Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2/3,  21 (1983) 

S T A B I L I T Y  P R O B L E M  O F A  S H A L L O W  C O N I C A L  S H E L L  U N D E R  L A T E R A L 

P R E S S U R E 

S T E F A N  J  O N I А К  

Politechnika  Poznań ska 

F E R D Y N A N D  T W A R D O S Z 

Politechnika  Poznań ska 

1.  Stability  Equations 

Fig.  1 

The  set of stability equations  for a conical  shell  under  external  pressure  is o f the  f o r m : 

( 1 ) V2V2F-Eh  Jctg/9 

( 2 )  D V 2 V 2 v v + ctg/5 

J 82w 

x 8x2 

I 82F 

f jl i—dw  YT _ ­^l l  ­L  * " \ \ 
[dx\x dcpJi 8 x 2 \ x 2 8<p\+ x 8x J\ 

x 8x2 
82w 

ex2 

+ 2 

Bx 
+ -

i d2F 

x2 Sep 

F\ 82Fl  1 

11 ex2 \x 

dw 

x dx +  •  
1 82w 

x2 8<p 

I  1 8w  1 8гу /  V / 

\  x 2 dq>i x SxScp^JX 

1  (9F  i d2F 

x2 8<Pt x 8xd<p 

+ pl3tgP 
d2w  1 dw  I 82w 

2 8x2 x 8x + - 8(p 

Z) 
:) 

+ 

+ 

where:  л' =  ­т *  9г  т  ^ s i n / S  (see  F i g . 1), 



206  S.  J O N I A K ,  F .  T W A R D O S Z 

shell  deflection, 

force  function, 

8*  _2 8_A__  1_  J * * _ '2 83  2 _83_ 
<9x4 x2 8x28(p\  x 4 8q>\ x dx3 x3 dxdq>\ + 

4 d2  _J_ 82 1 8 

x 4 ; 8<p2  x 2  d x 2  x 3  dx  ' 

Equations  (I),  and  (2),  given  here  i n  a  transformed  form,  were  derived  for  the  conical 

shell  of  an  arbitrary  shape,  c.f.  [1].  In  equation  (2)  p l 4 c o s 4 a  should  be substituted  instead 

o f  the  underlined  term  for  the  stability  problem  o f  a  shallow  conical  shell  (for  a  shallow 

shell  tga  <  0.2). 

In  this  paper  the  solution  of  the  shallow  conical  shell  stability  problem  is  presented,  where 

the  equation  (2)  in  a  " f u l l "  (with  under  lined  term  included)  and  in  a  "simplified"  form 

are  used.  It  can  be  concluded  from  the  analysis  which  of  the  equations  o f  (1)  and  (2) 

are  better  i n  use.  The  analysis  of  the  influence  of  shell  dimensions  on  the  critical  load  is 

also  presented. 

iv  — 

F — 

V 2 V 2  = 

2 .  Solution  of  the  Equations. 

The  strain  compability  equation  (1)  was  solved  by  Papkowicz  —  type  procedure. 

The  deflection  function  was  taken  as 

(3) w  =  ( x 2  ­  l ) 2 / + x 4 ( x 2  ­  I ) 2 / , cosncp., 

w h e r e : / / ! — u n k n o w n  parameters, 

The  function  (3)  satisfies  the  conditions  for  clamped  shell  edge  at  x  =  1,  i.e.: 

(4)  w  =  0;  ~  =  0. 
8x •  

When  the  deflection  function  (3)  is  introduced  into  right­hand  side  of  equation  (1),  this 

can  be  written  as  follows: 

(5)  V 2 V 2 F  = Eh(A0 + A„cosnq>i  + / l 2 / .
c o s 2 n g 9 1 ) , 

where A0, A„, A2„  are  the  functions  o f  x. 
The  parameters  of  deflection  function  and  shell  dimensions  are  also  included  in  these 

functions.  The  equations  arc  o f  the  form  given  i n  ref.  [3].  The  solution  of  equation  (5) 

we  accept  i n  the  form  o f  power  series 

(6) F(x tyQ= У FJx)  cos  m y , . 
m-i 

The  coefficients  in  equation  (6)  can  be  determined  when  the  set  of  four  differential 



S T A B I L I T Y  OF  C O N I C A L  S H E L L  207 

equations,  obtained  by  substituting  the  function  (6)  into  equation  (5)  and  comparing 

by  identity  the  corresponding  terms  of  the  left  —  and  right­hand  side,  is  solved. 

Thus  the  force  function  takes  the  form  o f 

(7)  ffaiC'i)  =f F0 + F„cosfi<f, + F2ncos2mp,. 

F0, Fn, F2„  are  functions  of x  and  of  deflection  function  parameters  and  they  are  o f 

a  complex  structure.  When  the  force  function  is  known,  then  we  can  approximately  solve 

the  equilibrium  equation  (2)  assuming  a  deflection  function w. 

