Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf М  Е С  Н   A N I  К  А   T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,21(1983)  O N E ­ D I M E N S I O N A L  C O N T I N U O U S  M O D E L  O F  L A T T I C E  T Y P E  S U R F A C E  S T R U C T U R E S  R O M A N  N A G У R S K I  Politechnika Warszawska 1.  Introduction  The  equations  o f  a  one­dimensional  continuous  model  o f  lattice­type  structures  with  densely  packed  and  regularly  spaced  lattice  of  elements  are  discussed  in  the  paper.  The  equations  are  obtained  by  applying the  concept  o f  a  continuum  with  internal,  constraints  [1]  to  the  equations  o f  surface­type  fibrous  medium  of  Cosserats'  type  [2]  which  is  a  con­ tinuous,  two­dimensional  model  o f  a  structure  [3].  Considerable  costs  of the  numerical computations  o f the  discret  and  discretized  systems  and  the  k n o w n  difficulties  with  founding  the  solutions  to  the  boundary­value  problems  are  related  to  the  partial  equations  i n  two  dimensions.  Therefore  the  construction  of  the  one­dimensional  model  seems  to  be  justified.  The  aim  of this  paper  is formulate  the  equations  describing the  one­dimensional model  o f  a  static  problem  of  the  linear  (infinitesimal) theory  o f elastic  structures  with  kinematic­ type  ideal  constraints  in  their  integrable  form  and  with  the  regular  basic  surface  o f  the  medium.  A n  example  o f  a  grid  o n  a  cylindrical  surface  with  a  circular cross­section  and  axial­circumferencial  lattice­type  prismatic  bars  is  also  presented.  The  proposed  constraint  equations  represent  certain  generalization  of  the  hyphotesis  of  flat  cross­sections.  We  assume  that  the  cross­sections  perpendicular  to  the  axis  of  the  medium  surface  independently  of  the  translations  and  rotations,  can  be  subjected  also  to  the  homogeneus  deformations  in  their  plane.  The  generalization  of  the  forementioned  approach  which  includes  the  cases  of  vibra­ tions  and  stability  as  well  as  more  general  kinematic  and  kinetic  constraints  imposed  on  structures  was  also  developed  by  the  author,  however  exceeds  the  scope  o f  this  paper  2.  Equations  of  a  surface­type  fibrous  medium  with  kinematic  internal  constraints  The  equilibrium  equations  and  the  static  boundary  conditions  for  linear  surface­type  fibrous  medium  o f  Cosserats'  type  with  internal  constraints  can  be  presented  as  [1]­  [3]:  P % ­ b ? / + < Z a  + '­a  =  0. p^ + b^'+q+r  =  0,  m^lfi-tymP+elpP+h**!?  =  0, m^ + b^m*1'+ е ^р '"1+ h + s =  0 .  1 4 0  R.  N A G У R S K I  and  (2.2) p^n(!  ­ • $ »+  j / \  p f y  и Л | /. =  A "  +  о ",  »Aij,  =  »/ +  ,  where  />а  and  /;;"''.  w a  are  components  of  the  cross­sectional  forces  and  moments,  ф ik  3§C  t/a,  A a ,  Л and p*,p, nf, in  are  components  of  external  surface  and  boundary  load,  r", r, sa, s  and Qa, g,  a*,  o' are  surface  and  boundary  reactions  of  constraints,  g a / 3 , ba?, eail  denote  components  of  the  metric  and  curvature  tensors  as  well  as  those  of  Ricci's  pseudotensor  o f  the  medium  surface n, np  are  components  of  the  unit  vector  normal  to  a  boundary  д я  and  tangent  to я ,  (...)j  stends  for  the  surface  covariant  derivative  (a , fi =  1,  2).  