Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z1.pdf


M EC H AN IKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 21  (1983)

ZGINANIE  POWŁOKI  KONOIDALNEJ

JAKUB  M A R C I N O W S K I

W roclaw

\

1.  Wstę p

P owierzchnię   kon oidaln ą   (Rys.  1)  zakreś la  w  przestrzeni  prosta  tworzą ca  poruszają ca
się   równolegle  do  pł aszczyzny  prowadzą cej  (OYZ  n a  rys.  1)  po  kierownicach  Ky  i  K

2
.

Kierown ice  te  leżą   w  pł aszczyznach  równoległ ych  do  pł aszczyzny  OXZ  i  kierownica  K
t

jest  odcinkiem  prostym  (rozważa  się   też  kon oidy  z  dwiema  kierownicami  zakrzy-

Rys.  1

wion ym i).  K o n o id a  jest  powierzchnią   prostokreś ln ą,  zwichrowaną .  Tu  rozpatrywać-
się   bę dzie  kon oidę   paraboliczn ą   (kierownica  K

2
  jest  parabola),  mał o  wyniosł ą ,  to  znaczy,

że  stosun ek  jej  wyniosł oś ci  d  do  boku  b jest  mniejszy  od  1/5  (1/ 3- 7- 1/ 8).  Powł oki  kon o-
idaln e  posiadają   wiele  zalet.  Z n alazł y  zastosowanie  do  przekryć  duż ych  hal  przemysł o-
wych  i widowiskowych.  Stosuje  się  je  także  do  budowy  zapór wodnych.  Z ł atwoś cią  m oż n a,
się  ich doszukać w  elem en tach poszycia  aparatów  latają cych  i sprzę tu  pł ywają cego.

2.  Róż niczkowe  równania  równowagi  powłok  mał o  wyniosłych

Przyję cie  zał oż en ia  m ał ej  wyniosł oś ci  pozwala  n a  zastosowanie  równań  technicznej i
teorii  powł ok  WŁ ASOWA  [1].

D la  powł ok  m ał o  wyniosł ych,  o  równ an iu  powierzchni  ś rodkowej:  z  =   z(x,  y),  wy-
godn ie jest  wprowadzić  ja ko  współ rzę dne  krzywoliniowe  lin ie:  x  =  const  y  — const.  D la.



48  J.  MARCIN OWSKI

dowolnej  powierzchni  nie  bę dą  to  linie  krzywizn  gł ównych,  a  warunek  ortogonalnoś ci
bę dą  speł niały jedynie  w  przybliż eniu.

Podstawowe  zwią zki  geometryczne  dla  tak  opisanej  powierzchni  przyjmą  postać  n a-
stę pują cą  [3]:

t
x
  »  i

x
+z,J

z
,

ty  -   iy +  Z
iy
l

z
,

n  =   ~z.
x
i

x
- z,yh+iz,

&xx  ~  Z,xx>   ™yy  ~  ,̂yy>

gdzie:
K i  >   a 2  —  współ czynniki  pierwszej  formy  kwadratowej  powierzchni,

t
x
,  t

y
,n  —  wektory  bazowe  powierzchni,

kxx>  kyy>  kxy —  krzywizny  linii  współ rzę dnych  i  skrę cenie  powierzchni  (odpowiednio).
Zwią zki  mię dzy  odkształ ceniami  a  skł adowymi  wektora  przemieszczenia  m oż na  za-

pisać  w  nastę pują cej  postaci  [2]:

.   .   .

Vxy =  «,3. +  «,  x- 2z,
X
yW ,

%X  ~  W,XX>   My  = '  W,  yy,  Xxy  =   W§  Xy  !

Zał oż enie  mał ej  gruboś ci  i  ortogonalnoś ci  wybranych  kierunków  pozwala  przyjąć
zwią zki fizyczne  w  najprostszej  postaci  [1]:

N
y
  =  B(e

y
+/ L cs

x
),

y
xv
,

My  =   D{K
y
+iJ,x

x
),

M
xy
  =   M

yx
  =   B  m  D  •   (1 - , £ *> *„.

gdzie:

• °  ~~  1   . . 2   '  - Ł/   —
I - / /2  '  1 2 - ( l-

E —  moduł   Younga,
h —  grubość  powł oki,
fj, —- współ czynnik  Poissona.



ZG IN AN IE  POWŁ OKI  KONOIDALNEJ  49

R ówn an ia  równowagi  mają  postać nastę pują cą  [1]:

N
XtX

+S
<y

+P
x
  =  0,

=   0 ,

-  k
xx
+N

r
  k

yy
+2S- k

xy
+P

2
  =  0,  (2.4)

gdzie:
P

x
,P

y>
  P

s
  —  skł adowe  obcią ż enia  zewnę trznego,

Q
x
,Q

y
  — sił y poprzeczn e.

