Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2/3,  21  (1983) 

T H E  A N A L Y S I S  O F A V I S C O E L A S T I C  S H E L L  O F R E V O L U T I O N  P E R I O D I C A L L Y 
L O A D E D 

P I O T R  K O N D E R L A 

The  shell  of  revolution  periodically loaded  by  mechanical  forces  or  by  the periodically 

forced  displacement  is  analysed  in  the  paper.  The  material  of  a  shell  is  assumed  to  be 

linear.  The  problem  wil l  be  solved  on  the  basis  o f  the  technical  theory  of  thin  shells  [1]. 
Under  assumption  that  the  displacements  and  deformations  are  small  the  problem  is 

linear.  It  is  also  assumed  that  the  loadings  o f  the  shell  (mechanical  and  nonmechanical) 

are  described  by  the  harmonic  functions  with  the  circular  frequency  с о and  are  applied 
in  the  duration  o f the  sufficient  length.  It  allows to  assume that  the  motion  o f  the  construc­

tion  is  stationary,  i.e.  that  the  displacements  and  internal  forces  vary  periodically  with 

the  frequency  o>.  It  enables  searching  o f  the  solution  without  explicit  time  function. 

The  set  of  curvilinear  coordinates  л: =  (f,  rj)  (Fig.  1)  is  chosen  in  the  middle  surface 
o f  the  shell.  F o r  simplification  it  is  assumed  that  all loads  are  in  the  same  phase  and  that 

the  origin  of  the  time  axis  is  chosen  so,  that  the  phase  angle  is  equal  to  zero.  It  does  not 

restrict  the  generality  of  considerations  because  the  problem  is  linear  and  the  principle 

of  superposition  holds.  F o r  to  =  0  the  statical  problem  has  been  received. 

Wroclaw 

1.  Introduction 

Fig.  1 



170  P.  K O N D K R L A 

The  solution  of  the  problem  has  been  obtained  numerically by  Finite  Element  Method 

[2,  3].  The  construction  of  the  F E M algorithm  for  eight  parameter  conical  elements  are 

given  in  the  paper.  The  solution  formulated  in  this  way  has  been  applied  to  the  analysis 

o f  the  rubber  construction  o f  the  seal  o f  rotational  shafts. 

•  2 .  Basic  definitions  and  linear  viscoelasticity  equations 

Let  the  system  o f  cylindrical  coordinates  X  =  (r,  z,  rj)  be  introduced  in  the  Euclidean 

space.  The  middle  surface  of  the  shell  immersed  in  this  space  occupies  the  region  &  The 

curvilinear  coordinates  x  =  (f,  tj), interrelated  with  (/,  z,  tj) by  means of A'  =  [r(f),  z ( f ) , tj], 

parametrize  the  surface.  The  material  of  the  shell  is  isotropic  with  mass  density  Q0  and 

thickness  distribution Л (Ј). 

A l l  functions  which  describe  the  motion,  deformations  and  stresses  in  the  shell  w i l l 

be  described  in  terms  o f  the  physical  coordinates  o f  the  two  dimensional  tensor  fields  on 

the  middle  surface  of  the  shell.  Keeping  in  m i n d  the  applied  method  o f  the  solution  we 

have  assumed  it  i n  the  form  o f  vectors  in  the  local  set  of  coordinates  (x,  Ј). 

The  motion  o f  the  middle  surface  is  described  by  the  displacement  vector 

( 1 )  f(x,t)  =  [u(x,t),v(x,t),w(x,t)]T. 

Moreover,  the  concept  o f  the  generalized  vector  o f  displacement  is  introduced 

(2)  f(x,  t)  =  [u(x,  t),  v{x,  t),  w(x,  t),  tptfx, t),  (pn(x,  f ) f , 

where  cpc(x,  t),  q>n(x,  t)  are  angles  of  rotations  o f  the  material  fibre  normal  to  the  m i d ­
surface. 

The  stresses  and  deformations  in  the  shell  are  described  by  vectors 

( 3 )  e(x,  t)  =  [ee(x,  t),  en(x,  t),  y(x,  t),  xs(x,  t),  x„(x, t),  tfx,  t)f, 

( 4 )  a(x,  t)  =  [ns(x,  t),  nn(x,  t),  щп(х ,  t),  п ц {х ,  t),  mr,(x, t),  m^(x,  /)].' 

Geometrical  relations  have  the  form,  [2] 

(5)  e(x,t)=  PJ[f(x,t)], 

where  is  the  linear  differential  operator  o f  geometrical  relations  for  thin  shells  o f 

revolution.  Stress­strain  relations  wi l l  be  written  down  in the  form  of the  Voltera  equation, 

№  
(6)  a(x,  t)  =  3F*[e(x,  t)]. 

