Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
1 S T O S O W A N A 

2/3, 21 (1983) 

S H A L L O W  S P H E R I C A L  L A T T I C E ­ T Y P E  S H E L L  S U B J E C T E D  T O  N O R M A L 
P O I N T  L O A D ­ F U N D A M E N T A L  S O L U T I O N 

T .  L E W I Ń S KI 

Politechnika Warszawska 

1. Introduction 

Theoretical  problems  occuring  i n  designing  of  the  shell  structures  subjected  to  con­

centrated  forces  require  special  methods,  which  make  it  possible  to  examine  stress  concen­

trations  around  the  loads.  In  particular,  it  is  worth  to  consider  specific  problems  o f  the 

lattice  shells  response,  i.e.  grid­,  perforated­,  or  ribbed  surface  structures.  In  the  present 

paper  there  w i l l  be  presented:  an  approximate  model  of  a  lattice  shell  behaviour  and  its 

application  to  the  special  case  of  a  spherical  lattice­type  elastic  shell  with  an  isotropic  and 

centrosymmetric  structure,  being  subjected  to  concentrated  normal  force.  The  proposed 

model  is  based  on  the  lattice  surface  structure  theory  developed  by  C .  W o ź n i a k,  [1]. Thus, 

the  engineering  problem  considered  here  can  be  reduced  to  the  analysis  o f  one  of  the 

fundamental  solutions  o f  the  theory.  Before  examining  this  solution  an  approximate  set 

o f  governing  equations  is  derived  on  the  basis  of  the  following  assumptions  often  used 

when  effect  of  local  loads  in  the  classical  shell  theory  is  considered,  cf  [2]: 

—  the  boundary  conditions  have  a  neglecting  effect  o n  the  local  response  of  the  shell, 

—  the  deformations  coresponding  to  the  concentrated  force  vanish  rapidly,  hence  the 

consideration  can  be  confined  to  the  small  (comparing  with  the  size  of  the  shell)  area 

around  the  point  load. 

The  last  assumption  makes  it  possible  to  carry  out  the  simplifications  analogous  to 

those  used  in  Vlasov's  shallow  shell  theory. 

2. Fundamental equations and basic assumptions 

Consider  a  point P  and  a  vector л  normal  at  this  point  to  the  mid­surface  of  the  shell, 
referred  to  the  coordinate  system  . v \ y. —  1,2.  The  plane  normal  to  the  vector л  contai­
ning P  is  denoted  by zip.  A  plane  coordinate  system xa  (obtained  via  parallel  projection 

o f xa  in  the  direction и  o n  л >)  is  assumed  to  be  i  one­to­one  correspondence  with  the 
parametric  lines xa.  The  metric  tensors  i n  plane  and  surface  coordinate  systems  wil l  be 

denoted  by gal)  and g^.  respectively.  In  the  course  of  the  procedure  the  coordinate  system 

xa  is  assumed  to  be  orthogonal. 



190 Т .  L E W I Ń SK 

A n  actual  configuration  of  the  shell  is  determined  by  functions:  и ", u,tP,v,  which 

stand  for  the  tangent  and  normal  displacements  and  rotations,  respectively. 

The  state  o f  strain  is  described  by  the  tensors  o f  plane  and  antiplane  deformation 

У *р ­ Hop,  i.e.  by  the  stretching  and  bending  strain  tensors: ya  denotes  antiplane  transverse 

deformations  while  x a  — plane  bending  deformations. 

The  state  of  stress  is  determined  by  the  membrane  stress  measures pajl,  the  bending 

(antiplane)  moment  tensor map,  the  transverse  (antiplane)  stresses pa  and  the  in­plane 

bending  moment  tensor  (polar  moments) ina. 

The  mentioned  quantities  here  satisfy  the  known system  o f equations  due  to Wozniak's 

lattice — type  shell  theory,  [1]. 

The  constitutive  relations  of  the  isotropic  shell  considered  herein  are  assumed  as 

follows 

(2  1) P a f i = ?'' Z°iPYa­° + 2fltYmb+2'xi' J W J J ' » « = С »" * « . 

т а р  =  A P  • gap • x".a + 2­ /л „ •  + 2a„  • x i m , pa= Cp­ya. 

M o d u l i  /.,. fii,  a,­, Ci  characterize  elastic  properties  related  to  the  plane  (/'  = t)  and  anti­

plane  (/  = p)  deformations. 

