Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N 1 K A 
T E O R E T Y C Z N A 
1  S T O S O W A N A 

2/3,  21  (1983) 

T H E  E Q U A T I O N S  O F  T H E  S E C O N D  O R D E R  L I N E A R  M O D E L  O F  S U R F A C E 

G R I D S 

P I O T R  W I Ś N I A K O W S KI 

Politechnika  Warszawska 

The  paper  deals  with  the  method  of  finding  the  governing  equations  for  a  surface 

structure  having a  form  of  a  dense  and  regular  grid  made  o f bars.  The  lateral  deformation 

of  elements  of  the  system  are  taken  into  account.  It  is  assumed  that  the  material  of  the 

structure  is  elastic,  homogeneous  and  isotropic. The  problem  of  statics  is  analysed  within 

the  linear  theory. 

The  numerical  methods  employed  to  solve  the  problems  related  to  the  considered 

systems  were  based  on  discret  representation  of  the  structure  (see,  among  others  [1, 2, 3]) 

and  lead  to  a  system  of algebraic equations  with  a  large  number  o f  unknowns. The dimen­

sions  of  nodes,  their  deformability  and  the  lateral  deformability  of  structure's  bars  were 

not  taken  into  account. 

The  application of  a  continuum  model  of  a  structure  consists  i n  an  approximation of 

the  multi­connected  geometry  o f  the  system  by  a  certain  simply­connected  and  conti­

nuous  model  (see,  among  others  [4, 5, 6]).  The  advantage  of  the  discussed  approach 

over  the  previous  one  lies  in  the  fact  that  the  analytical methods  can  be  employed.  The 

negative  aspects  are:  a)  considerable  inaccuracy  of  results  for  not  sufficiently  dense  grids, 

b)  the  required  geometrical  symmetry  of  the  structure.  A n interesting  idea  o f a  continuum 

model  of  such  structures  based  on  the  concept  of  a  continuum  with  internal  microstruc­

ture  and  higher  order  internal  reactions  is  presented  i n  [6]. In  the  present  paper  C z .  W o ź ­

niak's  model  w i l l  be  applied  to  obtain  equations  of  the  second  order  theory.  A n  ener­

getic  approach,  different  from  the  previously  considered  one,  which  wil l  be  employed 

makes  it  possible  to  describe  i n  the  explicit  from  all  properties  o f  the  continuum  model. 

A s  a  special  case  (in  which  the  higher  order  effects  are  neglected)  equations  of  the  first 

approximation  w i l l  be  obtained. 

It  is  assumed  that  the  structure  consist  o f  (homogeneously)  deformable  cubicoid  nodes 

connected  by  means  of  the  prismatic  links  of  rectangular  cross­sections  (and  subject  to 

homogeneous  deformation  in  their  plane)  and  constitute  the  regular  and  orthogonal 

1.  Introduction 

2 .  Basic  assumptions 



212  P.  W l Ś N I A K O W S KI 

surface  grid  made  o f  bars  ( F i g .  1). The  lengths  of  the  elements  of  structure  are  small  as 

compared  with  the  lengths  of  the  surface  and  its  curvature  radii. 

A  system  of  J C 1 , x2  coordinates  on  the л  surface  on  which  the  structure  is  shaped  and 
a  z coordinate  in the  direction normal to  surface л  were chosen  in such  a  way that x', x2, z 

axes  represent  a  right­hand  system  of  coordinates.  It  was  assumed  that  the  geometric 

centers  of  the  nodes  lie at  intersections  of  parametric  lines  . Y '  =  const, x2 =  const, z  =  0 
and  that  the  axes  of the  links  coincide with  directions  of these  parametric  lines.  A  typical 

segment  of  such  a  structure  is  shown  in  F i g .  1. 

x (x'=const) 

1 

1  © 

I 

1 

!  D  JC 
T~  A  1 

1 

i 
t 

i  i ®  1 ; 
1 

i 
г — 

© •  

­ f  i  Щ   Щ  
1 

! 

1 

1 
i 

I 

к  

1 

lx 
1, 

i 
I 

1 

i 
i 

­ 4 ­ Д у /Д  
av72  H ­

— ! 

i 
'  1 

1 
I  i 

! 
1 
i 

(xr=const) 

Fig.  1 

We  shall  introduce  twelve  continuous,  sufficiently  smooth  functions  defined  on  the 

surface л  of the  structure.  These  functions  represent  translations,  rotations,  deformations 

along  the  coordinate  axes  and  the  shape  deformations.  The  forementioned  functions 

constitute  unknown  quantities  of  the  model  and  have  a  physical  sense  only  at  the  node 

centres.  In  every  net  mesh  they  can  be  treated  as  linear  nature. 

