Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E G H A N  1 К Л   T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  F I N I T E  E L E M E N T  R E P R E S E N T A T I O N  F O R  S T I F F E N E D  T H I N  C Y L I N D R I C A L  S H E L L  I N S T A B I L I T Y  A N A L Y S I S  I  L E C H  N O G A  Politechnika  Wrocławska  1.  Introduction  Problems  o f  the  elastic  instability  analysis  for  thin  shell  structures  are  highly  complex  due  to  the  nonlinear  character  of  the  actual  buckling  mechanism.  In  general,  the  insta­ bility  investigation  of  such  structures  may  include  the  solution  of  the  problem  of  equi­ librium  bifurcation,  and  a  nonlinear  analysis  based  o n  tracing  the  nonlinear  load­displa­ cement  path  and  determining  singular  points  of  load­displacement  behavior  see  ([1],  [2],  [3]).  The  basic  problem  i n  the  instability  investigation  o f  thin  shells,  therefore,  lies  i n  a  determination  o f  critical  loads  related  to  such  points  (bifurcation,  limit  point  or  the  other  points  of  decrease  i n  stiffness).  A n  approach  to  the  resolution  o f  the  above­cited  problems  can  be  based  on  the  finite  element  method.  The  different  levels of a  nonlinearity  can  be  considered  for  thin  shell instability analysis.  It  leads  to  different  numerical  problems.  A  hierarchy  of  nonlinearity  was  made  clear  by  M A L L E T T  and  M A R C A L  [4].  The  objective  of  this  paper,  therefore,  is  not  an  extension  o f  the  finite  element  approach  to  the  analysis  of  all  the  above­cited  problems,  but  the  attention  is  focused  on  the  formulation  o f  matrices  appropriate  to  instability  investigation  o f  stif­ fened  cylindrical  shell,  using  for  this  purpose  a  ribbed  curved  element.  Fundamental  governing  relations  to  be  derived  are  in  the  class  of  geometrically  nonlinear  formulation.  Then,  the  element  is  verified  by  comparing  numerical  results  for  the  linear,  stable  analysis  to  the  alternative  solution  for  the  same problem.  The  relevant  matrices  of the  finite  element  model  appropriate  to  the  linear  stability  analysis  are  given  by  the  explicit  definition  [5].  Herein,  computational  procedures  are  not  developed  for  the  nonlinear  analysis.  The  explicit  numerical  procedures  to  be  outlined  are  in  the  class  of  "linear  bifurcational  sta­ bility"  formulation.  The  fundamental  concept  of the  element  model  is, that  a  set  of  discrete  stiffenings  (stringers  and  rings)  is  considered  in  the  element  stiffness  connections.  The  approach  based  upon  the  introduction  of  the  stiffenings  from  within  the  finite  element  model  is  restricted  to  the  thin  and  flexible  ribs  referred  to  as  the  second  order  stiffenings.  Assuming  that  the  real  structure  w i l l  be  stiffened  with  large  number  o f  such  ribs  the  local  buckling  is  not  taken  into  account.  The  number  of  the  element  ribs  may  be  chosen  arbi­ trarily.  The  ribs  eccentricity  is  taken  into  account.  Attention  is  restricted  to  linearly  elastic  material  behavior.  156  L .  N O G A  2.  Element  geometry  and  displacement  functions  A  description  o f  the  element  geometry  is  given  in  F i g . 1.  The  element  consists  o f  thin  cylindrical  panel  and  a  set  o f  thin  flexible  ribs.  