Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N l K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  O N  L I N E A R  T H E O R Y  O F  A N I S O T R O P I C  S H E L L S  O F  M O D E R A T E  T H I C K N E S S  Z E N O N  R Y C H T E R  Politechnika  Warszawska  1.  Introduction  The  classical  theory  of thin  elastic  shells  often  referred  as  the  Kirchhoff­Love  ( K X )  theory  may be  unsatisfactory  in some  problems  of practical  importance  such  as  mode­ rately  thick  shells,  shells  with  short  wave  length  o f the  deformation  pattern  o f the  middle  surface,  shells  with  a  high  degree  of anisotropy,  etc. In this  paper,  limited  to the  statics  o f  shells,  such  problems  are  considered  within  the  framework  o f a  theory  engaging six  unknown  kinematical  parameters  defined  on  the  midsurface.  The theory  called  in the  sequel  the six  parameter  (SP)  theory  is based  on the assumption  of linear  distribution  of  the  displacement  vector  across  the thickness,  previously used  i n [1 ­ 4]. T o a  similar  theory  lead the supposition that the deformation  i n a vicinity  o f the  middle  surface  is  homogenous  [5] and the concept  of a  Cosserat  surface  [6]. In the  present  paper  the  basic  equations of  SP are derived from the equations  o f three­dimensional  elasticity  via variational  approach.  Then  the range  of  applicability and the  accuracy  o f  SP are  investigated  by evaluation  o f  the  strain  energy  density.  Since  SP proves  not to be generally  consistent  with  respect  to  the strain  energy  approximation it may  only be useful  in specific problems  or in a limited  region  o f a  shell.  A s  an  illustration to  this  conclusion a  numerical  example  is given  con­ cerning  the rotationally­symmetric bending  o f  an  isotropic circular cylindrical  shell  loaded  by  an  abruptly  changing  normal  pressure.  2.  Basic  equations  Let  us consider  a shell of constant  thickness h parametrized  by  usual  normal  coordinate  system  {xk}  =  {x", x3  =  z) with  the z  axis  perpendicular  to the  middle surface  coordinate  lines  {x*} =  { л л , x 2 } . I n above  and in the sequel  the  L a t i n  and the Greek  indices  range  over  the  integers  { 1 , 2 , 3 }  and  { 1 , 2 } ,  respectively.  Components  of tensors  related  to  the  local  basis  on the  middle  surface  (z =  0) and on an  arbitrary  surface  (z =  const.)  are  accordingly  distinguished  by the  indices  k,  l,p,  q\  a , p1,  Я, r]} and  {a, b, c, d;  ).  Indices  preceded  by a  comma  and by a  vertical  stroke  denote  partial  and  surface  covariant  derivatives  in the  middle  surface  metrix.  The Kronecker  symbols  are  denoted  by  fiirt  <5g, etc.,  stands  for the  mixed  components  o f the  second  metric  tensor  o f the  midsurface,  Я and  AT are  the mean  and  Gaussian curvatures  of that  surface.  The  translators  148  Z .  R Y C H T F . R  fila,  [Ą  we define  as  composed  of the above  listed  midsurface  tensors  (  '  }  fil  =  1,  /4  = 7 f |  =  0 ,  /г =  1 ­2zH  +  z2K.  