3.  The  analysis  of  the  structure  components 

Node.  When  a structure  is loaded a typical  node  is subjected  to a homogeneous  deforma­

tion  having  12  degrees  of  freedom.  Let (ux, uy, u:)  be  the  displacements, (dx, #>., — 

the  components  of  an  independent  vector  o f  rotation, (o)x,wy,co:)  and (шх у, coX2, ooyz) — 

the  linear  and  deviatoric  components  o f  a  homogeneous  deformation,  respectively.  D e ­

noting  by wx, w,,  u>­ displacements  within  the  node  area  in directions X, y,  z , respectively 



S E C O N D  O R D E R  S U R F A C E  GRIDS  213 

the  following  formula  hold 

wx(x,y,z)  = ux+coxx + (wxy­ez)y + (&y+(ox:)z, 

(3.1) wy(x,y,z)  = uy + (&. + coxy)x + coyy + (coyz­'&x)z, 

wz(x,y,z) = uz + (ojxz­&y)x + (&x+coyz)y+(ozz. 

After  applying  the  principle  o f  ideal  constraints  we  can  arrive  at  12  equations  describing 

the  node  equilibrium  with  6 generalized internal  forces  and  12 generalized external  forces. 

F r o m  the  equations  of the  linear  theory  of elasticity the  general  constitutive relations  can 

be  obtained  together  with  a  formula  for  the  strain  energy  o f  a  node. 

Link.  Let  us  take  into  account  a  typical  element  connecting the  i ­ t h  and  the j­th  nodes 

situated  on  the x2  =  const  parametric  line  (see  F i g . 1).  Let wx,wy, w.  represent  displa­

cements  o f the  link  area  in directions of a  local coordinates x, y, z  (see  F i g .  2). It  is assumed 

that  the  lateral  cross­sections  o f  a  link  are  subjected  to  homogeneous  deformations  in 

their  planes  as  well  as  to  the  rigid  displacements  (9  degrees  of freedom).  Hence: 

wx(x,y,z) = vx(x)­ycpz(x)+z(py(x), 

(3.2) 
wy(x,y,z) = vy(x)+yyy(x)+z  | y  y „ ( x ) ­ 9 > x ( x ) j , 

w:(x,y,z) = vz(x)+y  Ј y  y w ( » ) + c ) , ( * ) j + 2 y « ( » ) i 

where vx,vy,vz  are  dislocations, <px,q>y,q>z—  rotations, yy, y., yyz —  deformations 
of  the  cross­section  of  an  element  along  the  .v coordinate. 

© 

­ f 

i 

P 

'ytvy 

­4­

Fig.  2 

The  state  of  link  area  displacements  is described  by  9 functions  of the  variable x  being 

the  Lagrange's  generalized  displacements.  The  assumption  (3.2)  can  be  called  the  hypo­

thesis  of a  flat,  homogeneously  deformable  cross­section  with  independent  rotations.  This 

is  a  generalization  of  the  well­known  hypothesis  of  Bernoulli  and  Timoshenko  for  the 

classical  model  of  a  bar. 

The  constraints  for  stresses  are  assumed  in  the  form 

(3.3)  = o , 0 . 

This  assumption  simplifies  considerably  the  formulae  given  below.  After  applying  the 

principle  of  ideal  constraints  of the  static  and  kinematic types  we  shall  obtain  9  equations 

7  Mech.  Teorct  i  Stos.  2—3/83 



214  P.  W l Ś N I A K O W S Kl 

describing  the equilibrium  of the  link  with  10  generalized  internal  forces  and  9  genera­

lized  external  forces.  T a k i n g  into  account  the known  equations  o f the linear elasticity, 

the  generalized constitutive equations  and  the  formulae  defining  the  strain energy  of a link 

can  be  found. 

Node­link­node  system.  A  system  consisting  o f the /­th node,  the j­th  node  and the 

(i­j)­th  link  connecting these  two  nodes  is presented  below  (see F i g .  2). 

