Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4,  22  (1984)  O S I O W O  S Y M E T R Y C Z N E  Z A G A D N I E N I A  M I K R O P O L A R N E J  T E O R I I  P L A S T Y C Z N O Ś CI  M O N I K A  W Ą G R O W S KA  ( W A R S Z A W A )  Instytut  Mechaniki  Uniwersytet Warszawski  L  W s t ę p  W  pracy  tej  rozpatrujemy  mikropolarny  o ś r o d ek  sprę ż ysto­plastyczny,  k t ó r y  m o ż e  przenosić  n a p r ę ż e n ia  z a r ó w n o  siłowe,  jak  i  momentowe.  O ś r o d ek  taki  m o ż e  być mate­ matycznym  modelem  np.  k o m p o z y t ó w  o  strukturze  ziarnistej.  W y r ó ż n i a my  o ś r o d ki  ze  zwią zanymi  obrotami  i ze swobodnymi  obrotami.  Jeż eli  o ś r o d ek  jest  ze zwią zanymi  obro­ tami,  to  ziarenka  mogą  się  o b r a c a ć  o  tyle,  na ile  pozwala  im pole  przemieszczeń.  Z  kolei,  gdy  na  ziarna  działają  momenty,  ich o b r ó t  o k r e ś la  z m i a n ę  przemieszczeń.  Uplastycznie­ nie  takiego  o ś r o d ka  podobne jest do uplastycznienia  o ś r o d ka  klasycznego, z tym,  że  należy  uwzglę dnić  wpływ  n a p r ę ż eń  momentowych.  W a r u n k i  uplastycznienia  dla  o ś r o d k ów  ze  zwią zanymi  obrotami  badali  M .  M i s i c u  [5] i  A . Sawczuk  [7].  Jeż eli  o ś r o d ek  charakteryzuje  się swobodnymi  obrotami,  jego  zachowanie  nie daje się   s p r o w a d z i ć  do  o ś r o d ka  klasycznego.  W tym przypadku  obroty  ziarenek  kompozytu mo­ gą  s p o w o d o w a ć  z a r ó w n o  zmiany  w polu  przemieszczeń  w matrycy  jak  i być  niezależ ne od  odkształceń,  czy przemieszczeń  matrycy.  Zgodnie  z  założ eniami  teorii  sprę ż ystoś ci,  po  zdję ciu  obcią ż eń,  przemieszczenia  i  obroty  p o w r ó c ą  do  p o ł o ż eń  p o c z ą t k o w y c h,  czyli  stanu  naturalnego.  W  przypadku  przekroczenia  o k r e ś l o n y ch  wartoś ci  n a p r ę ż eń  siłowych  bą dź  (oraz)  momentowych,  pewien  obszar  rozpatrywanego  ciała  lub w przypadku  szcze­ g ó l n y m  całe  ciało  m o ż e  ulec  uplastycznieniu.  D l a o ś r o d k ów  ze  swobodnymi  obrotami  bę dziemy  mogli  wyróż nić  niezależ ne  przekroczenie  granicy  sprę ż ystoś ci  ze  wzglę du  na  przemieszczenia,  jak to  ma  miejsce  w  teorii  klasycznej,  jak i ze  wzglę du  na  obroty.  W y ­ r ó ż n i my  więc  dwa niezależ ne  sposoby  uplastycznienia  czę ś ciowego  i  skonstruujemy dwa  kryteria  uplastycznienia,  a  mianowicie  kryterium  uplastycznienia  poś lizgowego,  gdy  po  zdję ciu  obcią ż eń  nie z n i k a  symetryczna  czę ść  tensora  o d k s z t a ł c e n i a ,  oraz  rotacyjnego  zwią zanego  z  nieznikaniem  tensora  skrę cenia  i  antysymetrycznej  czę ś ci  tensora  o d k s z t a ł ­ cenia.  Podobszar  o ś r o d ka  bę dzie  ulegał  uplastycznieniu  c a ł k o w i t e m u ,  gdy  równocześ nie  zostan ą  przekroczone  wartoś ci  obu  k r y t e r i ó w .  W  strefie  sprę ż ystej  przyjmiemy  jako  model  matematyczny  takiego  ciała  o ś r o d ek  typu  C o s s e r a t ó w ,  centrosymetryczny,  izotropowy  i  jednorodny.  