Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS84_t22z1_4_PDF_artyku³y\mts84_t22z3_4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3 ­ 4 ,  22  (1984)  Z R E D U K O W A N E  L I N I O W E  R Ó W N A N I A  P O W Ł O K  O  W O L N O  Z M I E N N Y C H  K R Z Y W I Z N A C H  Z E N O N  R Y C H T E R  ( B I A Ł Y S T O K )  1.  W s t ę p  Zginanie  sprę ż ystych,  izotropowych  p o w ł o k  o  małej  wyniosłoś ci  m o ż na  opisać  w  ra­ mach  liniowej  teorii  typu  Kirchhoffa­Love'a  za  p o m o c ą  u k ł a d u  d w ó c h  r ó w n a ń  wzglę dem  funkcji  n a p r ę ż eń  i  ugię cia,  otrzymanych  przez  Donnella  [1],  Musztari  [2]  i  W ł a s o w a  [3].  R ó w n a n i a  te  obowią zują  także  dla  p o w ł o k  wyniosłych,  jeż eli  o d k s z t a ł c e n i a  są  szybko  zmiennymi  funkcjami  współrzę dnych  na  ś r o d k o w ej  powierzchni  p o w ł o k i  (por.  [4]).  L i b a i  [5]  w y k a z a ł ,  że  wspomniane  r ó w n a n i a  są  również  waż ne  w  klasie  p o w ł o k  quasi­pologich,  dla  k t ó r y c h  iloczyn  krzywizny  Gaussa  i  kwadratu  długoś ci  fali  deformacji  jest  wielkoś cią   pomijaln ą  wobec  j e d n o ś c i.  K o i t e r  [6]  w p r o w a d z i ł  w  miejsce  ugię cia  jako  n i e w i a d o m ą   funkcję  odkształceń ,  uzyskując  r ó w n a n i a  o  strukturze  identycznej  z  r ó w n a n i a m i  [5].  Ł u k a s i e w i c z  rozwinął  w  szeregu  prac,  np.  [7],  koncepcję  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzy­ wiznach,  osłabiając  założ enia  przyję te  w  [ 1 ­ 6 ] .  Jednak  otrzymane  w  [7]  dwa  r ó w n a n i a  dla  funkcji  n a p r ę ż eń  i  ugię cia  są  znacznie  bardziej  skomplikowane  niż  r ó w n a n i a  [1  ­  6].  Usunię cie  tej  n i e d o g o d n o ś ci  jest  celem  niniejszej  pracy.  W y k a ż e m y,  że  zginanie  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach  m o ż na  opisać  za  p o m o c ą  prostych  r ó w n a ń  rozwią zu­ ją cych  teorii  p o w ł o k  quasi­połogich  [6];  pewnej  komplikacji  ulegają  przy  tym  tylko  wa­ r u n k i  brzegowe  oraz  wzory  na  o d k s z t a ł c e n i a  i  siły  w e w n ę t r z n e.  W y w ó d  r ó w n a ń  p o w ł o k  0  wolno  zmiennych  krzywiznach,  „ z r e d u k o w a n y c h "  w  stosunku  do  [7],  oprzemy  na  za­ ł o ż e n i a ch  upraszczają cych  nieco  odmiennych  od  przyję tych  w  [7],  ale  nie  silniejszych.  2.  Równania  podstawowe  Ś r o d k o wą  p o w i e r z c h n i ę  p o w ł o k i  parametryzujemy  za  p o m o c ą  krzywoliniowych  współ­ r z ę d n y ch  Xs,  przy  czym  indeksy  greckie  przyjmują  wartoś ci  ze  zbioru  (1,  2).  