Tt  is  assumed  that  the  constraints  are  ideal,  i.e.  (2.3)  J  (r a (to a  + rov + s«d$a + s(\i>)dn + f  (e afo>a  + odv + a aS»a + о Щ й (8п ) =  0,  л  д я   for  any  variations dva, 69  of  components  o f  the  displacement  vector va,v  and  those  o f  the  rotation  vector 9a, • &  compatible  with  constraints  in  their  integrable  form  N (2.4) [va, v,  0 e ,  #](«")  =  V [vaK, vK, {>aK, K](u")fK(u l), where vaK,vK, 9aK, &K  are  known,  sufficiently  regular  functions  o f  coordinates  ( г /)  у n  the  surface n,  while y)K  are  the  unknown  generalized  displacements.  It  is  also  assumed  that  surface  is  generated  by  one­parameter  family  of  any  contours,  provided  that  these  contours  have  no  common  points  and  are  piecewise  smooth l\ul)  O' 1  6  < г / } , и ] >)  and  can  by  defined  by  means  of it2  coordinate.  Another  assumption  is, that  i f П и1)  is an  open  contour  ( д Д н1 ) ф  0 )  then  for  the  part д я  different  from Г (и ^)  the  static  boundary  con­ ditions  are  given.  The  boundary  conditions  on д я  = Г (и ^) (Г (и [) ф 1\и \))  can  be  static  or  kinematic  compatible  with  constraints  (2.4).  Eqs.  (2.4)  can  be  relatively  easily  genera­ lized  to  the  case  in  which  the  components  of  the  state  of  displacements  are  the  functions  o f  the  derivatives  o f rpK  with  respect  to  и 1 .  In  such  a  case  the  form  o f  the  relevant  equa­ tions  and  formulae  becomes  more  complex.  The  geometric  relations  can  be  formulated  as  follows  [3]:  У «я  = Vp\a-bafiv­ea(l-9, ya = vL + b&p + eJ'ltp, -* = 9p\a-baf>9,  = K + bPfy, while  the  constitutive  equations  can  be  defined  from  the  formulae  (2.6)  P e = " | ^  ' » ' " = ­ / * . .  « • ­ ­ ? ­ ­ ty*? °Y* OMafi О Х щ where e  is  the  elastic  potential  defined  as  follows  (2.7) e= l2 ( A ^y^b + A <*yaYt + 8 ^ % * * * ,  +  ,  where A*Pi'1, ...,Ba<:  are  elastic  rigidity  tensors.  I f  there  is  known  a  continuous  lattice  o f A  family  o f  fibres  on  the  surface  then  the  coordinates  o f  the  state  o f  strain  of  the  fibres  are  defined  as  follows  [3],  / 2 8 ) У л = yipfaul 9л = У <*Ъ %, у л - Y&> M O D E L  O F  L A T T I C E  S T R U C T U R E S  141  where tA,~tA  are  the  components  of  a f i e l d  of versors  which  are  tangent  and  perpendicular  to  the  curves  from  the A  family (A  =  I ,  I I ,  ...).  The  internal  stress  densities  i n  the A  fibres  can  be  described  using  the  following  for­ mulae  PA  = RAYA, PA = RAYA, PA  = RjY , mA  = SAXA,  fflj  = SAxA, mA = S xA, ( 2 . 9 )  where RA, SA  are  measures  o f  the  elastic  rigidity,  and  (2.10)  P a P  = E Pa = ^ Р А Ъ, Л A m'P =  V (mA tAĄ + mAtA?A), m a = £ m A t A . A » A Substituting  (2.8)  to  (2.9)  and  then  to  (2.10)  and  combining the  obtained  result  with  (2.6),  (2.7)  we  arrive  at  [3]  А<4*п = ^j*Ę (tl>flR +?