N a s t ę p n ie  wprowadzimy  odpowiednie  kryteria  uplastycznienia  czę ś ciowego  i  c a łk o witeg o  i  wyprowadzimy  odpo­ wiednie  r ó w n a n i a  konstytutywne  w zakresach  plastycznych.  Należy  w s p o m n i e ć ,  że  o ś r o­ 18«  596  M .  W Ą G R O W S KA  dek  plastyczny  typu  C o s s e r a t ó w  r o z p a t r y w a ł  H .  L i p p m a n n  [6],  nie  specyfikując  liczby  k r y t e r i ó w  uplastycznienia;  m o g ł a  się  ona  z m i e n i a ć  ó d  1 do 18.  W  p r z y k ł a d z i e  przyję to  2  warunki.  Szczegółowo  rozpatrzymy  zagadnienia  osiowo  symetryczne,  p o k a ż e my  wpływ  n a p r ę ż eń  momentowych  na powstawanie  i  zasięg  strefy  uplastycznienia  poś lizgowego.  W  pracy  b ę d z i e my  s t o s o w a ć  nastę pują ce  oznaczenia  [1]:  X,  /л ,  a,  y,  /9,  г — s t a łe  ma­ t e r i a ł o w e ,  cf,  р ., у ,  x ,  1 —  tensory,  odpowiednio,  n a p r ę ż eń  siłowych,  n a p r ę ż eń  momento­ wych,  o d k s z t a ł c e n i a ,  s k r ę c e n ia  i jednostkowy,  а и ,  ц и ,  yu,  x u , du •— składowe  powyż szych  t e n s o r ó w ,  odpowiednio,  w  u k ł a d z i e  w s p ó ł r z ę d n y ch  xl  (i =  1,  2,  3).  2.  Kryteria  uplastycznienia  Rozpatrzmy  o ś r o d ek  mikropolarny,  centrosymetryczny,  izotropowy  i  jednorodny.  W  tym  przypadku  p o c z w ó r n a  w a r t o ś ć  gę stoś ci  energii  sprę ż ystej  przyjmuje  p o s t a ć  n a s t ę ­ pują cą:  AU  =  ja0b<*«j>+^­ (2.1)  1 1  p  +  —fHt/>Muj)+  у ­"<и >/"<и >­  у(2у  + щ t*"/***  Energia  ta  jest  sumą  energii  obję toś ciowej  oraz  drugiego  s k ł a d n i k a ,  k t ó r y  jest  u o g ó l n i e ­ niem  energii  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowego  U=UV+UP,  (2.2)  gdzie  1  1  1  (2.3)  f(ij),  ? —  odpowiednio  symetryczna  i  antysymetryczna  czę ść  tensora  o  s k ł a d o w y c h  tij>su  —  s k ł a d o w e  dewiatora  tensora  n a p r ę ż eń  siłowych,  mu—­składowe  dewiatora  tensora  n a p r ę ż eń  momentowych.  Dokonajmy  r o z k ł a d u  Up  na  dwa  s k ł a d n i k i  Up=Upl  + Up2,  (2.4)  gdzie  4 C / P l  = —sUj}s(IJ),  (2.5)  f*  jest  gę stoś cią  energii  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowego  poś lizgowego  oraz  1 1 1  2  4UP2  =  —ss+ —  тСц )тШ)  +  —  ™ < U > / H < u > +  3 ( 2 у  +  з ^у  HurJ­kk,  (2.6)  jest  gę stoś cią  energii  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowego  rotacyjnego.  Przyjmujemy  warunki  uplastycznienia  w nastę pują cej  postaci:  kryterium  uplastycznienia  poś lizgowego  Upl  = k 2 0AUp2  <  11,  (2.7)  MlKROPOLARNA  TEORIA  PLASTYCZNOŚ CI  597  kryterium  uplastycznienia  rotacyjnego  Upl  <  k 2 0AUp2  =  /о 2,  (2.8)  oraz  kryterium  uplastycznienia  całkowitego  Upl  =  k 2 0AUp2  =  Ц .  (2.9)  Powyż sze  kryteria  spełniają  wszystkie  warunki  wynikają ce  z  teorii  n i e z m i e n n i k ó w .  