Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A 1 S T O S O W A N A 2/3, 21 (1983) E Q U A T I O N S  O F  T H E  S P H E R I C A L  S H E L L  W I T H  A X I A L L Y  S Y M M E T R I C ,  S T O C H A S T I C  I M P E R F E C T I O N S  G R A Ż Y NA  B R Y C  Politechnika Warszawska 1. Introduction Realization  of  the  shell  construction  often  yields  some  deformations  and  since  the  changes  in  the  geometry  o f  the  middle  surface  are  unpredictable,  it  is  convenient  to  con­ sider  the  problem  from  the  probabilistic point  of  view.  There  have  been  in  the  literature  up  to  now  a  few  approaches  to  the  description  o f  the  stochastic  shell.  C .  B R A N I C K I  and  M .  S K O W R O N E K  [1] analized  stochastically  nonlinear  static  of  a  shallow  spherical  shell,  which  middle  surface  was  a  random  function of  a  rather  simple  form.  E .  F I L I P O W ,  J .  W E ­ K E Z E R  and  P .  W I L D E  [2] proposed  a  stochastic  model  for  the  dislocations  of  the  surface  of  a  cylindrical  container  based  on  the  discretization of  the  problem.  Random  fields  theory  applicable  to  thin  elastic  shells  was  discussed  in  the  expository  paper of  E .  B I E L E W I C Z  and  P .  W I L D E  [3].  The  subject  of  this  note  is  a  statical  analysis  of  the  spherical  shell  loaded  uniformly  by  its weight  taking  into  consideration  geometrical  nonlinearity and  axially  symmetric  random  displacement.  It  is  proposed  to  describe  stochastic  displacement  by  auxiliary six dimensio­ nal  two parameter  random  field  and the  corresponding  Meissner­type equations  are  derived.  2 . Description of the random shell Let  the  undeformed  middle  surface  of  the  shell  be  given  by  the  equations  in  the  vector  form  r  =  r(0, (f,  ft))  = ?o(0, , Be(<»)cos&] S T O C H A S T I C IMPERFECTIONS 2 3 5 where Be(<»)  is  a  scalar 1­parameter  random  field.  In  this  case t,  is  uniquelly  determined  by  ( 4 )  and  the  axial  symetricity  1,(0. ip, cb)  =  [ s i n y  f BHsmOdO. ­cos93 j Bę SmOdO,  oj  *.;­ в во Since  we  are  in  the  axially  symmetric  case,  we  can  use  the  well  known  Meissner­type  equations  in  the  form  taking  into  account  geometric  nonlinearity,  (c.f.  [4]).  Regarding  an  additionaf  assumption,  that t,  and t2  are  small  when  compared  with  the  radius  o f  the  shell  (i.e. BG  <̂ R 0)  we  get  the  following  system  of  nonlinear  second  order  differential  equations  (/)+ + Qrp + R i yd + Ntp&' + P, 1) + Qd'  =  F , ( О , с о ) D_& + R2&y + P2 ip = F2(0, с о ) ® where D±  are  the  second  order  deterministic  differential  operators  of  the  form  ^ c>2 • ^ d I  s i n 2 © A 0±  = cosd—pr.2  ­ s i n ©  ­ v ,  +icos(9  .  (6)  dO­ dO \  cos(9  /  L  is  the  random  differential  operator  L  =  ( ^ ­ ^ c o i ^ i  +(oesin0­A;COS©) 4S  ­  ^  + ̂ «cos©V г н У­ <7(У  \  cos^fi*  /  (7) Ri, Pi, N  are  some  deterministic  functions  and Ft  are  random  functions.  В d A l s o  we  denoted  by R0  radius  of  the  spherical  shell  and дв = — — ,  <59  =  ­­­­ дв. RQ dO в S** = f b,.,ń nOdO. v  is  the  Poisson  coelicient.  