Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 2/3. 21 (1983) O N  C E R T A I N  I N E Q U A L I T I E S  I N  T H E  L I N E A R  S H E L L  P R O B L E M S  A N D R Z E J  G A Ł K A  I PPT Warszawa 1.  In the paper  the weak  formulations  of the mixed  boundary  value  problems  o f the  linear  elastostatics  with  constraints  are presented.  By constraints  we  mean  here the  k n o w n  restrictions,  imposed  o n the  displacement  and stress  fields,  represented  by the closed  convex  sets in suitable  linear  spaces.  It has been  shown  that  the forementioned  problems  are  equivalent  to  the  saddle­point  problems  for the  Reissner  functional.  Interrelations  between  different  solutions  to  the problems  under  considerations  are  obtained.  F o r  the  formulations  of the  shell  boundary  value  problems,  some  special  cases  o f  constraints  are  proposed  and detailed.  2.  N o w we are to state  the three  following  problems:  A — the  mixed  boundary  value  problem  of the  linear  elasticity,  В  —  the  problem  with  constraints  for deformations  only,  С — the  problem  with  constraints  for  both  deformation  and stresses.  Let  Q  be the  open  domain  i n R3  with  boundary  8Q = Г 0 ^ Л >  / о ПА  =  0 ­ Let  be  the  Sobolev  space  of square  integrable  functions  with  square  integrable  first  derivatives on  Q.  Define  V  = ( t f ' f f i ) ) 3 .  U = {и e  V/u  = 0  on  Г0}  W  =  {e.je =  (e a / J ),  sap  =  efix,  sap  e L 2(Q),  a , в  =  1,2, 3 } ,  Moreover, let  U*,  W*  be  the  duals of iVand  W, respectively. Let us define  the  "deformation  operator"  L:  U­* W  putting  (Lu)ap  =  у  (p*a,  ик_р+р к рик л),  where  p:Q­>R3  is the known  smooth  invertible  mapping.  Let  the mapping  C : W­*W* represents  the  strain­stress  relation,  being  determined  by the  tensor  o f  elastic  m o d u l i  satisfying  the  known  assumptions  CaPyt  eL x(Q),  CaPYfi  =  CaP6Y  = С у Д а д, З с0  >  0 ,  Cafsyss^eyg > c0saPeaj},  V e e  W.  The  duality  pairing  o n  W*xW  and  on  U*xU  wil l  be  denoted  by ( • , • )  and < • , • >,  respectively.  The inner  product  o n  W* is  denoted  by  [ • ,  • ].  Let  250 A . G A L K A  ().i)Ukdv+  f  P^aaaeneukds.  о  /\  The  functional  Fe  U*  is  assumed  to  be  given  by  body  forces  fkeL 2(Q)  and  surface  tractions  / ; к  e  L 2 ^ )  and  has  the  form  < F , н > = J  fkukdv+ J  pkukds.  a  r,  The  mixed  boundary  value  problem  of  the  linear  elastostatics  will  be  stated  as  follows:  Problem  A .  F i n d  (u,  a)  i n  Ux  W*  such  that  ( 2 . 1 )   (L­a­F,  v­u)  ^  0,  Vv  e  U,  (2.2)  [a­CLu,  r­a]  >  0,  V r e  ИЛ   Variational  inequalities  in  this  problem  are  equivalent  to  the  equations  (2.3)  L*a  =  F,  a  =  CLu,  which  constitute  the  stationary  conditions  for  the  Reissner  functional  (2.4) ¥(vffiŁ ­ ~  щ ч ф г Щ ь у :  Let  К  с  U  and  i ' с:  W*  be  nonempty  closed  convex  sets.  