W  o ś r o d k a ch  mikroplarnych,  centrosymetrycznych  w  przypadku  modelu  sprę ż ysto  plastycznego  mogą  wystą pić  pod  w p ł y w e m  działają cych  obcią ż eń  nastę pują ce  strefy:  a)  strefa  sprę ż ysta,  b)  strefa  sprę ż ysta  i  uplastycznienia  poś lizgowego,  c)  strefa  upla­ stycznienia  poś lizgowego,  d)  strefa  sprę ż ysta  i  uplastycznienia  rotacyjnego,  e)  strefa  upla­ stycznienia  rotacyjnego,  f)  strefa  sprę ż ysta  i uplastycznienia  poś lizgowego  oraz  rotacyjnego  0  pustym  przecię ciu  stref  uplastycznienia,  g)  strefa  sprę ż ysta  i uplastycznienia  poś lizgowego  1 rotacyjnego  o  niepustym  przecię ciu;  wtedy  pojawia  się strefa  uplastycznienia  całkowitego ,  h)  strefa  sprę ż ysta  i  wyłą cznie  całkowitego  uplastycznienia,  i)  strefa  całkowitego  uplastycz­ nienia.  3.  Równania  konstytutywne  teorii  plastycznoś ci  odkształceniowej  W  dalszym  cią gu  pracy  bę dziemy  r o z p a t r y w a ć  zagadnienia  szczegółowe,  w  k t ó r y c h  wykorzystamy  teorię  odkształceniową.  Dlatego  nie  bę dziemy  tu  r o z p a t r y w a ć  r ó w n a ń   konstytutywnych  teorii  płynię cia,  a  sformułujemy  r ó w n a n i a  konstytutywne  teorii  o d k s z t a ł ­ ceniowej,  w  poszczególnych  strefach  uplastycznienia.  Z a k ł a d a m y  brak  wzmocnienia,  i z o t r o p o w o ś ć,  c e n t r o s y m e t r i ę  i  j e d n o r o d n o ś ć  w  strefie  sprę ż ystej.  O d k s z t a ł c e n i a  obję toś ciowe  są  tylko  sprę ż yste.  3 . 1 .  S t r e f a  uplastycznienia  p o ś l i z g o w e g o.  Z a k ł a d a m y  tu,  że  dewiator  symetrycznej  czę ś ci  tensora  o d k s z t a ł c e n i a  jest  proporcjonalny  do  odpowiadają cego  mu  dewiatora  symetrycz­ nej  czę ś ci  tensora  n a p r ę ż e n ia  siłowego.  O d k s z t a ł c e n i a  skrę cenia  i  antysymetryczna  czę ść   odkształcenia  są  sprę ż yste.  Przy  tych  z a ł o ż e n i a ch  otrzymujemy  nastę pują ce  stowarzyszone  r ó w n a n i a  konstytutywne  w  o ś r o d ku  uplastycznionym  p o ś l i z g o w o:  2/tTitj)  =  (i+  =  s,  {2ц  + Ъ Х )ук к  =  akk,  (3.1)  1 1  ft  2xu  =  jt*uj>  + —r*«j>­  у­щ г ^щ  И ­и ^и ,  lub  w  postaci  r ó w n o w a ż n ej  А ш +А «>+  У **ц  =  У и  =  l ^ L s , i J '  +  ­ Ł s < l J > +  з о +з А)  ( 3 ' 2 )  oraz(3.1) 4  bez  zmiany.  Ги  są  s k ł a d o w y m i  dewiatora  tensora  o d k s z t a ł c e n i a  y,  jest  współczynnikiem  m a t e r i a ł o w y m  o ś r o d ka  uplastycznionego;  należy  go  wyznaczyć  dla  k a ż d e go  o ś r o d ka  oddzielnie.  9^ ­>  0,  gdy  przechodzimy  do  o ś r o d ka  sprę ż ystego,  R ó w n i e ż  r ó w n a n i a  (3.2)  stają  się  wtedy  r ó w n a n i a m i  konstytutywnymi  o ś r o d ka  C o s s e r a t ó w .  598  M .  W Ą G R O W S KA  3.2 .  Strefa  uplastycznienia  rotacyjnego  dodatkowe  postulaty:  —  r ó w n a n i a  konstytutywne  w  ramach  symetrycznej  czę ś ci  tensora  odkształcenia  są   analogiczne  jak  w  ramach  strefy  sprę ż ystej,  —  antysymetryczna  czę ść  tensora  odkształcenia  oraz  tensor  skrę tnogię tny  bę dą  po­ wią zane  z tensorami  opisują cymi  stan  naprę ż enia  nowymi  zależ noś ciami  1  1  I + P 2  „  \ X   .  y t J  =  2 / 7 ^ ' +  ~ W a ^ ~  Tp ffr+ty ***  (3.3)  gdzie:  l+cpz  jest  wielkoś cią  bezwymiarową,  k t ó r a  wpływa  na  modyfikację  r ó w n a ń   konstytutywnych..  