F o r  v  =  const  E q .  (6)  can  be  rewritten  i n  the  form 

t 

(7)  a{x,t)  =  D(i)\e(x,t)­  f l \ t ­  т )е (х ,  т )с 1г \. 
о  

where  Д г,  т)  =  JT(/—  Т)  is  the  relaxation  speed  function,  while  0 ( f )  is  the  elasticity 

matrix  for  the  isotropic  linear  elastic  body. 

The  equation  of  motion  o f  the  shell  w i l l  be  derived  from  the  law  o f  conservation  o f 



L E P K O S P R Ę Ż Y S TA  P O W L O K Ą  O B R O T O W A 

the  energy.  F o r  isothermic  problems  we  have 

(8)  A ? + c ) = Z , 

where:  К  is  the  power  of  the  kinetic  energy 

(9)  K&  J '  [f(x,t)]To(i)f(x,t)d&, 
t 

(10)  p ( l )  =  d i a g [ o 0 ,  o 0 ,  go,  ft
2o0/12,  й \ )0 / 1 2 ] , 

U  is  the  power  of  the  internal  energy 

(11)  U  = J  [i(x,t)]To(x,t)dv, 

d 

and  L  is  the  power  of  the  external  forces 

(12)  L=  j  [f(x,t)]Tp(x,t)d&. 

171 

3.  The  algorithm  of F E M 

Let  the  shell  be  divided  into  a  number  of  the  conical  finite  elements  and  the  lines  of 

nodes  coincide with  the  chosen  parallels  [2]. The  nodal  parameters  in  the  node  a(a  = 1 , 2 ) 

are  represented  by  the  vector  (Fig.  2) 

(13) 

'I 

Fig.  2 

T a k i n g  into  account  the  axial  symmetry  of  the  structure,  we  are  to  expand  the  nodal 

parameters  into  the  Fourier  series  along  the  tj  variable.  If  the  motion  is  an  effect  o f  the 
periodical  excitation  with  the  frequency  to,  then 

(14) 
1 = 0 



172  P.  KONDIRl  Л  

where  yl(rj)  ­  diag  [c,. su  Cj,  ct] 

[cosh] Icosh]  is 

°'  \sinlrj  '  1  \cos//y  for  odd  loads' 

<5i—real  part  and imaginary  part  (respectively)  of the  displacement  vector  o f the 

a  node. 

Displacements  o f  e­element  wil l  be  written  down  in the  form 

( i 5 )  fw(xlt\  0  =  Ke0e))tie)(v­  0  =  Јм 0В А ф № Щ %  = 

­  ^ 4 ^ № ( ^ i < ' V ' ' \ 

where:  x ( e ) =  (Ј<«>,»j) 

z'(rj)  =  diag  [ci, s,,  с ,]. 

Table  1 

sin///  for  even  loads 

1­f  0  0  0 

0  0  0 

0  l ­ 3 Ј 2  +  2Ј 3 

5  0  ^ ' 0 
0  f  0  0 

0  0  3f2  ­2f 3 

In  E q . (15) typical  base  functions  were  used,  namely  linear  for  displacements  ;/ and 

• v while cubic  for the displacement  w. The shape  matrix  N?ti  is presented  in Table  I.  Here 

and  in what  follows the summation  convention  holds.  Similarly  for the generalized  vector 

of  displacements  (2)  we  have 

(16) 

Geometrical  relations  in  accordance  with  (5)  have  the  form 

(17)  E« > ( X« \   о   =   / ) ]  =   a i ^ Ą ^ N ^ m d 1 * ^ ]  = 

i 

where:  г  (rj)  =  diag  [с ,, c,, s,, c,, c,,s{\, 

file:///sinlrj


(2 

+ 
М р  

+ 

I 
• w" 

+ 

+ 

+ 

I 

+ 
« л  
•  I 

+ 

I 

+  + 
I 

см  

+ 

I  ­> 

+ 

+ 

I 

+ 

­  | ч   <N 

1 

*—\ 

1 
1 

• MJI 

о  
"§•1  »• 

1 

v  | t i 
1 

o 
*N \» 
ГМ  

•  

« 

N 

^ \  JJ.fl 

­  |н  
1 

i  o  o  O 

1 

+ 
Mr 
I 

+ 

I 

+ 
JJJ1 

I 

^   | N 

+ 

m  
+  

I 
4̂* 

I 

4* 

i 

• 4/. 

I 
4j> 

+ 

­  w 

Mr 

- !« 

+ 

Э ­1 
<N  I 

+ 

JJJ­. 

