Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3 ­ 4  22  (1984) 

F A L E  S P R Ę Ż O NE  M E C H A N O ­ T E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E 

W  S T A Ł Y M  O Ś R O D KU  P I E Z O E L E K T R Y C Z N Y M 

K R Y S T Y N A  M A J O R K O W S K A ­ K N A P  ( W A R S Z A W A ) 

Politechnika  Warszawska 

1.  Wprowadzenie 

Ostatnie  lata  ś wiadczą  o  wciąż  wzrastają cym  zainteresowaniu  zagadnieniami  pól 

sprzę ż onych.  Badania  z a r ó w n o  teoretyczne,  jak  i  d o ś w i a d c z a l ne  zachowania  się  sprę ż y­

stego  ciała  stałego,  k t ó r e  znajduje  się we wzajemnym  o d d z i a ł y w a n i u  z polem  elektromagne­

tycznym,  a  czę sto  r ó w n i e ż  z  polem  temperatury,  stały  się  bardzo  popularne  z  powodu 

olbrzymiego  zapotrzebowania  ze  strony  techniki.  M o ż na  powiedzieć,  że  piezoelektrycz­

n o ś ć  — dziedzina  zajmują ca  się  sprzę ż eniem  pola  deformacji  z  polem  elektromagnetycz­

nym  oraz  t c r m o ­ p i e z o e l e k t r y c z n o ś ć,  włą czają ca  ponadto  pole  temperatury,  są  na  etapie 

dynamicznego  rozwoju. 

Cztery  lata  temu  m i n ę ła  setna  rocznica  odkrycia  zjawiska  piezoelektrycznego  przez 

braci  Piotra  i  P a w ł a  Curie.  W  1880 r.  odkryli  oni  prosty  efekt  piezoelektryczny  w  kry­

stalicznym  kontinuum  [1] — wytwarzanie  elektrycznej  polaryzacji,  a  więc  i  pola  elek­

trycznego  przez  mechaniczne  n a p r ę ż e n i e.  Odwrotny  efekt  piezoelektryczny — pojawianie 

się  n a p r ę ż eń  i  o d k s z t a ł c e ń  k r y s z t a ł u  wskutek  zastosowania  z e w n ę t r z n e go  pola  elektrycz­

nego  był przewidziany  teoretycznie  przez  G . L i p p m a n a  [2] w  1881 r.  jako  konsekwencja 

termodynamiczna  prostego  efektu.  W  tym  samym  r o k u  bracia  Curie  zweryfikowali  eks­

perymentalnie  to  odkrycie  [3].  Obydwa  efekty  zostały  udowodnione  i  doś wiadczalnie 

zademonstrowane  w  anizotropowych  niecentrosymetrycznych  k r y s z t a ł a c h ,  np.  [4, 5] 

w  pewnych  syntetycznych  m a t e r i a ł a c h ,  np.  ceramice  piezoelektrycznej,  np.  [6, 7], w tzw. 

piezoelektrycznych  teksturach  (np.  drewno  [89], s k ó r a  [9],  k o ś ć  [10), w  ceramice  ferro­

elektrycznej  [11], w  p ł y n n y c h  k r y s z t a ł a c h  [12]. O b s z e r n ą  bibliografię  dotyczą cą  znanych, 

piezoelektrycznych  m a t e r i a ł ó w  m o ż na  znaleźć  w  [13]. Badania  eksperymentalne  wykazują  

że  efekt  piezoelektryczny  wystę puje  r ó w n i e ż  w  centrosymetrycznych  k r y s z t a ł a c h ,  np. 

[14,  15]. 

Najbardziej  ś cisłe  s f o r m u ł o w a n i e  zależ noś ci  mię dzy  piezoelektrycznoś cią  i  s t r u k t u r ą  

k r y s z t a ł ó w  z o s t a ł o  podane  przez  Woldemara  Voigta.  O n  właś nie  ustalił,  w  k t ó r y c h  z  32 

klas  krystalograficznych  m o ż e  istnieć  efekt  piezoelektryczny,  i  p o d a ł  dla  każ dej  klasy, 

k t ó r e  z osiemnastu  w s p ó ł c z y n n i k ó w  piezoelektrycznych  mogą  mieć  w a r t o ś ć  róż ną  od zera. 

W  roku  1894 z o s t a ł a  opracowana  przez  W .  V o i g t a  fenomenologiczna  l i n i o w a  teoria 

piezoelektrycznoś ci  [16]  oparta  na  zasadach  termodynamicznych  s f o r m u ł o w a n y c h  przez 

K e l v i n a 



5 1 0  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P 

Przez  ponad  35  lat  od  o d k r y c i a  piezoefektu  nie  p r z y w i ą z y w a no  ż adnej  wagi  do  jego 

praktycznego  znaczenia.  Praktyczne  zastosowania  z a p o c z ą t k o w a ła  praca  P.  Langevina, 

k t ó r y  w  1917  roku  uż ył  przetwornik  kwarcowy  do  wzbudzenia  fal  akustycznych  w  wodzie. 

N a s t ę p n ie  p o w s t a ł y  pierwsze  generatory,  rezonatory  i  filtry  piezoelektryczne  dzię ki  pra­

com  P.  Langevina,  W .  G .  Cady,  A .  M .  N i c o l s o n a  i  K .  S.  V a n  D y k e a .  W  r o k u  1919  W .  G . 

Cady  pierwszy  z a s t o s o w a ł  kryształy  piezoelektryczne  do  kontroli  czę stotliwoś ci  genera­

tora  d r g a ń .  N a s t ę p n ie  stosowali  je  G .  W .  Pierce  i  M i l l e r .  O k o ł o  dziesię ciu  m i l i o n ó w  ge­

n e r a t o r ó w  kontrolowanych  dzię ki  piezoefektowi  w  k r y s z t a ł a c h  było  u ż y w a n y ch  podczas 

II  wojny  ś wiatowej  w  łą cznoś ci  mię dzy  czołgami,  ziemią  i  samolotami.  W  tych  zastosowa­

niach  wykorzystywano  element  piezoelektryczny  drgają cy  w  zmiennym  polu  elektrycznym. 

Wyjaś nienie  własnoś ci  piezoelektrycznych  kryształów  umoż liwiły  badania  ich  struktury 

za  p o m o c ą  promieni  Rontgena. 

Dalszy  dynamiczny  rozwój  z a s t o s o w a ń  praktycznych  (takich  j a k :  w  p r z y r z ą d a ch  re­

jestrują cych  dź wię k,  w  p r z y r z ą d a ch  pomiarowych  ciś nień  szczególnie  g w a ł t o w n y c h  eks­

plozji,  a  również  ciś nienia  k r w i ,  n a p r ę ż eń  w  inż ynierskich  elementach  konstrukcyjnych, 

do  retransmisji  i  mierzenia  p r ę d k o ś ci  ś wiatła,  w  telewizji,  komputerach,  do  wykonywania 

w z o r c ó w  czasu,  w  r ó ż n y ch  typach  broni  ogniowej  i  artyleryjskiej)  p o w o d o w a ł  intensy­

fikację  z a r ó w n o  b a d a ń  podstawowych,  jak  i  aplikacyjnych. 

W  o m ó w i o n y c h  zastosowaniach  wykorzystywano  obję toś ciowe  fale  piezoelektryczne. 

Olbrzymie  zastosowanie  techniczne  piezoelektrycznych  fal  powierzchniowych  spowo­

d o w a ł o ,  że  skupiają  one  wciąż  na  sobie  wiele'uwagi  badaczy.  Ze  wzglę du  na  ich  bardzo 

niską  p r ę d k o ść  oraz  bardzo  mał ą  d ł u g o ś ć  w  p o r ó w n a n i u  z  falami  elektromagnetycznymi 

tej  samej  czę stotliwoś ci  (redukcja  w  wymiarze  z a r ó w n o  prę dkoś ci  jak  i  długoś ci  o k o ł o 

1 0 " s )  znajdują  zastosowanie  m.in.  w  nieniszczą cych  oszacowaniach  sejsmologicznych, 

w  o b r ó b c e  s y g n a ł ó w  z  w a ż n y mi  zastosowaniami  m.in.  do  radaru,  telekomunikacji,  elek­

tronowej  techniki  wojskowej.  Akustoelektronika  p o w s t a ł a  w  cią gu  ostatnich  20  lat  j a k o 

osobna  gałąź  nauki  i  techniki  bazuje  na  piezoelektrycznych  falach  powierzchniowych. 

Odkryto,  zbadano  i  zastosowano  szereg  typaw  fal  powierzchniowych  od  dawno  znanych 

fal  Rayleigha  (17],  L o v e ' a  [17],  Stoneleya  [18]  do  stosunkowo  niedawno  odkrytych, 

np.  Bleusteina­Gulajewa  [19,  20],  typu  „ I e a k y "  [21,  22],  wystę pują cych  z a r ó w n o  na  p ł a ­

skich,  jak  i  zakrzywionych  (sferycznych  bą dź  cylindrycznych)  powierzchniach. 

W  niniejszej  pracy  skoncentrowano  się  na  wybranych  zagadnieniach  dynamicznych, 

a  mianowicie  interesują cych  typach  fal  (o  przebiegach  harmonicznych  w  czasie  i  w  prze­

strzeni)  w  o ś r o d ku  piezoelektrycznym. 

2.  Fale  harmoniczne  w  oś rodku  piezoelektrycznym —  teoria  W .  Voigta 

Klasyczne  s f o r m u ł o w a n i e  teorii  piezoelektrycznoś ci  bazują ce  na  podstawowych  r ó w ­

naniach  liniowych  wyprowadzonych  przez  W .  Voigta  zawiera  fundamentalna  literatura: 

prace  z  lat  50­tych  W .  G .  Cady  [4]  (pierwsze  wydanie  1946  г .),  W .  P.  M a s o n a  [5],  z  lat 

б О ­г ­70­tych  W .  P.  M a s o n a  [23],  H .  F .  Tierstena  [24,  25]  oraz  wydana  w  1983  r.  mono­

grafia  W .  Nowackiego  [26]. 