Należy  ją  wyznaczyć  dla  każ dego  o ś r o d ka  oddzielnie.  (pz ­> 0, gdy  przechodzimy  od strefy  uplastycznienia  rotacyjnego  do strefy  sprę ż ystej.  3 . 3 .  S t r e f a  c a ł k o w i t e g o  uplastycznienia.  W  obszarze  uplastycznionym  całkowicie  przestały  b y ć  sprę ż yste  z a r ó w n o  przemieszczenia, jak i  obroty;  została  zaburzona  całkowicie  struk­ tura  m a t e r i a ł u .  W strefie  uplastycznienia  całkowitego  obowią zują  jednocześ nie  wszystkie  postulaty  dotyczą ce  stref  uplastycznienia  poś lizgowego  i  rotacyjnego, t z n . :  —  odkształcenia  obję toś ciowe  są sprę ż yste,  —  dewiator  symetrycznej  czę ś ci  tensora  odkształcenia  jest  proporcjonalny  do dewia­ tora  symetrycznej  czę ś ci  tensora  n a p r ę ż e n i a,  —•  antysymetryczna  czę ść  tensora  odkształcenia  jest  proporcjonalna  do antysymetrycz­ nej  czę ś ci  tensora  n a p r ę ż e n i a,  —•  odpowiednie  czę ś ci  tensora  skrę cenia  są  proporcjonalne  do  odpowiednich  czę ś ci  tensora  n a p r ę ż eń  momentowych.  Przy  tych  założ eniach  r ó w n a n i a  konstytutywne  dla obszaru  o ś r o d ka  uplastycznionego  całkowicie  przyjmują  p o s t a ć :  y"  =  2ikbTe^  •  (3'4)  l+cp2  Г +Уз  (1+<р2)Р   *"  " ~W~mf~2e~^~  2y(2y+3/0 m  "*  R ó w n a n i a  te  moż emy  p r z e d s t a w i ć  w  r ó w n o w a ż n ej  postaci:  1 + 0 ? !  I + V 2  1  Y i J  =  ­^2j~S™+  ^ a ~ ~ S < l J > +  Щ Я Ща * b t l >  1+У2  ..  1+У 2,.  О + Ы / З   (3.5)  i  .  1  l+c?/  1  У  er  =  —с ­­  *(0r)  +  *,  Yro  =  * ( г в ,  +  щ  <т<г 0>,  У "  =  ^ ­ ^ г ­ ^ ­ ^ ) +  ­Щ ~^Щ ^г г  + <У т + аг г),  (4.8)  b)  w strefie  uplastycznionej  rotacyjnie  otrzymamy  2/ *У г г   =  g r r ~  2 ^  +  З Я   ( ( Г г г   +  о 'ео +  с гг г) ,  з   2fiyzz  =   в " ~ ­ ^ + Ц  Vх"  +  (rot>  + .  1Л  и С   (4.9)  MlKROPOLARNA  TEORIA  PLASTYCZNOŚ CI  601  i  1+9*2  (4.9)  1 +  q>2  1 + cp2  2xtz  =  — ­ — / < ( Г 2) Н  /",  " w —  0,  У  e  c)  w strefie  całkowitego  uplastycznienia  l + o ) ,  1 •  1  (2o­„ ­  ff00  ­  azz)  + ­  ­ ( ( T R R + orM + X  ,~  ч  1  ,  У о о = —g ^ —  (2'  l+q>i  ,n  .  1  ,  . (2о ­2 г ­  с тг г ­  #<,<,) +  ((Trr +  '  l+q>!  l+c> z  l+ Л (  )  s a .  funkcjami  Bessela  urojonego  argumentu,  zerowego  i  pierwszego  rzę du,  K0(  )  i  Kt(  )  funkcjami  M a c D o n a l d a .  Powyż szym  wektorom  przemieszczenia  i  obrotu  odpowiada  nastę pują cy  stan  n a p r ę ż eń  siłowych  i  momentowych:  orB  =  ­2B2­£­(y+s)~[AJl(Vr)  + BlKdvr)]~~  +  ­"­ln(rj 2rb),  cr0r  = ­ 2 B 2 ­ g ­ ­ yĄ­\AJiOjr)  + B,Ktfor)]  +  +  [ A  1  / o 0 ? r )  ~  B l  K o ( , i r ) ] 7  T  ( T + X N W R B ) '  ( 5 ­ 3 )  Pr,  ­  ( у +e ) [ A t  l\ for) + В , Ki for) ­  2  J,  H  f*„  Г  (y­sHAJdrjĄ +BMrir)­  — — — ­ 5 . / .  R y s .  1  Przyjmując  konkretne  wartoś ci  stałych  materiałowyc h  oraz  promieni  wewnę trznej  i  zew­ nę trznej  pobocznicy  walca  a  =  03,  i  b  =  1,0  X  =  0,3,  £ = 2 ­ 1 0 6 ,  a  =  0,1,  1  =  0,2,  Э =  2 • 10 3 ,  e  =  0,1,  gdzie  _  yQy+W  _  fi  y+fi  '  2(y + fi) '  otrzymujemy  nastę pują ce  wartoś ci  liczbowe  dla  p o z o s t a ł y c h  stałych  m a t e r i a ł o w y c h  i  sta­ łych  c a ł k o w a n i a :  у  =  833,3,  г ]2  =  4,79 • Ю ­ 4 ,  /и = 7,69,  At  =  ­ 1 5 , 0 7 ,  В  ̂ =  0,0587,  Я 2  =  135,46.  