Inserting  the  relationships  (2.1)  into  the  equations  o f  equilibrium  and  utilizing  the 

strain­displacement  relations,  the  governing  set  p f  equations  is  obtained.  T a k i n g  into 

account  the  spherical  shape  of  the  shell  and  introducing  all  simplifications yielding  from 

the  approximation gap  ~ gapi  we  have 

[(/л , + a , ) V 2 ­ K 2 C P ] ua + (Д, + fi, ­ hi,) c9a8pup + 2 • a,  • ev1 dpb ­ KeapVp ­

­к ­  [2(/< ( +  ; . , ) + c p ] ^ » + f e a  =  o, 

(2.2) Щ Щ ф и р *  [ C ( V
2 ­ 4 a , ­ 4 A ­ 2  • (/х „ +a„]v + К • [Ct + 2(fip +?.р)]с ^ол + 1,  =  0, 

Cp • Keapup ­ К • [2(fip + A,) + Cp] 8av + [(//p +  a,)  V
2  ­ C„ ­ K2C,]v* + 

+ {pL„ + Xp ­ <xP) 8* 8pvp + Cp eap 8pU ­\­ha  =  0, 

A ' ­  ^ ( / / . ­ r / J ­ r C p K a K a ­ r C ^  =  0, 

where  a, ['i, a  =  1,  2,  p 2  = 8\ + 8\, eaft—Ricci  tensor, K=\/R, R—the  radius  of 

curvature.  The  components ba,btha,h  denote  resultants  due  to  the  effective  external 

forces  and  couples  measured  per  unit  area  of  the  middle  surface,  tangent  and  normal 

to  it,  respectively. 

In  the  course  of  the  derivation  we  shall  confine  ourselves  to  such  shells,  whose  elastic 

properties  and  response  under  local  load  satisfy  the  conditions 

( 2  jv  i . C, ^ d
2Cp <  8 * % 

i i . д /R <  I  i i i . L/R  <§ 1 

where  у —  a  parameter  characterizing  a  geometry  of  "microstructure"  o f  the  lattice. 

[fi] = in, L — the  wave  length  o f  the  deformation  pattern. 

It  can  be  proved,  that  the  assumptions  (2.3)  allowus  to neglect  the  underlined  terms 

in  (2.2),  dependent  on  the  second  powers  o f  the  radius  of curvature.  The  underlined  terms 

in  the  first  two  equations  result  from  an  influence  o f  transverse  stresses pa.  The  neglected 

quantities  in  the  fourth  and  the  fifth  equations  result  from  the  effect  of polar  moments ina. 



S P H E R I C A L L A T T I C E ­ T Y P E S H E L L 191 

The  assumed  simplifications are  weaker  than  those  of  Vlasov's applied  in  the  shallow­

shell  theory.  , 

3 . Normal point load — fundamental solution 

The  fundamental  solution  wil l  be  found  by  Fourier  transform  technique.  After  carrying 

out  the  double  Fourier  transformation  o f  the  equations  (2.2)  with  the  right­hand  sides 

6 a  = ha = h  =  0, b ­ P­  <Ч л
л)  • <H­Y2)  a n d  t n e n  expressing  the  inverse  transforms  in 

the  polar  coordinates г , Щ х1 = rcosd,x2 =  rsin#)  and  finally  carrying  out  the?? — 

integration,  we  obtain 

0 0  

\u2\ In  j s i n t f j 'J M(y) 

ran  H P C>   1  s i m ? !  f  r 2 [ ­ ( 2 / i ' + W + ^ 2 ( 2 ^ + 2 ^  + ̂ )]J1(y1r)dy 
l *  '  K )  2­7Г  I — cos??)  J  M ( y ) 

v = 0, 

i 
00 

„  =  Л  Г   " • y I G f e ­ m O
t > + « > )  ' У 4 +  Р ,  + W  • у2­К2С2р] • S0(yr)dy 

2л J  Af(y) 

M ( y )  =  (2/*, +  A,)  • 0 « р + atp) ­С „­у
ь + К2{цр + <xp) • [4//,  • ( Я ,+ / О  ­

­  С А ( 4 ^ , + 4 А , +  С „ ) ] у
4 + 4 К 2 м , • (/и , +  Я , ) С,  • у 2  ­

(3.2)  ­ 4 А :4 С ­ i/it+Ц , 

where  J ,  are  the  Bessel  functions  o f  the  first  k i n d  o f  order v. 

