Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3  ­ 4  22  (1984) 

A N A L I Z A  S T A T E C Z N O Ś CI  P R O C E S U  D U Ż Y CH  O D K S Z T A Ł C E Ń  

S P R Ę Ż Y S T Y CH  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  P R Z Y  D W U K I E R U N K O W Y M 

R O Z C I Ą G A N IU 

J A N  B I E L S K I ,  J A C E K  S K R Z Y P E K  ( K R A K Ó W ) 

1.  Uwagi  wstę pne 

Celem  pracy  jest  analiza  procesu  duż ych  o d k s z t a ł c e ń  sprę ż ystych  cienkiej  p o w ł o k i 

cylindrycznej  rozcią ganej  siłą  osiową  n  i ciś nieniem  normalnym p  (rys.  1) oraz  wyznaczenie 

o b s z a r ó w  statecznoś ci  tego  procesu  i  k r e s ó w  moż liwoś ci  jego  realizacji  (tj.  k r e s ó w  istnie­

nia  rozwią zania  przy  zadanej  ś cież ce  sterowania)  [2, 4]. 

Z a ł o ż o no  m a t e r i a ł  sprę ż ysty  spełniają cy  prawo  H o o k e ' a ,  u o g ó l n i o n e  na  przypadek 

s k o ń c z o n y ch  o d k s z t a ł c e ń  (w  logarytmicznej  mierze  Hencky'ego)  i  n a p r ę ż eń  rzeczywistych 

[3],  [8].  Z a ł o ż o no  dalej  nieś ciś liwość  m a t e r i a ł u ,  płaski  stan  n a p r ę ż e n ia  oraz  r ó w n o m i e r n y 

r o z k ł a d  n a p r ę ż eń  w z d ł u ż  gruboś ci  p o w ł o k i .  R o z w a ż a n ia  ograniczono  do  osiowo  symetrycz­

nych  jednorodnych  s t a n ó w  o d k s z t a ł c e n i a .  W  tej  klasie  poszukiwano  r ó w n i e ż  p u n k t ó w 

bifurkacji  z  uwagi  na  parametr  ś cież ki  sterowania. 

R y s .  1.  G e o m e t r i a  i  o b c i ą ż e n ie  p o w ł o k i 

Rozpatrzono  trzy  moż liwoś ci  realizacji  omawianego  procesu: 

a)  przez  sterowanie  „ s i ł o w e "  czyli  zadanie  zależ noś ci  pomię dzy  ciś nieniem  p  i  siłą  

osiową  h; 

b)  przez  sterowanie  „ k i n e m a t y c z n e " ;  czyli  zadanie  zależ noś ci  p o m i ę d zy  o d k s z t a ł c e ­

niami  osiowym  e£ i  radialnym e£; 

c)  przez  sterowanie  „ m i e s z a n e "  czyli  zadanie  zależ noś ci  mię dzy  ciś nieniem  p  i  od­

k s z t a ł c e n i e m E%.  
W  k a ż d ym  z  tych  s t e r o w a ń  odpowiednio  inna  wielkość  pełni  rolę  umownego  czasu. 

Przypadek  ogólniejszy  powyż szego  zagadnienia  rozpatrywany  był  w  pracy  [5]  i  doty­

czył  m a t e r i a ł u  sprę ż ysto­plastycznego  oraz  sztywno­idealnie  plastycznego,  a  także  ogól­



526  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

niejszego  sterowania  polegają cego  na  założ eniu  dowolnego  zwią zku  mię dzy  czterema 

wielkoś ciami  e°z,  e£, p,  h.  Jako  jeden  z  p r z y k ł a d ó w  o m ó w i o n e  z o s t a ł o  sterowanie,  w  k t ó ­

r y m  za  umowny  czas  przyję to  obję tość  p o w ł o k i . 

2.  U k ł a d  równań  podstawowych 

2 . 1 .  O z n a c z e n i a  i  ubezwymiarowicnie.  W  przyję tych  oznaczeniach  litera  d u ż a  oznacza  wiel­

k o ś ć  o d n i e s i o n ą  do  konfiguracji  począ tkowej,  a  m a ł a  do  aktualnej. 

N a d k r e ś l e n ie  oznacza  wielkość  w y m i a r o w ą  w  o d r ó ż n i e n iu  od  wielkoś ci  bezwymiaro­

wych,  bez  n a d k r e ś l e ń. 

R,  r  —  p r o m i e ń  powierzchni  ś r o d k o w e j, 

L,  1—  długość  p o w ł o k i , 

T,  t  —  g r u b o ś ć  ś cianki, 

V0  —  obję tość  p o w ł o k i , 

«r>  ŁCq> —  o d k s z t a ł c e n i a  w  mierze  Cauchy'ego, 

e",  ef,  —  o d k s z t a ł c e n i a  w  mierze  Hencky'ego, 

o9,  Gz —  n a p r ę ż e n ia  rzeczywiste, 

G  —  m o d u ł  Kirchhoffa, 

p—ciś nienie  w e w n ę t r z ne  odniesione  do  jednostki  powierzchni  aktualnej, 

N,  h  —  siła  osiowa, 

d2  w  —  praca  n a d w y ż k o w a. 