The  basic  equations  o f SP can be easily  derived  from  the three­dimensional  equations  o f  elasticity.  Starting  from  the  H U ­ W A S H I Z U  [7] variational theorem  one  only has to assume  a  distribution  of the  displacement  Ui(xk)  and the  deformation  ^ ( л ­ *)  across  the  shell  thickness.  Let us adopt  for these  quantities  the following  power  series  expansions  Щ х ")  =  wt+zBt+z4t  +  (2.2)  2evv( xk)  =  (^dv  +  HwK)(y^  +  z>!aii  + ̂ aii+  • • • ),  2ev3(x k)  =  у%(y3a  + zx3a+_z 2fi3a+  . . . ) ,  e33(x k)  =  y33+zn33  +  involving  six generalized  middle  surface  displacements  щ  and  р(  and  thirteen  middle  surface  and its  vicinity  strains  y a / 3 , xap,  y3a,  x3a   a n < i  У з ъ '>  the  underlined  terms  in  (2.2)  should  be  omitted  throughout  as  far  as  SP is  concerned.  Introduction  o f the  hypotheses  (2.2)  into the three­dimensional  H u ­ W a s h i z u  functional  [7]  results  i n the following  two­dimensional  H u ­ W a s h i z u  functional  of SP  J  = f  {­NiJyJi­M aJXM  + 0/2)0B i^yijykl  +  1B iJkyuxka  (2.3)  +  (1  / 2 ) 2 Я * W * a i %  +N^(waJ)­baPw3)  +  N^(i3a  + W 3 t a  + b'a  wĄ   +N3ip3  + Me«(Pa.p­baP(l3)  +  M^i}3^­q i Wl­m ipl}dT  ­  f f H ^ N j P 6  J ' [ ^ ( H i ­ ^  +  M " 1 ' ! / ? , ­ ^ ] ' ' . ^ ,  defined  on the middle surface  т with  the edge  S т and va  — the outward  unit  vector  normal  to  8r;  the starred  quantities  are prescribed  on dr.  Appearing i n (2.3)  the stress  resultants  N'J  and couples  M'a,  the  stiffness  tensors  „BIJkl  and the  reduced  loadings  q'  and ml  are  defined  as  follows  +  A/2  "b*i  „ J '  .  (2.4)  {JV'J, MtJ}  =  J  ( И ^ а д и , ? }^  ­ Л /2  +  Л /2  (2.5)  к д у«  i  c M g J i g i  J"  piĄ Ą zHz,  „В "?'­3  =  „ Ј » 3 «  =  0 ,  ­ Л /2  „ В '̂  =  „2?'"Л  « =  0 , 1 , 2 . ,  ,  (2­6)  fo',m'}  =  /  / ^ F ­ l b z J J z + ^ . i c ; ' ' 3 ! ! , . ^ ] ^ ! ,  •  Л /2  • A/2  where  &*1р с *)  is  the  stress  tensor,  Cipkq(xa)  the  elasticity  tensor  valid  for  shells  having  symmetry  o f elastic  properties  relative  to the surfaces  z  =  const,  (e.g.  orthotropic  shells),  F"(xk)  denotes  the  density  of the  mass  forces.  P O W Ł O K I  A N I Z O T R O P O W E  1 4 9  By  requiring  the  functional  (2.3)  to  be  stationary  under  arbitrary  variations  o f  wit  у ц ,  *i*t NiJ  a n ( *  M > a  o n e  obtains  the  basic  equations  o f  SP,  to  w i t :  the  geometric  eqs.  '^J  Yo.fl  =  Wap­bapW3,  Y«3  =  P*  + W3,x  + b l aWl,  У зз  =  /?з,  ^ct/ J  =  Р л \0~Ьар Р з 1   ха .З —  Р з .а >  the  equations  of equilibrum  Л Г % ­ W3  +  «"  =  0 ,  Na3la  + bal,N^  + q 3  =  0,  (2'8^  M%­Na3  + m*  =  0,  M'^  + b^M^­Nsi+m3  =  0,  the  constitutive  eqs.  •»  =  0В ^у ,п  + ,В ^ х"у .м  +  0В ^ 33у33,  M?«  =  у В ^уХ п  +  +,  B«> 33y33,  (  '  '  Л 7 " 3  =  0 Я а З Л Зу дз  +  1 Д А З Л З* Л З ,  М а 3  =  lB x3X3y^  +  2B cl3X3x).3,  л / 33  Д З З З З .,  i   в а Я З З .,  i   п а В З З ^,  and  the  natural  boundary  conditions  (2.10)  i V a V a  =  tf«'v«  M * 4 =  M « V a ,  w,  =  w „  /9,  =  Six  equations  of  equilibrum (2.8)  can  be  readily  expressed  i n  terms  o f  six generalized  displacements  ws  and  /?f  by  subsequent  usage  of  (2.9)  and  (2.7).  