~tARA), A a( = У tatAR , (2.11)  Ј  ^  л л When  the  fibrous  medium  is  a  continuous  model  o f  a  surface  grid (A  =  1,11  or  /1  =  1,11,111)  then  (2.12)  p j =  ' ' , g4M9f-, p =-f-,  m j  =  ­ T ­ ,  W  =  ­ . ­ ­ ,  » | ,  =  т ,  lA 'A  ' J  ' J  ' J 'A where PA, PA, P t  are  respectively  longitudinal  forces  and  shear  tangent  and  normal  to  7i, MA, Мл, MA  are  respectively  torques  and  couples  tangent  and  normal  to n  i n  the  middle  cross­sections  of  the  bars  o f A  family,  and lA  is  a  distance  between  adjacent  curves  o f  a  discret  lattice  of  bars  axes  o f  the  structure.  Moreover  EAAA - ń tj  v  12E  J j  К — —= , KA = — , KA — —~—­—, (2.13)  h  Ш  ,  l J ' d  a GAJ.i  ­ EAJA  X EAJA J   J   =   — — , bA ­ _. , ' j  ' j lA where Ed,GA, la, AA, JA,J^,JA   a r e  * п е  Y o u n g  moduls,  the  torsional  modulus,  the  length,  the  cross­section  surface  area,  the  polar  and  principal  moments  respectively  o f  the  cross­sections  of  bars  from  the A  family  [3].  3 .  Equations  of  the  one­dimensional  continuous  model  Eliminating  from  (2.1)­(2.3)  the  components  of  the  constraint  reactions  and  using  (2.4)  a  generalized  equilibrium  equations  and  boundary  conditions,  i.e.  Lagrange­type  142  R .  N A G У R S K I  \  •   equations  of the  second  kind  [I]  are  obtained  . П + + = 0 ,  » ' e  ( « ! , « • )  ((...)'  = d(...)fdu'), % = GK«  or fK = y>Ki,  и 1 = u i ( K =   1, 2, . . . , /V),  where Ч \, Ф к  are  the  generalized  internal  forces, FK, GKA  the  external  forces, y>Ka  the  generalized  boundary  displacements  П =  f (plavaK + p^K + m^aK + m^K)­­^J=rdr, П и1)  ł  Ф К  =  / (p aPy«PK + Р ауак + т^р к + >n a*aK) ­XL (1Г , У 8 2 2 П и1) ( 3 - 2 ) FK= f (c1*vaK + qvK + h«{raK + hKy- J~=-dT+ П и1) V g l 2 + У ф ьа К+р ь к  + *»* < V + mug) L, П "1) Уg l 2 while  and Ldu1 = d(dn)  on the part  o f 8л  which  different  then Г (и ^) ( 3 . 4 ) Ш Ч̂ф й М ф ^Щ г - Substituting  R H S of Eqs  (2.4) to Eqs  (2.5) and  then  to the constitutive  equations  derived  from  Eqs  (2.6),  (2.7)  we obtain  the components  o f the strain  and stress  states as the  func­ tions  o f the  generalized  displacements yjK and their  derivatives y>'K. After  substituting  these  functions  i n formulae  ( 3 . 2 ) 1 > 2  we arrive  at  the constitutive  equations  of one­dimensional  model  fT N (3.5) ҐK  = У $4fWL+ y rKLV> 'LY ,  * « ^ ' ^ ( « b f c + * « V i ) .  where 4 'K L, SKL  (a  =  1, 2; K , L  =  1, 2, . . . , N )  are  generalized  elastic  rigidities  ф ,  V  Ј 2 2   n Л  n ­ Ł =  i'  ( ^ 1 ' 1 1 ' 4 Ł ^ + ^ 1 1 ^ ^ + 5 1 ' ' 1 4 ) Ł ^ + j B 1 1 ^ ^ )  A ­ d r >  ( 3 ­ 6 )  rуl.) I  F # a  =  [  (^ a / , { V,,a.y«/ ) K  +  ^ a V f t r a K  +  ^ ' , ^ , L ^ K  +  ^ ; ^ l . ^ K )  ­ 7 Ł  M O D E L  O F  L A T T I C E  S T R U C T U R E S  143  (3.6)  [co n t.] iKL  ­  /  и ^ Ч ь У ч » *^   Substituting  R H S  of Eqs (3.5)  into  Eqs (3.1)  a  system  o f the  governing  equations  describing  the model  is obtained.  This is a  system  o f the ordinary  linear  differential  equa­ tions  and the  boundary  conditions.  