Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2/3,  21  (1983) 

P E W I E N  M O D E L  M E C H A N I C Z N Y  K R Ę G O S Ł U PA  L Ę D Ź W I O W O ­ K R Z Y Ż O W E GO 

C Z Ł O W I E K A 

M A R E K  D I E T R I C H 

Politechnika  Warszawska 

P A W E Ł  K U R O W S K I 

Politechnika  Warsza wska 

1.  W s t ę p 

Wzrastają ca  liczba  chorych  z  b ó l o w y m i  zespołami  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego 

stanowi  p o w a ż ny  problem  społeczny  i  leczniczy. 

Jedną  z  najczę stszych  przyczyn  zespołów  b ó l o w y c h  są  r ó ż n e go  rodzaju  zmiany  pato­

logiczne  tego  odcinka  k r ę g o s ł u p a,  wpływają ce  na jego  własnoś ci  mechaniczne.  G r o ź n ym 

schorzeniem  wystę pują cym  u  ok. 5% populacji  rasy  białej  jest  p ę k a n ie  ł u k ó w  dolnych 

krę gów  lę dź wiowych  (bą dź  ich  bardzo  duże  deformacje),  mogą ce  p r o w a d z i ć  do  p o w a ż n y ch 

konsekwencji  neurologicznych. 

Obserwacje  kliniczne  dają  p o d s t a w ę  do  przypuszczeń,  że  pę knię cia  te  są  spowodo­

wane  czynnikami  natury  mechanicznej,  a  więc  głównie  obcią ż eniami  tego  odcinka  krę­

gosłupa  i  n a p r ę ż e n i a mi  w jego  elementach,  mają cymi  chaiakter  zmę czeniowy. 

Natura  pę knięć  ł u k ó w  dolnych  krę gów  lę dź wiowych  nie jest  dostatczhie  wyjaś niona. 

Pewne  znane  w  medycynie  hipotezy  t r a k t u j ą  obcią ż enia  mechaniczne  j a k o  podstawowe 

czynniki  p o w o d u j ą ce  uszkodzenia  krę gosł upa,  inne  jako  czynniki  r ó w n o w a ż ne  czynnikom 

biologicznym,  jeszcze  inne  j a k o  czynniki  d r u g o r z ę d n e. 

Celem  tej pracy  jest  o d p o w i e d ź  na pytanie,  czy pę knię cia  ł u k ó w  dolnych  krę gów  lę dź­

wiowych  mogą  być  w y w o ł a n e  czynnikami  natury  mechanicznej,  a t a k ż e  analiza  c z y n n i k ó w 

mechanicznych,  k t ó r e  m o g ą  wpływać  na  uszkodzenia  tej  czę ś ci  k r ę g o s ł u p a.  Jeś li  bowiem 

r o z k ł a d  obcią ż eń  i n a p r ę ż e ń,  przede  wszystkim  w krę gach,  bę dzie  przynajmiej  j a k o ś c i o wo 

o d p o w i a d a ł  stwierdzanym  klinicznie  postaciom  u s z k o d z e ń ,  to  ś wiadczyć  to  bę dzie,  że 

me  m o ż na  w y e l i m i n o w a ć  c z y n n i k ó w  natury  mechanicznej  jako  istotnych  przyczyn  tych 

u s z k o d z e ń .  W  przeciwnym  przypadku  trzeba  bę dzie  uznać  wpływ  czynników  mechanicz­

nych  za  m a ł o  istotny. 

Ze  wzglę du  na ograniczoną  d o s t ę p n o ść  b a d a ń  bezpoś rednich  a t a k ż e  niebezpieczeń stwa 

zwią zane  z  ich stosowaniem,  jedynym  sposobem  umoż liwiają cym  realizację  postawio­

nego  celu  pracy  jest  zbudowanie  odpowiedniego  modelu  krę gosłupa  i  przeprowadzenie 

b a d a ń  modelu. 

Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83 



262  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI 

2.  Model  mechaniczny  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego 

K r ę g o s ł up  człowieka  s k ł a d a  się z 33 ­ 34  krę gów,  spoś ród  któryc h  g ó r n e  24 są  połą czone 

ze  sobą  w  s p o s ó b  umoż liwiają cy  wzajemne  przemieszczenia  są siednich  krę gów.  N a  te 

24  ruchome  krę gi  połą czone  krą ż kami  mię dzykrę gowymi,  stawami  mię dzykrę gowymi 

oraz  systemem  mię ś ni  i  wię zadeł  składają  się:  siedem  krę gów  szyjnych  C , ,  ...  C 7 ,  dwa­

naś cie  piersiowych  Tht,  Th12  oraz  pięć  k r ę g ów  lę dź wiowych  L , , . . . , Z . 5 .  K r ą g  L5 
jest  połą czony  z  koś cią  krzyż ową  powstałą  ze  zroś nię cia  się  pię ciu  krę gów  krzyż owych 

St,...,Ss  i  wchodzą cą  w  skład  miednicy  (rys.  1). 

Rys.  1  K r ę g o s ł up  c z ł o w i e k a  widziany  Rys.  2  P r a w i d ł o w y  krąg  l ę d ź w i o w y; 

od  przodu  i  z  prawej  strony;  zaznaczony  a  —  widok  z  prawej  strony 

p o d z i a ł  na  c z ę ść  szyjną  —  a,  p i e r s i o w ą  —  b  —  widok  z  g ó r y . 

l ę d ź w i o wą  —  с  oraz  k o ś ć  k r z y ż o wą  

wraz  z  k o ś c ią  g u z i c z n ą  —  d. 

K a ż de  dwa  są siednie  krę gi  posiadają ce  moż liwość  wzajemnych  przemieszczeń,  tworzą  

wraz  z  łą czą cymi  je  elementami  tzw.  segment  ruchowy.  Właś ciwy  zakres  tym  przemieszcze­

niom  zapewnia  aparat  wię zadłowy  i  system  k r ó t k i c h  mię ś ni  mię dzykrę gowych. 

Mię ś nie  przy  pomocy  k t ó r y c h  realizowane  są  ruchy  k r ę g o s ł u p a,  m o ż na  zgrubnie 

podzielić  na  dwie  antagonistyczne  grupy:  mię ś nie  grzbietu  wś ród  których  najważ niejszym 

jest  prostownik  grzbietu  i  mię ś nie  przedniej  ś ciany  brzucha. 

Odcinek  lę dź wiowy  k r ę g o s ł u pa  s k ł a d a  się  z  5  krę gów  o  zbliż onym  kształcie  (rys.  2). 

Budowa  w y r o s t k ó w  stawowych  sprawia,  że  moż liwe  są  tu  duże  wzajemne  przemieszczenia 

ką towe  w  płaszczyź nie  strzałkowej  (do  kilkunastu  stopni),  zaś  w  pozostałych  płaszczy­

znach  są  one  ograniczone  do  k i l k u  stopni. 