L i n i o w a  teoria  piezoelektrycznoś ci  W .  Voigta  w  quasi­statycznym  przybliż eniu  [26] 



M E C H A N O ­ T E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E  P A L B  511 

reprezentowana  jest  przez  nastę pują ce  podstawowe  zwią zki  i  r ó w n a n i a  napisane  w  kar­

tezjań skim  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  p r o s t o k ą t n y c h: 

—  r ó w n a n i a  ruchu  i  r ó w n a n i e  pola  elektrycznego 

Ojt.j+Xi  = 4 « i »  £ i . i = 0»  xeB,  / > 0  (2.1) 

—  zwią zki  konstytutywne 

°Ч/  =  cljklEkl~  ekijEk 

Di  = eMeM  + eikEk,  Ek = ­<рл  

—  definicję  tensora  odkształcenia 

1 

(2.2) 

e tj  *=­b­<Mi.j+Uj.i),  (2.3) 

gdzie:  u—­wektor  przemieszczenia,  du  — tensor  n a p r ę ż e n i a,  X — wektor  sił  masowych, 

Q — gę stość  ciała,  D — wektor  indukcji  elektrycznej,  E — wektor  n a t ę ż e n ia  pola  elek­

trycznego,  (p — potencja ł  elektryczny,  stałe  m a t e r i a ł o w e :  cUkl  — współczynniki  sztywnoś ci 

sprę ż ystej  (dla  E%  = const),  ekiJ  — współczynniki  piezoelektryczne,  eik  —  współczynniki 

dielektryczne  (dla  =  const). 

Należy  tu  n a d m i e n i ć ,  że r ó w n a n i a  elektrostatyki  (2.1)2  i  (2.2)3  zostały  otrzymane 

dzię ki  redukcji  r ó w n a ń  elektrodynamiki  M a x w e l l a  ((3.2)  (3.3)  pkt.  3)  przy  założ eniu 

nieskoń czenie  małeg o  p r ą du  przewodzenia  I = 0 i  magnetyzacji  M = 0  oraz  braku  ła­

d u n k ó w  elektrycznych Qe = 0 dla  ciała  piezoelektrycznego, a ponadto  zaniedbania  indukcji 

magnetycznej  (przyjmujemy  В = 0) w stosunku  do innych  wielkoś ci  charakteryzują cych 

pole  elektromagnetyczne  na podstawie  r o z w a ż ań  H . F .  Tierstena  [25]. 

Podstawowe  r ó w n a n i a  róż niczkowe  piezoelektrycznoś ci: 

—  r ó w n a n i a  ruchu  i  r ó w n a n i e  quasi­statycznego  pola  elektrycznego  otrzymujemy 

w  wyniku  wstawienia  (2.2) do (2.1) przy  wykorzystaniu  (2.3) mamy: 

CukiUk.ij + ekij<P.kj+Xi  =  е " ь  ^ 

е ш ик.ц ­е№<р ,ы  = 0,  i,j,k,l  = 1,2,3. 

D o  r ó w n a ń  (2.4) d o c h o d z ą  warunki  brzegowe  i  p o c z ą t k o w e.  N a powierzchni  8B  ograni­

czają cej  obszar  В jednorodnego  o d k s z t a ł c a l n e g o  ciała  anizotropowego  mogą  być dane 

przemieszczenia  albo  obcią ż enia,  p o t e n c j a ł  elektryczny  albo  ł a d u n k i  powierzchniowe: 

u, = U,(x, t),  q{ = an(x,  t)iij(x), 

(p =  Ф {х , t),  Dknk  =  ­xe,  x E  8B 

W  chwili  począ tkowej  t = 0 pole  przemieszczeń  dane jest  r o z k ł a d e m  funkcji  g,(x),  a pole 

ich  prę dkoś ci  r o z k ł a d e m  funkcji  ht{x) 

» , ( x ,  0) =  gi(x),  u,(x,  0) =  /г ,(х ),  x e B.  (2.6) 

W  warunkach  (2.5),  (2.6) n jest  jednostkowym  normalnym  wektorem  na brzegu  8B, xe  — 

jest  p o w i e r z c h n i o w ą  gę stoś cią  ł a d u n k u  elektrycznego,  q —jest  wektorem  sił  powierzchnio­

wych,  U i, 0,gi  i hi są danymi  funkcjami. 

U k ł a d  r ó w n a ń  (1.4) jest  u k ł a d e m  r ó w n a ń  s p r z ę ż o n y c h.  W i d a ć ,  że wskutek  o d d z i a ł y w a ń  

z e w n ę t r z n y ch  (siły  masowe  i powierzchniowe,  dane  na  powierzchni  ciała  przemieszczenia, 



512  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P 

przyczyny  natury  elektrycznej),  k t ó r e  są  funkcjami  p o ł o ż e n ia  i  czasu,  w  rozpatrywanym 

ciele  powstaje  pole  przemieszczeń  u(x,  t),  k t ó r e  wywołuje  z m i a n ę  pola  elektromagnetycz­

nego. 

R o z w i ą z a n ie  r ó w n a ń  (2.4)  pozwala  na  wyznaczenie  wektora  przemieszczenia  u  i  p o ­

tencjału  elektrycznego  cp.  N a s t ę p n ie  z  (2.2)3  i  (2.3)  m o ż na  wyznaczyć  natę ż enie  pola  elek­

trycznego  E  i  o d k s z t a ł c e n i a  eu,  z  (2.2),, 2  n a p r ę ż e n ie  au  i  indukcję  elektryczną  D,  w  k o ń cu 

wektor  polaryzacji  elektrycznej  P  ze  z w i ą z ku  konstytutywnego 

P,  ­  Dt­<ż0Eu  (2.7) 

gdzie  e 0  jest  przenikalnoś cią  elektryczną  p r ó ż n i. 

Poszukując  rozwią zania  r ó w n a ń  piezoelektrycznoś ci  w  o ś r o d ku  nieograniczonym  w  po­

staci  fali  płaskiej  o  danym  kierunku  propagacji  otrzymujemy  trzy  rozwią zania  odpowia­

dają ce  falom  obję toś ciowym  czysto  mechanicznym  ( q u a s i ­ p o d ł u ż na  i  dwie  quasi­po­

przeczne)  usztywnionym  piezoelektrycznie,  bowiem  potencja ł  i  stowarzyszone  z  nim  pole 

elektryczne  są  w  znacznej  mierze  ich  składową  czę ś cią. 

D l a  fal  obję toś ciowych  istnieją  pewne  k i e r u n k i ,  w  k t ó r y c h  krystaliczna  symetria  wy­

maga  m o d ó w  czysto  p o d ł u ż n y ch  oraz  czysto  poprzecznych.  W  pracy  F .  E .  Borgnisa  [27 

podane  są  kierunki,  w  k t ó r y c h  m o g ą  być  propagowane  czysto  p o d ł u ż ne  fale  dla  róż nych 

klas  krystalograficznych  k r y s z t a ł ó w  anizotropowych. 

Fale  obję toś ciowe  w  k r y s z t a ł a c h  trygonalnych,  tetragonalnych  i  j e d n o s k o ś n y ch  roz­

patrywane  są  w  pracy  R .  Meiera  i  K .  Schustera  [28].  Te  zagadnienia  r ó w n i e ż  omawiane 

są  w  pracy  zbiorowej  pod  redakcją  A .  A .  Olinera  [29]  oraz  w  pracy  S.  Epsteina  [30]. 

Przejdź my  teraz  do  piezoelektrycznych  fal  powierzchniowych.  Najprostszym  przy­

k ł a d e m  o ś r o d k a,  w  k t ó r y m  m o g ą  r o z c h o d z i ć  się  te  fale, jest  p ó ł p r z e s t r z e ń  piezoelektryczna. 

Z  uwagi  na  łatwość  techniki  wzbudzania  jest  uż yteczne  badanie  n i e s p r z ę ż o n y ch  czy­

stych  m o d ó w  prostszej  formy  p r o p a g u j ą c y ch  się  na  swobodnej  powierzchni  p ó ł n i e s k o ń ­

czonego  kryształu.  Efekty  piezoelektryczne,  jako  mechanizmy  sprzę gają ce  mechaniczne 

fale  z  z e w n ę t r z n ym  obwodem  elektrycznym,  powodują  wytwarzanie:  usztywnionych  mo­

d ó w  Rayleigha  [17],  fal  Bleusteina­Gulajewa  [19],  [20],  jak  r ó w n i e ż  innych,  n p :  typu 

„ l e a k y "  [21],  [22]. 

W y s t ę p o w a n ie  niezależ nych  m o d ó w  zależy  od  kombinacji  symetrii  o ś r o d ka  utrzy­

mują cego  falę,  kierunku  propagacji  fali  oraz  od  w a r u n k ó w  brzegowych,  k t ó r e  m o g ą  nie 

p o z w a l a ć  na  istnienie  pewnych  m o d ó w  albo  w p r o w a d z a ć  sprzę ż enie  p o m i ę d zy  modami 

nie  p o ł ą c z o n y mi  przez  siatkę  krystaliczną  [31].  Odpowiednie  dane  dla  32  klas  krystalo­

graficznych  m o ż na  znaleźć  w  pracach  G .  A .  Farnella  [32]  i  C .  Lardata,  C .  Maerfelda, 

P .  Tournoisa  [33]. 

Piezoelektryczne  mody  Rayleigha  były  przedmiotem  wielu  prac,  m . i n . :  S.  Kaliskiego, 

J .  Kapelewskiego,  Z .  Makowskiego  [34],  С.  C .  Tsenga  [35],  E .  Danickiego  [36].  Te  nie­

dyspersyjne  fale,  o  głę bokoś ci  penetracji  w  głąb  k r y s z t a ł u  o k o ł o  k i l k u  długoś ci  fali, 

mają  p r ę d k o ść  nieco  wię kszą  niż  klasyczna  p r ę d k o ść  Rayleigha  wskutek  korekcji  wynika­

ją cej  z  elektromagnetycznego  sprzę ż enia.  Przy  zastosowaniu  powleczenia  swobodnej 

powierzchni  k r y s z t a ł u  doskonale  przewodzą cą  w a r s t w ę  m a t e r i a ł u ,  dość  cienką,  że  nie­

zmienione  pozostają  mechaniczne  warunki  brzegowe,  nastę puje  zmiana  p r ę d k o ś ci  fali. 



M E C H A N O ­ T E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E  F A L E  5 1 3 

N a  tej  zmianie  bazuje  kryterium  o s ą d z e n ia  wzglę dnej  wydajnoś ci  wzbudzenia  tych  f a l : 

mówi  o  tym  praca  J .  J .  Campbella  i  W .  R .  Jonesa  [37]. 