Przyję to  do  obliczeń  nastę pują co  zdefiniowane  wielkoś ci  bezwymiarowe: 

G  ' 

­  R 

1 
n  =  n 

GT 

(2.1) 

2­KGRT 

1 
d2w  =  d2w 

GV0 

Wielkoś ci  geometryczne  i  kinematyczne  odniesiono  do  promienia  R  powierzchni 

ś r o d k o w ej  w  konfiguracji  począ tkowej  zgodnie  z  przepisem 

A  ­ A 

2.2.  R ó w n a n i a  podstawowe.  Zwią zki  fizyczne  przyję to  w  postaci  liniowego,  logarytmicznego 

prawa  H o o k e ' a  dla  płaskiego  stanu  n a p r ę ż eń  

, (2-2) 
e" = ™( 2 f f z - ^ ) , 

6G 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  527 

gdzie  o d k s z t a ł c e n i a  zdefiniowane  są  jako 

r­R 
4 '  =  l n ( l +  < ) ,  e£  = 

R 

L 

(2.3) 

R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  mają  p o s t a ć  

p  •  r 

_  n 
0%  = 

(2.4) 

2ń rt 

Po  wyeliminowaniu  n a p r ę ż eń  i  wykorzystaniu  warunku  nieś ciś liwoś ci 

ril  =  RTL  (2.5) 

oraz  zwią zków  (2.1)  otrzymamy  bezwymiarowe  zależ noś ci  p o m i ę d zy  wielkoś ciami  siło­

wymi  p  i  n  oraz  geometrycznymi  ez  i  e£: 

21n.v  , 
P  =  ,  (2.6) 

x 

n  =  ­ ^ t ,  (2.7) 
J 2 

gdzie  przez  л:  i  у  oznaczono 

x ' ­ ( l ' + 0 * ( l + « S ) .  ( 2 ­ 8 > 

=  (1 +  4 ) 0  + c l ) 2 .  (2.9) 

D o  tych  r ó w n a ń  d o ł ą c z a my  r ó w n a n i e  ś cież ki  sterowania 

/(<Ł,  scz,p,n)  =  0  (2.10) 

oraz  definicję  parametru  bę dą cego  umownym  czasem  (np.  odkształcenie  ez,  siła  n,  obję­

tość  nieś ciś liwej  cieczy  wypełniają cej  p o w ł o k ę  itp.). 

3.  Analiza  statecznoś ci 

A n a l i z ę  statecznoś ci  przeprowadzono  wyłą cznie  dla  p r o c e s ó w  sterowanych  w  s p o s ó b 

czysto  „ s i ł o w y " .  W  przypadku,  gdy  chociaż jeden  z p a r a m e t r ó w  sterują cych  jest  kinematycz­
П У  («z, e£),  należy  w  w y r a ż e n iu  na  p r a c ę  drugiego  r z ę du  uwzglę dnić  elementy  zwią zane 

z  u k ł a d e m  wymuszają cym. 

Z a  kryterium  statecznoś ci  przyję to  za  Druckerem  [1]  warunek  dodatniej  sumarycznej 

pracy  n a d w y ż k o w ej  wykonanej  na  wszystkich  parach  stowarzyszonych  obcią ż eń  —  prze­

m i e s z c z e ń . 



528  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

Praca  n a d w y ż k o wa  wyraża  się  w przypadku  rozpatrywanych  obcią ż eń  n a s t ę p u j ą c o: 

d2w  =  dp  • dr  ­s+p­  dr  • dś  +  dń  • dl,  (3.1) 

lub  po  uwzglę dnieniu  przyję tych  u b e z w y m i a r o w a ń  (2.1): 

d2w  =  dp  • de;(l  +  ep(l  + Ecz)+pd^[{\  +  e;)de
e

x+(l  +  e
c

z)de']  +  dndez.  (3.2) 

A n a l i z a  statecznoś ci  przeprowadzona  z o s t a ł a  według  metody  zaproponowanej  w  pracy 

[6].  Polega  ona  na badaniu  wartoś ci  pracy  n a d w y ż k o w ej  dla  wszystkich  moż liwych  za­

burzeń  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i .  Z  [6]  zaczerpnię to  r ó w n i e ż  definicje  statecznoś ci  bezwzglę d­

nej  oraz  statecznoś ci  w kierunku  ś cież ki.  W przypadku  sterowania  wieloparametrowego 

m ó w i m y ,  że położ enie  r ó w n o w a g i  u k ł a d u  jest  bezwzglę dnie  stateczne,  jeż eli  przy  wszyst­

kich  moż liwych  jego  zaburzeniach  praca  n a d w y ż k o wa  z e w n ę t r z na  jest  nieujemna  (w  do­

puszczalnej  klasie  form  o d k s z t a ł c e n i a  konstrukcji).  Położ enie  r ó w n o w a g i  jest  stateczne 

w  kierunku  ś cież ki  , , / " ,  jeż eli  przy  zaburzeniu  w jej kierunku  praca  n a d w y ż k o wa  jest 

nieujemna  (mimo  iż w p o z o s t a ł y c h  kierunkach  może  być  ujemna). 