Schorzenia  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego,  w  szczególnoś ci  wspomniane  j u ż  

pę knię cia  ł u k ó w  krę gowych  w  obszarach  wę zin  ł u k u  (tzw.  krę goszczelina),  wystę pują  

w  r ó ż n y ch  grupach  wiekowych  i  zawodowych,  z a r ó w n o  wś ród  s p o r t o w c ó w  jak  i  o s ó b 



MODKL  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  263 

prowadzą cych  siedzą cy  tryb  ż ycia.  W ś r ód  czynnoś ci  ruchowych  m o ż na  wskazać  takie, 

k t ó r e  wią żą  się  ze  szczególnie  d u ż ym  zagroż eniem  wystą pienia  krę goszczeliny,  a  więc 

np.  wiosłowanie,  bieg  przez  płotki  itp.  Weryfikując  jednak  hipotezę  o  mechanicznej  na­

turze  pę knięć  należy  ze  wzglę du  na  powszechność  zjawiska,  p r z e a n a l i z o w a ć  obcią ż enia 

krę gów  lę dź wiowych  wystę pują ce  podczas  normalnej  aktywnoś ci  ruchowej.  S p o ś r ód 

czynnoś ci  składają cych  się  na  taką  a k t y w n o ś ć  należy  z  kolei  wybrać  takie,  po  k t ó r y c h 

m o ż na  spodziewać  się  wystą pienia  duż ych  obcią ż eń  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego. 

Codzienne  doś wiadczenie  uczy  nas,  że  czynnoś cią  taką  jest  np.  dź wiganie  r ę k a mi  cię ż aru 

w  pozycji  s k ł o n u  do  przodu  (rys.  3). 

Rys.  3  D ź w i g a n ie  c i ę ż a ru  w  pozycji  s k ł o n u  do  przodu; 

QT  —  cię ż ar  c i a ł a  p o w y ż ej  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o w e go 

Qi  —  cię ż ar  d ź w i g a ny  w  r ę k a c h. 

Prostownik  grzbietu  P r z e p o n a 

\Mię sień  prosty 
b r z u c h a 

Rys.  4  Model  mechaniczny  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o w o ­ k r z y ż o w e g o. 

Zasadniczą  rolę  w  dź wiganiu  cię ż aru  pełnią  mię ś nie  obrę czy  barkowej  i  k o ń c z yn 

g ó r n y c h ,  prostownik  grzbietu,  mię ś nie  brzucha,  przepona  oraz  mię ś nie  utrzymują ce 

w  odpowiedniej  pozycji  miednicę  i  koń czyny  dolne.  M o d e l  mechaniczny  k r ę g o s ł u pa 

lę dź wiowo­krzyż owego  służ ą cy  do  znalezienia  obcią ż eń  działają cych  na  krę gi  w  głę bokim 

skłonie  ciała  do  przedu  i  w  innych  pozycjach,  celem  przeprowadzenia  p o r ó w n a ń ,  musi 

uwzglę dniać  prostownik  grzbietu  i  mię ś nie  brzucha  tj.  główne  grupy  mię ś niowe  utrzymu­

10* 



2 6 4  M .  DIKTRICH,  Р .  KUROWSKI 

ją ce  ciało  w  r ó w n o w a d z e  w  płaszczyź nie  strzałkowej,  a  także  efekt  działania  tłoczni 

brzusznej. 

Ograniczenie  r o z w a ż ań  do  analizy  czynnoś ci  podczas  k t ó r y c h  ciało  pozostaje  syme­

tryczne  wzglę dem  płaszczyzny  strzałkowej,  pozwala  zastą pić  odcinek  lę dź wiowo­krzyż owy 

p ł a s k i m  u k ł a d e m  mechanicznym.  Proponowany  u k ł a d  mechaniczny  s k ł a d a  się  z  7  brył 

sztywnych:  czę ś ci  ciała  powyż ej  k r ą ż ka  m i ę d z y k r ę g o w e go  Th12/Ll  i  przepony,  pię ciu 

krę gów  lę dź wiowych  oraz  miednicy  podpartej  przez  k o ń c z y ny  dolne  (rys.  4).  Wszystkie 

bryły  są  szeregowo  połą czone  przez  n i e o d k s z t a ł c a l n e  przeguby  w  miejscach  odpowia­

dają cych  p o ł o ż e n iu  j ą d er  miaż dż ystych  ( w e w n ę t r z na  czę ść  k r ą ż ka  mię dzykrę gowego). 

P o d z i a ł  k r ę g o s ł u pa  w  powyż szy  s p o s ó b jest  uzasadniony  niewielkim  zakresem  wzajemnych 

przemieszczeń  k r ę g ów  w  odcinku  piersiowym,  niewielkim  cię ż arem  tułowia  p o m i ę d zy 

krę gami  Thl2  i  S,  i  dużą  sztywnoś cią  miednicy. 

Prostownikowi  grzbietu  odpowiada  w  modelu  'system  e l e m e n t ó w  realizują cych 

o d d z i a ł y w a n i a  siłowe  łą czą cych  wszystkie  siedem  brył.  S p o s ó b  wyznaczania  miejsc 

przyczepu  prostownika  grzbietu  do  k r ę g ów  Thi,2,  Ly;  L3,  SL  wyjaś nia  rys.  5.  Ł ą c z ne 

działanie  mię ś ni  przedniej  ś ciany  brzucha  zastą pione  jest  d z i a ł a n i e m  mię ś nia  prostego 

brzucha,  imitowanego  elementem  realizują cym  o d d z i a ł y w a n i a  siłowe  i  przebiegają cym 

p o m i ę d zy  wyrostkiem  mieczykowatym  a  spojeniem  ł o n o w y m . 

Prostownik  grzbietu 

..Miejsce  przyczepu 

Rys.  5  S p o s ó b  znalezienia  miejsc  przyczepu  m i ę ś n ia  prostownika  grzbietu  do  k r ę g ów  77i 1 2 ,  Lb,  S,. 

K r z y ż yk  oznacza  ś r o d ek  c i ę ż k o ś ci  przekroju  m i ę ś n i a. 

Efekt  d z i a ł a n i a  tłoczni  brzusznej  wyraża  się  w  modelu  w y p a d k o w ą  siłą  ciś nienia  brzu­

sznego  działają cą  na  p r z e p o n ę .  O d d z i a ł y w a n i e  ciś nienia  w e w n ą t rz  jamy  brzucha  na  po­

zostałe  ś ciany  brzucha  p o m i n i ę t o,  gdyż  nie  odgrywa  ono  istotnej  roli  w  odcią ż eniu  k r ę g ó w. 

Przyję ta  pozycja  ciała  i  wymiary  brył  okreś lają  jednoznacznie  kierunki  działania, 

sił  mię ś niowych  oraz  siły  ciś nienia  brzusznego,  gdyż  siła  ta  jest  p r z y ł o ż o na  w  ś r o d ku 

cię ż koś ci  rzutu  przepony  na  poziomy  p r z e k r ó j  tułowia  (rys.  6)  i działa  r ó w n o l e g l e  do  siły 

w  mię ś niu  prostym  brzucha.  S p o s ó b  okreś lenia  kierunku  wypadkowej  siły  ciś nienia  brzu­

sznego  wynika  z  tego,  że  w  analizowanych  dalej  pozycjach  ciała,  przepona  zajmuje  po­

łoż enia,  w  k t ó r y c h  płaszczyzna  rzutu  przepony  na  czę ść  ciała  powyż ej  k r ę gu  Li  przecina 

kierunek  działania  mię ś nia  prostego  brzucha  pod  ką tem  z b l i ż o n ym  do  prostego. 

Obcią ż enia  krę gów  lę dź wiowych  p o c h o d z ą  od  cię ż aru  w ł a s n e g o  tułowia  Qr  powyż ej 

krę gu  Z.,  i  cię ż aru  dź wiganego  w  r ę k a ch  Q7.  Punkty  przyłoż enia  sił  QT  i  Qz  wyznaczone 



M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  265 

zostały  na  podstawie  p o m i a r ó w  ciała.  W a r t o ś ć  siły  Qr  znaleziono na  podstawie  pracy  [9]. 