Fale  Bleusteina­Gulajeva,  z w y r o d n i a ł e  fale  rodziny  S H ,  bez  odpowiednika  w  czysto 

sprę ż ystym  jednorodnym  materiale  tej  samej  symetrii  sprę ż ystej  co  piezoelektryk  były 

badane  przez  o d k r y w c ó w  J .  L .  Bleusteina  i  W .  Gulajewa  [19],  [20],  a  n a s t ę p n ie  С.  C . 

Tsenga  [38],  G .  Koerbera,  R .  Vogela  [39],  [40],  W .  Solucha  [41].  Te  niedyspersyjne  fale 

0  znacznie  wię kszej  penetracji  w  głąb  m a t e r i a ł u  (10  ­  1000  długoś ci  fali  [42])  niż  fale  Ray­
leigha  przenoszą ce  też  znacznie  wię kszą  energię  znalazły  bardzo  duże  zastosowanie  w  po­

wierzchniowo­falowych  u r z ą d z e n i a ch  wysokiej  czę stotliwoś ci.  Wymienić  tu  należy  prace 

W .  Pajewskiego  np.  [43].  A n a l i z a  teoretyczna  i  numeryczna  zachowania  się  fal  B­G  pro­

pagują cych  się  w  sinusoidalnie  p o f a ł d o w a n y m  krysztale  jest  przedmiotem  pracy  M a k o t o 

Tsutsumi,  N o b u a k i  K u m a g a l  [44]. 

C a ł k o w i t e  s f o r m u ł o w a n i e  teoretyczne  dla  fal  powierzchniowych  w  p ó ł n i e s k o ń c z o n ej 

przestrzeni  zawierają ce  kryteria  istnienia,  p r z y k ł a d y  nieistnienia  oferują  prace  J .  Lothe, 

D .  M . Barnetta  [45н ­47]  oraz  W .  N . L u b i m o w a , W .  I.  A l s z i c a ,  J .  Lothe  [48].  Warte  odno­

towania  są  r ó w n i e ż  r o z w a ż a n ia  na  temat  powierzchni  o p ó ź n i e n ia  fal  powierzchniowych 

zawarte  w  pracach  H i r o k i m i  Shirasaki,  Toshio  M a k i m o t o  [49­^51].  M e t o d a  nieitera­

cyjna  uż ywają ca  o r t o n o r m a l n ą  bazę  dla  wyraż enia  pola  dystrybucji  przedstawiona  jest 

w  pracy  S.  Datty,  B . J .  Hunsingera  [52].  Zastosowanie  metody  wariacyjnej,  dają cej  g ó r n e 

granice  na  parametry  3­wymiarowego  problemu  do  oszacowania  zasię gu  istnienia  S H 

modu,  zawiera  praca  R .  F .  Vogela  [53]. 

Zastosowanie  p r o g r a m ó w  komputerowych  do  oszacowania  p a r a m e t r ó w  fal  powierzch­

niowych  zastosowano  w  pracach  J. J .  Campbella  W . R .  Jonesa  [37],  [54]  L . P.  Soliego 

[55]  oraz  M .  K o s k a  [56].  O g ó l n e  s f o r m u ł o w a n i e  macierzowe  dla  obliczeń  numerycznych 

problemu  fal  powierzchniowych  w  jednorodnej  p ó ł p r z e s t r z e n i  podane  jest  w  pracy  D . B . 

Taylora,  S.  Crampina  [57]. 

Propagacja  powierzchniowych  fal  w  warstwowych  o ś r o d k a ch  w  szczególnoś ci  s k ł a d a ­

ją cych  się  z  cienkiej  warstwy  na  leż ą cym  poniż ej  grubym  p o d ł o ż u  jest  w a ż na  w  mikrofa­

lowej  akustyce.  Problem  ten  s k u p i a ł  przez  lata  wiele uwagi  g e o d y n a m i k ó w  z uwagi  na  wyja­

ś nienie  wię kszoś ci  sejsmicznych  zjawisk  za  p o m o c ą  takiego  modelu  matematycznego. 

W  przypadku  piezoelektrycznej  warstwy  i  piezoelektrycznego  p o d ł o ż a  badanie  propagacji 

fali  powierzchniowej  jest  z ł o ż o n e,  bowiem  m o ż e  egzystować  d u ż a  liczba  dyspersyjnych 

m o d ó w ,  pocią gają cych  za  sobą  mechaniczne  przemieszczenia  ze  s k ł a d o w y m i  wzdłuż  trzech 

osi  w s p ó ł r z ę d n y c h;  wzbudzenie  jednego  z  nich jest  trudne  bez  wzbudzenia  innych.  W  za­

sadzie  wskazana  jest  numeryczna  analiza  takich  struktur.  Zastosowania  p r o g r a m ó w  k o m ­

puterowych  liczą cych  charakterystyki  dyspersji  fal  w  wielowarstwowym  o ś r o d ku  podane 

są  w  pracy  G . A .  Armstronga,  S.  C r a m p i n a  [58],  a  dla  p o d ł o ż a  z  j e d n ą  warstwą  w  pracy 

L .  P .  Soliego  [55]. 

N i e s p r z ę ż o ne  czyste  mody  falowe  są  czterech  t y p ó w  [29];  nieusztywnionc  Rayleigha 

1  L o v e ' a  mody,  k t ó r e  są  u o g ó l n i e n i a m i  izotropowych  m o d ó w ,  niezależ nych  od  stałych 

piezoelektrycznych  o ś r o d k a,  usztywnione  Rayleigha  mody,  k t ó r e  sprzę gają  potencjały 

elektryczne  z  przemieszczeniami  mechanicznymi  ograniczają cymi  się  do  płaszczyzny 

strzałkowej  (tj.  płaszczyzny  utworzonej  przez  wektor  propagacji  i jednostkowy  normalny 

13  Mech.  Tcoret.  i  Stos.  3­4/84 



514  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A F 

do  ograniczają cej  płaszczyzny),  usztywnione  L o v e ' a  mody  z  p o t e n c j a ł a m i  sprzę ż onymi 

z  poprzecznymi  przemieszczeniami  p r o s t o p a d ł y m i  do  płaszczyzny  strzałkowej . 

W  zastosowaniach  akustoelektroniki jest  istotna  generacja  powierzchniowych  fal  w  nie­

piezoelektrycznych  p o d ł o ż a ch  przez  zastosowanie  piezoelektrycznej  warstwy. 

Usztywnione  mody  L o v e ' a  w  o ś r o d ku  składają cym  się  z  piezoelektrycznej  warstwy 

klasy  42  m  (pokrytej  nieskoń czenie  cienką  metaliczną  p o w ł o k ą )  spoczywają cej  na  izotro­

powej  sprę ż ystej  p ó ł p r z e s t r z e n i  były  przedmiotem  pracy  K .  Majorkowskiej­Knap  [59]. 

Podano  w  niej  zwią zek  dyspersyjny  dla  fal  L o v e ' a  istnieją cych  w  przypadku,  gdy  p r ę d k o ść  

rozchodzenia  się  fali  poprzecznej  w  p o d ł o ż u  (o  orientacji  zgodnej  z  falą  powierzchniową ) 

jest  wię ksza  niż  w  warstwie.  Otrzymane  wyraż enia  dla  przemieszczeń  i p o ten cjał u  elektrycz­

nego  wskazują,  że  usztywniona  piezoelektrycznie  fala  jest  prowadzona  przez  w a r s t w ę , 

ale  r ó w n o c z e ś n ie  penetruje  p o d ł o ż e.  M o ż l i wa  jest  seria  wyż szych  r z ę d ów  m o d ó w  propa­

gacji. 

Zagadnienie  propagacji  fal  piezoelektrycznych  w  o ś r o d k a ch  warstwowych  jest  rozpa­

trywane  r ó w n i e ż  w  pracy  zbiorowej  pod  red.  A . A .  Olinera  [29]  w  pracy  G .  A .  Farnella 

[32],  C .  Lardata,  K .  Maerfelda,  P.  Tournoisa  [33]  oraz  N .  Liachowa  i  R .  M .  Taziewa 

[60]. 

S f o r m u ł o w a n i e  problemu  fal  powierzchniowych  p r o p a g u j ą c y ch  się  wzdłuż  płaszczyzny 

granicznej  p o m i ę d zy  dwoma  o ś r o d k a mi  rozcią gają cymi  się  nieograniczenie  nad  i  pod 

p o w i e r z c h n i ą  graniczn ą  jest  podobne  do  problemu  ostatnio  rozpatrywanego.  Jeś li  przy­

najmniej  jeden  z  o ś r o d k ów  jest  piezoelektrykiem,  fale  powierzchniowe  mogą  być  rozse­

parowane  na  mody  typu  Stoneleya  [18]  i  mody  z  przemieszczeniami  p r o s t o p a d ł y m i  do 

płaszczyzny  s t r z a ł k o w e j ,  k t ó r e  badane są  w  pracach  C .  Maerfelda,  C .  Lardata,  P.  Tournoisa 

[61],  J .  M .  Gelfgata,  E .  S.  Syrkina  [62],  A .  K .  M o r o c z y  (63]. 

3.  Sprzę ż enie  fal  mechanicznych  i  elektromagnetycznych 

Sprzę ż enie  fal  mechanicznych  i  fal  elektromagnetycznych  w  o ś r o d ku  piezoelektrycz­

n y m  [64]  przy  założ eniu  braku  ł a d u n k ó w  elektrycznych  i  magnetycznej  polaryzacji 

(e.  =  0,  M  =  0)  jest  opisywane  przy  pomocy  r ó w n a ń  ruchu 

<*ji,j + Xi  =  Qui,  / , 7 = 1 , 2 , 3 ,  xeB,  t>0  (3.1) 

oraz  r ó w n a ń  M a x w e l l a  pola  elektromagnetycznego  [65] 

r o t H  =  D  +  J ,  r o t E  =  ­B,  (3.2) 

d i v D  =  0,  d i v B  =  0.  (3.3) 

gdzie  H ,  E ,  D ,  В ,  I  —  oznaczają  odpowiednio  wektory:  n a t ę ż e n ia  pola  magnetycznego, 
n a t ę ż e n ia  pola  elektrycznego,  indukcji  elektrycznej,  indukcji  magnetycznej  i n a t ę ż e n ia  p r ą du 

przewodzenia  (pomija  się  prąd  konwekcyjny). 

