solution.  If  the  conditions  (6.7),  (6.8)  are  not  fulfilled,  then  it  is  generally  not  possible  to  get  a  solution  w i t h  elementary  metods  o f  the  considered  problem.  Similarly,  with  elementary  methods  one  is  not  able  to  obtain  solutions  for  elastic  plates  and  beams  on  a  partly  elastic  subsoil;  the  formulae  given  in  Sections  4  and  5  are  limited  only  to  formulate  the  problem, leaving  open  the  methods  o f  its  solution.  The  analytic  difficulties  in  obtaining  solutions  result  from  the  fact  that  the  problems  discussed  are  characterized  not  only  by  equations,  but  also  by  inequalities.  The  analysis  o f  the  problems  described  with  equations  and  inequa­ lities  simultaneously  can  by  found  e.g.  i n  the  monograph  [3].  It  is  to  be  pointed  out,  ho­ wever,  that  methods  o f  solving  problems  o f  that  k i n d  numerically  are  k n o w n ,  and  can  be  successfully  applied  for  the  equations  and  inequalities  given  in  Sees.  4,  5,  6.  Further­ more  the  case  solved  at  the  end  of  Sec.  6,  in  spite  of a  very  special character,  has  a  practi­ cal  meaning  in  many  engineering  problems.  In  other  cases  an  approximate  approaches  5 0 8  M .  Ż U K O W S KI  can  be applied,  for example  those  discussed  in the  monograph  [4] and making  use o f the  notion  of discretization  o f  problems.  References  [1]  J .  K W I A T E K ,  The Long  Strip  Fooling  on  a  Partly  Elastic  Subsoil  in  the  Mining  Regions  ( i n  P o l i s h ) ,  I n ż y n i e r i a,  i  B u d o w n i c t w o  1 ­ 4 , 1982.  [2]  S.  T I M O S H E N K O ,  S .  W O I N O W S K Y ­ K R I E G E R ,  Theory of  Plates and Shells,  M c  G r a w ­ H i l l ,  N e w  Y o r k ­ T o ­ r o n t o ­ L o n d o n  1959.  [3]  G .  D U V A U T ,  J .  L .  L I O N S ,  Les  inequations  en mecanique  et  en physique,  D u n o d ,  P a r i s  1972.  [4]  C .  W O Ź N I A K,  M .  K L E I B E R ,  Non­linear  Structural  Mechanics  ( i n  P o l i s h ) ,  P W N ,  W a r s a w ­ P o z n a ń  1982.  Р е з ю ме   В З А И М О Д Е Й С Т В ИЕ  К О Н С Т Р У К Ц ИЙ  С  Ч А С Т И Ч НО  У П Р У Г ИМ  О С Н О В А Н И ЕМ   Ц е л ью  р а б о ты  я в л я е т ся  о п и с а н ие  п о в е д е н ия  к о н с т р у к ц ий  п о с а л е н н ых  н а  о с н о в а н и и,  к о т о р ое   и з м е н я ет  к о н ф и г у р а ц и ю.  У ч ет  в л и я н ия  д е ф о р м а ц ий  о с н о в а н ия  н а  п о в е д е н ие  к о н с т р у к ц ий  и м е ет   п р а к т и ч е с к ое  з н а ч е н ие  в  з а д а ч ах  п о с а д е н ия  о б ъ е к т ов  в  р а й о н ах  у б ы т к ов  у г о л ь н ой  п р о м ы ш л е н н о с т и.  Р а с с м о т р е но  у п р у г ие  п л и ты  и  б а л ки  а  т а к же  д е ф о р м и р у е м ые  к о н с т р у к ц и и,  и м е ю щ ие  ж е с т к ие   о с н о в а н и я.  У ч т е н о:  1 — в о з м о ж н о с ть  п о т е ри  к о н т а к та  о с н о вы  к о н с т р у к ц ий  с  о с н о в а н и е м,  2 —  р а з н ое  к а ч е с т во  о т п о ра  о с н о в а н ия  о п и с а н н о го  в  [1].  П о л у ч е но  р е ш е н ия  в  ч а с т н ом  с л у ч ае  к о н с т р у к­ ц ий  с  ж е с т к им  о с н о в а н и ем  м и е ю щ им  п р а к т и ч е с к ое  з н а ч е н и е.  S t r e s z c z e n i e  \  W S P Ó Ł P R A C A  K O N S T R U K C J I  Z  C Z Ę Ś C I O WO  S P R Ę Ż Y S T YM  P O D Ł O Ż EM  C e l e m  p r a c y  jest  o p i s  z a c h o w a n i a  się  k o n s t r u k c j i  s p o c z y w a j ą c y ch  n a  p o d ł o ż u  d o z n a j ą c ym  z m i a n  k o n ­ f i g u r a c j i .  U w z g l ę d n i e n ie  w p ł y w u  deformacj i  p o d ł o ż a  n a  z a c h o w a n i e  się k o n s t r u k c j i  m a  b o w i e m  znaczenie  p r a k t y c z n e  w  p r o b l e m a c h  p o s a d o w i e n i a  o b i e k t ó w  n a  terenach  o b j ę t y ch  s z k o d a m i  g ó r n i c z y m i .  R o z p a ­ t r y w a n o  s p r ę ż y s te  p ł y t y  i  b e l k i  o r a z  k o n s t r u k c j e  o  s z t y w n y c h  p o d s t a w a c h .  U w z g l ę d n i o no  m o ż l i w o ść  utraty  p o d s t a w y  k o n s t r u k c j i  z  p o d ł o ż em  o r a z  r ó ż ny  c h a r a k t e r  o d p o r u  p o d ł o ż a  p r z y  o d k s z t a ł c e n i a c h  p i e r w o t n y c h  i  w t ó r n y c h ,  z g o d n i e  z  k o n c e p c j ą  p o d a n ą  w  [1]. O t r z y m a n o  r o z w i ą z a n ia  d l a p r z y p a d k u  s z c z e g ó l n e g o  k o n ­ s t r u k c j i  o  sztywnej  p o d s t a w i e ,  m a j ą c e go  znaczenie  p r a k t y c z n e .  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  8  czerwca  1983  roku