Wymiary  e l e m e n t ó w  modelu  mechanicznego  oraz jego  konfigurację  ustalono  na  podstawie 

zdjęć  rentgenowskich  i  fotograficznych  obejmują cych  pozycje  ciała  od  s k ł o n u  do  tyłu 

do  głę bokiego  skłonu  do  przodu. 

Rys.  6  S p o s ó b  znalezienia  p o ł o ż e n ia  ś r o d ka  parcia  c i ś n i e n ia  w e w n ą l r z b r z u s z n e go  na  p r z e p o n ę ; 

S'—pole  rzutu  przepony  na  p ł a s z c z y z n ę  przekroju. 



266  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI 

Pozycje  ciała  bę dą  o k r e ś l a ne  dalej  poprzez  kąt  у  odchylenia  górnej  czę ś ci  tułowia 

o d  pionu  (rys.  7).  Pozycje  w  zakresie  у  =  —20°  do  у  =  100°  wyznaczone  zostały  empi­

rycznie,  pozycje  spoza  tego  zakresu  zostały  wytworzone  sztucznie  i  wyniki  ich  analizy 

bę dą  miały  jedynie  znaczenie  poglą dowe. 

3.  Model  matematyczny 

Znalezienie  wartoś ci  sił  mię ś niowych  i  reakcji  p o m i ę d zy  krę gami  w  modelu  mecha­

nicznym  z  rys.  4  wymaga  analizy  r ó w n o w a g i  sześ ciu  brył  sztywnych  wzglę dem  u k ł a d u 

odniesienia  zwią zanego  z  miednicą.  18  liniowych  algebraicznych  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i 

zawiera  6  nieznanych  wartoś ci  sił  mię ś niowych  w  kolejnych  odcinkach  prostownika 

grzbietu  nieznaną  wartość  siły  w  mię ś niu  prostym  brzucha  i  12  składowyc h  6  nieznanych 

reakcji  mię dzykrę gowych. 

*  Łą cznie  mamy  więc  19  niewiadomych,  a  jeś li  za  n i e w i a d o m ą  przyjmie  się  w a r t o ś ć  

siły  ciś nienia  w e w n ą t r z b r z u s z n e g o,  to  ich  liczba  wzroś nie  do  20. 

Rys.  8  S i ł y  przenoszone  przez  segment  ruchowy:  Fa—  siła  działają ca  na  wyrostki,  Fd  —  siła  działają ca 

na  krą ż ek  m i ę d z y k r ę g o w y. 

O d d z i a ł y w a n i e  wewną trz  segmentu  ruchowego  (tj.  siły  przenoszone  przez  krą ż ek 

mię dzykrę gowy  i  siły  pomię dzy  wyrostkami  stawowymi)  zastą pione  jest  w  modelu  j e d n ą  

w y p a d k o w ą  reakcją.  Odpowiedni  w y b ó r  k i e r u n k ó w  działania  s k ł a d o w y c h  tej  reakcji 

pozwala  na  uwzglę dnienie  dwu  d r ó g  przenoszenia  o b c i ą ż e n i a:  przez  k o l u m n ę  t r z o n ó w 

i  k o l u m n ę  ł u k ó w  krę gowych.  Z  rys.  8a  widzimy,  że  siła  Fa   przedstawiają cą  o d d z i a ł y w a n i e 
p o m i ę d zy  wyrostkami  stawowymi  (suma  r z u t ó w  sił  działają cych  na  oba  wyrostki  na 

płaszczyznę  strzałkową)  działa  na  kierunku  p r z e c h o d z ą c ym  bardzo  blisko  ś r o d ka  j ą d ra 

m i a ż d ż y s t e g o,  k t ó r e  jest  głównym  elementem  przenoszą cym  obcią ż enie  Fj   w  k r ą ż ku 
m i ę d z y k r ę g o w y m.  R o z k ł a d a j ą c  siłę  Fd   na  s k ł a d o w e  wg  rys.  8b,  oddziaływani e  pomię dzy 
krę gami  przedstawimy  w  s p o s ó b  pokazany  na  rys.  8c. 



M O D E L  K R Ę G O S Ł U PA  CZŁOWIEKA  267 

Wyznaczenie  wartoś ci  sił  mię ś niowych  i  reakcji  mię dzykrę gowych  na  podstawie  18 
równań  równowagi  z  19  lub  20  niewiadomymi  wymaga  dodatkowych  z a ł o ż e ń.  W  tej 
pracy  przyjmiemy  założ enie,  że  mię ś nie  są  sterowane  przez  system  nerwowy  w  s p o s ó b 
optymalny.  Założ enie  takie,  wynikają ce  z  istnienia  ogólnej  celowoś ci  budowy  i  funkcjo­
nowania  o r g a n i z m ó w  ż ywych,  przyjmowali  również  inni  autorzy  buduą jcy  modele  mate­
matyczne  z  zakresu  biomechaniki  [1]  [3]  [6]. 

Optymalizacja  działania  mię ś ni  człowieka  wią że  się  z  dą ż eniem  do  nadania  wartoś ci 
ekstremalnej  odpowiedniej  funkcji  celu,  zależ nej  od  realizowanego  kryterium  optymalnego 
sterowania.  Dlatego  też  zbudowanie  modelu  optymalizacyjnego  wymaga  przyję cia  kry­
teriów  optymalnego  sterowania  i  zdefiniowania  funkcji  celu.  Ze  wzglę du  na  brak  metod 
pozwalają cych  na  pomiary  sil  we  wszystkich  mię ś niach  biorą cych  udział  w  wykonywanej 
czynnoś ci,  w y b ó r  kryterium  optymalnego  sterowania  i  funkcji  celu  musi  być  wyborem 
arbitralnym. 

Uwzglę dnienie  w  modelu  mechanicznym  d w ó c h  tylko  grup  mię ś niowych  u ł a t w i a 
wybór  kryterium  optymalnego  sterowania  i  definicję  funkcji  celu.  Są  to  bowiem  duże 
mię ś nie,  stosunkowo łatwe  do  obserwacji,  m.in.  dlatego,  że  ich  działanie  (i  jego  skutki  np. 
zmę czenie)  m o ż na  sobie  u ś w i a d o m i ć. 

Modelując  czynnoś ć,  w  której  bierze  udział  k r ę g o s ł up  są dzić  m o ż n a,  że  sterowanie 
mię ś niami  zachodzi  tak,  by  siły  mię ś niowe  i  obcią ż enia  k r ę g o s ł u pa  były  moż liwie  małe. 
Funkcja  celu  m o ż e  więc  m i e ć  p o s t a ć : 

n  m  .  . „ \ ,  . ­  ­i 
/с,  У ^г ^х ^к г £  Fj  =  m i n ,  (1) 

/=i  j­i 
gdzie:  .vf  — w a r t o ś ć  siły  w  z­tym  mię ś niu 

Vj —  obję tość  /­tego  mię ś nia 

я  —  liczba  uwzglę dnionych  w  modelu  mię ś ni 

Fj —  w a r t o ś ć  reakcji  w  ./'­tym  segmencie  ruchowym 
///  ­  liczba  uwzglę dnionych  w  modelu  segmentów  ruchowych 

к  i .  A­, —  współczynniki  uwzglę dniają ce  wpływ  wielkoś ci  sumy  sił  mię ś niowych 
i  sumy  reakcji  mię dzykrę gowych  na  ucią ż liwość  danej  pozycji  dla  orga­

nizmu. 