Wektory  charakteryzują ce  pole  elektromagnetyczne  są  p o w i ą z a ne  r ó w n a n i a m i  k o n ­

stytutywnymi 

D = e 0 E + P ,  В  =  fi0H,  J  =  crE  (3.4) 

Tutaj  P  jest  wektorem  polaryzacji  elektrycznej,  e0  oznacza  p r z e n i k a l n o ś ć  elektryczną  



M E C H A N O ­ T E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E  F A L E  5 1 5 

p r ó ż n i,  ц0  p r z e n i k a l n o ś ć  magnetyczną  p r ó ż n i,  a  jest  przewodnoś cią  elektryczną  właś ciwą. 

(Założ yliś my  tu  p r o p o r c j o n a l n o ś ć  w e k t o r ó w  I  i  E  oraz  i z o t r o p o w o ś ć  materiału ,  jeś li 

chodzi  o  p r z e w o d n o ś ć  elektryczną ). 

W  w y n i k u  wykonania  operacji  rotacji  na  r ó w n a n i u  (3.2)2  przy  wykorzystaniu  (3.2), 

i  zwią zku  (3.4)2  dochodzimy  do  r ó w n a n i a : 

r o t r o t E  =  fx0b­LioaE  (3.5) 

M a m y  więc  do  rozwią zania  u k ł a d  r ó w n a ń  (3.1)  i  (3.5).  Po  wstawieniu  do  niego  zwią zków 

konstytutywnych  dla  zagadnienia  quasi­statycznego  (2.2)  przy  wykorzystaniu  definicji 

tensora  o d k s z t a ł c e n i a  (2.3)  otrzymamy  u k ł a d  sześ ciu  r ó w n a ń ,  w  w y n i k u  rozwią zania 

k t ó r e g o  wyznaczamy  s k ł a d o w e  wektora  przemieszczenia  щ  i  s k ł a d o w e  natę ż enia  pola 

elektrycznego  Et,  co  pozwoli  na  obliczenie  p o z o s t a ł y c h  wielkoś ci  charakteryzują cych 

sprzę ż one  pola.  N i e  podajemy  w a r u n k ó w  brzegowych  i  p o c z ą t k o w y c h,  gdyż  bę dziemy 

zajmowa ć  się  w  dalszej  kolejnoś ci  jedynie  ciałem  nieograniczonym  z  warunkami  regular­

noś ci  w  n i e s k o ń c z o n o ś c i. 

Jednowymiarowy  problem  propagacji  fal  w  nieograniczonym  o ś r o d ku  piezoelektrycz­

nym  był  analizowany  w  pracy  J.  J .  K a y m a  [64]  i  M .  Ahmeda  [66].  W a r t o  o d n o t o w a ć , 

że  w  ramach  tej  teorii  moż liwych  jest  pięć  fal  płaskich  dla  danego  kierunku  propagacji, 

ale  dwie  z  nich  są  m a ł o  interesują ce  pod  ką tem  z a s t o s o w a ń ;  mają  bowiem  p r ę d k o ść  bliską  

p r ę d k o ś ci  fal  elektromagnetycznych  w  dielektrykach.  P o z o s t a ł e  trzy  interesują ce  nas  są  

właś nie  tymi,  k t ó r y c h  przybliż one  p r ę d k o ś ci  daje  uproszczenie  quasi­statyczne. 

Badanie  sprzę ż eń  towarzyszą cych  propagacji  fal  sprę ż ystych  i  elektromagnetycznych 

w  krysztale  tetragonalnym  klasy  4  mm  było  przedmiotem  b a d a ń  K .  Majorkowskiej­Knap 

[67].  P o r ó w n a n i e  dwu  r ó ż n y ch  p r z y p a d k ó w  przy  uwzglę dnieniu  bą dź  p o m i n i ę c iu  p r ą du 

przewodzenia  (jest jedynie  p r ą d  przesunię cia)  wskazuje  na  pojawienie  się  efektów  dyspersji 

i  t ł u m i e n i a  fal  w  pierwszym  z  nich. 

Propagacji  czystych  m o d ó w  fal  powierzchniowych  na  powierzchni  p ó ł n i e s k o ń c z o n e go 

piezoelektryka  były  poś wię cone  m.in.  prace  С.  C .  Tsenga  [68,  69]. 

Zagadnienie  wzbudzania  fal  mechanicznych  w  niepiezoelektrycznym  o ś r o d ku  poprzez 

wzbudzenie  fal  elektromagnetycznych  w  przylegają cej  warstwie  piezoelektrycznej  było 

badane  teoretycznie  w  pracy  F .  Bardati,  G .  Barzilal,  G .  Gerosa  [70]. 

4.  Płaskie  fale  harmoniczne  w  nieograniczonym  oś rodku  termopiezoelcktrycznym 

W a ż n ym  u z u p e ł n i e n i e m  fal  piezoelektrycznych  są  fale  termopiezoelektryczne.  W  ter­

mopiezoelektrycznoś ci  (podstawowe  r ó w n a n i a  R .  D .  M i n d l i n  [71],  rozwinię cie  teorii 

W .  N o w a c k i  [72])  opieramy  się  na  termosprę ż ystoś ci  [73]  i  elektrodynamice  o ś r o d k ów 

cią głych  [65,  74].  Ciał o  sprę ż yste,  na  k t ó r e  działają  siły  masowe  i  ź r ó d ła  ciepła,  obcią ż enia 

z e w n ę t r z ne  i  pole  elektryczne  oraz  o d d z i a ł y w a n i a  termiczne,  doznaje  deformacji.  Powstaje 

W  n i m  pole  przemieszczeń  u(x,  t)  i  sprzę ż one  z  nim  pole  temperatury,  które j  przyrost 

0  ==  T  — To,  gdzie  T  >  0,  a  T0  jest  t e m p e r a t u r ą  stanu  naturalnego  w  skali  K e l v i n a .  W y ­

mienione  pola  powodują  z m i a n ę  pola  elektromagnetycznego.  W  quasi­statycznym  przy­

bliż eniu  liniowej  teorii  t e r m o p i e z o e l e k t r y c z n o ś ci  dysponujemy: 

13» 



516  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P 

—  r ó w n a n i a m i  ruchu  i  r ó w n a n i e m  pola  elektrycznego 

<rji.j+Xi  =  e«ł.  A.(  =  o  (4.i) 

—  zwią zkami  konstytutywnymi 

<Уи  = cimeM­yud­ekljEk,  (4.2) 

Di  =  elkleki+ptQ  + elkEk,  Ek  =  ­<pik 

—  definicją  tensora  o d k s z t a ł c e n i a 

su  =  y ( " i . . /  +  " j . * )  (4­3) 

oraz  zlinearyzowanym  r ó w n a n i e m  przewodnictwa  cieplnego 

к ,^,и­свв ­Т0(уиеи­р ,<р ,д  =  ­  W  (4.4) 

gdzie:  5 — o z n a c z a  e n t r o p i ę ,  W  — jest  intensywnoś cią  ciepła, 

ciJkł  —  w s p ó ł c z y n n i k i  sztywnoś ci  sprę ż ystej  (przy  Et  = const,  в =  const), 

eiJk  —  współczynniki  piezoelektryczne  (przy  в =  const), 

eu  —  w s p ó ł c z y n n i k i  dielektryczne  (przy  ги  =  const,  в =  const), 

У и  —  współczynniki  ciś nienia  termicznego  (przy  Et  =  const), 

cE  —  ciepło  właś ciwe  (przy  еи  = const,  Et  =  const), 

Pi  —  współczynniki  piroelektryczne  (przy  eu  =, const), 
ku  —  współczynniki  przewodnictwa  cieplnego. 

Wstawiając  r ó w n a n i a  ( 4 . 2 ) 1 ) 3  do (4.1)  przy  wykorzystaniu  (4.3)  otrzymujemy  nastę pują cy 

u k ł a d  r ó w n a ń : 

Ctjki4k.ij +  ekij(p,kj­yij0,j+Xi  =  qui,  (4.5) 

е ш Щ , u­elkq>tU+pt  в ,,  = 0. 

R ó w n a n i a  (4.4)  i (4.5)  tworzą  komplet  s p r z ę ż o n y ch  ze  sobą  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  termo­

piezoelektrycznoś ci.  Wystę pują  w nich  nieznane  wielkoś ci  ut, <p  i 0. D o r ó w n a ń  tych do­
ch o d z ą  warunki  brzegowe  i  p o c z ą t k o w e.  N i e  podajemy  ich,  bowiem  w dalszej  kolejnoś ci 

bę dziemy  się  zajmowa ć  jedynie  ciałem  nieograniczonym  z warunkami  regularnoś ci  w nie­

s k o ń c z o n o ś c i. 

Jednowymiarowemu  problemowi  propagacji  płaskiej  fali  harmonicznej  w  nieograni­

czonym  o ś r o d ku  termopiezoelektrycznym  p o ś w i ę c o na  jest  praca  K .  Majorkowskiej­Knap 

[75].  W p r z y k ł a d o w o  r o z w a ż a n ym  krysztale  j e d n o s k o ś n ym  propagowane  są fale  mecha­

niczne  s p r z ę ż o ne  ze  sobą,  ale nie zwią zane  z  dodatkowo  wystę pują cymi  falami  termo­

sprę ż ystymi  usztywnionymi  piezoelektrycznie,  t ł u m i o n y m i  i  ulegają cymi  dyspersji,  powo­

dują cymi  ponad  to z m i a n ę  pote nc ja ł u  reprezentują cego  pole  elektryczne. 

A .  K .  P a l bada  teoretycznie  p r o p a g a c j ę  fal  powierzchniowych  termopiezoelektrycz­

nych  na  swobodnej  powierzchni  p ó ł n i e s k o ń c z o n e go  o ś r o d k a — j e d n o s k o ś n e go  k r y s z t a ł u 

w  pracy  [76]  oraz  heksagonalnego  o ś r o d k a,  k t ó r y  jest  r ó w n i e ż  p ó ł p r z e w o d n i k i e m  w natu­

rze  w  pracy [77]. 