Let  us  introduce  the  dimensionless  variables  r  =  r / / 0 ,  у  =  у  • / 0  where 

(3.3)  / 0  =  [ ( ( 2 / г ( +  A,)G"„ +  0 ) / ( 4 K
4 C , ,  • (//,  +  / , ) ) ] ' 

The  quantity  / 0  exists,  provided  the  elastic  moduli  satisfy  the  inequalities: ц , + Х , >  0, 

ц < >  0, fip  >  0, xp  >  0,  C p  >  0,  resulting  from  the  positive  definiteness  o f  the  elastic 

potential  of  the  shell.  Equations  (3.1)  take  the  form 

К 1 P • / 0 [ 2 С а, +  Л ) + Cp] • К  |cos#) r y2 .(y2 + c ) . ­r)dy 

\u2\ In­Cp­(2fit + t.t)  * l s i n ? ? j J  H'(y) 

(3 4)  M  ­  _ P " / o  J ~*Ы%  f  ( y 4 ­ f e o  • Й 2 )  J i ( y • 
U ­ J  2 я ­ 0 ир ­ Ь ар )  J  cos??I  J  *Г (у) 

GO 

=  Я  Г  ( у
4 + r f 2 у

2  + i / 0 ) i y  • Jo(y  • r)dy 
2­л ­Ср  J  TO 



192 Т . L E W I Ń SK 

where 

(3.5) W(y) =  w ( y 2 ) ,  «i(z) щ z 3 + a 4  •  Z
2 + e * Z ­ l , 

2 C P  • ( ; /, +A,)  [ 2 ^ + 2 Л + Ср ] 

'  ( ^ > ~ а л ) ­ " ( 2 ^ ; + ' 2 Д , + С р )  "
  0 (2(i, + Л ,) 

«  _  A T 2 ­ [ 4 ^ ,  + A , ) ­ C p ­ ( 4 / / t + 4 A f + C p ) ] ­ / 0  С р  • /
2 

­  =  4 • л :
2 • / $ • ( > , + A ,)  g  = 

( 2 ^ + А , ) ­ С аР + а р )  '
  0  (2/г, + А ,)  • 0 Р + а р )  ' 

The  series  expansions  o f the integrals  (3.4)  with  respect  to the variable r  depend on 
the  roots  o f the  polynomial w. In view o f the  obvious  fact,  that  one of the real  roots  is 
positive,  the  polynomial a> can be  written  in the  form 

">0)  =  ( z 2 ­ « 2 ) ­ ( 2 2 + c 2 ­ r  + c 0 ) ,  c 0  > 0. 

Let  us  consider  the  three  c a s e s u 

1.  The polynomial p(z) = z2 + c2z+c0  has no  real  roots,  so that  the  following  ine­
quality  hold  true 

i3 
(3.7)  . \±a2~5l) + | ­ ( f l 2 e * + 3 ) ­ ~ a l j  " ­

Thus  the  polynomial W  can  be  written  in the  form 

W(y) = (y2­a2)­(y2 + sy + q)­(y2­s­y+q), S,qeR 

2.  The  polynomial p(z) has  positive  real  roots. W{y)  takes the form 

W(y) = (y2­a2)­Cy2­b
2)­ (y2­c2), b, с > 0. 

3.  The polynomial p(z)  has negative  real  roots.  Hence,  we  have 

Щ у }= (у2­ч2)­(у2 + Ь2)­(у2 + с2), b,c>0. 

T o  carry  out a  complete  analysis  of the  behaviour  of functions W,и ,©",  the cases 

1 ­ 3  w i l l  be  considered  separately. 

A d .  1. Decomposing  the integrands  in (3.4)  into  a  sum  of simple  fractions  and using 

the  definitions  ( 1 ,  2)  of special  functions  examined  in the Appendix, we find 

(3.8) 

It i  I  I cos i)\ 
M i  (r, p \  = ^(gl(r, a); h\«\(r: s. q); h\^(r; sjq)) ;  j , 

К  1  ч  | ­ s i n # | 
\ v (F, ») l ^ f c f , «): Щ (r; s, q); b\

sh(r ;s,q))l  ^  fl  j , 

n(r,  Ą  = &ЫГ>  « ) ; W ;  v, 4);  ftjSSfc s, </)),  г ­(г, 0) = 0. 

