Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  P E W I E N  M O D E L  M E C H A N I C Z N Y  K R Ę G O S Ł U PA  L Ę D Ź W I O W O ­ K R Z Y Ż O W E GO  C Z Ł O W I E K A  M A R E K  D I E T R I C H  Politechnika  Warszawska  P A W E Ł  K U R O W S K I  Politechnika  Warsza wska  1.  W s t ę p  Wzrastają ca  liczba  chorych  z  b ó l o w y m i  zespołami  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego  stanowi  p o w a ż ny  problem  społeczny  i  leczniczy.  Jedną  z  najczę stszych  przyczyn  zespołów  b ó l o w y c h  są  r ó ż n e go  rodzaju  zmiany  pato­ logiczne  tego  odcinka  k r ę g o s ł u p a,  wpływają ce  na jego  własnoś ci  mechaniczne.  G r o ź n ym  schorzeniem  wystę pują cym  u  ok. 5% populacji  rasy  białej  jest  p ę k a n ie  ł u k ó w  dolnych  krę gów  lę dź wiowych  (bą dź  ich  bardzo  duże  deformacje),  mogą ce  p r o w a d z i ć  do  p o w a ż n y ch  konsekwencji  neurologicznych.  Obserwacje  kliniczne  dają  p o d s t a w ę  do  przypuszczeń,  że  pę knię cia  te  są  spowodo­ wane  czynnikami  natury  mechanicznej,  a  więc  głównie  obcią ż eniami  tego  odcinka  krę­ gosłupa  i  n a p r ę ż e n i a mi  w jego  elementach,  mają cymi  chaiakter  zmę czeniowy.  Natura  pę knięć  ł u k ó w  dolnych  krę gów  lę dź wiowych  nie jest  dostatczhie  wyjaś niona.  Pewne  znane  w  medycynie  hipotezy  t r a k t u j ą  obcią ż enia  mechaniczne  j a k o  podstawowe  czynniki  p o w o d u j ą ce  uszkodzenia  krę gosł upa,  inne  jako  czynniki  r ó w n o w a ż ne  czynnikom  biologicznym,  jeszcze  inne  j a k o  czynniki  d r u g o r z ę d n e.  Celem  tej pracy  jest  o d p o w i e d ź  na pytanie,  czy pę knię cia  ł u k ó w  dolnych  krę gów  lę dź­ wiowych  mogą  być  w y w o ł a n e  czynnikami  natury  mechanicznej,  a t a k ż e  analiza  c z y n n i k ó w  mechanicznych,  k t ó r e  m o g ą  wpływać  na  uszkodzenia  tej  czę ś ci  k r ę g o s ł u p a.  Jeś li  bowiem  r o z k ł a d  obcią ż eń  i n a p r ę ż e ń,  przede  wszystkim  w krę gach,  bę dzie  przynajmiej  j a k o ś c i o wo  o d p o w i a d a ł  stwierdzanym  klinicznie  postaciom  u s z k o d z e ń ,  to  ś wiadczyć  to  bę dzie,  że  me  m o ż na  w y e l i m i n o w a ć  c z y n n i k ó w  natury  mechanicznej  jako  istotnych  przyczyn  tych  u s z k o d z e ń .  W  przeciwnym  przypadku  trzeba  bę dzie  uznać  wpływ  czynników  mechanicz­ nych  za  m a ł o  istotny.  Ze  wzglę du  na ograniczoną  d o s t ę p n o ść  b a d a ń  bezpoś rednich  a t a k ż e  niebezpieczeń stwa  zwią zane  z  ich stosowaniem,  jedynym  sposobem  umoż liwiają cym  realizację  postawio­ nego  celu  pracy  jest  zbudowanie  odpowiedniego  modelu  krę gosłupa  i  przeprowadzenie  b a d a ń  modelu.  Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83  262  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI  2.  Model  mechaniczny  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego  K r ę g o s ł up  człowieka  s k ł a d a  się z 33 ­ 34  krę gów,  spoś ród  któryc h  g ó r n e  24 są  połą czone  ze  sobą  w  s p o s ó b  umoż liwiają cy  wzajemne  przemieszczenia  są siednich  krę gów.  N a  te  24  ruchome  krę gi  połą czone  krą ż kami  mię dzykrę gowymi,  stawami  mię dzykrę gowymi  oraz  systemem  mię ś ni  i  wię zadeł  składają  się:  siedem  krę gów  szyjnych  C , ,  ...  C 7 ,  dwa­ naś cie  piersiowych  Tht,  Th12  oraz  pięć  k r ę g ów  lę dź wiowych  L , , . . . , Z . 5 .  