From  the  equilibrium  and constitutive  equations  describing  the  link,  the  differential 

equations  for the generalized  displacements  can be  obtained.  The  kinematic  boundary 

conditions result from  the  assumption  that  the displacements  o f the  appriopriate  bounda­

ries  of the  /­th  and v'­th  nodes  have to be  competible with  the  displacements  of the  suitable 

boundaries  of the link  situated  between  them.  In this  way  we obtain,  functions vx,vy, 

!)„ (px, <py, q>z, yy, yz, yy,,  which  are expressed  as the functions  of  the  /­th  node  and  the 

A  operator  defined  as  follows: 

(3.4)  z J ( )  = ( ) ' ­ ( ) ' •  

These  functions  can  be  understood as certain shape  functions  of the  bar  treated  as a  three­

­dimensional  body. The  total  elastic energy  o f the  (/— j)­th  link  is a function  o f  parameters 

attributed  to the /­th  node  and  the A  operator  defined  above. 

The  analogous  procedure  can  be applied to  link  situated  on the x1  =  const,  parame­

tric  line  and  connecting the /­th  and  the A:­th nodes.  Instead  o f the A  operator  we deal 

now  w i t h  the A  operator  defined  as  follows: 

(3.5) ~A{ )=()*­( )' , 

4 .  Bovcrning  equations 

Accordin g  to  the forementioned  assumptions,  the  parameters  describing the  displa­

cement,  deformation,  strains  and  stresses  as  well  as the elastic  moduli  are described  by 

the  continuous,  sufficiently  regular  functions  of arguments x1, x2.  These  functions  have 

a  physical  sense  only  in certain  points  of  the  surface. 

The  displacement state  of a structure  is defined  by  12 parameters  for  each  node.  A  con­

tinuous,  sufficiently  regular  extension  o f these  discrete  functions  leads  to the relations: 

Ui(x}, X2) = ux, Uiix
1, x2)  = Uy, u(x\ x2)  = uz, 

­^(.x 1 , x2)  = 9X, ®2{x\ x
2) = §y, §{x\ x

2) = 

a>lt(x
l, x2) = cox, ш22(х

1, x2)  = coy, w(x
l, x2)  =  w 2 , 

(o12(x\ x
2) = c o 2 , ( x

1 , x2) = coxy, co^x
1, x2) = coxz, a>2(x

l, x2) = coyz. 

The  strain  energy  of a  typical  structure  segment  (i.e. the energy  of the (i­))­th  and the 

(/— /<)­th  links,  — energy  of  the  i­th  node,  Д ­у f energy  of the 7­th  node,  of energy  of 

the  Ar­th  node)  is related  to  A B C D  surface  segment  with  /, • l2  dimensions  (see F i g .  1). 

This  energy  is a  function  of parameters  assigned  to the i­th node  and  involve A  and A 

operators. 



S E C O N D  O R D E R  S U R F A C E  GRIDS  215 

Assuming  that: 

(4­2)  _  =  _ L i ( ) =  _ i L = ( b 

and  that  the  density  of elastic  energy a° is equal  to the density  of energy  a ( i )  i n the  i­th 
node,  the basic  relation  of the continuum  model  of the considered  structure  i n its explicit 

form  was  found: 

ao  = ^  C^ >» y .KLy .M N  + ~  A^yKyL  +  G ^ ' x K L y M + F ^ y K L r M N  + 

+ DK,yKcoL  +  H
KL»xKLcoM  +  R «

I M y K r L M +
l ­  GKLMFLTKLrMJV+­I  G*4KrL  + 

+ у  FKLo>KtoL  + у  Am
2 + CKLMcoK  rLM  +  А

ктк(о  + у  A
KLMNyKLyMN  + 

(4.3)  !  , 
+ ~  CKLy .K  xi  + E

KLMKKyLM  +  B
K™NyKLcoMN  +  D«™«xK  rLMN  + 

i pKLM..  , ,  i JKLMNP  i  _ pKLMN,,.  ,,,  , ' r­KLMN,,. 

+ у  Z l * ' L M P J i S T K I , A ,  T P i ? s + ' y 4
K L M P / i S T K L M T̂ jjs +  C^^^W^LTj^pn­f­

+  tf"cXLa>  + D
KLMOJKL  тм + B

K L M T K L M M  + H
K L M N r K L M  rN. 

K,L,  M,N,  P,  R,  S =  1 , 2 . 

The  density  of  work  of the  external  forces  can be  olso  defined.  The relation  (4.3)  was 

originally  expressed  in the  Cartesian  coordinate  system  and then  generalized  to a  curvi­

linear  orthogonal  system  o f coordinates  in terms o f which  the surface  system  is described. 