The  expression  ! Ј ( / , ;  . . . ; / „ )  means  the linear  combination  of the  functions  / , .  . . . , / „ • 

A d  2. Proceeding  similarly  as in the first  case,  the  equations 

' The case of double roots is omitted. 



S P H E R I C A L L A T T I C E ­ T Y P E S H I I L 193 

("i  1  ч  | c o s # | 

I1  i f ,  0))  =  ftttf  &)i  ś . O1 . с ) )­  j s j n ^  j , 

( 3 9 )
  1̂ 1  1  ч  | ­ s i n  01 

j C 2 ( ' ­ . * ) } = #Ы г ,а );81(г ,Ь );81С г ,С ))­j 

H ( ? ;  0)  = x(g0(r,  o)s  g o ( r , f t ( r ,  с ) ),  f>(?i  =  o. 

are  obtained. 
A d  3.  In  this  case,  we  have 

| u ,  1  fcos#| 

(3.10) h  (r,  0)}  = &{gxę , a);J\(r, byj^r, с ) ) ­ { ~ ^ |. 

u(r,  0)  .  ^ ( g 0 ( r , a);f0(r,  b ) ; / D ( F ,  с ) ).  ó ( r ,  0)  =  0. 

Strains  and  stresses  can  be  found  with  the  aid  of  the  straindisplacement  and  consti­

tutive  equations. 

The  results  obtained  in  the  Appendix  enable  us  to  prove,  that  in  each  of  the  cases 

considered  above  functions ua, u, v*  in  the  vicinity  o f  point P  can  be  approximated  by 

tuA  [ Ł / , c o s 0 | ivA  | ­ K , s i n # l 
(3.11)  I  } ~  „  •  ­  [ т ­ l n r,  {  1 ~ J  v  „  r i m  u ~ U •  In  r . 

Hence,  the  following  singularities of  the  components  of the  state  of stress can  be  found 

(3.12) 
Pa.* ~ Pay. • In/'­ Pi "У Р *1Г Т ­, P12 = P2] = p2 =  0, 

t 

map ~  М а /г  • Inr. m2  ~  M 2 • r • l n r ,  rfij  =  0. 

4.  G r i d  shell 

The  results  obtained  at  Sees.  2  and  3  can  be  applied  to  the  analysis  of  a  grid  shell of 

isotropic  structure.  The  considerations  w i l l  be  confined  to  the  so  called  geodesic  lattice 

domes  constructed  by  three  families o f  bars,  formed  on  the  basis  of icosahedron  by  means 

of  the  known  methods,  due  to  Fuller  [3]  or  Tarnai  [4],  cf.  [5].  The  desired  properties, 

namely  the  isotropy  and  centrosymmetry  are  satisfied  with  the  sufficient  accuracy  for  the 

engineering  practice.  Effective  elastic  moduli  o f  such  structures  have  been  given  in  [1]; 

it  is  worth  mentioning,  that  the  relations  =  /<; — xt, i  = p, 1,  hold  true.  In  the  case  of 

slender  bars,  conditions  (2.3),  are  satisfied.  Furthermore  it  can  be  proved,  that  for  a l l 

real  grid  shells  of  this  structure  the  inequality  (3.7)  is  v a l i d ;  thus  displacements  and  rota­

tions  of nodes  are  approximated  by  means  of  the  formulae  (3.8).  •  

Л  quantitative  analysis  of the  response  of geodesic  grid  shell  subjected  to  normal  point 

l o a d  will  be  presented  in  a  separate  paper. 



194 Т . L E W I Ń S KI 

5.  Concluding  remarks 

l a  the  paper  one  version  o f  simplifications of  the  governing  system  o f  equations  о  

Wozniak's  lattice­type  shell  theory  has  been  proposed.  The  aim  of the  model  is to  describe 

special  type  of  deformations  occuring  in  shells  subjected  to  local  loads.  A n  analysis  o f 

the  response  of  the  spherical  lattice  shell  to  the  normal  point  load  confirmed,  that  the 

model  is  useful  to  both  quantitative  and  qualitative  considerations.  In  particular,  it  is 

possible  to  prove,  that  in  the  case  considered,  the  singularities  o f  the  displacements  and 

stresses  are  o f  the  same  order  as  those  i n  the  classical  Reissner*s  type  theory  o f  shells, 

c f  (3.11  ­3.12)  and  [2]. 