Jako  miary  o d k s z t a ł c e ń  i  sił  w e w n ę t r z n y ch  wybieramy  symetryczne  tensory  У а р (х *),  xa?(x a),  Nafl(x 6)  1  Map(x e),  wprowadzone  przez  Naghdiego  [8,  9]  (wymienione  tensory  mają  w  [8,  9]  do­ datkowo  falę  umieszczoną  nad  symbolem),  charakteryzują ce  odpowiednio  o d k s z t a ł c e n i a  b ł o n o w e ,  zmiany  krzywizn,  siły  b ł o n o w e  i momenty.  Wielkoś ci  te  czynią  z a d o ś ć  r ó w n a n i o m  r ó w n o w a g i  [8]  BI  =  N$­2bf;M$­Viifi№ f  + q'­Vim:  =  0,  614  Z .  R Y C H T E R  (z  k t ó r y c h  w  zwykły  s p o s ó b  wyeliminowano  siły  poprzeczne),  warunkom  nierozdziel  noś ci  [9]  A  =  d^Wi­b^p  + y ^ ­ b ^ b ^ J  = 0  oraz  r ó w n a n i o m  konstytutywnym  [8]  Afa/3  =  D[(l­v)xa{,  +  vaxfl}Ą ]>  gdzie  (2)  (3)  We  wzorach  tych  ^ ( л "5 )  jest  obcią ż eniem  stycznym,  c(.va)  obcią ż eniem  normalnym,  /«"(А ­'')  zaś  obcią ż eniem  p a r ą  sił, przy  czym  wielkoś ci te są odniesione  do jednostki  pola  ś rodkowej  powierzchni  p o w ł o k i ; aaf)(x a)  bxp(x e)  i dap(x d)  oznaczają  tensor  metryczny,  tensor  krzywizny  i  tensor  permutacyjny,  symbol  (  ) a  oznacza  powierzchniowe  r ó ż n i c z k o w a n ie  kowariantne.  Ponadto  E  jest  m o d u ł e m  Y o u n g a ,  h  zaś gruboś cią  p o w ł o k i ;  wielkoś ci  te  są  w  niniejszej  pracy  stałe.  Uproszczenia  r ó w n a ń  podstawowych  oprzemy  na  apriorycznych  oszacowaniach  ich  s k ł a d n i k ó w .  W tym celu  z a k ł a d a m y ,  że w s p ó ł r z ę d ne  xó  mają  wymiar  długoś ci.  W ó w c z a s  s k ł a d o w e  kowariantne,  kontrawariantne  i  mieszane  dowolnego  tensora  mają  wymiar  s k ł a d o w y c h  fizycznych.  W  szczególnoś ci  dla  s k ł a d o w y c h  tensora  metrycznego  i  permu­ tacyjnego  słuszne  są  wtedy  zwią zki  «а ?  =  0 ( 1 ) ,  daf  =  0 ( 1 ) ,  (5)  gdzie  symbol  A  =  0(B) oznacza  istnienie  takiej  stałej  dodatniej  d, że zachodzi  \A\ <  d\B\.  L i c z b y  R,  у  i  x,  charakteryzują ce  amplitudy  krzywizn,  o d k s z t a ł c e ń  b ł o n o w y c h  i od­ kształceń  zgię ciowych,  definiujemy  nastę pują co  IM*a)| < VR,  \У «р (х6)\  ^  у ,  \xafl(xa)]  ^  x.  (6)  Pochodne  krzywizn  oraz  miar  o d k s z t a ł c e ń  b ł o n o w y c h  i  zgię ciowych  wzglę dem  współ­ r z ę d n y ch  XЯ  m o ż na  ocenić  za p o m o c ą  długoś ci  fal LR,  LN  i  LM,  zgodnie  ze  wzorami  przy  czym  przy  szacowaniu  wyż szych  pochodnych  długoś ci  fal  nie  ulegają  zmianie,  np.  1  V  у   1М*%л1  <  ­  » 7 Г >  I M A J  *S ­fi­,  Ы х \х \  ś  TT­­ Z  r ó w n a ń  konstytutywnych  (3)  otrzymujemy  za  p o m o c ą  (5) i  (6)  oszacowania  sił wew­ n ę t r z n y ch  =  0(Ehy),  Map  =  0(Eh3x)  (8)  i  ich  pochodnych  У т п  =  0(Ehy/LN),  Мф ч =  0(Etfx\LM).  (?)  P O W Ł O K I  O  Z M I E N N Y C H  K R Z Y W I Z N A C H  6 1 5  Ze  zwią zków  (5) ­ (9)  bę dziemy  dalej  k o r z y s t a ć  bez  szczegółowego  o d w o ł y w a n i a  się.  Z a  ich  p o m o c ą  znajdujemy  oszacowania  s k ł a d n i k ó w  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  (1)  (bez  członów  obcią ż eniowych)  (10)  ( и )  в   i  w a r u n k ó w  nierozdzielnoś ci  (2)  3.  Równania  podstawowe  powłok  o  wolno  zmiennych  krzywiznach  F o r m u ł o w a n i e  założ eń  umoż liwiają cych  redukcję  r ó w n a ń  podstawowych  do  r ó w n a ń   p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach  zacznijmy  od  stwierdzenia,  że r ó w n a n i a  konsty­ tutywne  (3) nie są d o k ł a d n e ,  ich  residualny  błąd  wzglę dny jest  wielkoś cią  rzę du  h/R +  h2/L2  (L  jest  mniejszą  z  liczb  LN,  LM),  co w y k a z a ł  K o i t e r  [10]. Człony  tego  rzę du  m o ż e my  więc  p o m i j a ć  wzglę dem  jednoś ci  we  wszystkich  r ó w n a n i a c h ,  co  zapisujemy  w  postaci  warun­ k ó w :  hJR  ś  #2,  h\LN  ^  »,  ­hjLM  <.'*,  & 2  <  1,  (12)  gdzie  #  oznacza  pomocniczy  bezwymiarowy  parametr,  k t ó r e g o  kwadrat  i  wyż sze  potę gi  s ą p o m i j a l n ie  małe  wobec j e d n o ś c i;  warunkom  (12) odpowiadają  p o w ł o k i  cienkie  i niezbyt  silnie  zakrzywione,  k t ó r y c h  deformacje  zmieniają  się  odpowiednio  wolno  jako  funkcje  w s p ó ł r z ę d n y ch  x".  Drugie  człony  w  r ó w n a n i a c h  (10)2 i  (11)2 są  pomijane  w ramach  teorii  bezmomento­ wej  i przy  zginaniu  izometrycznym.  W  teorii  zgię ciowej,  aby z a c h o w a ć  te  człony,  musimy  założ yć,  że  R  I2,  у  R  L2M  hx   v  '  W  przypadku  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach  wyrazy  zawierają ce  pochodne  krzywizn  należy  odrzucić  w  r ó w n a n i a c h  (10)х i  (11) Ł ,  co jest  moż liwe  przy  spełnieniu wa­ r u n k ó w  A j L ^ L ^ a .  (14)  R  у  LR  R  hx  LR  R o z w i ą z a n ia  o g ó l n e  r ó w n a ń  (1)(  i  (2)x  m o ż na  wyrazić  za  p o m o c ą  funkcji  n a p r ę ż eń   (por.  [7]) i  funkcji  o d k s z t a ł c e ń  (por.  [6]), przy  czym  residualny  błąd  wzglę dny  tych  roz­ wią zań  nie przekroczy  # 2 , gdy  Ll\K\ILR  <  & 2,  L3M\K\ILR  <  » 2,  (15)  616  Z .  R Y C H T E R  gdzie  \K\  jest  m a k s y m a l n ą  wartoś cią  a bsol ut n ą  krzywizny  Gaussa  K(xó).  