Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z1.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A 1  STOSOWAN A 1,  21  (1983) METODA  ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH  W  STATECZNOŚ CI  KONSTRUKCJI11 ZENON   W A S Z C Z Y S Z Y N Politechnika  Krakowska 1.  Uwagi  wstę pne Rozwój  teorii  stateczn oś ci,  widoczn y  p o  ostatn iej  wojnie  ś wiatowej  doznał   istotnego przyspieszenia  w  ostatn ich  15- tu  latach .  Ś wiadczy  o  tym  bogata  bibliografia.  Obok  wzno- wień  klasycznej  m on ografii  S. P .  TI M OSH E N KI  i  J. H .  G E R E  [76] oraz A.  PF U U G ERA  [60] po- jawił y  się   ksią ż ki  A.  S.  WO LM I R A  [84], H .  Z I EG LER A  [89], J. M .  TH OM PSON A  i  G . W.  H U N - TA  [75],  K.  H U SE YI N A  [34],  D . O.  BRU SH AiB. O.  ALM R OTH A  [15],  ostatn io N . A.  AŁ F U - TOWA  [1]. Opublikowan o  też wiele prac przeglą dowych,  dotyczą cych  ukł adów  sprę ż ystych i  sprę ż ysto- plastycznych  [27,  36,  66,  67,  77].  Był o  organizowanych  wiele  konferencji  po- ś wię conych  statecznoś ci  kon strukcji  —  warto  zwrócić  uwagę   n a  t e,  po  których  został y opublikowan e  peł n e  teksty  referatów  [16,  69,  72,  80].  Spoś ród  rozwijanych  zagadnień należy  podkreś lić  duże  zain teresowan ie  statecznoś cią   ukł adów  dyskretnych.  Zaję to  się rozwinię ciem  koncepcji  W.  T .  K oitera  analizy  stanów  pozakrytycznych  i  wpł ywu  imper- fekcji,  róż nymi  kryteriam i  u t rat y  statecznoś ci,  oszacowan iem  zakresu  obowią zywania teorii  liniowych.  U wzglę dniając  nieliniowoś ci  geometryczne  i  fizykalne  zwrócono  uwagę n a  wpł yw  zachowan ia  się   obcią ż eń  podczas  odkształ can ia się   konstrukcji.  Ostatnio  coraz wię cej uwagi poś wię ca  się  waż n ym  ze wzglę dów inż ynierskich  problem om statecznoś ci przy dział an iu  obcią ż eń  wieloparam etrowych . Silny  rozwój  teorii,  zwł aszcza  dotyczą cej  statecznoś ci  ukł adów  dyskretnych,  był   sty- m ulowany  koniecznoś cią   prowadzen ia  obliczeń  niezbę dnych  dla  praktyki  inż ynierskiej. Kom puterowa  tech n ika  obliczeniowa  i  m etoda  elem en tów  skoń czonych  (M ES) znalazł y tutaj  szerokie  moż liwoś ci  zastosowań .  W  pierwszym  rzę dzie  zaję to  się   problem am i linio- wymi,  sprowadzają c  je  do  algebraicznych  zagadn ień  obliczania  wartoś ci  i  wektorów  wł a- snych.  Stał o  się   to  moż liwe  m .in .  dzię ki  koncepcji  macierzy  geometrycznej  wstę pnych n aprę ż eń  [5,  25,  50].  Takie  podejś cie  zastosowan o  do  analizy  wyboczenia  ram  [29,  47], pł yt  [3,  40]  i  powł ok  [26,  53,  57].  P o  doł ą czeniu  m acierzy  m as  zaczę to  badać  problemy utraty  statecznoś ci  przy  obcią ż eniach  niekonserwatywnych  [6].  Warto  dodać,  że  proble- m atyka statecznoś ci w uję ciu  M E S szybko weszł a do monografii  i podrę czników  [52, 62, 91]. -   1 }  Praca został a wykonana  w ramach PW  05.12  i przedstawiona  jako  referat  problemowy  na V Kon- ferencji  Metod  Komputerowych  w  Mechanice  Kon strukcji—Karpacz,  6- 9.V.1981,  Jej  obszerny  skrót pt.  „ Stosowanie metody  elementów  skoń czonych  w analizie  statecznoś ci  konstrukcji"  został  opublikowany w T.  3 materiał ów, wydanych  w P racach N aukowych  Instytutu Inż ynierii  Lą dowej  Politechniki Wrocł aw- skiej,  N o 28, 1981, s.  101 -   121. 4  Z .  WASZ C Z YSZ YN Opieranie  się   na  równaniach  teorii  drugiego  rzę du,  wystarczają ce  w  liniowej  analizie wyboczenia, jest niewystarczają ce  do badan ia  bardziej  zł oż onych, nieliniowych  problemów utraty  statecznoś ci.  Z tego  wzglę du  dużo  uwagi  poś wię cono  sformuł owaniu  odpowiednich modeli  matematycznych  oraz  metod  obliczeniowych  w  ram ach  M ES  (bogatą   bibliografię moż na  znaleźć  w  [42]).  Algorytmizacja  poszł a  w  dwóch  kierunkach.  Pierwszy  obowią zy- wał   do  koncepcji  koiterowskich,  ł ą cząc  aproksymację   M ES  z  metodą   perturbacji  i  roz- winię ciami  w  szeregi  potę gowe  [21, 44,  48,  74,  78,  82].  Takie  uję cie  jest jedn ak  efektywne tylko  w ustrojach  o mał ej liczbie  stopni swobody  lub  o .strukturze  pasmowej,  gdyż  wymaga posł ugiwania  się   macierzami  o  duż ych  rozmiarach  (trzeciego  i  czwartego  rzę du). Kom pu- terowe  realizacje  okazał y  się   mał o  ogólne,  gdyż  w  niewielkim  stopniu  korzystają   ze  stan- dardowych  procedur. D rugi  kierunek  nawią zuje  do  uję ć  „ kom puterowych",  wykorzystują c  przede  wszyst- kim  metody  i  algorytmy  algebry  liniowej.  Stał o  się   to  moż liwe  przede  wszystkim  dzię ki sformuł owaniom  przyrostowym  [8,  30,  79],  ł ą czonym  z  odpowiednimi  proceduram i  ite- racyjnymi  [70,  71].  Charakterystycznym  objawem  był   rozwój  tych  koncepcji  prawie  rów- nolegle  z  uję ciami  liniowymi  analizy  statecznoś ci  przy  uż yciu  M ES  [26,  47,  87].  Obecnie problemy  te  wchodzą   już  do  podrę czników  [92]. W  pracy  zajmiemy  się   wybranymi  problemami  zwią zanymi  ze  stosowaniem  M ES w  analizie  statecznoś ci  konstrukcji  lą dowych.  Celem  pracy  jest  pokazanie  wzajemnych sprzę ż eń  mię dzy  teorią   statecznoś ci  konstrukcji  a  M ES,  w  szczególnoś ci  n a  moż liwoś ci tej  metody  w  zakresie  analizy  nieliniowej.  N ajpierw  przypomnimy  podstawowe  koncepcje nieliniowej  analizy  statecznoś ci  ukł adów  dyskretnych,  poddan ych  dział aniu  wielopara- metrowych  obcią ż eń  konserwatywnych.  