K r ą g  L5  jest  połą czony  z  koś cią  krzyż ową  powstałą  ze  zroś nię cia  się  pię ciu  krę gów  krzyż owych  St,...,Ss  i  wchodzą cą  w  skład  miednicy  (rys.  1).  Rys.  1  K r ę g o s ł up  c z ł o w i e k a  widziany  Rys.  2  P r a w i d ł o w y  krąg  l ę d ź w i o w y;  od  przodu  i  z  prawej  strony;  zaznaczony  a  —  widok  z  prawej  strony  p o d z i a ł  na  c z ę ść  szyjną  —  a,  p i e r s i o w ą  —  b  —  widok  z  g ó r y .  l ę d ź w i o wą  —  с  oraz  k o ś ć  k r z y ż o wą   wraz  z  k o ś c ią  g u z i c z n ą  —  d.  K a ż de  dwa  są siednie  krę gi  posiadają ce  moż liwość  wzajemnych  przemieszczeń,  tworzą   wraz  z  łą czą cymi  je  elementami  tzw.  segment  ruchowy.  Właś ciwy  zakres  tym  przemieszcze­ niom  zapewnia  aparat  wię zadłowy  i  system  k r ó t k i c h  mię ś ni  mię dzykrę gowych.  Mię ś nie  przy  pomocy  k t ó r y c h  realizowane  są  ruchy  k r ę g o s ł u p a,  m o ż na  zgrubnie  podzielić  na  dwie  antagonistyczne  grupy:  mię ś nie  grzbietu  wś ród  których  najważ niejszym  jest  prostownik  grzbietu  i  mię ś nie  przedniej  ś ciany  brzucha.  Odcinek  lę dź wiowy  k r ę g o s ł u pa  s k ł a d a  się  z  5  krę gów  o  zbliż onym  kształcie  (rys.  2).  Budowa  w y r o s t k ó w  stawowych  sprawia,  że  moż liwe  są  tu  duże  wzajemne  przemieszczenia  ką towe  w  płaszczyź nie  strzałkowej  (do  kilkunastu  stopni),  zaś  w  pozostałych  płaszczy­ znach  są  one  ograniczone  do  k i l k u  stopni.  Schorzenia  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego,  w  szczególnoś ci  wspomniane  j u ż   pę knię cia  ł u k ó w  krę gowych  w  obszarach  wę zin  ł u k u  (tzw.  krę goszczelina),  wystę pują   w  r ó ż n y ch  grupach  wiekowych  i  zawodowych,  z a r ó w n o  wś ród  s p o r t o w c ó w  jak  i  o s ó b  MODKL  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  263  prowadzą cych  siedzą cy  tryb  ż ycia.  W ś r ód  czynnoś ci  ruchowych  m o ż na  wskazać  takie,  k t ó r e  wią żą  się  ze  szczególnie  d u ż ym  zagroż eniem  wystą pienia  krę goszczeliny,  a  więc  np.  wiosłowanie,  bieg  przez  płotki  itp.  Weryfikując  jednak  hipotezę  o  mechanicznej  na­ turze  pę knięć  należy  ze  wzglę du  na  powszechność  zjawiska,  p r z e a n a l i z o w a ć  obcią ż enia  krę gów  lę dź wiowych  wystę pują ce  podczas  normalnej  aktywnoś ci  ruchowej.  S p o ś r ód  czynnoś ci  składają cych  się  na  taką  a k t y w n o ś ć  należy  z  kolei  wybrać  takie,  po  k t ó r y c h  m o ż na  spodziewać  się  wystą pienia  duż ych  obcią ż eń  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego.  Codzienne  doś wiadczenie  uczy  nas,  że  czynnoś cią  taką  jest  np.  dź wiganie  r ę k a mi  cię ż aru  w  pozycji  s k ł o n u  do  przodu  (rys.  3).  Rys.  3  D ź w i g a n ie  c i ę ż a ru  w  pozycji  s k ł o n u  do  przodu;  QT  —  cię ż ar  c i a ł a  p o w y ż ej  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o w e go  Qi  —  cię ż ar  d ź w i g a ny  w  r ę k a c h.  Prostownik  grzbietu  P r z e p o n a  \Mię sień  prosty  b r z u c h a  Rys.  4  Model  mechaniczny  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o w o ­ k r z y ż o w e g o.  Zasadniczą  rolę  w  dź wiganiu  cię ż aru  pełnią  mię ś nie  obrę czy  barkowej  i  k o ń c z yn  g ó r n y c h ,  prostownik  grzbietu,  mię ś nie  brzucha,  przepona  oraz  mię ś nie  utrzymują ce  w  odpowiedniej  pozycji  miednicę  i  koń czyny  dolne.  