The  total  order  o f  the  resulting differential equations  amounts  twelve in accordance  with  the  number  of  boundary  conditions  (2.10).  H a v i n g  solved  the  two­dimensional  equations  (2.7)­  (2.10)  one  may  seek  an  appro­ ximation  to  the  exact  distributions o f the  displacement  and  stress across  the  shell  thickness.  This  problem  cannot,  o f  course,  be  answered  uniquely.  F o r  example,  displacements  can  be  calculated  from  our  original  hypothesis  (2.2),.  This  linear  distribution  is  undoubtely  the  simplest  possible  but  as  shown  in  [8]  not  the  most  adequate.  It  is  natural,  that  the  stress  distribution should  from  practical  point  of  view  be  similar  to  that  occuring  in  rods  and  plates.  Furthermore,  it  ought  to  satisfy  [6] the  definition  (2.4)  o f  the  stress  resultants  and  couples, and  the  static  boundary  conditions at  the  shell  faces  z  =  ± Л / 2.  The  following  distributions  fĄ d$i4e**(x§  =  Np'lh  +  (\2z/h3)MP\  fid^a v3(xk)  =  ( A " x 3 3 / 2 / i  +  M a 3 3 0 z / / i 3 ) [ l ­ ( 2 z / / i ) 2 ]  (2.11)  ­  (1 /4) {^" 3 <5« [1  + 3(2z//i) ­  3(2z//,)2 ­  5(2z/ft)3]  + p>3S$0  ­  3(2:/h)­  3(2z/h)2  + 5(2z//0 3 ]},  /w33(xk)  m  (3/2/J)  [1  ­  (2z/h)2]N33­  (1 /4) & a 3 3 [ l ­ 3 ( 2 z / h ) ­ 3 ( 2 z / h ) 2  + (2z//i) 3 ]  + / " ^ 3 3  [1  + 3(2=/h) ­  3(22 IhY  ­  (2z/h)3]},  possess  the  expected  properties,  where  Ј  =  /'(­  4­  h№ >  ?  ­  М ­  =  ­ / ! / 2 ) ,  У Г зз +  2В* а з>Ь р Х3з  + г В У ^Ц ь ,  +  where  the  underlined  error  terms  should  be neglected  as for as SP is concerned.  The  evaluation  o f  (3.1)  we start  from  observing,  that  for shells  having  symmetry o f  elastic  properties  with  respect  to the surfaces  z  =  const,  (which was assumed  in deriving  (2.3)  and  (3.1))  two groups  o f elastic  moduli  can be  distinguished  (e.g. {G,E,  v) and  {(J',  E', v'}),  where  the  non­primed  and the primed  quantities  are accordingly  related  to  the  planes  tangential  and normal  to the surfaces  z  =  const,  G denotes  the  shear  modulus,  E  stands  for  the  Y o u n g  modulus  and  v — the  Poisson  number.  F o r a  transversely  isotropic  material  with  its axis  of isotropy  coinciding  with  the z  axis  of the shell the com­ ponents  o f the elasticity  tensor  CiJkl  (see e.g.  [12])  have  the  following  estimates  (3.2)  C a / W " ~  G  ~  E ,  С " '5 3 3  ~  v'G,  С 3 3 3 3  ~  E ' ,  С 3 " 3  ~  G ' ,  shoving  that  only  four  elastic  moduli  (e.g.  G, G', E', v')  are o f  consequence  in our appro­ ximate  analysis  (at this  level  o f  generality  the estimates  (3.2)  remain  valid  for  orthotropic  shells).  Before  estimating the strains  occuring in (3.1)  let us  define  a  dimensionless  coefficient <5  (3.3)  ya / J  ~  dhxap,  y33  ~  <5Л х з з,  dya3  ~  hxa3,  allowing  for the specification  o f the  bending  theory  r5 ~  1, the  membrane  theory  d p i   and  the  inextensional  bending  theory  <5  <̂  1.  