Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf


M E C H A N I K A 

T E O R E T Y C Z N A 

I  S T O S O W A N A 

3  ­ 4 ,  22  (1984) 

D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  W  S T A N A C H  C Z Y S T E G O  ZGINANIA 

T O M A S Z  S A D O W S K I  ( L U B L I N ) 

1.  Wstęp 

Istotnym  zagadnieniem  z  punktu  widzenia  analizy  konstrukcji  jest  okreś lenie  moż li­

woś ci  utraty  p o ż ą d a n e go  kształt u  przez  element  konstrukcji  poddany  działaniu  obcią ż eń  

z e w n ę t r z n y c h.  T a  zmiana  kształt u  może  być  rozumiana  w  sensie  d o s ł o w n y m  (np.  wy­

p u k ł o ś ć  p o w ł o k ,  wybaczanie  p r ę t ów  ś ciskanych  itp.),  jak  r ó w n i e ż  i jako  przewę ż enia  po­

wstają ce  w  p r ę t a ch  i  płaskich  p r ó b k a c h  ze  stali  poddanych  rozcią ganiu. 

Zagadnienie  to  rozwią zywane  jest  na  gruncie  teorii  bifurkacji,  które j  podstawy  sfor­

m u ł o w a ł  H i l l  w  k o ń cu  lat  1950­tych,  a  w  pracy  [1]  d o k o n a ł  syntezy  dotychczas  uzyskanych 

w y n i k ó w . 

Wiele  prac  dotyczy  analizy  elementów  konstrukcyjnych  znajdują cych  się  w  płaskich 

stanach  n a p r ę ż eń  lub  odkształceń .  A u t o r z y  pracy  [2]  rozważ ają  zjawisko  bifurkacji  po­

wstają ce  w  płaskich  p r ó b a c h  rozcią gania  w  m a t e r i a ł a c h  sprę ż ystych  i  sprę ż ysto­plastycz­

nych.  W  zależ noś ci  od  p a r a m e t r ó w  charakteryzują cych  m a t e r i a ł  rozdwojenie  może  wy­

stą pić  w  d w ó c h  postaciach:  1)  w  postaci  geometrycznej  (diffuse  mode),  gdy  punkt  bifur­

kacji  wystą pi  dla  n a p r ę ż eń  niż szych  od  wywołują cych  maksymalne  obcią ż enie  p r ó b k i ; 

2)  w  postaci  zlokalizowanego  przewę ż enia  (localized  shear  mode),  gdy  m a t e r i a ł  p r ó b k i 

traci  statecznoś ć.  U z u p e ł n i e n i e m  [2] jest opracowanie  [3]  dotyczą ce  płaskich  p r ó b  ś ciskania, 

gdzie  bifurkacja  objawia  się  wygię ciem  p r ó b k i  (diffuse  mode). 

Problemem  rozdwojenia  w  przypadku  dwuosiowego  stanu  rozcią gania  cienkich  p r ó ­

bek  metalowych  wykonanych  z  m a t e r i a ł u  sztywno­plastycznego  ze  wzmocnieniem  zajmo­

wano  się  w  pracy  [4].  A u t o r z y  uogólnili  deformacyjną  teorię  plastycznoś ci  na  zakres 

d u ż y ch  o d k s z t a ł c e ń  przy  uwzglę dnieniu  hipotezy,  że  w  procesie  aktywnego  obcią ż enia  na 

powierzchni  płynię cia  pojawiają  się  n a r o ż a  [5].  D l a  przyję tego  m a t e r i a ł u  z  p o t ę g o w ym 

wzmocnieniem  zbudowali  oni  model  hypoelastyczny,  przy  wykorzystaniu  k t ó r e g o  okre­

ś lili  stan  obcią ż enia  charakteryzują cy  powstanie  zlokalizowanego  przewę ż enia  w  p r ó b c e . 

W  zakresie  z a g a d n i e ń  czystego  zginania  w  pracy  [6]  r o z w a ż o no  moż liwość  wystą pienia 

rozdwojenia  w  oparciu  o  dwa  modele  konstytutywne:  hypoelastyczny  [4]  i hyperelastyczny 

wynikają cy  ze  zwią zków  nieliniowej  sprę ż ystoś ci.  Zginana  p ł y t a  wykonana jest  z  m a t e r i a ł u 

sprę ż ysto­plastycznego  scharakteryzowanego  powyż ej  granicy  plastycznoś ci  krzywą  po­

tę gową.  D l a  tak  przyję tego  prawa  autor  analizuje  zjawisko  bifurkacji  zaznaczają c,  że  j u ż  

Przy  niewielkich  krzywiznach  zgię cia  w  pewnych  obszarach  konstrukcji  nastę puje  odcią­

ż enie,  tzn.  proces  obcią ż enia  konstrukcji  nie  jest  procesem  aktywnym. 



576  Т .  S A D O W S K I 

W  niniejszej  pracy  w  o d r ó ż n i e n iu  od  [6]  przyję to,  że  m a t e r i a ł  sprę ż ysto­plastyczny 

scharakteryzowany  jest  l i n i o w y m  wzmocnieniem,  spełniając  w  ten  s p o s ó b  wymagania 

aktywnego  obcią ż enia  konstrukcji.  R o z w a ż a n ia  przeprowadzono  dla  modelu  hypoela­

stycznego,  dla  k t ó r e g o  autorzy  [4]  dopuszczają  a l t e r n a t y w n ą  moż liwość  wprowadzenia 

innego  prawa  wzmocnienia  niż  p o t ę g o w e.  D l a  tak  poczynionych  założ eń  wyznaczono 

krzywizny  krytyczne  odpowiadają ce  pojawieniu  się  pierwszych  p u n k t ó w  bifurkacji  w  za­

leż noś ci  od  p a r a m e t r ó w  definiują cych  przyję ty  m a t e r i a ł :  m o d u ł u  Y o u n g a ,  granicy  plastycz­

noś ci  i  w s p ó ł c z y n n i k a  liniowego  wzmocnienia.  W  r o z w a ż a n ym  przypadku  zginania  pasma 

najpierw  pojawią  się  k r ó t k o f a l o w e  powierzchnie  rozdwojenia  w  postaci  zamarszczenia 

się  strefy  ś ciskanej.  Podobnie  do  schematu  wprowadzonego  w  [2]  podzielono  obszar  roz­

waż anej  konstrukcji  na  podobszary  w  zależ noś ci  od  tego,  czy  r ó w n a n i e  podstawowe  ma 

rozwią zanie  w  zakresie  eliptycznym,  czy  parabolicznym.  W  przypadku  gdy  współistnieją  

r ó ż ne  podobszary,  w y k r e ś l o no  linie  charakterystyczne.  Uzyskane  rezultaty  p o r ó w n a n o 

z  wynikami  pracy  [6]. 

2.  Sformułowanie  problemu 

2 . 1 .  K r y t e r i u m  d w o i s t o ś c i.  Z a ł ó ż m y,  że  położ enie  punktu  materialnego  ciała  jest  o k r e ś l o­

ne  przez  w s p ó ł r z ę d ne  konwekcyjnego  u k ł a d u  odniesienia.  W  konfiguracji  począ tkowej 

ciało  ma  obję tość  V0  i  p o w i e r z c h n i ę  F0,  a  w s p ó ł r z ę d ne  u k ł a d u  konwekcyjnego  oznaczymy 

XK,  jego  zaś  kontrawariantne  tensory  metryczne  GKL.  W  konfiguracji  aktualnej,  w  chwili 

t,  w s p ó ł r z ę d ne  tegoż  u k ł a d u  oznaczymy  x',  tensor  metryczny  cu,  a  obję tość  i  powierzchnię  

ciała  odpowiednio  przez  V  i  F. 