Wprowadzimy  prostą  p a r a m e t r y z a c j ę  z a b u r z e ń  ś cież ki  sterowania  (rys. 2) 

dn  =  dgcosy), 

dp  — dgsmy>,  (3.3) 

y> 6  [0;  2TC), 

gdzie  dg jest  promieniem  zaburzenia.  Praca  n a d w y ż k o wa  zwią zana  z jednostkowym  pro­

mieniem  zaburzenia  jest  zatem  dla  danego  punktu  na ś cież ce  r ó w n o w a g i  funkcją  ką ta  ip: 

d2w 
=  C, s'm2y>+ C2cos2ip  + C 3 s i n ^ c o s ^ .  (3.4) 

2dg  и  

ł 

\ d p T y 

R y s .  2.  P a r a m e t r y z a c j a  z a b u r z e ń  ś c i e ż ki  s t e r o w a n i a 

Stałe  C , , C2,  C 3  zależą  od w s p ó ł r z ę d n y ch  punktu  na ś cież ce  r ó w n o w a g i  i  wyraż ają  się  

_  y]fx~y  /1  p  \ 
C2 

У х у  
\2AB 

(xYxyp+  X­^­­2ynj  ­  Vx2y2  I 
2B  +  6 A 

(3.6) 

(3.7) 

file:///dpTy


S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  529 

gdzie: 

A  =  1  —  \nx, 

В  =  3­21nj>, 
(3.8) 

a  x  i у  są  r o z w i ą z a n i a mi  u k ł a d u  r ó w n a ń  p r z e s t ę p n y ch  (2.6)  i  (2.7). 

Rys.  3  przedstawia  interpretację  podanych  definicji  stetecznoś ci  bezwzglę dnej  i  w  kie­

runku,  jak  r ó w n i e ż  poję cia  noś noś ci  maksymalnej  ( k o ń ca  procesu  wzdłuż  zadanej  ś cież ki 

sterowania)  wią ż ą cej  się  z  osobliwoś ciami  pracy  n a d w y ż k o w ej  (d2w  ±  co). 

Zaznaczone  krzywe  oznaczają  r o z k ł a d  pracy  n a d w y ż k o w ej  w o k ó ł  punktu  na  ś cież ce  r ó w ­

nowagi.  W a r t o ś ć  d2w  jest  na  tym  rysunku  proporcjonalna  do  długoś ci  odcinka  odmierzo­

nego  w z d ł u ż  promienia  zaznaczonego  k o ł a  od  jego  o k r ę gu  przyję tego  jako  poziom  zero­

wy.  Odcinek  o d ł o ż o ny  na  zewną trz  o k r ę gu  oznacza  d2w  <  0,  do  w e w n ą t rz  — d2w  >  0. 

N a  p o c z ą t ku  procesu  praca  n a d w y ż k o wa  jest  we  wszystkich  kierunkach  dodatnia. 

Punkt,  w  k t ó r y m  krzywa  r o z k ł a d u  d2w  jest  styczna  do  o k r ę gu  d2w  =  0,  jest  ostatnim 

bezwzglę dnie  statecznym  na  ś cież ce  sterowania.  U t r a t a  statecznoś ci  w  kierunku  ś cież ki 

zachodzi,  gdy  d2w  dla  kierunku  wyznaczonego  przez  ś cież kę  sterowania  jest  r ó w n a  zeru. 

K o n i e c  procesu  wzdłuż  zadanej  ś cież ki  sterowania  łą czy  się  z  osią gnię ciem  przez  d2w  war­

toś ci  co,  co  wynika  ze  zmierzania  przyrostu  zmiennej  niezależ nej  do  zera  ( n o ś n o ść  ma­

ksymalna). 

Wykresy  zależ noś ci  o d k s z t a ł c e n i a  ecz  o d  siły  л  (rys.  5)  oraz  o d k s z t a ł c e n i a  e£ od  ciś nie­

nia  p  (rys.  6)  s p o r z ą d z o no  przyjmując  r ó w n a n i e  ś cież ki  sterowania  procesem  w  postaci: 

gdzie  f,  jest  w s p ó ł c z y n n i k i e m  p r o p o r c j o n a l n o ś c i.  Rol ę  umownego  czasu  pełni  siła osiowa л. 

