Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  1  STOSOWANA  2/3.  21  (1983)  W Y B R A N E  P R O B L E Y 1 Y  W I E L O P A R A M E T R O W Y C H  L I N I O W Y C H  T E O R I I  P O W Ł O K  S P R Ę Ż Y S T Y C H1 >  Z B I G N I E W  M A Z U R K I E W I C Z  Z E N O N  R Y C H T E R  Politechnika  War sza  w  ska  1.  W s t ę p  Zagadnienia  liniowej  teorii  p o w ł o k  sprę ż ystych  należą  do  tych  klasycznych  p r o b l e m ó w  mechaniki,  k t ó r e  nadal  stanowią  przedmiot  dość  intensywnych  b a d a ń .  Punkt  cię ż koś ci  r o z w a ż ań  przeniósł  się  z  teorii  Kirchhoffa­Love'a  na  teorie  bardziej  złoż one,  k t ó r e  w  tej  pracy  nazywamy  teoriami  wieloparametrowymi.  Obmyś lenie  tych  teorii  wynika  z  potrzeby  dokładniejszego  opisu  takich  p r o b l e m ó w ,  dla  k t ó r y c h  d o k ł a d n o ś ć  teorii  K i r c h h o f f a ­ ­Love'a  m o ż e  być  niezadowalają ca.  Przypomnimy,  że  teoria  Kirchhoffa­Love'a  oraz  róż ne  jej  warianty  dobrze  aproksymuje  stan  trójwymiarow y  w  przypadku  p o w ł o k  cien­ kich,  izotropowych,  o  gładkiej  geometrii  i  r ó w n o m i e r n y m  obcią ż eniu.  Wymienione  ogra­ niczenia  m o ż na  w  skrócie  zapisać  w  postaci  w a r u n k ó w  h/R  <ś  1,  (h/L)2  ­4  1,  (h/cl)2    1,  Ej E'  I,  (np.  powłoki  z  p o l i m e r ó w  lub  trójwarstwowe  z  m i ę k k im  wypełnieniem).  D o  opisu  m.in.  takich  p r o b l e m ó w  są  stosowane  teorie  wieloparametrowe,  przy  czym  pod  1  poję ciem  parametr  rozumiemy  przemieszczenie  u o g ó l n i o n e ,  okreś lone  na  ś rodkowej  podstawowej  powierzchni  powłoki  i  podwyż szają ce  rząd  r ó w n a ń  róż niczkowych  teorii.  Wprowadzenie  okreś lenia  teorii  ^­parametrowej  zezwala  na  formalne  u p o r z ą d k o w a n ie  róż nych  jej  w a r i a n t ó w .  Czę sto  bowiem  róż nice  pomię dzy  wariantami  teorii  sprowadzają   się  do  odmiennego  wywodu  r ó w n a ń ,  przy  praktycznie  identycznej  ich  d o k ł a d n o ś ci  (np.  j a k  to  ma  miejsce  w  teoriach  t r ó j p a r a m e t r o w y c h  B U D I A N S K Y ' E G O ­ S A N D E R S A ­ K O I T E R A  [ 1 , 2 ]  oraz  N A G H D I ' E G O ­ Z U D A N S A  [3­5]).  Niekiedy  r ó w n a n i a  teorii  nie  są  f o r m u ł o w a n e  wyłą cznie  za  p o m o c ą  przemieszczeń   u o g ó l n i o n y c h ,  lecz  zawierają  inne  niewiadome,  co  utrudnia  okreś lenie  liczby  p a r a m e t r ó w  kinematycznych.  W  takim  przypadku  (poza  teorią  t r ó j p a r a m e t r o w ą )  połowę  liczby  r ó w n e j  rzę dowi  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  teorii  m o ż na  u w a ż ać  za  liczbę  p a r a m e t r ó w  tej  teorii  (np.  r ó w n a n i a  teorii  p i ę c i o p a r a m e t r o w y ch  są  dziesią tego  rzę du,  r ó w n a n i a  teorii  sześ cio­ parametrowych  mają  rząd  dwunasty,  itd).  Teorie  t r ó j p a r a m e t r o w e  (trzy  składowe  wektora  przemieszczenia  powierzchni  podstawowej)  są  opisane  r ó w n a n i a m i  ó s m e g o  r z ę d u.  O g ó l n e  problemy  teorii  wieloparametrowych  m o ż na  ująć  [6]  n a s t ę p u j ą c o:  (a)  skonstruowanie  dla  danego  przestrzennego  zadania  teorii  sprę ż ystoś ci  r ó w n a ń  odnie­ sionych  do  podstawowej  powierzchni  powłoki  i  zezwalają cych  na  uzyskanie  przybli­ ż onej  informacji  o  stanie  naprę ż eń  i  odkształceń ,  (b)  analiza  p o p r a w n o ś ci  matematycznej  r ó w n a ń  teorii,  zwłaszcza  w  zakresie  istnienia  i  j e d n o z n a c z n o ś ci  rozwią zania,  (c)  okreś lenie  d o k ł a d n o ś ci  i  za'kresu  stosowalnoś ci  teorii  powłok,  (d)  poszukiwanie  efektywnych  metod  rozwią zywania  r ó w n a ń .  W  dalszej  czę ś ci  pracy  o m ó w i m y  wieloparametrowe  teorie  powłok  sprę ż ystych  w  aspekcie  powyż szych,  głównie  (a,  c,  d)  p r o b l e m ó w .  2.  Konstruowanie  równań   Wyprowadzenie  ogólnych  r ó w n a ń  teorii  powłok  jest,  przy  pominię ciu  trudnych  pro­ b l e m ó w  (b),  (c),  stosunkowo  proste  (por.  np.  [ 6 ­  13]).  Generalnie  m o ż na  wyróż nić  dwie  metody.  Jedna  polega  na  wykorzystaniu  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  ciała  t r ó j w y m i a r o w e g o ,  druga  —  zwana  b e z p o ś r e d n i ą — j e st  oparta  na  koncepcji  dwuwymiarowej  powierzchni  sprę ż ystej,  o  danej  liczbie  lokalnych  stopni  swobody.  Zaletą  metody  bezpoś redniej  (por.  np.  [6,  14]) jest  wyeliminowanie  uproszczeń  o  charakterze  analitycznym,  a  w i ę C ó t r z y m a ne  tak  r ó w n a n i a  m o ż na  uważ ać  za  ś cisłe.  Wykorzystanie  tych  r ó w n a ń  nie  jest jednak  moż liwe  bez  ich  p o r ó w n a n i a  z  r ó w n a n i a m i  teorii  sprę ż ystoś ci  w  celu  ustalenia  sensu  fizycznego  sił  wewnę trznych  i  okreś lenia  wielkoś ci  współczynników  materiałowyc h  (niekiedy  są   r ó w n i e ż  niezbę dne  badania  doś wiadczalne).  Podobnie  kłopotliwa  jest  [9]  analityczna  W I E L O P A R A M E T R O W E  POWŁOKI  SPRĘ Ż YSTE  129  ocena  d o k ł a d n o ś ci  teorii  otrzymanej  metodą  bezpoś rednią.  Zatem  wywód  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k  z r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  jest  korzystniejszy.  Ponadto  w y w ó d  ten  m o ż na  w  znacz­ nym  stopniu  sformalizować  wykorzystując  aparat  teorii  aproksymacji  funkcji  [10,  13.  15,  16],  analizę  a s y m p t o t y c z n ą  [17,  18],  lub  metody  mechaniki  o ś r o d k ów  z  wię zami  [12].  R ó w n a n i a  teorii  pię cio­  sześ cio­  o ś m i o­  i  d z i e w i ę c i o p a r a m e t r o w y ch  są  najczę ś ciej  wyprowadzane  przez  uproszczenie  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  za  p o m o c ą  założ eń  (zwanych  również  [12]  wię zami  modelowymi),  dotyczą cych  r o z k ł a d u  przemieszczeń,  o d k s z t a ł c e ń   lub  n a p r ę ż eń  na  gruboś ci  powłoki .  