Z a k ł a d a m y ,  że  proces  deformacji  ciała  opisany  jest  parametrem  prostego  obcią ż enia 

lub  przemieszczenia  X, k t ó r e g o  w a r t o ś ć  w  szczególnym  przypadku  zależy  od  czasu.  W  c h w i l i 

przyję tej  za  p o c z ą t k o wą  na  czę ś ci  ciała  F^  działają  martwe  siły  powierzchniowe  TL(X,  X0) 

=   Л>  T(0)(Ż ))  a  na  czę ś ci  F&V)  dane jest pole  przemieszczeń  UK(X,  XQ)  =  X0  U^(X).  X0  ozna­

cza  tu  p o c z ą t k o wą  w a r t o ś ć  prostego  parametru  obcią ż enia  Т ^}(Х )  lub  przemieszczenia 

U^(X).  Zadane  obcią ż enia  i  przemieszczenia  z e w n ę t r z ne  na  F0  wywołują  w  r o z w a ż a n ym 

ciele  stan  n a p r ę ż e n i a,  k t ó r y  w  opisie  Lagrange'a  o k r e ś l a my  I  lub  II  tensorem  n a p r ę ż e n ia 

P i o l i ­ K i r c h h o f f a  odpowiednio  TiK(X),  SKL(X),  a  stan  o d k s z t a ł c e n i a  tensorem  Greena 

FKL(X).  Przyjmujemy,  że  w  trakcie  wzrostu  parametru  X  od  wartoś ci  0  do  X0  rozwią zanie 

w  n a p r ę ż e n i a ch  i  o d k s z t a ł c e n i a c h  jest  jednoznaczne.  Oznaczymy  je  symbolami  T'K(X), 

SKL(?.),  EKL(X)  i  nazwiemy  rozwią zaniem  fundamentalnym. 

W  zagadnieniu  bifurkacji  interesuje  nas,  czy  wzrost  deformacji  jest  opisany  jednoznacz­

nie.  Z a ł o ż y my  wię c,  że  parametr  X wzrasta  od  wartoś ci  X0  do  X0  +  Xdt.  Pocią ga  to  za  sobą  

wzrost  rozwią zania  fundamentalnego  o  wielkoś ci  vK,  (T
L)\  (SKL)'  i  (EKL)'.  Przyjmu­

jemy,  że  dla  r o z w a ż a n e go  stanu  deformacji  i  poziomu  n a p r ę ż eń  moż liwe  jest  wystą pienie 

r ó w n i e ż  innego  rozwią zania  przyrostowego,  k t ó r e  nazwiemy  bifurkacyjnym  i  oznaczymy 

(TL)',  (S* Ł )"  i  (EKLy.  W ó w c z a s  róż nice  p o m i ę d zy  tymi  r o z w i ą z a n i a mi  wyrażą  się  

z w i ą z k a m i: 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  577 

AvK =  vK­vK 
•  A  o 

ATL  =  (fLy­(TLy 
(2.1) 

4SKL = (sKLy­(sKLy,
  v  ; 

D l a  r o z w a ż a n e go  przyrostowego  problemu  brzegowego  m o ż e my  s f o r m u ł o w a ć  z a s a d ę  
prac  przygotowanych  w  poniż szej  postaci  [1]: 

fATLAVLdF=  J  (AŚ
KLAEKL  + S

KLAVMfKAV?!)dV,  (2.2) 

gdzie  AEKL  wyraża  s i ę : 

AEKL  = \(AVK<L  + AVL. K)+~0?KAVN,L+U«LAVN,K).  (2.3) 

' Z a s a d ę  (2.2)  m o ż e my  z a p i s a ć  posługując  się  wielkoś ciami  odniesionymi  do bazy  konwek­

cyjnej  w stanie  zdeformowanym  ciała  o powierzchni  bocznej F i obję toś ci  V.  Otrzymujemy 

w ó w c z a s : 

f.ApAvt4F­  j  (Aii3Adu  + iuAvnAAvnj)dV.  (2.4) 
F  V 

T' oraz »,  są odpowiednio  przyrostami  sił  powierzchniowych  i  prę dkoś cią  przemieszczeń. 

tiJ  jest  tensorem  n a p r ę ż eń  Kirchhoffa,  k t ó r e g o  składowe  znajdujemy  z  zależ noś ci: 

tiJ  =  X[KX{LSKL,  (2.5) 

waż nej  dla o ś r o d k ów  nieś ciś liwych.  Pochodna  konwekcyjna  tensora  Kirchhoffa  zwią zana 

jest  z  p o c h o d n ą  II  tensora  P i o l i ­ K i r c h h o f f a  wzorem: 

tiJ  = x\Kx>.LS
KL,  (2.6) 

a  tensor  prę dkoś ci  deformacji  dtJ  z tensorem EKL  zależ noś cią: 

da  ­  X*XhEKL.  (2.7) 

W  zwią zkach  (2.5),  (2.6)  i  (2.7)  x\K  oraz  X*  oznaczają  gradienty  deformacji. 

Jeż eli  do (2.4) wprowadzimy  zwią zek  konstytutywny  o  ogólnej  postaci: 

ł"  ­  BiMdu,  (2.8) 

gdzie  BUkl  charakteryzuje  m a t e r i a ł  w konfiguracji  aktualnej, a 

dli  =  y K j + W y . i ) ,  ( 2 ' 9 ) 

to  otrzymamy  f u n k c j o n a ł : 

F{X,Avn)  =  J  (B
iJk,Ad,jAdkl  + ł'

JAv„tlAvj)dV.  (2.10) 
v 

F u n k c j o n a ł  ten jest  dodatnio  o k r e ś l o ny  dla jednoznacznego  rozwią zania  r o z w a ż a n e go 

17  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84 



578  Т .  S A D O W S K I 

przyrostowego  problemu  brzegowego.  Jeś li  dla  pewnej  wartoś ci  krytycznej  Xkr  s p e ł n i o n e 

z o s t a n ą  warunki  zerowania  się  funkcjonału  F  oraz  jego  pierwszej  wariacji: 

F f A , ,  =  0 ,  (2.11) 

6F(XkT,Ain)  =  0,  (2.12) 

to  rozpatrywane  zagadnienie  wzrostu  deformacji  traci  j e d n o z n a c z n o ś ć,  a  tym  samym 

zwią zki  (2.11)  i  (2.12)  okreś lają  punkt  bifurkacji.  Avn  oznacza  tu  funkcję  własną  odpowia­

dają cą  lkr. 

2.2.  C h a r a k t e r y s t y k a  m a t e r i a ł u .  R o z w a ż a n ia  dotyczą  konstrukcji  wykonanych  z  nieś ci­

ś liwych  m a t e r i a ł ó w  plastycznych  scharakteryzowanych  liniowy m  wzmocnieniem  powyż ej 

granicy  plastycznoś ci.  Najogólniejsza  p o s t a ć  r ó w n a n i a  konstytutywnego  dla  o ś r o d ka  cią­

głego  w  konfiguracji  odkształconej  wyraża  się  zwią zkiem  dewiatorowym: 

(t'ijfJ  =  Aimdkl,  (2.13) 

gdzie  't'iJ)VJ  jest  p o c h o d n ą  Jaumanna  dewiatora  n a p r ę ż e n ia  Kirchhoffa.  A ' J K L  jest  tenso­

rem  charakteryzują cym  własnoś ci  m a t e r i a ł u  w  stanie  deformacji,  k t ó r y  przyjmujemy  w  na­

stę pują cej  postaci  [4]: 

A ™  =  A [ — ( c V ' + c ' V ' ) ­ — ( i ­ A \ ­ Ł ! ^ 

[ 2  2  \  h j  al 
(2.14) 

2 ­ 2 

gdzie  h  =  y­Łs>  h  —  y ­ ^ "  a  s ^  s k ł a d o w y m i  dewiatora  n a p r ę ż e n ia  Cauchyego,  nato­

miast  Es  i  E,  odpowiednio  siecznym  i  stycznym  m o d u ł e m  wzmocnienia,  k t ó r e  otrzymu­

jemy  z  krzywej  n a p r ę ż e n i e ­ o d k s z t a ł c e n ie  dla  jednoosiowego  rozcią gania  w  punkcie  okre­

ś lonym  zależ noś cią: 

tĄ  =  ^­{oWi),  (2.15) 

gdzie  а \  są  wartoś ciami  głównymi  dewiatora  n a p r ę ż eń  Cauchyego. 

Zwią zek  konstytutywny  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć  wzorem  r ó w n o w a ż n ym  ze  wzorem 

(2.13),  w p r o w a d z a j ą c  p o c h o d n ą  konwekcyjną  tensora  n a p r ę ż eń  K i r c h h o f f a : 

tij  =  B
uudkl+pc

lJ,  (2.16) 

gdzie  tensor  B'ikl  charakteryzuje  własnoś ci  m a t e r i a ł u  [7]: 

Bmi  =  Auki_tkjcu_tkicJi^  (2.17) 

a p jest  prę dkoś cią  zmian  ciś nienia  hydrostatycznego. 

