Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2/3,  21  1983 

N U M E R I C A L  A N A L Y S I S  O F  L A R G E  D E F L E C T I O N  B E H A V I O U R  O F 
E L A S T I C ­ P L A S T I C  S H E L L S  O F  R E V O L U T I O N 

M A R I A  R A D W A Ń S KA 

Politechnika  Krakowska 

1.  Introductory  remarks  and  assumptions 

Plastic  deformations  are  admitted  in  many  cases  i n  order  to  exploit  maximally  the 

load  carrying  capacity  of  structures.  Collapse  of  thin  shells  often  occurs  as  a  result  o f 

the  instability before  the  large  yielding  zones  are  developed.  This  fact  motivates  the  inte­

rest  i n  analysis  o f  the  elastic­plastic  behaviour  of  shell  structures.  A  limit  load  o f  shells 

at  which  the  snap­through  phenomenon  occurs,  is  investigated.  This  k i n d  of  critical  load 

is  typical  for  shallow  ideal  shells;  i n high  shells  such  an  instability occurs  due  to  the  initial 

imperfections. 

Analysis  of  the  lost  of  stability  i n  the  sense  o f snap­through  and  the  post­critical  beha­

viour  is  possible  only  o n  the  basis  o f  nonlinear  formulation.  Simultaneous  considerations 

o f  the  physical  and  geometrical  nonlinearities  complicate  the  problem,  therefore  the  only 

way  to  achieve  a  solution  is  the  application  of  numerical  methods. 

A  number  of  papers  on  large  deflections  of  elastic  and  elastic­plastic  shells  have  been 

written.  W i t h  respect  to  elastic­plastic  shells  different  methods  were  applied.  The  multi­

­segment  method  of  numerical  integration  was  used  in  [1], finite  differences  were  explored 

in  [2]  and  finite  element  method  was  used  in  [3]. 

The  presented  paper  is  a  generalization  o f  the  paper  [4],  where  the  shooting  method 

was  applied  to  the  ideal  sandwich  cross­section.  Comparing  with  the  mentioned  paper 

[4]  a  modyfication  of  the  algorithm  and  improved  subroutines  have  been  given. 

The  following  assumptions  have  been  introduced: 

1.  The  shell  is  thin  (Kirchhoff­Love  hypotheses  are  valid);  constant  thichness  and 

ideal  sandwich  or  full­walled  cross­section,  approximated  by  an  equivalent  multipoint 
cross­section  are  assumed. 

2.  The  displacement  field  is  rotationally  symmetric. 

3.  The  theory  o f  small strains  and  large  displacements  is  assumed. 

4.  The  material  o f  shall  is  isotropic,  compressible,  homogeneous,  elastic­plastic  o f 

a  general  type  o f  strain­hardening  (yield  surface  can  translate  and /  or  extend  at  the  same 

time). 

5.  The  load  is  quasi­static. 

In  the  present  paper  the  semi­inverse  method  of  numerical  forward  integration  is 



M .  R A D W A Ń S KA 

applied  for  solving  differential  equations.  This  method  (shooting  method)  changes  the 

two­point  boundary  value  problem  ( B V P ) into  an  initial  value  problem  (IVP). 

Assuming  rotational  symmetry  one  can  confine  the  considerations  to  a  geometric 

one­Jimcnsional  problem  with  independent  variable  ?.  measured  along  the  meridian  o f 

the  shell  ( F i g .  la).  A p p l i c a t i o n  o f  the  plastic  flow  theory  requires  introduction  of  quasi, 

­ t i n e  variable  r. 

Fig.  1 

F r o m  o f  a  comprehensive  numerical  analysis  only  these  examples  wil l  be  mentioned 

in  which  the  upper  and  lower  critical  loads  for  shallow  spherical  caps  with  various  boun­

dary  conditions  wil l  be  calculated. 

2.  Basic  equations 

Dimensionless  quantities  are  used  according  to  the  notations  i n  [4,  5] ;  components 
o f  the  state  vector  у  are  shown  in  F i g .  l a . 