Problem  with  constraints  f o r  deformations  wil l  be  formulated  as  Problem  B .  F i n d  (w, a)  in  Kx  W*  such  that  (2.5)  (V'e­F,  v­u}  >  0,  V r e  A ' ,  (2.6)  [ o ­ ­ C L i ( ,  T ­ 0 ­ ] Щ 0 ,  V T  e  IF*.  Inequality  (2.6)  is  equivalent  to  the  equation  (2.7)  a  =  CLu.  B y  problem  with  constraints  for  deformation  and  stresses  we  shall  mean  Problem  C .  F i n d  (u,  a)  i n  KxU  such  that  (2.8)  <[L*a­F,  v­u}  >  0,  Vv  e  K,  (2.9)  [a­CLu,r­cr]^  0,  V r e l .  3.  N o w  we  are  to  observe  that  the  problems  А ,  В ,  С  are  equivalent  to  the  suitable  saddle  points  problems  for  the  Reissner  functional  (2.4).  It  means  that  the  pairs  aA)  e  Ux  IV*,  (uB,  aB)  e  Kx  W*,  (uc,  crc)  e  Kx  Z ' are  solutions  o f  problems  А ,  В ,  C,  respectively  i f  they  are  the  saddle  points  of  the  Reissner  functional  defined  on  the  sets  INEQUALITIES  IN  SHELL  PROBLEMS  251 Ux  IV*, Кx  W*,  KxЈ,  respectively.  If  follows  that  the  following  inequalities  have  to  hold  (3.1)  Щ ил,  т)  <  ,Г (ил,  aA)r.<  &(v,  aA),  V ( c , г)  e  C/x  IV*,  (3.2)  , ^ ( „ B ,  т)  <  ҐЩ ,  rr„) &  aB),  V(v,  т)  e  Kx  W*,  (3.3)  .W{uc,  r)  <  ac)  <  ^ ( o ,  c r c ) /  V(w, т)  6  KxS.  T o  observe  this  fact  it  can  be  easily  seen  that  the  left  hand  sides  of  (3.1),  (3.2),  (3.3)  are  derived  from  the  constitutive  relations  (2.2),  (2.6)  and  (2.9),  while  the  right  hand  sides  are  obtained  from  equilibrium  conditions  (2.1),  (2.5)  (2.8),  respectively.  The  sufficient  condition  follows  directly  from  the  definition  o f  the  Reissner  functional  (2.4).  Since  CLv)­P(v, T) = —  \\x­CLv\\2,  for  v  e  U  and  т  e  W*,  then  &(v,  CLv)  ^  &(v,  r)  for  every  т  e  W*  holds.  Then  from  the  right  hand  sides  o f (3.1),  (3.2),  (3.3)  and  after  taking into acount  (2.3),  (2.7)  we  conclude  that  ^(uA,  aA)  =  min &( v>  CLv),  veU ' V , ­ "  ­f f i'с &(uB,  aB)  =  т \п ^{ю ,  CLv),  veK &{uc,  o­c)  <  min  ^(v,  CLv).  veK 4.  Some  relations  between  solutions  o f  problems  А ,  В ,  С  w i l l  be  now  derived.  L e t  us  denote  by  Ps  the  orthogonal  projection  from  W*  o n  27.  F o r  any  a  e  W*,  projection  Psa  is  the  best  approximation  to  a  i n  the  closed  set  27 given  by  \\Ps&­a\\ < T ­ С ТЦ ,  V T  e27.  Р ц о  satisfies  the  variational  inequality  [Pzo­o,  r­P^a]  >  0,  V r e 2 7 .  Therefore  from  (2.9)  we  have  (4.1)  а с  =  PrCLuc.  By  virtue  of the  right  hand  side  of  (3.2)  and  taking  into  account  (2.3)  and  (2.7)  we  conclude  that  (4­2)  <УВ=Р С КОЛ ,  where  CLK  is  the  image  of  К  under  mapping  CL.  I f  ал  e  CLK,  then  aB  =  aA,  I f  К г л К е г  CL  Ф  0  then  from  inequalities  (2.5)  and  (2.8)  we  have  (4.3)  |[(TB|| 2  s=   =  [aA,aB],  (4.4)  [ot,  CLuc]  ^    =  [aA,  CLuc].  By  virtue  o f  (4.3),  \\aB\\  Ś  \\aA\\  holds.  