Analizie  poddane  zostaną  czynnoś ci  z  zakresu  zwykłej  aktywnoś ci  ruchowej,  m o ż e my 

się  więc  spodziewać,  że  w  takim  przypadku  sterowanie  odbywa  się  tak,  by  wykonanie 

czynnoś ci  w y m a g a ł o  moż liwie  najmniejszego  wysiłku  (sterowanie  nie  ma  tu  na  celu  ochrony 

krę gosłupa)  wią ż ą cego  się  b e z p o ś r e d n io  z  siłami  mię ś niowymi.  Funkcję  celu  m o ż na  więc 

Przedstawić  w  postaci: 

V 
w  ViXt  =  m i n .  (2) 
i 

^ p r o p o n o w a n y  model  mechaniczny  uwzglę dnia  mię ś nie  zbliż one  wielkoś cią  i  dlatego 
fnkcje  celu  wyrazimy  w  jeszcze  prostszej  postaci: 

2J
  xt  ­  m i n  •  (3) 

i 

\  



268  M .  D U T R I C H ,  Р .  KUROWSKI 

Jest  oczywiś cie  moż liwe  rozwią zanie  zagadnienia  optymalizacyjnego  przy  bardziej 

złoż onej  funkcji  celu.  Wydaje  się  jednak,  że  nie  znając  prawdziwego  kryterium,  celowe 

jest  stosowanie  funkcji  sensownej  a  moż liwie  prostej. 

Siły  mię ś niowe  nie  mogą  p r z y j m o w a ć  wartoś ci  ujemnych,  a  krą ż ki  mię dzykrę gowe  nie 

powinny  być  rozcią gane  (groziłoby  to  ich  zniszczeniem),  i dlatego  przyjmiemy  nastę pują ce 

ograniczenia  n i e r ó w n o ś c i o w e:  ' 

#  >  0  i  2  0  (4) 

gdzie  Fdnjij  Щ  1  6)  oznaczają  s k ł a d o w e  normalne  reakcji  mię dzykrę gowych  w  sześ ciu 

segmentach  ruchowych. 

M o d e l  matematyczny  opisują cy  r ó w n o w a g ę  u k ł a d u  mechanicznego  s k ł a d a  się  więc 

z  18  liniowych  algebraicznych  r ó w n a ń  r ó w n o w a g i  z  19  lub  20  niewiadomymi,  liniowej 

funkcji  celu  (3)  i  w a r u n k ó w  n i e r ó w n o ś c i o w y ch  (4).  Jest  to  zagadnienie  z  zakresu  progra­

mowania  liniowego,  łatwe  do  rozwią zania  przy  uż yciu  standardowych  metod,  np.  metody 

s i m p l e k s ó w . 

4.  Analiza  modelu  matematycznego 

M o d e l  matematyczny  bę dziemy  b a d a ć  w  d w ó c h  wariantach:  Pierwszy  pozwala  na 

znalezienie  optymalnego  rozwią zania  łą cznie  z  o p t y m a l n ą  wartoś cią  siły  ciś nienia  wewną trz­

brzusznego.  W  przypadku  wysokiego  obcią ż enia  z e w n ę t r z n e go  (np.  d u ż y  cię ż ar  dź wigany 

w  r ę k a c h)  m o ż e  jednak  się  o k a z a ć ,  że  optymalna  w a r t o ś ć  ciś nienia  jest  za  wysoka  w  sto­

sunku  do  moż liwoś ci  organizmu  i  rozwią zania  zagadnienia  optymalizacyjnego  nie  bę dzie 

m o ż na  odnieść  do  rzeczywistego  k r ę g o s ł u p a. 

W  przypadku  d u ż e go  obcią ż enia  z e w n ę t r z n e go  s p o d z i e w a ć  się  m o ż n a,  że  rzeczywiste 

(moż liwe  do  wytworzenia)  ciś nienie  w e w n ą t r z b r z u s z ne  przyjmie  m a k s y m a l n ą  moż liwą  

w a r t o ś ć.  Przypadek  ten,  a  r ó w n i e ż  przypadek  np.  braku  ciś nienia  w e w n ą t r z b r z u s z n e go 

bę dziemy  m o d e l o w a ć  modelem  w  wariancie  2,  gdzie  w a r t o ś ć  ciś nienia  brzusznego  jest  pa­

rametrem  ч  przybierają cym  r ó ż ne  dane  w a r t o ś c i.  Wariant  ten  wymaga  wykonywania 

obliczeń  dla  każ dej  z  danych  wartoś ci  ciś nień,  i  pozwala  znaleźć  ciś nienie  najlepsze, 

moż liwe  do  realizacji  w  naturze  wtedy,  gdy  wytworzenie  ciś nienia  o  optymalnej  (ze 

wzglę du  na  minimalizację  funkcji  celu  3)  wartoś ci  nie  jest  moż liwe. 

R y s .  9  przedstawia  wyznaczone  wartoś ci  funkcji  celu  w  zależ noś ci  od  pozycji  ciała 

w  d w ó c h  przypadkach:  dź wiganie  cię ż aru  Qz  =  400N  i  bez  obcią ż enia  rą k.  D l a  obu 

wartoś ci  Qz  linia  g ó r n a  odpowiada  ciś nieniu  brzusznemu  r ó w n e m u  0  (wariant  2,  p  =  0), 

linia  „ k r o p k o w a n a "  —  ciś nieniu  optymalnemu  dla  danej  pozycji  i  obcią ż enia  rąk  (wariant 

1.  Р  — Popt)­  Uwzglę dniając  wyniki  b a d a ń  d o ś w i a d c z a l n y c h,  k t ó r e  nie  wykazują  ciś nień  

wewną trzbrzusznych  wyż szych  od  ok.  0.03  M P a [5],  rys.  9  zawiera  jeszcze  krzywą  ograni­

czają cą  od  g ó r y  pole  zakreskowane  (dla  Qz  =  400N).  K r z y w a  ta  przedstawia  wartoś ci 

funkcji  celu  z  uwzglę dnieniem  warunku  wg  k t ó r e g o  nie jest  moż liwe  wytworzenie  ciś nienia 

wyż szego  od  0.024  M P a  (wariant  2,  p  ^  0.024  M P a ) .  Przyję ta  w a r t o ś ć  ciś nienia  0.024 

M P a  wydaje  się  o d p o w i a d a ć  wartoś ci  moż liwej  do  wytworzenia  przez  sprawnego  fizycznie 

człowieka.  W  przypadku  braku  obcią ż enia  rąk  (Qz  =  0)  nie  ma  potrzeby  wytworzenia 

ciś nienia  wyż szego  od  0.024 M P a , stąd  dla  Qz  =  0  brak  jest  na  rys. 9 pola  zakreskowanego. 



M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  269 

А  /М Ы  

Q , = 4 0 0  N 

Pozycje  zarejestrowane in vivo 

Rys.  9.  W a r t o ś ć  funkcji  celu  Z  w  z a l e ż n o ś ci  od  pozycji  c i a ł a ,  o b c i ą ż e n ia  z e w n ę t r z n e go  i  c i ś n i e n ia  w e w n ą t rz 

jamy  brzusznej. 

­ 8 0 "  ­60°  ­40°  ­20°  0°  20°  40°  60°  80°  100° 120°  140°  180°  f 
'  P o z y c j e  zarejestrowane  in vivo" I 

Rys.  10.  W a r t o ś ć  sity  normalnej  Fiu  (wg  rys.  8)  w  segmencie  ruchowym  L s / S j ,  dla  r ó ż n y ch  pozycji  c i a ł a 

podczas  d ź w i g a n ia  c i ę ż a ru  Qz  =  400N  (znaczenie  linii  „ k r o p k o w a n e j " — ­ j a k  na  rys.  9). 