Axisymmetric  equilibrium  state  o f  elastic­plastic  shell  is  described  by  the  nonlinear 

set  o f  partial  differential  equations; 

y'  =f(y,p,Q, 
U  Q=D(Q,q)q 

and  algebraic  relations: 

(2)  z  =  h(w,  ?.), 

where  the  following  vectors  are  used:  the  state  vector  j ' ,  the  vector  o f  generalized  stresses 

Q  and  generalized  strains  q: 

.  J'  =  Ф ,  »,,/,'»,}, 

Q  =  {n1,n2,mx,m2},  q  =  {э1,э2,к1,к2}. 

A d d i t i o n a l l y  the  vector  displacement  w  and  strains  z  are  introduced: 

(4)  w  =  {u,cp},  z  =  {o2,k2}, 

which  are  not  related  to  each  other  by  differential  relations. 

The  basic  set  of  equations  consists  o f  the  equilibrium  equations,  the  geometrical  and 

the  physical  relations.  Detailed  description  o f  these  equations  for  elastic­plastic  shells 



E L A S T I C ­ P L A S T I C  S H E L L S  181 

of  revolution  is  given  in  Appendix  A 2  i n  [5].  The  initial  boundary  value  problem  must 

be  supplemented  with  appropriate  boundary  and  initial  conditions. 

The  set  o f  equations  is  separated  with  respect  to  the  spatial  (  )'  =  B(  )/8X  and  quasi­
­time  derivatives  ( ) '  =  <?(  )/<9т.  Incremental  physical  relations  require  inversion  o f 

physical  equations  at  each  step  o f  numerical integration  at  nodes  /  =  1,  . . . ,  L. 

In  elastic­plastic  shells  the  main  problem  lies  i n  calculation  o f  generalized  stresses  by 

numerical  integration  along  the  shell  thickness.  One  of  the  possibilities to  overcome  d i f f i ­

culties  is  the  application  of  the  numerical  integration  concentrating  shell  properties  at 

integration  nodes.  In  this  way  we  obtain  full­walled  cross­section,  which  w i l l  be  called 

multipoint  cross­section.  Application  of  the  Simpson quadrature  formulae  can  correspond 

to  the  assumption  o f  R­equally  spaced  points  along  thickness.  A s  a  special  case  we  shell 

consider  an  ideal  sandwich  cross­section,  when  R  =  2. 

The  cross­section  stiffness  matrices  in  terms  o f  the  physical  relations 

(5)  hj  =  D0jk3k  + Duk­  kk,  tń j  =  DlJk3k  + D2Jk­  kk,  j , k = \ , 2 , 

assume  the  form 
1/2  R 

(6)  DUk  =  /  =  V
  z <  '  < E * •  

­1/2  r = l 

are  calculated  by  using quadrature  formulae,  taking  into  account  a  current  state of stresses 

and  strains,  history  of the  loading process  and  type  o f cross­section. 

Incremental  physical relations,  given  in  detail  i n  [4,  5]  are  referred  to  a  material  with 

the  combined  kinematic­isotropic  strain  hardening,  where  A  and  С  stend  for  the  coeffi­
cients  o f isotropic and  kinematic strain­hardening.  Thus, the  equations  enable  us  to  describe 

the  instantaneous  motion  o f  the  centre  o f  the  yield  locus  (the  interaction  curve  F)  as  well 
as  the  development  of  the  locus.  Let  us  assume  that  Ejk  are  elements  o f  the  local  stiffness 
matrices,  occurring  in  incremental  physical equations.  These  matrices  are  definite  at  each 

point  of  the  shell under  assumption  o f  the  plane  stress  state.  Elements  EJk  can  be  compu­
ted  on  the  ground  o f  information  on  the  type  o f  process  [4,  5]. 

3.  Algorithm  of  the  shooting method in elastic­plastic shells of  revolution 

Due  to  the  separation  o f  spatial  (  )'  =  8/8/.  and  quasi­time  (  )'  =  d/ox  derivatives 
in  the  basic  equations  and  to  the  approximation: 

(?)  Qn,  ~  (Qn~Qm­i)/^rm,  q  X  {qm­qm^)/Arm, 

the  two­point  symmetric  B V P  o f  range  /• =  3  can  be  computed  at  each  time  r  =  т ,„. F o r 
the  following  values  r  ^  r 0  we  can  find  points  on  the  path  of  equilibrium states  in  the 

load­displacement  space.  A s a  quasi­time  independent  variable  т  one  of the  monotonically 

increasing  parameter  o f  the  B V P  can  be  adopted.  Dependence  on  the  shape  of  the  path, 

the  load  parameter  or  one  of  the  components  o f  the  input  vector  y0  is  applied  as  the 

time  т. 