Po  wprowadzeniu  (2.16)  do  zasady  prac  przygotowanych  (2.4)  otrzymujemy  funkcjonał 

o  postaci  (2.10)  przy  uwzglę dnieniu,  że  dla  m a t e r i a ł ó w  nieś ciś liwych  zachodzi: 

cuAdu  =  Av[t  =  0.  (2.18) 

Analizowane  elementy  konstrukcyjne  wykonane  są  z  m a t e r i a ł ó w ,  k t ó r e  m o ż na  b y ł o 

o p i s a ć  jak  w  [4]  u o g ó l n i o n ą  na  duże  o d k s z t a ł c e n i a  deformacyjną  teorią  plastycznoś ci, 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  579 

dla  której  przyję to  w  stanie  jednoosiowym  n a p r ę ż eń  model  sprę ż ysto­plastyczny  z  l i n i o ­

wym  wzmocnieniem: 

2/u 

2fi  fi 

dla  ae  <  o% 

dla  <те  >  (ty 

(2.19) 

gdzie  2/л jest  m o d u ł e m  Y o u n g a ,  2/л  m o d u ł e m  stycznym  w  strefie  plastycznej,  ay  —  granicą  

plastycznoś ci.  Stąd  w  prosty  s p o s ó b  otrzymujemy  wyraż enia  na  Es  i  E,: 

E,  =  2fi 

2fi 

oraz 

12/г  dla  cre  <  o*y 

'  \2Jl  dla  o*e  >  ay 

N a  rys.  1  pokazano  s p o s ó b  wyznaczania  m o d u ł ó w  Es  i  Et. 

dla  o*e  ^  ay 

dla  o­,.  >  o\,  (2.20). 

(2.21) 

Rys.  1.  Wkres  naprę ż enie­odksztalcenie  pokazują cy  sposób  wyznaczania  modułu  stycznego  E,  i  modułu 
siecznego  E,  w  punkcie  A 

3.  Stan  naprę ż enia  pasma  płytowego  znajdują cego  się  w  warunkach  czystego  zginania 

M o ż l i we  są  dwa  podejś cia  do  przeprowadzenia  analizy  stanu  deformacji  pasma.  Pierw­

sze  z  nich  o k r e ś la  plastyczne  deformacje  na  bazie  zwią zków  liniowej  sprę ż ystoś ci  przez 

wprowadzenie  logarytmicznej  miary  odkształceń.  Drugie  podejś cie  zaproponowane  przez 

Sawczuka  i  M i e l n i c z u k a  [8]  oparte  z o s t a ł o  na  nieliniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  duż ych  defor­

macji  przez  uwzglę dnienie  zmian  konfiguracji  o d k s z t a ł c o n e g o  pasma.  W  pracy  wykorzy­

stamy  pierwszy  ze  s p o s o b ó w ,  a  uzyskane  w y n i k i  p o r ó w n a m y  z  otrzymanymi  w  [8]. 

R o z w a ż my  w  warunkach  p ł a s k i e g o  stanu  odkształcenia  p ł y t ę  o  p o c z ą t k o w ej  długoś ci 

i  wysokoś ci  h0  w y k o n a n ą  z m a t e r i a ł u  nieś ciś liwego,  izotropowego,  sprę ż ysto­plastycznego, 

17« 



5 8 0  Т .  S A D O W S K I 

p o d d a n ą  stanowi  czystego  zginania  j a k  na  rys.  2.  Deformację  analizowanej  k o n ­

strukcji  opisujemy  w  układzie  w s p ó ł r z ę d n y ch  walcowych,  k t ó r y  jest  zbież ny  w  tym  przy­

padku  z  kierunkami  głównymi  odkształceń  i  n a p r ę ż e ń.  W a r t o ś ci  główne  wzdłuż  promienia 

r  oznaczymy  indeksem  1,  a  wzdłuż  kierunku  в  indeksem  2. 

N i e c h  x  oznacza  krzywiznę  w ł ó k n a  oboję tnego  o  począ tkowej  długoś ci  / 0 .  W ó w c z a s 
wydłuż enia  w  dowolnym  punkcie  materialnym  oddalonym  o  wielkość  r  od  p o c z ą t ku 
u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y ch  bę dą  r ó w n e : 

Aj  =  ­ i ­ ,  X2  —
  R X ­  (3.1) 

G ł ó w n e  wartoś ci  o d k s z t a ł c e ń  wyznaczymy  w p r o w a d z a j ą c  logarytmiczną  m i a r ę  o d ­

kształceń,  k t ó r ą  najczę ś ciej  stosuje  się  przy  opisie  p r ó b  i  testów  metalurgicznych  [1], 

w  trakcie  k t ó r y c h  m a t e r i a ł  deformuje  się  w  ten  s p o s ó b ,  że  kierunki  główne  osadzone  są  

w  materiale  i  deformują  się  wraz  z  n i m  w  trakcie  całego  procesu  obcią ż ania  [4]: 

e a  =  l n 4 ,  a  ==  1,  2.  (3.2) 

D l a  m a t e r i a ł ó w  izotropowych  nieś ciś liwych  gę stość  energii  dopełniają cej  wyraża  się  

zależ noś cią: 

Wc  =  4 ^ П 0 ' ,  (3.3) 

gdzie  ILy  —  drugi  niezmiennik  wartoś ci  głównych  dewiatora  n a p r ę ż eń  Cauchyego.  Stąd 

uzyskujemy  r ó w n a n i e  konstytutywne: 

e '  =  ^  =  ­ ^ ­  / = 1 , 2 , 3 .  (3.4) 

a\  jest  tutaj  wartoś cią  główną  dewiatora  n a p r ę ż eń  Cauchyego. 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  581 

W  p ł a s k i m  stanic  odkształcenia  e 3  =  0,  stąd  z  (3.4)  otrzymujemy,  ż e: 

^ 3  =  ­ i y ­ ł .  (3.5) 

i  wówczas  z  (2.15)  i  (3.5) mamy  r ó w n o w a ż ne  wyraż enie  na  ac: 

0.  = Щ­\<*х ­О г \­  (3.6) 

D o w o l n y  element  płyty  znajduje  się w stanie  r ó w n o w a g i ,  k t ó r y  sprowadza  się do  r ó w ­

nania: 

* L _ * Z * = 0 .  (3.7) 
ar  r 

W p r o w a d z a j ą c  (3.2 ),  (3.4),  (3.5) i  (2.15)  do  (3.7)  uzyskujemy: 

l i  f f e f f P p  (3.8) 
dla  strefy  sprę ż ystej,  oraz: 

* Ш  = ^ l n * r ± ( l ­ A )  ( 3 . 9 ) 
d(\nxr)  Ъ ту  \  fi/ 

dla  strefy  plastycznej.  Z n a k  minus  w (3.9) obowią zuje  dla strefy  ś ciskanej,  znak  plus za ś  

dla  strefy  rozcią ganej.  xy  jest  granicą  plastycznoś ci  przy  czystym  ś cinaniu. 

P o  s c a ł k o w a n i u  (3.8)  dostajemy: 

=  ^ ­ ( h w ) 2  + c  dla  | l n * r K ^ ­  (3.10) 

dla  obszaru  sprę ż ystego,  natomiast  po  s c a ł k o w a n i u  (3.9)  otrzymujemy: 

p ­ =  ^Ł(\nXr)
2±ll­^­)lnxr+d  dla  | l n x r |  Ł  4̂   (3.11) 

2 Ту  З ту  \  /и  I  Ą fl 

Zależ ność  (3.11)  dotyczy  plastycznego  obszaru  konstrukcji.  Stałe  c a ł k o w e  с i d w  p o w y ż ­

szych  wzorach znajdujemy  z  w a r u n k ó w  brzegowych. 