Wykresy  n a p r ę ż eń  siłowych  i  momentowych  dla  a  =  0,3,  b  =  1,0  pokazano  na  ry­ sunkach  2 ­ 5 .  604  M .  W Ę G R O W S KA  ­600  R y s .  5  Z  uzyskanych  w y n i k ó w  widać,  że  (ог в  +  ов г)  jest  funkcją  ujemną  osią gają cą  dla  QS  e  (0,3,  1,0)  minimum.  Powoduje  to,  że  energia  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowego  poś li­ zgowego  redukują ca  się  w  tym  przypadku  d o :  1  U„  8/*  ( o ­ r 0  +  o * 0 r ) 2  (4.14)  w  ramach  strefy  sprę ż ystej  jest  funkcją  rosną co­maleją cą,  osią gają cą  maksimum  d l a  r  =  Q. Oznacza  to,  zgodnie  z  przyję tym  przez  nas  kryterium  uplastycznienia  poś lizgowego,  że  jeś li  wcześ niej  nie  pojawi  się  w  cylindrze  uplastycznienie  rotacyjne,  to  dla  odpowiednio  duż ej  wartoś ci  H  dla  r  =  Q (wartość  promienia  dla  k t ó r e g o  uPi  osią ga  maksimum)  po­ j a w i  się  strefa  uplastycznienia  poś lizgowego,  k t ó r a  wraz  ze  wzrostem  wartoś ci  H  bę dzie  rozwijała  się  w  kierunku  wewnę trznej  i  zewnę trznej  pobocznicy  cylindra.  Przyjmując  2  2  l  =  ­т ^г  uzyskamy,  że  dla  H  =  2,06  • 10  5  energia  o d k s z t a ł c e n i a  posta­k  =  10 2  ]/ati  '  100  M l K R O P O L A R N A  T E O R I A  P L A S T Y C Z N O Ś CI  605  ciowego  poś lizgowego  osią gnie  w a r t o ś ć  krytyczną  oznaczają cą  pojawienie  się  strefy  upla­ stycznienia  poś lizgowego,  natomiast  dla  H  ^  2,06  • 1 0 ­ 5  energia  o d k s z t a ł c e n i a  rotacyjnego  redukują ca  się w  tym  przypadku  do  w y r a ż e n i a:  ­ i ­  (о\в ­  С Г д ,)2 +  ­ g j (Prz + Hzr)2  +  ­gg  (Prz ~ r*zr)2  (4.15)  nie  osią gnie  nigdy  wartoś ci  krytycznej  l0  =  2­  10~ 2 ,  co  oznacza  n i e m o ż n o ść  powstania  w  o ś r o d ku  strefy  uplastycznionej  rotacyjnie  dla  H  =  2,06­  1 0 ­ 5 .  T a k i  zespół  obcią ż eń  jest  więc  ilustracją  stwierdzenia,  że  w  w y n i k u  działają cych  ob­ cią ż eń  typu  momentowego  m o ż e my  w  o ś r o d ku  u z y s k a ć  strefę  u p l a s t y c z n i o n ą  poś lizgowo,  przy  jednoczesnym  braku  strefy  uplastycznionej  rotacyjnie.  6.  Wpływ  mikropolarnych  momentów  obję toś ciowych  na  zasięg  strefy  uplastycznionej  poś lizgowo  Rozpatrzmy  dwa  identyczne  geometrycznie  i  m a t e r i a ł o w o  g r u b o ś c i e n ne  n i e s k o ń c z o ne  cylindry,  z  k t ó r y c h  na  jeden  działa  tylko  ciś nienie  w e w n ę t r z n e,  na  drugi  natomiast  działa  to  samo  ciś nienie  wewnę trzne  oraz  dodatkowo  znajduje  się  on  w  polu  mikropolarnych  m o m e n t ó w  obję toś ciowych  Y  =  (0, 0,  yx),  gdzie  Yz  =  H\u~.  W p r o w a d z a j ą c  walcowy  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  przy  z a ł o ż e n iu  niezależ noś ci  przyczyn  od  ką tu  0  i  zmiennej  z  otrzymujemy  w  obu  przypadkach  płaski  stan  odkształcenia  przy  dodatkowej  osiowej  symetrii.  