W y b ó r  fizycznie  odpowiednich  założ eń  jest  najtrud­ niejszym  elementem  takiego  podejś cia.  M o ż na  się  tu  oprzeć  na  rozwią zaniach  prostych  z a d a ń  teorii  belek,  płyt  i p o w ł o k .  G ł ó w n ą  przesłanką  jest  uwzglę dnienie  pomijanych  w  teorii  trój p a r a m e t r ó w ej  efektów  skoń czonej  gruboś ci  p o w ł o k i ,  tj.  p o d a t n o ś ci  powłoki  na  po­ przeczne  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowe  i  normalne,  a  czę sto  i  zmiennoś ci  metryki  jako  funkcji  współrzę dnej  u3  —  normalnej  do  powierzchni  ś rodkowej  (np.  we  wszystkich  teoriach  p i ę c i o p a r a m e t r o w y ch  są  uwzglę dnione  symetryczne  wzglę dem  powierzchni  u3  =  0  od­ kształcenia  postaciowe  w  przekrojach  poprzecznych,  natomiast  z m i e n n o ś ć  metryki  na  gruboś ci  powłoki  u w z g l ę d n i o no  w  teorii  R E I S S N E R A ­ N A G H D I ' E G O  [19]  i  A M B A R C  U M I A N A  [20]  a  p o m i n i ę to  w  teorii  T I M O S Z E N K I  [21,  22]).  R ó w n a n i a  teorii  o  sześ ciu  parametrach  kinematycznych  m o ż na  o t r z y m a ć  rozpatrują c  o ś r o d ek  C o s s e r a t ó w  [6],  zakładając  j e d n o r o d n o ś ć  stanu  o d k s z t a ł c e n i a  na  gruboś ci  po­ włoki  [11]  lub  postulując  liniowy  r o z k ł a d  wektora  przemieszczenia  jako  funkcji  współ­ rzę dnej  w3  [13,  22  ­  24].  Stan  odkształcenia  ujmuje  w  tej  teorii  m.in.  niesymetryczną  wzglę­ dem  ś rodkowej  powierzchni,  poprzeczną  deformację  postaciową  oraz  j e d n o r o d n ą  na  gru­ boś ci  powłoki  poprzeczną  deformację  n o r m a l n ą .  W ś r ód  sił  wewnę trznych  wystę pują   w  teorii  sześ cioparametrowej  dwie  wielkoś ci  nie  wpływają ce  na  globalną  r ó w n o w a g ę   elementu  p o w ł o k i ,  a  więc  reprezentują ce  s a m o z r ó w n o w a ż o ne  stany  n ap rę ż eń,  o  lokalnym  znaczeniu.  W  teoriach  o ś m i o­  [25  ­  29]  i  d z i e w i ę c i o p a r a m e t r o w y ch  [30,  31]  liczba  sił  wewnę trznych  zwią zanych  z  s a m o z r ó w n o w a ż o n y mi  stanami  n a p r ę ż eń  wzrasta.  Ponadto  w  teoriach  tych,  w  o d r ó ż n i e n iu  od  teorii  t r ó j ­  pię cio­  i  sześ cioparametrowej,  r o z k ł a d  przemieszczeń  stycz­ nych  nie  jest  liniowy  na  gruboś ci  p o w ł o k i ,  a  więc  przekroje  poprzeczne  zdeformowanej  powłoki  nie  są  płaskie.  T a k i  stan  odkształcenia  charakteryzuje  np.  powłoki  warstwowe  o  niewielkiej  liczbie  warstw.  Konstruowanie  r ó w n a ń  teorii  o  przeliczalnej,  teoretycznie  nieskoń czonej  liczbie  para­ m e t r ó w  jest  oparte  na  twierdzeniu  Weierstrassa  o  jednostajnym  przybliż aniu  funkcji  cią głej  za  p o m o c ą  szeregu  w i e l o m i a n ó w  [7,  10,  13,  15,  16]  lub  na  rozwinię ciu  funkcji  w  szereg  Taylora  [7,  32].  Ze  wzglę du  na  zbież ność  i  stabilność  rozwią zań,  przy  wzroś cie  liczby  uwzglę dnionych  p a r a m e t r ó w  i  r ó w n a ń ,  za  najlepsze  uznaje  się  [15]  rozwinię cie  w  szereg  w i e l o m i a n ó w  Lcgendre'a  [13,  15,  16],  zaproponowane  przez  W E K U Ę .  Rzadziej  są  stosowane  rozwinię cia  w  „ z w y k ł e "  szeregi  p o t ę g o we  [6,  10].  Efektywność  numeryczną  teorii  z  przeliczalną  liczbą  p a r a m e t r ó w  m o ż na  znacznie  zwię kszyć  uwzglę dniając  fakt,  że  czę sto  są  znane  n a p r ę ż e n ia  na  powierzchniach  licowych  p o w ł o k i .  Zezwala  to  na  skonstruowanie  i  wykorzystanie  w  obliczeniach  ­ r o z k ł a d ó w  po­ przecznych  n a p r ę ż eń  stycznych  i  normalnych,  spełniają cych  warunki  brzegowe  na  wspo­ mnianych  powierzchniach  przy  dowolnej,  ustalonej  liczbie  p a r a m e t r ó w  [10,  16].  N a t o ­ 130  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Z .  R Y C H T E R  miast  obliczenie  tych  naprę ż eń  na  podstawie  zwią zków  konstytutywnych  wymaga  roz­ w i ą z a n ia  u k ł a d u  r ó w n a ń  ze  znacznie  wię kszą  liczbą  niewiadomych  (por.  [15]).  3.  Dokładność  teorii  wieloparametrowych  Okreś lenie  d o k ł a d n o ś ci  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k ,  z  założ enia  przybliż onych  w  stosunku  do  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci,  jest  trudnym  zagadnieniem.  Uzyskane  dotychczas  w  tym  zakresie  wyniki  o  o g ó l n y m  charakterze  są  w  zasadzie  ograniczone  do.teorii  t r ó j p a r a m e ­ trowej.  W  przypadku  teorii  o  pię ciu  i  wię cej  parametrach  ocena  d o k ł a d n o ś ci  jest  najczę ś ciej  oparta  na  szczególnych  p r z y k ł a d a c h  liczbowych,  dla  k t ó r y c h  są  znane  rozwią zania  r ó w n a ń   teorii  sprę ż ystoś ci.  T a k a  ocena  nie  m o ż e  być  oczywiś cie  w  pełni  miarodajna.  Poż yteczną   byłaby  moż liwość  apriorycznego  oszacowania  błę du  teorii  p o w ł o k  przy  danych  warto­ ś ciach  n i e k t ó r y c h  p a r a m e t r ó w  geometrycznych  i  m a t e r i a ł o w y c h ,  np.  h/R,  h/L,  E/E',  G/G'.  Opracowanie  ogólnego  kryterium  dają cego  o d p o w i e d ź  na  tak  postawiony  problem  nie  jest jednak  moż liwe,  głównie  ze  wzglę du  na  wpływ  w a r u n k ó w  brzegowych.  Jak  wiado­ mo,  p o d s t a w ą  uproszczeń  stosowanych  w  teorii  p o w ł o k  jest  moż liwość  wydzielenia  w  cien­ kiej,  sprę ż ystej  powłoce  obszaru  wewnę trznego  i  obszaru  brzegowego.  Podziałowi  temu  towarzyszy  rozbicie  stanu  S  naprę ż eń  i  odkształceń  na  dwa  stany:  wewnę trzny  Sw,  wystę­ pują cy  w  całym  obszarze  powłoki  i  opisany  funkcjami  o  prostym  przebiegu  w  kierunku  normalnym  do  ś rodkowej  powierzchni  oraz  na  stan  brzegowy  Sb,  panują cy  w  tzw.  warstwie  brzegowej  i  opisany  funkcjami  o  duż ej  na  ogół  zmiennoś ci  na  gruboś ci  p o w ł o k i ,  zanika­ ją cymi  od  jej  brzegu  w  kierunku  wnę trza.  