Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


\  

M E C H A N 1  K A 
T E O R E T Y C Z N A 
l  S T O S O W A N A 

2/3,  21  (1983) 

ST 

N U M E R I C A L  C A L C U L A T I O N S  O F  N O N L I N E A R  EQUILIBRIUM  PATHS  FO R 
S P H E R I C A L  C A N T I L E V E R  S H E L L S 

J K R Z Y  G O L  A S 

WSI  Opole 

Z Y G M U N T  К. A S P E R  S к  I 

WSI  Opole 

A N N A  P E E R ­ K A S P E R S K A 

WSI  Opole 

1.  Introduction 

In  the  paper  some  results  of  the  nonlinear  static  analysis  for  the  axisymmetric elastic, 

thin  spherical  cantilever  shell  has  been  presented.  It  is  assumed  that  the  shell  is  subjected 

to  the  conservative  load  characterized  by  a  single  scalar  parameter  ).. The  static  analysis 
has  been  performed  by  means  of the  finite element  method.  In  the  algorithm  the  equations 

of  the  geometrically  nonlinear  S A N D E R S ­ K O I T E R  shell  theory  are  taken  into  eccount. 

Each  point  on  the  equilibrium  path  has  been  determined  from  the  solution  of  the  system 

of  nonlinear  equilibrium  equations  by  N E W T O N ­ R A P H S O N  method  with  the  possibility 

of  a  change  of  control  parameter  [1]. 

2 .  Fundamental  relations  and  equations 

We  outline  below  some  relations  and  equations  of  a  proposed  algorithm.  M o r e  details 

one  can  find  in  the  unpublished  paper  [2]. 

We  assume  that  the  generating  line  of the  rotational  shell  midsurface  is given  by  equa­

tion  r  =  r(z),  z  e  [ z i , zN+1].  Division  into  the  finite elements  is performed  by  the  sequence 

of  values  zx,  z N + l .  Thus  we  obtain  the  finite  element  as  a  cone  with  curvilinear gene­

ratrix.  In  order  to  obtain  fundamental  relations  for  an  element  the  local  parametrization 

o f  generatrix  s  =  s(z)  is  introduced.  F o r  a  case  of  axisymmetric  load  the  displacement 

field  of  a  shell  midsurface  is  a  function  o f  one  variable  s  only,  й  =  it(s). Tangential  and 

normal  components  o f  this  field  we  denote  by  и  and  u',  respectively.  Defining  the  nodal 

displacement  vector  o f  on  element  by 

(2.1)  {Ц е У  =  [",­,  и \,  w,,psl;«,+  , , M )  +  1 ,  w,+  , , / 3 s l +  J
7 " ,  ( i ' =  1 , 2 , . . . , A ) , 

6 * 



200  J .  G O L A S ,  Z .  K A S P E R S K I ,  A .  P E E R ­ K A S P E R S K A 

we  assume  the  approximation  o f components  и and w of the  displacement  field  for  /­th 
element  in the form  of the  3­rd order  polynomial with  respect  to s. 

The  potential  energy  of the  shell  is  given  by the  sum 

( 2 . 2 )  Р (и) =  U(u) + V(u)  =  J Ј  Vе  + £  V, 
N  N 

where 

( 2 . 3 )  U'  = n j  j  (е * + е £ + 2г е >св)  +  (x
2  + xl  +  2vxsx<Ą rds, 

is  a  strain  energy  of an  element  and 

( 2 . 4 )  Vе  =  ­ 2 . ­ Г j  (pww+puu)rds  =  ­2nX J  (pw +  qu)rds, 

о  0 

is  a  potential  energy  of a  conservative  load  with  components:  normal p„ =  ?.p and  tan­

gential  pu  = ?.q. 

The  strain  — displacement  relations  may be  written  in  the  form 

i  '  02  o'  ­  sin0  0 

e,  =  fi@  =  у  (Msin(^ + w c o s 0 ) ,  ft  =  w' + Ф 'м,  ()'  =  ­ ^ ­ ( ) , 

where  0  is the angle  between  axis o f revolution and tangential  to shell's  meridian. 

The  strain  energy  ( 2 . 3 )  after  substituting  relations  ( 2 . 5 )  can be  expressed  by  U' = 

—  U[+U%r.  where  term  Usi. contains  displacements  and  their  derivatives  to  the  power 

not  exceeding two. 