Nevertheless,  the  proposed  model  can  not  be  used  when  boundary  value  problems  o f 

shallow  lattice  shells  are  considered  since  there  the  governing  set  of  equations  does  not 

satisfy  the  strong  ellipticity  condition. 

6. References 

1. C z . W O Ż N I A K, Lattice­type surface structures, P W N , Warsaw 1970 

2. S T . L U K A S I E W I C Z , Local loads in plates and shells, P W N , Warszawa 1976 

3. R . В . F U L L E R , Geodesic Tent. United States Patent Office, patent 2 914, 074, Nov. 24/1959 

4. T . T A R N A I , Spherical Grids of Triangular Network, Acta Technica Aeademiae Scientarum Hungaiicae, 

Tomus 76, 3 ­ 4 , 1974, pp 307­336 

5. Manual for Metallic Structures Designing, ed. W . Bogucki, vol. 2, Arkady, Warsaw 1982 

6. F . O B E R H E T T I N G E R , Tables of Bessel Transforms, Springer Verlag, Berlin 1972 

7. M . A B R A M O V I T Z , 1. A . S T E G U N , Handbook of mathematical functions, National Bureau of Standards, 

Applied Mathematics series 55, 1964 

8. J . G . S I M M O N D S , M . R . B R A D L E Y , The fundamental solution for a shallow shell with an arbitrary quadratic 

midsurface, J . of A p p l . Mech., Trans, of the A S M E , 1976, June, 286­290 

Appendix 

Evaluate  the  improper  integrals 

00  00  '  "V 

f,(y,a) = ) 2 , * C y , « )  = J хг _аг  
о 0 

( I ) 
Г SAx­y)x»dx 

>>,,Xy;r,q) = ) x 2 + r , 
0 

v, fi = 0, \, a,q,r e R 

+ q  ' ­4q + r2  <  0, q >  0 . 

In  the  paper  the  following  functions  are  also  used 

Щ (у ; r,ą )  = KJy;r,ą)+Kl„(yi ­r,q), 
( 2 )  .  О У; r, q) = KJy;  r , q)­h,Jy; ­r,q). 

I.  Integrals fr, g„ 
Accordin g  to  the  tables  [6],  we  have 



S P H E R I C A L L A T T I C E ­ T Y P E S H E L L 195 

(3) 

fi(y,u) = ­

fo(y, a) = K0(a • y), • g0(y, a) = ­ ^ • Y0(a • y), 

J ­ К i (a • yĄ, gi (у, a) = ­ У [ | • У, (a, • y) + fl;y 
where  Y 0 ,  Y 1 ; K 0 , K t  are Bessel  functions  and  modified  Bessel  functions  o f order  zero 

and  one,  [6, 7].  Expansions o f / . , gv  in  the  vicinity  of у =  0, take  the  form 

(4)  fo > go ­lny, ~ ­ 2 • у lny. 

2.  The  integrals hVilt 
The  author  has  not  fiund  expansions  of  the  integrals hVifl  in the available  monographs 

on  the special  functions.  A method  of evaluating  o f  the  integrals  based  on the  Poisson's 

integral  representation  of  Bessel functions  is presented  briefly.  Some  ideas  o f the proce­

dure  has been  taken  from  the paper  of Simmonds  and  Bradley,  [8],  where  the integral 

+ 00  +00 

Г Г txp{­i(z­x+i3­y))dxd[3 

J  J (x2 + f32)2 + i(a2 + kf32) ' V ' h 
— 00  —  00 

has  been  examined. 

Starting  from  the identity 

(5) x"­ (x2 + r­ x+q)­1 

where: 

2Ы  
f­J  L _ \ + ^ . / _ J _ _ _ L _ ) 

— r fi = Q, 1, %x = a+bi, f 2 = а —Ы , a = ­ ~ , b=\q­
r 

T 

2 

one  obtains 

(6) 
* J > ?  '•• Ф =  | Ь 7  ( Н У ­  Н <?,)) + Т  • <>,„ • ( Н $ + Н <?„>), 

0 0  

u (А) _  Г  J v( X >')^ 

Recalling  the  integral  representation  of Bessel  functions  J , 

(7)  Jv(x • у ) m ~— \ t­^­^v • oosvadw,  Л » 6 , 1 , 
1 • n J 

and  interchanging  of orders  o f integrations,  we  find 

(8) 
JJl  00 

Щ ­ I f c o s , , • F£(<p)d<p,  Fż (y, V) ­ / C X P ( i ^ , 

•7­



196 Т . L E W I Ń S KI 

where o>(<p) = — у cosc..  The  function F't can be expressed  by means  of the complex 

exponential  integral 

(9)  V)  ­  е ^ я Ь д (|  •  w • с л ) +  ­  • (1 +sgn(Re
;:;.))  • ( s g n ^  +  sgnCIm^))}. 