Najczę ś ciej  stan  brzegowy jest  zwią zany  z  faktem,  że  rozwią zanie  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k  nie  spełnia  danych  w a r u n k ó w  na  powierzchni  brze­ gowej,  p r o s t o p a d ł e j  do  powierzchni  ś r o d k o w e j.  Stan  brzegowy  wystę puje  również  w  ob­ szarach  gwałtownej  zmiennoś ci  obcią ż enia,  geometrii  łub  m o d u ł ó w  sprę ż ystych  p o w ł o k i .  P r z y k ł a d e m  Sb  jest  tzw.  zgię ciowy  efekt  brzegowy  wystę pują cy  wtedy,  gdy  rozwią zanie  r ó w n a ń  teorii  bezmomentowej  nie  spełnia  w a r u n k ó w  brzegowych  teorii  momentowej.  Istnienie  efektów  brzegowych  „wyż szego  r z ę d u"  jest  dodatkowo  uwarunkowane  podat­ noś cią  p o w ł o k i  na  poprzeczne  o d k s z t a ł c e n i a  postaciowe  i  normalne.  W  cienkiej,  sprę ż ystej  p o w ł o c e  Sw  dominuje  (Sw  >  Sb)  na  ogół  w  obszarze  w e w n ę t r z­ nym,  natomiast  intensywność  Sb  jest  d u ż a  w  obszarze  brzegowym.  Wniosek  powyż szy  dotyczy  m.in.  ugię cia  ś r o d k o w ej  powierzchni  powłoki  i  wypadkowych  n a p r ę ż e ń.  W  roz­ kładzie  n a p r ę ż eń  na  gruboś ci  p o w ł o k i  wpływ  stanu  brzegowego  m o ż e  przewyż szać  wpływ  stanu  w e w n ę t r z n e go  [33].  N a l e ż y  też  p a m i ę t a ć,  że  ze  wzrostem  n i e k t ó r y c h  p a r a m e t r ó w ,  np.  h/R,  G/G',  E/E'  i n t e n s y w n o ś ć  i  zasięg  przenikania  efektów  brzegowych  znacznie  wzrasta,  aż  do  osią gnię cia  stanu,  w  k t ó r y m  efekty  te  obejmują  całą  p o w ł o k ę .  Takie  stany  brzegowe,  zwane  zdegenerowanymi,  zostały  ostatnio  zbadane  dla  p o w ł o k i  sferycznej,  z  m a t e r i a ł u  poprzecznie  izotropowego  [34]  oraz  dla  p o w ł o k  o  dowolnym  kształcie,  z  ma­ teriału  ortotropowego  [35].  Wykazano  m.in.  [35],  że  zdegenerowany  efekt  brzegowy  m o ż e  p o w s t a ć ,  gdy  G'G  ~  (h/R)2.  Z  przytoczonej  relacji  wynika,  że  w  p o w ł o c e  stosunkowo  cienkiej  (np.  h/R  ~  OA)  moż liwość  wystą pienia  zdegenerowanego  efektu  brzegowego  jest  niewielka,  gdyż  p o d a t n o ś ć  p o w ł o k i  na  poprzeczne  odkształcenia  postaciowe  m u s i a ł a b y  być  d u ż a  (G'/G  ~  0.01),  co  w  praktyce  się  nie  zdarza.  W  p o w ł o c e  o  ś redniej  gruboś ci  W l E L O P A R A M L T R O W E  P OW ŁOKI  SPRĘ Ż YSTE  131  (np.  h/R  ~  0.3)  stan  zdegenerowany  m o ż e  się  pojawić  j u ż  przy  stosunkowo  słabej  anizo­ tropii  (G'jG  ~  0.1).  Oczywiś cie  w  takim  przypadku  rozwią zanie  uzyskane  na  podstawie  r ó w n a ń  zagadnienia  wewnę trznego  teorii  p o w ł o k  m o ż e  być  w  całym  obszarze  p o w ł o k i  nieadekwatne  do  stanu  rzeczywistego.  Z  powyż szych  r o z w a ż ań  wynika  generalny  wniosek,  że  w  zagadnieniach,  w  k t ó r y c h  zastosowanie  teorii  wieloparametrowej  jest  celowe  (np.  p o w ł o k i  o  ś redniej  g r u b o ś c i ),  wpływ  efektów  brzegowych  nie  m o ż e  być  na  ogół  p o m i n i ę ty  w  obszarze  w e w n ę t r z n y m,  co  w  znacznej  mierze  komplikuje  problem  oceny  d o k ł a d n o ś ci  teorii  wieloparametrowych.  Zasadnicza  t r u d n o ś ć  jest  też  zwią zana  z  oszacowaniem  n i e k t ó r y c h  wielkoś ci  brzegowych.  N a  krawę dzi  ś r o d k o w ej  powierzchni  powłoki  m o ż na  z a d a ć  w  naturalny  s p o s ó b  tylko  pięć   wielkoś ci  (np.  trzy  składowe  wektora  siły  i  dwie  składowe  wektora  momentu).  Okreś lenie  dodatkowych  wielkoś ci,  wystę pują cych  w  teoriach  o  sześ ciu  i  wię cej  parametrach,  nie  jest  moż liwe  bez  podania  r o z k ł a d u  n a p r ę ż eń  lub  przemieszczeń  na  gruboś ci  p o w ł o k i ,  co  w  o g ó l n y m  przypadku  wymaga  rozważ enia  sprę ż ystej  w s p ó ł p r a c y  p o w ł o k i  z  k o n s t r u k c j ą   p o d p o r o w ą  [36].  Omawiana  t r u d n o ś ć  nie  dotyczy  p o w ł o k  z a m k n i ę t y c h,  nieograniczonych,  p o w ł o k  o  brzegu  swobodnym  lub  zamocowanym  w  niepodatnej  podporze.  D o k ł a d n o ś ć  teorii  wieloparametrowych  m o ż na  okreś lić  za  p o m o c ą  znanych  metod  matematycznych.  Przypomnimy,  że  błąd  m o ż na  odnosić  do  d o k ł a d n o ś ci  r ó w n a ń  lub  do  d o k ł a d n o ś ci  rozwią zań.  Poza  tym  m o ż na  p o r ó w n y w a ć  ze  sobą  r ó ż ne  teorie  p o w ł o k ,  albo  o d n o s i ć  teorię  p o w ł o k  do  teorii  sprę ż ystoś ci.  Oszacowanie  błę du  m o ż e  być  aprioryczne,  lub  oparte  na  znajomoś ci  rozwią zania  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k .  Ponadto  błąd  m o ż na  oceniać   w  sensie  globalnym  (np.  błąd  ś redni  kwadratowy  —  w  normie  L 2 )  lub  punktowo.  Z  oceną   błę du  teorii  p o w ł o k  wią że  się  ś ciś le  wymaganie  spójnoś ci  jej  r ó w n a ń ,  oznaczają ce  koniecz­ n o ś ć  jednakowego  traktowania  przy  uproszczeniach  wszystkich  członów  tego  samego  rzę du  w  danym  r ó w n a n i u .  Systematyczne  przejś cie  od  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  do  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k  m o ż e  być  oparte  na  metodzie  asymptotycznej,  zezwalają cej  na  ocenę  błę du  w  sensie  punkto­ wym  [18],  gdy  korzystamy  z  r ó w n a ń  róż niczkowych  teorii  sprę ż ystoś ci  i  w  sensie  global­ nym,  co  ma  miejsce  w  metodzie  wariacyjno­asymptotycznej,  polegają cej  na  aproksymacji  funkcjonałów  teorii  sprę ż ystoś ci.  W  literaturze  są  najczę ś ciej  podawane  r ó w n a n i a  pierw­ szego  przybliż enia  asymptotycznego.  Ostatnio  otrzymano  [18]  dla  izotropowych  powłok  w  stanie  obrotowosymetrycznym  rozwinię cie  asymptotyczne  gę stoś ci  energii  sprę ż ystej,  zawierają ce  m.in.  drugie  przybliż enie.  