O  o ś r o d ku  z a k ł a d a m y  dodatkowo,  że jest  nieś ciś liwy.  Ze­ s p ó ł  w a r u n k ó w  brzegowych  odpowiadają cych  naszym  z a ł o ż e n i om  jest  nastę pują cy:  /  <>Vr(a)  =  ~P,  «rr(b)  =  0,  II  a„(a)  =  ­p,  *„(b)  =  0,    Prrifl)  =  0,  .  /*п Ф )  =  0  Uroia)  =  0,  fbo(b) =  0  f*re(a) =  0,  fir0(b)  =  0  p„(d)  =  0,  fhr(b)  =  o  fj,rz(a)  =  0,  firz(b)  =  0  X  =  ( 0 , 0 , 0 )  Y =  ( 0 , 0 , 0 )  X  =  ( 0 , 0 , 0 ) ,  Y  =  (0,  0,  Yz)  Yz  =  Я 1 п ^­ r  Obcią ż enia  działają ce  na  cylinder  I  nie  wywołują  efektów  mikropolarnych  [3] —  zacho­ wuje  się on jak  o ś r o d ek  klasyczny,  a  więc  rozwią zanie  w strefie  sprę ż ystej  przyjmuje  z n a n ą   p o s t a ć  [2]:  pa2b2r  pa2  1  2~jT(b2­a2).  +  2(/л + Л )(Ь2­а2)  T'  606  M .  W Ą G R O W S KA  Uplastycznienie  rozpoczyna  się  od  wewnę trznej  pobocznicy  walca.  W a r t o ś ć  ciś nienia,  dla  k t ó r e g o  zaczyna  się  pojawiać  strefa  uplastycznienia  poś lizgowego,  wyznaczamy  ze  wzoru  J_  Sft UPl  =  s^(Grr­ 6  i  podstawiając  wartoś ci  promieni  pobocznie  walca  a  =  0,3,  b  =  1,0,  otrzymujemy  w a r t o ś ć   ciś nienia  p0  =  1,06­  10 3 ,  dla  к  =  ­ 1 0 3  —r=r.  D l a  p  <  p0  cały  o ś r o d ek  jest  sprę ż ysty,  3  ]/р   dla  p  ^  Po  pojawia  się  strefa  uplastycznienia  poś lizgowego,  o  promieniu  zależ nym  od  p.  Wykorzystując  rozwią zanie  [4]  dla  p  >  p0  otrzymujemy  nastę pują ce  r ó w n a n i e  na  za­ sięg  strefy  plastycznej  2kb2\/~2fi  l n ­ | ­ =  pb2­b2k\/2fi  ;  Podstawiając  do  r ó w n a n i a  (6.4)  przyję te  wartoś ci  a  =  0,3,  b  =  1,0  otrzymamy  1  l n o ^ o 2  +  ­ ^ r  2  2k\/2/j,  +  l n 0 , 3 ,  (6.4)  (6.5)  skąd  dla  p  =  2,1  • Ю 3  otrzymamy  Q  =  0,52.  Rozpatrzmy  teraz  drugi  przypadek,  gdy  na  cylinder  działają  ciś nienia  w e w n ę t r z ne  M l K R O P O L A R N A  TEORIA  PLASTYCZNOŚ CI  607  oraz  momenty  obję toś ciowe.  R o z w i ą z a n ie  u k ł a d u  r ó w n a ń  z  warunkami  brzegowymi  (6.1) / f  przyjmie  p o s t a ć  nastę pują cą:  ur  =  A3r+ —  B3,  r  щ  =  A2r+—  B2­  y — ­ W .  =  AJoirjĄ ­BtKoirjr)­ ° w l A i I i  (rjr)+BMt]r)­ H  ;  ,łr(( l n^­l)]'  H  "z  =  (Pr =  <Р в  =  0 ,  (y+e)ij  \щ г  + г ]\А2­  —­Ы ф ],  (6.6)  0,6  0,4  0,2  0,1  In­*  Q 2  p  T  m  1  Q 2  p  T  m  I  1  0,3  g 0  0,6  0,8  1,0  R y s .  8  oraz  oro =  ( y + f i ) | H 1 / 1 ( ^ ) + J e 1 / i : 1 ( ł y r ) + ^ ­ i 2 i n ( ł ? 2 / ­ z » ) ­ i ] ­ 2 ż ?2 ­ ^ ­ ,  ­  4 (f)  +  B1K,(nr)}­2B2­^,  IĄ A3­~B)J +  21A3,  (fge  =  2{ц + а )А3+\(2ц  +  Х)В3,  O­rr  =  (6  7)  2azz  =   c r r r  +   o ­ e o ,   608  M .  W Ą G R O W S KA  Я  1  1  (*r,  =  (у  + е )[4h(У) +  К ,(W)­  —  ­фe)rj2­j,  / 2 д 4 6 4  1  (6.9)  Ze  wzglę du  na  to,  że  ciś nienie  działają ce  w  obu  przypadkach  jest  takie  samo,  energia  poś lizgowego  odkształcenia  postaciowego  przyjmuje  wyż sze  wartoś ci,  gdy  działają  do­ datkowe  mikropolarne  momenty  obję toś ciowe.  