Problemy  obliczania  statecznych  i  niestatecznych ś cież ek  równowagi  poł ą czymy z wyznaczaniem  pun któw  krytycznych.  Wskaż emy  dalej  n a moż liwoś ci  obliczania  statecznoś ci  ukł adów  sprę ż ysto- plastycznych  i  quasi- konserwatyw- nych. Oprzemy  się   czę ś ciowo  na  opracowaniach  [81,  80]  oraz  n a  studium  literatury,  ukie- runkowanym  pracami  prowadzonymi  w  Instytucie  M echaniki  Budowli  Politechniki  Kra- kowskiej  w  ramach P W  05.12. 2. Równowaga układów konserwatywnych Ograniczamy  się   do  ukł adów dyskretnych  o  TV stopniach  swobody,  którym  odpowiada wektor2)  uogólnionych przemieszczeń  wę zł ów: <7  =   {t fJ =   {q u ...,q N }eR N  (2.1) W  M ES przemieszczenia  q t   ł ą czone  z wę zł ami, lub  też jako  tzw.  uogólnione  stopnie  swo- body  [92]  są   wykorzystywane  do  aproksymacji  pola  przemieszczeń  elementu  skoń czo- nego  e: «W  =   N q^   i/ lub  Au^   =   NAqV\   (2.2) 2 )  W  dalszym  cią gu  przez  wektor  ro zu m iem y  m acierz jed n o ko lu m n o wą ,  piszą c jej  skł ad o we  p o zio m o i  ujmują c  je  w  klam ry. M E T O D A  ELEM EN TÓW  SK O Ń C Z O N YCH   5 gdzie N  jest  macierzą   funkcji  kształ tu, a qw  wektorem  przemieszczeń  wę zł owych  elemen- tu e. Obcią ż enia  pozawę zł owe  (n p. powierzchniowe  w powł okach )p(u, X)  i wę zł owe  G{u, X) dzię ki  aproksymacji  (2.2) i  stan dardowem u  postę powaniu  M ES (por. n p.  [92]) reduku- jemy  do równoważ nych,  uogólnionych  obcią ż eń  wę zł owych: P  =  P(q,X)eR N .  (2.3) Po'dajemy  ogólny  przypadek,  gdy  obcią ż enia  zewnę trzne  P  są   funkcjami  przemieszczeń  ą oraz  M  niezależ nych  param etrów  obcią ż enia A: A=   {A*}s  {A\   ...  KM\ eRM.  (2.4) Rozważ ania  bę dziemy  prowadzili  też  w  przestrzeni  konfiguracyjno- obcią ż eniowej RH+M  O  - wektorze  wodzą cym g -   \ q,ti*  {q a }eR K + M .  (2.5) Energia  potencjalna  ukł adu  skł ada się  z energii  sprę ż ystej  U i pracy  obcią ż eń  zewnę trz- nych  W : m s V t/ «%< c>; 3^)- TPq, (2.6) l gdzie  Ł/ (e) jest  energią   sprę ż ystą   pojedynczego  elementu  skoń czonego  (ES). D odatkowo wartość  energii  uzależ niliś my  od wstę pnych  niedokł adnoś ci  w ES, które  ł ą cznie dla  cał ego ukł adu  tworzą   wektor  imperfekcji *  = { 3l ,...,3 s }sR*  '  (2.7) Jeś li  ukł ad  jest  w  równowadze,  to  speł niony jest  warunek  stacjonarnoś ci  energii po- tencjalnej : ÓV=  0,  ską d  ÓU-   - dW .  (2.8) Stan  równowagi  m oż na też obliczyć  z zasady  prac  wirtualnych: <5L,V -   SL t.  (2,9) W  ukł adach  konserwatywnych  (U K) obydwa  sformuł owania  są  równoważ ne, w  szcze- gólnoś ci  zarówno  uogóln ion e  sił y  wewnę trzne, jak  też zewnę trzne  są   potencjalne,  a wię c dla  (2.9) moż na  zbudować  odpowiedni  funkcjonał   nazywany  energią   potencjalną   (2.6). W  dalszym  cią gu  zajmujemy  się  ukł adam i U K. D la  niezależ nych  przemieszczeń  q t   z  (2.8) otrzymujemy  ukł ad'równ ań  równowagi: V t (q;  B),  •   U t (qi 3)- Pt(q,  X) =  0.  (2.10) F unkcje  V t  moż emy  rozwiną ć  w  otoczeniu q  w  szereg  T aylo ra 3 ) : 3 )  Powtarzają cy  się   wskaź nik  oznacza  sumowanie,  przy  czym  dolne  wskaź niki  przebiegają   wartoś ci 1,  ...,N ,  a  górne  1,  ..., M,  gdyż  numerują   one skł adowe wektorów  q  i  X. Wskaź niki  greckie  są   uż ywane dla skł adowych  wektora  7/, stą d  odpowiadają   one liczbom  naturalnym  1,  ...,N +M. 6  Z.  WASZCZYSZYN Przyrównanie  lewej  strony  do zera  i  zachowanie  czł onów liniowych  wzglę dem  przyrostów A  q  prowadzi  do  ukł adu  równań  przyrostowych  M ES  [81]: (Uu- PJAqj  =  Pf4X" +  (Pt- Ud,  (2.11) gdzie przyję liś my  oznaczenia pochodn ych: 8 2 U U u - U,  - (2.12) 8V 8q t W  dalszym  cią gu  obok  zapisu  wskaź nikowego  bę dziemy  też  posł ugiwali  się   notacją macierzową   oraz  oznaczeniami  ogólnie  przyję tymi  w  M ES  dla  macierzy  sztywnoś ci  K, obcią ż eń  P  i  sił   residualnych  R.  Przyrostowe  równanie  równowagi  (2.11)  m oż na  n apisać w postaci: KAq  m P'AX+R,  (2.13) gdzie styczna  macierz  sztywnoś ci skł ada się   z nastę pują cych  macierzy Ko —  macierz  mał ych  przemieszczeń, K„- —macierz  począ tkowych  naprę ż eń, K„  —  macierz począ tkowych  przemieszczeń,  (2.15) KG   = Kff+ Ku —  macierz  geometryczna, K p  —  macierz począ tkowych  obcią ż eń, Kc  —  macierz ukł adów  grawitacyjnych. W  równaniu  (2.13).wystę puje  też macierz obcią ż eń  odniesienia P' =  - Ę ~.  (2- 16) która  w  szczególnym  przypadku  jednoparam etrowych,  proporcjonalnych  obcią ż eń  wy- nosi  [81]: p  =   &  _>  p'  =  p  (2.17) Obliczanie  sił  residualnych  JR: R  =  P- F,  (2.18) gdzie F  —  {Ui),  ma  istotne  znaczenie w  procedurach iteracyjnych,  gdyż  ich  wyzerowanie oznacza  osią gnię cie  powierzchni  (ś cież ki)  równowagi. M acierze  (2.14)  otrzymuje  się   dla  opisu  Lagrange'a  (por.  [30,42]).  M oż na też  stosować opis  uaktualn ion y  ze  współ rzę dnymi  współ obrotowymi  [7, 42]. Trudn o  wskazać  n a  pre- ferencje  któregoś  z  opisów,  gdyż  ich  zalety  są   zależ ne  od  typu  konstrukcji  (prę towe/ po- wierzchniowe)  i  obcią ż eń  (grawitacyjne,  ś ledzą ce).  W  pracach  autora  i jego  współ pracow- ników  posł ugiwano  się   współ rzę dnymi  współ obrotowymi  w  analizie  kratownic  [19,  80] i współ rzę dnymi  Lagrange'a  przy  liczeniu  powł ok  [54,  55]. W  dalszym  cią gu  ograniczamy się   do  cał kowitego  opisu  Lagrange'a  (Total  Lagrangian  F orm ulation ). 