F o r  the sake  of brevity  the proof  is  omitted.  Expanding  ZT,  into  power  series,  inserting 

(9)  to (8),  and  carrying  out  the rp  — integration  with  the  aid  of  the  equations 

2л  

(10) 

О Д) 

2n 
cos4xdx = 

2k 

l . l , 
n  =  2 A + 1 , к = 0,  1, 

2т с  
cos"*  • l n l c o s x j d x  = 

2~2k • (2k)l 
n = 2k 

J ­­k   (k+j)\­(k­j)\ 

0  / i =  2 A ­ H , к == 0 . I, ... 
where: 

(12) 
2л­

­ I n 2  fc = 0 
( _ ! / + • 

A. =  ± 1 , 
2­\k\ 

± 1 , 

2тг  

/   Sgfl(  — COSJC)  • cob"xdx = 
0 

0  n = 2A, 

1 
ti __ 2 А ­ И  

2" 'k­ (l',1) 
»1  — 2 А ­ И  

the  expansions  o f the  complex  functions Hjfy  and  real  functions hVJl  are found.  Finally, 

we  obtain  >. 

00  00 

(13)  h0,0(y;r,q) = i  •  In г • J > \ : „ ­ / ^ ( 0 )  • y
2"+  ~  •• ̂   ' i>2n+1 • 'fs^(^)  •  y 2 " *' + 

i о  

00 

+ < 2 ' Щ ( 0) ­ 5 2 . Я " , 
0 

00  00 

0 0 

a j i ;  00  •  . 

+  У ^ ^ )­  s 2 n + 2 ­ y
2 n + \ 



S P H B R I C E A L L A T T I C E ­ T Y P E S H E L L 197 

со  

ho, O': г ., 9) = lny • 2  ("fc 'fflty^fflW ' <2Г + 
о  

00 00 

(13)  [cont.] + у ­  У  (I • <; 2 n + i  • у
2 " 4 1 + ̂  Л о Г, • ̂ „ •  .V 2 ", 

о о  

0 0  

л . .. о >;  г ,  q)= ­ i n |  •  V ( ? / i : > w + y c : o ( ^ ) • v , „ + 2 • у
2 п + 1 + 

о  
00 00 

+  2  ­ У ,  ( • i t ' W ­ z ^ w k .  • У 2 " + •  • > , 2 И +' ­
о о  

where у = у • Q, о = q*'2, cos& = ­x/lfq, sin& >  0. 
The  functions  Д ">(#). i = S, C,j = s, с are the coefficients  in the series  expansions 

S h ( x ­ s i n # ) ­

(14) 

s i n ( x ­ c o s , ? n  _  у | Л : Ч * ) 1  2 n 

cos(x  • cosh]  "  Z '  W W !  *  ' 

| s i n ( x c o s # ) I  v i ^ W ­ x l  , 
C ^ ­ s i n ­ ^ ­ { c o s ( x . c o s W  =  2(  / W )  K ' 

In  order  to  save  space,  the complex  definitions  of the  coefficients  Л£"̂  will  not be given 

here. 

In  the  neighbourhood  of  point  у  =  0  the  series  expansions  (13) with  the  first  few 

terms  written  out  explicitly  have  the  form 

,  ,  ч  sin2#  . ,  , n­§  1 
К л К У ,г , q) ~ . • y2 • \ny+ — ­ „ • y, 

4 o ­ s i n #  « ­ s i n . 9 2<j 

h,.o(y,r,q)  ~  ­  i  ­ In г ­ v+  ~  • [ctg#­(7r­*V) + ( l n 2 ­ r / ; ­ ! ) ]  ^ ' " ^  •  r
2 , 

2e 

4­ sin,9 
( , 5 ) ViO'i'%</) | n y + , S ' ° f A ' J ' 2 • In j ' — г • c o s # , 

V i t v ; ' • , < / )  ~  c o s # ­ j ­ l n v + 5  +  2 s ^ ­ [ ( ^ ­ ^ ) ­ c o s 2 / ż  + ( l n 2 ­ y Ł . ­ 0 , 5 ) s i n 2 ^ 4 V 

where  y £  s  0.5772 — Euler's  constant.  Hence,  for  г = 0 

/'o,o  =  (.T­#)/(o­sin#),  /;,,„ =  0.  Л ,,, = 0,5. 