z A 236 o . BRYC  Equations  (5)  contain  the  following  unknown  quantities,  & —• is  an  increment  o f  an  angle  x  after  deformation  a*  =  a + #  (fig.  2 )  Fig. 3 3 . Numerical solution F o r  the  solution  of  the  equations  (5)  we  have  to  consider  the  boundary  conditions  e.g.  we  consider  the  shell  with  fixed  lower  boundary  0 = в о ,  е. = 0 , >> = 0 , (8) and  with  free  upper  boundary  0 = 0 , , Tr = ­ 7 ,  sin a*+ 0 2  cos a*  (fig. 3). (9) Determination  of  the  mean  value  and  the  standard  deviation  o f  the  random  internal  forces  was  achieved  by  M o n t e  C a r l o  method.  F o r  this  purpose  we  assumed  that  random  function Be  can  be  represented  as  a  series  Вы  =  cos<9 J S ^ c o s ^ © (10) where y„  are  one  dimensional  random  variables,  not  necessarily  independent  — i n  the  dependent  case  the  multidimensional distribution  of y l t y 2 , • • •  is  needed.  Note,  that  for  Gaussian  random  function Be  the  assumed  in (10) form  o f Be  is  not  very  much  restrictive.  Indeed,  any  Gaussian field  can  be  represented  by  a  series  similiar  to (10) with  independent  random  variables  and  then  we  can  each  term  of  this  series  expand  into  a  Fourier  series.  Thus,  up  to  the  convergence  questions,  our  assumption  in (10)  is that  some  of the  Fourier  coeficients  are  zero.  A s  it  is  usual  i n  the  Monte  Carlo  method,  after y,,y2, • • •  are  sampled,  i.e.  finite  approximation  o f Be  i n (10) is  sampled,  we  have  to  solve  a  deterministic  system  of  non­ linear  differential  equations (5).  T o  this  end  we  used  a  combination  of  the  power  series  method  together  with  the  iterative  procedure.  F o l l o w i n g  R. N A G У R S K I [5]  with  slight  changes  to  avoid  singularities,  we  introduce  new  unknown  variables  X .  Y  defined  by  W(&) = X(x)cose, !>(&) = K(x)cost9, where  .v =  cos 2 0 . S T O C H A S T I C IMPERFECTIONS 2 3 7 After  the change  of variables  i n (5) we expand  the right  hand  sides  of the  equations (5)  in  the power  series  with  respect  to x.  Then  we  look  for  the coeficients  in the power  series  expansion  of X  and Y by  iterative  procedure  adopted  from A . M A H M O U D  [6].  The  M a h ­ moud's  approach  lies on the transposition  of the  nonlinearities to the right  hand  sides o f  the  equations  (5) treating  them  as known. This  applied to our  problem gives the following  separated  recurrent  equations  with  unknown Xn  and Y„ ( 4 ­ 4 x 2 ) X '  + ( 6 ­ 1 0 x ) A ­ n ' ­ ( l ­ ^ „  = G^(x,Xn.,,  У „ _ , ),  (4­4x2)Y'n' + (6­l0x)Y'n­(l +v)Yn  = G+(x, Xn_,, Yn^). In  (12) the right  hand  side functions G±  can  be  expanded  in the  power  series  of the  conver­ 00 gence  radius  1, thus  the  solutions  of  (12)  are  given by £  а $  x*  (c.f. E . К А М КЕ [7]). There­ /1 = 0 fore  we  get the recurrent  linear  equations  for unknown  power  series  coeficients  2n + 3_  ±  4n 2­(l±v)   2(n+l)(2n+l)­(l±v)   ±  an +  z  ­  ­­2n+4 a"  + 1  4(n + l ) ( n +  2)  a " +  4(и  + l ) ( n + 2)  a , ­ 1  +  +  4 ( n + l ) ( n + 2)  '  ( , 3 )  where  G \ = X b% x » ­ n = 0 F r o m  (13)  follows  also,  that  the convergence  radius  of the  series  expansion  o f  X„  and  Y„  is  equal  1.  