8  Z .  WASZ C Z YSZ YN (jeś li  dla  ś cież ki  pobifurkacyjnej  w  X =   X c   zachodzi  dl\ dr\   ^  0) i  symetrycznych pun ktach bifurkacji  stanów  równowagi.  Z  kolei  symetryczne  pun kty  mogą   być  stateczne  (jeś li  dla X — X c   zachodzi  d\ \ dv\   =   0Ad2Xjd7]2  >  0)  lub  niestateczne.  T aka  klasyfikacja  jest  po- wszechnie  uż ywana  (por. n p.  [34,  66,  75]); gdyż  okreś la  on a  tzw.  czuł ość  konstrukcji  n a imperfekcje.  N ie wnikają c  w  szczegół y  warto  tylko  przypom n ieć, że jedynie  w  przypadku gdy  w  idealnej  konstrukcji  sprę ż ystej  wystę puje  symetryczny,  stateczny  pu n kt  bifurkacji, to  jest  ona  nieczuł a n a  mał e  imperfekcje.  W  in n ych  przypadkach  imperfekcje  powodują , że w  konstrukcji  nieidealnej może pojawić  się  pu n kt graniczny  (na rys.  1 pokazan o uprosz- czone  wykresy,  przyjmują c  jako  rzę dną   amplitudę   a  postaci  wyboczenia  i  zaznaczają c Jinią   kreskowaną   niestateczne ś cież ki  równowagi). X X 3o . Q B  sym.  stat. Rys .  1 X i B 3<0  \ / 3>0 1 r  B sym. niestat. Klasyfikacja  pun któw  krytycznych  dla  obcią ż eń  wieloparametrowych  jest  znacznie bardziej  zł oż ona  [34].  Rozwią zanie  (3.2)  okreś la  powierzchnię   równowagi,  n a  której  wa- run ek  (3.3) pozwala  wyznaczyć  strefę   krytyczną .  W  przypadku  obcią ż enia  dwuparam etro- wego  M  —  2, pokazanego  n a  rys.  2,  strefa  ta  staje  się   krzywą   krytyczną   (miejsca  geome- tryczne punktów  krytycznych). specjalny  punkt krytyczny (bifurkacyjnyl strefa  krytyczna ś cież ka  równowagi \  podstawowa powierzch n io równowagi granica  statecznoś ci punkt osobliwy powierzchnia  równowagi Rys.  2 METOD A  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH   9 Analogicznie  do  (3.5)  moż na  wyróż nić  dwa  przypadki  szczególne  [80]: a)  specjalny  pun kt  krytyczny,  gdy  znikają   wszystkie  skł adowe  macierzy  cl (odpowiada to  bifurkacji  stanów  równowagi  —  rys.  2a): A  d\   =  0,  (3.6a) / .  k b)  ogólny  pun kt  krytyczny  wystę puje,  jeś li  istnieje  tylko  jeden,  róż ny  od  zera  minor macierzy  d, taki  aby  jej  rzą d  wynosił V ra(df) =  M - 1 =* V  AXk  ±  0,  (3.6b) i,k  k b')  osobliwy  pun kt  krytyczny  powstaje,  gdy  wystę puje  tylko  trywialne  rozwią zanie \ J  Ą   #   0 =* f\   AXk = 0.  (3.6b'> i.k  k' W  inż ynierskich  zastosowaniach  szczególnie  waż na  jest  powierzchnia  graniczna  sta- tecznoś ci  (granica  statecznoś ci  gdy  M  =  2),  która  jest  brzegiem  rzutu  strefy  krytycznej n a  podprzestrzeń obcią ż eń  RM.  Powierzchnia ta ogranicza  obszar  bezpiecznych  kombinacji obcią ż eń,  nie wywoł ują cych  utraty  statecznoś ci.  W  zagadnieniach liniowych  powierzchnia graniczna jest  wypukł a,  w  nieliniowych  może  być  wklę sła  [34]. 4.  Wyznaczanie  ś cież ki  równowagi Spoś ród  wielu  metod  rozwią zywania  nieliniowego  ukł adu  równań  M ES jako  najdo- kł adniejsza  jest  uważ ana  m etoda  N ewton a—R aphson a  [70].  W  wersji  klasycznej  sto- suje  się   sterowanie  obcią ż eniowe,  tzn. jako  niezależ ny  przyjmuje  się   parametr  obcią ż enio- wy  r\   — A4).  Ponieważ  proces  iteracyjny  jest  rozbież ny  w  otoczeniu punktu granicznego  G, dlatego  zaczę to  stosować  sterowanie  przemieszczeniowe  rj s  qj,  [61, 90].  Jednak  i  to sterowanie  nie  zapewnia  zbież noś ci  iteracji,  gdy  zbliż amy  się   do  obszaru,  w  którym AljAqj -¥  oo  (punkt  E  na  rys.  3). W  pracy  [81]  omówiono  dokł adniej  metody  obliczania  równań  przyrostowych  M ES. Tutaj  przytaczamy  jedynie  metodę   obliczania  w  przestrzeni  RN +i—metodę ,  która  za- pewnia  zbież ność  iteracji  dla  gł adkich  ś cież ek  równowagi. Idea  metody  polega  n a  równorzę dnym  traktowaniu  przyrostów  przemieszczeń  Aq ( i  obcią ż enia  AL   W  tym  celu  posł ugujemy  się   rozszerzonym  ukł adem  równań  przyrosto- wych: tjAqj + t M+1 / iX=  Arj. W  przypadku  proporcjonalnego  obcią ż enia  jednoparametrowego  P  =  XP  bę dzie  za- chodził o: p ; = ^ L = P i ;  (4.2) gdzie  P jest  wektorem  obcią ż enia  odniesienia. 4 )  Jako  X  przyjmuje  się   jeden  z  parametrów  obcią ż enia,  np.  A  s  A1,  ustalają c  wartoś ci  pozo- stał ych  H'  -   const,  dla  /   =   2 , . . . .  M. 10 Z .  WASZCZYSZYN Istotną   rolę   speł nia  ostatnie  równanie  ukł adu  (4.1).  Jeś li  wektor  jednostkowy  i  jest bliski  wektorowi  stycznemu  Aq,  to  otrzymujemy  sterowanie  parametrem  ś cież ki  rj ~  s. Sterowania  obcią ż eniowe  lub  przemieszczeniowe  odpowiadają   odpowiednio  wyspecyfiko- wanym  skł adowym wektora  t: a)  sterowanie obcią ż eniowe rj =   X t r   {0, . . . , 0,  1},  (4.3a) b)  sterowanie przemieszczeniowe ij  =  qj i=  {P , . . . , 0, / , 0, . . . , 0}.  (4.3b) Ukł ad  równań  (4.1)  dalej  bę dziemy  nazywali  rozszerzonym;  zapisują c  go  w  postaci macierzowej  otrzymujemy: tAq  =   R.  (4.4) Rozszerzona  macierz styczna  K powstaje  przez doł ą czenie wiersza  t  i  kolumny P  (rys. 4). M oż na  przy  tym  zapamię tywać  tylko  elementy niezerowe jakie  wystę pują   n p. w  sterowa- niach  X lub  qj  i  obcią ż eniach  skupionych  P' k  oraz pół pasmo  symetrycznej  macierzy  stycz- nej  K. ś cież ka  równowagi Rys.  3 Rys.  4 Rys.  5 W  [64]  wykazano,  że  macierz  rozszerzona  K  dla  sterowania  s  jest  nieosobliwa  dla gł adkich  ś cież ek  równowagi.  