Л  Bubnov­Galerkin­type procedure  is  used  for  solving  the  equation  (2).  The  " f u l l "  and 

also  the  "simplified"  equations  are  solved.  Orthogonalization  of  equation  (2)  requires 

2л  i 

( 8 )  ,  J '  f K(x,<piix^-l)2dxdq>smP  =  0, 
о  0 
In  1 

J  J K(x,<p1)x
5(x2-l)2cos/ir/>i</.\­<j<psin/3  =  0, 

о  0 

where:  K ( A \ if,)  is  left  —  hand  side  o f  equation  (2). 

When  the  conditions  ( 8 ) are  expanded  we  obtain  a  set  of  two  algebraic  equations  in 

the  vector  of  deflection  functions  parameters. 

F o r  the  " f u l l "  equation  (2)  one  obtains 

A,p4,+A2:,+A3i:\+A^\+A5:,ti+A6?;i  =  o , 
( 9 ) B,p* + B2 + B3;,+B4!;

2+B5i;
2

2 =  o , 

and  for  the  "simplified"  equation  (2)  there  is 

A\p* + A2:,+A^
2 + A^\ + As<:,'il + Ab:

2  =  0, 
( 1 0 ) с2(в2 + в3:,+вЛ1;

2+в5с
2

2)  =  о . 
The  next  quantities  are  introduced  i n  equations  (9)  and  (10): 

™  h  '  h  '  E  ' 

The  coefficients A-, and Bt  include  shell  dimensions  and  parameter n.  Their  structure  is 

very  complicated.  When  parameter  Ј 2  is  eliminated  from  equations  (9)  we  obtain  an 

expresion  form  which  we  calculate  the  pressure 

U l ) p - K 0  Ci+tfx 

The  same  operation  made  on  equations  (10)  gives 

(12) p*  =  н , + н2!:, + н31:
2 + н л \. 

Since  the  directions  of  the  pressure  and  the  deflection  (see  F i g .  1)  i n  equation  (11),  and 

(12)  are  opposite  one  has  to  put t,  ^  0. 



208  S .  J O N I A K ,  F .  T W A R D O S Z 

3 .  Analysis  of  the  Solution 

The  analysis  has  been  performed  for  shells  with  ~ ­  =  100,  200,  300  and  with  angle 

x  varied  (tga  was  from  0.1  trough  0.5  by  step  of  0.1). 

p N l O 6 

h 
t Q « ­ 0 . 1 

0 -1- - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -10 -11 - 1 2 - 1 3 -14 -15 -16  g 

Fig.  2 

F r o m  equations  (11)  and  (12)  for  each  pair  o f  and  t g a  one  obtains  an  infinite  num­

ber  of  solutions,  because  they  both  include  the  parameter 
\Щ У  T h e  o n l y  s i S n i " 

ficant  solution  is  the  solution  which  gives  a  minimum p*  value. 

F i g .  2 is a  plot  o f curves  obtained  from  the  solutions  o f equation  (11). They refer  to  a shell 

for  which  —  =  100  and  t g a  =  0.1.  Each  o f  the  solutions  brings  two  extremal  values 
h 

of  the  pressure.  The  lowest  from  maximum  pressures  is  the  upper  critical  load,  signed 
/>*,  the  lowest  taken  from  minimum  pressures  is  the  lower  critical  load  p*. 
The  lowest  pressures  were  obtained  at  к  =  1.  These  are  p*  =  6.6489  • 10~ 6  and  pf  = 
=  1.4374­10~6.  The  line  for  f 2  =  0  is  also  presented. 

It  represents  a  symmetrical  form  of  buckling  and  it  is  o f  a  first  approximation  o f  the 
solution.  The  minimum  value  is  2.859­  1 0 ­ 6 . 

Change  of  dimensions  and  angle  a  do  not  influence  the  quality  changes.  The  critical 
load  is  then  obtained  from  the  equation  at  к  =  0. 

The  solutions  o f  equation  (12)  are  o f  the  same  form.  However  the  buckling  critical 

loads  are  much  higher  (for  к  =  0)  here  then  buckling loads  obtained  from  equation  (11). 



S T A B I L I T Y  OF  C O N I C A L  S H E L L  209 

" o f 
F i g .  3 

F i g .  3  presents  the  lines  o f  lower  critical  load p*  versus  angle  a  for  three  different 

values  ° f ­ ^ ­  • The  lower of  the  two  lines  presented  by  the  same  type  o f  line  is  referred  to 

equation  (11),  the  upper  line  is  referred  to  equation  (12).  It  is  worthenoting  to  show  that 

by  using  the  " f u l l "  equilibrium  equation  (2)  one  obtains  in  each  case,  the  lower  critical 

load  smaller  than  the  critical  load  o f  the  "simplified"  equation.  The  decrease  is  as  much 

as  50%  of  the  pressure  obtained  from  "simplified"  equation.  The  critical  load  increases 

rapidly  with  the  increase  of  angle  a  but  the  increase  is  not  so  rapid  when  the  ­—  ratio 

is  larger. 