Rys.  10 przedstawia  zależ ność  siły  normalnej  Fd n  przenoszonej  przez  segment  ruchowy 

^s/ S i   od  przyję tej  pozycji  ciała  dla  Q z  =   4 0 0 N  w  d w ó c h  przypadkach:  braku  ciś nienia 

wewną trzbrzusznego  i  przy  ciś nieniu  o  wartoś ci  optymalnej,  moż liwej  do  wytworzenia 
w  naturze  (p  <  0.024  M P a ) . W g  [8]  w y t r z y m a ł o ś ć  trzonu  k r ę gu  lę dź wiowego  na  ś ciskanie 
w y n o s i  ok.  6500N  i  wykazuje  wysoką  z m i e n n o ś ć  w  zależ noś ci  od  wieku,  stopnia  osteo­



270  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI 

poroży  itp.  Mając  to  na  uwadze  widzimy  na  podstawie  rys.  10, że podnoszenie  cię ż aru 

400N  w  pozycji  skłonu  do  przodu  może  wywołać  uszkodzenie  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowego, 

a  odcią ż enie  go  przez  ciś nienie  brzuszne  może  d e c y d o w a ć  o  bezpieczeń stwie  wykonania 

tej  czynnoś ci. 

Rys.  11 pozwala  p o r ó w n a ć  wartoś ci  wypadkowych  sił w kolejnych  segmentach  rucho­

wych  k r ę g o s ł u pa  lę dź wiowo­krzyż owego  dla  Qz  =  0,  4 0 0 N  i  p  — 0.  W  pozycji  s k ł o n u 

do  przodu  najwyż ej  obcią ż one  są  krę gi  L 4  i  L5. 

3 + 

2­F 

/  = ­ 2 0 ° 

r 1 " 
Q  ­ 4 0 0 N 

J J  cni  3  Э   CVJ1  (Ti ­ч г1  Й  
J j t ^ J J J J J t / ) 

cg  CÓ  u"> 
_j  _ i  _ i  _ J _ J _ t _ l — l ^ _ J _ J _ J _ J _ ! 

Rys.  11  W a r t o ś ci  wypadkowego  o b c i ą ż e n ia  przenoszonego  przez segmenty  ruchowe  k r ę g o s ł u pa  l ę d ź w i o­

w o ­ k r z y ż o w e go  w  pozycjach  c i a ł a  у  =  — 2 0 ° ,  у  =  0 ° , у  =  +100". 

Rys.  12  przedstawia  obcią ż enie  krę gu  Ls  w  pozycji  у  =  80°,  Q7  =  4 0 0 N  i  p  =  0. 

W i d z i m y ,  że  niewielka  (rzę du  1  cm)  zmiana  miejsca  przyczepu  mię ś nia  prostownika 

grzbietu  do  koś ci  krzyż owej  spowodowana  np.  innymi  wymiarami  koś ci  krzyż owej  lub 

inną  obję toś cią  mię ś nia  (lub zmiana  wzglę dnego  położ enia  krę gów  L5  i 5 t ) ,  wywołują ca 

z m i a n ę  kierunku  d z i a ł a n i a  siły  w  mię ś niu  prostowniku  grzbietu  p o m i ę d zy  k r ę g a mi  L5 
i  S , ,  wywołuje  zasadniczą  z m i a n ę  kierunku  działania  wypadkowej  siły  obcią ż ają cej  ł u k 

krę gu  Ls.  W przypadku  duż e go  krę gu  St  wypadkowa  ta  działa  k u tyłowi  k r ę g u,  w  przy­



M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  271 

padku  w y m i a r ó w  mniejszych,  znalezionych  na  podstawie  r a d i o g r a m ó w ,  wypadkowa  siła 

jest  skierowana  w  s t r o n ę  trzonu  k r ę g o w e g o. 

M o ż e my  stąd  w n i o s k o w a ć ,  że  indywidualne  róż nice  w  przybiegu  krzywizn  k r ę g o s ł u pa 

i  róż nice  w  wymiarach  krę gów  i  koś ci  krzyż owej  m o g ą  stanowić  o  r ó ż n y ch  obcią ż eniach 

krę gów,  nawet  przy  takich  samych  wymiarach  z e w n ę t r z n y ch  ciała,  obcią ż eniach  i  przyj­

mowanych  pozycjach. 

M o d e l  matematyczny  pozwala  znaleźć  siły  działają ce  na  krę gi  lę dź wiowe,  m o ż e my 

więc  posłuż yć  się  jego  wynikami  dla  zbadania  stanu  naprę ż eń  w  k r ę g a ch  lę dź wiowych. 

Rys.  12  Sity  działają ce  na  krąg  L 5  w  pozycji  у  =  8 0 ° ,  Qz  =  400N,  p  =  0.  F^L,  =  4689N, 

=  4905  N  lub  5602  N  —  wypadkowe  siły  przenoszone  przez  segmenty  ruchowe,  L 4 / L 5  i  LS/S„ 

i>CL4 /L5  =  4385  N ,  FI>GI,  IS,  =  4679N  lub  5199N  —  siły  w  m i ę ś n iu  prostownika  grzbietu  p o m i ę d zy 
wyrostkami  kolczystymi  k r ę g ów  L 4  i  LS  oraz  k r ę g ów  L5  i  S i .  Siła  736N  jest  wypadkowym  o b c i ą ż e n i em 

wyrostka  kolczystego  w  przypadku  gdy  k r ą g  S,  jest  r ó w n y  co  do  w i e l k o ś ci  k r ę g o wi  L S .  Siła  1373N jest 

wypadkowym  o b c i ą ż e n i em  wyrostka  kolczystego  w  przypadku,  gdy  k r ą g  S,  ma  wymiary  mniejsze. 

Z ł o ż o ny  kształt  i  budowa  wewnę trzna  k r ę gu  praktycznie  uniemoż liwiają  pełną  a n a l i z ę  

stanu  n a p r ę ż e ń.  P o  realizacji  celu  naszych  b a d a ń  wystarczy  jednak  znalezienie  miejsc 

o  najwyż szym  z a g r o ż e n iu  zniszczeniem,  tj.  tych,  k t ó r e  wg  hipotezy  o  mechanicznej  naturze 

p r o c e s ó w  p r o w a d z ą c y ch  do  krę goszczeliny  powinny  p o d l e g a ć  procesom  patologicznym. 

S p o ś r ód  pię ciu  krę gów  lę dź wiowych,  do  analizy  stanu  n a p r ę ż eń  wybierzemy  k r ą g 

• Ł4  w  k t ó r y m ,  obok  k r ę gu  Ls,  notuje  się  p ę k a n ie  łuku  k r ę g o w e g o.  Miejsca  z a g r o ż o ne 

zniszczeniem  znajdziemy  stosując  elastooptyczne  metody  z a m r a ż a n ia  n a p r ę ż e ń,  połą czone 

z  p r ó b a m i  zniszczeniowymi  modeli. 