I 

I 

+ 
4* 

I 

[ П З) 

http://JJ.fl


174  P.  K O N U E R L A 

B[c)(S<e))  — geometrical  matrix  is  presented  in  Table  2. 
After  the  conversion  o f  E q .  (7)  and  substitution  into  E q .  (17)  we  have 

i 

(18)  a<e>(x,  t)  =  D ( P ) ) [ f i t e > ( x « ' \  t)­f  Д / ­ т ) «( с ) ( х ( с ) ,  T)dr]  = 
•  •­  0  ­  *1  и м *ш  • I­

=  0 ( ^ > ) Ј < % х <
е \ 0 ( Г с + /Г ,)  = 

where  . Z V =  1—/  F(z)cosojzdz,  T\  =  J  A z ) s i n r o z d z . 
о  о  

The  shell  as  an  assemblage  of  elements  e  =  1,  2 ,  E  occupies  the  region  •&  which 

is  different  from  the  region  § .  The  total  nodal  parameters  o f  the  structure  уj  are  related 

to  the  local  parameters  o f  the  element  by  the  transformation 

(19) 

where 

(20) 

(21) 

Л <е>  for  e +  x­l=j, 

0  i n  the  a l l  remaining  cases, 

coS(/)(L,)  0  sin(/>(e>  0" 

0  1 0  0 

­sin</>(c)  0  c o s 0 ( e )  0 

0  0  0  1 

A p p l y i n g  the  transformation  (19)  to  Eqs.  (15),  (16),  (17)  and  (18)  we  arrive  at  the 

expressions  describing  the  state  of  displacement,  deformations  and  stresses  at  each  point 

o f  the  region  v  in  the  form 

E 

e=l  I  I 

(22) 

f(x,t)  =  z  E A v v € Aw q e m =  H­'(V)^j^)УWV', 
e l  I 

a(x,t)  =  (Гс  + И \)  V  ^ ( f ' ^ ^ ^ W C ) ^ 0 ) ^ ' 0 ' ^ ' " '  m 

=   ( г с+ и \ )  У  D ( f)?(rj)&'(F) aje*', 

where  x  =   ( f ,   rj)  and  |  —  is  the  coordinate  which  coincides  with  the  generator  o f  the 

element. 
Substituting  R H S  o f  Eqs.  (22)  into  E q .  (8)  and  the  performing  simple  conversions, 

we  obtain  the  equation  o f  equilibrium  of  the  structure  i n  the  form 



L E P K O S P R Ę Ż Y S TA  P O W Ł O K A O B R O T O W A  175 

(23)  (Tc+irs)K
lindln­co

2Mlinóln  =  F
tJ, 

for  / =  0 , 1 , 2 ,  j=  1 , 2 ,  . . . , Ј + 1 ; 

where 

(24)  M y " =  Jf  [ z ^ ) V V W K Ј ) z 4 ^ m F) ^ , 

о  
Comparing  real  and imaginary  parts  o f  E q .  (23) we obtain  the  conjugatejsystem  o f 

equations  with  real  roots 

{rcK
lin­m2Mlin)6ln­rsK

,in6ln  =  Щ  
(25)  _  ­  =  _ 

­rsK'
jnd,n­(rcK

,JN­M2MlJn)d,n  =  F
lj, 

for  /  =  0, 1 , 2 ,  j  =  1,2,  . . . , E + 1 . 

Together  with  Eqs. (25) the  suitable  displacement  boundary  conditions  have  to  be 

taken  into  account. 

4.  The numerical  example 

Forced  vibrations  o f the  shell o f revolution  being the model  o f the  rubber  construction 
o f  the  seal  of rotational  shafts  ( F i g . 3) is analysed.  The  linear  viscoelastic  body,  for which 
the  velocity  o f  relaxation  function  takes  the  form 

(26)  A / )  =  C e ­ ' V ­ 1 ,  for  t  > 0. 

is  assumed  as  the  model  o f the  material. 

0.65 cm  I 



176  P.  K O N D I R L A 

The  material  constants  were  found  on  the  basis  o f  the  laboratory  tests:  С  =  0,236; 

fi  =  0,01;  x  =  0,1;  Youngs  modulus  o f  elasticity E  =  9,4  M P a .  The  mass  density  o f  ma­

terial  is  equal  to  Q0  =  1250  k g / m
3 . 

The  forced  displacements  of  the  structure  are  given  by  its  loading  as  a  result  o f  the 

eccentric  location  of  the  axis  o f  rotational  shaft  i n  the  relation  to  the  axis  o f  rotation. 

The  motion  of  the  shaft  can  be  decomposed  into  two  simple  harmonic  motions  i n  two 

perpendicular  directions,  displaced  in  relation  to  each  other  by  phase  angle  equal  л /2. 