T o  evaluate  theoretical  results  the  use  is  made  o f  the  experimental  data  given  in  ref.  [4]. 

These  data  are  pointed  aut  by  crosses  i n  F i g . 3,  and  they  refer  to  shells  o f -jr**  200, 

t g a  =  0.1  and  o f  ~  =  300  and  a  =  30°. 
h 

The  experimental  result  for  a  shallow  shell  is  contained  within  the  solutions  o f  equa­

tions  (11)  and  (12),  but  the  result  for  a  shell  o f  a  =  30° differs  very  much  from  the  theo­

retical  predictions  (when  the  latter  are  extrapolated  for  the  angle  o f  30°).  Since  the  other 

experimental  data  are  not  a  vailable the  range  o f  v a l i d  solutions  is not  resolvable correctly. 

One  may  say  with  cortainty  that  the  accepted  deflection,  while  using  a  Papkowicz­



210  S.  J O N I A K ,  F.  T W A R D O S Z 

­type procedure and " f u l l "  equilibrium  equation, makes  the  results  valid  for  shells  of  small 

angle  a;  it  is  also  to  say  that  the  regime  of  solutions  can  be  enlarged  up  to  tg ft! 0.3. 

especially  when  ~ ­  >  200. 

References 

1.  H . M .  M U Ś T A R I,  К . Z .  G A L I M O V ,  Nelinejnaja teorija uprugich oboloć ek,  Tatknigizdat,  K a z a ń ,  1957. 

2.  Spravocnik  Proć nost',  ustojcivost',  kolebanija,  t.  3,  „ M a s i n o s t r o e n i e " ' ,  Moskwa  1968. 

3.  F .  T W A R D O S Z ,  Rozważ ania  nad  nieliniową  statecznoś cią  dynamiczną  powłoki  stoż kowej, 

Zeszyty  Naukowe  Politechniki  G d a ń s k i e j,  Mechanika  VI,  43,  1963. 

4.  1.1.  T R A P E Z I N ,  Eksperimentalnoje opredelenije rielić in  kritić esKicli  davlem'j  dlja  konić eskich  oboloć ek, 

R e s ć o ty  na  proenost'  6,  MaSgiz,  Moskwa  1960. 

Р е з ю ме  

З А Д А ЧА  О Б  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  П О Л О Г ОЙ  К О Н И Ч Е С К ОЙ  О Б О Л О Ч КИ  С О  

В С Е С Т О Р О Н Н ИМ  Г И Д Р А В Л И Ч Е С К ИМ  Д А В Л Е Н И ЕМ  

Р а б о та  с о д е р ж ит  с р а в н е н ие  р е ш е н ий  п р о б л е мы  у с т о й ч и в о с ти  п о л о г ой  к о н и ч е с к ой  о б о л о ч ки  

с  п р и м е н е н и ем  у п р о щ е н н о го  и  н е у п р о й д е н н о го  у р а в н е н ия  р а в н о в е с и я. 

А н а л и з и р у е т ся  в л и я н ие  р а з м е р ов  о б о л о ч ки  на  с т о и м о с ть  к р и т и ч е с к их  д а в л е н и й.  С р а в н и­

в о ю т ся  т а к же  т е о р е т и ч е с к ие  р е з у л ь т а ты  с  в з я т ы ми  с  л и т е р а т у ры  э к с п е р и м е н т а л ь н ы ми  р е з у л ь­

т а т а м и. 

«  S t r e s z c z e n i e 

Z A G A D N I E N I E  S T A T E C Z N O Ś CI  M A Ł O  W Y N I O S Ł E J  P O W Ł O K I  S T O Ż K O W EJ  P O D 

D Z I A Ł A N I E M  C I Ś N I E N IA 

W  pracy  dokonano  p o r ó w n a n i a  r o z w i ą z ań  zagadnienia  s t a t e c z n o ś ci  p o w ł o k i  s t o ż k o w ej  o  m a ł e j  wy­

n i o s ł o ś ci  przy  zastosowaniu  uproszczonego  i  nieuproszczonego  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i .  Przeanalizowano 

w p ł y w  w y m i a r ó w  i  k s z t a ł t u  p o w ł o k i  na  w a r t o ś ć  o b c i ą ż eń  krytycznych.  Oceniono  r ó w n i e ż  p r z y d a t n o ś ć  

otrzymanych  w y n i k ó w  na  podstawie  danych  d o ś w i a d c z a l n y ch  w z i ę t y ch  z  literatury. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  1  lutego 1983  roku