Wnioskowanie  o  stanie  n a p r ę ż eń  w  rzeczywistym  k r ę gu  na  podstawie  w y n i k ó w  ekspe­

r y m e n t ó w  elastooptycznych  wymaga  zachowania  p o d o b i e ń s t wa  p o m i ę d zy  stanem  na­

4385 

5.  M o d e l  elastooptyczny  krę gosłupa  lę dź wiowo­krzyż owego 



272  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI 

prę ż eń  w  modelu  i  w  rzeczywistym  k r ę g u.  Krąg  złoż ony  jest  z  koś ci  gą bczastej  i  korowej 

0  róż nią cych  się  własnoś ciach  mechanicznych.  Uwzglę dnienie  tych  cech  w  modelu  byłoby 

bardzo  trudne,  a  co  waż niejsze  m o g ł o b y  uniemoż liwić  analizę  efektów  elastooptycznych. 

R ó ż ne  własnoś ci  mechaniczne  m a t e r i a ł u  z  reguły  pozostają  w  zwią zku  z  róż ną  czułoś cią  

elastooptyczną  i  rozszerzalnoś cią  cieplną.  Niejednorodny  m a t e r i a ł  m ó g ł b y  uniemoż liwić  

usunię cie  n a p r ę ż eń  własnych  i  zwią zanych  z  nimi  efektów  optycznych.  Z  tego  wzglę du 

w  badaniach  stosujemy  jednorodny  m a t e r i a ł  modelu  elastooptycznego.  W y m i a r y  modelu 

zachowujemy  identyczne  z  wymiarami  rzeczywistego  k r ę g u. 

Stan  n a p r ę ż eń  w  krę gu  zależy  od  działają cych  na  niego  sii  P,  w y m i a r ó w  liniowych  / 

1 k ą t o w y ch  a,  sztywnoś ci  m a t e r i a ł u  k r ę gu  opisanej  w  najprostszy  s p o s ó b  m o d u ł e m  sprę­

ż ystoś ci  E  i  liczbą  Poissona  r ,   sztywnoś ci  k r ą ż ka  m i ę d z y k r ę g o w e go  i  chrzą stek  mię dzy­
stawowych  S .  

Z  analizy  wymiarowej  wynika,  że  dla  zapewnienia  p o d o b i e ń s t wa  modelowego,  przy 

założ eniu  identycznoś ci  geometrii  rzeczywistego  krę gu  i  modelu  oraz  geometrycznie 

podobnym  obcią ż eniu  k r ę gu  i jego  modelu,  należy  spełnić  nastę pują ce  warunki : 

S o   _  E 0  _  _ 
~ff­,  } 0 —  vm> 

ni  E m 

gdzie  „ o "  oznacza  wielkość  charakteryzują cą  rzeczywisty  krą g,  —  modelu  krę gu. 

Obcią ż ając  model  elastooptyczny  spełniają cy  warunki  (5)  u k ł a d e m  sił  Pm  spełniają cym 

p 
zależ noś ci:  ­  ­  =  n,  uzyskamy  w  nim  stan  n a p r ę ż e ń,  k t ó r e g o  dowolna  s k ł a d o w a  am 

bę dzie  spełniać  zależ ność  <ym =  <г0/п . 

Dane  potrzebne  do  zbudowania  modelu  elastooptycznego,  a  więc  m o d u ł  sprę ż ystoś ci 

m a t e r i a ł u  k r ę g u,  sztywnoś ci  k r ą ż ka  m i ę d z y k r ę g o w e go  na  ś ciskanie  i  na  ś cinanie  oraz 

sztywność  chrzą stki  mię dzystawowej  zaczerpnię te  zostały  z  prac  [2]  [7]  [10]. 

W a r t o ś ć  i'o  oszacowaliś my  jako  bliską  0,5  ze  wzglę du  na  wypełnienie  krę gu  p ł y n a m i 

ustrojowymi.  Zastosowana  w  modelu  ż ywica  epoksydowa  w  temperaturze  z a m r a ż a n ia 

wykazuje  r , „ =  0,48. 

Z a z n a c z y ć  trzeba,  że  warunki  (5)  zapewniają  jedynie  z  grubsza  spełnienie  praw  podo­

bień stwa  modelowego,  co  jest  konsekwencją  opisanych  wyż ej  uproszczeń  zastosowanych 

przy  budowie  modelu  elastooptycznego. 

M o d e l ,  k t ó r e g o  elementy  s k ł a d o w e  posiadają  własnoś ci  mechaniczne  spełniają ce 

warunki  (5)  s k ł a d a  się  z  dwu  s e g m e n t ó w  ruchowych:  p o ł ó w k i  krę gu  L3,  krę gu  L 4  i  po­

łówki  krę gu  L5  (rys.  13),  odlanych  z  ż ywicy  epoksydowej  E P I D I A N  5  ( +  utwardzacz 

A  i   stosowany  do  g r u b o ś c i e n n y ch  odlewów)  w  podatnych  formach.  Paramodelami  były 

krę gi  p r a w i d ł o w e  anatomicznie. 

K r ą ż ki  mię dzykrę gowe  zastą pione  są  imitacją  j ą d ra  miaż dż ystego  (z  gumy  silikono­

wej),  k t ó r e  jest  g ł ó w n y m  elementem  p r z e n o s z ą c ym  obcią ż enie  w  k r ą ż ku  m i ę d z y k r ę g o­

wym.  Przestrzenie  mię dzystawowe  wypełnione  są  imitacją  chrzą stki  stawowej  w y k o n a n ą  

z  gumy  silikonowej. 

W a r t o ś ci  sił  obcią ż ają cych  model  elastooptyczny  dobiera  się  tak,  by  u z y s k a ć  w y r a ź ny 

efekt  elastooptyczny  lub  zniszczenie  modelu  w  przypadku  prowadzenia  p r ó b y  zniszcze­

niowej. 



M O D I L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  273 

Ze  wzglę du  na  bardzo  dużą  p r a c o c h ł o n n o ś ć  i  wysokie  koszty  e k s p e r y m e n t ó w ,  ogra­

niczymy  się  do  analizy  stanu  n a p r ę ż eń  w  pozycji  głę bokiego  s k ł o n u  do  przodu  (y  =  80°) 

•  w  pozycji  stoją cej  (y  =  0°). 

Rys.  13  Model  elastooptyczny. 

W  badaniach  stosujemy  dwie  metody:  m e t o d ę  cienkich  p ł y t e k  dla  lokalizacji  miejsc 

koncentracji  n a p r ę ż eń  i  m e t o d ę  małyc h  kostek  [4]  pozwalają cą  na  p o r ó w n a n i e  wytę ż enia 

wg  hipotezy  Hubera  w  wybranych  obszarach  modelu.  Zastosowanie  hipotezy  Hubera 

do  m a t e r i a ł u  koś ci  jest  uzasadnione  sprę ż ysto­plastycznymi  własnoś ciami  koś ci  korowej 

t l i ] ,  k t ó r a  jest  g ł ó w n y m  s k ł a d n i k i e m  tych  o b s z a r ó w  krę gów,  w  k t ó r y c h  działają  wysokie 

naprę ż enia.  K a ż de  zniszczenie  musi  więc  wią zać  się  ze  zniszczeniem  koś ci  korowej. 

Ł ą c z ne  zastosowanie  d w ó c h  metod  elastooptycznych  pozwala  na  iloś ciową  a n a l i z ę  

t r ó j w y m i a r o w e g o  stanu  n a p r ę ż eń  w  k r ę gu  (metoda  małych  kostek)  oraz  na  j a k o ś c i o wą  

analizę  koncentracji  n a p r ę ż eń  w  obszarach  bliskich  powierzchni  modelu. 