R y s .  4  przedstawia  płaszczyznę  zmiennych  sterowania  p — n.  N a  wymienionych rysunkach 

krzywe  C +  i  C~  oznaczają  k o ń ce  procesów  (noś noś ci  maksymalne  odpowiednio  dla p  i л ). 

Praca  n a d w y ż k o wa  zmierza  wraz  ze  zbliż aniem  się  punktu  na  ś cież ce  r ó w n o w a g i  do  tych 

krzywych  odpowiednio  do  +  co  lub  ­ c o .  K r z y w a  5  oznacza  punkty  utraty  statecznoś ci 

bezwzglę dnej.  Z a u w a ż m y,  że  praca  n a d w y ż k o wa  przyjmuje  po  raz  pierwszy  w a r t o ś ć  ujem­

R y s .  3.  R o z k ł a d  p r a c y  n a d w y ż k o w ej  w  w y b r a n y c h  p u n k t a c h  procesu 

P  = l i  (3.9) 

И  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



530  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

ną,  jeż eli  zaburzenie  ś cież ki  opisane  jest  parametrem  ip =  0  (wzór  3.3).  Oznacza  to,  że 

kontynuacja  procesu  po  utracie  statecznoś ci  bezwzglę dnej  przy  stałym  ciś nieniu  (dp  =  0) 

o d b y w a ł a b y  się  w  s p o s ó b  niestateczny.  Zwią zane  jest  to  z  ujemną  wartoś cią  drugiego 

s k ł a d n i k a  we  wzorze  (3.1)  (dr  <  0). 

n 
I 

R y s .  4.  P ł a s z c z y z n a  s i ł o w y c h  p a r a m e t r ó w  s t e r u j ą c y ch 

R ó w n a n i a  krzywych  C+  i  C~  m o ż na  u z y s k a ć  z  w a r u n k ó w  osobliwoś ci  odwzorowania 

przestrzeni  sterowania  do  przestrzeni  zachowania 

dp  dp 

д х  д у  

д п  д п  

д х  д у  

lub  r ó w n o w a ż n ie  z  warunku  zmierzania  d2w  do  nieskoń czonoś ci  (wzory  3.5 ­=­3.8) 

A  m  0  lub  В  =  0.  (3.11) 

Otrzymujemy  dwa  r ó w n a n i a  krzywych  noś noś ci  maksymalnej  w  płaszczyź nie  sterowania 

(rys. 4): 

=  0  (3.10) 

C+:p  =  ­ , 
e 

61n 
en 

3  •  

(3.12) 

(3.13) 

K r z y w a  C~  jest  wklę sła. 

Kres  istnienia  rozwią zania  wzdłuż  zadanej  ś cież ki  sterowania  odpowiada  jednej  z  po­

niż szych  moż liwoś ci: 

1)  dla  0  £j  ^  0.5  (wzór  3.9)  wykres  ecz  =  e
c

z(n)  k o ń c zy  się p i o n o w ą  styczną  „ w  g ó r ę " 

+  со I,  a  wykres  e£  =  ecę(p) —  p i o n o w ą  styczną  „ „  da," ( f  — oo 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  531 

2)  dla  f  i  >  0.5  wykres  ecz  =  ez(n)  koń czy  się p i o n o w ą  styczną  „ w  d ó ł "  (­5­7­  ­ »  —  00 

a  ej  =  ££(/0  — p i o n o w ą  styczną  „ w  g ó r ę "  l " ^ ­ * 

N a  płaszczyź nie  sterowania  procesy  typu  1)  koń czą  się  w  chwili  przecię cia  się  ś cież ki 

sterowania  z  krzywą  C~,  a  procesy  typu  2) — gdy  ś cież ka  sterowania  przecina  krzywą  C + . 

3  '  m  1 

Poję cie  k o ń ca  procesu  należy  r o z u m i e ć  j a k o  brak  moż liwoś ci  kontynuowania  go 

wzdłuż  dotychczasowej  ś cież ki  sterowania  przy  wzrastają cym  parametrze  czasu.  M o ż l i wa 

jest  natomiast  dalsza  realizacja  procesu  przy  maleją cym  parametrze  umownego  czasu 

(z  zachowaniem  r ó w n a n i a  (3.9)).  Obserwujemy  wtedy  p o w r ó t  wzdłuż  pierwotnej  ś cież ki 

r ó w n o w a g i  lub,  przy  odpowiednim  wymuszeniu,  wejś cie  na  jej  drugą  czę ś ć,  wzdłuż  której 

przy  parametrach  siłowych  p,  n  maleją cych  do  zera  oraz  jednym  kinematycznym  e£  lub 

ecz  zmierzają cym  do  —1, drugi  kinematyczny  zmierza  do  00. 