The  function  /.„,,  has a  logarithmic  singularity  at  point  у  = 0. 

6 Mech. Teorct i Stos. 2—3/83 



198 Т . L E W I Ń S KI 

Р е з ю ме  

Д Е Й С Т В ИЕ С О С Р Е Д О Т О Ч Е Н Н ОЙ Н О Р М А Л Ь Н ОЙ С И ЛЫ Н А П О Л О Г У Ю, 

С Ф Е Р И Ч Е С К УЮ С Е Т Ч А Т УЮ О Б О Л О Ч К У ­ Ф У Н Д А М Е Н Т А Л Ь Н ОЕ Р Е Ш Е Н ИЕ  

В р а б о те п р и в о д и т ся с т а т и ч е с к ий а н а л из п е р е д а чи н о р м а л ь н ой с о с р е д о т о ч е н н ой с и лы на  

с ф е р и ч е с к ую с е т ч а т ую о б о л о ч ку о и з о т р о п н ой и ц е н т р о с и м м е т р и ч е с к ой с т р у к т у р е. П р и м е н е но  
т е о р ию с е т ч а т ых о б о л о ч ек В о з н я к а. П р е д с т а в л е на п р о б л е ма п р и в о д и т ся к а н а л и зу о д н о го и з ф у н­

д а м е н т а л ь н ых р е ш е н ий э т ой т е о р и и. 

В п е р в ой ч а с ти п о л у ч е ны п р и б л и ж е н н ые у р а в н е н ия р а в н о в е с ия ( в с м е щ е н и я х) б а з и р уя на  
п р е д п о л о ж е н и ях о т н о с и т е л ь но с л а б ш их о д т и х, п ри п о м о щи к о т о р ых В . 3 . В л а с ов с ф о р м у л и р о­

в ал т е о р ию п о л о г и х, о д н о р о д н ых о б о л о ч е к. 

Ф у н д а м е н т а л ь н ое р е ш е н ие н а й д е но с п о м о щ ью и н т е г р а л ь н ой т р а н с ф о р м а ц ии Ф у р ь е. П р о­

а н а л и р и з о в а но с и н г у р я р н о с ти п е р е м е щ е н и й, д е ф о р м а ц ий и н а п р я ж е н и й. 

S t r e s z c z e n i e 

D Z I A Ł A N I E  N O R M A L N E J  S I Ł Y  S K U P I O N E J  N A  M A Ł O  W Y N I O S Ł Ą  S I A T K O W Ą  P O W Ł O K Ę  
K U L I S T Ą  — R O Z W I Ą Z A N IE  P O D S T A W O W E 

Przedmiotem  pracy jest  analiza  statyczna  niewielkiego  obszaru  sferycznej  p o w ł o k i  siatkowej  o  struk­

turze  izotropowej  i  centrosymetrycznej  w o k ó ł  punktu  p r z y ł o ż e n ia  normalnej  siły  skupionej.  Wykorzy­

stano  t e o r i ę  p o w ł o k  siatkowych  W o ż n i a k a.  Postawiony  problem sprowadza  się  do  analizy jednego  z  roz­

w i ą z ań  podstawowych  tej teorii. 

W  pierwszej  c z ę ś ci  pracy  wyprowadzono  r ó w n a n i a  przemieszczeniowe  m a ł o  w y n i o s ł e j ,  sferycznej 

p o w ł o k i  siatkowej.  Przyję to  z a ł o ż e n ia  relatywnie  s ł a b s z e  od  u p r o s z c z e ń  W . Z .  W ł a s o w a  b ę d ą c y ch  pod­

stawą  teorii  jednorodnych  p o w ł o k  pologich. 

R o z w i ą z a n ie  podstawowe  znaleziono  za  p o m o c ą  c a ł k o w e j  transformacji  Fouriera.  Zbadano  rzę dy 

o s o b l i w o ś ci  s k ł a d o w y c h  stanu  przemieszczenia,  o d k s z t a ł c e n i a  i  n a p i ę c i a. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  26  stycznia  1983 roku