Wprowadź my  wielkoś ci  bezwymiarowe  z  „ falą ";  zdefiniowane  nastę pują co:

Da  Da

w
  =  w•   1 0 - 4 •   F ' a  ,  z  =   £ - < 5,  ( 2 . 5 )

x  =  x- a,  y  — y'b,  X =  — .
a

gdzie:
d — wyniosł ość powł oki,
a — wymiar  plan u  powł oki w  kierun ku  osi X,
b — wymiar  plan u powł oki w  kierun ku  osi Y,

P  = P
z
  —  skł adowa  pion owa  obcią ż enia.

Przyjmijmy:

P
x
  = P

y
  = 0,  P z =  P  =  con st

Jeś li  do równ ań  (2.4)  podstawim y  zależ noś ci  (2.3) i  (2.2) oraz  wykorzystamy  zwią zki

(2.5),  t o  otrzym am y  nastę pują cy  ukł ad  równ ań  n a  poszukiwane  przemieszczenia  bezwy-

m iarowe  (wszystkie  wielkoś ci  t u  wystę pują ce  są  bezwymiarowe  choć  pom in ię to  w  nich

„ fa le") :

2  A  2

- X', w
x
-   (r+[it)—w  • (Ar

x
+s

y
)- (l- [i)'  w

y
-   s  =  O,

5 2  I —u  „^  „   1 +  w  . ,

2  ( 2- 6)
—  ( f y + A *  s x )  •   w —A •   s ( l —  (j)-   wx  =   O ,

2  co  „.  , .  . , . , , ,
•  w

xxxx
  +  -   • a>- w

xx
  - \  fy  + 12- /I  - A[r  +

X  A,

t
2
+2(l- f/ )s

2
+2^ rt]-   w+12- [(r+fif)-  X-  u

x
+

X- 0  =   0 .
•   f   ̂ - **  f  j  *  "  te  *  !•

4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/83



50  J.  M AR C I N OWSKI  •

gdzie:

r  — - 2 -   zxxl  .s —

A-
  d

By  •

1 D o  rozważ ań  wprowadza  się  nastę pują ce  sposoby  zam ocowan ia  krawę dzi  powł oki:
1)  Krawę dź  sztywno  zam ocowan a:

(dla  krawę dzi  o norm alnej zewnę trznej — X)

u  — v  =  w • » 0,  w
iX
  =   0.

2)  Krawę dź  zam ocowana  przegubowo:

u  — v • »  w  • « 0,  M
x
  —  0.

3)  Krawę dź  swobodn a:

JV,  =  0 ,   S =  0 s  e ^- f l
1 , ,  =   0 ,   M x =   0 .

Warunki  te m oż na zapisać  w przemieszczeniach korzystają c  ze zwią zków  (2.3) i  (2.2).
P o  rozwią zaniu  ukł adu  (2.6), przy  odpowiednich warun kach  brzegowych,  ze  zwią zków

(2.2)  wyznaczymy  skł adowe  odkształ cenia, a  n astę pn ie  z  równ ań  (2.3)  znajdziemy  sił y
przekrojowe  w powł oce. ,

3. Rozwią zanie

U kł ad  równań  (2.6)  rozwią ż emy  zastę pując  operatory  tego  ukł adu  operatoram i róż n i-
cowymi,  zapisują c  te  ostatn ie za  pom ocą   schematów  róż nicowych  centralnych. R ówn an ia
te  zapisuje  się  dla  wszystkich  wewnę trznych  wę zł ów  siatki  róż n ic  skoń czonych.  Wielkoś ci
przemieszczeń  wę zł ów  zewnę trznych,  pojawiają ce  się  w ukł adzie, eliminuje  się  za pom ocą
odpowiednich warun ków  brzegowych.

R ówn an ie  powierzchni  ś rodkowej  parabolicznej  powł oki  kon oidaln ej  (Rys.  1) m a  n a-
stę pują cą   postać:

z(x,y) = d(y+a0- - ^ C- ,  (2.7)
Cl  '  X J

Z atem :

26

* . „ - < >,   (2.8)

— _
2- d  x

xy  -   „2a
z
  L



ZG IN AN IE  POWŁOKI KONOIDALNEJ 51

Wielkoś ci  wystę pują ce  w  równ an iach  (2.6), w  tym  przypadku  przyjmą   postać nastę pu-

ją cą:

A  , „ ,
r=  ——iyb+ Oi),

s  -   - A- x,  ~t  -   0,
(2.9)

8,5  =   -

gdzie:

s.~  =   7- ,;  =   0.

2-   d
2

a- L

Rozwią zano  powł okę   ż elbetową   {fi  — 0,167,  E  =   3,0-   101 0  N / m 2)  o  nastę pują cych
wym iarach :  a  =   15,0  m,  b  =   9,0  m,  L   =   12,  Om,  <5  =   3,0  m,  h  — 0,10  m.  P owł oka jest
obcią ż ona  równ om iern ym  obcią ż eniem  P

z
  • =  P  =  —4  kN / m 2 .