Osobliwość  macierzy  K  wystę puje  w  punktach  bifurkacji (specjalnych  punktach krytycznych). Rozszerzone wektory  Aą ,  R  e RN +1  mają   skł adowe: R  = {R,Ar]}.  (4.5) Spoś ród  wielu  moż liwych  algorytmów  obliczania  kolejnych  przybliż eń  Aqr+1  dla  r  = =   0,  1,  ...  wskaż emy  tylko jeden, omówiony dokł adniej  w  [81], a naszkicowany  na  rys.  5. Polega  on na przyjmowaniu wektora residum R^   w postaci: jR =   {U,  0}  dla  r>\   (4.6) Podczas  obliczeń  moż na  obliczać macierz  K ( r )  dla  każ dego  kroku  iteracyjnego.  Sto- sowanie  sterowania  s  nieco  komplikuje  programy  na  emc lecz  pozwala  w  istotny  sposób obniż yć liczbę   iteracji, nawet  dla  dł ugich kroków  As.  M oż na to  sterowanie ł ą czyć ze zmo- dyfikowaną   metodą   N ewtona- Raphsona, gdy  obliczamy  tylko  jeden  raz  K ( r )  = Omówione podejś cia  zastosowano w  pracach  [19, 54, 80]. METOD A  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH 11 M ówiliś my  cał y  czas  o  obcią ż an iu  jedn oparam etrowym .  Rozważ ania  odnoszą   się również  do  przypadków  M  >  1  jeś li  wykonam y  tylko  odpowiednie  przekroje  w  prze- strzeni  Jł N +M.  Jeś li  ustalim y  wartoś ci  X1  =   const  t o  ich  przyrosty  A X1 =   0  i w równaniach (4.1)  należy  obliczać  P;(A;  X')  oraz  Ri(X;  X1).  P rzez  1  rozumiemy  zmienny  param etr  ob- cią ż enia,  wybrany  ze  skł adowych  wektora  A; n p. jeś li  A s  X2  to  /  =   1, 3, 4,  ...,  M. P rosty  przykł ad  takiego  postę powan ia  m oż na znaleźć w  [80]. 5.  Obliczanie  punktów  krytycznych  i  ś cież ek  pobifń rkacyjnych Opisane  w  poprzedn im  pun kcie  przyrostowe  postę powanie  m oż na  zastosować  do wyznaczenia  podstawowej  ś cież ki  równowagi.  W  kolejnych  pun ktach m  tej  ś cież ki  moż na obliczać  wartość  funkcji  skalarn ej  S(T J),  którą   okreś la  się   tak,  aby  jej  miejsca  zerowe, obliczone  z  równ an ia S[q(ri)}  =   0, (5. 1 ) wystę powały  w  pu n kt ach krytycznych  qc  =   q(rj c ). Jako  funkcję   S  m oż na  przyją ć  wyznacznik  statecznoś ci  D  =   det |K |  lub  podstawową wartość  wł asną   co m acierzy  stycznej  K.  Z  innych,  zestawionych  w  [81], funkcji  S  przyta- czamy  obliczenie  jej  ja ko  róż n icy  wartoś ci  param etrów  obcią ż eń »J — «e( m)  ^m = '• J  ^ mi (5.2) gdzie  Aw  odpowiada  pun ktowi  m  ś cież ki  równowagi,  n atom iast  Ac(m) jest  liczone  z  odpo- wiednio  sformuł owanego  problem u  wartoś ci  wł asnych.  Tym  zagadnieniem  zaję to  się szczegół owo  w  pracach  [14,  63]. Tutaj  przytaczamy jedyn ie  obliczenia fi m   jako  wartoś ci wł asnej  równ an ia . q, (5. 3) gdzie  Ko jest  liniową ,  a  K G   geometryczną   macierzą   sztywnoś ci  —  por.  (2.15). N a  rys.  6 pokazan o in terpretację  funkcji  (5.2). P rzy realizacji  obliczania cią gu  kolejnych pun któw  podstawowej  ś cież ki  równ owagi  m  - > C  bę dzie  zachodził o p m - +  1.  Jeś li  wartoś ci S  (a  wię c  w  szczególnym  przypadku  (5.2)  róż n ica  \ i m  — 1)  bę dą   malał y monotonicznie, to  ł atwo  jest  zbudować  odpowiedn ie  algorytmy  iteracyjne.  W  zależ noś ci  od  przebiegu 3 /   \ —7 / :imi ś cież ka podstawowa Rys.  6 12 Z .  WASZCZYSZYN funkcji  S(rj) obliczenia mogą  być  niestabilne  (gdy  wystę pują  niecią gł oś ci) lub  m ał o dokł ad- n e  (gdy  dla ij e (r] a , rj b )  wartoś ci  S(rj) ss 0). N a rys. 7 pokazan o  róż ne krzywe S^ rj),  S 2 (rj), które  n ie są równoważ ne z pun ktu widzenia  efektywnoś ci  obliczeń  numerycznych. Rys. 7 N ajczę ś ciej  w obliczeniach M ES stosuje  się £   ==  D, gł ównie ze wzglę du  n a ł atwość obli- czania  wyznacznika  statecznoś ci  podczas  rozwią zywania  u kł adu  równań  przyrostkowych (4.1).  E.  R I K S w swoich  pracach  [64,  65] zapropon ował  jako  efektywniejsze  przyjmowanie S  m  co.  Jedn ak  moż liwość  „ wym ian y"  najniż szych  wartoś ci  wł asnych  a> 2  < co 1   (por.  [65]) powoduje,  że n ie  m oż na uzn ać tego  sposobu  za w peł ni  przydatn y  do  automatyzacji  obli- czeń.  Skuteczniejsze  algorytmy  m oż na  otrzymać  przez  ł ą czenie  obydwu  kryteriów [19]. Posł ugiwanie  się techniką  ekstrapolacyjno- interpolacyjną,  poł ą czoną z efektywną  m e- todą  obliczania  ś cież ki  równowagi  i  dobrym  wyborem  funkcji  S pozwala  n a  stosun kowo szybkie  obliczenia  pun któw  krytycznych.  Odnosi  się to zwł aszcza  do pun któw  granicz- nych  (por.  [10, 28]). P odobn ie ja k przy  wyznaczaniu  ś cież ki  równowagi  wszystkie  rozważ an ia  pozostają waż ne  dla  obcią ż eń  wieloparametrowych  jeś li  obliczenia  pun któw  granicznych  prowadzi- my  w przestrzeni  RN +1.  W pracy  [80]  podan o  algorytm  obliczania  krzywych  n a  strefie krytycznej  (warstwie)  dla M — 2, lub  przyję ciu  dwóch param etrów  obcią ż enia jako  zm ien- n e  niezależ ne, n p. I 1, X1 oraz  X1 = const  dla  /  =  3, 4,  . . . , M. Jeś li  skorzystamy  z warun ku  stan u  krytycznego  D =  0, to po obliczeniu  dowoln ego pun ktu  krytycznego,  przy  wykorzystaniu  rozszerzonego  ukł adu  równań  (4.1),  dalsze obliczenia  prowadzi  się w przestrzeni  RN +2,  rozwią zując  równ an ia: KijAqj- PjAV- PfAX 2   =  R u tjAqf+tN ^ AV  + tn+zAP = Arj,  (5.4) DjAą j  =  - D(q; s) , gdzie  wyznacznik  D  (q;  a)  jest  traktowan y  podczas  iteracji  jako  residum,  a  Dj są p o - chodnymi dD   KD,mJ£ - m 8K rs (5.5) Obliczenie  pochodn ych  macierzy  stycznej  K rsJ   jest  moż liwe  dla mał ej  liczby  stopn i swobody  ukł adu, lub  dla  ukł adów pasmowych.  