Jak  widać  na  rys.  4,  5,  6,  istnieje  obszar  n i e d o s t ę p ny  p o m i ę d zy  krzywymi  C+,  C~  oraz 

ś cież ką  o  parametrze  =  0,5  (krzywoliniowy  trójkąt  CiCuB).  Fakt  ten  zwią zany  jest 

z  przyję tym  sterowaniem  prostoliniowym  (3.9),  gdyż  ś cież ka  o  parametrze  £ x  =  0,5  jest 

styczna  do  krzywej  C~  w  punkcie  Q .  Przyjmując  inne,  krzywoliniowe  sterowanie  m o ż e my 

osią gnąć  obszar  poprzednio  n i e d o s t ę p n y,  a  w  szczególnoś ci  dotrzeć  do  punktu  podwójnej 

noś noś ci  maksymalnej  B,  dla  k t ó r e g o  obydwa  omawiane  kresy  rozwią zania  zachodzą  rów­

nocześ nie  (punkt  stycznoś ci  krzywych  C +  i  C~). 

n 

R y s .  5.  Z a l e ż n o ść  ecs  =  £;(/i),  sterowanie  s i ł o w e 



532  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

P 

R y s .  6.  Z a l e ż n o ść  =  e £ ( p ) ,  sterowanie  s i ł o w e 

P r z y k ł a d o w ą  krzywą  sterują cą  zapewniają cą  powyż sze  jest  parabola  o  r ó w n a n i u 

р =­~1^п *  +  ­ ч = п .  (3.14) 
9  З у  e 

Kontynuacja  procesu  z  punktu  В  przy  maleją cym  parametrze  czasu  (siły  n)  moż liwa  jest 

( o p r ó c z  powrotu  po  ś cież ce  podstawowej)  w  d w ó c h  róż nych  kierunkach:  ej  ­*  oo  i e£  ­»  — 1 

lub  ej  ­»  — 1 i  c£  ­»  co  (rys.  7).  P r o w a d z ą c  obliczenia  dla  zaburzonej  ś cież ki  typu  (3.14) 

otrzymujemy  przebiegi  wpisują ce  się  w  krzywe  niezaburzone  (rys.  7). 

Charakter  tych  p rz e bi e gów ,  j a k  r ó w n i e ż  rozdwojenie  ś cież ki  po  osią gnię ciu  n o ś n o ś ci 

maksymalnej  sugeruje,  że  punkt  В  jest  punktem  bifurkacji  ze  wzglę du  na  parametr  ś cież ki 

sterowania.  Obie  formy  r ó w n o w a g i  o d p o w i a d a j ą ce  rozdwojonej  ś cież ce  p o ł o ż eń  r ó w n o w a ­

gi  są  przy  tym  symetryczne  (zgodnie  z  d o p u s z c z o n ą  klasą  rozwią zań)  i  p r o w a d z ą  w  k o n ­

sekwencji  do  r ó ż n y ch  m e c h a n i z m ó w  zniszczenia  cylindra.  Wracając  do  analizy  ś cież ek 

prostoliniowych  w  płaszczyź nie  sił  należy  jeszcze  zwrócić  u w a g ę  na  takie,  dla  k t ó r y c h  pa­

rametr  ś cież ki  spełnia  warunek 

­ ф г < Ъ<  0.5  (3.15) 

D l a  parametru  z tego przedziału  ś cież ka  sterują ca  przecina  krzywą  noś noś ci  maksymalnej C ~ 

(w  d w ó c h  punktach  I  i  II  (rys.  8),  a  krzywą  C +  w  punkcie  III. 



n 

R y s .  7.  F r a g m e n t  p ł a s z c z y z n y  s t e r o w a n i a  i  z a c h o w a n i a ;  sterowanie  s i ł o w e  p a r a b o l i c z n e  (3.14) 

n 

R y s .  8.  F r a g m e n t  p ł a s z c z y z n y  s t e r o w a n i a  i  z a c h o w a n i a  d l a  ś c i e ż ek  t y p u  (3.15) 

1533] 



534  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

P o n i e w a ż  stan  u k ł a d u ,  ze  wzglę du  na  k o n s e r w a t y w n o ś ć,  nie  zależy  od  drogi  dojś cia 

do  punktu  r ó w n o w a g i ,  m o ż na  po  dojś ciu  drogą  krzywoliniową  k o n t y n u o w a ć  proces 

wzdłuż  drugiej  czę ś ci  prostej  (3.9).  Rys.  8  pokazuje  fragment  płaszczyzny  (n — ec:)  dla 

tych  przebiegów.  Widoczne  jest  osią gnię cie  przez  krzywą  minimum  (punkt  II)  oraz  maksi­

mum  (punkt  III).  Przy  w s p ó ł c z y n n i k u  f,  zmierzają cym  do  0,5  punkty  I  i  II  łą czą  się  
2 

w  jeden,  natomiast  gdy  £ t  zmierza  do  '  2 / 3  ,  punkty  II  i  III  zmierzają  do  punktu  B. 