The  radius  o f  curvature  (/?)  and  thickness  (/)  are  constant.  The  element  nodes  are  corner  points  numered  from  1 to  4  as  in  F i g . 1  Let  I ,  //  represent  a  set  o f  orthogonal  curvilinear  coordinates  for  the  mid­surface  and  'C  the  normal  coordinate.  The  coordinates  are  defined  as  follows:  (2.1)  f  =  V   =   C =  z ,  where  x  — length  along  the  axial  direction,  s  —  arc  length  along  the  parametric  line  tj,  z  —  length  along  the  normal  direction.  F i g .  1.  Element  Geometry  A s  the  chosen  nodal  displacements  we  take  the  mid­surface  translations  и, t',  w  in  the  8 w  8 w  82w  C,rj,  С  directions  and  parameters  г щ ~г  "о Е Щ  • Therefore,  the total number  o f  element  degrees  o f  freedom  is  24.  The  displacement  functions  representing  the  element  behavior  are  assumed  in  the  f o r m :  u  =  a 1  +  a 2 |  +  a3?7 +  a4Ј»7 +  a 6 s i n ? 7 ­ a I O ( c o s ) 7 ­ c o s / 5 ' 0 ) )  v  =  ­ a s ( l  — cos^cos/3 0 ) +  « 6 f  c o s » 7 +  a7»?­f a 8 f ? ; — a , 0 f  s i n ^ ­ f ­ a j i c o s ^ + a g s i n j ? ,  (2.2)  w  =  a 9 cos»y +  a 1 o l c o s 7 ; 4 ­ a n s i n 7 7 +  a 1 2 f 2 ­ b a 1 3 ^ ­ l ­ a 1 4 ^ 2 ­ l ­ a J 5 f 3   +  a a 6 | 2 j ? +  a 1 7 | ^ 2  +  a 1 8 ? ? 3 +  a 1 9 f 3 ? ? +  « 2 0 | 2 j y 2 +  a 2 1 ^ 3 ­ f  a 2 2 ^ V  +  <*2z  f  2V 3  +   Ј 3 » ? 3  +   « 5   sin  ^ C O S / S Q +  a 6  | s i n  TJ .  F I N I T E  E L E M E N T S  FOR  S H E L L  INSTABILITY  \ 157  vSim ilar  functions  was  previously  used  by  C A N T I N  and  C L O U G H  [6]  to  the  linear  static  analysis  o f  a  thin  cylindrical  shell.  The  element  is  nonconforming  since  the  employed  displacement  functions  (2.2)  do  not  satisfy  required convergence  conditions.  Z I E N K I E W I C Z  and  C H E U N G  [7]  summarized  conditions  to  be  met  by  displacement  function  chosen  in  the  representation  of  element  behavior  for  the  purpose  of  matrix  displacement  analyses.  Reference  [6]  examines  the  violation  o f  the  above­mentioned  conditions  with  the  reference  to  a  thin  cylindrical  shell  element  and,  through  numerical  evaluation,  conclude  that  such  functions  exhibit  convergence  for  the  linear  case.  References  [8],  [9]  conduct  a  similar  study.  G A L L A G H E R  [1]  concludes,  that  the  finite  ele­ ment  method,  when  based  on  variational  principles,  requires  interelement  continuity  o f  derivatives  up  to  one  order  lower  than  it  appears  i n  the  associated  functional,  or  energy.  W i t h  a  reference  to  the  strain  displacement  relationships  the  highest  derivative  to  appear  in  the  nonlinear  terms  is  the  first.  Thus,  since  the  linear  terms  consist  o f  the  second  order  derivatives,  this  opens  up  the  possibility o f  using  the  same  or  simplified  field  for  the  non­ linear  terms  as  compared  to  the  field  used  for  linear  terms.  Since  functions  (2.2)  exhibit  convergence  for  the  linear  case,  thus,  there  is  no  objection  to  application  such  field  in   nonlinear  case  and  stability  analysis.  3 .  Governing  nonlinear  equations  Define  и  and  p  as  the  mid­surface  translation  and  external  force  intensity  matrices,  e,  8|,  8j  as  the  strain matrices  referred  to cylindrical panel,  stringers  and  rings,  respectively,  and  rr, a,­,  Oj as  the  stress  matrices  corrpesponding  to  c,  st,  tjs  expressed  by  и  =  [uvw]r,  p  =  [psP„ps] T,  ( 3  « =  k ' .  