N a rys.  8 wzię tym  z [80] pokazan o  krzywą M E T O D A  ELEM EN TÓW  SKOŃ C Z ON YCH 13 Rys.  8 gran iczn ą / (A1,  A2)  =   O  dla  kratown icy  M isesa.  N iecią gł ość krzywej / powstaje  w  punkcie osobliwym  A'  ja ko  wyn ik  rzutowan ia  strefy  krytycznej  (zaznaczonej  linią   kreskowaną ) n a  pł aszczyznę   (A1,  A2). W  przytoczonym przykł adzie  strefa  krytyczna jest  miejscem  geometrycznym punktów granicznych.  G dyby  w  strefie  wystę powały  pun kty  bifurkacji  (por.  [83]), to  podstawowa powierzchnia  równowagi  przestaje  być  gł adka i  algorytmy  oparte n a  rozwią zywaniu  ukł a- d u  (4.4) mogą   przestać  być  zbież ne. Oprócz  obliczenia  pun któw  bifurkacyjnych  należy  jeszcze  okreś lić  ich  typy.  M oż na tego  dokon ać  korzystają c  z  wyż szych  pochodn ych  energii  potencjalnej  [34,  66,  75]  lub przez  obliczanie  ś cież ki  pobifurkacyjnej  w  otoczen iu  pun któw  B.  P onieważ  macierze  K i  K  są   osobliwe  w  tym  pun kcie, t o  wektor  t F   styczny  do  ś cież ki  pobifurkacyjnej  liczymy w  sposób  przybliż ony  (rys.  9) t F   = 0 - (5.6) ~(1 ) Rys.  9 Wektor  styczny  do  ś cież ki  pobifurkacyjnej  t B   obliczamy  korzystają c  z  podstawowego wektora  wł asnego a  m acierzy  stycznej  K  i wektora ~t F   =   {t Fa }  =   {t F ,X c }\ t B   = (5.7) 14  Z .  WASZ C Z YSZ YN W  pracy  [64] wyprowadzono  wzór  n a  współ czynnik K Ponieważ  obliczanie  pochodnych macierzy  K jest  ż m udne, dlatego  w  [64] zapropon o- wano  obliczenie przybliż onego  wektora  ttf\   niekolinearnego  z  t F   i leż ą cego  w  pł aszczyź nie (t F ,  a). Wektorem  takim może być  wektor  ortogonalny  do  t F ,  ską d  wynika: Y W   =   - aTt F .  (5.9) W przypadku  symetrycznego  pun ktu B współ czynnik y  =   0 i wektor  styczny  do  ś cież ki pobifurkacyjnej  wynosi: ? B =   {«, 0}.  (5.10) Wektor  (5.10)  moż na  przyjmować  jako  pierwsze  przybliż enie  również  dla  pun któw  n ie- symetrycznych  [17, 55, 81]. Przyjmowanie  t^   niekolinearnego  z  t F   ma  sł uż yć rozpoczę ciu iteracji  w  metodzie  obli- czania  ś cież ki,  pobifurkacyjnej  w  RN +1.  Aby  nie  wracać  n a  ś cież kę   podstawową   należy wprowadzić  zakł ócenie do  macierzy  stycznej  K(q F +Aq^ ly ),  gdzie AW - ptPAri,,  0  X K ,  gdzie  X K   jest  obcią ż eniem  Karm a- n a  [59]. W  przypadku  idealnych  ukł adów  SP  m oż na  też  stosować  koncepcje  liniowej  analizy statecznoś ci,  uzupeł niają c  algorytmy  liczenia  wartoś ci  wł asnych  odpowiednimi  procedu- ram i  iteracyjnymi  [18].  Jeś li  ukł ad  równ ań  przyrostowych  przyjmiemy  w  postaci  (5.3)  to macierz  K o  przestaje  być  liniowa,  gdyż  stał e  m ateriał owe należy  zastą pić  funkcjami  E( 0  przy  zmniejszaniu  wymiarów  ele- mentów.  Zagę szczanie  podział u n a  elementy  skoń czone  nie m a jedn ak  wpł ywu  n a K r dla brzegów  zewnę trznych. N aszkicowany  powyż ej  problem  konserwatywnoś ci  ciś nienia  normalnego był   najpierw rozpatrywany przez W. W.  BOŁ OTINA  [13], nastę pnie był  uś ciś lony  przez G . A. C OH E N A  [20], rozważ any  również w  [31,  46]. M E T O D A  E LE M E N TÓW  SK O Ń C Z O N YCH   19 W  pracy  [49]  stwierdzon o,  że  wpł yw  macierzy  K r  n a  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych konstrukcji  poddan ych  dział an iu równ om iern ego  ciś n ien ia"n orm aln ego p 0   jest  mał y.  N ie m oż na  n atom iast  pom ijać  symetrycznej  czę ś ci  K p  (wynikają cej  z  potencjał u  Up  w  (7.4)) dla  n iektórych  typów  kon strukcji.  D obrym przykł adem są   pierś cienie  sprę ż yste  obcią ż one ciś nieniem  zewnę trznym p 0 .  U wzglę dnienie  m acierzy  K p s  daje  krytyczną   wartość  ciś nienia n orm aln ego  do odkształ con ej osi pierś cien ia równą   3EI / J?2, gdy  pominię cie K p s  odpowiada stał em u  kierun kowi  ciś n ien ia  pierwotn ie  n orm aln ego,  ską d  wynika  p kr   =  4EIJR 2   —  por. [12]. Jak  wykazan o  w  [29]  n ie  m o ż na  pom in ą ć  K p s  w  ł ukach  wyniosł ych.  P roblem  ten jest szczegół owo  dyskutowan y  w  [43]  w  odn iesien iu  do  powł ok  o  róż nej  wyniosł oś ci. Wróć my  do  ogóln ego  przypadku  niesymetrycznej  macierzy  K p .  Jeś li  obliczamy  ś ciś le wektor  sił  residualn ych  R,  t o  dla  iteracyjnego  obliczenia  ś cież ki  równowagi  moż na  posł u- giwać  się   przybliż onymi  postaciam i  macierzy  stycznej  K.  W  szczególnoś ci  m oż na dokon ać symetryzacji  tej  m acierzy  wedł ug  wzo ru : K s  =   i - ( K + K r )  =   K 0 + K G -  1  (KP+K T P ).  (7.9) D och odzim y  w  ten  sposób  do  tzw.  sprowadzon ego  ukł adu  konserwatywnego,  którego wł asnoś ci  został y  zbadan e  w  [35]  z  pu n kt u widzen ia  teorii  statecznoś ci. W  pracy  [23]  wykon an o  obliczenia  statecznych  i  niestatecznych  czę ś ci  ś cież ek  równo- wagi  dla  róż n ych,  przybliż on ych  macierzy  stycznych.  Obok  K s  stosowano  też  macierz K*  =   K o + K G ,  (7.10) a  wię c  cał kowicie  pom ijan o  m acierz  począ tkowych  obcią ż eń  K p .  Obliczenia  prowadzon o w  przestrzen i  konfiguracyjnej  RN,  stosują c  sterowanie  obcią ż eniowe,  a  nastę pnie  prze- mieszczeniowe  wedł ug  algorytm u  z  [28]  i zachowują c  ś cisłe wyraż enie  n a  sił y residualne  JR. Okazał o  się ,  że  w  zależ noś ci  od  kon strukcji  proces  iteracyjny  przestaje  być  zbież ny  przy stosowan iu  K,  lub  Kf.  