Defining  by у  ~  у а Д a  typical  value  of  the  shell  deformation  the  strain  components  can be  estimated  as  below  U~V,  У зз  ~  (v' + $2)(G/E')y,  ya3~(G/G')(hlL)y,  (  '  }  / « 2 / V  ~  [hlR  + {GIG'){hiLY  + (v'  +  ^){GIE'W]y,  where  R  is the  typical  radius  o f curvature  of the  middle  surface,  L — the  characteristic  wavelength  o f the  deformation  pattern  o f that  surface  and & —•  the  small parameter,  given  P O W Ł O K I  A N I Z O T R O P O W E  151  as  follows  (3.5)  Ы  ~   l/R,  (  )|«  ~  (  )/L,  д  ~  (]/h/R  +  h/L)  The  estimation  ( 3 .4) 3  results  from  ( 2 .8 ) 3  and  ( 2 . 9 ) 2 > 3  with  the  help  o f  (2 .5),  (3.2 ),  ( 3 .4),  and  (3.5).  The  relation  ( 3 .4) 2  follows  from  ( 2 .9 ) 5  with  N 33  ~  Ghyft2  —  implied  by  ( 2 . 8 ) 4 .  Having  ( 3 .4)x_3 the  estimation  (3.4)  can  be  deduced  using  the  three­dimensional  compa­ tibility  equations  as  done  in  [11]  for  isotropic  shells.  Introduction  of  (2 .5),  (3.2),  (3.4)  and  (3.3)  into  (3.1)  yields  Z/(Ghy2)  ~  1 +  ( / I / / V ) ( 5 ­ 1 +  (3­ 2 +  ( G / G ' ) ( / J / L ) 2 ( 5 ­ 2  +  (3.6)  +  ( G  / G ' )  (h/L)2(h/R)d­i  +  ( G / G ' )  (h/L)2  + (/  +  O­2)  ( G / E ' )  +  v'{v' + &2) (G/E')  +  + v'(v' + &2)(G/E')d­2  +  [h/R+(G/G')(h/L)2  + (y' + &2)  ( G / E ' ) f l 2 ]  +  . . . ,  which  with  the  sequence  of terms  correspoding  to  that  o f  (3.1) expresses  an  approximation  to  the  strain  energy  i n terms  o f the  nondimensional  parameters:  geometric  li/R,  h/L,  5  and  elastic  G / G ' ,  G / E '  and  )''.  Inspecting  in  (3.6) possible  rates  of  the  above  listed  para­ meters  one  can  establish  global  energetical  cosistency  of  shell  theories.  It  turns  out  that  the  K L theory  forms  (as  well  known  [11])  within  the  relative  error  & 2  the  first  a p p r o x i ­ mation  i n  the  case  of  bending  of  isotropic  thin  shells  subjected  to  uniform  loads;  accor­ dingly  the  first  and  third  term  i n  (3.6) are  of  primary  importance.  The  Reissner­Naghdi  ( R N )  theory  [9] and  the  Timoshenko­type  (T)  theory  [3]  (each  including  the  transverse  shear  strain  ya3)  prove  energetically  consistent  with  regard  to  the  inextensional  bending  o f  thin  anisotropic  shells,  with  a  large  ( G / G '  >  1)  transverse  shearing  deformability;  here  only  the  third  and  fourth  term  in  (3.6) should  be  retained.  The  S P  theory  owing  to  the  absence  in  (3.6)  of  the  two  underlined  terms  cannot  be  consistent  i n  general,  i.e.  when  the  analysis  is  solely  based  on  the  rather  rough  parameters  involved  i n  (3.6 ).  Y e t i n  some  specific  problems  SP  may,  perhaps,  yield  a  cosistent  approximation "to  the  strain  energy  which  conjecture,  however,  we  are  not  able  to  prove  rigorously.  