Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  D R G A N I A .  P R Ę T ÓW  O  L I N I O W O  Z M I E N N E J  W Y S O K O Ś CI  P R Z E K R O J U  P O P R Z E C Z N E G O  E D W A R D  J .  K R Y N I C K I  Departament of  Civil  Engineering  University  of  Manitoba  S T A N I S Ł A W  M A T Y S I A K  Uniwersytet Warszawski  czasowo  Department  of  Civil  Engineering  University  of  Manitoba  1.  Wstęp  W  projektowaniu  konstrukcji  inż ynierskich  spotykamy  się  z  ustrojami  złoż onymi  z  e l e m e n t ó w  o  zmiennych  przekrojach  poprzecznych.  Najczę ś ciej  jednak  mamy  do  czy­ nienia  z  konstrukcjami,  k t ó r y c h  wymiary  przekrojów  poprzecznych  elementów  zmieniają   się  liniowo  w  płaszczyź nie  rysunku,  natomiast  drugi  wymiar  jest  stały.  Celowe  staje  się   więc  opracowanie  odpowiednich  w z o r ó w  umoż liwiają cych  łatwe  wykonanie  obliczeń   dynamicznych  tych  ustrojów.  Wprawdzie  współczesna  technika  komputerowa  pozwala  rozwią zywać  geometrycznie  skomplikowane  elementy  konstrukcyjne  to  jednak  znajomość   w z o r ó w  transformacyjnych  uł a t w i a  b u d o w ę  kanonicznych  u k ł a d ó w  r ó w n a ń .  J e d n ą  z  metod,  k t ó r a  ma  szerokie  zastosowanie  w  rozwią zywaniu  z a g a d n i e ń  dynamicz­ nych  ustrojów  prę towych  (belek  cią głych,  ram,  ł u k ó w ,  itp.,)  jest  metoda  przemieszczeń.  Zastosowanie  jej  do  rozwią zywania  u k ł a d ó w  o  stałych  przekrojach  poprzecznych  jest  znane,  wystarczy  wymienić  obszerne  monografie  St.  B Ł A S Z K O W I A K A  i  Z b .  K A C Z K O W ­ S K I E G O  [1]  oraz  W .  N O W A C K I E G O  [2].  W  przypadku  p r ę t ów  o  zmiennych  przekrojach  poprzecznych  znane  jest  rozwią zanie  ś cisłe  d r g a ń  klinowej  belki  wspornikowej  podane  przez  E .  C R A N C H A  i  A .  A D L E R A  [3],  przy  czym  c a ł k a  o g ó l n a  r ó w n a n i a  opisują cego  to  zagadnienie  w y r a ż o na  jest  za  p o m o c ą   funkcji  Bessela.  Zagadnienie  d r g a ń  belki  swobodnie  podpartej  o  liniowo  zmiennej  wysokoś ci  zbadane  z o s t a ł o  w  pracy  [4]  przez  zastosowanie  metody  Ritza.  W  rozprawie  tej  uzyskano  przy  uż yciu  szeregów  Fouriera  formalnie  rozwią zanie  ś cisłe.  .  W  pracach  [5],  [6]  wyprowadzono  wzory  transformacyjne  metody  przemieszczeń,  umoż liwiają ce  rozwią zania  z a g a d n i e ń  d r g a ń  poprzecznych,  p o d ł u ż n y ch  i  skrę tnych  ustro­ j ó w  sprę ż ystych  złoż onych  z  p r ę t ów  prostych  pełnych,  k t ó r y c h  wymiary  przekrojów  po­ 4 1 8 E .  J .  K R Y N I C K I ,  S .  M A T Y S I A K  przecznych  zmieniają  się  liniowo  tylko  w  płaszczyź nie  zginania  natomiast  g r u b o ś ć  prę ta  jest  stała.  