D otych czas n ie  posł ugiwan o  się   m etodą   obliczania  ś cież ek  równ o- wagi  w  przestrzeni  i ? w + 1  przy  uwzglę dnieniu  macierzy  K p . 8.  P roblem y  n ieom ówion e W  pracy  n ie  zaję liś my  się   problem am i,  które  dotyczą   doboru  m etod  numerycznych, zagadn ień  in form atyczn ych  i  realizacji  program ów  n a  em c  [7, 92]. N ie  zajmujemy  się   też  dokł adn iej  problem atyką   aproksymacji  M E S,  tzn .  doborem typów  elementów  i  ich  stopn i  swobody.  N ależy  tylko  podkreś lić,  że  w  przypadku  ele- m en tów  n iedostosowan ych  m o ż na  m ieć  oszacowania  wartoś ci  wł asnych  od  doł u  [3, 92], a przy zbyt grubym podziale m o ż na ż le ocenić typ p u n kt u bifurkacji  [55]. W pracach [22, 85] zwrócon o  uwagę   n a  moż liwość  zmniejszenia  globalnej  liczby  niewiadomych  (wymiarów macierzy  stycznej  K) przez  przyję cie  pozawę zł owych  stopn i  swobody. W  zagadn ien iach  statecznoś ci  moż emy  równ ież  dokonywać  kondensacji  stopni  swo- body  [3],  ale  należy  czynić  t o  ostroż n ie,  aby  n ie  wyeliminować  istotn ych  postaci  utraty statecznoś ci  [5]. 2 * 20  Z.  WASZCZYSZYN N a  koniec o wpł ywie  imperfekcji.  Oprócz lokalnych imperfekcji  uję tych  w  (2.5) wekto- rem  a  mogą   wystą pić  imperfekcje  zwią zane  z przykł adan iem obcią ż eń. W praktyce  nigdy n ie  realizujemy  liniowego  stanu  przedwyboczeniowego,  co m oż ne zmienić typ u t rat y sta- tecznoś ci  [11, 41]. Wią że  się  to n p. z  istotnym dla praktyki  inż ynierskiej  problem em  ob- cią ż eń  krytycznych w ram ach z prę tami zginanymi  [2, 38,  51]. Oczywiś cie,  w  pracy  nie wyczerpano  cał ej  bogatej  problem atyki  stosowania  M E S do analizy  statecznoś ci  konstrukcji.  Ograniczono  się   tylko  do  zakresu  obowią zywania  kry- terium  statycznego  utraty  statecznoś ci. W  zwią zku  z tym pom in ię to cał kowicie problem y statecznoś ci  dynamicznej, gdzie  również  M ES jest  wykorzystywana  [58]. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  H . A. AŁFUTOW,  Osnowy rasczotą  na ustojcziwost' uprugieh sistiem, Maszynostrojenije,  Moskwa 1978. 2.  E. D .  AKKOUSH,  H . K.  H U AN G , Bifurcation, Pre — and Post — Buckling Analysis of Frame  Structures, Comp  & Struct., 8  (1978),  667 -  678. 3.  R. G .  ANDERSON,  B. H .  IRON S,  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  Vibration  and  Stability  of  Plates  Using  Finite Elements,  Int. J. Solids  Struct., 4  (1968),  1031  - 1055. 4.  J. H . ARG YRIS, Recent Advances  in Matrix  Methods of  Structural Analysis,  Pergamon Press  1964  (tł um. ros.,  Strojizdat,  Moskwa  1968). 5.  J. H . ARG YRIS, M. KON I G , D . A.  N AG Y, M. HAASE,  G . MALEJAN ALUS, Metoda elementów skoń czonych w zagadnieniach geometrycznie nieliniowych, Metody Oblicz, w Mech. N ielin., Ossolineum 1977,163 -  234. 6.  R. S.  BARSOUM,  Finite Element Method Applied to the Problem of Stability of a  N on — conservative system,  I n t. J. N um. M eth. Eng., 3 (1971), 63 -   87. 7.  K. J. BATH E, E. L.  WILSON , N umerical Methods in Finite Element Analysis,  Prentice — H all, Inc.  1976. 8.  K- J.  BATH E, H . OZD EMIR, Elastic — Plastic L arge Deformation:  Static  and Dynamic Analysis,  Comp.cfc Struct., 6  (1976)  81 -  92. 9.  J. L.  BATOZ,  A.  CHATTOPADHYNY,  G . D U ATT,  Finite Element L arge Deflection Analysis of Shallow Shells, I n t. J. N um.  M eth.  Eng., 10 (1976),  39- 58. 10.  P. G . BERG AN , Solution  Algorithm for  N onlinear Structural Problems,  I ntern. Conf. Eng. Appl.  F EM , /   H avik,  N orway  1979,  Vol. 1, 13.1 -  38. 11.  J. F .  BESSELING, N onlinear Analysis of Structures by the Finite Element Method as a Supplement to a L inear Algebra,  I n t. J. Comp.  M eth.  Eng., 3  (1974). 12.  S. R.  BOD N ER,  On the Conservativeness  of Various  Distributed Force Systems, J. Aero.  Sci., (1958), 132- 133. 13.  W. W.  BOŁOTIN , N iekonserwatiwnyje  zadaczi  tieorii uprugoj  ustrojcziwosti,  F izmatigiz,  Moskwa 1961. 14.  B. BREN D EL, Ceometrisch nichtlineare Elastostabilitat, Inst. Baustatik U niv. Stuttgart, Bericht N r.  7 9 - 1, 1979. 15.  D . O. BRU SH , B. O. ALMROTH , Buckling of Bars,  Plates  and Shells, Me G raw — H ill, 1975. 16.  Buckling of Structures,  Ed. B. Budiansky,  Springer — Verlag  1976.  - v 17.  J. W.  BUTTERWORDS, N umerical Post — Buckling Analysis, [72], 111 -  123. 18.  Cz. CICH OŃ , Z. WASZCZYSZYN ,  N umeryczna analiza wyboczenia  sprę ż ysto- plastycznych  ram  pł askich, Arch.  Inż.  Lą d., 1, 25 (1979),  35- 41. 19.  Cz.  CICH OŃ , Podstawy  nieliniowej analizy statecznoś ci  kratownic pł askich,  Arch.  Inż. Lą d.  (w druku). 20.  G . A.  COH EN , Conservativeness  of a  N ormal Pressure  Field Acting on a Shell, AIAA  J., 4, 10 (1966), 1886- 1887. 21.  J. J.  CON N OR, N .  M ORIN , Perturbation  T echniques  in the Analysis of Geometrically  N onlinear Shells, [32],  683  -  706. 22.  S. B.  D O N G , J. A.1 WOLF ,  Stability Analysis of Structures by a Reduced System of Generalized Coordi- nates,  I n t. J. Solids  Struct., 6 (1970),  1377 -  1388. M ETOD A  ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH   21 23.  F .  F R EY,  S.  CESCOTTO,  Some N ew Aspects of the  Incremental T otal L agrangian Description  in N onlinear Mechanics,  I n t.  Conf.,  EE in N on l.  Solid  and  Struct.  Mech.,  G eilo,  N orway,  1977,  Prac.  Vol. 1, C.05.1  -  20. 24.  F .  