F r o m  the  inequality  on  the  left  hand  side  of  (3.2)  we  obtain  252 A . G A Ł K A  • ^ ( " в,  а А ) <  &(ив,  о  в),  hence  (4.5)  \\aA\\ 2^2{F,uBy­\\aB\\\  Putting  v  =  ис  in  (2.5)  and  v —  uB  i n  (2.8)  and  combining  the  obtained  inequalities,  we  arrive  at  The  direct  consequence  o f  inequality  (4.6)  and  equation  (4.1)  leads  to  the  corollary:  I f  CLK  с  27 then  aB  =  rrc.  5.  N o w  we  are  to  give  the  example  of constraints  for  deformation  and  stresses  leading  to  the  boundary  value  shell  problems.  T o  this  aid  assume  that:  Q  = 7 7 x (—h,  п ),Г1  =  =  г , Я х ( ­ А , А ) и Ях  { ­ Л } и Ях  {h},0 = (<9\<92)е Л,  Ј ё ( М Л , Л ).  Let  us  introduce  linear  spaces  V,  Y,  Y  by  means  of:  v  =  {v/v  =  m ,  о"  е Я Ч Я ),  v"  =  0  on  c i ' i / / ,  и  =  1,  ...,N},  у  =  № ­= a  m  1,  . ..,A},  У  =  {1/1  =  (8ft.  °eteL 2(Q),  i  =  1,  . ­,/}. Let  V*.  Y*,  Y*  stand  for  dual  spaces  o f  V,  Y,  Y,  respectively.  The  elements  o f  Y'*  and  «  —  о   Y*  can  be  identified  with  the  elements  o f  У and  У.  Let  us  introduce  the  linear  mapping  P:  V­* V,  putting  (5.1)  PCS) =  y„(X)v",  where  functions  у „ : Д­ > Л 3 > и =  l,...,N,  are  known,  у я  e  (L°° (O)) 3  The  adjoint  P *  o f  P  is  defined  by  the  relation  =   VieV.  Then  for  the  functional  F e P  given  by  < L * o ­ c ­ L * c r B ,  н „ ­ ис >  ^  0 ,  which  can  be  transformed  to  the  form  (4.6)    >  0  Vv  e  K,  where  A  =  P*L*CLP,  F =  P*F.  Let  the  constraints  for stresses  be  introduced  by the  mapping  Q*:  Y*xY*^Y*  (5.4)  Q*(o, o) =  (л а +va,  where  [i: Y*­*Y*,v.  Y*­+Y*  are  uniquely  determined  by  the  representations  ца,уке   e  (Z,°°(.Q))6.  The  conjugate  mapping  Q:  Y­>Yx  Y  is  given  by  the  relation  (Q(ej,  (a, a)) =  (ej 6*0». Щ  v(">  *J 6  *  hence  ( 0 ( c ) , ( a , a ) )  =  (/i*e,  a) + (y*e,  a).  Putting  now К  =  P(K) and  27 =  Q*(Ź *  Y*),  where  27 is  nonempty,  closed,  convex  set  in  Y*, the  problem  С  wi l l  be  reduced  to  the  following  problem  F i n d  й e  V  and  (a,a)e  27x  У*  such  that  (5.5)  (p*L*Q*(e,a)­F,v­u>  ^  0,  V w e A : ,  (5.6)  (QDQ*(a,a)­QLPU,  (r­a,  r­a))>  0,  ( f ,  f ) e 2 7 x F * .  The  inequality  (5.6) yields  (5.7)  (?,*DQ*(ź ,  l)­fi*LPu,  т ­а )  ^ 0  V r e i ' ,  (5.8)  **Z)g*(ff, a)­v*LPu  = 0 .  By  virtue  of the definition  of mapping  Q*,  from  E q .  (5.8)  we see that  v*Dra  =  y*LPu­v*Dfia  Hence,  provided  that  det  (v*Dv) Ф 0  we  obtain  (5.9)  $  =  Ć v*LPu­Ć v*Dfia  where  Ć =  (v*Dv)~x.  Substituting  the right  hand  side  of E q .  (5.9)  to  (5.7)  and taking  into  account  (5.4) we  arrive  at  (5.Ю)  (fi*D(I­vCv*D)/M­fi*(l­DvCv*)LPu,T­a)^0  Vi  e27.  Furthermore,  substituting  the  right  hand  side  of  (5.9)  to  (5.5) we obtain  .  (5.11)  (P*L*(l­vĆ v*D)tia+P*Lb'Ć r*LPit­F,  v­ii)  >  0,  V w e K.  