After  solving  the  problem  the  components  of the  states of displacement,  strain and stress i n the  medium can be obtained  from  Eqs (2.4) ­ (2.7).  The  constraint  reactions,  which  can  characterise  the  accuracy  o f  the  one­dimensional  model  [4] may  be obtained  from  Eqs  (2.1),  (2.2).  U s i n g  Eqs  (2.4),  (2.8),  (2.9),  (2.12)  the  displacements  and rotations  o f structural  nodes  as  well  as the forces,  couples  and  torques  in  the  cross­sections  of  bars  can  be  determined.  4 .  Cylindrical  grid  A  surface­type  grid  designed  on a  cylindrical  surface  and  made  of the two families  o f  prismatic  bars  which  represent  a  regular  and dense  axially­circumferential lattice  w i l l  be  considered  in  this  section  (see  F i g . 1).  2  "3!  E 2 W 2  F i g .  1  In  this  case  (4.1)  rj  = Ą = f#  = Щ'г  = 1 , tj = t\ = 1\,  = tj, =  0.  U s i n g  Eqs (4.1),  (2.8),  (2.10),  (2.11)  the governing relations o f the cylindrical  grid  can  be  obtained  easily.  Let  us  take  into  account  the  following  form  o f the  constraint  equations  (2.4)  (see  F i g .  1)  vi  =  w t + R(0 2sin  a — 0 3 c o s a ) ,  — w 2 s i n a + и 'з cos a + R ^ 0 Х + e1cos2a — ~ (e2  — s 3 )sin2al,  — w2cos  я — w 3 sin a — R(xi sin 2a +  j<2 c o s 2 a + x3  s i n 2 a ) ,  (4.2)  0 X  — @ + | 1 c o s 2 a — y  5 s i n 2 a ,  v =  — 0 2 s i n a + 0 3 c o s a  —J?0*iSin2a +  « 2 c o s 2 a ­ r X 3 s m 2 a ) ,  ­ 0 2 c o s a + 0 3 s i n a ­ R Я ­ f̂  cos 2a  —  — (У .. • 2 —  * 3 ) s i n 2 a j >  144  R.  N A G У R S K I  where y>' = [wi, w2,  A]  are  the  generalized  displacements,  which  are  unknown  func­ tions  the  argument ux = x (u2 =  a),  while y>[ = [wt]  is  the  parameter  o f  extension,  у Г  =  [ "' 2 ' 0 з ]  a " d У з  = [w3, 02]  the  bending  parameters, y>% =  [ 0 ^ 0 ,  Я]  the  parame­ ters  o f  torsion,  1//5  ==  [e,,  s i , xx]  the  parameters  of  homogeneous  shape  deformation  o f  the  cross­section x =  const, ipl  = [f-i,  Ј 3 , x2, x3,  Ј]  the  parameters  o f  homogeneous  linear  deformation  of  this  cross­section.  It  is  assumed  that  the  cross­section  o f  the  struc­ ture  is  subjected  to  a  rigid  displacement  and  rotation  defined  by  displacements  iv,­  and  rotations  0 ,  and  to  a  homogeneous  deformation  in  its  plane  described  by  e,(V = 1 , 2 ,  3).  The  remaining  parameters  describe  the  "free"  rotations  & a , #  [3].  The  conditions ya  =  0,  У 12   — У 2 1  = 0  ' e a < i  t o  the  classical o f the  Kirchhoff­Love's  theory  o f shells  with­continuous  structure  and  to  the  Bernoulli­Timoshenko's flat  cross­section  hipotheses  with  adequate  constraints  imposed  on  parameters  0 2 ,  0 3 ,  0 ,  A ,   C i ,  Ј »  « i >  « 2 >  ^ з ­ A p p l y i n g  the  procedure  described  in  Sec.  3  we  obtain  a  system  o f  equations  (4.3) LkVk+Ft  =  0, x e  ( x , ,  x 2 ) ; « k 9 t  =  G A a  lub  =  *  =  * « ,  with  the  matrices  o f  the  ordinary  differential  operators L K and t x k  with  derivatives  at  most  o f  the  second  and  first  order,  respectively,  and  with  the  rigidity  dependent  coefficients  RtU RA, ...,SA  (see  (2.13)).  