F REY,  L 'analyse  non liniaire des structures par  la mdthode des  elements finis  of son  application  a  la construction metallique,  These de  doctorat, U niversite  de Liege,  1977/ 78. 25.  R. H .  G ALLAG H ER,  J.  PAD LOG ,  Discrete Element Approach  to Structural  Instability Analysis, AIAA J., 6,  1  (1963),  1437  -  39. 26.  R. H .  G ALLAG H ER,  R. A.  G ELLATLY,  J.  PAD LOO,  R.  H .  MALLETT,  A  Discrete  Element  Procedure for T hin — Shell  Instability  Analysis, AIAA  J.,  1, 5  (1967),  138 -  145. 27.  R. H .  G ALLAG H ER,  Finite Element  Representation for  T hin Shell  Instability  Analysis, [16], ss. 40- 51. 28.  W. E.  H AISLER,  J. A.  STRICKLIN ,  Displacement  Incrementation  in N on —linear  Structural  Analysis  by the Self— Correcting Method, I n t. J. N um. M eth. Eng., 11  (1977),  3- 10. 29.  B. J.  H AR TZ ,  Matrix  Formulation  of  Structural  Stability  Problems,  Proc. ASCE, J. Struct.  D iv.,  ST5 (1965),  141 -  157. 30.  H . D .  H IBBIT,  P. V.  M ARCAL,  J. R.  R I C E , A Finite Element  Formulation for  Problems  of L arge Strain and L arge Displacement, I n t. J. Solids Struct,. 6 (1970), 1069 -  1089. 31.  H . D . H IBBIT, Some Follower Forces and L oad Stiffness,  I n t. J. N um. M eth. Eng., 14 (1979), 937 -  941. 32.  High Speed Computing of  Elastic Structures, Ed. B. Fraeijs  de Veubeke,  U niv. Liege, 1971. 33.  K. H U SEYIN ,  R. H .  PLAU T,  Application of  the  Rayleigh Quotient to Eigenvalue  Problems  of Pseudo — Conservative  Systems,  J. Sound Vibr., 33  (1974), 201 -  220. 34.  K. H U SEYIN , N onlinear  T heory of Elastic Stability,  N oordhoff  Intern.  Publ.,  1975. 35.  K. H U SEYIN ,  Stability  of Autonomuous  Systems,  [69], 121 -  180. 36.  J. W.  H U TCH IN SON , W. T.  KOI TER , Postbuckling T lieory, Appl.  Mech. Rev., 23  (1970),  1353  - 1366. 37.  J. W.  H U TCH IN SON , Plastic Buckling,  Advances  in Appl.  Mech. Vol.  14,  1974, Academic Pres. 38.  A. JERMIN G S, Frame Analysis Including Change of Geometry,  P roc. ASCE, J. Struct. D iv., ST3  (1968), 627  -  644. 39.  R. F .  JON ES, H . G .  COSTELLO,  T. E .  REYN OLD S,  Buckling  of Pressure  L oaded Ri?igs  and Shells by the Finite Element  Method, Comp. a. Struct., 7  (1977), 267 -  274. 40.  K.  K.  KAP U R,  B. J.  H AR T Z ,  Stability  of Plates Using the Finite Element Method,  Proc. ASCE, J. Mech. Eng.  D iv.,  EM 2  (1966),  177 -  195. 41.  A. D .  K E R R ,  M . T.  SAIFER,  T he L inearization of the  Prebuckling  State  and Its  Effect  on the Determined Instability  L oads,  J. Appl.  M ech.,  36  (1969),  775 -  783. 42.  M . KLEIBER,  Duż e  deformacje dal  sprę ż ysto- plastycznych — teoria i  numeryczna analiza konstrukcji, Prace  IPPT  P AN ,  Warszawa 1978. 43.  W. T. KOITER, General Equations of Elastic Stability for  T hin Shells, Proc. Symp. Theory of Thin Shells., U niv. H ouston  Press,  1967,  187 -  230. 44.  T. E.  LAN G ,  B. J.  H AR T Z ,  Finite Element  Matrix  Formulation  of Post — Buckling  Stability  and Imper- fection  Sensitivity,  [32],  727 -  758. 45.  H . H . E. LEIPH OLZ, On  Conservative Elastic Systems  of  the First and Second Kind,  Ing. Arch., 43 (1974), ss.  255  -   271. 46.  K.  LOG AN ATHAN ,  S. C.  C H AN G ,  R. H .  G ALLAG H ER,  J. F .  ABEL,  Finite  Element  Representation  and Pressure Stiffness  in Shell Stability  Analysis,  I n t. J. N um. M eth., Eng. 14  (1979), 1413  - 1429. 47.  R. H .  M ALLETT,  P. V.  M ARCAL,  Finite Element Analysis of N onlinear Structures,  Proc.  ASCE, J. Struct. D iv.,  ST9 (1968),  2081 -  2105. 48.  R. H .  M ALLETT,  R. T.  H AF TH A,  Progress in N onlinear Finite Element  Analysis  Using  Asymptotic So- lution  T echniques, Advances  C omp.  M eth.  Struct.  Mech.  D esign,  U niv.  Alabama  Press.  H untsville 1972,  357- 373. 49.  H . A.  M AN G ,  Symmetricability  of Pressure  Stiffness  Matrices for  Shells  with L oaded Free Edges,  I n t. J.  N um .  Mech.  Eng.,  I S (1980),  981- 990. 50.  H . C.  M ARTIN ,  On the Derivation  of  Stiffness  Matrices for  the Analysis of L arge Deflection and Stability Problems, Matrix  Methods  in Structural  Mechanics, Wright —  Patterson  AF B,  D ayton  Ohio  (1966) DL- TR- 66- 80,  697 -  716. 22  Z .  WASZCZYSZYN 51.  E. F .  MASU R,  I. C.  CH AN G ,  J. H .  D ON N ELL,  Stability  of  Frames in  the  Presence  of  Primary  Bending Moments,  Proc. ASCE,  J.  Eng.  Mech. D iv.,  EM 4  (1961),  19 -  34. 52.  B.  N ATH , Fundamentals of  Finite Elements for  Engineers,  The Atklone  Press,  London  1974. 53.  D . R.  NAVARATNA,  T. H . H .  P IAN ,  L. A.  WILIM IR,  Stability  Analysis of  Shells  of  Revolution, by  the Finite Element Method,  AIAA  J., 6  (1968),  355 -  361. 54.  N G U YEN  —  CAO —  D U ON G ,  Z.  WASZCZYSZYN,  Statecznoś ć sprę ż ysto- plastycznych  luków  i paneli  wal- . cowych,  Rozpr.  Inż.  (w  druku). 55.  N G U YEN  —  CAO —  D U ON G ,  Analiza  statecznoś ci sprę ż ysto- plastycznych  luków  i  paneli wlacowych Rozpr.  dokt.,  Politechnika  Krakowska  1981. 56.  A.  NEEDLEMAN,  Axisymetric Buckling of  Elastic —  Plastic Annular Plates,  AIAA  J.,  11,  12  (1974), 1954  - 1956. 57.  J. T.  OD EN ,  J. E.  KEY,  N umerical Analysis  of  Finite?Axisymmetric Deformations of  Incompressible Elastic Solids of Revolution,  I n t. J.  Solid  Struct., 6  (1970),  497 -  518. 58.  W.  OSTACHOWICZ,  Zastosowanie  metody elementów  skoń czonych do  analizy  statecznoś ci  dynamicznej prę tów i pł yt  cienkich,  IV  Konfer.  