4.  Wyniki

R ysunki  2,  3, 4  przedstawiają   iigię cia  i wybrane  sił y przekrojowe  w  powł oce podpartej
zawiasowo  wzdł uż  wszystkich  czterech  krawę dzi.  Rysunki  5,  6;  7  przedstawiają   te  same
wielkoś ci  dla  powł oki  o  czterech  krawę dziach  sztywno  zamocowanych.  Kolejne  rysun ki
(8, 9,  10) dotyczą   powł oki podpartej jedyn ie wzdł uż krawę dzi  prostoliniowych  (ł uki —  swo-
bodn e),  przy  czym,  krawę dzie  podparcia  są   sztywno  zamocowane.  Ostatnie  trzy  rysunki
przedstawiają   charakterystyczn e wielkoś ci  dla powł oki podpartej  zawiasowo  wzdł uż dwóch
krawę dzi  prostolin iowych.

Wszystkie  prezen towan e  wyniki  dotyczą   takiego  podział u  powł oki,  że  nieznane  war-
toś ci  skł adowych  przemieszczeń  wyznacza  się   w  50- ciu  pun ktach  co  odpowiada  150- ciu
stopn iom  swobody  (5  wę zł ów  w  kierun ku  osi  X  i  10 —  w  kierun ku  osi  Y),  przy  czym  wy-
korzystan o  symetrię   powł oki.  P rzeprowadzon o  kon trolę   zbież noś ci  otrzymanych  rozwią -
zań.  Rys.  14  przedstawia  zależ ność  ugię cia  w  ś rodku  powł oki  od  zmiany  gę stoś ci podział u

y

=
8

.4
7

X
a
P

1

•

— i .  • -

. — = -

— ~ ~

_  "

i  '

w [ mm]

.—- —• —

— — - —

_ -   •

—  p -

— — -

- ni  —

; .  * > — ^

: —  •   .'.ss.

X

Rys.  2



[ kN/ m]

y

CO

Rys.  4

y

U5
II

X

a

ł

w,  —

-

-

w [ mm]

• i

i -

Rys.  5

[52]



y

5
4

6
.8

0

u
X
a

s

( [ kN/ m]

-

X

Rys.  9

M x [ kNm/ m]

j , —

Ą

A

y

od

U
K

ł

-

Rys.  10

w  [mm]

—

_ . i  I I  —

„   u  —

^ , i  u  ' —

—

-   -

—u  - — —

i  •

1

. — - • — —

_

• 1  '  —  - = •

Rys.  11

[S3]



CD

to

u x

1

Nx[kN/m]
  %

y

o
S

Rys.  6

Mx[Nm/m]

Rys.  8

[54]

y

cS

II

81

Rys.  7

w [mm]
i  —

­

­

—

— . . .  •

. —  — —

— ­ — —
­

­ —

•

. — — '

,11V  • • ' •

~  — '

X



y'

• O

o
co
o
II

s

N>, [kN/m]

—

­

­

_̂— •
X

Rys.  12

y

c i

=
29

68
.

xm
a

x

+

­(­

,  —

— • —

• • F —

M

~̂~—.

x [Nrn/m.

—— ——

f
•  ————

­—­
—

­ /

X

Rys.  13

M=5

to
>
t o

y j

ttf

«o

to

Cn

CO

»fl
V

to CO

tO

t o

*  S  6  7  5 tó  YS

N
Rys.  14

[55]



56 J.  MARCIN OWSKI

siatki  w  kierun ku  osi X  (podział  w  kierun ku  osi  Y stał y i  równy  M  =   5) dla powł oki pod-
partej  przegubowo  wzdł uż wszystkich  czterech krawę dzi.  Wykres  przedstawiony  n a  rys.  15
dotyczy  powł oki  sztywno  zamocowanej n a wszystkich  krawę dziach.  Oba  wykresy  potwier-
dzają   zbież ność  rozwią zania  dla  przemieszczeń.  W  przypadku  dwóch  pozostał ych warian -

s  a  7  a a

Rys.  15

N

tów  podparcia, tj.  podparcia przegubowego  wzdł uż krawę dzi  prostoliniowych  oraz  sztyw-
nego  zamocowania  tych  krawę dzi,  uzyskane  wyniki  n ie  wykazują   t ak  dobrej  zbież noś ci.
Aby  uzyskać  rozwią zanie  bardziej  dokł adn e należ ał oby zastosować  bardziej  gę sty podział ,
co  z  kolei  wymagał oby  wykorzystania  w  obliczeniach  pam ię ci  zewnę trznych  M C  (w  obli-
czeniach,  których  wyniki  t u  przedstawiono,  wykorzystano  jedyn ie  pam ię ć  operacyjną
M C  OD R A  1305).