The  resulting  inequalities  (5.10)  and  (5.11)  of the  shell  problem  can be  written  down  in  the  final  form:  ( 5  , 2 )    Ź  0  4v  e  K,  ф д ­Т м ,,f­.5»  Ó  V r e 2 7 ,  254 Л . C i A I K A where  R  (t*(I­DvCy*)LP,  P*L*(I­vCv*D)fi,  P  l.*vCi*LJ>.  D  fx*D(l­rCv*D)/x.  Inequalities  (5.12)  were  obtained  by  imposing  the  constraints  for  deformations  and  stresses,  on the  three­dimensional  equilibrium  problem  of the  linear  elasticity.  The  con­ straints  for  deformations  modify  the  equilibrium  equations,  while  the  constraints  for  stresses  modify  the  constitutive  relations.  The constraints  under  consideration,  (cf. [5].  [1]),  are  different  from  those  used  i n papers  [2],  [3],  [4], which  modify  the  constitutive  relations  only.  F r o m  the  abstract  inequalities  (5.12),  by the  specification  of  constraints,  different  boundary  value  shell  problems  can be  obtained.  The inequalities  analogous  to  these  given  by Eqs.  (5.12)  can also  be  derived  from  a  tolerance  interpretation  of  the  bo­ undary­value  problems  of  the  classical  elasticity. [6].  1. A . G A L K A ,  O  formułowaniu  dwuwymiarowych zagadnień  brzegowych teorii sprę ż ystoś ci. Mech. Teorel. Stos., 1, 19, (1981). 2. A . C . P I P K I N ,  Constraints in  lineary elastic materials, J. Elasticity, 6, (1976). 3. R . ROSTAMIAN,  Internal constraints in boundary value problems  of  continuum mechanics, Indiana Univ. J . M a t h . 27, (1978). 4. R . ROSTAMIAN,  Internal constraints in  linear elasticity, J. Elasticity, 1, (1981). 5. C z . W O Ź N I A K, M . K L E I B L R ,  Nieliniowa mechanika konstrukcji, P W N Warszawa 1982. 6. C z . W O Ź N I A K,  On  the  tolerance approach  to  free­boundary  equilibrium problems for  the  linear­elastic  structures. Mech. Teoret. Stos. Н Е К О Т О Р ЫЕ Н Е Р А В Е Н С Т ВА В Л И Н Е Й Н ОЙ Т Е О Р ИИ О Б О Л О Ч ЕК В р а б о те д а на с л а б ая ф о р м у л и р о н ка с м е ш а н н ых г р а н и ч н ых з а д ач л и н е й н ой т е о р ии у п р у г о с ти с о с в я з я м и. Д о к а з а н о, ч то о на р а в н о с и л ь на з а д а чи с е д л о н ой т о ч ки д ля ф у н к ц и о н а ла Р е й с с н е ­р а. В ы в е д е но н е с к о л ь ко с о о т н о ш е н ий м е ж ду р е ш е н и я ми с ф о р м у л и р о в а н н ых з а д а ч. Р а с с м о т р е но к л а сс с в я зи в е д у щ их к п р о б л е м ам т е о р ии о б о л о ч е к. S t r e s z c z e n i e О P E W N Y C H N I E R Ó W N O Ś C I A CH W L I N I O W Y C H Z A G A D N I E N I A C H P O W Ł O K W pracy podano s ł a b e s f o r m u ł o w a n i e mieszanych z a g a d n i e ń brzegowych w liniowej teorii spreż y­ ?>toś ci z w i ę z a m i. Wykazano ich  r ó w n o w a ż n o ść  z  zagadnieniem  punktu  s i o d ł o w e g o  dla  f u n k c j o n a ł u  Reis­ snera.  Wyprowadzono  kilka  relacji  m i ę d zy  r o z w i ą z a n i a mi  s f o r m u ł o w a n y c h  z a g a d n i e ń .  Rozpatrzono  klasę  w i ę z ów  p r o w a d z ą cą  do  z a g a d n i e ń  teorii  p o w ł o k .  References  P  e  3 ю  M e Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  27  marca  1983 roku