W y n i k a  stąd  oczywisty  wniosek,  że  upla­ stycznienie  poś lizgowe  w  walcu  poddanym  d z i a ł a n i u  obję toś ciowych  m o m e n t ó w  mikro­ polarnych  zostanie  osią .gnię te  przy  niż szych  w a r t o ś c i a ch  ciś nienia  działają cego  na  po­ bocznicę  walca.  MlKROPOLARNA  TEORIA  PLASTYCZNOŚ CI  609  Z a ł ó ż m y,  że strefa  uplastycznienia poś lizgowego  wystę puje,  tzn. p  > p0.H\a.p  =  =  2,1 • 10 3 oraz  Y2  =  Hln—,  H =  10~ 7 wyznaczymy zasięg  strefy  uplastycznienia w  obu  r  przypadkach,  gdy działa  wyłą cznie  ciś nienie  w e w n ę t r z ne  i  z  dodatkowo  działają cymi  momentami  mikropolarnymi.  W  obszarze  uplastycznionym  poś lizgowo  otrzymamy  nastę pują cy  u k ł a d  r ó w n a ń   ( r ó w n o w a g i ,  geometrycznej  zgodnoś ci  odkształceń ,  kryterium  uplastycznienia,  oraz  r ó w n a n i a  konstytutywne):    C r f . r ­ ł  =  U ,  ar0­a0r+/ir2ir+­^+Hlny  = 0,  Yrr­У в о  =  ryoo.r  (<г„  ­  tree)2+(о* +<**)*. = %к2р ,  y „ . ­ ­ ^ ^ f a ­ * j ,  (6.10)  У о о  = —­—~—V*00­0"''  1+9»,  ,  1  '  У г6 =  ~ 2 ~ ~ t f w ) +  "2o"  < r t > '  l+c >,  1  y 0 r  =  ­ ^ ­ a ( 0 r ) + ­ 2 _ ( T < 0 r > ,  / " n  =  ( y + e ) « r z ,  z"zr  =  ( y ­ e ) ^ z r ,  gdzie  Up. = ^(Oro­Vor)2  +  ^(Prz+P*r) 2  + ^(/*rz­t*z,)2  <  I2,  0(X  oy  oS  Ze  zwią zków  (6.10) 1 _ 3  otrzymujemy  ­rar0,r  =  =  2o , r() — 2cr(r())  =  20*^ + ̂ , , .  Podstawiając  zwią zki  (6.11)  do pozostałych  r ó w n a ń  u k ł a d u  oraz  zastę pując  o d k s z t a ł c e n i a  przez  n a p r ę ż e n ia  w  zwią zkach  geometrycznych  zgodnoś ci  otrzymujemy  nastę pują cy  zre­ dukowany  u k ł a d  r ó w n a ń :  2ar0  + rcyr0,r  + firz,r+  +Hln~  =  0,  (6.12)  19  Mech.  Tcoret.  i  Stos.  3­4/84  <510  M .  W A G R O W S K A  {<гг г,тУ + (с о о .г) г  = ­ ^ A  (6.12)  ­rr  =  r\—;  ra„  [cd.]  2f*  I.  V  f  \+ r  y + e  /г   U k ł a d  powyż szych  r ó w n a ń  udaje  się s p r o w a d z i ć  do jednego  nieliniowego  r ó w n a n i a  róż­ niczkowego  zwyczajnego  na  z m i e n n ą  firz:  %ц к2  Cr(r  > n ,  rr ~ r2firz  ,r  + rfirz  + 4D)  fU.rz  ' l  H  \2V'2  y+s  %/xk2ń­  I ­r2firz,r  + г цГ 1  + r 2~­  +2Dl  I  (6.13)  1  "4  o r 0 t f .  Otrzymujemy  w ten spo­ s ó b  r ó w n a n i e  /  С  i  \  d2m  I  С  3  \dm  2m  4CD  H  _  \\/ljikr2  ~2a)  rfr2  \ i / 2 ^ A : r 3  2 a r /  dr  y + e  \Zljikr6  2 )  b*  =  (8rik2­A20)(b 2­Q2)2,  (6.17)  c z y l i ,  dla  a  =  0,3,  b  =  1,0  \/Ъ ц к2­Д   1ц Л ­  =  p+  у ( е2 . г 1 ) | / 8 / ^ ­ Л 0  .  (6.18)  P o r ó w n u j ą c  powyż sze  r ó w n a n i e  z  r ó w n a n i e m  (6.5),  widzimy,  że  róż ni  się  ono  od  niego  tylko  współczynnikiem  przy p,  przy  czym  w  r ó w n a n i u  (6.5)  współczynnik  ten jest  mniejszy.  W y n i k a  stą d,  że  wyznaczone  w  tym  przypadku  Q jest  wię ksze  niż  poprzednio,  tzn.  dla  cy­ lindra,  na  k t ó r y  działa  tylko  ciś nienie.  Przybliż ając  ar0  + a0r  przez  najmniejszą  w a r t o ś ć   sumy  otrzymujemy  j u ż  efekt,  wskazują cy  na  zwię kszenie  zakresu  strefy  uplastycznionej  poś lizgowo  w  wyniku  obcią ż eń  obję toś ciowych  momentami  mikropolarnymi.  