Omawiane  rozwinię cie  jest  odmienne  dla  trzech  nastę pują cych  p r z y p a d k ó w :  p o w ł o k  o  przecię tnej  krzywiź nie  i  długoś ci,  p o w ł o k  o  słabym  zakrzywieniu  i  przecię tnej  długoś ci  oraz  dla  długich  powłok  o  ł a g o d n y m  zakrzywieniu.  Zagadnienie  d o k ł a d n o ś ci  asymptotycznej  zredukowanych  w a r u n k ó w  brzegowych  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j  zbadano  [35]  w  odniesieniu  do  p o w ł o k  ortotropowych  o  dowolnym  kształcie.  Przyjmując  na  powierzchni  brzegowej  u k ł a d  współrzę dnych  {//',  u2,  u3}  z  kie­ runkiem  w1  normalnym  do  tej  powierzchni,  kierunkiem  i r  stycznym  do  krawę dzi  powierz­ chni  ś r o d k o w ej  i  z  kierunkiem  ;/ 3  normalnym  do  powierzchni  ś rodkowej  oraz  ustalając  warunki  brzegowe  teorii  sprę ż ystoś ci  w  postaci  (1.)  o­M  = CT,2  =  и >з  =  0,  (­h/2  «S и 3  <  h/2)  gdzie  o f i i ,  0 j 2 ,  M»s  są  odpowiednio  składowymi  tensora  naprę ż enia  i  ugię ciem  p o w ł o k i ,  132  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Z .  R Y C H T E R  otrzymano  nastę pują ce,  zredukowane  warunki  brzegowe  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j ,  odpo­ wiadają ce  warunkom  (I)  .Nll+(hlR2)(EjEi)(v2iv3J(l­vz±vnJ)CN22  = 0 ,  (2)  т ^Ш Л ^т 1/^^*Ш 0^У т Ш ^Ш ^  = O,  ( « 3 =  O)  V / , ,  ­ D { h J A 2 )  yGl2:G23iMl2;cu 2  =  0 ,  и­ ,. 0 .  W  r ó w n a n i a c h  (2)  przez  N, M, R, A, E, G,  r  oznaczono  w y p a d k o w ą  siłę  i  moment,  p r o m i e ń  krzywizny  powierzchni  ś r o d k o w e j,  parametr  Lame'go  na tej  powierzchni,  m o d u ł  Y o u n g a ,  m o d u ł  ś cinania  i  liczbę  Poissona  ­ zwią zane  z odpowiednimi  kierunkami  współ­ r z ę d n y c h;  parametry  С i  Z)  są  rzę du  jednoś ci  i  mają  charakter  bezwymiarowych  współ­ c z y n n i k ó w  m a t e r i a ł o w y c h .  P o d k r e ś l o ne  wyrazy  w  r ó w n a n i a c h  (2)  reprezentują  stany  brzegowe  zwią zane  z po­ d a t n o ś c ią  powłoki  na  poprzeczne  odkształcenia  postaciowe  i  normalne.  W  teorii  K i r c h ­ hoffa­Love'a  te stany  nie są  uwzglę dniane,  co w o g ó l n y m  przypadku  uniemoż liwia  otrzy­ manie  za  pomocą  tej  teorii  zadowalają cego  r o z k ł a d u  naprę ż eń  w  pobliżu  powierzchni  brzegowej.  Warunki  (2)  wskazują,  że  d o k ł a d n o ś ć  teorii  Kirchhoffa­Love'a  maleje  ze  wzrostem  s t o s u n k ó w  h/R,  EJE3  i  G12/G23,  jeż eli  natomiast  Zs,  <ś E3  i  Gl2  <^ G23,  to  teoria  ta jest  asymptotycznie  d o k ł a d n a .  Spójne  r ó w n a n i a  teorii  powłok  m o ż na  o t r z y m a ć  wykorzystując  aprioryczne,  globalne  oszacowanie  powierzchniowej  gę stoś ci  energii  sprę ż ystej.  Kryterium  energetyczne  zasto­ sowano  [37]  do analizy  p o p r a w n o ś ci  teorii  t r ó j ­  pię cio­  i  s z e ś c i o p a r a m e t r o w y c h,  w  przy­ padku  materiału  poprzecznie  izotropowego.  R o z w a ż o no  nastę pują ce  wyraż enie  powierz­ chniowej  gę stoś ci  energii  £  =  {(1 / 2 ) 0  'В ^у о ф   y,„ +  (1 / 2 ) 2  B*%f>  xhl  +, B*f»yatl  х щ   (3)  + (1 /2)0В *^уа з  yP3  + (l/2)2B^ 3xa3  H?i  +  l JB» 3 f 3 y«3  */>з   +   i B **W ?4 ą )  [ 1 + 0 ( ^ 4 2 G / E ' ) ] ,  gdzie  yij,  y.ij, fi>4  =  1 , 2 , 3 ;  a,  /i,  /., i] =  1 , 2 . )  są  okreś lonymi  na  ś rodkowej  po­ wierzchni  powłoki,  kolejnymi  współczynnikami  w  rozwinię ciu  składowyc h  tensora  od­ kształcenia  w  szereg  potę gowy  zmiennej  w3 — przebiegają cej  g r u b o ś ć  p o w ł o k i ,  # 2  =  =  h/R + h2/L2  jest  mały m  parametrem,  0  (  )  oznacza  wielkość  rzę du  (  ),  nB' Jk'(n  =  =  0 , 1, 2;  к , I =  1 , 2 ,  3.)  —  składowe  t e n s o r ó w  sztywnoś ci,  w  k t ó r y c h  w znany  [4],  niejawny  s p o s ó b  uwzglę dniono  wpływ  poprzecznych  odkształceń  normalnych  na  energię   sprę ż ystą  (błąd  wynikają cy  z eliminacji  tych  odkształceń  podano  w (3) w nawiasach  kwa­ dratowych).  W p r o w a d z a j ą c  bezwymiarowy  współczynnik  д   (4)  ydfi  ~  dhxap',  óya3  ­  hy.a3,  zezwalają cy  na  wyróż nienie  stanu  bezmomentowego  ó p l ,  momentowego  д ~  1 i  silnie  momentowego  ó  <ś l,  otrzymano  w  [37] nastę pują ce  oszacowanie  s k ł a d n i k ó w  wyraż enia  W l F L O P A R A M t ­ T R O W E  POW ŁOKI  SPRĘ Ż YSTE  133  energii  (3)  Z  ~  {  1,  o ­ 2 ,  b~lh/R  ( G / G ' ) j ? 2 ó ­ 2 ,  ( G / G ' ) f l 2  n  >  3  '  n  >  5  ( G / G O ^ W  Щ Щ Щ )  [l  + 0 ^ 2 G / E 4 ^ / ^ ) ]  gdzie  liczba  pod  kreską  wskazuje  teorie  /z­paramatrowe,  w  k t ó r y c h  dany  człon  pojawia  się.  R o z p a t r u j ą c  r ó ż n e,  wzajemne  proporcje  p a r a m e t r ó w  b,  h/R,  h/L,  G/G'  i  G/E'  uzy­ skano  nastę pują ce  w n i o s k i :  1)  Teoria  t r ó j p a r a m e t r o w a ,  w  przypadku  uwzglę dnienia  tylko  d w ó c h  pierwszych  członów  w  wyraż eniu  (3),  jest  k o n s e k w e n t n ą  teorią  pierwszego  przybliż enia  dla  cienkich,  r ó w ­ nomiernie  obcią ż onych  p o w ł o k  izotropowych,  co  w y k a z a ł  wcześ niej  W . T .  K O I T E R  [2].  2)  W  tej  samej  klasie  z a g a d n i e ń ,  lecz  przy  zgię ciowym  stanie  odkształcenia,  teoria  zawie­ rają ca  wszystkie  o p r ó c z  szóstego  składniki  (3)  jest  k o n s e k w e n t n ą  teorią  drugiego  przy­ bliż enia  (o  nieustalonej  liczbie  p a r a m e t r ó w ) .  Odpowiednie  rozwinię cie  energii  p o d a ł  w  tym  przypadku  W .  P I K T R A S Z K I K W I C Z  [24].  3)  Teoria  p i ę c i o p a r a m e t r o wa  jest  poprawna  w  sensie  energetycznym  w  zagadnieniach  silnego  zginania  (b  <*:  1)  cienkich  (h/R  <4  1)  p o w ł o k  anizotropowych­  o  duż ej  p o d a t n o ś ci  na  poprzeczne  odkształcenia  postaciowe  (G/G'  p  1)  i  o  niezbyt  duż ej  p o d a t n o ś ci  na  po­ przeczne  odkształcenia  normalne  {IG/E'  ~  1).  