4  е» г ) т,  «,  =  [Ą  0 e\ 2f,  Bj  =  [0 Ą  Ą  2] T,  a  =  [a\a2a\2Y\  at  =  [a\0&=l2] T,  *j  ­  [0,?  = />„,  where  A­„  =  (c­i)Tkn  с 1 ,  л ° =  ( c ­ 1 fp?,  Pn  =  (C' 1  )'/>„.  The  system  of equations  for  the complete  structure  can be  obtained  in the known  manner  (see  [11]).  Defining  r  as the  system  nodal  displacement  matrix  while R°,  R„ vi  the  initial  and  external  loading  matrices,  respectively,  we can express  the  total  system  equations  (3.18)  Kjr + R°  = R„.  where  K„ is  the  total  nonlinear  stiffness  matrix.  4 .  Generation  of  tangent  stiffness  matrix  Herein,  the  definition  of tangent  stiffness  matrix  is  obtained  by  applying  the  Trefflz  criterion  ([12],  [13]). A necessary  and sufficient  condition for the stability of the prebuckled  state  is  the  existence  o f  some  nonvanishing  but  infinitesimally close  perturbed  configu­ ration  in  which  the  energy  increment  is  always  non­negative.  The critical  point  may be  characterized  by a  positive,  semidefinite.  second  variation  o f the  potential  energy.  Thus,  at  the critical  load  there  exist  nonzero  virtual displacements  for which  the second  variation  i n  the  total  potential  energy  vanishes.  The  total  potential  energy  may be  expressed  as  follows  (4.1)  / /  =  V+Q  where  V is the strain  energy  and Q is the potential  energy  of the external  load.  If the  exter­ nal  loading  is  considered  to  be  independent  o f  the  displacements,  д2П  reduced  to  d2V  and  Trefftz  criterion  may be  written  as  b2V  ^  0.  Thus,  the  attention  is  turned  here  to  the  formulation  of the second  variation of this  portion  of the potential  energy.  According  to  Eqs.  (3.2) and (3.3) the second  variation o f „ V " can be expressed  as  n  m  (4.2)  t)2V  =  J  d2V0dA  + X  j'   д*К 44'+,Ј  f'^'ljilAj,  Expanding  the  right­hand  side  od  E q . (4.2) we  obtain  (4.3)  У2V  =  д лгктд я ,  where  к ,­  is the  element  tangent  stiffness  matrix.  The expression  for kT  takes  the  form  (4.4)  кт  щ k + kn  +  kh  where  к  is the  linear  stiffness  matrix,  ka  is  refered  to as  the  initial  stress  matrix  and  A,  is  the  matrix  of large  deformations.  The matrices  are  given  explicit  definitions  in  disser­ F I N I T E  E L E M E N T S  FOR S H E L L  INSTABILITY  161  tation  [5]. A p p l y i n g  the transformation  (3.16)  to  E q .  (4.3)  we obtain  (4.5)  b2V  ^  bUTkTbU.  Therefore,  the  element  tangent  stiffness  matrix  kT  takes  the^form  (4.6)  kT  =  (C­ l)TkTC­\  the  total  tangent  stiffness  matrix  for  complete  structure  can  be obtained  in a known  manner  (4.7)  AY  =  У а 1ктай   К   where  a g   is a  Boolean  matrix  and „ g "  element  number.  Accordin g  to  E q .  (4.4)  the  total  tangent  stiffness  matrix  takes  the  form  (4.8)  KT  =  K+Ka  + K,  5.  Calculation  of  bifurcation  state  Herein,  the previously  outlined  finite  element  formulation  is applied  to the linearized  analysis  of a  bifurcation  state  of the  shell.  Since  the  external  loading  is considered  to be  independent  o f the  displacement,  the  application  of the  Trefftz  criterion  to the  complete  structure  leads  to the relation  b2Vc  > 0 where  „ F C " is the total  strain  energy  o f the  system.  