Z m i a n ę   zakresu  strefy  uplastycznienia  p o k a z a l i ś my  na  rys.  10.  / л \п   V  P  03  u  /  у  r  1  / /а р г­1/н   i 3  ,°  6  1P  R y s .  10  19*  6\ 2 M .  W Ą G R O W S KA  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W .  N O W A C K I ,  Teoria  niesymetrycznej sprę ż ystoś ci,  P W N  1970,  Teoria  niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci,  W y d .  2  p o p r a w i o n e  i  rozszerzone,  1981.  2 .  L . M .  K A C H A N O V ,  Foundations of  the  theory of plasticity,  N o r t h ­ H o l l a n d  P u b l i s h i n g  C o m p a n y  — A m ­ s t e r d a m ,  L o n d y n  1971.  3.  Z .  O L E S I A K ,  M . W Ą G R O W S K A,  Zagadnienia  mikropolarnie  sprę ż ystej  rury gruboś ciennej,  M T i S ,  14,  1976.  4 .  M .  W Ą G R O W S K A,  Zagadnienia  uplastycznionego oś rodka  mikropolarnego,  r o z p r a w a  d o k t o r s k a ,  1 9 8 3 .  U n i w e r s y t e t  W a r s z a w s k i .  Inst.  M e c h .  5.  M . M i s i c u ,  On  theory of  asymmetric plastic and  viscoplastic plastic solids,  R e v u  R o u . S c i . tech.  Ser.  de  M e c h  A p p l .  9, 1969.  6.  H .  L I P P M A N N ,  Fine  Cosserat  Theorie des  Plastischen  FlieJSens,  A c t a  M e c h a n i c a ,  8,  1969.  7.  A .  S A W C Z U K ,  On yielding  of  Cosserat Continua,  A r c h .  M e c h .  S t o s .  3,  19,  1967.  Р е з ю ме   А К С И А Л Ь НО  С И М М Е Т Р И Ч Н ЫЕ  З А Д А ЧИ  М И К Р О П О Л Я Р Н ОЙ  Т Е О Р ИИ   П Л А С Т И Ч Н О С ТИ   В  р а м к ах  с р ед  с  с в о б о д н ы ми  в н у т р е н н ы ми  о б о р о т а ми  м ы р а с с м а т р и в а ем  у п р у г о ­ п л а с т и ч е с к ие   ц и л и н н д р и ч е с к ие  т е л а.  С р е да  п е р е н о с и ть  т а к же  м о м е н т н ые  н а п р я ж е н и я.  П р е д с т а в л е ны  у с л о в ия   т е к у ч е с т и,  о п р е д е л я ю щ ие  у р а в н е н и я,  а  т а к же  у р а в н е н ия  а к с и а л ь но  с и м м е т р и ч н ых  д в у х м е р н ых   з а д ач  д ля  у п р у г о ­ п л а с т и ч е с к их  т е л.  К ак ч а с т н ый  с л у ч ай  м ы  р а с с м а т р и в а ем  в л и я н ие  м и к р о п о л я р­ н ых  м а с с о в ых  м о м е н т ов  н а  р а з м ер  п л а с т и ч е с к ой  з о н ы.  S u m m a r y  A X I A L L Y  S Y M M E T R I C  P R O B L E M S  O F  T H E  M I C R O P O L A R  T H E O R Y  O F  P L A S T I C I T Y  W i t h i n  the  frames  o f  the  c o n t i n u u m  w i t h  free  r o t a t i o n s  we  co n s id e r  elastic­plastic  c y l i n d r i c a l  bodies.  T h e  c o n t i n u u m  is  c a p a b l e  o f  c a r r y i n g  m o m e n t  stresses.  W e  present  y i e l d  c r i t e r i a ,  co n s titu tiv e  e q u a t i o n s ,  a n d  the  equation s  for  the  a x i a l l y  s y m m e t r i c  p r o b l e m s  o f  t w o ­ d i m e n s i o n a l  elastic­plastic  bodies.  A s  a  spe­ c i a l  case  we discuss  the  effect  o f m i c r o p o l a r  mass  m o m e n t s  o n the  extent  o f the  plastic  z o n e .  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  26  stycznia  1984  roku