6.  Analiza  stanu  naprę ż eń  w  krę gu  L 4 

P r ó b y  zniszczeniowe,  prowadzone  w  temperaturze  z a m r a ż a n ia  n a p r ę ż eń  pod  obcią­

ż eniem  modelu  o d p o w i a d a j ą c ym  pozycji  у  =  80°, wywołały  we  wszystkich  p r ó b a c h  znisz­

czenie  wę zin  ł u k u  k r ę g o w e go  (rys.  14). 

D o  analizy  koncentracji  n a p r ę ż e ń,  z a m r o ż o ny  model  k r ę gu  zosta ł  pocię ty  na  płytki 

gruboś ci  2  mm  w  s p o s ó b  przedstawiony  na  rys.  15.  Rysunek  16  przedstawia  izochromy 

P o ł ó w k o w e  w  płytce  „a",  wykazują ce  najwyż sze  koncentracje  n a p r ę ż eń  w  obszarze  wę ziny 

l u k u  k r ę g o w e g o.  Płytka  „ 6 "  (rys.  17)  pochodzi  z  trzonu  k r ę g o w e go  i  wykazuje  koncen­

tracje  n a p r ę ż eń  w  obszarach,  gdzie  m a t e r i a ł  k r ę gu  kontaktuje  się  z  imitacją  j ą d ra  m i a ż ­

dż ystego. 





M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  275 

Kolejny  model  krę gu  L.% po  z a m r o ż e n iu  n a p r ę ż eń  pod  obcią ż eniem  o d p o w i a d a j ą c ym 

pozycji  у  =  80° posłuż ył  do  analizy  wytę ż enia  m e t o d ą  małyc h  kostek.  A n a l i z a  ta  z o s t a ł a 

poprzedzona  badaniem  kostek  p o c h o d z ą c y ch  z modelu  bez n a p r ę ż e ń.  Badania  te  wykazały, 

że  ciepło  powstają ce  przy  cię ciu  modelu  (stosowane  b y ł o  intensywne  chłodzenie)  nie 

wpływa  istotnie  na  stan  optyczny  m a t e r i a ł u  modelu. 

S p o s ó b  pocię cia  modelu  na kostki  przedstawiają  rys.  18, 19,  20.  K o s t k i  z lewej i z prawej 

wę ziny  nie  są  pobrane  symetrycznie.  K o s t k i  z  lewej  wę ziny  p o c h o d z ą  z  w n ę t r za  ł u k u , 

a  kostki z prawej  wę ziny  z okolic  bliskich  powierzchni  ł u k u  tj. s t a m t ą d,  skąd  b r a ł y  p o c z ą t ek 

pę knię cia  w p r ó b a c h  zniszczeniowych.  R ó ż n i ca  w sposobie  pobierania  ma istotne znaczenie 

w  interpretacji  w y n i k ó w  badania  tych  kostek. 

Rys.  18  Rozmieszczenie  kostek  pobranych  z  przekroju  Rys.  19  Rozmieszczenie  kostek  pobranych 

s t r z a ł k o w e g o  trzonu  i  z  prawej  nasady  ł u k u  k r ę g o w e g o.  z  lewej  w ę z i ny  ł u k u  k r ę g o w e g o. 

Rys.  20  Rozmieszczenie  kostek  pobra­

nych  z  prawej  w ę z i ny  ł u k u  k r ę g o w e g o. 

W a r t o ś ci  n a p r ę ż eń  zredukowanych  (w  pewnej  umownej  skali)  w  pobranych  kostkach 

Przedstawia  rys. 21, z  k t ó r e g o  wynika,  że  najwyż sze  wytę ż enie  m a t e r i a ł u  w o b r ę b ie  ł u k u 

k r ę g o w e go  wystę puje  w  wę zinie,  w  obszarze  bliskim  powierzchni  ł u k u . 

Najwyż sze  wytę ż enie  wykazują  kostki  pobrane  z  trzonu  k r ę g o w e g o.  Pamię tając  jednak 

o  koncentracjach  n a p r ę ż eń  w  okolicach  bliskich  powierzchni  ł u k u  w  obszarze  wę ziny 



276  M .  DIETRICH,  Р .  KUROWSKI 

(wyniki  analizy  cienkich  płytek)  i  o  wynikach  p r ó b  zniszczeniowych,  stwierdzić  należ y, 

że  najwyż sze  zagroż enie  zniszczeniem  wystę puje  w  g ó r n y c h  czę ś ciach  wę zin  ł u k u . 

O b o k  opisanej  analizy  stanu  n a p r ę ż eń  w  pozycji  у  =  80°,  przeprowadziliś my  tymi 

samymi  metodami  analizę  stanu  n a p r ę ż eń  w  k r ę gu  LA  w  pozycji  у  =  0°  uzyskując  podobne 

w y n i k i .  Pozwala  to  stwierdzić,  że  w  obu  przypadkach  najbardziej  z a g r o ż o n y mi  zniszcze­

niem  obszarami  krę gu  L 4  są  g ó r n e  czę ś ci  wę zin  łuku  k r ę g o w e go  (rys.  22). 

P O Z Y C J A  f  «  8 0 ° 

T R Z O N  K R E 6 0 W Y 

6 

3 2 4 
5 

6.53 
4 

5.32 
3 

4.23 
2 

3.66 
i 

1.51 

12 
3.75 

u 
4 . 8 3 

10 
5.21 

9 
4 . 4 8 

8 
3.15 

7 
1.94 

18 

3.14 
17 

4 . 3 4 
16 
5.09 

15 

4 . 7 2 
14 

3.41 
13 

2.04 

24 

X 

23 

4 . 7 2 

22 

5.50 

21 

5.56 

20 

3 . 7 2 

19 

1.72 

30 

2.03 
29 

6.39 
28 

4.90 
27 

5.11 
26 

3 . 2 9 
25 

1,21 

L e w a  w ę z i na  P r a w a  w p z i n a  P r a w a  n a s a d a 

9 
1.49 

10 
1.45 

11 
1.56 

12 
1.60 

13 
2.88 

11 
2.49 

3.91 
4 
5.09 

2 
4.49 

3 
2.28 

5 
2.00 

6 
2.16 

1 

г si 
8 
231 

Rys.  21  W a r t o ś ci  n a p r ę ż eń  zredukowanych  w  kostkach  pobranych  wg  rys.  18,  19,  20. 

Miejsca  krę gu  najbardziej  zagroż one  z n i s z c z e n i e m 



M O D E L  KRĘ GOSŁUPA  CZŁOWIEKA  2 7 7 

7.  Wnioski 

Połą czenie  modelowania  matematycznego  z  eksperymentami  na  elastooptycznych 
modelach  krę gosłupa  pozwoliło  na  znalezienie  obcią ż eń  odcinka  lę dź wiowo­krzyż owego 
w  róż nych  pozycjach  ciała  i  przy  róż nych  obcią ż eniach  zewnę trznych  a  nastę pnie  na zlo­
kalizowanie  najbardziej  zagroż onych  zniszczeniem  obszarów  w  krę gu  lę dź wiowym. 

W  pracy zostało  wykazane, że dolne  krę gi  lę dź wiowe  są wysoko  obcią ż one,  a  wartoś ci 
obcią ż eń  silnie  zależą  od  wymiarów  krę gów,  koś ci  krzyż owej  i  stopnia  rozwoju  umię ś­
nienia. 

Wysokie  koncentracje  naprę ż eń,  wywołane  złoż onym  kształtem  łuku  krę gowego, 
wystę pują ce  w  obszarach  wę zin  luku,  mogą  prowadzić  do  zmę czeniowego  zniszczenia 
łuku  krę gowego. 