The  second  variation  o f the total  strain  energy  may  be expressed  as follows  (5.1)  d2Vc  ш  br TKTbr.  In  the  linearized  stability  analysis,  the  prebuckled  geometry  corresponds  to the  undefor­ med  (initial)  geometry.  This  assumption  is  introduced  by  disregarding  the  second  order  nonlinear  terms,  therefore,  the matrix  AT, is  neglected.  The total  tangent  stiffness  matrix  reduces  to  (5.2)  •  К ,  =  Л Ч Л;  where  A' is the  linear  stiffness  matrix  and  A'„ depends  on  the  applied  loading.  If  the  distribution  o f  internal  forces  in the  structure  does  not  change  along  the  fundamental  path  the  matrix  K„  may be assumed  to  vary  linearly  with  the  load  level.  If  the  loading  A*0  is  arbitrary,  first  we obtain  the  linear  solution  r0  and  then  we  generate  Ka.  When  the  loading  can  be specified  in terms o f a single  parameter,  say  A, then  K„ can  be  written  as  (5.3)  KM  =  A A > 0 ) ,  moreover  (5.4)  KT  =  А Ч Л Л >0 ) .  Accordin g  to  Eqs.  (5.1)  and (5.4)  the bifurcation  problem  can be interpreted  as a  genera­ lized  eigenvalue  problem,  expressed  by  (5.5)  Kdr­).Kabr  =  0  M a n y  research  efforts  have  been  devoted  to  solve  the  foregoing  problem  (see  [14],  [15],  [16].  [17]).  Therefore,  two  independent  computational  procedures  have  been  developed  162  L .  N O G A  for  this  purpose.  The  first  procedure  represents  application o f  the Householder­Cholesky  method,  the  second  one,  based  upon  Peters­Wilkinson  approach  may  be  reffered  to  as  the  trial  method.  The  basis  of  the  trial  method  may  be  stated  as  follows:  " I f  the  matrix  AT is positive definite  then  the  number  of  eigenvalues  of  the  problem  (5.5)  smaller than  the  chosen  trial  value of parameter  ?., say  ?.0,  equals  to  the  number  o f  negative  diagonal  elements  o f  the  top  triangular  matrix  obtained  from  (K—  — ).0Ka)  by  the  Gauss  elimination"  The  number  of  negative  diagonal  elements  displaying  during  the  trial  process  enables­ sensible  selection  the  succeeding  values  of  parameter  ?.0  during  the  calculation.  These,  values  can  be  introduced  into  computer  storage  simply  via  monitor.  The  trial  process  advances  iteratively  until  the  desirable  accuracy  of  solution  is accomplished.  6.  Numerical  examples  and  accuracy  comparisons  In  this  section  the  previously described  element  is  verified  by  comparing  numerical  results  for  the  linear  stability  analysis  to  the  alternative  classical  solution  for  the  same  problem.  The  basis  for  appropriate  computations  are  the  computer  programs  created  in  accordance  with  the  methods  applied  to  resolution  of  the  eigenvalue  problem'.  These  programs  were  coded  in  F O R T R A N  for  the  computers  O D R A  1305  and  O D R A  1325.  The  explicit  listings and  a  concise  flow  charts  o f  these  programs  are  given  in  dissertation  [5].  The  first  example  considered  was  a  simply  supported  along  the  longitudinal  edges,  'I  1 1 1  ~ T — Г   1 1 1 !  I  1  g  12  15  IB  21  24  27  50  55  56  Numberofnoaes  4  5  Q  to  12  14  IS  18  20  22  Number 0;BumentS  Fig.  3.  Cylindrical  panel  under  uniform  normal  pressure  —  —  Accuracy  Vs.  