Wyprowadzone  wzory  w  wymienionych  wyż ej  pracach  nie  pozwalają  jednak  rozwią zywać  u s t r o j ó w  przestrzennych  z  braku  odpowiednich  wyraż eń  na  drgania  poprzecz­ ne  p r ę ta  w  kierunku  p r o s t o p a d ł y m  do  płaszczyzny  zginania.  Praca  [7]  zawiera  wzory  transformacyjne  dla  p r ę ta  o  liniowo  zmiennych  obu  wyinia­ rach  przekroju.  Interesują ce  wyniki  zawiera  praca  [8]  w  której  rozpatrzono  drgania  prę tów  o  bardziej  skomplikowanej  geometrii.  W  niniejszej  pracy  zajmujemy  się  zagadnieniami  d r g a ń  poprzecznych  p r ę ta  w  kierunku  osi  stałego  wymiaru  p r ę t a.  R o z w a ż a n ia  ograniczamy  do  d r g a ń  harmonicznych,  które  opisane  są  przez  a m p l i t u d ę  spełniają cą  r ó w n a n i e  róż niczkowe  zwyczajne  liniowe  o  zmien­ nych  w s p ó ł c z y n n i k a c h .  R o z w i ą z a n ie  ogólne  tego  r ó w n a n i a  daje  się  przedstawić  jedynie  w  postaci  szeregów  p o t ę g o w y c h,  otrzymane  więc  w  pracy  wyniki  stanowią  formalnie  d o k ł a d n e  a  w  praktyce  przybliż one  rozwią zanie  analityczne  stawianego  problemu  i  pozwa­ lają  na  łatwe  otrzymanie  rozwią zań  dla  p r z y k ł a d ó w  liczbowych.  Wyprowadzone  w  tej  pracy  wzory  wraz  z  wynikami  podanymi  w  pracach  [5],  [6]  mogą  służ yć  do  wyznaczenia  d r g a ń  wymuszonych  i  własnych  oraz  sił  przekrojowych  belek  cią głych,  ram  płaskich  i  przestrzennych,  r u s z t ó w ,  ram  z a ł a m a n y c h  w  planie,  i.t.d.  Podane  rozwią zania  mogą  mieć  również  zastosowanie  w  przypadku  ram  fundamentowych  ram  podpierają cych  stropy  obcią ż one  maszynami,  konstrukcji  wsporczych  pod  urzą dzenia  wentylacyjne,  silniki,  itp.,  w  konstrukcjach  mostowych  oraz  w  wielu  innych  konstrukcjach  inż ynierskich  a  szczególnie  przemysłowych.  R o z w a ż y my  p r ę t  prosty  o  stałej  szerokoś ci  przekroju  poprzecznego  q  oraz  o  wysokoś ci  zmiennej  liniowo  wzdłuż  osi  p r ę ta  (rys.  1)  opisanej  wzorem:  2.  Drgania  poprzeczne  prę ta  (2.1)  gdzie:  1,  (2.2)  s  =  -Y l '  ­ Rys.  1  D R G A N I A  P R Ę T ÓW  4 1 9  Symbolami  hi,hk  oznaczono  tu  wysokoś ci  przekrojów  podporowych.  Z m i e n n o ś ć  pola  A ( £ )  przekroju  poprzecznego  p r ę ta  wyraża  się  n a s t ę p u j ą c o:  Atf)  =  AJjitS ' + / « * £ ) ,  (2.3)  gdzie:  As  =  (2.4)  Zmienność  momentu  bezwładnoś ci  7(|)  przekroju  poprzecznego  p r ę ta  przy  drganiach  Poprzecznych  w  kierunku  osi  у  (rys.  1),  tj.  prostopadle  do  rysunku  ma  p o s t a ć :  Ż (|)  =  7 ^ , 1 '  +  / ^ ) ,  (2.5)  gdzie:  «  h=fii\­  (2.6)  Stałe  //,­.  /ik  wystę pują ce  we  wzorach  (2.3),  (2.5)  mają  p o s t a ć  (2.2)  lub,  co  jest  r ó w n o w a ż ne  "'=У х '.  (2­7).  