M o d e l  mechaniczny  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego  służ ą cy  do  znalezienia  obcią ż eń  działają cych  na  krę gi  w  głę bokim  skłonie  ciała  do  przedu  i  w  innych  pozycjach,  celem  przeprowadzenia  p o r ó w n a ń ,  musi  uwzglę dniać  prostownik  grzbietu  i  mię ś nie  brzucha  tj.  główne  grupy  mię ś niowe  utrzymu­ 10*  2 6 4  M .  DIKTRICH,  Р .  KUROWSKI  ją ce  ciało  w  r ó w n o w a d z e  w  płaszczyź nie  strzałkowej,  a  także  efekt  działania  tłoczni  brzusznej.  Ograniczenie  r o z w a ż ań  do  analizy  czynnoś ci  podczas  k t ó r y c h  ciało  pozostaje  syme­ tryczne  wzglę dem  płaszczyzny  strzałkowej,  pozwala  zastą pić  odcinek  lę dź wiowo­krzyż owy  p ł a s k i m  u k ł a d e m  mechanicznym.  Proponowany  u k ł a d  mechaniczny  s k ł a d a  się  z  7  brył  sztywnych:  czę ś ci  ciała  powyż ej  k r ą ż ka  m i ę d z y k r ę g o w e go  Th12/Ll  i  przepony,  pię ciu  krę gów  lę dź wiowych  oraz  miednicy  podpartej  przez  k o ń c z y ny  dolne  (rys.  4).  Wszystkie  bryły  są  szeregowo  połą czone  przez  n i e o d k s z t a ł c a l n e  przeguby  w  miejscach  odpowia­ dają cych  p o ł o ż e n iu  j ą d er  miaż dż ystych  ( w e w n ę t r z na  czę ść  k r ą ż ka  mię dzykrę gowego).  P o d z i a ł  k r ę g o s ł u pa  w  powyż szy  s p o s ó b jest  uzasadniony  niewielkim  zakresem  wzajemnych  przemieszczeń  k r ę g ów  w  odcinku  piersiowym,  niewielkim  cię ż arem  tułowia  p o m i ę d zy  krę gami  Thl2  i  S,  i  dużą  sztywnoś cią  miednicy.  Prostownikowi  grzbietu  odpowiada  w  modelu  'system  e l e m e n t ó w  realizują cych  o d d z i a ł y w a n i a  siłowe  łą czą cych  wszystkie  siedem  brył.  S p o s ó b  wyznaczania  miejsc  przyczepu  prostownika  grzbietu  do  k r ę g ów  Thi,2,  Ly;  L3,  SL  wyjaś nia  rys.  5.  Ł ą c z ne  działanie  mię ś ni  przedniej  ś ciany  brzucha  zastą pione  jest  d z i a ł a n i e m  mię ś nia  prostego  brzucha,  imitowanego  elementem  realizują cym  o d d z i a ł y w a n i a  siłowe  i  przebiegają cym  p o m i ę d zy  wyrostkiem  mieczykowatym  a  spojeniem  ł o n o w y m .  Prostownik  grzbietu  ..Miejsce  przyczepu  Rys.  5  S p o s ó b  znalezienia  miejsc  przyczepu  m i ę ś n ia  prostownika  grzbietu  do  k r ę g ów  77i 1 2 ,  Lb,  S,.  K r z y ż yk  oznacza  ś r o d ek  c i ę ż k o ś ci  przekroju  m i ę ś n i a.  Efekt  d z i a ł a n i a  tłoczni  brzusznej  wyraża  się  w  modelu  w y p a d k o w ą  siłą  ciś nienia  brzu­ sznego  działają cą  na  p r z e p o n ę .  O d d z i a ł y w a n i e  ciś nienia  w e w n ą t rz  jamy  brzucha  na  po­ zostałe  ś ciany  brzucha  p o m i n i ę t o,  gdyż  nie  odgrywa  ono  istotnej  roli  w  odcią ż eniu  k r ę g ó w.  Przyję ta  pozycja  ciała  i  wymiary  brył  okreś lają  jednoznacznie  kierunki  działania,  sił  mię ś niowych  oraz  siły  ciś nienia  brzusznego,  gdyż  siła  ta  jest  p r z y ł o ż o na  w  ś r o d ku  cię ż koś ci  rzutu  przepony  na  poziomy  p r z e k r ó j  tułowia  (rys.  6)  i działa  r ó w n o l e g l e  do  siły  w  mię ś niu  prostym  brzucha.  S p o s ó b  okreś lenia  kierunku  wypadkowej  siły  ciś nienia  brzu­ sznego  wynika  z  tego,  że  w  analizowanych  dalej  pozycjach  ciała,  przepona  zajmuje  po­ łoż enia,  w  k t ó r y c h  płaszczyzna  rzutu  przepony  na  czę ść  ciała  powyż ej  k r ę gu  Li  przecina  kierunek  działania  mię ś nia  prostego  brzucha  pod  ką tem  z b l i ż o n ym  do  prostego.  Obcią ż enia  krę gów  lę dź wiowych  p o c h o d z ą  od  cię ż aru  w ł a s n e g o  tułowia  Qr  powyż ej  krę gu  Z.,  i  cię ż aru  dź wiganego  w  r ę k a ch  Q7.  