The  parameters:  yKL,  yK,  xKL,  xK,  rKLM  = rKML,  rKL,  rK,a)KL  = coLK,  coK,  OJ  consti­

tute generalized components  of the  state of deformation,  with  the geometric  relations  taking 

the  form 

YKL = iiL\K­bLK4 + eLK&, yK = u\K + b
I{liiL + eKL<&

L, 

(4.4) 
TKLM —  U>LM\K~Ь щК(1), — b,KmM , 

*KL  = b>L\ic + bK(oNL­bLKm, rK  Ы (o\K + 2b%coN, 

where bKL, eKL,  ( ) | K represent  the components  of the  second  metric  tensor  o f the  surface, 

Ricci's  bivector,  and the  symbol  of covariant  differentiation  on the  surface,  respectively. 

The  functions A K L M P R S , ... C K L M , . . . , A K , A  stand  for the tensor  of elastic  moduli  of the 

structure  and describe  its  geometric  and  physical  properties. 

The  components  of the  stress  state  of the  structure  are given  by the  formulae 



216  P.  W l Ś N I A K O W S Kl 

8a° ... 8а ° . 8а ° 
(4.5)  [cont.] skLM = ­= , s  =  —  ,  s* =  ­ — , 
v 1 J 8rKL„ 8rKL dvi 

8a° K 8a° 8a° 
. ______  , 

d f t ) K Ł ' 8coK '  dco 

We  see  that  12  from  30  introduced  aqove  components  of  the  stress  state  is of  the  force 

type (pKL, pK, rKL, rK, r),  and  the remaining  18 is of the  couple  type (mKL, mK, sKLM, 

sKL, sK). 

W i t h  the  aid of the  principle o f virtual  work the  equilibrium  equations  and  the  boundary 
conditions  for  the  continuum  model  o f the  structure  can  be  obtained  in  the  form 

pKL\K­bLKp
K + qL = 0, pK\K + bLKp

KL+q = 0, 

mKL\K­bkm
K + e'Itp

K + hL = 0, mK\K + eKLp
KL+bLKm

KL + h  = 0, 

(4.6)  1 
sKLM\K~­j(b

L

Ks
KM + b^sKL)­rLM+fLM  = 0, 

sKL\K + 2bMKS
KLM­2bLKs

K­rL+fL  = 0, s*\K + bLKs
KL­r+f  = 0. 

pKLnK­p
L — 0 o r "_*=«_; Ркпк­р  = 0  or u = u, 

*  „  *  * 

(4.7) 
mKLnK­m

L = 0  or  #L = §L; m
KnK­m  = 0  or 

SKLU„K_*LM  Ш o  o r W ł m = 4 A ( ;  s r ^ n F ­ s
Ł  = 0  or 

s K « K  —*  = 0  or  w  =  * J 

where  « K represents  the  components  o f a unit  normal  vector  to the  boundary 8Q  of  the 

structure, qK, q, hK, h,J'KL,fK,f—are  the densities  of  the  surface­type  external  stress; 

p ,p,mK, tn, sKL, sK, s — are  the  densities o f  boundary  stresses, uL, u, #Ł, coLS1,  OJL,OJ 

are  the  given  values  of  generalized  displacements  within  the 8Q. 

The  equilibrium  equations  (4.6)  and  the  boundary  conditions  (4.7)  together  with  the 

constitutive  (4.5)  and  geometric  (4.4)  relations  form  the  basic  system  o f  equations  descri­

bing  the  continuous  model  of  the  structure.  This  system  enables  us  to  calculate  the  displa­

cement  distribution in  the  link  and  node  areas as well  as the  stress distribution. 

It  must  be  stressed  that  parameters  yK, y .KL,  rKL,K, (oL,  [see  (4.4)]  define  the 
components  of the  plate­like  deformation  state,  while  y K L , coKL,xK,  rKLM  — the  com­
ponents  of  the  plane­like deformation  state.  The  components  y x L . w * i .  *к»  i _ L m ,

  a r e 

defined  exactly  as i n  the  rst  order  model  (see  [6]),  however the  parameters  which  do  not 

appear  in  that  model,  i.e.  T K L M ,  T K L ,  TK,  <X>k l, coK, ш   result  from  the deformability o f 

a  node  and  the deformability  o f link's  lateral  cross­sections. 

The  analysis  o f  the  influence  of  the  second  order  parameters  on  the  internal  forces 

together  with  the suitable  numerical  calculation  w i l l  be the subject  of separate  papers. 