5  Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83 

\ 



182  M .  R A D W A Ń S KA 

The  B V P  can  be  solved  iteratively  using  the  shooting  method  by  means  of  the  multiple 

numerical  forward  integration  and  choice  of  free  initial  values  at  point  /  =  1,  in  order 

to  satisfy  the  boundary  conditions  Y  at  the  other  boundary  point  I  =  L,  (X0,  Ye  R
3). 

The  incremental  formulation  needs  storing  in  the  computer  memory  vector  Qm_  t  = 
=  Q*,  qm_  i  =  q*  and  information  about  the  history  of  the  loading  process  (development 
o f  elastic­plastic  zones)  for  the  whole  structures. 

W i t h  respect  to  the  convergence  and accuracy  of  the  Newton­Raphson method  as  well 

as  the  time  consumption  and  computer  storage  the  choice  of  spatial  AX  and  time  At 

steps  is  essential.  In  many  numerical  experiments  the  density  o f  spatial  step  near  the 

shell  ends  is  fixed.  The  step  Ar  is  automatically  computed  on  the  basis  of  the  criterion, 

that  the  value  o f  Odquist's  parameter  increment  is  within  defined  limit  at  each  point  o f 

the  structures  [6,  7]. 

4 .  Inversion  of  physical  equations 

Considering  elastic­plastic  properties  of  the  material  the  problem  of  inversion  o f 

physical  relations  appears  at  each  step  o f  the  numerical  integration  Xt,l  =  ! , . . . , Ј ,  at 

each  time  т ,„,  m  =  I,  ...,  M.  The  knowledge  o f  values  n{,ml,92,k%  at  each  point  A| 

results  from  the  form  the  canonic  set  of  equations.  Appropriate  procedure  makes  it  pos­

sible  to  calculate  the  values  o f  generalized  strains  эх(пу,  m , , э2,  k2)  and  kifa,  , э2,  k2) 

beside  generalized  stresses  n2(q)  and  m2{q).  A p a r t  from  the  type  o f  cross­section,  material 
properties,  actual  type  or  process  should  be  taken  into  account  in  every  quasi­time  incre­

ment  Arm.  Information  stored  i n  the  computer  memory  concerning  the  values  э2,к2, 

n*,  m*  permits  to  calculate  suitable  increments  o f  these  quantities. 

The  passage  from  increments  of  strains  bj,  kj(j  =  1, 2 ) at  a  point  o f  the  mid­surface 

to  increments  of  strains  (bj)r  for  each  point  /• =  1,  R  along  the  thickness  is  possible 

under  the  assumption  o f  Kirchhoff­Love  hypotheses: 

( 8 )  (ej)r  =  ż j  +  k A ,  СГ  =  Ф 0 ,  s £ ­ [ ­ 1 / 2 ,  1 / 2 ] . 

In  this  way  increments  (Aej)r  are  obtained,  and  thus  the  calculation of  increments  stresses 

(Asj)r  is  feasible.  The  local  cross­section  stiffness  matrices  require  knowledge  of  the  most 

actual  v a l u ^  (Е ц )г  for  every  point  r  =  1,  R.  U n l i k e  the  sandwich  in  the  full­walled 

cross­section  case  we  cannot  easily  pass  from  the  increments  o f  generalized  quantities 

{Aiij,  Amj,  А э},  Akj}  to  the  increments  o f  stresses  (Asj)r.  In  the  case  of  full­walled  cross­

­section  approximated  by  the  multipoint  section, the  stresses cannot  be  analysed  separately 

for  each  point  r,  as  it  is  possible  for  two  layers  o f  the  sandwich  cross­section.  O n l y  i n 

an  ideal  sandwich  there  is  an  immediate  passage  from  increments  o f  generalized  stresses 

Arij,  Ą nij  to  increments  stresses  Asj  in  the  particular  layer  ( +  ,  —): 

tfn)  =  (,\s+ + Asj)/2,  iij  =  njlQfap), 

Am j  =  (ASJ­ASJ­)/2,  nij  ==  mj/(dshscrp). 