Punkty  przyłoż enia  sił  QT  i  Qz  wyznaczone  M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  265  zostały  na  podstawie  p o m i a r ó w  ciała.  W a r t o ś ć  siły  Qr  znaleziono na  podstawie  pracy  [9].  Wymiary  e l e m e n t ó w  modelu  mechanicznego  oraz jego  konfigurację  ustalono  na  podstawie  zdjęć  rentgenowskich  i  fotograficznych  obejmują cych  pozycje  ciała  od  s k ł o n u  do  tyłu  do  głę bokiego  skłonu  do  przodu.  Rys.  6  S p o s ó b  znalezienia  p o ł o ż e n ia  ś r o d ka  parcia  c i ś n i e n ia  w e w n ą l r z b r z u s z n e go  na  p r z e p o n ę ;  S'—pole  rzutu  przepony  na  p ł a s z c z y z n ę  przekroju.  266  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI  Pozycje  ciała  bę dą  o k r e ś l a ne  dalej  poprzez  kąt  у  odchylenia  górnej  czę ś ci  tułowia  o d  pionu  (rys.  7).  Pozycje  w  zakresie  у  =  —20°  do  у  =  100°  wyznaczone  zostały  empi­ rycznie,  pozycje  spoza  tego  zakresu  zostały  wytworzone  sztucznie  i  wyniki  ich  analizy  bę dą  miały  jedynie  znaczenie  poglą dowe.  3.  Model  matematyczny  Znalezienie  wartoś ci  sił  mię ś niowych  i  reakcji  p o m i ę d zy  krę gami  w  modelu  mecha­ nicznym  z  rys.  4  wymaga  analizy  r ó w n o w a g i  sześ ciu  brył  sztywnych  wzglę dem  u k ł a d u  odniesienia  zwią zanego  z  miednicą.  18  liniowych  algebraicznych  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  zawiera  6  nieznanych  wartoś ci  sił  mię ś niowych  w  kolejnych  odcinkach  prostownika  grzbietu  nieznaną  wartość  siły  w  mię ś niu  prostym  brzucha  i  12  składowyc h  6  nieznanych  reakcji  mię dzykrę gowych.  *  Łą cznie  mamy  więc  19  niewiadomych,  a  jeś li  za  n i e w i a d o m ą  przyjmie  się  w a r t o ś ć   siły  ciś nienia  w e w n ą t r z b r z u s z n e g o,  to  ich  liczba  wzroś nie  do  20.  Rys.  8  S i ł y  przenoszone  przez  segment  ruchowy:  Fa—  siła  działają ca  na  wyrostki,  Fd  —  siła  działają ca  na  krą ż ek  m i ę d z y k r ę g o w y.  O d d z i a ł y w a n i e  wewną trz  segmentu  ruchowego  (tj.  siły  przenoszone  przez  krą ż ek  mię dzykrę gowy  i  siły  pomię dzy  wyrostkami  stawowymi)  zastą pione  jest  w  modelu  j e d n ą   w y p a d k o w ą  reakcją.  Odpowiedni  w y b ó r  k i e r u n k ó w  działania  s k ł a d o w y c h  tej  reakcji  pozwala  na  uwzglę dnienie  dwu  d r ó g  przenoszenia  o b c i ą ż e n i a:  przez  k o l u m n ę  t r z o n ó w  i  k o l u m n ę  ł u k ó w  krę gowych.  Z  rys.  8a  widzimy,  że  siła  Fa   przedstawiają cą  o d d z i a ł y w a n i e  p o m i ę d zy  wyrostkami  stawowymi  (suma  r z u t ó w  sił  działają cych  na  oba  wyrostki  na  płaszczyznę  strzałkową)  działa  na  kierunku  p r z e c h o d z ą c ym  bardzo  blisko  ś r o d ka  j ą d ra  m i a ż d ż y s t e g o,  k t ó r e  jest  głównym  elementem  przenoszą cym  obcią ż enie  Fj   w  k r ą ż ku  m i ę d z y k r ę g o w y m.  R o z k ł a d a j ą c  siłę  Fd   na  s k ł a d o w e  wg  rys.  8b,  oddziaływani e  pomię dzy  krę gami  przedstawimy  w  s p o s ó b  pokazany  na  rys.  8c.  M O D E L  K R Ę G O S Ł U PA  CZŁOWIEKA  267  Wyznaczenie  wartoś ci  sił  mię ś niowych  i  reakcji  mię dzykrę gowych  na  podstawie  18  równań  równowagi  z  19  lub  20  niewiadomymi  wymaga  dodatkowych  z a ł o ż e ń.  W  tej  pracy  przyjmiemy  założ enie,  że  mię ś nie  są  sterowane  przez  system  nerwowy  w  s p o s ó b  optymalny.  