4.  Sterowanie  kinematyczne  i  mieszane 

4 . 1 .  Sterowanie  k i n e m a t y c z n e .  R o z w a ż a no  procesy,  k t ó r y c h  ś cież kę  sterowania  wybrano 

w  postaci: 

el=h­ecz,  (4.1) 

a  umownym  czasem  było  odkształcenie  ecz. 

Odpowiednie  wykresy  przedstawiają  zależ noś ci  n  =  n(ez)  (rys.  9)  oraz  p  =  p(e|) 

(rys.  10)  dla  przebadanego  zakresu  w s p ó ł c z y n n i k a  £ 2 . 

R y s .  9.  Z a l e ż n o ść  n  =  П {Е .)\  sterowanie  k i n e m a t y c z n e 

W  zależ noś ci  od  przyję tej  wartoś ci  parametru  f 2  m o ż na  r o z r ó ż n ić  nastę pują ce  przy­

padki : 

1)  dla  f 2  >  0  wykresy  и  =  n(e
c

z) osią gają  maksimum,  a  n a s t ę p n ie  zmierzają  asympto­

2 
tycznie  do  n  =  0.  Odpowiednie  wykresy  p  =  p{e.cz)  osią gają  maksimum pmax  =  ~,  po  czym 

r ó w n i e ż  zmierzają  asymptotycznie  do  p  =  0. 

2)  dla  f 2  <  0  ograniczeniem  realizacji  procesu  jest  zmierzanie  o d k s z t a ł c e n i a  ej  do 

wartoś ci  —  1.  Wykresy  p  =  /?(e£)  oraz  n  =  n(ez)  koń czą  się  wtedy  asymptotami  pionowymi 

odpowiednio  ej  =  — 1  i  ec:  =  — C O  oznacza,  że  ciś nienie  p  i  siła  n  zmierzają  do  — co. 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  535 

D l a  —  0,066  ?S  | 2  <  0  wykres  zależ noś ci  p  =  р(е ^)  posiada  dwa  maksima,  a  zależ­

noś ci  n  =  n(ecz)  —  dwa  punkty  przegię cia.  Procesy,  dla  k t ó r y c h  £ 2  J
e s t  bliskie  —  0,066, 

przebiegają  w  pewnym  przedziale  wartoś ci  o d k s z t a ł c e n i a  e j  przy  prawie  stałym  ciś nieniu 

(bardzo  płaski  przebieg  zależ noś ci  p  =  p(e%)). 

­Ofi  ­05 -0,4 -0,3 -0,2  Щ 0  oj  o~2 op  oj cp>  Щ ef 

R y s .  10.  Z a l e ż n o ść  p  =  /?(ef);  sterowanie  k i n e m a t y c z n e 

Graniczna  w a r t o ś ć  w s p ó ł c z y n n i k a  £ 2  =  —0,066  została  wyznaczona  numerycznie, 

jako  taka,  przy  które j  r ó w n a n i e  =  0  posiada  p o t r ó j n y  pierwiastek  e j  <  0. 

4 . 2 .  Sterowanie  mieszane.  R ó w n a n i e  ś cież ki  sterowania  przyję to  w  postaci 

P  =  £э  •  ej,  (4.2) 

a  rolę  umownego  czasu  pełni  odkształcenie  sz. 

N a  wykresie  n  =  n(ez)  (rys.  11)  m o ż na  z a o b s e r w o w a ć  dwa  odmienne  przebiegi  krzy­

wych  w  zależ noś ci  od  w s p ó ł c z y n n i k a  f 3  (wzór  (4.2). 

1)  D l a  £ 3  <  0,25  krzywe  p r z e c h o d z ą  kolejno  przez  maksimum,  minimum  oraz  osią­

gają  kres  wzdłuż  danej  ś cież ki  sterowania  przez  wyczerpanie  noś noś ci  maksymalnej 

2 
I ciś nienie  p  osią ga  wtedy  wartość  

2)  D l a  f 3  3*  0,25  krzywe  nie  mają  lokalnych  e k s t r e m ó w  i  osią gają  wprost  opisany  wy­

ż ej  kres. 

Przy  r o s n ą c ym  parametrze  sterują cym  (wzdłuż  danej  ś cież ki)  proces  osią ga  kres 

w  punkcie,  w  k t ó r y m  ciś nienie  osią ga  w a r t o ś ć  m a k s y m a l n ą .  M o ż e  on  być  dalej  kontynuo­

wany  wzdłuż  tej  samej  ś cież ki  jedynie  przy  maleją cej  wartoś ci  tego parametru.  Moż liwe  są  

przy  tym  r ó w n i e ż  nowe  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i  u k ł a d u  bę dą ce  p r z e d ł u ż e n i em  poprzednich 

rozwią zań  (linia  przerywana  rys.  11  i  12). 