Met. Komp. w  Mech. Konstr., Koszalin  1979,  Ref.  probl.,  193 -  224. 59.  J. G . PAN OWKO,  1.1.  G UBAN OWA,  Ustrojcziwost'  i kolebanija uprugich sistiem, Wyd.  3, N auka,  Moskwa '  1979. 60.  A.  PFLU G ER, Stabilitć itsprobleme  des Elastostatik,  Wyd.  2,  Springer  —  Verlag  1964. 61.  T. H . H .  PIAN ,  P IN - TON G, Variational Formulation  of  Finite Displacement Analysis,  [32]. 62.  J. S.  PRZEMIEN IECKI, T heory of Matrix  Structural Analysis,  Me G raw —  H ill  1968. 63.  E.  RAU M,  Geometrisch  nichtlineare  Elastostatik und Finite Element, Inst.  Baustatik  U niv.  Stuttgart, Bericht  N r.  76 -  2,  1976. 64.  E.  R I KS,  An  Incremental  Approach  to  the  Solution of  Snapping and Buckling Problems,  I n t.  J.  Solids Struct.,  IS  (1979),  529- 551. 65.  E.  RIKS,  A  Unified  Method for  the  Computation  of  Critical Equilibrium  States  of  N onlinear Elastic Systems,  Acta  Techn. Acad.  Sci.  H ung, 87  (1978),  121 -  141. 66.  J.  ROORD A,  Concepts  in Elastic Structural Stability, Mechanics  Today,  Ed.  S.  N emat —  N asser,  Vol. 1,  1972,  Pergamon  Press. 67.  M. J.  SEWELL,  A  Survey  of  Plastic Buckling,  Stability,  Ed. H . H . E.  Leipholtz,  U niv.  Waterloo,  1972, 85  - 198. 68.  T. H .  S0REIDE, Collapse  Behavior of  Stiffmed  Plates  Using Alternative Finite Element  Formulation', D iv.  Struct.  Mech. U niv. Trondheinm, Rep.  N o  77- 3,  1977. 69.  Stability of  Elastic Structures,  Ed.  H . H . E.  LEIPH OLZ,  Springer  — Verlag  1978. 70.  J. A.  STRICKXIN, W. E.  H AISLER,  W. A.  RIESEMAN,  Evaluation  of  Solution Procedures for  Material and] or  Geometrically N onlinear Structural Analysis, AIAA  J., 11 (1973), 292  -  299. 71.  J. A.  STRICKLIN ,  W. E.  H AISLER,  Formulations  and Solution Procedures for  N onlinear  Structural Ana- lysis,  Comp.  a.  Struct.,  7  (1977),  125  - 136. 72.  Structural Instability,  Ed.  W. J.  SU PPLE, I P C Business,  London  1973. 73.  K.  TERAZAWA,  J.  YAG I ,  Y.  U ED A,  M.  MATSU ISH I, Elastic—  Plastic Buckling of  Plates using the Finite Element Method,  J.  Soc. N aval  Arch,  of  Japan,  122  (1967). 74.  J. M. T.  THOMPSON,  A.  C.  WALKER,  T he N onlinear  Perturbation  Analysis  of  Discrete Structural  Sy- stems, U SS,  4  (1968),  757. 75.  J. M. T.  THOMPSON,  G . W.  H U N T , A  General  T heory of  Elastic Stability, 3. Wiley  & Sons,  1973. 76.  S. P.  TIMOSHENKO, J. M.  G ER E,  T heory of  Elastic Stability,  2- nd  Ed., M e  G raw —H ill,  1961  (polskie tł um.,  Arkady  1963). 77.  V.  TVERG AARD,  Buckling Behaviour  of  Plate  and  Shell  Structures, Theoret.  and  Appl.  M ech.,  Ed. W. T.Koiter,  N orth —  H olland  Publ.  Co.,  1976,  233- 246. 78.  A.  C.  WALKER,  A  N onlinear  Finite Element Analysis of  Shallow Circular  Arches,  I n t. J.  Solids  Struct. 5  (1969),  97  - 107. 79.  K.  WASH IZU ,  Variational Methods in Elasticity  and Plasticity,  Pergamon  Press  1975. 80.  Z.  WASZCZYSZYN,  E.  PYTEL,  N G U EN - CAO- D U ON G, N umeryczna  analiza nieliniowych  zagadnień  utraty statecznoś ci kratownic sprę ż ystych przy obcią ż eniach  wieloparametrowych,  Rozp. Inż. (w druku). METOD A  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH   23 81.  Z .  WASZCZYSZYN ,  Problemy numeryczne  nieliniowej  analizy  statecznoś ci  konstrukcji  sprę ż ystych, [86] 341  -  380." 82.  L. C.  WELLFORD ,  G h. M.  D I BB,  Post — Buckling  Behaviour of  Structures Using  a Finite Element  N on- linear Eigenvalue  T echnique,  I n t. J.  N um . M eth. Eng., I S  (1980), 955 -  980. 83.  R. H . B.  WELTON ,  Snap—  T hrough of  Arch. Model  under Multiple L oads, Proc. ASCE, J. Eng. Mech. D iv.,  AM 4,  104  (1978),  964 -  967. 84.  A.  S.  WOLM IR,  Ustojcziwost' dieformirujemych  sistiem, N auka, Moskwa  1967. 85.  M .  WÓJCIK,  Z .  WASZCZYSZYN ,  Zastosowanie pozawezlowych  stopni swobody  w analizie wybaczenia  ram pł askich  metodą   elementów  skoń czonych  (w  przygotowaniu  do druku). 86.  W spół czesne  metody  analizy statecznoś ci  konstrukcji,  Ed. Z .  WASZCZYSZYN ,  Ossolineum,  1981,. 87.  V.  YAMADA,  K.  IWATA,  T.  KAH I M I ,  T.  HOSOMURA,  L arge  deformation  and  critical  loads  analysis of framed structures,  C omp. M eth. N od.  Mech., Texas  Inst.,  (1974),  819 -  828. 88.  Y.  YOKKO,  T.  N AKAMU RA,  H .  U ETAN I,  T he incremental  Perturbation  Method for  L arge  Displacement Analysis of  Elastic —  Plastic Structures, I n t. J. N um . M eth. Eng., 10  (1976),  503 -  525. 89.  H .  ZIEG LER, Principles of  Structural  Stability,  Blaisdell  Publ. Co., 1968  (tł um. ros., Mir, Moskwa  1971), 90.  O. C. ZIEN KIEWICZ, Incremental Displacement  in N onlinear Analysis,  I n t. J. N um. M eth.  Eng., 3 (1971), 587  -  592. 91.  O. C. ZIEN KIEWICZ, Y.  K.  C H EU N G , T he  Finite  Element Method  of  Structural and Continuum Mechanics, M e  G raw —  H ill  1967. 92.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  T he Finite Element Method, 3- d  Ed., Me G raw- H ill  1978. 93.  M. Ż YCZKOWSKI,  Influence of  the Behaviour of L oading on Its Critical Value,  [69],  ss.  181 -  210. P  e 3 so  M   e M E T O fl  K O H E ^ H H X  3J I E M E H T 0B  B  YC T O fl^M BO C T H   COOPWKEH H fi: H eKOToptie  npoSjieivibi  npwvieHeHHH   M K 3 K HejiHHefiHOMy  aH ann3y coopy>iK# ae:rcfl  Etm ucjiei- aie  COCTOHHHK  paBH o- 6eCHH   H  KpHTHMeCKHX  TO^KK  B  KOH(pHrypaUHOHHO  CHJ1OBOM   npeCTpaHCTBe.  yi