W  tym  przypadku  w  rozwinię ciu  (3)  należy  pozostawić  drugi  i  czwarty  człon.  4)  Teoria  s z e ś c i o p a r a m e t r o wa  nie  jest  na  ogół  poprawna  energetycznie,  tj.  nie  istnieje  układ  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  b,h/R,h/L,G/G'  i  G/E'  gwarantują cy  wyż szą  d o k ł a d n o ś ć   aproksymacji  energii  w  tej  teorii  w  p o r ó w n a n i u  z  teorią  t r ó j ­  i  p i ę c i o p a r a m e t r o w a.  Zatem  teoria  s z e ś c i o p a r a m e t r o wa  może  być  poż yteczna  tylko  w  szczególnych  przypadkach  (w  nie  któryc h  obszarach  p o w ł o k i ,  dla  okreś lenia  wybranych  składowych  stanu  naprę ż enia  itp).  Znaczne  moż liwoś ci  apriorycznej,  globalnej  i  punktowej  oceny  błę du  wykazują  metody  teorii  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y c h.  F .  J O H N  [38]  o t r z y m a ł  formalne  oszacowanie  dowolnego  rzę du  pochodnych  tensora  n a p r ę ż e n ia  i  tensora  odkształcenia.  Rozwijając  składowe  tych  t e n s o r ó w  w  szeregi  p o t ę g o we  współrzę dnej  и 3  i  uwzglę dniając  oszacowania  [38]  m o ż na  ocenić  rząd  wielkoś ci  w s p ó ł c z y n n i k ó w  szeregów  i  s k o n s t r u o w a ć  r ó w n a n i a  teorii  powłok  o  ż ą danej  d o k ł a d n o ś c i.  Sugestia  ta  nie  z o s t a ł a  dotychczas  szerzej  wykorzystana,  z  wyją t­ kiem  cytowanej  j u ż  pracy  [24].  Oszacowania  [38]  obowią zują  w  obszarze  wewnę trznym  izotropowej  p o w ł o k i ,  obcią ż onej  na  powierzchni  brzegowej  p r o s t o p a d ł e j  do  powierzchni  ś r o d k o w e j.  W  zagadnieniach  powłok  o  wyraź nej  anizotropii  do  zależ noś ci  podanych  w  [38]  należy  w p r o w a d z i ć  m o d u ł y  sprę ż yste,  np.  G/G'  w  przypadku  p o w ł o k  podatnych  na  poprzeczne  odkształcenia  postaciowe.  Efektywnym  narzę dziem  oceny  d o k ł a d n o ś c i,  zwłaszcza  [39]  w  zagadnieniach  liniowych,  są  dualne  zasady  wariacyjne,  tj.  zasada  minimum  energii  potencjalnej  i  zasada  maksimum  energii  dopełniają cej  [40  ­  44].  Zasady  te  zezwalają  na  oszacowanie  z  góry  i ż  d o ł u  niezna­ nego  rozwią zania  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  za  p o m o c ą  odpowiednio  skonstruowanych,  kinematycznie  i  statycznie  dopuszczalnych  pól  n a p r ę ż eń  i  przemieszczeń.  N a  ogół  otrzy­ mujemy  w  ten  s p o s ó b  globalną  ocenę  błę du.  W  przypadku,  kiedy  znana  jest  funkcja  ­  M c c i i .   Te o r e l  i   S to s .   2 —3/ 8 3   134  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Z .  R Y C H T F . R  Grecna,  m o ż na  również  znaleźć  oszacowanie  punktowe  [39].  D .  A .  D A N I E L S O N  [41],  popra­ wiając  mniej  d o k ł a d n e  oszacowanie  W . T.  K O I T E R A  [40]  wykazał,  że  przemieszczenia  p o w ł o k i ,  okreś lone  na  podstawie  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j ,  róż nią  się  w  normie  L2  od  rozwią zania  r ó w n a ń  teorii  sprę ż ystoś ci  o  wielkość  nie  przekraczają cą  e  =  h/R  +  /i2/L2,  przy  założ eniu  tzw.  regularnych  w a r u n k ó w  brzegowych,  tj.  w a r u n k ó w  identycznych  dla  zagadnienia  teorii  sprę ż ystoś ci  i  dla  zagadnienia  teorie  p o w ł o k .  Skonstruowane  w  [41]  pole  przemieszczeń  stycznych,  zgodnie  na  ś rodkowej  powierzchni  z  rozwią zaniem  r ó w n a ń   teorii  p o w ł o k ,  jest  wielomianem  trzeciego  stopnia  zmiennej  u3,  a  więc  nie  pokrywa  się   z  liniowym  r o z k ł a d e m  przemieszczeń  na  gruboś ci  p o w ł o k i ,  z a k ł a d a n y m  przy  wywodzie  r ó w n a ń  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j .  R ó ż ne  kryteria  d o k ł a d n o ś ci  i miary  błę du  m o ż na  w p r o w a d z i ć  w  teorii  p o w ł o k  traktując  przemieszczenia  i  n a p r ę ż e n ia  jako  elementy  przestrzeni  umormowanych  [45].  Jedną   z  moż liwoś ci  jest  unormowanie  b ł ę du  residualnego,  z  j a k i m  rozwią zanie  r ó w n a ń  teorii  p o w ł o k  spełnia  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  i warunki  brzegowe w  n a p r ę ż e n i a ch  teorii  sprę ż ystoś ci.  N a  tej  podstawie  s f o r m u ł o w a n o  kryterium  fizycznej  p o p r a w n o ś ci  teorii  p o w ł o k  rozpa­ trywanej  w  ramach  mechaniki  o ś r o d k ów  z  wię zami  [12,  46].  4 .  Równania  rozwią zują ce  R ó w n a n i a  teorii  p o w ł o k  m o ż na  przedstawić  w  postaci  róż niczkowej  lub  wariacyjnej.  Znalezienie  analitycznych  rozwią zań  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  jest  moż liwe  tylko  w  naj­ prostszych  przypadkach.  N a  ogół  wystę puje  koniecznoś ć  stosowania  metod  przybliż o­ nych  —  wtedy  bardziej  dogodne  jest  uję cie  wariacyjne.  F o r m u ł o w a n i e  r ó w n a ń  rozwią zują cych  z o s t a ł o  najdalej  zaawansowane  w  teorii  t r ó j ­ parametrowej.  Jednak  nawet  tutaj  np.  o g ó l n e  r ó w n a n i a  przemieszczeniowe  są  bardzo  skomplikowane.  W  ograniczonych  klasach  z a g a d n i e ń  r ó w n a n i a  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j  doprowadzono  do  stosunkowo  prostej  postaci,  otrzymując  m.in.  r ó w n a n i a  zespolone  (por.  np.  [47]),  r ó w n a n i a  Meissnera  i  typu  Meissnera  (por.  np.  [48])  dla  p o w ł o k  obroto­ wych  w  stanie  symetrii  i  antysymetrii  obrotowej  oraz  r ó w n a n i a  p o w ł o k  quasi­połogich  [49,  50].  D u ż o  uzyskanych  rozwią zań  dotyczy  p o w ł o k  o  szczególnych  kształtach  i  obcią­ ż eniach,  nad  czym  nie  bę dziemy  się  jednak  z a t r z y m y w a ć .  