Oznaczmy  promienie  włókien  zewnę trznych  przez R+  i R~  (rys.  2 ) . Z warunku  cią głoś ci 

n a p r ę ż eń  ffj  oraz  ich zanikania  na  powierzchniach  nieobcią ż onych  mamy: 

**•  =  r±=r.  (3.12) 

Z  warunku  nieś ciś liwoś ci  m a t e r i a ł u  uzyskujemy  drugą  zależ ność  p o m i ę d zy  R+  i  R~: 

(R+)2­(R­)2  =  —fc;  (3.13) 



582  Т .  S A D O W S K I 

D w a  r ó w n a n i a  (3.12)  i  (3.13)  po  rozwią zaniu  dają  wzory  do  wyznaczania  promieni  w ł ó ­

kien  z e w n ę t r z n y c h: 

R+  =  —  { * Л 0 + [ ( * Л о )
2  +  1 ] 1 / 2 } 1 / 2 , 

я ­  =  —{[(х/ю У+л ]1!2­^}1'2. 
X 

(3.14) 

Umoż liwiają  one  sporzą dzenie  wykresu  zmian  gruboś ci  w  zależ noś ci  od  stanu  deformacji 

(rys.  3).  Przyję to,  że  p o c z ą t k o wa  g r u b o ś ć  płyty  wynosi  10  cm.  Podobne  zagadnienie  zgi­

nanego  pasma  płytowego  wykonanego  z  tworzywa  hipersprę ż ysto­plastycznego,  ale  przy 

zastosowaniu  drugiego  sposobu  podejś cia  r o z w a ż a no  w  [8].  A u t o r z y  uzyskali  zbliż one 

zmiany  gruboś ci  pasma. 

] 
n 

n 
У  

o 
a 

n 
/ 

6 

2  3 

• x [ l / m ] 

" o  1 

R y s .  3.  Z m i a n y  g r u b o ś ci  p a s m a  w  c i ą gu  procesu  z g i n a n i a 

Znając  wartoś ci  R+  i  R~  dla  dowolnego  x  m o ż e my  wyznaczyć  stałe  całkowe  с  i  d,  okre­
>sób  pole  n a p r ę ż eń  wys*"""'"­'  • "  ­• • »'<••  .к  i  . . . . . . 

__ij  krzywizny  x,  stałych  с  

Oy,  oraz  od  począ tkowej  wysokoś ci  h0: 

voiuego  ж  m o ż e my  w y z n u c z y e  siaie  t a m y w e  t  i  и ,  и м с­

ś lając  w  ten  s p o s ó b  pole  n a p r ę ż eń  wystę pują ce  w  stanie  obcią ż enia  konstrukcji.  Zależy 
ono  od  zmiennej  krzywizny  x,  stałych  charakteryzują cych  m a t e r i a ł  konstrukcji,  tzn.  fi,  Ji, 

atlcnwpi  w v s n k n s n i  '. 

=  ^ [ 1 п к /Т
2 ­ ^ [ 1 п « 7 Н2  + 

a2  =  ^[lnxr]
2­­^­[\nxR+]2  +  ­~/ilnxr  + 

(3.15a) 

1  Ъ х у  



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  583 

dla 

3ty 

~4ju 
^  \r\xr ̂   0  strefa  r o z c i ą g a n a, 

0  >  Inxr  ^ 
З т ,, 

"47 
strefa  ś ciskana 

oraz 

4,w 
<r,  =  ^ ­ ­ [ ( I n w ) 2 ­ ( l n ^ + ) 2 ]  + 

+ 2 T J I ­  ^­j  [±\nxr­\nxR +], 

4{i 
(3.15b) 

«2  =  ­^[(lnxr)2­(lnxR)2]  + 

+  2 T ,  ± 1 1 ­ i *  +   4  " 

dla 

3  ry 

З т ., 

l n * r + (  1 ­ ­ ^ ) [ ± 1 ­ 1 п к Л+ ] . 
1"/  ) 

lnxR+  ^  \nxr  Js  strefa  rozcią gana, 

З т  
.  ­  >  l n w  ^  \xvxR  strefa  ś ciskana. 
4/" 

Zależ noś ci  (3.15a)  odnoszą  się do  obszaru  sprę ż ystego,  natomiast  (3.15b)  do  obszaru 

plastycznego.  K i l k a  p r z y k ł a d o w y c h  wykresów  n a p r ę ż eń  s p o r z ą d z o no  w pracy [9]. 

W  uzyskanym  rozwią zaniu  warunek  plastycznego  obcią ż enia  w y r a ż a  się wzorem: 

| / 3  ,  4 | / 3 ^  . . .  ii  ^  
±—\at­o2\  =  ­  '

  r  | | l n x r | |  >  <T„  (3.16) 

bowiem  r o z w a ż a n ia  obejmują  m a t e r i a ł  sprę ż ysto­plastyczny.  W  monografii  [10]  podano 

ogólną  teorię  zginanego  pasma  płytowego  wykonanego  z  m a t e r i a ł u  idealnie  plastycznego, 

dla  k t ó r e g o  odpowiednikiem  (3.16)  jest: 

JL—\ffl­a2\  =  oy  (3.17) 

Stąd  po uwzglę dnieniu  (3.17)  w warunku  r ó w n o w a g i  (3.7)  uzyskano  wyraż enia  na a,  i  a2, 

k t ó r e  nie zależą  od x  i są funkcjami  l n r w pierwszej  p o t ę d z e. 

Warto  zwrócić  uwagę  na  fakt,  że w  r o z w a ż a n ym  zagadnieniu  położ enie  osi  oboję tnej 

o k r e ś l a my  jako  ś rednią  arytmetyczną  promieni  włókien  skrajnych  R+  i  R~,  natomiast 

w  analizie  Sawczuka i  M i e l n i c z u k a  [8] oś o b o j ę t na  nie  pokrywa  się z osią  symetrii  pasma, 

a  p r z e s u n i ę ta  jest  nieco  k u ś r o d k o wi  krzywizny.  O p r ó c z  osi oboję tnej  m o ż e my  wyróż nić  

jeszcze  jedno  w ł ó k n o  scharakteryzowane  zerowaniem  się  intensywnoś ci  n a p r ę ż eń  ae. 

Jest  ono poddane  wszechstronnemu  r ó w n o m i e r n e m u  ś ciskaniu,  a  p r o m i e ń  jego  wyzna­

czamy  z  zależ noś ci  Q =  \/R+R~.  W ł ó k n o  to  w  stosunku  do  osi  oboję tnej  p r z e s u n i ę te 
jest  nieco  k u  ś r o d k o wi  krzywizny. 

file:///r/xr
file:///xvxR


584  Т .  S A D O W S K I 

4.  Analiza  bifurkacji 

4 . 1 .  S f o r m u ł o w a n i e  podstawowych  z a l e ż n o ś c i.  W  interesują cym  nas  zagadnieniu  czystego 

zginania  parametrem  Л, wraz  z  k t ó r y m  narastają  obcią ż enia  bę dzie  krzywizna  w ł ó k n a 

o b o j ę t n e go  x.  W ó w c z a s  dla  p ł a s k i e g o  stanu  o d k s z t a ł c e ń  w  krzywoliniowym  u k ł a d z i e 
odniesienia  funkcjonał  (2.10)  przyjmuje  p o s t a ć : 

к / о   R* 

F~(x,Avt)  =  Jj  (B^Ad^Adya  + t^Av^Av^rdrdO.  (4.1) 
0  R­

Wystę pują ce  w  (4.1) wielkoś ci  są  składowymi  fizycznymi  t e n s o r ó w .  S k ł a d o w e  fizyczne 

Avu  we współrzę dnych  walcowych  są  nastę pują ce: 

Av2yl  = 

8Avi 

dr 

8Av2 
dr 

.  1  dAv,  Av2 
А оиг

  L 

r  00  r 
.  1  8Av2  Av, 

Al>Z.2  =  +  L 

/•  80  r 
D l a  m a t e r i a ł ó w  nieś ciś liwych  spełniony  jest  warunek: 

8  .  .  .  8Av2  n 

(4.2) 

(4.3) 

Z a k ł a d a m y ,  że istnieje  potencjał,  k t ó r y  okreś la  prę dkoś ci  na podstawie  nastę pują cych 

zależ noś ci: 
1  8Ф .  8Ф  

A V l  =  ­T~8T>  A v 2 = " 8 r ­
(4.4) 

Przez  wprowadzenie  pote nc ja ł u  upraszczamy  rozwią zanie  zagadnienia,  bowiem  w  funkcjo­
nale  (4.1)  wystą pi  jedna  nieznana  funkcja  Ф . 