Instead  o f  that  observe  that  an  inconsistent  theory  can  still  be  expected  to  furnish  with  a  desired  accuracy  selected  components  o f  the  stress  and  displacement.  We  shall  elaborate  on  that  point  of  view  and  show  by  a  physical argument  and  ensuing  numerical  example  that  S P  compa­ red  with  more  elementary  theories  (e.g.  R N , T,  K L ) offers  a  distinctly  improved  appro­ ximation  of  the  transverse  shear  rf3  and  normal  a33  stress  in  certain  shell  regions  such  as  the  vicinity  of  the  load  discontinuity.  T o  this  end  let  us  focus  attention  on  the  equation  of  equilibrium  ( 2 . 8 ) 4 ,  the  transverse  shear  couple  M"3  (also  called  [1]  the  splitting  force)  and  the  transverse  normal  stress  resultant  T V 3 3 .  Since  i n  planes  normal  to  the  middle  surface  / V 3 3  does  not  occur  and A / " 3  is  self­equilibrated  (to  be  exact,  Ma3  tends  to  be  self­equilibrated  as  h/R  approaches  zero)  thus  neither  N33  nor  Ma3  can  affect  significantly the  global equilibrum of  a  shell  element  cut  out  across  the  thickness.  Therefore  i n passing  from  SP to  the  more  elementary  theories  which  may  be  reached  by  the  assumption  Mai  =  0 ,  the  ensuing  simplification  of  (2.8 ) 4 .   to  the  form  (3.7)  bailM ila­Nii  + mi  =  0   and  direct  determination  of  / V 3 3  from  (3.7),  one  cannot  expect  a  noticeable  disturbation  3'  152  Z .  R Y C H T I R  of  the  global  shell  behaviour  (characterized  for  example  by  the  normal  deflection  o f  the  middle  surface).  Yet, as  regards  N33  and  M"3  (and  consequently  the  stresses  a33  and  г У *3)  the  foregoing  simplifications may  obviously  lead  to  a  considerable  change.  In  fact,  it  is  readily  verified  that  all the  elements  in  (2.8)4  have  i n general  the  same  order  o f  magnitude  (see  [4]),  with  the  М а 3 я  contribution  increasing  in  proportion  with  (I/O)  and  (1/L).  Thus  in  regions  characterized  by  a  large  index  (1/L)  o f  variation  o f  the  deformation  (such  as  the  vicinity  o f  the  load  discontinuity)  we  cannot  expect  the  theories  (e.g.  R N )  utilising  (3.7)  to  approximate  a93  and  a33  with  sufficient  accuracy,  whereas  SP  using  the  exact  equation  (2.8)4  seems  here  far  more  promising.  Return  to  the  first  underlined  term  i n  (3.6).  In  most  elementary  theories  (e.g. K L ,  R N ,  T )  this  term  is  implicitely  taken  into  account  by  a  simple  algebraic  elimination  (see  [12.  13])  of  the  transverse  normal  strain  e3i.  Such  a  procedure  undoubtely  improving  the  strain  energy  approximation  in  those  theories  makes,  however,  the  variational  deri­ vation  of  SP  extremely  awkward  and  precludes  the  possibility o f  improved  approximation  of  (f3  and  a33  because  of  destruction  o f  the  crucial  equation  (2.8)4.  Thus  we  omit  the  relevant  underlined  term  in  (3.6)  assuming  that  (v')2  <4  1,  which  holds  for  numerous  elastic  media.  