Założ enie  takie,  wynikają ce  z  istnienia  ogólnej  celowoś ci  budowy  i  funkcjo­ nowania  o r g a n i z m ó w  ż ywych,  przyjmowali  również  inni  autorzy  buduą jcy  modele  mate­ matyczne  z  zakresu  biomechaniki  [1]  [3]  [6].  Optymalizacja  działania  mię ś ni  człowieka  wią że  się  z  dą ż eniem  do  nadania  wartoś ci  ekstremalnej  odpowiedniej  funkcji  celu,  zależ nej  od  realizowanego  kryterium  optymalnego  sterowania.  Dlatego  też  zbudowanie  modelu  optymalizacyjnego  wymaga  przyję cia  kry­ teriów  optymalnego  sterowania  i  zdefiniowania  funkcji  celu.  Ze  wzglę du  na  brak  metod  pozwalają cych  na  pomiary  sil  we  wszystkich  mię ś niach  biorą cych  udział  w  wykonywanej  czynnoś ci,  w y b ó r  kryterium  optymalnego  sterowania  i  funkcji  celu  musi  być  wyborem  arbitralnym.  Uwzglę dnienie  w  modelu  mechanicznym  d w ó c h  tylko  grup  mię ś niowych  u ł a t w i a  wybór  kryterium  optymalnego  sterowania  i  definicję  funkcji  celu.  Są  to  bowiem  duże  mię ś nie,  stosunkowo łatwe  do  obserwacji,  m.in.  dlatego,  że  ich  działanie  (i  jego  skutki  np.  zmę czenie)  m o ż na  sobie  u ś w i a d o m i ć.  Modelując  czynnoś ć,  w  której  bierze  udział  k r ę g o s ł up  są dzić  m o ż n a,  że  sterowanie  mię ś niami  zachodzi  tak,  by  siły  mię ś niowe  i  obcią ż enia  k r ę g o s ł u pa  były  moż liwie  małe.  Funkcja  celu  m o ż e  więc  m i e ć  p o s t a ć :  n  m  .  . „ \ ,  . ­  ­i  /с,  У ^г ^х ^к г £  Fj  =  m i n ,  (1)  /=i  j­i  gdzie:  .vf  — w a r t o ś ć  siły  w  z­tym  mię ś niu  Vj —  obję tość  /­tego  mię ś nia  я  —  liczba  uwzglę dnionych  w  modelu  mię ś ni  Fj —  w a r t o ś ć  reakcji  w  ./'­tym  segmencie  ruchowym  ///  ­  liczba  uwzglę dnionych  w  modelu  segmentów  ruchowych  к  i .  A­, —  współczynniki  uwzglę dniają ce  wpływ  wielkoś ci  sumy  sił  mię ś niowych  i  sumy  reakcji  mię dzykrę gowych  na  ucią ż liwość  danej  pozycji  dla  orga­ nizmu.  Analizie  poddane  zostaną  czynnoś ci  z  zakresu  zwykłej  aktywnoś ci  ruchowej,  m o ż e my  się  więc  spodziewać,  że  w  takim  przypadku  sterowanie  odbywa  się  tak,  by  wykonanie  czynnoś ci  w y m a g a ł o  moż liwie  najmniejszego  wysiłku  (sterowanie  nie  ma  tu  na  celu  ochrony  krę gosłupa)  wią ż ą cego  się  b e z p o ś r e d n io  z  siłami  mię ś niowymi.  Funkcję  celu  m o ż na  więc  Przedstawić  w  postaci:  V  w  ViXt  =  m i n .  (2)  i  ^ p r o p o n o w a n y  model  mechaniczny  uwzglę dnia  mię ś nie  zbliż one  wielkoś cią  i  dlatego  fnkcje  celu  wyrazimy  w  jeszcze  prostszej  postaci:  2J   xt  ­  m i n  •  (3)  i  \   268  M .  D U T R I C H ,  Р .  KUROWSKI  Jest  oczywiś cie  moż liwe  rozwią zanie  zagadnienia  optymalizacyjnego  przy  bardziej  złoż onej  funkcji  celu.  Wydaje  się  jednak,  że  nie  znając  prawdziwego  kryterium,  celowe  jest  stosowanie  funkcji  sensownej  a  moż liwie  prostej.  Siły  mię ś niowe  nie  mogą  p r z y j m o w a ć  wartoś ci  ujemnych,  a  krą ż ki  mię dzykrę gowe  nie  powinny  być  rozcią gane  (groziłoby  to  ich  zniszczeniem),  i dlatego  przyjmiemy  nastę pują ce  ograniczenia  n i e r ó w n o ś c i o w e:  '  #  >  0  i  2  0  (4)  gdzie  Fdnjij  Щ  1  6)  oznaczają  s k ł a d o w e  normalne  reakcji  mię dzykrę gowych  w  sześ ciu  segmentach  ruchowych.  M o d e l  matematyczny  opisują cy  r ó w n o w a g ę  u k ł a d u  mechanicznego  s k ł a d a  się  więc  z  18  liniowych  algebraicznych  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  z  19  lub  20  niewiadomymi,  liniowej  funkcji  celu  (3)  i  w a r u n k ó w  n i e r ó w n o ś c i o w y ch  (4).  