S k ł a d o w e  tensora  B"Pyó  wyznaczymy  posługując  się (2.17),  (2.14),  (2.20)  i  (2.21): 

В  n i i  _ 

в  
2222  _  ­2a2; 

В  1122 

(4.5) 

В1  1212  R
2 1 1 2

  = f l 1 2 2 1 —  R2121 B'  B2  cr,+o­2 
2  2 

P o  wprowadzeniu  (4.2),  (4.4),  (4.5) do  funkcjonału  bifurkacji  (4.1)  otrzymujemy: 

i2 
x/ 0  R* 

s,  Г  Г  [/ „,  J  1  8Ф  i  З 2 Ф  г  

о  д ­  L  4  ' 

i  , т  ч /   i  а
2Ф  З 2 Ф  i  З Ф  \ 2 

+  T ( A _ f f l _ ^ _ ^ _ + ^ _ 7 . _ j  +  (4.6) 

а
2Ф   i  а

2 Ф  i  Й Ф  
/•2  а е 2 +  г  



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  585 

Zagadnienie  pojawiania  się  bifurkacji  rozwią ż emy  dla  w a r u n k ó w  brzegowych,  gdy 

moment  wzglę dem  w ł ó k n a  oboję tnego  na  obu  k o ń c a ch  płyty  kontrolowany  jest  w  cią gu 

procesu  deformacji.  Odpowiada  to  nastę pują cym  warunkom  brzegowym: 

AT*  =  0  dla  0 =  0,  tcl0;  a  =  1, 2  (4.7) 

gdzie  Ta  oznacza  wzrost  fizycznych  składowyc h  w e k t o r ó w  sił  powierzchniowych.  Ponadto, 
p o n i e w a ż  p o z o s t a ł e  powierzchnie  wyznaczone  promieniami  R~  i R+  są wolne  od  obcią ż eń, 
zatem: 

z l r a  =  0  d l a  r  =  R~,R+:  a  = 1,2.  (4.8) 

D l a  w y r ó ż n i o n y ch  w a r u n k ó w  brzegowych  dowolny  potencjał  Ф m o ż na  przedstawić  w  naj­
ogólniejszej  postaci  za p o m o c ą  rozwinię cia  w szeregi  trygonometryczne  Fouriera,  co umo­
ż liwi  oddzielne  rozpatrywanie  powierzchni  niestabilnoś ci  scharakteryzowanych  d o w o l n ą  
wartoś cią  n: 

I  2л п в  
Ф (г ,0)  =  Фс О(г )+  >  I 0 c „ ( r ) c o s 

2 v  'l  xlo 
+  0 s n (/­)sin 

/ 2ш 0  \ 

\  *lo I 
(4.9) 

dla  n  =  1, 2,  3  а  Фс п(г ),  <Psn(r) są  cią głymi  róż niczkowalnymi  funkcjami  r.  Jeś li  (4.9) 
wprowadzimy  do  funkcjonału  (4.6) i  scałkujemy  wzglę dem  0, to  F(x,  Ф ) m o ż e my  zapisać  
w  postaci: 

F(x,  Ф ) =  F0(x,  Ф с 0) +  A J T  [Fn(x,  Ф5п) + Р „(х ,  Фс п)],  (4.10) 

gdzie  F„ dane  jest  zależ noś cią: 

Ё „(х ,Ф )  =  j  j ( 2 / z ­ ( T , ­ c r 2 ) 
2т сл  Ф  2mi  1  й Ф  

*/0  xl0  dr 

+  T ( « ­
,  72т г и \2  Ф  й2Ф  1 ^ Ф 12 

n  =  1, 2, 3  ... 

( 4 . П ) 

Poszukiwana  krzywizna  krytyczna  pierwszego  punktu  rozdwojenia  dana  jest  przez 
najmniejszą  w a r t o ś ć  własną  k a ż d e go  z  funkcjonałów  Fn,  dla wszystkich  wartoś ci  n.  Odpo­
wiadają ca  moda  w ł a s n a  w y r a ż o na  jest  przez  Ф (г )с о &(2­к п д /xl0)  lub Ф(г )8т(2т с я 0/х /о). 

4 . 2 .  O k r e ś l e n ie  o b s z a r ó w  r o z w i ą z a n ia  równania  r ó ż n i c z k o w e g o.  W  podobny  s p o s ó b  j a k  W  [2] 
przeprowadzimy  klasyfikację  o b s z a r ó w  rozwią zania  r ó w n a n i a  bifurkacji,  dla  m a t e r i a ł ó w 
opisanych  zwią zkiem  konstytutywnym  (2.13).  Rozdwojenie  nastą pi,  gdy zostaną  s p e ł n i o n e 
dwa  w a r u n k i : 

F(xkt,  Ф)  =  0, 

<Щ хк �,Ф )  =  0. 

(4.12) 

(4.13) 



586  Т .  S A D O W S K I 

W  przypadku  niejednorodnego  przedbifurkacyjnego  pola  naprę ż eń  wykorzystanie  wa­

runku  (4.13)  przy  uwzglę dnieniu  (4.6) prowadzi  do  r ó w n a n i a  E u l e r a : 

8*Ф  ­  1  дАФ  ­  1  а 4Ф  
(h + a . ­ a ^ ^ ^ h ­ h ^ ^ ^ ­ V ^ ­ a ^ a ^ ­ ^ ­ ^ ^ Q m  =  0  (4.14) 

(4.14)  jest  l i n i o w y m  c z ą s t k o w ym  r ó w n a n i e m  r ó ż n i c z k o w ym  czwartego  rzę du  wzglę dem 

p o t e n c j a ł u  Ф (г,0).  С >[Ф ] stanowi  tu  operator  r ó ż n i c z k o wy  trzeciego  rzę du,  k t ó r e g o  nie 

bę dziemy  wyszczególniali.  W p r o w a d z a j ą c  charakterystyki  postaci  cp(r, 0) =  с  m o ż e my 

dla  (4.14)  n a p i s a ć  r ó w n a n i e  charakterystyczne: 

Ф +<Г г ­^)^г  +2(2h­h)jr^^Hh­ol+02)^^  ­  0 .  (4.15) 

Jeś li  przejdziemy z postaci  u w i k ł a n e j  charakterystyki  cp(r, 0)  =  0 do postaci jawnej 0  = /(/• )­

to  p o c h o d n ą  tej funkcji  m o ż e my  w y r a z i ć : 

i  w ó w c z a s  otrzymujemy  r ó w n a n i e  charakterystyczne  (4.15)  w  formie: 

(fi+<xt­ cr2) (О У  + 2(2h  ­  h) (в ')
2 + (fi­  (Xt+o2)  =  0.  (4.17) 

G d y  (4.17)  ma  pierwiastki  rzeczywiste,  m o ż e my  z b u d o w a ć  potencjał  Ф ,  k t ó r y  spełnia 

(4.14)  i ma cią głe  pochodne  drugiego  rzę du  wzdłuż  charakterystyk.  Klasyfikację  o b s z a r ó w 

rozwią zania  r ó w n a n i a  róż niczkowego  (4.14)  dokonamy  w p r o w a d z a j ą c  okreś lenia  stoso­

wane  w  analizie  u k ł a d ó w  r ó w n a ń  czą stkowych.  Mianowicie  punkt  pasma  płytowego 

znajduje  się w  obszarze  eliptycznym,  jeż eli  (4.17)  nie  ma  p i e r w i a s t k ó w  rzeczywistych. 

Jeż eli  (4.17)  ma dwa lub cztery  pierwiastki  rzeczywiste,  to  r o z w a ż a ny  punkt  znajduje się  

odpowiednio  w  obszarze  parabolicznym  lub  hiperbolicznym. 

W  przypadku  m a t e r i a ł u  sprę ż ysto­plastycznego  z  liniowym  wzmocnieniem  wystę pują  

tylko  dwa obszary  w  p ł y c i e :  eliptyczny  i  paraboliczny,  podczas  gdy dla m a t e r i a ł u  scha­

rakteryzowanego  krzywą  potę gową  wystą pił  r ó w n i e ż  i  obszar  hiperboliczny  [6]. 