M E C H A N O ­ 1  E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E  F A L E  517 

5.  Fale  harmoniczne  w oś rodku  piezoelektrycznym —  teoria  R .  D .  Mindlina 

Klasyczna  teoria  piezoelektrycznoś ci  ma  pewne  mankamenty.  Przy  p o r ó w n y w a n i u 

szczegółowych  rozwią zań  analogicznych  p r o b l e m ó w  przy  uż yciu  tej  teorii  oraz  nowocze­

snych  teorii  siatek  krystalicznych  są  duże  rozbież noś ci.  Teoria  klasyczna  nie ujmuje  pe­

wnych  anomalii  należ nych  do  piezoefektu,  np. obserwowanych  przez  C .  A .  Meada  przy 

pomiarach  pojemnoś ci  cienkich  dielektrycznych  warstewek  [78].  N i e  ujmuje  efektu  pie­

zoelektrycznego  w m a t e r i a ł a c h  z centrosymetri ą  oraz  pewnych  fizycznych  zjawisk  w a ż n y ch 

w  technice,  k t ó r e  włą czają  efekty  fotosprę ż yste,  a k t y w n o ś ć  optyczną  k r y s z t a ł ó w  i  i n . 

Wymienione  niedostatki  teorii  klasycznej  zostały  u s u n i ę te  w u o g ó l n i o n y m  modelu, na 

k t ó r y m  bazuje  teoria  R . D .  M i n d l i n a .  [78, 79].  Teoria  ta  p o w s t a ł a  w  oparciu  o  ogólną  

nieliniową  teorię  sprę ż ystych  d i e l e k t r y k ó w  R .  A .  T o u p i n a  [80, 81] zawierają cą  w  sobie 

j a k o  przypadek  szczegółowy  liniową  teorię  W . Voigta.  Teoria  R .  D .  M i n d l i n a  włą cza 

gradient  polaryzacji  do  energii  deformacji  i  polaryzacji  dielektryka,  k t ó r a  w  klasycznym 

uję ciu  była  funkcją  tylko  o d k s z t a ł c e n i a  i  polaryzacji  (dodatkowe  elektromechaniczne 

wzajemne  o d d z i a ł y w a n i e  reprezentowane jest  w energii  przez  iloczyn  o d k s z t a ł c e n i a  i  gra­

dientu  polaryzacji). 

Rozszerzone  r ó w n a n i a  teorii  z  gradientem  polaryzacji  stanowią  cią głe  przybliż enie 

r ó w n a ń  jednowymiarowej  teorii  siatek  krystalicznych  W .  Cohrana  [82,  83],  bazują cej  na 

warstwowym  modelu  atomu  B . J.  D i c k a  i  A .  W .  Ovcrhausera  [84].  M ó w i ą  o  tym  prace 

R .  D .  M i n d l i n a  [85]  oraz  A .  A s k a r a ,  P .  C .  Lee,  A . S. C a k m a k a  [86].  Zatem  teoria  ta  re­

dukuje  „ s z c z e l i n ę "  pomię dzy  teoriami  „ k o n t i n u u m "  i  teoriami  siatkowymi.  Ujmuje ona 

d o k ł a d n i e j ,  aspekty  struktury  i  m i ę d z y a t o m o w e go  wzajemnego  o d d z i a ł y w a n i a ,  mieś ci 

w  sobie  godne  uwagi  obserwowane  zjawiska  fizyczne  nie w y t ł u m a c z o n e  przez  teorię  k l a ­

syczną,  włą cza  efekt  piezoelektryczny  w obu niecentro­  i  centro­symetrycznych  kryszta­

łach,  nawet  o  najwyż szej  symetrii  (centro­symetrycznych  izotropowych).  W  naszych 

r o z w a ż a n i a ch  ograniczymy  się jedynie do ciała  centrosymetrycznego  izotropowego. W  tym 

przypadku  na podstawie  r ó w n a n i a  gradientowej  teorii  piezoelektrycznoś ci  [26]  składają  się: 

—  r ó w n a n i a  Eulera 

°~ji.j+xi  =  Q"i> 

Ejt.j + Et­fp.i  + E?  =  0  dlaxeB  (5.1) 

cptii  = 0  dla х  G В ' 

gdzie  ( 5 . 1 ) ! — t o  r ó w n a n i a  ruchu,  (5.1)2  —  r ó w n a n i e  bilansu  siły  wewną trzczą steczko­

wej  —  fundamentalny  warunek  r ó w n o w a g i  p o w ł o k i  (zewnę trznych  e l e k t r o n ó w )  pod 

d z i a ł a n i e m  rdzenia  ( n u k l e o n ó w  i w e w n ę t r z n y ch  e l e k t r o n ó w )  tego  samego  atomu  i  otacza­

j ą c e go  pola  elektromagnetycznego  oraz  dodatkowe  działanie  są siednich  a t o m ó w  na  po­

w ł o k ę .  (5.1)3  —  r ó w n a n i e  pola  elektromagnetycznego,  do k t ó r e g o  b e z p o ś r e d n io  prowadzi 

wstawienie  do Dti  =  QC  zwią zków  D{  =  е 0 2 ? | + Р |  oraz  E% =  —<f>,i, 

—  r ó w n a n i a  konstytutywne 

<*u =  c,2uk_kdu  + c^(ul,j  + Ujil)  +  al2Pktkdij  +  d^
fPJę i+Piij),  (5.2) 

Eu  + ^  2 ukik  6U  + dU"t.j  + Щ . t) + bi2  Pt.к  bu  + bUPj.  < +  +*>77P.,,< ­  +  6 4 , , 

ЕГ  =  ­aP(. 



5 1 8  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P 

Wstawienie  zwią zków  (5.2)  do r ó w n a ń  (5.1)  prowadzi do nastę pują cego  u k ł a d u  sprzę ż onych 

r ó w n a ń  piezoelektrycznoś ci 

C 4 4 V 2 u ­ r ( c 1 2 ­ r c 4 4 ) g r a d d i v u +  rf44V
2P  + (J 1 2 ­l­u?44)graddivP + X  = QU, 

dĄ ĄV
2n+(di  г  + </4 < ł)graddivu + (bA4. + b71)  V

2  P +  (5.3) 

+  ( 6 1 2 + b 4 4 ­ Z > 7 7 ) g r a d d i v P ­ f l P ­ g r a d 9 ? + E °  =  0, 

—  £oV29 3 + d i v P  =  Qe,  dla  xeB, 

V2c>  =  0,  dla  xe  B', 

D l a  r ó w n a ń  d o c h o d z ą  warunki  brzegowe 

aJnnJ  =  qt,  EJnnJ  =  0,  i­e0\<p,i\ + Pt]n,  =  0,  dla  x e  8B.  (5.4) 

N o w o  wprowadzone  oznaczenia  wystę pują ce  we  wzorach  (5.1  ­r 5.4):  Е ц — tensor  elek­

tromagnetyczny,  EL  — wektor  lokalnej  siły  elektrycznej,  E° — wektor  n a t ę ż e n ia  zewnę trz­

nego  pola  elektrycznego,  stałe  m a t e r i a ł o w e :  c 1 2 , cAA  (przy  P{  =  const,  PtJ  =  const) 

(d12,  d44)  (przy  Pi = const),  bi2,  ^44,  b17  (przy  gy =  const,  Pt  =  const),  a —  współczyn­

nik  polaryzacji  (przy  Pij  =  const,  eu  =  const),  b°,  В — obszar  ciała  dielektrycznego 

ograniczonego  powierzchnią  BB,  k t ó r a  oddziela  go od p r ó ż ni  B',  \cpA\ skok  funkcji  <pti  na 

powierzchni  BB, ди  delta  Kroneckera,  V
2  — operator  Laplace'a. 

W  w y n i k u  rozwią zania  sprzę ż onych  — poprzez  stałe  dl2,d44—  r ó w n a ń  (5.3)  wyzna­

czamy  nieznane  funkcje:  przemieszczenie  u,  polaryzację  P  oraz  potencja ł  elektryczny  cp. 

N a l e ż y  tu zwrócić  u w a g ę  na s w o b o d ę  w warunkach  brzegowych;  na brzegu  m o ż e  być  dana 

z a r ó w n o  polaryzacja,  jak  i  p o t e n c j a ł  elektryczny.  Stałe  m a t e r i a ł o w e  by2,bA,ir,b11  i  d12, 

d44  p o c h o d z ą  od  wzajemnego  o d d z i a ł y w a n i a  p o m i ę d zy  są siednimi  atomami  ( p o w ł o k a ­

p o w ł o k a )  i  w e w n ą t r z a t o m o w e go  o d d z i a ł y w a n i a  ( r d z e ń ­ p o w ł o k a ).  Stałą  b°  m o ż na  trakto­

wać  jako  w a r t o ś ć  p o c z ą t k o wą  w p r o w a d z o n ą  do  ciała  w  stanie  naturalnym. 

Niewiele  z a g a d n i e ń  dynamicznych  r o z w i ą z a no  w ramach  teorii  R . D . M i n d l i n a .  O m ó ­

wione  poniż ej  prace  ograniczają  się do  rozpatrywania  o ś r o d ka  dielektrycznego  izotropo­

wego  i  centrosymetrycznego. 

Zagadnienie  propagacji  fal obję toś ciowych  w nieograniczonym  o ś r o d ku  dielektrycznym 

rozpatrywane jest  w pracy  K .  Majorkowskiej­Knap  [87].  D l a  kierunku  propagacji  wzdłuż  

wybranej  p r z y k ł a d o w o  osi  x,  otrzymano  trzy  rozwią zania  o d p o w i a d a j ą ce  p o d ł u ż n ej 

i  dwom  poprzecznym dyspersyjnym  falom  mechanicznym zaburzonym przez  quasi­statyczne 

pole  elektryczne.  W  w y n i k u  tego  ruchu  falowego  nastę puje  zmiana  polaryzacji  elektrycz­

nej. 

F a l o m  L o v e ' a  p r o p a g u j ą c ym  się w  o ś r o d ku  składają cym  się z  dielektrycznej  warstwy 
wspartej  na  sprzę ż ystej  p ó ł p r z e s t r z e n i  p o ś w i ę c o na  jest  praca  K .  Majorkowskiej­Knap 
[88]. 

Zarys  r o z w i ą z a n ia  dla  powierzchniowych  fal Rayleigha  propagują cych  się na  swobodnej 

powierzchni  dielektrycznej  p ó ł p r z e s t r z e n i  podany jest  w  monografii  W . Nowackiego [26]. 