It  should  be  stressed  that  the  foregoing  equations  of  SP  and  their  analysis  refer  to  the  interior  shell  problem,  i.e.  they  lose  their  meaning  in  the  boundary  layer  zone.  4 .  Numerical  example  Let  us  consider  ( F i g .  1) an  infinitely  long circular cylindrical  shell of constant  thickness  //,  the  outer  surface  radius  r,  made  from  an  isotropic  material  characterized  by  the  Poisson  number  v  and  the  Young's  modulus  E.  F i g .  4  Fig.  5  Fig.  6  \ P O W Ł O K I  A N I Z O T R O P O W E  153  The  internal  surface  of the  cylinder is subjected  to a  rotationally­symmetric  band  pressure  p  spaced  in the longitudinal  direction  with  the period  21 and having  the  band  width  2d.  The  normal  force  Nlx  directed  along  the generator  is assumed  to  vanish  throughout  the  shell  and the longitudinal  displacement  Ui to be zero  i n the plane  xl  =  0. The solution  of  the relevant  equations  of SP  can  be readily  found  in terms o f the Fourier  series  expan­ sions  but we omit  it  here  for the sake  o f brevity  (the details  are analogous  to  that  given  in  [14,  15]). Computations  have  been  carried  out  with  the  following  data:  h/r = 0.3,  d/l  =  0.2,  IJr =  0.2 and  v =  0.3 which  describe  a  nonthin  shell  under  a  local  load  (d/h =  =  0.13).  The  results  depicted  i n F i g .  2 ­ 6  (with distributions  E L , R N and K L taken  from  [14],  where  E L  denotes  the  three­dimensional  elasticity  solution)  evidently  confirm our  expectations  (sec. 3). T o wit,  in a  vicinity  (the cross­section  A ­ A i n  F i g .  1,  having  the  coordinate  xljl  =  0.6) o f the  load  discontinuity  (having  the  coordinate  x 1 / /  =  0.8)  SP  approximates  the transverse  shear  (Fig. 5) and normal  ( F i g . 6) stress distinctly more  accu­ rately  than  R N .  A t  the same  time,  SP  is only  slightly more  adequate  than  R N (or K L )  i n  the  case  of the  displacements  ( F i g . 2 and 3) and the  normal  stress  along  the  generator  ( F i g .  4); the surprisingly poor  approximation  of the cross  section  rotation  by R N  ( F i g .  3),  disclosed  in [14], does not occur  virtually  [15],  i.e. is caused  by some  errors  in  [14].  References  1.  1. N .  V E K U A ,  Theory of  thin shallow shells with variable thickness (in  Russian),  Metzinereba,  Tbilisi  1965.  2.  L .  M .  H A I U P ,  Theory of elastic shells  in the reference state,  Ing. Archiv  34,  1965.  3.  K .  Z .  G A L I M O V ,  Theory of shells with  transverse  shear deformation (in  Russian),  Kazan  1977.  4.  W . P I E T R A S Z K I E W I C Z ,  Finite  rotations and  Lagrangean  description in  the  non­linear theory  of shells,  Polish  Scientific  Publishers,  W a r s z a w a ­ P o z n a ń  1979.  5.  С .  W O Ź N I A K,  Non­linear theory of  shells (in Polish),  P W N , Warszawa  1966.  6.  P. M .  N A G H D I ,  The theory of plates and shells, Handbuch  der  Physik,  V l a / 2 ,  Springer­Verlag,  Berlin­ Heidelberg­New  York  1972.  7.  K .  W A S H I Z U ,  Variational methods in elasticity  and plasiticity,  Oxford,  Peigamon  Press  1968.  