K l a s ę  p o w ł o k  q u a s i ­ p o ł o g i c h  okreś la  warunek  L2\K\  ^  &2  [6].  W  szerszej  klasie  p o w ł o k  o  wolno  zmien­ nych  krzywiznach  należy  przyjąć  słabsze  ograniczenie,  a  więc  L2N\K\  >  & 2,  L2M\K\  >  & 2.  (16)  P o  u w z g l ę d n i e n iu  (16),  z  nierównoś ci  (15)  otrzymujemy  LN\LR  <  1,  LM/LR  <  1.  (17)  K r z y w i z n a  Gaussa  dana jest  wzorem  К  =  1/(Я {Я2),  gdzie  R^x 0),  R2(x d)  są  promieniami  głównych  krzywizn.  Z  definicji  charakterystycznego  promienia  krzywizny  R  mamy  R  ^  \Rt\  i  R  <  | Л 2 | ,  a  więc  \K\  m o ż na  przedstawić  w  postaci  \K\  =  в /R 2,  gdzie  0 ^ 1 .  Wprowadzenie  parametru  0  zezwala  na  nastę pują cą  klasyfikację:  0  ~  1  odpowiada  p o ­ w ł o k o m  zbliż onym  do  sfery,  в  <4 1 charakteryzuje  powłoki  walcowe  i  stoż kowe,  p o ś r e d n ie  wartoś ci  0  o d n o s z ą  się  do  p o w ł o k  elipsoidalnych.  Po  uwzglę dnieniu,  że  \K\  =  O/R2,  wa­ r u n k i  (15)  przyjmują  p o s t a ć   W  r ó w n a n i a c h  p o w ł o k  o  małej  wyniosłoś ci  odrzucane  są  wobec  jednoś ci  człony  rzę du  L2/R2  (por.  [4]).  W  przypadku  p o w ł o k  o  ł a g o d n i e  zmiennych  krzywiznach  człony  tego  rzę du  należy  z a c h o w a ć ,  tj.  przyjąć   L2NIR 2  >  d2,  L2JR2  >  V2.  (19)  Spełnienie  w a r u n k ó w  (12)­(19)  jest  konieczne  do  otrzymania  nietrywialnych  (ogól­ niejszych  niż  znane  r ó w n a n i a  teorii  bezmomentowej,  r ó w n a n i a  p o w ł o k  o  małej  wynio­ słoś ci  i  p o w ł o k  quasi­połogich)  i  konsekwentnie  uproszczonych  (przez  odrzucenie  czło­ n ó w  r z ę du  ft2  <̂   1  i  mniejszych)  r ó w n a ń  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach.  We  wspomnianych  warunkach  wystę puje  szereg  bezwymiarowych  p a r a m e t r ó w .  W a r t o ś ci  sześ ciu  z  nich  m o ż na  z a d a ć  niezależ nie  (np.  h/R,  kufy,  в ,  LN/LM,  LN/R,  LN/LR).  Dalej  nie  bę dziemy  a n a l i z o w a ć  wszystkich  moż liwych  p r z y p a d k ó w ,  lecz  przyjmiemy  h/R  =  &2,  hx/y  =  1,  LN  =  LM  =  L.  (20)  Pierwszy  z  tych  w a r u n k ó w  oznacza,  że  p o w ł o k a  jest  cienka  (nadając  też  sens  fizyczny  parametrowi  • &), z  p o z o s t a ł y c h  wynika,  że  deformacja  p o w ł o k i  jest  zgię ciowa.  P o  wyko­ rzystaniu  (20),  warunki  (12)  ­  (19)  znacznie  się  redukują,  przyjmując  p o s t a ć   0  <  L/R  <  1,  (L/R)2(L/LR)0  § 2,  L/LR  ą b,  в  «£  1.  (21)  N i e r ó w n o ś ci  (21),  uczynimy  z a d o ś ć  k ł a d ą c  L/R  =  [/W,  (22)  co  odpowiada  deformacjom  o  umiarkowanej  zmiennoś ci  (dla  p o r ó w n a n i a :  L/R  =  1  oznacza  deformacje  wolno  zmienne,  wystę pują ce  w  teorii  bezmomentowej,  L/R  =  #  charakteryzuje  o d k s z t a ł c e n i a  szybkozmienne,  opisywane  r ó w n a n i a m i  p o w ł o k  o  małej  wyniosłoś ci).  P o  uwzglę dnieniu  (22),  warunki  (21)  ulegają  uproszczeniu  do  postaci  (L/LR)0  <  0,  L/LR  с  1,  6 < t .  (23)  P O W Ł O K I  O  Z M I E N N Y C H  K R Z Y W I Z N A C H  617  Czyniąc  z a d o ś ć  zależ noś ciom  (23),  otrzymujemy  dwa  fizycznie  interesują ce  przypadki  ( 0 = 1 ,  L\LR  < 0 ) ,  (в < &,  L/LR  =  1).  (24)  W a r u n k o m  (24)j  odpowiadają  p o w ł o k i  o  prawie  r ó w n y c h  krzywiznach  g ł ó w n y c h  (zbli­ ż o ne  do sferycznych),  zmieniają cych  się wolniej  niż o d k s z t a ł c e n i a .  W przypadku (24)2  mamy  do czynienia  z  p o w ł o k a m i  o  r ó ż n y ch  krzywiznach  głównych  (np. w y d ł u ż o ne  eli­ psoidy),  k t ó r y c h  z m i e n n o ś ć  jest  taka  sama  jak  z m i e n n o ś ć  deformacji.  Ostatecznie  klasę  r o z w a ż a n y ch  w tej pracy  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach  okreś lają  warunki  (20), (22), (24), przy  k t ó r y c h  oszacowania  (10), (11) s k ł a d n i k ó w  r ó w ­ n a ń  podstawowych  przyjmują  p o s t a ć :  ga.  [Q(i)  —Q($2) —Q(ff3­2)],  Fk  ( 2 5 )  Я : ­ ^ [ 0 ( 1)  + 0(#)­0(#2)]  Я   oraz  A*:  ~  [0(1)+Oftf2)+0(fl3­2)],  (26)  Л : ^ ­ [ ­ 0 ( 1 ) + 0 ( # ) ­ 0 ( #2 ) ] ,  gdzie  w y k ł a d n i k  przed  przecinkiem  odpowiada  przypadkowi  (24)t,  a  po  przecinku  —  (24)2.  W obu przypadkach  p o d k r e ś l o ne  człony  są pomijalnie  m a ł e  wobec  j e d n o ś c i; od­ rzucając  ich odpowiedniki  w (1) i (2),  otrzymujemy  B*  = NfZ  + q«­b«mv  = 0,  В  =  b#N*+M&,±C+mf a  = 0   ( 2 7 )  oraz  А *  ш  4*(Г *Х ф ,  =  0,  A  = d ^ d ^ ­ b ^  + y ^ )  = 0.  ( 2 8 )  Są  to  zredukowane  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  i  warunki  nierozdzielnoś ci  p o w ł o k  o  wolno  zmiennych  krzywiznach.  Formalnie,  r ó w n a n i a  te nie  róż nią  się od r ó w n a ń  p o w ł o k  połogich  i  q u a s i ­ p o ł o g i c h ,  jednak  otrzymano je przy  słabszych  założ eniach,  p r o w a d z ą c y ch  do  od­ miennych  rozwią zań.  4.  Równania  rozwią zują ce  Siły  w e w n ę t r z ne  i  o d k s z t a ł c e n i a  m o ż na  wyrazić  za p o m o c ą  funkcji  n a p r ę ż eń  Ф (хв)  i  funkcji  o d k s z t a ł c e ń  Wipf),  tak aby r ó w n a n i a  (27),  i (28), były  s p e ł n i o n e  t o ż s a m o ś c i o w o.  