Jest  to  zagadnienie  z  zakresu  progra­ mowania  liniowego,  łatwe  do  rozwią zania  przy  uż yciu  standardowych  metod,  np.  metody  s i m p l e k s ó w .  4.  Analiza  modelu  matematycznego  M o d e l  matematyczny  bę dziemy  b a d a ć  w  d w ó c h  wariantach:  Pierwszy  pozwala  na  znalezienie  optymalnego  rozwią zania  łą cznie  z  o p t y m a l n ą  wartoś cią  siły  ciś nienia  wewną trz­ brzusznego.  W  przypadku  wysokiego  obcią ż enia  z e w n ę t r z n e go  (np.  d u ż y  cię ż ar  dź wigany  w  r ę k a c h)  m o ż e  jednak  się  o k a z a ć ,  że  optymalna  w a r t o ś ć  ciś nienia  jest  za  wysoka  w  sto­ sunku  do  moż liwoś ci  organizmu  i  rozwią zania  zagadnienia  optymalizacyjnego  nie  bę dzie  m o ż na  odnieść  do  rzeczywistego  k r ę g o s ł u p a.  W  przypadku  d u ż e go  obcią ż enia  z e w n ę t r z n e go  s p o d z i e w a ć  się  m o ż n a,  że  rzeczywiste  (moż liwe  do  wytworzenia)  ciś nienie  w e w n ą t r z b r z u s z ne  przyjmie  m a k s y m a l n ą  moż liwą   w a r t o ś ć.  Przypadek  ten,  a  r ó w n i e ż  przypadek  np.  braku  ciś nienia  w e w n ą t r z b r z u s z n e go  bę dziemy  m o d e l o w a ć  modelem  w  wariancie  2,  gdzie  w a r t o ś ć  ciś nienia  brzusznego  jest  pa­ rametrem  ч  przybierają cym  r ó ż ne  dane  w a r t o ś c i.  Wariant  ten  wymaga  wykonywania  obliczeń  dla  każ dej  z  danych  wartoś ci  ciś nień,  i  pozwala  znaleźć  ciś nienie  najlepsze,  moż liwe  do  realizacji  w  naturze  wtedy,  gdy  wytworzenie  ciś nienia  o  optymalnej  (ze  wzglę du  na  minimalizację  funkcji  celu  3)  wartoś ci  nie  jest  moż liwe.  R y s .  9  przedstawia  wyznaczone  wartoś ci  funkcji  celu  w  zależ noś ci  od  pozycji  ciała  w  d w ó c h  przypadkach:  dź wiganie  cię ż aru  Qz  =  400N  i  bez  obcią ż enia  rą k.  D l a  obu  wartoś ci  Qz  linia  g ó r n a  odpowiada  ciś nieniu  brzusznemu  r ó w n e m u  0  (wariant  2,  p  =  0),  linia  „ k r o p k o w a n a "  —  ciś nieniu  optymalnemu  dla  danej  pozycji  i  obcią ż enia  rąk  (wariant  1.  Р  — Popt)­  Uwzglę dniając  wyniki  b a d a ń  d o ś w i a d c z a l n y c h,  k t ó r e  nie  wykazują  ciś nień   wewną trzbrzusznych  wyż szych  od  ok.  0.03  M P a [5],  rys.  9  zawiera  jeszcze  krzywą  ograni­ czają cą  od  g ó r y  pole  zakreskowane  (dla  Qz  =  400N).  K r z y w a  ta  przedstawia  wartoś ci  funkcji  celu  z  uwzglę dnieniem  warunku  wg  k t ó r e g o  nie jest  moż liwe  wytworzenie  ciś nienia  wyż szego  od  0.024  M P a  (wariant  2,  p  ^  0.024  M P a ) .  Przyję ta  w a r t o ś ć  ciś nienia  0.024  M P a  wydaje  się  o d p o w i a d a ć  wartoś ci  moż liwej  do  wytworzenia  przez  sprawnego  fizycznie  człowieka.  W  przypadku  braku  obcią ż enia  rąk  (Qz  =  0)  nie  ma  potrzeby  wytworzenia  ciś nienia  wyż szego  od  0.024 M P a , stąd  dla  Qz  =  0  brak  jest  na  rys. 9 pola  zakreskowanego.  M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  269  А  /М Ы   Q , = 4 0 0  N  Pozycje  zarejestrowane in vivo  Rys.  9.  W a r t o ś ć  funkcji  celu  Z  w  z a l e ż n o ś ci  od  pozycji  c i a ł a ,  o b c i ą ż e n ia  z e w n ę t r z n e go  i  c i ś n i e n ia  w e w n ą t rz  jamy  brzusznej.  ­ 8 0 "  ­60°  ­40°  ­20°  0°  20°  40°  60°  80°  100° 120°  140°  180°  f  '  P o z y c j e  zarejestrowane  in vivo" I  Rys.  10.  W a r t o ś ć  sity  normalnej  Fiu  (wg  rys.  8)  w  segmencie  ruchowym  L s / S j ,  dla  r ó ż n y ch  pozycji  c i a ł a  podczas  d ź w i g a n ia  c i ę ż a ru  Qz  =  400N  (znaczenie  linii  „ k r o p k o w a n e j " — ­ j a k  na  rys.  9).  