G r i d  Rcfinemenl  •  —  unstifTened  panel,  •  — panel  stiffened  by  the  three  rings,  classical  solution  F I N I T E  E L E M E N T S  FOR  S H E L L  INSTABILITY  163  and  free  along  the  circular ends  unstiffened  cylindrical  panel  subjected  to  uniform  normal  pressure.  F i g . 3  shows  a  comparison  of  the  finite­element  solution  with  the  classical solu­ tion  [18].  The  same  cylindrical  panel  stiffened,  by  the  three  rings  (see  F i g . 3)  was  studied  next.  F i g . 3 indicates  a  study  of the  convergence  of the  present  method. The  diagram  shows  that  the  non­dimensional  buckling load  „ ? . " converges  guite  rapidly.  The  difference  bet­ ween  the  present  result  and  classical  solution  is  approximately  5%  for  22  elements.  Fig.  4.  Cylindrical  panel  under  uniform  compressive  load  —  —  Accuracy  Vs.  G r i d  Refinement  •  —  present  solution.  —  —  clasical  solution  Figure  4  shows  a  simply  supported  on  all  four  sides  cylindrical  panel  under  uniform  end  compressive  load p(.  The  non­dimensional  buckling load  is plotted  against  the  number  of  discrete  elements.  The  result  for  employed  class  of  the  finite  element  mesh  division  is  compared  with  the  classical  Timoshenko's  solution  [18].  In  this  case  the  difference  bet­ ween  the  present  result  and  those  of  Reference  [18] is  approximately  10%.  The  diagram  shows  that  the  buckling factor  „ / . "  converges  to  value  higher  then  those  of Timoshenko.  however,  a  finer,  in  longitudinal  direction,  type  of  the  grid  can  be  used,  giving  more  accurate  answer.  Another  problem  examined  is  the  buckling o f  a  set  of  stringers  supported  and  loaded  as  shown  in  F i g . 5.  The  results  prove  to  be  in  close  agreement  with  the  classical  Euler's  solution.  Fig.  6  indicates  a  study  of  the  convergence  of  the  present  solution  for  the  simply  sup­ ported  on  all  four  sides  cylindrical  panel  i n  the  shear  conditions.  V O L M I R  [19]  has  ana­ lyzed  this  problem  using  Galerkin's  method.  V o l m i r ' s  results  are  compared  with  results  of  the  present  method.  Ref.  [19]  predicts  higher  loads  in comparison  with  "exact"  solution,  whereas  the  present  method  gives  lower  buckling loads.  The  difference  between  the  results  o f  foregoing  solutions  is  approximately  8 % for  24  elements.  164  L .  N O G A  Number of elements  Fig.  5.  Stringers  buckling —  Accuracy  Vs.  G r i d  Refinement  •  —• present  solution,  Euler's  solution  Number Of  elements  Fig.  6.  Cylindrical  panel  in  the  shear  conditions  —  Accuracy  Vs.  G r i d  Refinement  •  —  present  solution,  •  —  Galerkin's  method  Finally,  a  stiffened  by  7  stringers  and  5  rings  cylindrical  panel  under  uniform  end  compressive  load  is  considered  (see  F i g .  7).  The  panel  is  simply  supported  on  all  sides.  In  the  discrete  element  analysis,  employing 24  elements  the  result  obtained  is  A =  5.46066.  F o r  this  case  the  solution  for  Householder's  method  was  compared  with  the  employed  trial  method  (see  Ref.  [20]).  The  results  o f  the  trial  method  prove  to  be  in close  agreement  with  Householder's  solution  also  in  the  other  cases  examined  [5].  F I N I T E  E L E M E N T S  FOR  S H E L L  INSTABILITY  Fig.  7.  Stiffened  cylindrical  panel  under  end  compressive  load  7.  