W  d w ó c h  najlepiej  opracowa­ nych  wersjach  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j :  B U D I A N S K Y ' E G O ­ S A N D E R S A ­ K O I T E R A  [1,2]  oraz  N A G H D I ' E G O ­ Z U D A N S A  [3  ­  5]  wykazano  istnienie  analogii  statyczno­geometrycznej  oraz  słuszność  zasad  wariacyjnych  i  twierdzeń  o  wzajemnoś ci,  analogicznych  do  zasad  i  twier­ dzeń  teorii  sprę ż ystoś ci.  Skonstruowano  i zbadano  własnoś ci  ekstremalne  r ó ż n y ch  funkcjo­ n a ł ó w  teorii  Budiansky'ego­Sandersa­Koitera,  przy  uwzglę dnieniu  anizotropii  i  niecią­ głoś ci  p a r a m e t r ó w  p o w ł o k i ,  w  obszarach  jedno­  i  wielospójnych  [45].  N i e k t ó r e  rodzaje  r ó w n a ń  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j  u o g ó l n i o n o  r o z p a t r u j ą c  model  p i ę c i o p a r a m e t r o w y.  W  tzw.  teorii  Timoszenki  uzyskano  m.in.  r ó w n a n i a  zespolone  [21]  i  r ó w n a n i a  p o w ł o k  o  małej  wyniosłoś ci  [21,22],  w  teorii  R E I S S N E R A ­ N A H G D I ' E G O  [19]  wyprowadzono  r ó w n a n i a  izotropowych  [51]  i  ortotropowych  [52]  p o w ł o k  w  stanie  sy­ metrii  obrotowej.  D l a  p o w ł o k  o  łagodnie  zmiennych  krzywiznach  otrzymano  [53]  u k ł a d  r ó w n a ń  dwunastego  r z ę d u,  podczas  gdy  poprawny  u k ł a d  r ó w n a ń  teorii  p i ę c i o p a r a m e t r o­ W I E L O P A R A M E T R O W E  P O W Ł O K I  SPRĘ Ż YSTE  135  wej  powinien  być  dziesią tego  rzę du,  co  m o ż na  osią gnąć  przez  wyraż enie  sił poprzecznych  za  p o m o c ą  d w ó c h  potencjałów  skalarnych  [22,  37].  Zbadano  zagadnienie  analogii  statycz­ no­geometrycznej  i  zbudowano  r ó w n a n i a  zespolone  [21].  R o z w a ż o no  też niektóre  zagad­ nienia  w  uję ciu  wariacyjnym  [21,22,54].  Rezultaty  uzyskane  w  teorii  sześ cioparametrowej  są  skromniejsze.  W E K U A  o t r z y m a ł  [13]  dla cienkich  p o w ł o k  izotropowych  r ó w n a n i a  przemieszczeniowe  o  strukturze  zezwa­ lają cej  na poszukiwanie  rozwią zania  za p o m o c ą  metody  funkcji  zmiennej  zespolonej. D l a  p o w ł o k  poprzecznie  izotropowych  o  ś redniej  gruboś ci  wyprowadzono  u o g ó l n i o n e  r ó w n a ­ nia  Meissnera  i  r ó w n a n i a  p o w ł o k  quasi­połogic h  [37]. Zbadano  zagadnienie  analogii  statyczno­geometrycznej  [37].  R o z w a ż o no  [22,  37,  55]  n i e k t ó r e  funkcjonały  wariacyjne.  W  zagadnieniach  sprzę ż onej  termosprę ż ystoś ci  udowodniono  [55]  twierdzenie  o  wza­ j e m n o ś c i,  zezwalają ce  na  przedstawienie  poszukiwanego  p o ł a  n a p r ę ż eń  lub  nieznanego  r o z k ł a d u  temperatury  w  powłoce  w  postaci  całki.  W  teoriach  o ś m i o­  [25  ­29]  i  d z i e w i ę c i o p a r a m e t r o w y ch  [30,31]  uzyskano  wyniki  fragmentaryczne.  R ó w n a n i a  tych  teorii  są d o ś ć  skomplikowane,  a  więc  należ ałoby  formu­ łować  je w s p o s ó b  ukierunkowany  na zastosowanie  metod  przybliż onych  i  numerycznych.  Z  tego  punktu  widzenia  celowe  jest  zbadanie  własnoś ci  o p e r a t o r ó w  róż niczkowych,  co  dotychczas  zrobiono  w  odniesieniu  do  niektórych  zagadnie ń  teorii  t r ó j p a r a m e t r o w e j  [56,  57]  i  p i ę c i o p a r a m e t r o w ej  [58].  5.  Uwagi  koń cowe  Z  przedstawionych  r o z w a ż ań  wynika,  że  d u ż o  niejasnoś ci  wią że  się z  d o k ł a d n o ś c ią   i  zakresem  stosowalnoś ci  teorii  wieloparametrowych.  N i e  opracowano  dotychczas  pełnej,  konsekwentnej  teorii  drugiego  przybliż enia  np.  energetycznego  lub  asymptotycznego.  M a ł o  uwagi  poś wię cono  zagadnieniu  zredukowanych  w a r u n k ó w  brzegowych.  N i e  są   dostatecznie  zbadane  własnoś ci  o p e r a t o r ó w  r ó ż n i c z k o w y ch  w  r ó w n a n i a c h  teorii  wielo­ parametrowych.  Brak  jest  odpowiednio  dobrej  analizy  wpływu  efektów  nieliniowych.  Należy  bowiem  p a m i ę t a ć,  że ze  wzrostem  wymaganej  d o k ł a d n o ś ci  teorii,  maleje  dopusz­ czalne  obcią ż enie,  przy  k t ó r y m  r ó w n a n i a  liniowe  są  poprawne  [18].  Z  innych,  nieopra­ cowanych  dotychczas  p r o b l e m ó w  w  teoriach  wieloparametrowych  należy  wymienić  za­ gadnienia  termosprę ż ystoś ci  i  sprzę ż onych  pól  mechano­elektromagnetycznych.  M a ł o  jest  r ó w n i e ż  b a d a ń  z zakresu  statecznoś ci  sprę ż ystej  dź wigarów  powierzchniowych, opisa­ nej  za  p o m o c ą  r ó w n a ń  teorii  o  wię kszej  niż trzy  liczbie  p a r a m e t r ó w .  Pozostają  też do  uwzglę dnienia  w  teoriach  wieloparametrowych  m a t e r i a ł y  sprę ż yś cie  niejednorodne  oraz  materiały  o  innych  zwią zkach  konstytutywnych,  np.  lepkosprę ż yste.  Wykaz  literatury  1.  B .  B U D I A N S K Y ,  J . L .  S A N D E R S ,  On the best first  order linear shell theory,  Progress in Appl.  Mech.,  t.  192.  M c M i l l a n ,  New  York  1963,  s.  1 2 9 ­ 140.  2.  W .  T .  K O I T E R ,  A  consistent first  approximation  in the general theory of  thin elastic shells, Theory  ol"  Thin  Elastic  Shells,  Proc.  I U T A M  Symp.  Delft  1959,  North  Holland,  Amsterdam  1 9 6 0 , s.  1 2 ­ 3 3 .  3.  P. M .  N A G H D I ,  A  new derivation of  the general equations  of  elastic shells. Int.  J . Eng. Sci., 1963, nr  .  1,  S.  5 0 9 ­  5 2 2 .  136  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Z .  R Y C H T E R  4.  l'.  M .  N A C I H D I ,  Foundations  of elastic shell theory. Progress  in  Solid  Mechanics,  t.  4,  1963.  5.  Z .  Z U D A N S ,  New  formulation  and  evaluation  of  elastic  shell theory, Univ.  of  Pennsylvania  Ph.  D . .  1966.  6.  P . M .  N A O H D I ,  The theory  of  shells  and plates, Handbuch  der  Physik  t.  V l a / 2 ,  Springer  Verlag,  Berlin­ ­Heidelberg­New  York  1972.  7.  H .  А .  К н л ь ч е п с к и й,  О с н о в ы  а н а л и т и ч е с к о й  м е х а н и к и  о б о л о ч е к ,  К и ев  1963.  8.  А . К .  