Rys.  10 przedstawia  zależ ność  siły  normalnej  Fd n  przenoszonej  przez  segment  ruchowy  ^s/ S i   od  przyję tej  pozycji  ciała  dla  Q z  =   4 0 0 N  w  d w ó c h  przypadkach:  braku  ciś nienia  wewną trzbrzusznego  i  przy  ciś nieniu  o  wartoś ci  optymalnej,  moż liwej  do  wytworzenia  w  naturze  (p  <  0.024  M P a ) . W g  [8]  w y t r z y m a ł o ś ć  trzonu  k r ę gu  lę dź wiowego  na  ś ciskanie  w y n o s i  ok.  6500N  i  wykazuje  wysoką  z m i e n n o ś ć  w  zależ noś ci  od  wieku,  stopnia  osteo­ 270  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI  poroży  itp.  Mając  to  na  uwadze  widzimy  na  podstawie  rys.  10, że podnoszenie  cię ż aru  400N  w  pozycji  skłonu  do  przodu  może  wywołać  uszkodzenie  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowego,  a  odcią ż enie  go  przez  ciś nienie  brzuszne  może  d e c y d o w a ć  o  bezpieczeń stwie  wykonania  tej  czynnoś ci.  Rys.  11 pozwala  p o r ó w n a ć  wartoś ci  wypadkowych  sił w kolejnych  segmentach  rucho­ wych  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego  dla  Qz  =  0,  4 0 0 N  i  p  — 0.  W  pozycji  s k ł o n u  do  przodu  najwyż ej  obcią ż one  są  krę gi  L 4  i  L5.  3 +  2­F  /  = ­ 2 0 °  r 1 "  Q  ­ 4 0 0 N  J J  cni  3  Э   CVJ1  (Ti ­ч г1  Й   J j t ^ J J J J J t / )  cg  CÓ  u">  _j  _ i  _ i  _ J _ J _ t _ l — l ^ _ J _ J _ J _ J _ !  Rys.  11  W a r t o ś ci  wypadkowego  o b c i ą ż e n ia  przenoszonego  przez segmenty  ruchowe  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o­ w o ­ k r z y ż o w e go  w  pozycjach  c i a ł a  у  =  — 2 0 ° ,  у  =  0 ° , у  =  +100".  Rys.  12  przedstawia  obcią ż enie  krę gu  Ls  w  pozycji  у  =  80°,  Q7  =  4 0 0 N  i  p  =  0.  W i d z i m y ,  że  niewielka  (rzę du  1  cm)  zmiana  miejsca  przyczepu  mię ś nia  prostownika  grzbietu  do  koś ci  krzyż owej  spowodowana  np.  innymi  wymiarami  koś ci  krzyż owej  lub  inną  obję toś cią  mię ś nia  (lub zmiana  wzglę dnego  położ enia  krę gów  L5  i 5 t ) ,  wywołują ca  z m i a n ę  kierunku  d z i a ł a n i a  siły  w  mię ś niu  prostowniku  grzbietu  p o m i ę d zy  k r ę g a mi  L5  i  S , ,  wywołuje  zasadniczą  z m i a n ę  kierunku  działania  wypadkowej  siły  obcią ż ają cej  ł u k  krę gu  Ls.  W przypadku  duż e go  krę gu  St  wypadkowa  ta  działa  k u tyłowi  k r ę g u,  w  przy­ M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  271  padku  w y m i a r ó w  mniejszych,  znalezionych  na  podstawie  r a d i o g r a m ó w ,  wypadkowa  siła  jest  skierowana  w  s t r o n ę  trzonu  k r ę g o w e g o.  M o ż e my  stąd  w n i o s k o w a ć ,  że  indywidualne  róż nice  w  przybiegu  krzywizn  k r ę g o s ł u pa  i  róż nice  w  wymiarach  krę gów  i  koś ci  krzyż owej  m o g ą  stanowić  o  r ó ż n y ch  obcią ż eniach  krę gów,  nawet  przy  takich  samych  wymiarach  z e w n ę t r z n y ch  ciała,  obcią ż eniach  i  przyj­ mowanych  pozycjach.  M o d e l  matematyczny  pozwala  znaleźć  siły  działają ce  na  krę gi  lę dź wiowe,  m o ż e my  więc  posłuż yć  się  jego  wynikami  dla  zbadania  stanu  naprę ż eń  w  k r ę g a ch  lę dź wiowych.  Rys.  12  Sity  działają ce  na  krąg  L 5  w  pozycji  у  =  8 0 ° ,  Qz  =  400N,  p  =  0.  