Conclusions  It  is  clear  from  the  outlined  convergence  study,  that  present  method  assures  conver­ gence  for  the  basic  cases  o f  loading.  The  convergence  characteristics  depend  on  these  cases  of  loading. Appropriate curves  can  converge  from  opposite  directions.  It  arises  from  the  nature  of  the  assumed  displacement  field.  Namely,  displacement  function  for  the  normal  translation  „ w "  satisfies  the  continuity  condition,  whereas  the  simpler  functions  for  the  „ u "  and  „ v "  components  are  assumed.  It  causes  that  the  violations  of  the  conti­ nuity  conditions  for  " i n  plane"  translations  are  present  in  the  element  representation.  If  the  normal  translation  is  the  dominant  component  in  prebuckled  state,  the  convergence  characteristics,  therefore,  converge  from  the  top  direction.  On  the  other  hand  if  the  " i n  plane"  translations  are  in  prebuckled  state  the  dominant  components  the  convergence  occurs  from  the  bottom  direction.  Ref.  [5]  gives  more  detailed  convergence  and  accuracy  analysis.  Fairly  good  agreement  was  observed  between  the  results  o f  applied  methods  of  solution  o f  the  buckling  eigenvalue  problem  in  all  examined  cases.  The  trial  method  seems  to  be  very  effective  in  such  a  class  of  the  eigenvalue  problem.  Finally,  it  should  be  pointed  out  that  discrepancies  between  the  theoretically  predicted  classical  bifurcation  buckling  loads  and  test  results  are  always  expected  for  thin­shell  structures.  The  reason  is  that  buckling  of  thin  shells  is  very  sensitive  to  initial  imperfections.  M o r e  accurate  results  may  be  obtained  by  applying  nonlinear  stability  analysis.  The  derived  nonlinear  terms  enable  an  extension  of  the  present  formulation  for  investigation  o f  the  nonlinear  instability  effects  o f  the  stiffened  cylindrical  shells.  4  Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83  166  L .  N O G A  References  1.  G . R.  T H O M A S ,  R. H .  G A L L A G H E R ,  A triangular thin shell finite  element:  Nonlinear analysis. Rep.  N o  N A S A ,  Cr­248,  Cornell  Univ,.  Ithaca,  N . Y . , July, 1975.  2.  C .  B R E B B I A ,  J .  C O N N O R ,  Geometrically nonlinear finite  element analysis,  Proc.  A m . Soc. Civ.  Eng­ E M 2 ,  J . of the Eng. Mech.  D i v . , A p r i l ,  1969, s.  463­483.  3.  J .  O R K I S Z ,  Z .  W A S Z C Z Y S Z Y N ,  Metody  komputerowe W teorii  powłok.  W : Konstrukcje  powlokowc­ teoria  i  zastosowania.  Т . 1,  P A N IPPT,  Warszawa 1978.  4.  R. H .  M A L L E T T ,  P. V .  M A R C A L ,  Finite  element analysis of  nonlinear structures,  Proc.  A m .  Soc.  Civ.  Eng.,  J . of  Str.  D i v . , September,  1968, s.  2018­2105.  5.  L .  N O G A ,  Wybrane zagadnienia statecznoś ci  uż ebrowanych  powłok  walcowych z  zastosowaniem  metody  elementów  skoń czonych,  Rozprawa  doktorska,  W r o c ł a w ,  1980.  6.  G . C A N T I N ,  R. W .  C L O U G H ,  A  curvedcylinrical­shellfinite  element,  A . I . A . A . J . ,  V o l . 6,  N o  6,  June,  1968.  7.  O . C .  Z I E N K I E W I C Z ,  Y .  C H E U N G ,  77I<> finite  element  method in structural and  continuum  mechanics,  Chapter  2,  M c Graw­Hill  Publ.  C o . , London, 1967.  8.  M . И .  Д Л У Г А Ч,  H . В .  К О В А Л Ь Ч У К,  М е т о д  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в  в п р и м е н е н и и  к р а с ч е ш у  ц и л и н д р и ­ ч е с к и х  о б о л о ч е к  с п р я м о у г о л ь н ы м и  о т в е р с т и я м и ,  П р и к . ч.  