A p p r o x i m a t i v e ^  strict  solutions  of the  system  of  nonlinear  equations  (5) are  then  determined  by X  = Y\mXn,  Y =  limT,,  together  with (11).  The  author  checked  numericaly  the above  procedure  and it  appeared,  that  iterative  procedure  with  X0  =  Y0  = 0  works  nicely  for  small  stochastic  part  (5 ­ 10  iterations are  then  sufficient).  References 1 C. B R A N I C K I , M . S K O W R O N E K , Losowe odchyłki geometrii w problemie statycznym malo­wyn ioslej powłoki sferycznej, X X I V Konferencja Naukowa Komitetu Inż ynierii L ą d o w ej i Wodnej P A N i Komitetu Nauki P Z i T B . 2. E . F I L I P O W , J . W E K L Z E R , P. W I L D E , Stocltastyczny model odchyłek powierzchni zbiorników cylindrycznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Ś l ą s k i e j, nr 7, 1 9 7 3 . 3. E . B I E L E W I C Z , P. W I L D E , Pola losowe w teorii powłok sprę ż ystych, Sympozjum na Temat Konstrukcje P o w ł o k o w e — Teoria i Zastosowania, K r a k ó w 2 5 ­ 2 7 . 0 4 . 1 9 7 4 . 4 . E . L . A K S E L R A D , Gibkije obolocki, Izd. Nauka, Moskwa 1 9 7 6 . 5. R. N A G Ó R S K I , Niektóre problemy statyki obrotowo­symetrycznych powłok siatkowych, praca doktorska, W­wa 1977. 6. A . M A H M O U D , Analiza wybranych równoległych metod hybrydowego rozwią zywania równań róż niczko­ wych czą stkowych, praca doktorska, Warszawa 1 9 8 1 . 1­ E . K A M K E , Sprawocnik po obyknovennym differencialnym uravnenyjam, Izd. Nauka, Moskwa 1976. 238 G . B R V C I3 e з io м e В Р А Щ А Т Е Л Ь Н О ­ С И М М Е Т Р И Ч Н ОЕ  С Л У Ч А Й Н ОЕ  С О С Т О Я Н ИЕ  П Е Р Е М Е Щ Е Н ИИ   С Ф Е Р И Ч Е С К ОЙ  О Б О Л О Ч КИ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е ны  п р о б л е мы  с в я з а н н ые  с о  с т а т и к ой  т о н к ой  с ф е р и ч е с к ой  о б о л о ч ки  п о с т о­ я н н ой  т о л щ и н ы,  н а г р у ж е н н ой  с о б с т в е н н ым  в е с ом  с  у ч е т ом  в р а щ а т е л ь н о ­ с н м м е т р и ч н ых  с л у ч а й­ н ых  н а ч а л ь н ых  п е р е м е щ е н ий  в м е с те  с  г е о м е т р и ч е с к ой  н е л и н е й н о с т ь ю.  С л у ч а й н ая  ч а с ть  п р о б л е мы  р е ш е на  м е т о д ом  с и м м у л я ц и и.  Ч и с л е н н ое  р е ш е н ие  в о з н и к н у в ш ей   д е т е р м и н и с т и ч е с к ой  з а д а чи  п р о в е д е но  м е т о д о м,  к о т о р ый  с о е д и н я ет  м е т од  с т е п е н н ых  р я д ов  с  и т е­ р а ц и о н н ым  м е т о д о м.  S t r e s z c z e n i e  R Ó W N A N I A  P O W Ł O K I  K U L I S T E J  W  P R Z Y P A D K U  O S I O W O  S Y M E T R Y C Z N Y C H  L O S O W Y C H  P R Z E M I E S Z C Z E Ń  W S T Ę P N Y CH  W  pracy  z o s t a ł y  rozpatrzone  zagadnienia  statyki  cienkiej  p o w ł o k i  kulistej  o  stałej  g r u b o ś c i,  o b c i ą ż o n ej  c i ę ż a r em  w ł a s n y m  z  u w z g l ę d n i e n i em  obrotowo  symetrycznych  losowych  p r z e m i e s z c z e ń  w s t ę p n y ch  oraz  geometrycznej  n i e l i n i o w o ś c i.  Stochastyczna  c z ę ść  zagadnienia  z o s t a ł a  r o z w i ą z a na  m e t o d ą  symulacji.  Liczbowe  r o z w i ą z a n ie  za­ gadnienia  deterministycznego  otrzymano  m e t o d ą  ł ą c z ą cą  m e t o d ę s z e r e g ó w p o t ę g o w y ch i iteracyjną. Praca została złoż ona w Redakcji dnia 1 lutego 1983 roku