F^L,  =  4689N,  =  4905  N  lub  5602  N  —  wypadkowe  siły  przenoszone  przez  segmenty  ruchowe,  L 4 / L 5  i  LS/S„  i>CL4 /L5  =  4385  N ,  FI>GI,  IS,  =  4679N  lub  5199N  —  siły  w  m i ę ś n iu  prostownika  grzbietu  p o m i ę d zy  wyrostkami  kolczystymi  k r ę g ów  L 4  i  LS  oraz  k r ę g ów  L5  i  S i .  Siła  736N  jest  wypadkowym  o b c i ą ż e n i em  wyrostka  kolczystego  w  przypadku  gdy  k r ą g  S,  jest  r ó w n y  co  do  w i e l k o ś ci  k r ę g o wi  L S .  Siła  1373N jest  wypadkowym  o b c i ą ż e n i em  wyrostka  kolczystego  w  przypadku,  gdy  k r ą g  S,  ma  wymiary  mniejsze.  Z ł o ż o ny  kształt  i  budowa  wewnę trzna  k r ę gu  praktycznie  uniemoż liwiają  pełną  a n a l i z ę   stanu  n a p r ę ż e ń.  P o  realizacji  celu  naszych  b a d a ń  wystarczy  jednak  znalezienie  miejsc  o  najwyż szym  z a g r o ż e n iu  zniszczeniem,  tj.  tych,  k t ó r e  wg  hipotezy  o  mechanicznej  naturze  p r o c e s ó w  p r o w a d z ą c y ch  do  krę goszczeliny  powinny  p o d l e g a ć  procesom  patologicznym.  S p o ś r ód  pię ciu  krę gów  lę dź wiowych,  do  analizy  stanu  n a p r ę ż eń  wybierzemy  k r ą g  • Ł4  w  k t ó r y m ,  obok  k r ę gu  Ls,  notuje  się  p ę k a n ie  łuku  k r ę g o w e g o.  Miejsca  z a g r o ż o ne  zniszczeniem  znajdziemy  stosując  elastooptyczne  metody  z a m r a ż a n ia  n a p r ę ż e ń,  połą czone  z  p r ó b a m i  zniszczeniowymi  modeli.  Wnioskowanie  o  stanie  n a p r ę ż eń  w  rzeczywistym  k r ę gu  na  podstawie  w y n i k ó w  ekspe­ r y m e n t ó w  elastooptycznych  wymaga  zachowania  p o d o b i e ń s t wa  p o m i ę d zy  stanem  na­ 4385  5.  M o d e l  elastooptyczny  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego  272  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI  prę ż eń  w  modelu  i  w  rzeczywistym  k r ę g u.  Krąg  złoż ony  jest  z  koś ci  gą bczastej  i  korowej  0  róż nią cych  się  własnoś ciach  mechanicznych.  Uwzglę dnienie  tych  cech  w  modelu  byłoby  bardzo  trudne,  a  co  waż niejsze  m o g ł o b y  uniemoż liwić  analizę  efektów  elastooptycznych.  R ó ż ne  własnoś ci  mechaniczne  m a t e r i a ł u  z  reguły  pozostają  w  zwią zku  z  róż ną  czułoś cią   elastooptyczną  i  rozszerzalnoś cią  cieplną.  Niejednorodny  m a t e r i a ł  m ó g ł b y  uniemoż liwić   usunię cie  n a p r ę ż eń  własnych  i  zwią zanych  z  nimi  efektów  optycznych.  Z  tego  wzglę du  w  badaniach  stosujemy  jednorodny  m a t e r i a ł  modelu  elastooptycznego.  W y m i a r y  modelu  zachowujemy  identyczne  z  wymiarami  rzeczywistego  k r ę g u.  Stan  n a p r ę ż eń  w  krę gu  zależy  od  działają cych  na  niego  sii  P,  w y m i a r ó w  liniowych  /  1 k ą t o w y ch  a,  sztywnoś ci  m a t e r i a ł u  k r ę gu  opisanej  w  najprostszy  s p o s ó b  m o d u ł e m  sprę­ ż ystoś ci  E  i  liczbą  Poissona  r ,   sztywnoś ci  k r ą ż ka  m i ę d z y k r ę g o w e go  i  chrzą stek  mię dzy­ stawowych  S .   Z  analizy  wymiarowej  wynika,  że  dla  zapewnienia  p o d o b i e ń s t wa  modelowego,  przy  założ eniu  identycznoś ci  geometrii  rzeczywistego  krę gu  i  modelu  oraz  geometrycznie  podobnym  obcią ż eniu  k r ę gu  i jego  modelu,  należy  spełnić  nastę pują ce  warunki :  S o   _  E 0  _  _  ~ff­,  } 0 —  vm>  ni  E m  gdzie  „ o "  oznacza  wielkość  charakteryzują cą  rzeczywisty  krą g,  —  modelu  krę gu.  Obcią ż ając  model  elastooptyczny  spełniają cy  warunki  (5)  u k ł a d e m  sił  Pm  spełniają cym  p  zależ noś ci:  ­  ­  =  n,  uzyskamy  w  nim  stan  n a p r ę ż e ń,  k t ó r e g o  dowolna  s k ł a d o w a  am  bę dzie  spełniać  zależ ność