Symbole  A,• ,  Ak,  Ii,  Ik  oznaczają  pola  oraz  momenty  bezwładnoś ci  przekrojów  podporo­ wych  Ai  =  hiq,  Ak  =  hkq,  It = ' , 4 = ^ ' ( 2 - 8 ) [ E / d )  i ^ ­ ]  +  * < « > 1 *   8 2 % ±  =  0,  ­  (2.9)  R ó w n a n i e  r ó ż n i c z k o we  opisują ce  drgania  własne  poprzeczne  p r ę ta  o  zmiennej  sztyw­ noś ci  zginania  ma  p o s t a ć :  JL  gdzie  E / ( | )  oznacza  sztywność  zginania  p r ę t a,  QA(Ę )  oznacza  masę  prę ta  na  j e d n o s t k ę   długoś ci.  Uwzglę dniając  wzory  (2.3)  i  (2.5),  r ó w n a n i e  (2.9)  m o ż e my  zapisać  w  postaci  +  ^ ­ Л ф А ,0 .  '  (2.Ш)  Dalej  r o z w a ż a n ia  nasze  ograniczymy  do  d r g a ń  harmonicznych.  Po  rozdzieleniu  zmien­ nych  otrzymujemy  nastę pują ce  r ó w n a n i e  róż niczkowe  opisują ce  a m p l i t u d ę   1 , i v / - t 4 _  t\—  „ n i / «  i  A\  gdzie  zaś  о )  oznacza  ką tową  czę stość  d r g a ń .  420  E .  J .  K R Y N I C K I ,  S.  M A T Y S I A K  W p r o w a d z a j ą c  oznaczenia  =  a, ,Ui—fik  =  b,  (2.13)  r ó w n a n i e  (2.11)  m o ż na  z a p i s a ć  w  nastę pują cej  postaci  ^^­н <^Щу т (1)­{т )'^­°­  (214)  3.  Rozwią zanie  równania  (2.14)  R ó w n a n i e  (2.14)  jest  r ó w n a n i e m  r ó ż n i c z k o w ym  zwyczajnym  liniowym  jednorodnym  rzę du  czwartego  o  zmiennych  w s p ó ł c z y n n i k a c h ,  przy  czym  ( p o n i e w a ż  a  >  b  >  0),  współ­ czynniki  te  są  funkcjami  cią głymi  dla  £  e<0,  1>.  Podstawiając  do  r ó w n a n i a  (2.14)  zmienną   г /  d a n ą  wzorem  >j  =  a­bS,  (3.1)  oraz  przyjmując  dostajemy  yOl)  = y(S)  (3.2)  Г Ш̂У1\П)А ^)  ^г ~У(п )  = О­  (3.3)  R ó w n a n i e  (3.3)  zostało  rozpatrzone  w  pracy  [9],  gdzie autor  z a s t o s o w a ł  m e t o d ę  zmiennej  zespolonej  dla  otrzymania  rozwią zania  przybliż onego.  Wykorzystamy  teraz  bardziej  klasyczną  m e t o d ę ,  mianowicie  p o s z u k i w a ć  bę dziemy  rozwią zań  szczególnych  r ó w n a n i a  (3.3)  w  postaci  szeregu  p o t ę g o w e go  [10]:  • 00  ——  K V )   =   2  c k V'+ k,  (3.4).  fc = 0 gdzie  /• jest  nieznanym  parametrem,  k t ó r y  trzeba  okreś lić  wraz  ze  w s p ó ł c z y n n i k a m i  c k   podstawiając  (3.4)  do  r ó w n a n i a  (3.3).  Prowadzi  to  do  nastę pują cego  r ó w n a n i a  algebraicz­ nego  i  c 0 r ( r ­1) 20—  2 ) j r 4  +  c 1 ( r + l ) r 2 ( / ­ ­ l > r 3 + +   c 2( r +2)  (r +  1 ) V  " 2  +  c>(r+3)  (r  +  2) 2 (r  +1)  rf~1  +  00  +  2  | c w 4 ( ' ­  +  4 +  /c)(/­ +  3 +  /c) 2(r +  2 +  / c ) ­ Ż ? c , } ^+ ' '  =  0 ,  (3.5)  gdzie  D R G A N I A  P R Ę T ÓW  421  R ó w n a n i e  (3.5)  powinno  być  spełnione  t o ż s a m o ś c i o wo  a  zatem  współczynniki  przy  dowolnej  potę dze  щ  powinny  być  r ó w n e  zeru.  