P ł a s k i e  zagadnienie  L a m b a  dla  p ó ł p r z e s t r z e n i  dielektrycznej  było  przedmiotem  prac 

K .  Majorkowskiej­Knap  [89,  90].  Przy  uż yciu  wykładniczej  transformacji  całkowej 

Fouriera  otrzymano  o g ó l n e  rozwią zania  dla  obcią ż enia  zmieniają cego  się w  s p o s ó b  har­

moniczny  w  czasie,  normalnego  i  stycznego  do  płaszczyzny  ograniczają cej  p ó ł p r z e s t r z e ń . 

Problem  mechanicznej  fali  obję toś ciowej  ( p o d ł u ż n e j,  poprzecznej  S H i  SV)  padają cej 



MliCHANO­TERMO­ELEKTRYCZNE  FALE  519 

skoś nie  na  p o w i e r z c h n i ę  graniczną  p o m i ę d zy  półprzestrzenią  dielektryczną  i  próż nią  albo 

dwoma  p ó ł p r z e s t r z e n i a m i  dielektrycznymi  o  róż nych  stałych  m a t e r i a ł o w y c h  był  szcze­

g ó ł o w o  badany  w  pracach  K .  Majorkowskiej­Knap  [91­^94]. 

Zagadnienia  falowe  w  nieograniczonej  przestrzeni  dielektrycznej  oraz  p ó ł p r z e s t r z e n i 

dielektrycznej  w  ramach  teorii  termo­piezo­elektrycznoś ci  z  gradientem  polaryzacji  [26] 

były  rozpatrywane  w pracach  J. P.  Nowackiego,  P. G .  Glocknera  [95,  96]. 

6.  Uwagi  koń cowe 

Niniejsza  praca  przeglą dowa  zawiera  jedynie  wybrane  zagadnienia  dynamiczne,  a  mia­

nowicie  interesują ce  typy  fal harmonicznych  w  stałym  o ś r o d ku  piezoelektrycznym  w  uję­

c i u  teorii  liniowych.  W wię kszoś ci  p r z y p a d k ó w  ciekawych z technicznego  punktu  widzenia 

liniowy  model  krystalicznego  kontinuum  zadowalają co  opisuje  wystę pują ce  zjawiska f i ­

zyczne. 

Należy  o d n o t o w a ć ,  że w  ostatnich  latach  rozwijane  są  również  teorie  nieliniowe  pie­

zoelektrycznoś ci  i  t e r m o p i e z o e l e k t r y c z n o ś c i,  o  czym  ś wiadczą  prace:  M .  L a x a ,  D .  F . 

Nelsona  [97], D . F .  Nelsona  [98], P. G .  Glocknera,  K . L .  Chowdhury  [99­101],  K .  L . 

Chowdhury,  M . Epstcina,  P. G .  Glocknera  [102].  Zagadnienia  falowe  w nieliniowych 

o ś r o d k a ch  dielektrycznych  rozpatrują  B . Collet  [103, 104], A . A l i p p i  [105],  M . Planad, 

D .  Hauden  [106] oraz  S.  Dost  [107]. 

L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie 

1.  J . P . C U R I E ,  B u l i .  S o c .  M i n . ,  3,  90,  1880. 

2.  G .  L I P P M A N N ,  A n .  C h i m .  P h y s . ,  Series,  5, 24,  145,  1881. 

3.  J . i  P .  C U R I E ,  C o m p t .  R e n d . , ­ 9 3 ,  1137,  1881. 

4.  W .  G .  C A D Y ,  Piezoelectricity,  D o v e r ,  N e w  Y o r k  1964. 

5.  W .  P .  M A S O N ,  Piezoelectric  Crystals  and  Their Application  to  Ultrasonics,  V a n  N o s t r a n d ,  P r i n c e t o n . 

N e w  Jersey,  1950. 

6.  B .  J A F F E ,  W .  R .  C O O K ,  J r i  H .  J A F F E .  Piezoelectric  Ceramics,  A c a d e m i c  Press,  N e w  Y o r k ,  1971. 

7.  D .  B E R L I N C O U R T ,  Piezoelectric  ceramics:  characterics and applications,  J .  A c o u s t .  S o c .  A m . , 70, 6, 

1586,  1981. 

8.  E . F U K A D A ,  . . P i e z o e l e c t r i c i t y o f w o o d " ,  J . P h y s .  S o c .  J a p a n ,  10, 149, 1955. 

9.  M .  H .  S H A M O S  i  L . S.  L A V I N E ,  . . P i e z o e l e c t r i c i t y  as  a  f u n d a m e n t a l  p r o p e r t y  o f  b i o l o g i c a l  tissues" 

N a t u r e ,  L o n d o n ,  213, 267,  1967. 

10.  E .  F U K A D A  i  I .  J .  Y A S U D A ,  „ O n  the  piezoelectric  effect  o f  b o n e " ,  J .  P h y s .  S o c . J a p a n ,  1 2 , 1 1 5 8 ,  1957. 

11.  J .  G R I N D L A Y ,  An  Introduction  to  Phenomenological Theory of  Ferroelectricity,  P e r g a m o n  Press,  L o n ­

d o n  1971. 

12.  Y .  K A G A W A  i  Т .  H A T A K E Y A M A ,  . . P i e z o e l e c t r i c  effect  i n  l i q u i d  c r y s t a l s " ,  J .  S o u n d  V i b . ,  53,  5 8 5 , 1 9 7 7 . 

13.  D .  T .  H A W K I N S ,  Absolute  configuration  of  piezoelectrics — A  bibliography  I I ,  F e r r o e l e c t r i c s ,  15, 

77,  1977. 

14.  J .  S.  Z H E L U D E V ,  Aspects of  symmetry in  the  electric  polarization  of  anisotropic media under  external 

influences, F e r r o e l e c t r i e s ,  43,  1 ­ 2,  p .  69,  1982. 

15.  G .  A .  S M O L E Ń S KU  i  i n . ,  Piezoelektrić eskoe  vozbuzdenie  uprugich  voln  v  centrosimmetricnom  kristalle 

tantalata kalija,  D o k l a d y  A N S S S R ,  26, 9,  605,  1981. 

16.  W .  V O I G T .  Lehrbuch der  Kristallphysik,  T e u b n e r  Verlagsgesellschaft,  Stuttgart  1910. 

17.  W .  N O W A C K I ,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  P W N ,  W a r s z a w a  1970. 



520  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P 

18.  W .  M .  E W I N G ,  W .  S.  J A R D E T Z K Y ,  F .  P R E S S ,  Elastic  waves  in  layered media,  M c . G r a w ­ H i l l  B o o k  C o m ­

p a n y ,  I n c . N e w Y o r k ­ T o r o n t o ­ L o n d o n ,  1957. 

19.  J . L .  B L E U S T E I N ,  A  new surface  wave  i n  piezoelectric  materials,  A p p l .  P h y s .  L e t t e r s ,  13,  12,  412, 

1968. 

20.  V .  G U L J A E V ,  P o v e r c h n o s t n y e  e l e k t r o z v u k o v y e  v o l n y  v  t v e r d y c h  telach,  P i s ' m a  Ż E T F,  9,  1, 63,  1969. 

2 1 .  A .  T A K A Y A N A G I ,  K .  Y A M A N O U C H I ,  K .  S H I B A Y A M A ,  Piezoelectric  l e a k y  surface  w a v e  i n  L i  N b 0 3 ,  A p p . 

P h y s .  L e t t e r s ,  17, 5, 225  (1970). 

22.  J . A .  V I K T O R O V ,  Tipy  zvukovych poverchnostnych  voln v tverdych  telach,  A k u s t .  Ź u r n .,  25, 1,  1,1979. 

23.  W . P .  M A S O N ,  C r y s t a l  P h y s i c s  o f I n t e r a c t i o n  Processes,  A c a d e m i c  Press,  N e w Y o r k  1966. 

24.  H .  F .  T I E R S T E N ,  Linear  Piezoelectric  Plate  Vibrations, P l e n u m  Press,  N e w  Y o r k  1969. 

25.  H . F .  T I E R S T E N ,  77;e radiation and confinement  of electromagnetic  energy  accompanying the  oscillations 

of piezoelectric  crystal plates,  R e c .  A d v a n c e s  i n E n g .  Science,  P a r t  1, e d . A . C . B r i n g e n ,  G o r d o n  a n d 

B r e a c h  Science  P u b l . ,  N e w  Y o r k  1970. 

26.  W .  N O W A C K I ,  Efekty  elektromagnetyczne  w  stałych  ciałach  odksztalcalnych,  P W N  W a r s z a w a  1983. 

27.  F .  E .  B O R G N I S ,  Specific  directions  of  longitudinal  wave  propagation  in  anisotropic  media,  P h y s i c a l 

R e v i e w ,  9 S , 4,  1955. 

28.  R .  M E I E R  i  К .  S C H U S T E R ,  Z u r  T h e o r i e  der  S c h a l l a u s b r e i l u n g  i n piezoelektrische n  K r i s t a l l e n ,  A n n a l e n 

der  P h y s i k ,  6,  11,  1953. 

29.  P r a c a  z b i o r o w a  p o d r e d . A .  A .  O l i n e r a ,  Acoustic surface  Waves, S p r i n g e r  — V e r l a g ,  B e r l i n ,  H e i d e l ­

berg,  N e w  Y o r k , 1978. 

30.  S.  E P S T E I N ,  Elastic­wave formulation for  electroelastic  waves  in unbounded piezoelectric  crystals, P h y s . 

R e v .  B . S o l i d  St. 4,  1636.  1973. 

31.  G .  K O E R B E R ,  Uncoupled  piezoelectric  surface­wave modes, I E E E  T r a n s .  S o n i c s  U l t r a s o n .  S U ­ 1 8 , 2 , 

73, 1971. 

32.  G .  A .  F A R N E L L ,  Symmetry  considerations  for  elastic  layer  modes  propagating  in  anisotropic piezo­

electric crystals,  I E E E  T r a n s .  S o n i c s  U l t r a s o n ,  S U ­ 1 7 ,  4,  229,  1970. 

33.  C .  L A R D A T ,  C .  M A E R F E L D , ­  P .  T O U R N O I S .  Theory  and performance  of  acoustical  dispersive  surface 

wave delay lines, P r o c .  I E E E ,  59, 3, 355,  1971. 