Т А Л И Н Ь Ш,  Р а с ч е т  п л а с т и н  и  о б о л о ч е к  п о у т о ч н е н н ы м  т е о р и я м ,  И с с л е д.  н о т е о р ии  п л а с­ т ин  и  о б о л о ч е к,  1967,  nr 5,  s.  66­92,  1970,  nr 6­7,  s.  23­65.  9.  W .  Т .  K O I T E R ,  Foundations and  basic equations of  shell theory, A  survey  of  recent  progress,  Theory  of  thin  shells,  I U T A M  Symp.  Copenhagen  1967,  Springer  Verlag  1969,  s.  93 ­  105.  10.  L .  L I B R E S C U ,  Elastostatics  and kinetics of  anisotropic  and heterogeneous shell type structures,  Noordhof,  Leyden  1975.  11.  C z .  W o ż n i a k,  Nieliniowa  teoria  powłok,  P W N , Warszawa  1966.  12.  C z .  W O Ż N I A K,  M . K L E I B E R ,  Nieliniowa  mechanika  konstrukcji,  P W N , W a r s z a w a ­ P o z n a ń  1982.  13.  И .  H .  В Е К У А,  Н е к о т о р ы е  о б щ и е  м е т о д ы  п о с т р о е н и я  р а з л и ч н ы х  в а р и а н т о в  т е о р и и  о б о л о ч е к .  Н а у к а,  М о с к ва  1982.  14.  Н .  L .  L A N G I I A A R ,  Elastic surfaces and theories  of  shells, Acta  Mechanica  1974,  t.  19,  s.  109­  128.  15.  В . И .  Г У Л Я Е В,  В .  А .  Б А Ж Е Н О В,  П .  П .  Л И З У Н О В,  Н е к л а с и ч е с к а я  т е о р и я  о б о л о ч е к  и  с ё  п р и м е ­ н е н и е  к  р е ш е н и ю  и н ж е н е р н ы х  з а д а ч ,  Л ь в о в,  В и щ а ­ Ш к о л а,  1978.  В .  Л .  П Е Л Е Х,  И .  А .  С У Х О Р О Л Ь С К Н Й,  К о н т а к т н ы е  з а д а ч и  т е о р и и  у п р у г о с т и  а н и з о т р о п н ы х  о б о л о ч е к ,  Н а у к о ва  Д у и к а,  К и ев  1980.  17.  Н. S.  R L T T E N ,  Asymptotic approximation  in  the  threediinensional theory of  thin and thick elastic  shells.  Theory  of  thin  shells,  I U T A M  Symp.  Copenhagen  1967,  Springer  Verlag  1969,  115­  134.  18.  M .  S A Y I R ,  C .  M I T R O P O U L O S ,  On  elementary theories  of  linear  elastic beams  plates and  shells (review  paper)  Z A M P  1980  t.  31,  nr  1.  s.  1­55.  19.  I'. M .  N A G H D I ,  On  the  theory of  thin elastic shells,  Quart.  A p p l .  Math.  1957,  l .  14,  nr 4,  s.  369 ­ 380.  20.  С . А .  А М Ь А Р Ц У М Я Н,  О б щ а я  т е о р и я  а н и з о т р о п н ы х  о б о л о ч е к ,  Н а у к а,  М о с к ва  1974.  21.  В . Л .  П Е Л Е Х,  Т е о р и я  о б о л о ч е к  с  к о н е ч н о й  с д в и г о в о й  ж е с т к о с т ь ю ,  Н а у к о ва  Д у м к а,  К и ев  1973.  22.  К .  3 .  Г А Л Н М ОВ  (red.),  Т е о р и я  о б о л о ч е к  с  у ч е т о м  п о п е р е ч н о г о  с д в и г а ,  И з д а т.  К а з а н с к.  У н и и,  К а з а нь  1977.  23.  L . М .  Н л н п ',  Theory of  elastic shells in  the reference state, Ing.  Archiv  1965,  I.  34,  s.  228  ­ 237.  24.  W .  P I E T R A S Z K I E W I C Z ,  Finite  rotations and  Lagrangcan  description  in  the  non­linear  theory of shells.  P W N ,  W a r s z a w a ­ P o z n a ń  1979.  25.  A .  H .  У Л Ь Я Ш И Н А,  У р а в н е н и я  т е х н и ч е с к о й  т е о р и и  о б о л о ч е к  с у ч е т о м  с д в и г о в о й  и  п о п е р е ч н о й  д е ­ ф о р м а ц и й ,  М е х. П о л и м.  1977,  nr  2,  s.  270  ­  277.  26.  А .  Н .  Ч Л Ь Я Ш И Н А,  К  у т о ч н е н н о й  т е о р и и  к р а е в о г о  э ф ф е к т а  в  о р ш о ш р о п н ы х  ц и л и н д р и ч е с к и х  о б о ­ л о ч к а х ,  И с с л е д.  п о  у и р у г.  и  п л а с т.  1980,  nr  13,  s.  7 3 ­ 8 1 .  27.  А . О .  Р А С С К А З О В,  К  т е о р и и  к о л е б а н и й  м н о г о с л о й н ы х  о б о л о ч е к ,  П р н к л.  м е х.  1977,  t.  13,  nr  8,  s.  23  ­  29.  28.  А . П .  М У К О Е Д,  О б  о д н о м  в а р и а н т е  у т о ч н е н н о й  т е о р и и  о б о л о ч е к ,  П р и к л.  .м е х. 1979,  t.  15,  nr  12,  s.  43  ­  50.  29.  Ю .  И .  Н Е М Ч И Н О В,  К  т е о р и и  а н и з о т р о п н ы х  о б о л о ч е к  и  п л а с т и н ,  П р и к л.  м е х. 1981,  t.  17,  nr  12,  s.  57  ­  64.  3(1.  J .  H A M M I L ,  Geometrisch  nichtlineare  Schalenglcichungen  als  Approximation  des  drcidimensionalen  Kontinuums unter Beriicksiehtigung der Querschnittsverwolbung,  lng.  Archiv  1978,  t.  47,  nr 2,  s.  75 ­ 93.  31.  А .  В .  С А Ч Е Н К О В,  И .  Ю .  К Р А С Н О В С К И Й,  И з г и б  ц и л и н д р и ч е с к и х  о б о л о ч е к  и  п л и т  с  у ч е м о м  п о п е ­ р е ч н о й  д е ф о р м а ц и и ,  И з в.  В у з о в,  М а т.  1981,  nr  11,  s.  49  ­  57.  32.  Н . А .  Б А З А Р Е Н К О,  П о с т р о е н и е  у т о ч н е н н ы х  п р и к л а д н ы х  т е о р и й  д л я  о б о л о ч е к  п р о и з в о л ь н о й  ф о р м ы ,  П р и к л.  м а т. м е х.  1980,  t.  44,  nr  4,  s.  727  ­  736.  33.  S.  N A I R ,  E .  R E I S S N E R ,  TWO­  and  three­dimensional results  for  rotationally  symmetric  deformations  of  circular  cylindrical shells, Int.  J . Sol.  Struct.  1978,  t.  14,  nr  11,  s.  905  ­ 924.  W I E L O P A R A M E T R O W E  P O W Ł O K I  SPRĘ Ż YSTE  137  34.  Т .  В .  В И Л Е Н С К А Я,  Л' в о п р о с у  п о с т р е н и я  т е о р и и  с ф е р и ч е с к и х  о б о л о ч е к  и з  ш р а н с в е р с а л ь н о ­и з о ш р о и ­ и о г о  м а т е р и а л а ,  Р а с ч ет  о б о л о ч ек  и  п л а с т и н,  Р о с т о в ­ Н /Д  1978, s.  37 ­  44.  35.  JI. А .  А г д л о в я н,  О  п р и ь е д е и и и  п р о с т р а н с т в е н н о й  з а д а ч и  т е о р и и  у п р у г о с т и  к  д в у м е р н о й  д л я   о р т о п ф о п н ы х  о б о л о ч е к  и  п о г р е ш н о с т я х  н е к о т о р ы х  п р и к л а д н ы х  т е о р и й ,  Д о к л.  А Н  А р м.  C C I 3  1979,  nr  3,  s.  151  ­  156.  36.  W . Т .  К О П Е Н,  J. G . S I M M O N D S ,  Foundations of shell theory,  Theor.  A p p l .  Mech.,  Proc.  13th Int. Congr.  Theor.  A p p l .  Mech.,  Moscow  Univ.  1972,  Springer  Verlag  1973,  s.  150­ 176.  37.  Z .  