Values  « , ,  m ,  are  known  i n  the  numerical  integration  nodes  in  the  mid­surface  on  the 

basis  of  the  solution  of  the  basic  set  of  equations.  Therefore  in  full­walled  cross­section 



E L A S T I C ­ P L A S T I C  S H E L L S  183 

the  increments  of  stresses  (Asjr,  r  =  1, ...,R,  calculated  iteratively,  added  to  stresses 
(sf)r,  stored  in the  computer  memory  must  agree  with  values  пг  i mx  i n point  A ( : 

1/2   R 

«i  =  <rPh
F  f  (s*+ASl)dC  =  aph

F  Ј  ZAst  + sh^r, 
­ 1 / 2   ' = 1 

d o )  1 / 2 

fRi =  op[(h
F)2/6]  •  J  (s* + ASl)CdC  =  o,[(h

F)2/6]  • 2  Zr(si+ASl)rCr. 
­ 1 / 2   r = l 

Increments  (Asj), sre computed  currently  for each  point  Ј r and A, and they  depend  both 
on  the  type  o f  process  and  on  attained  yielding  [4, 5]. 

F o r  each  point  г along the shell  thickness  and for each  node  / o f numerical integration 

the  following  four  cases  must  be  considered: 

i) . If the elastic  material  properties  at the point  r are noted  i n the computer,  the incre­
ment  of the  effective  stress  Ast  <  0  indicates,  that  the  elastic  process  remains.  This  is 
shown  in  F i g 2a, where  the  state  for  time  r*+Ar  is  represented  by the  vector  s^ + As, 
the  end of which  is at  point  P  inside  yield  curve  F0.  In this  case  only  s* and e* are  cor­
rected, coordinates  of centre  of yield  sufrace  a] and  Odqvist's parameter  remain  unchanged. 

ii) .  The curve  F 0 is  crossed  by  the  vector  Ass  and the  vector  Asp  leads  to  point  P 

inside  F0.  Then  an  approximate  procedure  must  be  applied.  It  translates  point  P*  into 

P'  along  the  path  o f proportional  loading and a  further  increment  As" is calculated,  as 

for  an  active  process  ( F i g . 2b). 

Fig.  2 

5» 



184  M .  R A D W A Ń S KA 

iii) .  Ja  the  plastic  zone  an  active  process  developes  (Fig. 2c).  Quantities  sf,  e*,  a*, e*p 
are  corrected. 

iv) .  The  passive  process  occurs  in  the  initial  plastic  zone  i f  Ast  <  0  ( F i g .  2d). 

I f  the  yield  curve  is crossed  at  a  single point  f,  in a  cross­section,  it  must  be  brought 

down  again  to  the  level  of  full  cross­section.  The  same  step  At  is  divided  into  subincre­

ments  to  take  into  account  at  first  the  elastic  and  later  the  plastic  properties  at  point  /•. 

W h e n  the  yield  surface  is  crossed  at  several  points,  the  most  intensive  point  is  looked 

for.  It  determines  the  way  of  division  Ar  into  subincrements.  The  number  o f  iterations 

grows  up  when  i n  the  second  stage  it  occurs,  that  curve  F  is  crossed  at  the  next  point  or 

simultaneously  unloading  can  take  place  at  another  point  /• i n  the  same  cross­section. 

I f  the  boundary­value  problem  has  been  solved  for  time  тт  the  information  stored  in 

the  computer  is  repesated  for  the  next  time  r m + l  —  r,n 

5.  Numerical  analysis 

The  displacement  field  i n  a  shell  depends  strongly  on  various  parameters.  Geometric 

<hell  parameters,  boundary  conditions,  material  properties  have  to  be  taken  into  account. 

A  series  o f  numerical  examples  for  shells  differing  from  one  another  i n values  o f  the  men­

tioned  parameters  should  be  made  with  respect  to  the  analysis  of  response  of  shells  under 

applied  load  in  the  elastic­plastic  range. 

Elastic  full­walled  circular plate  and  spherical  cap  have  been  tested.  A  good  agreement 

with  results  published  i n  [8]  has  benn  obtained. 