Z n an e  autorowi  prace  [4- J- 8]  zawierają ce  rozwią zania  stan u  zgię ciowego  powł oki
konoidalnej  dotyczą   innych  warun ków  podparcia  n iż  te  przedstawione  wyż ej.  P raca  sta-
nowi  wię c  istotne  uzupeł nienie znanych  rozwią zań  o  kilka  nowych,  n ie  bez  znaczenia
praktycznego,  przypadków.

5.  Uwagi  koń cowe

Z  przedstawionych  wyników  wynika,  że  powł oka  kon oidaln a  (nawet  o  t ak  duż ej
rozpię toś ci),  mimo swej niewielkiej  gruboś ci,  z powodzeniem przenosi  znaczne  obcią ż enia.
Wyraź nie  zaznacza  się   sklepieniowy  ch arakter  pracy  powł oki,  a  sposób  zam ocowan ia
m a  wpł yw  n a  wielkość  sił  przekrojowych  gł ównie  w  pobliżu  krawę dzi  podparcia.  N aprę -
ż enia  w  powł oce wywoł ane  sił ami osiowymi  znacznie przekraczają   czę ść  n aprę ż eń  od m o-
mentów zginają cych  i m om en tu  skrę cają cego.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  W. W.  N OWOŻ IŁOW,  T ieoria  tonkich  oboł oczek,  Sudpromgiz,  Leningrad 1951.
2.  A, A. N AZAROW,  Osnowy tieorii i metody rasczieta poł ogich  oboł oczek,  Strojizdat,  Leningrad 1966.
3.  C.  BREBBIA, J. CON N OR, Geometrically nonlinear finite- element analysis, J. Eng. Mech.  D iv., P roc. ASCE,

Vol.  95,  N o .  EM 2,  Apr.  1969  pp.  463 -  483.



ZG IN AN IE  POWŁOKI  KONOIDALNEJ  57

4.  R. W.  CLOU G H , C. P . JOH N SON , A finite  element approximation/ or the analysis of  thin shells, I n t. J.  Solids
Struct.,  1968,  Vol.  4,  p p .  43 -  60.

5.  C. B.  WIŁBY,  H . N .  N AQ U I ,  Structural analysis  of  conoidal shells,  Structural  Engineer,  50,  1972,  N o.  5,
pp.  197- 201.

6.  A.  P.  N IKOŁAJEW,  N . G .  BAN D U RIN , K  rasczetu  oboloczek  metodom koniecznego  elementu,  Stroit. Mech.
i  Rasczet  Sooruż .,  N o .  5,  1980,  s.  21 -  25.

7.  A. Ju.  OSTROWSKI],  Pribliż onnyj rasczet konoidalnoj oboloczki,  Stroit.  Mech. i  Rasczet  Sooruż .,  N o .  4r
s.  13- 18,  1970.

8.  W. D .  G AJZER,  Rasczet  pokrytij  iz  oboloczek otricatielnoj  kriwizny,  Stroit.  Mech.  i  Rasczet  Sooruż,
N o.  4,  1970,  s.  9- 13.

P  e  3 io  M   e

H 3 r H B  K O H O im AJ I BH O a  OBOJIO^IKH

B  paSoxe  peuiaeTCH  3anaMa H3rH6a nonoroft,  KonoHfianbHoft  OSOJKMKH.  P euiem e  n on yieao  H3 CHC-
TeMŁi flH (b(J)epeH ił H aiibH brx ypaBH eron i  B ^acratbix  npon3B0flH bix  RMI n epein em eroiH   c  yqeTOM   yn p o m e -
Hirfł   BrtacoBa.  CTaTHyecKHił  H 3rn 6  OSOJI O^KH   peineH O  MeTo^oM  KOHeMHbix  pa3iiocTefi.  PacCMaTpH6aiOTCH
pa3H bie  cjiynaH   o n o p  O 6O J I O ^ K H .  C ocTaBJienbi  rpa$H KH  n epeM em em uł  H  BHyTpeHHbix  c a n  o6pa3yiomH xc)i
B  paBH OMepno  Harpy>KeHHOH

S u m m a r y

BE N D I N G   OF   A  CON OID AL  SH ELL

Bending  of  a  shallow  conoidal  shell  is  discussed  in  the  paper.  The  solution, has  heen  obtained  from
a  system  of  partial  differential  equations  of  the  linear  theory  of  shells  in  the  form  simplified  according
to  that  of  Vlasov's.  The  static  bending  of  the  shell  has  been  solved  by  finite  Difference  method.  Various-
cases  of  support  are  considered.  The  diagrams  of  displacements  and  internal  forces  for  uniformly  loaded
shell  have  been  presented.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  listopada  1981 roku