34.  S.  K A L I S K I ,  J .  K A P E L E W S K I ,  Z .  M A K O W S K I ,  Surface  waves  in piezoquartz,  P r o c .  V i b r .  P r o b l . ,  4, 7, 

403,  1966. 

35.  С . C .  T S E N G ,  P i e z o e l e c t r i c  surface  waves  i n c u b i c  crystals,  J .  A p p l .  P h y s . ,  4 1 ,  6, 2270, 1970. 

36.  E . D A N I C K I ,  F a l e  p o w i e r z c h n i o w e ,  B i u l .  W A T ,  11,  1975. 

37.  J . J .  C A M P B E L L ,  W .  R .  J O N E S ,  A  method for  estimating optimal  crystal cuts  and propagation  directions 

for  excitation  of piezoelectric  surface waves,  I E E E  T r a s n .  S o n i c s  U l t r a s o n . ,  S U ­ 1 5 , 4, 209,  1968. 

38.  С .  C .  T S E N G ,  Piezoelectric  surface  waves  in  cubic  and orthorhombic  crystals,  A p p l .  P h y s .  L e t t e r s , 

16,  6,  253,  1970. 

39.  G .  K O E R B E R ,  R .  V O G E L ,  G e n e r a l i z e d  B l e u s t e i n  modes,  I E E E  T r a n s ,  S o n i e s .  U l t r a s o n ,  S U ­ 1 9 ,  1, 3, 

1972. 

40.  G .  K O E R B E R ,  R .  V O G E L ,  SH­mode  piezoelectric  surface  waves  on rotated cuts,  I E E E  T r a n s .  S o n i c s 

U l t r a s o n .  S U ­ 2 0 ,  1,  9,  1973. 

4 1 .  W .  S O L U C H ,  B l e u s t e i n ­ G u l y a e v  waves  i n L i L 0 3 ,  B u l l .  A c a d .  P o l o n .  S c i . ,  Ser.  S c i .  T e c h n . ,  2 1 , 2,  23, 

1973. 

4 2 .  J .  P O U G E T ,  G .  A .  M A U G I N ,  Bleustein­Gulyaev  surface modes  in elastic ferroelectrics,  J .  A c o u s t . S o c . 

A m . ,  69,  5,  1304,  1981. 

43.  W .  P A J E W S K I ,  Transversal Bleustein­Culayev surface  waves  on  a piezoelectric  ceramic,  A r c h .  A c o u s t , 

2,  3,  197,  1977. 

44.  M A K O T O  T S U T S U M I ,  N O B U A K I  K U M A G A L ,  Behavior of  B­G  waves  in  a  periodically  corrugated piezo­

electric crystal,  I E E E  T r a n s .  M i c r .  T h . T e c h n .  M T T ­ 2 8 ,  6, 627,  1980. 

45.  J .  L O T H E ,  D .  M .  B A R N E T T ,  Integral formalizm  for  surface  waves  in piezoelectric  crystals.  Existence 

considerations  J . A p p l .  P h y s .  47, 5,  1799,  1976. 

4 6 .  J .  L O T H E ,  D .  M .  B A R N E T T ,  Further development  of  the theory for  surface waves  in piezoelectric crystals, 

P h y s .  N o r v e g i c a ,  8, 4, 239,  1977. 



M E C H A N O ­ T E R M O ­ E L E K T R Y C Z N E  F A L E  521 

4 7 .  J .  L O T H E ,  D . M .  B A R N E T T ,  On the existence of surface  wave solutions in piezoelectric crystals  an example 

of  non  existence, W a v e  M o t i o n ,  1,  107,  1979. 

48.  V . N .  L J U B I M O V ,  V . I .  A l ' S i c ,  J .  L O T E ,  Ob  ob"emnych  i  poverchnostnych kvaziob" emnych  volnach 

vpolybeskoneć nojp'ezoelektriceskoj  srede,  K r i s t a l l , , 25, 1, 33,  1980. 

49.  H I R O K I M I  S H I R A S A K I ,  T O S H I O  M A K I M O T O ,  Energy propagation of  piezoelectric  surface  waves  on  cubic 

crystals,  J .  A p p l .  P h y s . ,  49, 2,  658,  1978. 

50.  H I R O K I M I  S H I R A S A K I ,  T O S H I O  M A K I M O T O , Asymptotic  expressions for piezoelectric  surface  waves excited 

ted by the buried mechanical and electrical point, J . A p p l .  P h y s . ,  49, 2, 861,  1978. 

51.  H I R O K I M I  S H I R A S A K I ,  T O S H I O  M A K I M O T O ,  Gaussian curvature  of  the  slowness  surface for  piezoelectric 

surface waves  on a cubic crystal, J . A p p l .  P h y s . ,  50, 4, 2795, 1979. 

52.  S .  D A T T A ,  B . J .  H U N S I N G E R ,  Analysis of  surface waves  using  orthogonal functions,  J .  A p p l .  P h y s . , 49, 

2,  476,  1978. 

53.  R . F .  V O G E L ,  Variational  limits  on piezoelectric  problem  parameters,  I E E E  T r a n s .  S o n i c s  U l t r a s o n . 

S U ­ 2 6 ,  4, 315,  1979. 

54.  J .  J .  C A M P B E L , W .  R .  J O N E S ,  Propagation of piezoelectric surface  waves on  cubic and hexagonal crystals. 

J .  A p p l .  P h y s . ,  41, 7,  2796, 1970. 

55.  L . P .  S O L I E ,  Piezoelectric  waves  on layered substrates,  J .  A p p l .  P h y s . ,  44, 2,  619,  1973. 

56.  M .  K O S E K ,  77te  surface acoustic  wave  in a piezoelectric  anisotropic medium, A c t a  P h y s .  S l o v . ,  32,  1, 

9 1 , 1 9 8 2 . 

57.  D .  B .  T A Y L O R ,  S .  C R E M P I N ,  Surface waves  in anisotropic media: propagation in a  homogeneous piezo­

electric halfspace,  P r o c .  R . S o c . L o n d . ,  A , 364, 161,  1978. 

58.  G .  A .  A R M S T R O N G ,  S .  C R A M P I N ,  Piezoelectric  surface­wave  calculations in  multilayered anisotropic 

media,  E l e c t r o n i c  L e t t e r s ,  8,  21, 521,  1972. 

59.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P , Surface waves  in piezoelectric  materials of the class  42 m,  B u l l .  A c a d .  p o l o n . 

S c i . ,  Ser. S c i .  T e c h n . ,  2 8 , 9/10,  417,  1980. 

60.  N .  Z .  L J A C H O V ,  R .  M .  T A Z I E V ,  Pribliiennoe  dispersionnoe  uravnenie  dlja poverchnostnoj  akustić eskoj 

volny v sisteme tonkaja p'ezoelektriceskaja  plenka—• poluprostranstvo, A k y s t .  Ź u r n .,  28, 3, 375,  1982. 

6 1 .  С .  M A E R F E L D ,  P .  T O U R N O I S ,  Pure shear  elastic surface wave guided by  the interface  of  two  semi­infinite 

media,  A p p l .  P h y s .  L e t t . ,  19, 4,  117,  1971. 

6 2 .  J .  M .  G E L ' F G A T ,  E .  S.  S Y R K I N ,  О suscesvovaniipoperecnych  akustić eskich  voin,  likalizovannych  uploskoj 

granicy  razdela dvuch tverdych sred,  A k u s t .  Ż u r n .,  28, 3, 426,  1982. 

63.  A .  K .  M O R O C A ,  A" teorii  rasprostranenija cisto  popereć nych  akustić eskich  voln  vdol'granicy razdela 

dvuch p'ezoelektriceskich  sred, A k u s t .  Ź u r n .,  28, 5, 665,  1982. 

64.  J . J .  K A Y M E ,  Conductivity  and viscosity effects  on wave propagation  in piezoelectric  crystals,  J .  A c o u s t . 

S o c .  A m . ,  26, 6, 990,  1954. 

65.  A .  N .  M A T W I E J E W ,  Teoria  pola  elektromagnetycznego,  P W N ,  W a r s z a w a  1967. 

66.  M .  A H M E D ,  The response  of piezoelectric face plates used  in  ultrasonic  imaging systems,  I E E E  T r a n s . 

S o n i c s .  U l t r a s o n .  S U ­ 2 5 ,  6,  330,  1978. 

67.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Coupling of  mechanical  elastic  and electromagnetic  waves  in a piezoelectric 

medium, B u l l .  A c a d .  P o l o n .  S c i . , Ser. S c i .  T e c h n . ,  27, 8/9, 673,  1979. 

68.  С . C .  T S E N G ,  R .  M .  W H I T E ,  Propagation of  piezoelectric  and elastic  surface waves  on  the  basal  plane 

of  hexagonal piezoelectric  crysatls, J . A p p l .  P h y s . ,  38, 11, 4274, 1967. 

69.  С . C .  T S E N G ,  Elastic  surface  waves  on free  surface and metallized  surface of  CdS,  Z n O ,  a n d  P Z T ­ 4 , 

J .  A p p l .  P h y s . ,  38, 11, 4281,  1967. 

70.  F .  B A R D A T I ,  G .  B A R Z I L A L ,  G .  G E R O S A ,  Elastic  wave  excitation  in piezoelectric  slabs,  I E E E  T r a n s . 

S o n i c s  U l t r a s o n .  S U ­ 1 5 ,  4,  193,  1968. 

7 1 .  R . D .  M I N D L I N ,  On the equations of motion of piezoelectric crystals,  P r o b l e m  o f C o n t i n u u m  M e c h a n i c s , 

M u s k h a l i s h v i l i  A n n i v e r s a r y  V o l u m e ,  p . 282. S o c . I n d . A p p l .  M a t h .  P h i l a d e l p h i a  1961. 

72.  W .  N O W A C K I ,  A  reciprocity  theorem for  coupled mechanical  and thermoelectric fields  in piezoelectric 

crystals,  P r o c .  V i b r .  P r o b l . ,  6,  1, 3,  1965. 