First  series  of  calculation  have  been  made  for  a  shell  with,  sandwich  cross­section 

considering  essential  simplifications  in  the  subroutine  containing  inversion  of  physical 

equations.  The  influence  of  various  parameters  is  presented  in  F i g . 3,  which  demonstrates 

different  shape  of  the  load­displacement  curve. 

Further  examples  serve  as  a  comparison  o f  the  results  obtained  for  sandwich  (S) 

and  full­walled  cross­section  approximated  by  multipoint  cross­section  (F).  Parameters 

o f  shells  with  (S)  and  (F)  cross­section  have  been  suitably  choosen  in  order  to  have  an 

equivalent  extension  and  bending  stiffness  o f  shells  in  elastic  range: 

(11)  Fs  =  24s  =  F*  =  hF,  Js  =  d(hsf;2  =  7"  =  (7i F ) 3 /12. 

F r o m  the  above  relations  the  thickness  of  the  face  d s  and  the  height  hs  can  be  calculated: 

(12)  ds  =  * F / 2 ,  T i s  =  hTj\'l  . 

F o r  the  geometrical  parameters  and  the  boundary  conditions  described  in  F i g .  4. 

the  equilibrium  path  in  the  load­displacement  space  exhibits  maximum,  i.e.  the  limit 

point  with  coordinates  pu,  ru.  The  load  pu  indicates  the  upper  critical  load  opposite  to 

the  lower  load  pt. 

O n  the  basis  o f  the  obtained  results  for  the  shells  with  sandwich  and  full­walled  cross­

­section  (approximated  by  3­,  5­,  7­  points)  it  can  be  stated  that  instantaneous  reducing 

o f  the  shell  stiffness  at  point  (pu,  т и )  is  the  consequence  o f  vanishing  of  the  total  elastic 

cross­section.  Passive  processes  appear  between  pu  and  p,  loads.  Secondary  yielding  zones 



Fig.  4 

[1851 



186  M .  R A D W A Ń S KA 

have  been  developed  in equilibrium states  on the rising  part  of the path  for every  cross­

­section  type.  The F i g . 4  shows,  that  the cross­section  type  does  not influence  values  o f 

the  upper  critical  load  pu.  Considerable  diversions  i n the shape  o f the p(r) curve  begin 

for  deflections v X f  (/—height  of the  shell). The  lower  critical  load  is found  in the  deflec­

tion  interval f  <  v  < 2f. Values of pt  are limited  between  p\
3)  == 0.007  and p\S)  =  0.0115, 

i.e.  calculated  for  3­point  approximation  of  full­walled  cross­section  and  ideal  sand­

wich.  The  loads  p , < 5 )  and  p\1}  occur  in interval  [y?i 3 ) ,/?/ 5 ) ] and  mutually  differ  slightly. 

The  spherical  caps  without  a  hole  around  the axis  of symmetry  are very  sensitive  to 

changes  o f material,  geometrical  parameters,  boundary  conditions  and the character  o f 

loading.  F i g . 5 shows  that  the value  of the upper  critical  load pu  and difference  between 

pu  and pi  depend  on changes  o f  values  o f  the  meridian  radius. 

The  load­displacement  curve  for  shell  A  ( F i g .  5)  with  R  =  5 is  supplemented  with 

the  equilibrium  path  calculated  for 2, 3, 7 —  point  approximation  of  full­walled  cross­

­section.  The  next  diagram  shows  that  the limit  points  are obtained  for the same  displa­

cement  but there  is a  greater  distance  between  pu  loads  in comparison  with  the  example 

from  F i g . 6  (about  10%).  The  lower  critical  pressure  occurs  in shells  with  displacements 

o f  the  order  of the  shell  height. 

0.037 

1 

­ P u 

R=5 

Ш Ь Г  /­57.75 

A=0.0 

С = 0.0067 

"""Pt  " ^ > < 

0.028/  * 
i  / / 

$!i  80.80 

0.3  \  0.6  0.9 

Fig.  5 

F i g .  6 



E L A S T I C ­ P L A S T I C  SHELLS  187 

5.  Final  remarks 

O n  the  basis  o f  the  shooting  method  and  the  incremental  approach  the  algorithm  and 

the  computer  program  have  been  carried  out.  The  program  enables  us  to  compute  either 

idealized  sandwich  shells  or  shells  with  a  full­walled  cross­section  with  different  boundary 

conditions. 