м е х .,  Т  I X , В .  11,  1973.  9.  М . И .  Д Л У Г А Ч,  Н . В .  К О В А Л Ь Ч У К,  И с с л е д о в а н и е  н а п р я ж е н н о г о  с о с т о я н и я  р е б р и с т ы х  ц и л и н д ­ р и ч е с к и х  о б о л о ч е к  с  п р я м о у г о л ь н ы м и  о т в е р с т и я м и  м е т о д о м  к о н е ч н ы х  э л е м е н т о в ,  П р п к л.  М е х .,  Т  X ,  В 1 0,  1974.  К ).  V . V .  N O V O Z H I L O V ,  The theory of thin shells, P. Nordhoff  L t d . ,  Groningen,  Netherlands, 1964.  11.  О . C .  Z I E N K I E W I C Z ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa, 1972.  12.  H .  L .  L A N G H A A R ,  Energy methods in applied  mechanics, J . Wiley  and Sons,  N . Y . ,  1962.  13.  D . R .  N A V A R A T N A ,  Т . H .  H . P I A N ,  E .  A .  W I T M F R ,  Stability  analysis of shells of revolution by  the  finite  element  method,  A . I . A . A . J . ,  V o l . 6,  N o 2,  February,  1968, s.  355 ­ 361.  14.  J. H .  W I L K I N S O N ,  77ie  algebraic eingenvalue  problem,  Clarendon  Press,  Oxford,  1965.  15.  G .  S T R A N G ,  G .  J .  F i x ,  Т е о р и я  м е т о д а  к о )1С ч н ы х  э л е м е н т о в ,  M I R , М о с к в а,  1977.  16.  В.  W R A N A ,  Rozwią zanie  problemu  własnego  w dowolnym paś mie  widma duż ych  układów  dyskretnych.  Metody  komputerowe  w  mechanice  konstrukcji,  IV  Konf.  Т . 1,  Koszalin,  1979.  17.  J. H .  A R G Y R I S  i inni,  Metody  obliczeniowe w mechanice  nieliniowej,  P A N  IPPT,  Ossolineum,  W r o c ł a w ,  Warszawa,  K r a k ó w ,  G d a ń s k,  1977.  18.  S. P.  T I M O S H E N K O ,  J .  M .  G E R E ,  Teoria  statecznoś ci  sprę ż ystej,  Arkady,  Warszawa, 1963.  19.  А . С .  В О Л Ь М И Р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  Н А У К А,  М о с к в а,  1967.  20.  L . N O G A ,  Analiza  statecznoś ci  uż ebrowanych  powłok  walcowych z  zastosowaniem metody  elementów  skoń czonych.  W : Konstrukcje  p o w ł o k o w e  — teoria  i  zastosowanie. III  Konf.,  Opole,  1982.  P  e  3   ю  M  e  К О Н Е Ч Н ЫЙ  Э Л Е М Е НТ  В  Р А С Ч Е Т АХ  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  Р Е Б Р И С Т ЫХ   Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ИХ  О Б О Л О Ч ЕК   В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  и с п о л ь з о в а н ие  м е т о да  к о н е ч н ых  э л е м е н т ов  в  р а с ч е т ах  у с т о й ч и в о с ти   р е б р и с т ых  ц и л и н д р и ч е с к их  о б о л о ч е к.  Д ля  и с с л е д о в а н ия  у с т о й ч и в о с ти  и с п о л ь з о в ан  к р и т е р ий   Т р е в ц а.  А л г о р и тм  п р и м е н я е т ся  в  р а с ч е те  о б щ ей  п о т е ри  у с т о й ч и в о с т и.  В  р а б о те  п о с т р о е ны  н е­ л и н е й н ые  м а т р и цы  к о н е ч н о го  э л е м е н т а.  F I N I T E  E L E M E N T S  FOR  S H E L L  INSTABILITY  167  S u m m a r y  A n  extension  of  the  finite  element  method  to  the  analysis  of  bifurcation  buckling  of  cylindrical  stif­ fened  shells is presented.  A  procedure  for  the  formulation  of  the  problem is  based  upon  the  Trefftz criterion.  The  present  formulation  is  applied  to  the  prediction  of  general  instabilities.  Aspects  of  the  element formula­ tion  which  pertain  to  geometrically  nonlinear  behavior  are  also  described.  Praca  została  złoż ona  W Redakcji  dnia  15  stycznia  1983  roku