S E C O N D  O R D E R  S U R F A C E  G R I D S  217 

References 

1.  W.  N O W A C K I ,  Problems related to  the  theory  of flat  grids.  Arch.  Mech.  Stos.,  1,  6,  1954. (in  Polish) 

2.  W.  G U T K O W S K I ,  Grid  surface structures. Mech.  Teor.  i  Stos.,  3,  3,  1965. (in  Polish) 

3.  H .  F R Ą C K I E W I C Z,  Deformation  of a discrete  set  of ponits. Arch.  Mech.  Stos.,  3,  18,  1966. 

4.  M . T . H U B E R ,  Probleme der  Statik  technisch  wiehliger  orthotroper  Platten, Zurich 1929. 

5.  C .  W O Ź N I A K,  Introduction  to  mechanics  of fibrous  media, Arch.  Mech.  Stos.,  5,  16,  1964. 

6.  С .  W O Ź N I A K,  Lattice­type surface structures, P W N , Warsaw  1970.  (in  Polish). 

У Р А В Н Е Н ИЯ  Л И Н Е Й Н ОЙ  Т Е О Р ИИ  В Т О Р О ГО  Р Я ДА  У П Р У Г ИХ  П О В Е Р Х Н О С Т Н ЫХ  

Р О С Т В О Р ОК  

В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  л и н е й н ые  у р а в н е н ия  с т а т и ки  у п р у г их  п о в е р х н о с т н ых  р а с т в о р ок  и м е­

ю щ их  п л о т н ую  и  р е г у л я р н ую  с е т ку  э л е м е н т о в,  к о т о р ых  д е ф о р м и р о в а н н ы е,  п р я м о у г о л ь н ые  у з лы  

с о е д и н е н н ые  м е ж ду  с о б ой  р пи  п о м о щи  п р и з м а т и ч е с к их  с т е р ж н ей  и м е ю щ их  п р я м о у г о л ь н ое  с е­

ч е н и е. 

П р и н и м ая  и с х о д н ые  д а н н ы е:  у р а в н е н ия  л и н е й н ой  т е о р ии  у п р у г о с т и,  а  т а к же  п о д х о д я щ ие  

к и н е м а т и ч е с к ие  г и п о т е зы  п о л у ч е но  в а р и а ц и о н н ым  м е т о д ом  у р а в н е н ия  с п л о ш н о го  м о д е ля  п р о г о н а. 

Р а б о та  с о д е р ж ит  о б о б щ е н ие  т е о р ии  В о з н я к а,  в ы х о д я щ ие  з а  п р е д е лы  т е о р ии  1­го  р я д а,  п о з­

в о л я ю щ ие  у ч и т ы в а ть  э ф ф е к ты  „ в ы с ш их  р я д о в"  ( р а з м е ры  у з л о в,  и х  д е ф о р м и р о в а н и е,  д е ф о р м и­

р о в а н ие  п о п е р е ч н о го  с е ч е н ия  с т е р ж н ей  с о е д и н я ю щ их  у з л ы ). 

R Ó W N A N I A  L I N I O W E J  T E O R I I  D R U G I E G O  R Z Ę DU  S P R Ę Ż Y S T Y CH  R U S Z T Ó W 

P O W I E R Z C H N I O W Y C H 

W  pracy  wyprowadzono  liniowe  r ó w n a n i a  statyki  s p r ę ż y s t y ch  r u s z t ó w  powierzchniowych  o  g ę s t ej 

i  regularnej  siatce  e l e m e n t ó w ,  k t ó r y c h  odksztalcalne,  p r o s t o p a d l o ś c i e n ne  w ę z ły  p o ł ą c z o ne  są  za  p o m o c ą  

pryzmatycznych  p r ę t ów  o  przekroju  p r o s t o k ą t n y m. 

Przyjmując  za  punkt  wyjś cia  r ó w n a n i a  liniowej  teorii  s p r ę ż y s t o ś ci  oraz  z a k ł a d a j ą c  odpowiednie  hipo­

tezy  kinematyczne  otrzymano  na  drodze  wariacyjnej  r ó w n a n i a  c i ą g ł e go  modelu  d ź w i g a r a. 

Praca  zawiera  u o g ó l n i e n i e  teorii  W o ź n i a k a,  w y k r a c z a j ą ce  poza  t e o r i ę  I­go  r z ę d u,  z e z w a l a j ą ce  na 

u w z g l ę d n i e n ie  e f e k t ó w  „ w y ż s z y ch  r z ę d ó w"  (wymiary  w ę z ł ó w,  ich  o d k s z t a ł c a l n o ś ć,  o d k s z t a l c a l n o ś ć  prze­

k r o j ó w  poprzecznych  p r ę t ów  ł ą c z ą c y ch  w ę z ł y ). 

Р е з ю ме  

S t r e s z c z e n i e 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  3  marca  1983  roku