Niezależ nie  więc  od  innych  czynników  patogennych,  czynniki  natury  mechanicznej 
mogą  mieć  podstawowe  znaczenie  w  procesach  prowadzą cych  do  schorzeń  krę gosłupa 
lę dź wiowo­krzyż owego,  zwłaszcza  dolnych  krę gów  lę dź wiowych.  Właś nie  w tych  krę gach 
i  w  tych  miejscach  (tj.  w  wę zinach)  najczę ś ciej  obserwuje  się uszkodzenia  mają ce  postać  
PCknięć  (krę goszczelina)  lub  duż ych  odkształceń  trwałych,  prowadzą cych  niekiedy  do 
przemieszczeń  trzonów  krę gowych  (krę gozmyk). 

Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie 

h5  J .  A R V I K A R ,  A .  SEIREG,  Distribution  of  spinal disc pressure in  the seated posture subjected  to impact. 

Aviation,  Space  and  Environmetal Medicine, January  1978,  vol.  4 9 , N o .  I,  1 6 6 ­  169. 

В .  M .  C Y R O N ,  W . C .  H U T T O N ,  J . R . R . STOTT,  The shearing stiffness  on  the  lumbar intervertebral joint, 

Acta  Orthop.  Belg.  1979, 4 5 ,  4 5 9  ­  4 6 9 . 

R ­  D .  CROWNINSHIELD,  R . C .  JOHNSTON,  J . G .  ANDREWS,  R . A .  B R A N D ,  A  biomechanical  investigation 

of  the  human  hip,  J .  Biomech.  vol.  11,  1978, 75 ­ 8 5 , 

J ­  W .  D A L L Y ,  W .  F .  R I L E Y ,  Experimental  stress  analysis,  M c G r a w ­ H i l l  Book  Company, 1 9 6 5 . 

N .  E i c ,  P .  W E H N ,  Measurement  of  the  intra­abdominal  pressure in  relation  to  weight bearing  of  the 

lumbosecral spine, J . Oslo  City  Hosp.,  vol.  12, N o .  10, October  1962,  2 0 5  ­  2 1 7 . 

S .  GRACOVETSKY,  H . F .  F A R F A N ,  C .  L A M Y ,  A  Mathematical  model of  the  lumbar spine using an opti­

mized system to  control muscles  and  ligaments, Orthop.  Clin.  N . A . , vol.  8,  N o .  1,  January 1977. 

W .  C .  H U T T O N ,  В . M .  C Y R O N ,  Spondylolysis.  Role  of  the posterior elements  in  resisting  interverbretal 

compressive  force.  Acta  Orthop.  Scand.,  1978, 6 0 7 ­ 609. 

W .  c .  H U T T O N ,  В . M . C Y R O N ,  J . R . R . STOTT,  The compressive strength  of  lumbar verterbrae,  J .  Anat., 

1979. 

Y .  K I N G  L I U ,  J .  M O N R O E ,  W . С  V A N  BUSKIRK,  Intertial properties of  a  segmented cadaver trunk: 

their implications in  acceleration injuries, Aerospace  M e d . , June  1971,  6 5 0 ­ 6 5 7 . 

H .  S.  L I N , Y .  K I N G  L I U , G .  R A Y , P .  N I K R A V E S H ,  System identification for  material properties of  the 

intervertebral joint,  J .  Biomech.  vol.  11,  1978,  1 ­ 14. 

M .  N O R D I N ,  V .  M .  F R A N K E L ,  Biomechanics of  whole  bones  and  bone  tissue, 

V .  H .  F R A N K E L ,  M . N O R D I N ,  Basic biomechanics of  the skeletal systems,  Lea and Febiger, Philadelphia 

I,  str.  15. 

Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83 



278  M .  DIETRICH.  Р .  KUROWSKI 

P  e  з  ю  M  e 

М О Д Е ЛЬ  П О Я С Н И Ч Н О ­ К Р Е С Т Ц Е В О ГО  П О З В О Н О Ч Н И КА  Ч Е Л О В Е КА  

Ч т о бы  о т в е т и ть  на  в о п р ос  к ак  ч а с то  п о я в л я ю щ и е ся  з а б о л е в а н ия  п о я с н и ч н о го  п о з в о н о ч н и к а, 

о с о б е н но  е го н и ж н их  п о з в о н к о в,  м о г ут  в о з н и к а ть  в  с л е д с т в ие  д е й с т в ия  с а м их  м е х а н и ч е с к их  ф а к­

т о р о в,  н а до  п о з н а ть  н а г р у з ки  э л е м е н т ов  п о з в о н о ч н и к а.  А н а л из  н а г р у з ок  и  н а п р я ж е н ий  п р о в е­

д е но  у п о т р е б л яя  м е т о ды  м о д е л и р о в а н и я. 

У п р о щ е н н ая  м е х а н и ч е с к ая  м о д е ль  п о я с н и ч н о­  к р е с т ц е в о го  п о з в о н о ч н и ка  п р е д с т а в и ла  в о з­

м о ж н ым  с д е л а ть  м а т е м а т и ч е с к ую  м о д е л ь. 

Р е з у л ь т а ты  и с п ы т а н ия  м а т е м а т и ч е с к ой  .м о д е ли  и с п о л ь з о в а но  д о  к о н с т р у к ц ии  ф о т о у п р у г ой  

.м о д е ли  с о с т о я н ия  н а п р я ж е н ий  в  п о я с н и ч н ых  п о з в о н к а х. 

А н а л из  к о н ц е н т р а ц ии  н а п р я ж е н ий  ( м е т од  т о н к их  п л а с т и н о к)  и  а н а л из  н а т я ж е н ия  м а т е р и а ла  

п о з в о н ка  с о г л а с но  г и п о т е зе  Г у б е ра  ( м е т од  м а л ых  к у б и к о в)  п о к а з а ли  р е з у л ь т а ты  с о г л а с но  с  д е й­

с т в и т е л ь н ы ми  т р е щ и н а ми  и  п е р е л о м а ми  п о я с н и ч н ых  п о з в о н к о в.  Э то  д о к а з ы в а е т,  ч то  м е х а н и ч е с к ие  

ф а к т о ры  в л и я ют  в  б о л ь ш ой  с т е п е ни  на  п р о ц е с сы  в е д у щ ие  к  п а т о л о г и ч е с к им  и з м е н е н и ям  п о я­

с н и ч н о го  п о з в о н о ч н и ка  ч е л о в е к а. 

S u m m a r y 

M O D E L  O F  T H E  H U M A N  L U M B A R  S P I N E 

T o  answer  a  question  whether  common  disorders of  the  low  lumbar  vertebrae  can  be  caused  or  deve­

loped  by  mechanical  factors,  authors  analysed  loads  and stresses acting  on  human  lumbar  vertebrae  using 

modelling  methods.  Simplified  mechanical  model  was  the  first  step  to  construct  a  mathematical  model. 

Results  of  analysis  of  the  mathematical  model  (forces  acting  on  lumbar  vertebrae)  were  used  to  load  the 

three  dimensional  photoelastic  model  of  a  part  of  human  lumbar  spine. 

Two  different  photoelastic  methods:  thin  slices  msthod  to  find  stresses  concentrations  and  small 

cubes  method  to  find  effective  stresses  according to  criterion of  Huber­von  Mises,  showed  results  which 

are  in  good  agreement  with  modes  of  damage  of  real  vertebrae. 

The  investigations  presented  in  the  paper  have  shown  that  mechanical  factors  can  not  be  neglected 

in  pathogenesis  of  the  human  lumbar  spine. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  1  kwietnia  1983  roku