R Y C T I T E R ,  Analiza  statyczna  powłok  poprzecznie  izotropowych o  ś redniej  gruboś ci  (rozprawa  dok­ torska),  Politechnika  Warszawska  1982.  38.  F . J O H N ,  Estimates for  the derivatives of  the  stresses  in a  thin shell and interior shell equations,  C o m m .  Pure  A p p l .  Math.  1965,  t.  18,  s.  235­267.  39.  H .  S T U M P F ,  Some applications of  convex analysis to  non­linear elastic boundary value problems,  K o m ­ pleksnyj  Analiz  i  Jego  Pril.  Nauka,  Moskwa  1978,  s.  608 ­ 617.  40.  W. T .  K O I T E R ,  On the foundations of  the  linear theory of thin elastic shells, Proc.  K o n . N e d . A k . Wet.  1970  ser  В,  t  73,  nr  3,  s  169­195  41.  D . A .  D A N I E L S O N ,  Improved error estimates  in the linear theory of  thin elastic shells, Proc.  K o n . N e d .  A k .  Wet.  1971,  ser.  В,  t.  74,  s.  294­ 300.  42.  C . L .  H o , J . K .  K N O W L E S ,  Energy inequalities and error estimates for  torsion of elastic shells of revo­ lution,  Z A M P  1970,  t.  21,  s.  352­ 377.  43.  C . O .  H O R G A N ,  L . T.  W H E E L E R ,  Maximum  principles and pointwise error estimates for  torsion of shells  of  revolution,  C A N C A M  77  Proc.  6th  Can.  Congr.  Appl.  Mech.,  Vancouver  1977,  vol,  1,  s.  37­ 38.  44.  W.  P R A G E R ,  J . L .  S Y N G E ,  Approximations in elasticity  based on  the  concept of function  space,  Quart.  A p p l .  Math.  1947,  t.  5,  s.  241­269.  45.  H . П .  А Б О В С К И Й,  H . П .  А Н Д Р Е Е В,  А . П .  Д Е Р У Г Л,  В а р и а ц и о н н ы е  п р и н ц и п ы  т е о р и и  у п р у г о с т и   и  т е о р и и  о б о л о ч е к ,  Н а у к а,  М о с к ва  1978.  46.  Z . F .  B A C Z Y Ń S K I,  Structure of  equations and estimation of  solutions in  non­linear shell  theory,  A r c h .  Mech.  1975,  t.  27,  or  3,  s.  375 ­ 384.  47.  К . Ф .  Ч Е Р Н Ы Х,  Л и н е й н а я  т е о р и я  о б о л о ч е к  t.  2,  Л е н и н г р ад  1964.  48.  В . С ,  Ч Е Р Н И Н А,  С т а т и к а  т о н к о с т е н н ы х  о б о л о ч е к  в р а щ е н и я ,  Н а у к а,  М о с к ва  1968.  49.  W . Т .  K O I T K R ,  On  the nonlinear theory of  thin elastic shells, Proc.  K o n .  Ned. A k . Wet. 1966,  ser.  В »  t.  69,  nr  1,  s.  1 ­  54.  50.  A . L I B A I ,  On  the nonlinear elastokinetics of shells and beams,  Journ. Aerosp.  Sci.  1962, t. 29, s.  1190 ­ 1195.  51.  Р. M .  N A G H D I ,  The  effect of transverse  shear deformation on the bending of elastic shells of revolution.  Quart.  A p p l .  Math.  1957 ­ 58,  t.  15,  nr  1.  52.  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  R.  N A G Ó R S K I ,  O  równaniach  teorii liniowej  powłok  z  uwzglę dnieniem  poprzecznych  odkształceń  postaciowych,  Rozprawy  I n ż . 1981,  t.  29,  nr  2,  s.  321  ­ 342.  53.  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  Obcią ż enia  skupione w  tarczach płytach  i  powłokach,  P W N ,  Warszawa  1976.  54.  Л . Я .  А й н о л А,  В а р и а ц и о н н ы е  м е т о д ы  д л я  н е л и н е й н ы х  у р а ь н с н и й  д в и ж е н и я  о б о л о ч е к ,  П р и к л.  .п а т.  .м е х.  1968,  t.  32,  nr  1.  s.  154 ­  158.  55.  P .  H .  Ш в е ц,  В . М .  Ф л я ч у к,  В а р и а ц и о н н ы е  п р и н ц и п ы  и т е о р е м а  в з а и м н о с т и  в з а д а ч а х  д и н а м и к и   т е р м о у п р у г и х  а н и з о т р о п н ы х  о б о л о ч е к ,  М а т.  .м е т о ды  и  ф п з . ­ м е х.  п о ля  1981, nr  14,  s.  70 ­ 75.  56.  В . Т .  К О Р Н Е Е В,  О  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х  о п е р а т о р а х  т е о р и и  т о п к и х  о б о л о ч е к  и  т е о р и и  о б о л о ч е к   Р е й с с н е р а ,  И с с л е д.  п о т е о р ии  у п р у г,  п л а с т и ч.  1974, nr  10, s.  160 ­  173.  57.  Н . Т .  М Е Д В Е Д Е В,  О  р а з р е ш и м о с т и  з а д а ч  т е о р и и  о р т о п ф о п н ы х  н е к р у г о в ы х  ц и л и н д р и ч е с к и х  о б о ­ л о ч е к ,  Д о к л.  А Н  У С С Р,  С е р.  А ,  1978,  nr  10,  s.  908  ­ 911.  58.  Н . Т .  М Е Д В Е Д Е В,  В . В . Е м е л ь я н е н к о,  К  о б о с н о в а н и ю  р а з р е ш и м о с т и  з а д а ч  т е о р и и  о р т о п ф о п н ы х   о б о л о ч е к  в р а щ е н и я  с  к о н е ч н о й  с д в и г о в о й  ж е с т к о с т ь ю ,  П р и к л.  м е х.  1981, t.  17, nr 12, s.  122 ­  125.  138  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Z .  R Y C H T E R  Р е з ю ме   И З Б Р А Н Н ЫЕ  П Р О Б Л Е МЫ  М У Л Ь Т И П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К ИХ  Л И Н Е Й Н ЫХ  Т Е О Р ИЙ   У П Р У Г ИХ  О Б О Л О Ч ЕК   В  р а б о те  р а с с м о т р е ны  с л е д у ю щ ие  п р о б л е мы  м у л м и п а р а м е т р и ч е с к их  л и н е й н ых  т е о р ий  у п р у г их   о б о л о ч е к:  к о н с т р у к ц ия  у р а в н е н и й,  о ц е н ка  т о ч н о с т и,  о б л а с ть  п р и м е н и м о с ти  о т д е л ь н ых  т е о р и й,  ф о р м у л и р о в а н ие  р е ш а ю щ их  у р а в н е н и й.  П р и в е д е ны  с в е д е н ия  о  м н о г их  р а б о т ах  п о  э т ой  п р о б л е­ м а т и к е.  У к а з а ны  т а к же  п р о б л е м ы,  к о т о р ые  п о  м н е н ию  а в т о р ов  д о  с их п ор н е  р а з р а б о т а н ы.  S u m m a r y  S E L E C T E D  P R O B L E M S  IN  T H E  M U L T I ­ P A R A M E T R I C  L I N E A R  T H E O R I E S  O F  E L A S T I C  S H E L L S  We  deal  with  the  following  problems  in  the  multi­parametric  linear  theories  of  elastic  shells:  con­ struction  of  equations,  accuracy  estimation,  the  scope  of  application  of  respective  theories,  formulation  of  solving  equations.  Many  papers  concerning  the  subject  have  been  discussed.  Some  problems  which  according  to  authors'  knowledge  have  not  been  elaborated  so  far are also  indicated.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  S  lipca  1983  roku