536  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

R y s .  11.  Z a l e ż n o ść  я  =  п (е %);  sterowanie  mieszane 

R y s .  12.  Z a l e ż n o ść  e,'  =  s j ( p ) ;  sterowanie  mieszane 

5.  W n i o s k i 

Badano  kresy  istnienia  rozwią zań  dla  cienkiej  p o w ł o k i  cylindrycznej rozcią ganej  dwu­

kierunkowo  przy  r ó ż n y ch  wariantach  sterowania  procesem. 

1.  W  przypadku  sterowania  kinematycznego  ograniczeniem  realizacji  procesu  jest 



S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K I  C Y L I N D R Y C Z N E J  537 

zmierzanie  o d k s z t a ł c e n i a  sfp do  wartoś ci  —1  ( p r o m i e ń  r  p o w ł o k i  zmierza  do  zera),  co 

łą czy  się z  osobliwoś ciami  wielkoś ci  siłowych. 

2.  Przy  sterowaniu  siłowym  istnieją  dwa rodzaje  k r e s ó w  istnienia  rozwią zania  wzdłuż  

zadanej  ś cież ki  sterowania  — obydwa  przez  wyczerpanie  noś noś ci  maksymalnej. 

Jednym  z  nich  jest  n o ś n o ść  maksymalna  ze  wzglę du  na  ciś nienie  p  (dla  f,  > 0,5; 

praca  n a d w y ż k o wa  zmierza  do  +co), a  drugim  — n o ś n o ść  maksymalna  ze  wzglę du  na 

siłę  osiową  n (dla £ t  <  0,5; praca  n a d w y ż k o wa  zmierza  do  —  co). 

Przy  parametrze  f  t  =  0,5 istnieje  w zwią zku  z tym  niestabilność  rozwią zania  w punkcie 

bifurkacji  Ct,  polegają ca  na tym,  że dowolnie  m a ł e jego  odchylenie  (od wartoś ci  f t  = 0,5) 

może  s p o w o d o w a ć  dwa  r ó ż ne  rodzaje  kresu  istnienia  rozwią zania. 

3.  M o ż l i wa  jest  kontynuacja  procesu  po  osią gnię ciu  noś noś ci  maksymalnej  wzdłuż  

zadanej  ś cież ki  przy  maleją cym  parametrze  umownego  czasu. 

4.  Przy  odpowiednim  doborze  sterowania  krzywoliniowego  moż liwe  jest  osią gnię cie 

punktu  bifurkacji  В  (podwójnej  noś noś ci  maksymalnej).  Obie  formy  r ó w n o w a g i  odpowia­

dają ce  rozdwojonej  ś cież ce  położ eń  r ó w n o w a g i  są  przy  tym symetryczne. 

5.  Należy  zwrócić  u w a g ę ,  że  moż liwość  rozdwojenia  ś cież ki  po  osią gnię ciu  punktu 

bifurkacji  m o ż e  s p o w o d o w a ć  zaburzenie  j e d n o r o d n o ś ci  wzdłuż  długoś ci  p o w ł o k i  (np. 

przez  r ó w n o c z e s n ą  realizację  r ó ż n y ch  form  r ó w n o w a g i  w  r ó ż n y ch  czę ś ciach  p o w ł o k i ) . 

Efekty  takie  nie były  w pracy  rozpatrywane. 

6.  K r z y w a  (noś noś ci  maksymalnej  ze  wzglę du  na siłę  osiową  ń ) jest  wklę sła  w  płasz­

czyź nie  sterowania  p — n. 

L i t e r a t u r a 

1.  D .  C .  D R U C K E R ,  On  the  postulate  of stability  in  the mechanics of  continua,  J . de  M e c a n i q u e ,  2,  3,  235  ­

249,  1964. 

2.  W .  F L U G G E ,  Die  stabilitat der  Kreiscylindershale,  I n g .  A r c h .  5,  3  463  ­  506  (1932). 

3.  F .  D .  M U R N A N G H A N ,  77fe  compressibility of  solids under extreme pressures, K a r m a n  A n n i v .  121 ­  136, 

1 9 6 1 . ' 

4.  C h .  M .  M U S Z T A R I ,  A .  W .  S A W C Z E N K O ,  Ob  ustojcziwosti  cylindriczeskich  i  koniczeskich  oboloczek  kru­

gogo  seczenija pri  sowmiestnom  diejstwji osiewogo sż atija  i  wnieszniego  normalnego  dawlenija,  P r i k ł . 

M a t .  M i e c h . ,  6,  18,  6 6 7 ­ 6 6 9 ,  1954. 