The  equilibrium equations  o f a  shell can be obtained  from  the  stationarity  condition 

of  potential  energy  д Р ( й ,  ).; bit)  = 0, where  bu is an  arbitrary  kinematically  admissible 
variation  o f a  displacement  field.  Hence 

( 2 . 6 )  W{q}  =  4Q)­{Q4{q})}, 

where:  [K]  is a  classical  stiffness  matrix,  {q} is a  vector  of axisymmetric  nodal  displa­

cements.  {Q} is a  vector  of unit  loads.  {Q*} =  | |  ' s  a  vector  of  "pseudo­forces". 

The  system  of nonlinear  equations  ( 2 . 6 )  is solved  by the use the  following  version of 

an  iterative  N E W T O N ­ R A P H S O N  method: 

<7° —  initial  approximation, 

( 2 . 7 )  [ * + ­ ^ ( g " ) J z V "
 +  l  =  ­{Kqm  + Q*(qm)­?.Q},  for m =  0 ,  1 , 2 , 

where  Aqm+l  =  q m + i ­ q m . 

W e  can distinguish  two  cases. 

К Л—=—  is  well  — conditioned  in  the  neighborhood  o f  a  solution 

q  =  q(X). 



N O N L I N E A R  C A N T I L E V E R  SHELLS  201 

.  I  SO* 
m  [K+­  W 

2"  The  matrix  A"+.  .  is  i l l  — conditioned. 

In  the  first  case  we  calculate  displacements  q  =  q(?.) using  iteration  procedure  (2.7). 

In  the  second  case  we  assume  that  one  component  qr  of  a  vector  q  is  given  but  A is  unk­

nown.  Then  (2.7)  can  be  written  in  the  form 

(2.8)  ^ + i ^ L ( § » ) | z i § » + i  =  ­{Kqm+Q*(9m)­qrT}, 

where:  [K]—  is a  modified  matrix  [A'] obtained  via replacement  of  r­th  column  by  vector 

{Q}>  { Г }  — r ­ t h  column  of  the  matrix  [A'] 

~m  \nm  nm  Jm  nm  / i " 4 T 

4  =  Ш >  • ••  >  Ч г ­\ >  A  >  Qr+\,  qn\  •  

T o  obtain  Aqm  +  1 , Aqm  +  1  we  use  methods  presented  in  details  [1].  Initial  iterate  <?°(A) 

for  a  given  <?(/,)  and  # ( Я 2 )  '
s  calculated  from  the  formula 

(2.9)  q°(X)  =   qTb)*.  {«&)­*&)}•  

Using  displacements  {q)  —  (<?(A)}  we  can  calculate  stress  resultants  in  the  usual 

manner. 

3.  Numerical  examples 

Using  the  forementioned  algorithm  and  a  computer  program  some  numerical  exam­

ples  have  been  computed.  Computer  O d r a  1204  was  used.  Calculations connected  with 

the  numerical  integration  of  the  stiffness  matrix,  aggregation  o f  a  matrix,  boundary  con­

ditions  etc.  were  based  on  methods  presented  in  [3]. 

The  shallow  spherical  cantilever  shell  subjected  to  the  uniformely  distributed  load 

was  considered  (see  F i g .  1). 

In  examples  N o  1 and  N o  2  the  thickness  of  the  shell  is  constant  but  heights  H  are  diffe­

rent.  In  example  N o  3  we  have  linear  thickness  distribution. The  shells  are  divided  into 

ten  finite  elements.  The  displacement  of  the  shell  external  node  for  the  three  mentioned 

[)  = Лр  = 02  Л N/mm2  i  Examples: 

E  ^OOkN/łnm2  L  №1  : H = 4.0mm 

v=V3  t  l  h  = 0.4096  mm 
R  = 202mm 

H 

­  ­ 4 J  • •  ih  R = 224mm 

t, = Hi)  mm 
r­ =  4 0 r r ' m  , n m  h,= 0.5596mm 

ю  h,.=  0.2596mm 

Fig.  1 



202  J .  G O L A S ,  Z.  K A S P E R S K I ,  A.  P E F R ­ K A S P K R S K A 

examples  is  shown  in  F i g . 2.  In  the  vicinity  o f  the  equilibrium  path  vertex  the  control 

parameter  л was replaced  in  (2.7) by component  o f displacement  vector  w, t ,  (3ly  and 

Calculations  for  particular  values  o f  control  parameter  ended,  when 

max[Aq';,+  '  <  1 0 " 6 

axisymmetric  displacementsof  the  node 11 

Fig.  2 



N O N L I N E A R  C A N T I L E V E R  S H E L L S  203 

where  q\— denotes the /­th component of displacement  vector  in /'­th iteration  step.  F o r 

the  error  above defined  each  point  on the path  was calculated  by means o f 3 ­ 4 iteration 

(2.7).  In  F i g .  3 rotations ft of nodes 3,5 and 7 are shown.  The  values  o f the stress  resul­

tants for example  N o 1 are shown  in F i g . 4, where by dashed line  on the plots  of bending 

moments  M„ the  values  from  the  example  N o 3 are  marked. 