Eqs  (4.3)  for к   =  1 , 4 , 6  are  reduced  to  exact  equations  of the  rotationally­symmetrical  extension,  torsion  and  bending  [5],  for к =   2 ,  3  are  the  equations  describing  bending  o f  a  Timoshenko­type  beam.  I f к   =  6  then  equations  are  separated  into  two  system  (4.4) L6 a 4 >6A+F6A  =  0  for  the  unknown  functions  (4.5)  П>  = [e2 +  e 3 ,  « 2   +   « 3 ] ,   * " «   =   [ « 2   ~   « 3 ,   * 2   ­  * з ,   f  ]   •   References  1.  C .  W O Ź N I A K, Constrained continuous media I.  General  theory,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Serie.  Techn.,  2 1 ,  3,  1973  2.  C .  W O Ź N I A K, Theory of fibrous media. I. It.;  Arch,  of  Mech.  17,  5 ­ 6 ,  1965  3.  С .  W O Ź N I A K, Lattice­type surface structures,  P W N ,  Warsaw  1970  (in  polish)  4 .  C .  W O Ź N I A K, On the tolerance approach to solid mechanics, Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Serie  Sci.  Techn.  (in  print)  5.  R.  N A G У R S K I , Bending of cylindrical lattice shell under rotationally symmetric load,  A I L ,  24,  4,  1978  (in  polish)  P  e  3   ю  M  e  У Р А В Н Е Н ИЯ  О Д Н О Р А З М Е Р Н ОЙ  С П Л О Ш Н ОЙ  М О Д Е ЛИ  С Е Т Ч А Т ЫХ   П О В Е Р Х Н О С Т Н ЫХ  К О Н С Т Р У К Ц ИЙ   В  д а н н ой  р а б о те  в ы в е д е ны  у р а в н е н ия  о д н о р а з м е р н ой  и  с п л о ш н ой  м о д е ли  п л о т н ых  и  р е г у л я р­ н ых  с е т ч а т ых  п о в е р х н о с т н ых  к о н с т р у к ц и и.  Э ти  у р а в н е н ия  п о л у ч е н о,  п р и м е н яя  и д еи  к о н т и н у ум   с  в н у т р е н н и ми  с в я з я ми  и  у р а в н е н ия  В О Л О К Н И С Т ОЙ  п о в е р х н о с т н ой  с р е ды  т и па  К о с с е р а т.  Р а с с м о т­ р е но  с л у ч ай  с т а т и ки  п о  л и н е й н ой  т е о р и и,  и н т е г р и р о в а н н ые  с в я зи  к и н е м а т и ч е с к о го  т и па  и  с т е р­ ж н е в ые  к о н с т р у к ц и и.  Р а с с м о т р е но  т а к же  п р и м ер  ц и л и н д р и ч е с к ой  с и с т е мы  т и па  р о с т в е р к а.  M O D E L  O F  L A T T I C E  S T R U C T U R E S  S t r e s z c z e n i e  145  J E D N O W Y M I A R O W Y  M O D E L  C I Ą G ŁY  S I A T K O W Y C H  D Ź W I G A R УW  P O W I E R Z C H N I O W Y C H  Przedmiotem  referatu  są  r ó w n a n i a  jednowymiarowego  modelu  c i ą g ł e go  s p r ę ż y s t y ch  siatkowych  d ź w i g a r ów  powierzchniowych  o  gę stej  regularnej  siatce  e l e m e n t ó w .  R ó w n a n i a  te  uzyskano  s t o s u j ą c  kon­ c e p c j ę  kontinuum  z  w i ę z a mi  w e w n ę t r z n y mi  do  r ó w n a ń  powierzchniowego  o ś r o d ka  w ł ó k n i s t e g o  typu  C o s s e r a t ó w ,  b ę d ą c e go  c i ą g ł ym  dwuwymiarowym  modelem  d ź w i g a r a.  W  komunikacie  ograniczono  roz­ w a ż a n ia  do  przypadku  statyki,  teorii  liniowej,  idealnych  w i ę z ów  c a ł k o w a l n y c h  typu  kinematycznego  dla  konstrukcji  o  powierzchni  podstawowej  w  postaci  jednoparametrowej  rodziny  k o n t u r ó w .  P r z y k ł a d o w o  rozpatrzono  ruszt  cylindryczny.  Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 stycznia 1983 roku