Dynamical  thrusts  o f  the  seal  l i p  on  the  shift  are  the  most  interesting  values  from  the 

point  o f  view  o f  applications.  O n  F i g . 4  the  plot  o f  amplitudes  o f  the  unitary  thrusts  o f 

the  seal  lip  as  the  function  o f  angular  velocity to  is  given.  The  motion  o f  the  structure  in 

which  different  influences  are  taken  into  account  has  been  analysed: 

a)  the  motion  of  the  structure  in  which  the  mass  of  the  spring  and  the  friction  are  neglec­

ted,  (line  1  o n  F i g .  4), 

b)  the  mo'tion  of  the  structure  with  the  influence  o f  the  mass  of  the  spring  and  without 

the  friction  (line  2  on  F i g .  4), 

c)  the  motion  of  the  structure  with  the  influence  of the  mass  of the  spring  and  the  friction 

(line  3  on  F i g .  4). 

pr[N/m] 

1  i, 
/— r 

udird/s] 
10 DO  2C Ю0  V  3C Ю0 

3  X 
— > 

2 

\ 

X 

X 
F i g .  4 

In  each  case  the  forced  displacements  of  the  nodal  line  i n  the  place  of  contact  of  the 

seal  with  the  shaft  are  equal  to  Wj(r),  t)  =  w j c o s ^ e ' 0 "  for  wj  =  0,01  cm,  in  the  direction 

perpendicular  to  the  axis  o f  the  shaft.  It  is  assumed  that  the  constraints  i n  the  place  o f 

the  contact  are  bilateral.  The  coefficient  of  friction  ц  was  taken  equal  to  0,1.  Line  4  on 

F i g .  4  shows  unitary  thrust  as  the  result  of  the  static  axisymmetrical extension  o f  the  seal 

lip  by  value  wf  =  0,01  cm. 



LKPKOSPitĘ Ż YSTA  POW LOKĄ  O B R O TO W A  17" 

Literature 

1­  W .  F L U G E ,  Powłoki,  obliczenia  statyczne.  Arkady,  Warszawa 1972. 

2­  О. C .  Z I E N K I E W I C Z ,  Mitoda  elementуw  skoń czonych.  Arkady,  Warszawa, 1972. 

3.  J . T .  O D E N ,  Finite  elements of  nonlinear  continua,  M c G r a w ­ H i l l  Book  Company,  New  Y o r k .  1972. 

4.  J . N .  R A B O T N O W ,  Eleimnty  msłjedstwiennoj  mechaniki  twierdych tjel, Nauka,  Moskwa, 1977. 

Р е з ю ме  

А Н А Л ИЗ  В Я З К О ­ У П Р У Г ОЙ  О Б О Л О Ч КИ  В Р А Щ Е Н ИЯ  П Е Р И О Д И Ч Е С КИ  Н А Г Р У Ж Е Н Н ОМ  

В  р а б о те  а н а л и з и р у ю т ся  о б о л о ч ки  в р а щ е н ия  ц и к л и ч е с ки  н а г р у ж е н н ые  м е х а н и ч е с к ой  н а г р у з­

к ой  и ли  ц и к л и ч е с ки  в ы н у ж д е н н ым  п е р е м е щ е н и е м.  М о д е ль  м а т е р и а ла  э то  т е ло  л и н е й но  Е Я З1« Т <­

у п р у г о е.  П р о б л е мы  р е ш а ю т ся  и с х о дя  и з  у р а в н е н ий  т е х н и ч е с к ой  т е о р ии  т о н к их  о б о л о ч ек  п о л ь­

з у я сь  м е т о д ом  к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  Д ля  и л л ю с т р а ц ии  а н а л и з и р у ю т ся  в ы н у ж д е н н ые  к о л е б а н ия  

о б о л о ч ки  в р а щ е н ия  с о с т а в л я ю щ ей  м о д е ль  к о н с т р у к ц ии  р е з и н о в о го  у п л о т н е н ия  в р а щ а н щ я х ся  

п а л о в. 

S t r e s z c z e n i e 

A N A L I Z A  L E P K O S P R Ę Ż Y S T EJ  P O W Ł O K I  O B R O T O W E J  O B C I Ą Ż O N EJ  P E R I O D Y C Z N I E 

W  pracy analizowano  p o w ł o k a  o b r o t o w ą  o b c i ą ż o ną  cyklicznie o b c i ą ż e n i em  mechanicznym lub Cyidicz 

nie  wymuszonym  przemieszczeniem.  Modelem  m a t e r i a ł u  jest  c i a ł o  liniowo  l e p k o s p r ę ż y s t e.  Zagadnienie 

r o z w i ą z a no  w  oparciu  o  z w i ą z ki  technicznej  teorii  p o w ł o k  cienkich,  p o s ł u g u j ą c  się  m e t o d ą  e l e m s n t у w 

s k o ń c z o n y c h.  Jako  ilustrację  analizowano  drgania  wymuszone  p o w ł o k i  obrotowej  b ę d ą c ej  modelem 

konstrukcji  gumowego  uszczelnienia  w i r u j ą c y ch  w a ł у w . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  15  stycznia  1983  roku