Obszar  eliptyczny.  R ó w n a n i e  (4.17)  nie ma  p i e r w i a s t k ó w  rzeczywistych,  co  r ó w n o w a ż ne 

jest  w a r u n k a m i : 

­ 2 ( 2 A ­ A ) ± | / J <  0  (4.18) 

lub  w  szczegółowej  postaci: 

­ ^ \ 0 l ­ o 2 \ + 2 a y ( l ­ Ł ) ± 

| / L i / 3  , . 7 7  ? \ ] \ _ ? , „ 1 ^ Ж Г :~  ( 4 1 9 ) 
±1/1  ­  v ^ ­ ^ ' + M 1  w  ­ T ^ ­ ^ + T I 2 

D l a  m a t e r i a ł u  o charakterystykach ц  =  0,1/*  =  1,05 • 104 M N / m 2  i ay  =  4,2  • 10
2  M N / m 2 

obszar  eliptyczny  zawiera  się w  granicach: 

llnxrj  <  0,5.  (4.20) 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  587 

Obszar  paraboliczny.  R ó w n a n i e  (4.17)  ma  dwa  pierwiastki  rzeczywiste  gdy: 

Vi 2 
>  0  strefa  ś ciskana 

strefa  rozcią gana. 

We  wzorach  (4.19)  i  (4.21)  znak  plus  dotyczy  strefy  ś ciskanej,  minus  strefy  rozcią ganej. 

D l a  m a t e r i a ł u  o  charakterystykach  Jl =  0,1  /л  =  1,05  • 10*  M N / m 2  i  ay  =  4,2­  10
2 

M N / m 2  m o ż e my  okreś lić  obszar  paraboliczny: 

\Ы х г \ ]  >  0,5.  (4.22) 

4 . 3 .  C h a r a k t e r y s t y k i  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go  b i f u r k a c j i .  R ó w n a n i a  charakterystyk  dla  (4.17) 

są  nastę pują ce: 

­  ± У   h­(a2­al) 

Stąd  dla  przyję tego  m a t e r i a ł u  otrzymujemy: 

h ­ 2 h ± V r i h ­ 2 h ) 2  ­  (h)2  + (<r2 ­  a,)
2  •  

­^­\<y,­<s2\+2ay 

2 

+ 

1 

2jjL  I­I) 
3  /  ,2  9 

4  K ­ c r 2 ) ­ + ­ 4 
^ , « , ­ « , , ­ ( , ­ 1 

7  p t  ­<r 2  V 
(4.24) 

d l n w 

W  przypadku  m a t e r i a ł u  ]ł  =  0,1/л  =  1,05  • 10 4  M N / m 2  i  granicy  plastycznoś ci  o y = 

=  4,2­  10 2  M N / m 2  naszkicowano  na  rys.  4  k i l k a  reprezentatywnych  charakterystyk.  Są  

one  w  strefie  rozcią ganej  styczne  do  granicy  E—P,  natomiast  w  strefie  ś ciskanej  prosto­

padłe. 

W  p r z y k ł a d z i e  podanym  w  pracy  [6]  p ł y t a  podzielona  została  na  trzy  podobszary, 

przy  czym  obszar  hiperboliczny wystę puje  mię dzy  parabolicznym  i  eliptycznym.  Charak­

terystyki  w  strefie  rozcią ganej  są  p r o s t o p a d ł e  do  granicy  H—E,  natomiast  w  strefie  ś ci­

skanej  styczne. 

P o d s t a w o w ą  własnoś cią  charakterystyk  w  omawianym  zagadnieniu  jest  ich  wystę­

powanie  po  osią gnię ciu  pierwszego  punktu  bifurkacji.  T o  stwierdzenie  m o ż na  wyrazić  

n a s t ę p u j ą c o:  jeż eli  w  pewnym  stanie  deformacji  o k r e ś l o n ym  przez  krzywiznę  x,  czę ść  

ciała  znajduje  się  w  obszarze  parabolicznym,  wtedy  istnieje  przynajmniej  jeden  punkt 

rozdwojenia  dla  xkI  ^  x.  Z o s t a ł o  ono  dowiedzione  w  [6].  Podobne  stwierdzenie  podano 

i  udowodniono  w  pracy  [11]  dla  przypadku  jednorodnego  przedbifurkacyjnego  pola  na­

prę ż eń. 



588  Т .  S A D O W S K I 

A u t o r z y  pracy  [2]  badając  zjawisko  rozdwojenia  w  płaskich  p r ó b a c h  rozcią gania  uzy­

skali  w  przypadku  postaci  geometrycznej  (diffuse  mode),  podobnie  jak  w  niniejszej  pracy 

podział  obszaru  rozwią zania  podstawowego  r ó w n a n i a  bifurkacji  na  dwie  czę ś ci:  elip­

tyczną  i  paraboliczną.  W  analizowanym  przez  nich  przypadku  bifurkacja  jest  moż liwa, 

gdy  przechodzimy  z  obszaru  eliptycznego  do  parabolicznego,  a  granica  mię dzy  tymi  ob­

szarami  jest  miejscem  akumulacji  p u n k t ó w  wartoś ci  własnych. 

I In Ж Г  

R y s .  4.  K r z y w e  charakterystyczne  o r a z  o b s z a r y  r o z w i ą z a n ia  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go 

4 . 4 .  K r ó t k o f a l o w e  powierzchnie  n i e s t a b i l n o ś c i.  Jak  stwierdzono  w paragrafie 4.1  moda  w ł a s n a 

w y r a ż o na  jest  w  formie  Ф (г )с о $(2т ;п 0  jxl0)  lub  0(r)sin(2rc«O/p</ o ).  D l a  k r ó t k i c h  długoś ci 

fal,  tzn.  n  ­*  o c ,  krzywiznę  krytyczną  xKr,  jak  również  i  a s y m p t o t y c z n ą  formę  mody 

własnej  m o ż na  wyrazić  analitycznie. 

Wariacyjna  forma  r ó w n a n i a  bifurkacji  o d p o w i a d a j ą ca  parametrowi  n  jest  postaci 

6F„  =  0,  gdzie  F„  dane  jest  przez  (4.11).  Stosując  podstawienie  x  =  lnxr  otrzymujemy 

nastę pują ce  r ó w n a n i e  E ul e ra : 

[n\h­  a,  + <r2) + 0 ( / r ) ] Ф + 0(n
2)^­+  [2n2(h'<­2h) + 

й2Ф   (13Ф   ,с 1*Ф  
(4.25) 

+ o ( i ) ] ^ + o ( i ) ^ t  ­ *h 5 F­ ­ °> 

wraz  z  warunkami  brzegowymi: 

й Ф   й 2Ф  

о Ф  

0 ( « 2 ) Ф + [n2 ( ­  4A + h + <r,  +  a2)  + 0(1)] ­ —  + 
(4.26) 

с Р Ф  

dx2 

dla  x  =  x+  =  l n * R +  i  x  =  X~  =  \nxR 

с !3ф  
+  0 ( l ) ^  +  [/i +  c r 1 ­ . 2 ] ^ r  =  0, 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  589 

D l a  duż ych  wartoś ci  n  Ф (х )  przyjmuje  a s y m p t o t y c z n ą  reprezentację: 

Ф (х )  = Aexp[nJfj(x)+  ...  +nf1(x)+f0(x)  + n­
1f_1(x)+  •••]•  (4.27) 

Z  r ó w n a n i a  Eulera  i  w a r u n k ó w  brzegowych  grupując  wyraż enia  z tymi  samymi  p o t ę ­

gami  n dochodzimy  do wniosku,  że  dla j  > 1 fj(x)  == 0, natomiast  dla j  =  1  s p e ł n i a : 

С Н ­Щ + <г2)+2(1­т 1Щ
  + ( ] r +  ffi­FF2)(fx)  =  « •  (4­28) 

Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (4.25)  spełniają ce  warunki  brzegowe  (4.26)  m o ż na  przedstawić  

dla  duż ych  wartoś ci  n  n a s t ę p u j ą c o: 

Ф (х )  =  Aexp[ń fla(x)]+Bexp[nflb(x)],  (4.29) 

gdzie fla(x)  i flb(x)  są dwoma  rozwią zaniami  (4.28).  W r o z w a ż a n ym  zagadnieniu  funkcja 

Ф (х )  musi  być  jednoznacznie  ograniczona  dla  wszystkich  wartoś ci  n.  Pocią ga  to za  sobą  

spełnienie  warunku  R e [/i  (л ;)]  <  0.  G d y całe  pasmo  płytowe  znajduje  się w  obszarze 

eliptycznym,  nie mamy  p i e r w i a s t k ó w  rzeczywistych  i  rozwią zania  (4.28)  czynią  wówczas 

z a d o ś ć: 