W  tym celu  r o z w a ż my  wyraż enia  *­m  х а р =  ­Ф^­а ^К Р ,  (29)  gdzie  P'^ix6)  jest  całką  szczególną  (27),.  Podstawiając  (29)  do (27),  i (28)i, i  korzystając  ze  znanych  zwią zków  geometrycznych  (por.  [8])  dpxdx"  = a^a^­a^a^,  Й <%|/ы  =  Kduv\  (30)  6 1 8  Z .  R Y C H T E R  gdzie  va(x*) jest  dowolnym  wektorem,  otrzymujemy  w  (27)!  i  (28)i  residualny  błąd  bez­ wzglę dny  rzę du  0(Ф \К \/Ья}  i  0( lF\K\/LR),  przy  czym  najwię ksze  wyrazy  w  tych  r ó w n a ­ niach  są  rzę du  0 ( Ф / £3 )  i  0(lF/L3).  Zatem  residualny  błąd  wzglę dny  jest  wielkoś cią  rzę du  0(L3\K\jLR),  k t ó r ą  zgodnie  z założ eniami  (15)  m o ż na  p o m i n ą ć  wobec j e d n o ś c i.  P o podsta­ wieniu  (29) do  (3) i  uwzglę dnieniu  (30)!  oraz  a" =  2, znajdujemy  wzory  uzależ niają ce  od  Ф  i  W p o z o s t a ł e  o d k s z t a ł c e n i a  i  siły  w e w n ę t r z ne  У *в  =^h[­aapA0+(l+v)0al)­(\­v)aapK0­r­(\+v)Pal)­vaaPPj],  Mai1  =  Dl­va^AW­  (1 -V)¥M-(1+v)a^m>], gdzie  A(  )  =  (  )|S  jest  operatorem  Laplace'a.  Podstawiając  (29) i  (31) do  (27)2 i  (28)2 i  korzystając  z  (30), otrzymujemy  r ó w n a n i a  rozwią zują ce  dla funkcji  Ф i W  B:  DA  А  Ч '+АКФ  =  q +  m^+b^P^,  P  (32)  А :  А А Ф  — E/iAK4 y  =  JPg^O +  gdzie  M )  =  ^ ( ) ­ H ) W .  (33)  W  trakcie  przekształceń  odrzucono  mał e  człony  zawierają ce  krzywiznę  Gaussa.  K o r z y ­ stając  z  (30)2  zmieniano  też  p o r z ą d ek  r ó ż n i c z k o w a n ia  kowariantnego  (np.  =  =  AAlI/[[+0(\K\L2)],  a  p o n i e w a ż  przy  naszych  z a ł o ż e n i a ch  mamy  \K\L2  ^  &  oraz  DAA4J  =  0(#/1кФ ),  to  wpływ  p o d k r e ś l o n e go  członu  jest  w  r ó w n a n i u  В  nie wię kszy niż   # 2 ,  a  więc  pomijalny).  R ó w n a n i a  rozwią zują ce  u z u p e ł n i m y  statycznymi  warunkami  brzegowymi  (por.  np.  [11])  Q«  = NPxvp  +  0(Eh3x/R),  Q  =  M^Vp  + iM^vJplst',  (34)  M  =  Ma\v?,  w  k t ó r y c h  na  krawę dzi  ś r o d k o w ej  powierzchni  powłoki  z jednostkowym  wektorem  stycz­ nym  tp i  normalnym  va  zadano  dwie  s k ł a d o w e  Q a  siły  stycznej  do powierzchni  ś r o d k o w e j,  skalar  Q  stanowią cy  k o m b i n a c j ę  siły  poprzecznej  i  pochodnej  w  kierunku  tp  momentu  skrę cają cego  oraz  moment  zginają cy  M\  we wzorze  na  Qa  p o m i n i ę to  mał y  człon  rzę du  0 ( # 2 g a ) .  Podobnie  upraszczają  się  znane  (por.  [11])  deformacyjne  warunki  brzegowe  p*  =  t'\l"p)..at\  (35)  V  =  tat^yxp,  w  k t ó r y c h  dane  są s k ł a d o w e  /л *, fi  wektora  zmian  krzywizn  konturu  p o w ł o k i  oraz  wydłu­ ż enie  konturu  //. Korzystając  z (29) i (31) nietrudno jest  wyrazić  prawe  strony  w a r u n k ó w  brzegowych  (34) i (35) przez  funkcje  Ф i W.  P O W Ł O K I  o Z M I E N N Y C H K R Z Y W I Z N A C H 6 1 9 Wyznaczenie  przemieszczeń  stycznych  ua(x 6)  i  ugię cia  w(x*) wymaga  scałkowania  zwią zków  geometrycznych  [8]  Yaf) = ~2  (Ц х )р +  "p\a)  ­  Ьар  W,  ^36)  Muf =  ­Wiap +  bpbraW­bpU^­baU^p­b^pU,,  co  w o g ó l n y m  przypadku  jest  trudnym  zadaniem.  R ó w n a n i a  rozwią zują ce  (32) są bardzo  proste  i  identyczne  z  r ó w n a n i a m i  znanymi dla  p o w ł o k  quasi­pologich  i  połogich  (w ostatnim  przypadku  funkcję  odkształceń  zastę puje  ugię cie,  por. [4]), natomiast  warunki  brzegowe  (34), (35) oraz  wzory  na  odkształcenia  i  siły  w e w n ę t r z ne  (29), (31) są z powodu  obecnoś ci  członów  К Ф i К Ч ' nieco  bardziej  zło­ ż o ne  niż odpowiednie  warunki  i  wzory  dotyczą ce  p o w ł o k  o  małej  wyniosłoś ci  i  p o w ł o k  quasi­połogich.  W pracy  [7] otrzymano  dla p o w ł o k  o wolno  zmiennych  krzywiznach  dwa  r ó w n a n i a  z  funkcją  n a p r ę ż eń  i  ugię ciem,  znacznie  bardziej  skomplikowane  od  r ó w n a ń   (32),  przy  analogicznych  założ eniach  upraszczają cych  (jedyna  róż nica  polega  na  uwzglę d­ nieniu  w [7] członów  rzę du  h/R, k t ó r e  w tej pracy  p o m i n i ę to  wobec j e d n o ś ci  ze wzglę du na  d o k ł a d n o ś ć  r ó w n a ń  konstytutywnych,  por. [10]).  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1. L . H . D O N N E L L ,  Stability  of  thin­walled  tubes under  torsion,  N A C A ,  R e p . N o . 4 7 9 , 1 9 3 3 . 2 . X . M .  М У Ш Т Л Р И,  Н е к о т о р ы е  о б о б щ е н и я  т е о р и и  т о п к и х  о в о л о ч е к ,  И з в. Ф и з. М а т.  К а з а н с к.  У н и в .,  2 ,  с е р. 8 , 1 9 3 8 .  3 .  В . 3 .  В Л А С О В,  О б щ а я  т е о р и я  о б о л о ч е к ,  М о с к ва  —  Л е н и н г р ад  1 9 4 9 .  4 .  К . 3 .  Г А Л И М ОВ  ( р е д . ),  Т е о р ия  о б о л о ч ек  с  у ч е т ом  п о п е р е ч н о го  с д в и г а,  И з д а т.  К а з а н с к.  У н и в .,  1 9 7 7 .  5.  A . L I B A I ,  On the nonlinear elastokinetics of shells  and beams,  J o u r n .  A e r o s p .  S c i . , 29,  1190 ­  1195,  1962.  6.  W . T .  K O I T E R ,  On the nonlinear theory  of  thin elastic shells, P r o c .  K o n .  N e d .  A k .  W e t . ,  1, B 6 9 , 1966.  7.  S. Ł U K A S I E W I C Z ,  Równania  liniowej  zgię ciowej teorii powłok o wolno zmiennych krzywiznach,  M e c h .  T e o r .  