8.  D . A .  D A N I E L S O N ,  Improved error estimates  in the  linear theory  of  thin elastic  shells, Proc.  K o n . N e d .  A k .  Wet.  B 7 4 ,  1971.  9.  P. M .  N A G H D I ,  On the theory of thin elastic shells, Quart.  A p p l .  Math.  4,  14,  1957.  10.  W .  Z E R N A ,  Matematisch strenge  Theorie elastischer Schalen,  Z A M M  7/8,  1 4 2 ,  1962.  11.  W .  T .  K O I T E R ,  A consistent first  approximation in the general theory of thin elastic shells, 1 U T A M  Symp.  Delft  1959,  North  Holland,  Amsterdam  1960.  12.  L . LiURFscu, Elastostatics and kinetics of anisotropic and heterogenous  shell­type structures, Noordhof,  Leyden  1975.  13.  P. M .  N A G H D I ,  Foundations of elastic shell theory,  Progress in Solid  Mechanics  vol.  4, Amsterdam 1963.  14.  J . M .  K L O S N E R ,  H . S.  L E V I N E ,  Further  comparison  of  elasticity  and  shell  theory  solutions,  A I A A  J .  3,  4 .  1966.  15.  Z .  R Y C H T E R , Statical analysis of transversely  isotropic shells of moderate  thickness {in Polish),  disserta­ tion,  Politechnika  Warszawska,  Warszawa  1982.  ,  f  ­ 1 5 4  Z .  R Y C H T E R  Р е з ю ме   О  Л И Н Е Й Н ОЙ  Т Е О Р ИИ  А Н И З О Т Р О П Н ЫХ  О Б О Л О Ч ЕК  С Р Е Д Н ЕЙ  Т О Л Щ И НЫ   Р а с с м а т р и в а е т ся  в  л и н е й н ой  п о с т а н о в ке  с т а т и ка  о т н о с и т е л ь но  т о л с т ы х,  у п р у г и х,  а н и з о т р о п­ н ых  о б о л о ч ек  п од д е й с т в и ем  б ы с т р о п з м е н я ю щ и х ся  н а г р у з о к.  В а р и а ц и о н н ые  и  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые   у р а в н е н ия  д в у м е р н ой  т е о р ии  о б о л о ч ек  в ы в е д е ны  и з  т р е х м е р н ых  у р а в н е н ий  у п р у г о с ти  на  о с н о ве   п р е д п о л о ж е н ия  о  л и н е й н ом  р а с п р е д е л е н ии  в е к т о ра  п е р е м е щ е н ий  п о  т о л щ и не  о б о л о ч к и.  И с с л е д о­ в а на  т о ч н о с ть  а п п р о к с и м а ц ии  у п р у г ой  э н е р г ии  д ля  п р и н я т ой  м о д е ли  о б о л о ч ки  и  о п р е д е л е на  о б­ л а с ть  п р и м е н е н ия  у р а в н е н ий  э т ой  м о д е л и.  Д ан  п р и м ер  р а с ч е т а.  S t r e s z c z e n i e  О  L I N I O W E J  T E O R I I  A N  I Z O T R O P O W Y C H  P O W Ł O K  O  Ś R E D N I EJ  G R U B O Ś CI  W  pracy  r o z w a ż o no  statyczne  zagadnienie  w e w n ę t r z ne  liniowej  teorii  niezbyt  cienkich,  s p r ę ż y s t y ch  p o w ł o k  anizotropowych,  poddanych  szybkozmicnnym  o b c i ą ż e n i o m.  R ó w n a n i a  wariacyjne  i  r ó ż n i c z k o we  teorii  dwuwymiarowej  wyprowadzono  z  r ó w n a ń  teorii  s p r ę ż y s t o ś ci  na  podstawie  z a ł o ż e n ia  liniowego  r o z k ł a d u  wektora  przemieszczenia  na  g r u b o ś ci  p o w ł o k i .  Zbadano  d o k ł a d n o ś ć  aproksymacji  energii  s p r ę ­ ż ystej  w  p r z y j ę t ym  modelu  p o w ł o k i  i  o k r e ś l o no  zakres  s t o s o w a l n o ś ci  r ó w n a ń  tego  modelu.  Podano  przy­ k ł a d  liczbowy.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  11  stycznia  1983  roku