73.  W .  N O W A C K I ,  Dynamiczne  zagadnienia termosprę ż ystoś ci,  P W N ,  W a r s z a w a  1966. 

7 4 .  L .  L A N D A U ,  E .  L I F S Z I C ,  Elektrodynamika  oś rodków  cią głych,  P W N .  W a r s z a w a  1960, 



522  К .  M A J O K K O W S K A ­ K N A P 

75.  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Dynamical  problems  of  thermo­piezoelectricity,  B u l l .  A c a d .  P o l o n .  S c i , Ser. 

S c i .  T e c h n . ,  27,  2,  139,  1979. 

76.  A . K .  P A L ,  Surface waves  in a  thermo­piezoelectric medium of  monoclinic symmetry, C z e c h .  J .  P h y s . , 

B 2 9 ,  1271,  1979. 

77.  A . K .  P A L ,  Propagation and amplification of  surface waves  in a  thermopiezo­semiconducting  medium. 

A c t a  P h y s i c a  P o l o n i c a ,  A 6 4 ,  3, 323  1983. 

78.  R . D .  M I N D L I N ,  Continuum and lattice theories of  influence  of  electromechanical  coupling on capaci­

tance of  thin dielectric films,  Int. J .  S o l i d s  Structures,  5,  1197,  1969. 

79.  R .  D .  M I N D L I N ,  Polarization gradient in elastic  dielectrics, Int. J .  S o l i d s  Structures,  4,  637,  1968. 

80.  R .  A .  T O U P I N ,  The elastic dielectrics,  J . R a t .  M e c h .  A n a l . ,  5,  849.  1956. 

8 1 .  R .  A .  T O U P I N ,  A  dynamical theory of elastic dielectrics,  Int.  J .  E n g n .  S c i . ,  1,  1,  101,  1963. 

82.  К .  B .  T O Ł P Y G O ,  Fizić eskie  svojstva  reś etki  tipa kamennoj  soli  postroennoj iz  deformiruemych  ionov, 

Ż . E . T . S .,  20, 497,  1950. 

83.  W .  C O C H R A N ,  L a t t i c e  v i b r a t i o n s ,  R e p . P r o g .  P h y s . ,  26, 1,  1963. 

84.  B .  J .  D I C K  i  A .  W .  O V E R H A U S E R ,  Theory  of  the dielectric constants of alkali halide  crystals,  P h y s . R e v . , 

112,  90,  1958. 

85.  R .  D .  M I N D L I N ,  Elasticity, piezoelectricity  and crystal lattice dynamics,  J . o f  E l a s t i c i t y ,  2 , 4 ,  217,  1972. 

86.  A .  A S K A R ,  P . C .  L E E ,  A .  S.  C A K M A K ,  Lattice  dynamics approach to  the  theory of  elastic dielectrics 

with  polarization gradient,  P h y s .  R e v . В ., 1,  8,  3525, 1970. 

87.  К .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Coupled  mechano­electric  fields  in  solid  dielectrics  1,  B u l l .  A c a d .  P o l o n . 

S c i .  Ser.  T e c h n . ,  27,  4,  377,  1979. 

88.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Love's  waves  in  elastic isotropic  solid  dielectrics.  B u l l .  A c a d .  P o l o n .  S c i . 

Ser.  S c i . T e c h n . ,  2 8 ,  11/12,  615,  1980. 

89.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Coupled mechano­electric  fields  in  solid  dielectrics  II,  B u l l .  A c a d .  P o l o n . 

S c i . ,  Ser.  T e c h n . ,  27,  5/6,  471,  1979. 

90.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Coupled mechano­electric fields  in solid  dielectrics  III,  B u l l .  A c a d .  P o l o n , 

S c i . ,  Ser. S c i . T e c h n . ,  27, 7,  581,  1979. 

9 1 .  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Wave  reflection  and refraction  in solid elastic dielectrics  I,  B u l l .  A c a d .  P o l o n . 

S c i . ,  Ser.  S c i . T e c h n . ,  29. 7 / 8 ,  787,  1981. 

9 2 .  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Wave reflection and refraction  in  solid elastic dielectrics II,  B u l l .  A c a d .  P o l o n . 

S c i . ,  Ser. S c i . T e c h n . ,  29, 7/8, 387,  1981. 

93.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Wave  reflection  and  refraction  in solid elastic  dielectrics  III,  B u l l .  A c a d . 

P o l o n .  S c i . ,  Ser. S c i .  T e c h n ,  29. 9/10, 459,  1981. 

94.  K .  M A J O R K O W S K A ­ K N A P ,  Wave  reflection  and  refraction  in solid  elastic  dielectrics  IV,  B u l l .  A c a d . 

P o l o n .  S c i . , S ć r. S c i . T e c h n . ,  29, 9/10, 4 6 5 ,  1981. 

95.  J . P .  N O W A C K I ,  P . G .  G L O C K N E R ,  Some  dynamical problems of  thermoelastic  dielectrics, Int. J .  S o l i d s 

Structures,  15, 183,  1979. 

96.  J . P .  N O W A C K I ,  P .  G .  G L O C K N E R ,  Propagation of  waves  in  the  interion of  a  thermoelastic dielectric 

half­space, Int. J .  E n g n g .  S c i . ,  19, 603,  1981. 

97.  M .  L A X ,  D .  F .  N E L S O N ,  Linear  and nonlinear  electrodynamics  in elastic  anisotropic  dielectrics,  P h y s . 

R e v .  B , 4,  3694, 1971. 

98.  D .  F .  N E L S O N ,  Theory  of  nonlinear  electroacoustics  of dielectric,  piezoelectric and pyroelectric  crystals. 

J .  A c o n s t .  S o c . A m . ,  63,  1738,  1978. 

99.  P .  G .  G L O C K N E R ,  K . L .  C H O W D H U R Y ,  Non­linear  compatibility  equations and  Bianchi­type  identities 

for  elastic dielectrics,  Int. J .  N o n ­ L i n e a r  M e c h a n i c s ,  13, 4,  205,  1978. 

100.  K .  L .  C H O W D H U R Y ,  P . G .  G L O C K N E R ,  On thermorigid dielectrics,  J . o f  T h e r m a l  Stresses,  2,  73,  1979. 

101.  K .  L .  C H O W D H U R Y ,  P . G .  G L O C K N E R ,  Hyperelastic dielectrics with  saturated polarization,  Int. J .  N o n , 

L i n e a r  M e c h a n i c s ,  15,  1,  31,  1980. 

102.  K . L .  C H O W D H U R Y ,  M .  E P S T E I N ,  P . G .  G L O C K N E R ,  On the thermodynamics  of  non­linear  elastic  die­

lectrics,  I n t . J .  N o n ­ L i n e a r  M e c h a n i c s ,  13, 311,  1979. 

103.  B .  C O L L E T ,  One­dimensional acceleration  waves  in  deformable dielectrics  with  polarization gradients. 

Int.  J .  E n g n g .  S c i . , 19, 389,  1981. 



M E C H A N O T E R M O E L E K T R Y C Z N E  F A L E  523 

104.  В .  C O L L E T ,  Shock  waves  in deformable  dielectrics with  polarization  gradients, Int.  J .  E n g n g .  S c i . , 20, 
10,  1145,  1982. 

105.  A .  A L I P P I ,  Nonlinear acoustic propagation in piezoelectric crystals,  F e r r o e l e c t r i c s ,  42,  1/2/3/4,  109,  1982. 

106.  M .  P L A N A D ,  D .  H A U D E N ,  Non­Linear  properties of  bulk  and  surface acoustic waves  in  piezoelectric 

crystals,  F e r r o e l e c t r i c s ,  42,  1/2/3/4,  117,  1982. 

107.  S.  D O S T ,  Acceleration waves  in elastic  dielectrics with  polarization gradient effects,  Int.  J .  E n g n g .  S c i . , 

2 1 ,  11,  1305,  1983. 

Р е з ю ме  

С О П Р Я Ж Е Н Н ЫЕ  М Е Х А Н О ­ Т Е Р М О ­ Э Л Е К Т Р И Ч Е С К ИЕ  В О Л НЫ  

В  П Ь Е З О Э Л Е К Т Р И Ч Е С К ИХ  С Р Е Д АХ  

О б з ор  к а с а е т ся  г а р м о н и ч е с к их  с о п р я ж е н н ых  м е х а н о ­ э л е к т р и ч е с к их  и  м е х а н о ­ т е р м о ­ э л е к т р и­

ч е с к их  в о лн  в  т в е р д ых  у п р у г их  с р е д ах  н а х о д я щ и х ся  в о  в з а и м о д е й с т в ии  с  э л е к т р о м а г н и т н ым  п о­

л ем  ( в  б о л ь ш и н с т ве  с л у ч а ев  с в е д е н ым  к  э л е к т р и ч е с к о м у)  а  в о з м о ж но  с  п о л ем  т е м п е р а т у р ы. 

S u m m a r y 

C O U P L E D  М E CH  A N O ­ T H E R M O ­ E L E C T R I C  W A V E S  I N S O L I D  P I E Z O E L E C T R I C  C O N T I N U U M 

W e  present  the  p r o b l e m  o f  c o u p l e d  m e c h a n i c a l  elastic,  therma l  a n d  electromagnetic  fields  (the  latter 

most  o f the  cases  reduces  to  the  electric  field)  i n a  piezoelectric  m e d i u m  i n the case  o f the  h a r m o n i c  plane 

waves.  T h e c o n s i d e r a t i o n s  ate  c o n d u c t e d  o n  the  basis  o f the  f o l l o w i n g  l i n e a r  theories: 

—  the  classical  W . V o i g h t  theory  o f  p i e z o e l e c t r i c i t y , 

—  the  m o r e  general  theory  o f p i e z o e l e c t r i c i t y  based  o n the  c o u p l i n g  o f the  electromagnetic  f i e l d  w i t h 

the  m e c h a n i c a l  f i e l d 

—  the  quasi­electric  theory  o f  t h e r m o ­ p i e z o e l c c t r i c i t y 

—  R . D .  M i n d l i n ' s  theory  o f  elastic  dielectrics  w i t h  a  p o l a r i z a t i o n  gradient,  the  theory  f o r m u l a t i n g 

b o t h  the  e l e c t r o m e c h a n i c a l  i n t e r a c t i o n  i n materials  w i t h  c e n t r o s y m m e t r y  a n d the  surface  effects  p e r t a i n i n g 

to  d e f o r m a t i o n  as  w e l l  as  p o l a r i z a t i o n . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  13  stycznia  1984 roku