Fig.  4 

References 

1.  Z . K A S P E R S K I ,  Numerical  compulation of curvillinear  equilibrium paths for onedimensional elastic systems. 

Mechanika  Teoretyczna  i  Stosowana,  (in  Polish,  to  appear). 

2.  J. G O L A S  et al., Numerical  solutions of shells  of revolution  using linear and geometrically nonlinear  theory 

of  elastic and finite  elements  method,  Research  supported  by Polish  Academy  of  Sciences  under  Grant 

05.12,  Department  of  Structural  Mechanics,  Polytechnic  College  in Opole,  1977 ­ 1980. 

3.  J . G O L A S ,  Z .  K A S P E R S K I ,  Numerical  calculations of  shells of  revolution  by finite  element method,  (in 

Polish),  Polish  Scientific  Publishers.  Warszawa ­ Wroclaw  1978. 

P  e 3 ю  M с  

Ч И С Л Е Н Н ОЕ  Р Е Ш Е Н ИЕ  З А Д А ЧИ  Н А Х О Ж Д Е Н ИЯ  К Р И В ОЙ  Р А В Н О В Е С ИЯ  Д ЛЯ  

С Ф Е Р И Ч Е С К ИХ  К О Н С О Л Ь Н ЫХ  О Б О Л О Ч ЕК  

П р е д с т а в л е ны  р е з у л ь т а ты  ч и с л е н н о го  а н а л и за  с т а т и ки  т о н к ой  с ф е р и ч е с к ой  о б о л о ч к и.  П р и­

н и м а е т ся  г е о м е т р и ч е с ки  н е л и н е й н ую  т е о р ию  о б о л о ч ек  С А Н Д Е Р С А ­ К О Й Т Е Р А.  Н а г р у з ка  о б о­

л о ч ки  о п и с ы в а е т ся  о д н им  с к а л я р н ым  п а р а м е т р ом  А, а  ч и с л е н н ый  а н а л из  п р и в о д и т ся  м е т о д ом  

к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  В се т о ч ки  к р и в ой  р а в н о в е с ия  н а й д е ны  п у т ем  р е ш е н ия  н е л и н е й н ой  с и с т е мы  
у р а в н е н ий  м е т о д ом  Н Ь Ю Т О Н А ­ Р А П С О Н А. 



204  J .  G O L A S ,  Z .  K A S P E R S K I ,  A .  P E E R ­ K A S P E R S K A 

В  п р о г р а м ме  на  Э ВМ  ( I )  с у щ е с т в у ет  в о з м о ж н о с ть  з а м е ны  п а р а м е т ра  Я  п р о и з в о л ь н ой  н е и з­

в е с т н ой  с и с т е мы  у р а в н е н и й. 

S t r e s z c z e n i e 

N U M E R Y C Z N E  O B L I C Z A N I E  K R Z Y W O L I N I O W Y C H  Ś C I E Ż EK  R Ó W N O W A G I  D L A  P O W Ł O K 

S F E R Y C Z N Y C H  O  K O N S T R U K C J I  W S P O R C Z E J 

W  pracy  przedstawiono  wyniki  nieliniowej  analizy  statycznej  dla  osiowosymetrycznej  pracy  cienkiej, 

sprę ż ystej  p o w ł o k i  sferycznej  o  konstrukcji  wsporczej.  Z a ł o ż o n o,  że  p o w l o k ą  poddana  jest  o b c i ą ż e n i em 

zachowawczym  charakteryzowanym jednym  parametrem  skalarnym  /., a  a n a l i z ę  s t a t y c z n ą  przeprowadzono 

m e t o d ą  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  W  algorytmie  przyję to  geometrycznie  n i e l i n i o w ą  t e o r i ę  p o w ł o k  San­

dersa­Koitera.  K a ż dy  punkt  na  ś c i e ż ce  r ó w n o w a g i  uzyskano  przez  r o z w i ą z a n ie  nieliniowego  u k ł a d u  r ó w n a ń  

r ó w n o w a g i  m e t o d ą  Newtona­Raphsona  z  m o ż l i w o ś c ią  zmiany  parametru  s t e r u j ą c e go  [1]. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  31  stycznia  1У К З roku 

\