The  appropriate  program  has  been  written  in  F O R T R A N ­ E X T E N D E D  and  imple­

mented  on  the  C D C ­ C o m p u t e r  C Y B E R ­ 7 2 .  The  program  is  efficient  since  only  C P U 

memory  is  used,  this  shortens  the  computational  time  significantly. 

Compared  with  the  F E M the  method  applied  in  this  program  (semi­inverse  method 

o f  numerical  forward  integration)  is  especially  suitable  for  analysis  o f  axisymmetric  pro­

blems. 

Numerical  examples  verify  the  5­point  equivalent  cross­section  as  a  good  approxima­

tion  o f  the  full­walled  cross­section. 

References 

1.  J . C .  G E R D E E N ,  D . 1.  S I M O N E N ,  D . I.  H U N T E R ,  Large  Deflection Analysis  of  Elastic­Plastic  Shells Using 

Numerical  Integration,  A I A A  J .  9,  1971,  1012­  1018. 

2.  M .  T A N A K A ,  M .  H A M A D A ,  Incremental  Analysis  of  Elasto­Plastic  Shells of  Revolution  and  its  Application 

to  Practical  Design,  Physical  Non­Linearities  in  Structural  Mechanics,  1 U T A M  Symposium,  Senlis, 

1980,  Springer­Verlag,  Berlin­Heidelberd­New  Y o r k ,  1980,  257  ­  264. 

3.  M .  K L E I B E R ,  SHELAX­Finite  Elements  Analysis  of  Large  Deformation  of  Thin  Elastic­Plastic  Shells 

of  Revolution  (in  Polish)  Proc.  of  IPPT  P A N ,  1977. 

4.  Z .  W A S Z C Z V S Z Y N ,  Calculation  of  Sandwich  Shells  of  Revolution  at  Large  Elastic­Plastic  Deflections, 

Archives  of  Mechanics,  24  1972,  483  ­498. 

5.  Z .  W A S Z C Z Y S Z Y N ,  M .  R A D W A Ń S K A,  E .  P A B I S E K ,  Application  of  the  Initial  Value Method  to  Analysis  of 

Elastic­Plastic  Plates and  Shells of  Revolution, Comp&Stru.  16,  6,  1983,  761  ­  771. 

6.  M .  R A D W A Ń S K A,  Computation  of  Large  Deflections  of  Elastic­Plastic  Shells  of  Revolution  (in  Polish) 

I V  Conf.  Computer  Methods  in  Structural  Mechanics,  Koszalin  1979,  V o l .  2,  225  ­  239. 

7.  M .  R A D W A Ń S K A,  Numerical  Analysis  of  Postcritical  Deflections  Elastic­Plastic  Shells  of  Revolution 

(in  Polish)  V  Conf.  Computer  Methods  in  Structural  Mechanics,  Wroclaw  1981,  177  ­  184. 

S.  M . S.  K O R N I S Z Y N ,  S.  S.  I S A N B A J E W A ,  Flexible  Plates  and  Panels,  Nauka,  Moscow,  1968  (in  Russian). 

Р е з ю ме  

Н У М Е Р И Ч Е С К ИЙ  А Н А Л ИЗ  Б О Л Ь Ш ИХ  П Р О Г И Б ОВ  У П Р У Г О ­ П Л А С Т И Ч Е С К ИХ  

О Б О Л О Ч ЕК  В Р А Щ Е Н ИЯ  

У р а в н е н ия  б о л ь ш их  п р о г и б ов  и  м а л ых  д е ф о р м а ц ий  п р и м е н я ю т ся  к  а н а л и зу  у п р у го  п л а с т и­

ч е с к их  о б о л о ч е к.  П р е д п о л а г а е т ся  д в у х с л о й н ое  п о п е р е ч н ое  с е ч е н ие  т и па  „ с э н д в и ч"  и ли  а п р о к с и­

М а ц ию  с п л о ш н о го  с е ч е н ия  э к в и в а л е н т н ым  м н о г о т о ч е ч н ым  с е ч е н и е м. 