R e [ 4 L l< 0 .  (4.30) 
dx 

D o  dalszych  r o z w a ż ań  wprowadzimy  s k r ó c o n y  zapis: 

df\a(x­)  .  djlb(x~) 

dbc  ­ * 7 ~  =  6b­  ( 4 3 1 ) 

Z  w a r u n k ó w  brzegowych  (4.26)  dla  x  = x~,  uwzglę dniając  (4.29)  i  (4.31),  otrzymujemy: 

(.1+QDA  +  (1+QDB  =  0, 

(4.32) 
[(h­4h  + cr2)Qa + Vi­a2)Ql]A  +  [(h­4h  + o­2)Qb + (h­o2)o

3

B]B  = 0. 
Zerowanie  się wyznacznika  podstawowego  u k ł a d u  (4.32)  zapewnia  istnienie  rozwią zań  
niezerowych: 

(h­4h  + a2) (1 ­  6 A Q„) + (fi ­  a2) (o
2 + Q

2

B  + Q„ O„ + Q
2

 Q

2

B)  =  0.  (4.33) 

Z  r ó w n a n i a  (4.28)  przy  oznaczeniach  qa  i ob  dostajemy  z a l e ż n o ś ć: 

J
/  h + a2  ,  ,  2 ( 2 Л ­ Л) 

/  ­ — Q 2 + g i  =  Ą  '­,  (4.34) 
'  h — с г2  h — a2 

k t ó r e  w  połą czeniu  z  (4.33)  u m o ż l i w ia  s f o r m u ł o w a n i e  zależ noś ci: 

V 
h — o2  1h  _  ,.  ... 

=  1  dla  r = R­  (4.35) 
h + a2  o 2 

W a r u n k i  brzegowe  (4.26)  na  k o ń cu  x  = x+  są  r ó w n i e ż  asymptotycznie  spełnione , 

p o n i e w a ż  Re[/i(x)]  <  0, a  więc  dla  duż ych  wartoś ci  n Ф (х )  i jego  pochodne  dą żą  do  zera, 
zanikając  w  wą skiej  strefie  w  pobliżu  x  = x~. 

Identyczne  r o z w a ż a n ia  m o ż e my  p r z e p r o w a d z i ć  dla brzegu  x  =  л ­+ . 



590  Т .  S A D O W S K I 

Uwzglę dniając  (2.20),  (2.21),  (3.15)  w  (4.35)  otrzymujemy  wzór  do  wyznaczania  krzy­

wizny  krytycznej  odpowiadają cej  p o c z ą t k o w e mu  punktowi  bifurkacji: 

l­2x 

l+2x 

« . № ­ , ) ± i £ Ł . , ( , ­ | 

8  _  2 1 / 3 
(4.36) 

gdzie  znak  plus  dotyczy  strefy  rozcią ganej,  natomiast  minus  strefy  ś ciskanej.  Rozwią zując 

(4.36)  znajdujemy  pierwiastki  odpowiadają ce  niejednoznacznoś ci  procesu  deformacji 

i  moż liwoś ci  pojawienia  się  powierzchni  niestabilnoś ci.  Zależ noś ci  (4.36)  pokazano  na 

rys.  5,  zależ ność  zaś  od  parametru  wzmocnienia  m a t e r i a ł u  Ji  przedstawiono  na  rys.  6. 

1,174 

1,0 
0.9421 

0,Б 62 

2  3  4   5  6  7  8 
CTa[4,2'10

2MN/m?] 
10 

R y 3 .  5  K r z y w i z n y  k r y t y c z n e  xkrli0  o d p o w i a d a j ą ce  p i e r w s z y m  p u n k t o m  b i f u r k a c j i  d l a  m a t e r i a ł u  o  c h a r a k ­

terystykac h  }i  =  0,1  /<  =  1,05­  10*  M N / m 2 

*Щ Z  rys.  6  w i d a ć ,  że  jeś li  w  płycie  pojawi  się  pierwsza  k r ó t k o f a l o w a  powierzchnia  niesta­
bilnoś ci,  to  zawsze  bę dzie  ona  zlokalizowana  w  strefie  ś ciskanej. 

D l a  r o z w a ż a n e go  m a t e r i a ł u  sprę ż ysto­plastycznego  nie  uzyskano  p o c z ą t k o w e go 

punktu  bifurkacji  w  przedziale  < — 10~ 3 ,м;  0>,  tzn.  gdy  w s p ó ł c z y n n i k  liniowego  wzmocnie­

nia  Jb  bliski jest  zeru  i  m a t e r i a ł  może  być  traktowany  jako  idealnie  plastyczny.  Zagadnie­

niem  j e d n o z n a c z n o ś ci  zginania  zajmowano  się  również  w  pracy  [12]  dla  przypadku  ideal­

nej  plastycznoś ci.  Stwierdzono,  że  niejednoznacznoś ć  może  wystą pić,  gdy  kąt  zgię cia 

o k r e ś l o ny  ilorazem  R+fR~  przekroczy  w a r t o ś ć  graniczną  1,25,  co  odpowiada  stanowi 

zgię cia  scharakteryzowanemu  w  niniejszej  pracy  przez  xkI  =  2  • l/m  lub  xkTh0  =  0,2. 

Lewa  strona  rys.  6  dotyczy  m a t e r i a ł u  niestabilnego  w  sensie  Druckera,  tzn.  parametr 

wzmocnienia  Ji  ma  ujemną  w a r t o ś ć,  co  m o ż e my  i n t e r p r e t o w a ć  jako  fakt,  że  stan  n a p r ę ­
ż enia  w  konstrukcji  osią gnął  wartość  powodują cą  np.  degradację  m a t e r i a ł u  konstrukcji, 

i  w ó w c z a s  proces  deformacji  pasma  nastę puje  po  drodze  niestatecznej. 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  591 

3 t h 0 

1 

1 

­ 1 , 0 

0,2 

2 \ 
\ 
i J 

/1 

­ 1 , 0 

0,2 

­1  ­к ­1­ю '2­ю ­3­ю ­"_о  10~ 4  10" 3  10" г   10"'  1 
u [um] 

R y s .  6.  K r z y w i z n y  k r y t y c z n e  xk,h0  o d p o w i a d a j ą ce  p i e r w s z y m  p u n k t o m  b i f u r k a c j i  d l a  m a t e r i a ł u  o  g r a n i c y 

p l a s t y c z n o ś ci  ay  =  4 , 2 ­  1 0
2  M N / m 2  o r a z  /t  =  1,05­  1 0 5  M N / m 2 

5.  Omówienie  wyników  i  wnioski 

Z  przeprowadzonych  r o z w a ż ań  wynika,  że  pierwsza  powierzchnia  niestabilnoś ci  może 

pojawić  się,  gdy  cała  płyta  znajduje  się  w  obszarze  eliptycznym  rozwią zania  podstawowego 

r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go  ( 4 . ł 4 ) ,  podobnie  jak  w  pracy  [6].  R ó w n i e ż  w  pracy  [13]  badając 

poddane  ciś nieniu  wydrą ż enie  kuliste  w  n i e s k o ń c z o n ym  o ś r o d ku  sprę ż ysto­plastycznym 

stwierdzono,  że  k r ó t k o f a l o w a  powierzchnia  niestabilnoś ci  jest  pierwszym  punktem  b i ­

furkacji  pojawiają cym  się  w  cią gu  procesu  deformacji. 

W  r o z w a ż a n ym  przypadku  ciała  wykonanego  z  m a t e r i a ł u  sprę ż ysto­plastycznego 

z  l i n i o w y m  wzmocnieniem  uzyskano  zależ ność  (4.36)  okreś lają cą  krzywiznę  krytyczną  

odpowiadają cą  pierwszym  punktom  rozdwojenia  jako  funkcję  cech  fizycznych  m a t e r i a ł u 

Oy,  (rys.  5,  rys.  6).  A n a l i z a  w p ł y w u  ay  na  w a r t o ś ć  krzywizny  krytycznej  wskazuje, 

że  wraz  ze  wzmocnieniem  się  m a t e r i a ł u ,  z a l e ż n ym  od  historii  obcią ż enia,  wystę puje  w  przy­

padku  czystego  zginania  zmniejszenie  się  xh0.  Obniż enie  się  wartoś ci  krzywizny  krytycznej 

nastę puje  r ó w n i e ż  wraz  ze  zmniejszeniem  się  współczynnika  Ji  z  wyłą czeniem  przedziału 

( ­ l O ­ ^ O ) . 