S t o s . , 2,  19, 1 9 8 1 . 8.  P . M . N A G H D I , Foundations of elastic shell theory, Progress  i n S o l i d  M e c h a n i c s ,  v o l . 4, 1963. 9.  P . M . N A G H D I , A new derivation of the general equations of elastic shells,  Int. J .  E n g .  S c i . , 1, 1963. 10.  W . T . K O I T E R , A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells,  P r o c .  Ш Т АМ   S y m p .  D e l f t  1959,  N o r t h ­ H o l l a n d ,  A m s t e r d a m 1960.  U .  H . П .  А Б О В С К И Й,  H . П .  А Н Д Р Е Е В,  А . П .  Д Е Р У Г А,  В а р и а ц и о н н ы е  п р и н ц и п ы  т е о р и и  у п р у г о с т и   и  т е о р и и  о б о л о ч е к ,  Н а у к а,  М о с к ва  1 9 7 8 .  Р е з ю ме   У П Р О Щ Е Н Н ЫЕ  Л И Н Е Й Н ЫЕ  У Р А В Н Е Н ИЯ  О Б О Л О Ч ЕК  С  М Е Д Л Е Н НО   И З М Е Н Я Ю Щ И М И СЯ  К Р И В И З Н А МИ   Р а с с м о т р е на  л и н е й н ая  т е о р ия  К и р х г о фа  —  Л я ва  т о н к их  у п р у г их  о б о л о ч ек  с  м е д л е н но  и з м е н­ я ю щ и м и ся  к р и в и з н а м и.  П р и в е д е ны  д ва п р о с т ые  у р а в н е н ия  д ля ф у н к ц ии  у с и л ий  и  ф у н к ц ии  д е­ ф о р м а ц и й,  п о д о б н ые  у р а в н е н и ям  п о л о г их  о б о л о ч ек  [1 ­  6 ] , с  н е к о л ь ко  у с л о ж н е н н ы ми  в ы р а ж е н и я­ м и  д е ф о р м а ц и й,  у с и л и й,  м о м е н т ов  и  г р а н и ч н ых  у с л о в и й.  П р е д л а г а е м ые  у р а в н е н ия  з н а ч и т э л ь но   п р о щ е,  ч ем у р а в н е н ия  о б о л о ч ек  с  м е д л е н но  и з м е н я ю щ и м и ся  к р и в и з н а ми  С .  Л у к а с е в и ча  [7].  620  Z .  R Y C H T E R  S u m m a r y  R E D U C E D  L I N E A R  E Q U A T I O N S  O F  S H E L L S  W I T H  S L O W L Y  V A R Y I N G  C U R V A T U R E S  T h e  l i n e a r  K i r c h h o f f ­ L o v e  type  theory  o f  t h i n  elastic  shells  w i t h  s l o w l y  v a r y i n g  curvatures  is  dealt  w i t h .  T w o s i m p l e  g o v e r n i n g  equations  in  terms  o f a  stress  f u n c t i o n  a n d  a  s t r a i n  f u n c i o n  are  d e r i v e d , s i ­ m i l a r  to  those  o f s h a l l o w  a n d  q u a s i ­ s h a l l o w  shells  [1 ­ 6],  w i t h  o n l y  s l i g h t l y  m o r e  c o m p l e x  expressions  f o r  the  strains,  i n t e r n a l  forces  a n d the  b o u n d a r y  c o n d i t i o n s .  T h e equation s  are  c o n s i d e r a b l y  reduce d  as  c o m ­ pared  to  the  equation s  o f  shells  w i t h  s l o w l y  v a r y i n g  curvatures  due to  Ł u k a s i e w i c z  [7].  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  14  wrześ nia  1983  roku