П р и м е н я ю т ся  у р а в н е н ия  т е о р ии  п л а с т и ч е с к о го  т е ч е н ия  к  м а т е р и а лу  с  к о м б и н и р о в а н н ым  

к и н е м а т и ч е с к о ­ и з о т р о п н ым  у п р о ч н е н и е м. 

К  и н т е г р и р о в а н ию  у р а в н е н ий  з а п и с а н н ых  в  к в а с и ­ л и н е й н ой  ф о р ме  и  р а з д е л ь н ых  к  о т н о ш е н ию  

к  п р о с т р а н с т в е н н ым  и  в р е м е н н ым  п р о и з в о д н ы м,  п р и м е н я е т ся  п о л у о б р а т н ый  м е т од  н у м е р и ч е с­

к о го  и н т е г р и р о в а н и я. 



188  M .  R A D W A Ń S KA 

Д ля  п о л о г их  о б о л о ч ек  п о т е ря  у с т о й ч и в о с ти  с в я з а на  с  п о л у ч е н и ем  в е р х н е го  г р а н и ч н о го  д а в­

л е н и я.  Н у м е р и ч е с к ие  в ы ч и с л е н ия  д ля  с ф е р и ч е с к их  о б о л о ч ек  н а г р у ж е н н ых  в н е ш н им  д а в л е н и ем  

у к а з ы в а ю т,  ч то в  з а в и с и м о с ти  о т  п а р а м е т р ов  о б о л о ч ки  и  у п р о ч н е н ия  м а т е р и а ла  в о з м о ж н ый  х л о­

п о к.  П о с л е к р н т и ч е с к не  п р о г и бы  з а в и с ят  с и л ь но  о т  р а с ш и р е н ия  п л а с т и ч е с к их  з о н,  в н у т р е н н их  

у п р у г их  р а з г р у з ок  и  в т о р и ч н ых  п л а с т и ч е с к их  д е ф о р м а ц и й. 

S t r e s z c z e n i e 

N U M E R Y C Z N A  A N A L I Z A  D U Ż Y CH  P R Z E M I E S Z C Z E Ń  S P R Ę Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y CH 

P O W Ł O K  O B R O T O W O ­ S Y M E T R Y C Z N Y C H 

R ó w n a n i a  d u ż y ch  u g i ę ć  i  m a ł y c h  o d k s z t a ł c e ń  są  przyję te  do  analizy  s p r ę ż y s t o ­ p l a s t y c z n y ch  p o w ł o k 

obrotowo­symetrycznych.  Z a k ł a d a  się  dwuwarstwowy  p r z e k r ó j  typu  ,,sandwich"  lub  a p r o k s y m a c j ę  peł­

n o ś c i e n n e go  przekroju  r ó w n o w a ż n ym  wielopunktowym  przekrojem. 

P r z y j ę to  r ó w n a n i a  teorii  p ł y n i ę c ia  plastycznego  dla  m a t e r i a ł u  z  mieszanym  kinematyczno­izotropo­

wym  wzmocnieniem.  D o  c a ł k o w a n i a  r ó w n a ń ,  zapisanych  w  postaci  quasi­Iiniowej  i  rozdzielonych  w z g l ę ­

dem  przestrzennej  i  czasowej  zmiennej  przyję to  p ó ł o d w r o t n ą  m e t o d ę  numerycznego  c a ł k o w a n i a . 

D l a  m a ł o w y n i o s ł y c h  p o w ł o k  utrata  s t a t e c z n o ś ci  jest  z w i ą z a na  z  o s i ą g n i ę c i em  g ó r n e g o  o b c i ą ż e n ia 

granicznego.  P r z y k ł a d y  liczbowe  dla  p o w ł o k  sferycznych  o b c i ą ż o n y ch  c i ś n i e n i em  z e w n ę t r z n ym  w s k a z u j ą , 

ż e  w  z a l e ż n o ś ci  od  p a r a m e t r ó w  p o w ł o k i  i  wzmocnienia  m a t e r i a ł u  m o ż l i wy  jest  przeskok.  Pozakrytyczne 

u g i ę c ia  silnie  z a l e ż ą  od  rozwoju  stref  plastycznych,  lokalnych  o b c i ą ż eń  i  w t ó r n y c h  u p l a s t y c z n i e ń . 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  25  stycznia  1983  roku