5.  A .  M u c ,  J .  S K R Z Y P E K ,  Duż e  odkształcenia  spreż ysto­plastyczne  powłok  walcowych  obcią ż onych  ciś nieniem 

i  silą  osiową  przy  róż nych  wariantach sterowania procesem  (w  d r u k u ) ' 

6.  J .  S K R Z Y P E K ,  Odkształcenia  plastyczne i  analiza form  utraty  noś noś ci  geometrycznie  nieliniowych  powłok 

toroidalnych.  Z e s z y t y  N a u k .  P o l i t .  K r a k . ,  P o d s t .  N a u k i  T e c h n . ,  2,  1 ­  194,  1979. 

7.  S.  P .  T I M O S H E N K O ,  J .  M .  G E R E ,  Teoria  statecznoś ci  sprę ż ystej,  A r k a d y ,  W a r s z a w a  1963. 

8.  C .  T R U E S D E L L ,  R .  T O U P I N ,  Principles of  classical mechanics  and field  theory,  H a n d b u c h  der  P h y s i k  3 / 1 , 

S p r i n g e r ­ V e r l a g ,  B e r l i n  1960. 

Р е з ю ме  

У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  П Р О Ц Е С СА  Б О Л Ь Ш ИХ  У П Р У Г ИХ  Д Е Ф О Р М А Ц ИЙ  

Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ОЙ  О Б О Л О Ч КИ  В  С Л У Ч АЕ  Д В У Н А П Р А В Л Е Н Н О ГО  Р А С Т Я Ж Е Н ИЯ  

Р а с с м о т р ен  п р о ц е сс  д в у н а п р а в л е н н о го  р а с т я ж е н ия  т о н к о с т е н н ой  ц и л и н д р и ч е с к ой  о б о л о ч ки  

п р о д о л ь н ой  с и л ой  и  в н у т р е н н им  д а в л е н и е м.  П р е д п о л о ж ен  м а т е р и ал  в ы п о л н я ю щ ий  з а к он  Г у к а, 

о б о б щ е н н ый  д ля с л у ч ая  л о г а р и ф м и ч е с к их  д е ф о р м а ц ий  и  д е й с т в и т е л ь н ых  н а п р я ж е н и й. 



533  J .  B I E L S K I ,  J .  S K R Z Y P E K 

О п р е д е л е ны  з а в и с и м о с ти  м е ж ду  с и л о в ы ми  и  г е о м е т р и ч е с к и ми  в е л и ч и н а ми  д ля  р а з н ых  в а р­

и а н т ов  у п р а в л е н ия  п р о ц е с с о м.  В с л у ч ае  с и л о в о го  у п р а в л е н ия  о п р е д е л е ны  т о ч ки  п о т е ри  а б с о л ю т н ой  

у с т о й ч и в о с ти  и с п о л ь з уя  к р и т е р ий  р а б о ты  в т о р о го  п о р я д к а.  О п р е д е л е ны  т о же  к р и в ые  м а к с и м а л ь­

н ой  н е с у щ ей  с п о с о б н о с т и,  а  т а к же  т о ч ки  б и ф у р к а ц ии  д ля п р и н я т ых  д о р о ж ек  у п р а в л е н ия  

S u m m a r y 

S T A B I L I T Y  O F  T H E  P R O C E S S  O F  L A R G E  E L A S T I C  S T R A I N S  O F  A  C Y L I N D R I C A L  S H E L L 

S U B I E C T E D  T O  B I A X I A L  T E N S I O N 

Process  o f  b i a x i a l  t e n s i o n  o f t h i n  c y l i n d r i c a l  shell  l o a d e d  by the  a x i a l  force  a n d  i n t e r n a l  pressure  has 

been  analysed.  T h e m a t e r i a l  has  been  described  by  H o o k e ' s  law generalized  for the  l o g a r i t h m i c  strains  a n d 

t r u e  stresses. 

T h e  relations  between  forces  a n d g e o m e t r i c a l  quantities  have  been  determine d  for the different  variant s 

o f  c o n t r o l  o f the  process.  I n the case  o f f o r c e ­ c o n t r o l l e d  process  the  p o i n t s  o f the  loss  o f absolute  s t a b i l i t y 

have  been  f o u n d  o n  the  basis  o f  second­order  w o r k  c r i t e r i o n .  C u r v e s  o f  m a x i m a l  c a r r y i n g  c a p a c i t y  a n d 

b i f u r c a t i o n  p o i n t s  also  have  been  determined . 

A u t o r z y  w y r a ż a ją  p o d z i ę k o w a n ie  prof,  d r  hab.  i n ż .  M i c h a ł o w i  Ż y c z k o w s k i e mu  z a  cenne  sugestie 

w  t r a k c i e  r e a l i z a c j i  p r a c y . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  15  wrześ nia  1982 roku