O d p o w i a d a j ą ca  krzywiź nie  krytycznej  pierwsza  powierzchnia  niestabilnoś ci  zawsze 

pojawia  się  najpierw  w  obszarze  ś c i s k a n ym  pasma,  podobnie  jak  w  pracy  [6]. 

Uzyskane  rozwią zanie  ograniczone jest  geometrią  odkształcenia .  K ą t  zgię cia  nie  m o ż e 

p r z e k r a c z a ć  360°.  Graniczna  krzywizna  wynosi: 

( */ '< Л г ­Л   <   2т т. 
"o 

(5.1) 



592  Т .  S A D O W S K I 

W a r t o ś ć  ką ta  odpowiadają cego  dowolnej  krzywiź nie  krytycznej  m o ż e my  wyznaczyć  

ze  wzoru: 

(5.2) 

gdzie  ł0  i h0  są  długoś cią  oraz  wysokoś cią  p o c z ą t k o wą  pasma.  D l a m a t e r i a ł u  o  granicy 

plastycznoś ci  ay  =  4,2 • 10
2 M N / m 2  i module  wzmocnienia  Ji  =  0,1 fi  =  1,05 • 10 4  M N / m 2 

zależ ność  (5.2) ma przebieg jak  na rys. 7, z  k t ó r e g o  wynika,  że jeż eli  l0/hQ  wynosi  2, to 

R y s .  7.  K ą t k r y t y c z n y  0 k ,  o k r e ś l a j ą cy  p i e r w s z y  p u n k t  bifurkacj i 

krytyczny  kąt  zgię cia  odpowiadają cy  moż liwoś ci  wystą pienia  pierwszej  powierzchni 

niestabilnoś ci  jest  r ó w n y  107°.  Ponadto,  gdy l0jh0  jest  wię ksze  od 6,5, to pasmo  m o ż e my 

zgiąć  do 360°  bez obawy  o  u t r a t ę  j e d n o z n a c z n o ś ci  procesu  deformacji. 

L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie 

1.  R .  H I L L ,  Aspect of Invariance in Solid  Mechanics,  A d v a n c e s  i n A p p l i e d  M e c h a n i c s ,  18,  1978. 

2.  R .  H I L L ,  J . W . H U T C H I N S O N ,  Bifurcation Phenomena in the Plane  Tension Test,  J o u r n a l  o f the  M e c h a n i c s 

a n d  P h y s i c s  o f  S o l i d s ,  4 / 5 , 2 3 ,  1975. 

3.  N . J . B .  Y O U N G ,  Bifurcation Phenomena in the Plane  Compression  Test,  J o u r n a l  o f the  M e c h a n i c s a n d 

P h y s i c s  o f  S o l i d s ,  1, 2 4 ,  1 9 7 6 . 

4 .  S.  S T Ó R E N ,  J . R .  R I C E ,  Localized  Necking  in  Thin  Sheets, J o u r n a l  o f the  M e c h a n i c s  a n d P h y s i c s o f 

S o l i d s ,  6,  2 3 ,  1975. 

5.  R .  H I L L ,  The Essential  Structure  of  Constitutive  Laws for  Metal  Composites and Polycrystals,  J o u r n a l 

o f  the  M e c h a n i c s  a n d P h y s i c s  o f S o l i d s ,  2, 15,  1967. 

6.  N . T R I A N T A F Y L L I D I S ,  Bifurcation  Phenomena in Pure  Bending,  J o u r n a l  o f the  M e c h a n i c s  a n d  P h y s i c s 

o f  S o l i d s ,  3 / 4 , 2 8 ,  1980. 

7.  M . D U S Z E K ,  Problems  of  Geometrically  Non­linear  Theory  of  Plasticity,  Institut  f i i r  M e c h a n i c  R u h r ­

U n i v e r s i t a t  B o c h u m ,  2 1 ,  1980. 

8.  A .  S A W C Z U K ,  J .  M I E L N I C Z U K ,  On  Yielding of  Hyperelastoic  Solids,  Z A M M ,  1, 5 5 ,  1975. 

9.  T .  S A D O W S K I ,  Dwoistoś ć  równowagi  w stanach czystego  zginania,  I F T R  R e p o r t s ,  2,  1982. 

10.  R .  H I L L ,  The Mathematical  Theory of Plasticity,  O x f o r d , 1950. 



D W O I S T O Ś Ć  R Ó W N O W A G I  593 

11.  J . R .  R I C E ,  The Localization  of  Plastic  Deformation,  Proceedings  o f the  14th I n t e r n a t i o n a l  C o n g r e s  o f 

T h e o r e t i c a l  a n d  A p p l i e d  M e c h a n i c s ,  D e l f t ,  September  1976. 

12.  J .  M I E L N I C Z U K ,  P r a c a  d o k t o r s k a ,  I P P T  P A N , W a r s z a w a  1973, 

13.  J . L .  B A S S A N I ,  D .  D U R B A N ,  J . W .  H U T C H I N S O N ,  Bifurcations  at  a  Spherical  Hole  in  an  Infinite Elasto­

plastic  Medium,  M a t h .  P r o c .  C a m b .  S o c , 1980. 

Р е з ю ме  

Б И Ф У Р К А Ц И О Н Н ОЕ  Р А В Н О В Е С ИЕ  В  С О С Т О Я Н И ЯХ  Ч И С Т О ГО  И З Г И БА  

В  р а б о те  и с с л е д о в а на  з а д а ча  б и ф у р к а ц ии  н е с ж и м а е м ой  п л а с т и ны  п о д в е р ж е н ой  ч и с т о му  и з г и­

б у.  А н а л из  п р о и з в о д им  п р и м е н ив  г и п о у п р у г ий  ф у н д а м е н т а л ь н ый  м о д е л ь.  С о х р а н е н ие  у п р у г о­

п л а с т и ч е с к о го  м а т е р и а ла  в  л и н е й н ом  н а п р я ж е н н ом  с о с т о я н ии  о п и с а но  з а к о н ом  с  л и н е й н ым  у п р о ч­

н е н и е м.  О с у щ е с т в е но  к л а с с и ф и к а ц ию  п р о с т р а н с т ва  у р а в н е н ия  б и ф у р к а ц и и.  П р о в е д е но  а с и м п т о­

т и ч е с к ий  а н а л и з,  ч т о бы  у с т а н о в и ть  к р и т и ч е с к ие  у с л о в ия  д е ф о р м а ц ии  п л и т о в ой  п о л о сы  д ля  к о р о­

т к о в о л н о в ой  п о в е р х н о с т н ой  н е с т а б и л ь н о с т и.  Р а с с м а т р и в а е м ая  к о р о т к о в о л н о в ая  п о в е р х н о с ть  н е с­

т а б и л ь н о с ти  в  з о не  с ж а т ия  о п р е д е л я ет  п е р в ую  б и ф у р к а ц и о н н ую  т о ч ку  в  п р о ц е с се  д е ф о р м а ц ии  

п л а с т и н к и. 

S u m m a r y 

B I F U R C A T I O N  E Q U I L I B R I U M  I N  P U R E  B E N D I N G  S T A T E S 

I n  the  paper  the  b i f u r c a t i o n  p r o b l e m  o f a n  i n c o m p r e s s i b l e  plate  subjected  to  pure  b e n d i n g  is  studied .  T h e 

analysis  is  c a r r i e d  out  using  a  h y p o e l a s t i c  constitutiv e  m o d e l .  T h e  elastic­plastic  m a t e r i a l  b e h a v i o u r  i n 

u n i a x i a l  states  is  described  by  the  linear  w o r k ­ h a r d e n i n g  l a w . A  c l a s s i f i c a t i o n  o f  regimes  o f  the  b i f u r ­

c a t i o n  e q u a t i o n  is  also  p e r f o r m e d .  A n  a s y m p t o t i c  analysis  has  been  c a r r i e d  out  to  establish  the  c r i t i c a l 

c o n d i t i o n  o f  the  d e f o r m a t i o n  plate  strip  for  short  wavelengt h  surface  i n s t a b i l i t y .  T h e  considered  short 

wavelength  surface  i n s t a b i l i t y  i n the  compressive  z o n e  defines  the  first  b i f u r c a t i o n  p o i n t  i n the  d e f o r m a t i o n 

process  o f  the  plate. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  14  czerwca 1983 roku 

18  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3­4/84