Przyjmujemy,  że  c\ =  c*­=  c 3 =  0  '  (3.7)  oraz  .  ,• (,—  l ) 2 ( r ­ 2 )  =  0,  (3.8)  co  daje  /• =  0, r =  1. r = 2.  Z  r ó w n a n i a  (3.5)  wynika  ponadto,  że jeś li  spełnione  są (3.7)  i  (3.8) to  ck+4(r  + 4 + k)(r  + 3 + k) 2(r  + 2 + k)­Bck  =  0.  .  ,  (3.9)  Podstawiając  л = 0  do  (3.4) i (3.9) otrzymujemy  jedno  z rozwią zań  szczególnych  równania  (3.3)  w  postaci:  OO  У М )  =  \ +2«*nV4"­  (З .Ю)  П =  1  gdzie  dla neN  mamy  « 4 „  = [J  [ 4 ( „ _ § + 4]  [4(/i ­ / ) + 3] 2 [4(/i ­ /)  r 2]  '  (3.11)  /=1  O 0 =  1 >   a*n+l  =  fl4n+2 =  й 4 л + 3  = 0­ D w a  n a s t ę p ne  rozwią zania  szczególne  otrzymujemy  podstawiając  r =  1  oraz  / = 2  d o  (3.4) i (3.9).  Dają  się one zapisać  nastę pują co:  gdzie:  Ь а"  11  [4(н ­ i) + 5]  [4(H ­  i) +  4 ] 2  [4(/i ­ i) +  3] '  b o  =  I­  0 4 И + 1  =  Ka+2  =  />4„+з  =  0.  u e N.  (3.13)  oraz  gdzie  Ш  = 'r(l+l̂ '4,'/4").  (3.14)  C4n /  /  Г 4 ( н ­ ()  fi"  [ 4 ( и ­ /)  + 6 ] [ 4 ( | | ­ 0  +  5 ] 2 [ 4 ( и ­ /)  + 4]  "  (3.15)  /=  1  N  C 0  =  1 I  C 4n+1  =  ''4)1+2  =  C 4 f l + 3  =  1;  II  E N.  P o n i e w a ż  r =  1 jest  pierwiastkiem  p o d w ó j n y m  r ó w n a n i a  (3.8),  czwartego  rozwią zania  20  Mech.  Tcoret i Stos.  2—3/83  422  E .  .1.  K R Y N I C K I ,  S.  M A T Y S I A K  szczególnego  poszukujemy  w  postaci  [10]:  00  Y*(l)=  1»(9).Ц Ч+24Л ',+1,  (3.16)  11 = 0 gdzie  Y2(rj)  dane jest  wzorem  (3.12).  Podstawiając  (3.16)  do  r ó w n a n i a  (3.3)  otrzymujemy  wzory  okreś lają ce  współczynniki  d„  4 , 1  ~  1  i  ( 4 0 2 ( 4 / + l ) ( 4 / ­ l )  ~  1  3 2 w ł ­ l  l i  ( 4 0 2 ( 4 / + l ) ( 4 / ­ l )  2 и ( 4 й + 1 ) ( 4 и ­ 1)  i' = 2 dla  n>  1  oraz  (3.17)  di, = —[7Г  —  ' ' 4 1 1 + 2 —  d4n+3 — 0.  Z  (3.17)  i  (3.16)  wynika,  że  K*(fo)­  ^ ( ^ I n v +  ^ ^ r / 4 ^ ' ,  (3.18)  Hm 1 gdzie  )  =  Upts  K O  =   У т  / ( 1 )  =  % ,  (  }  gdzie  у i,  yk,  l(pi,  lcpk są  stałymi  oznaczają cymi  amplitudy  przemieszczeń  liniowych  i  ką to­ wych.  P o n i e w a ż  wygodniej  jest  o p e r o w a ć  funkcją  y(rj)  więc  wykorzystując  oznaczenia  (3.1)  i  (3.2)  m o ż e my  warunki  brzegowe  (4.1)  zapisać  w  postaci  l  =  — Г Vi.  .\  dy  dV  U­a  ~  ( 4 2 )  D R G A N I A  P R Ę T ÓW  4:з   Podstawiając  rozwią zanie  ogólne  (3.19)  do  w a r u n k ó w  brzegowych  (4.2)  otrzymujemy  układ  czterech  r ó w n a ń  algebraicznych  liniowych  okreś lają cych  nieznane  stałe  C b  i  =  =  1.  2,  3,  4:  4  2ctYt(a)  =  у u  4  V CtYt(fl­b)  =  yi,  У с ,  Ш   t ]  =  a   (4.3)  EL  drj  tj ma—b Vi,  3  / 3  UjPy  l = a — b  Jeś li  dane  warunki  brzegowe  wyraż ają  momenty  zginają ce  i  siły  poprzeczne  lub  są   typu  mieszanego  to  m o ż na  o t r z y m a ć  rozwią zanie  stosując  (3.19),  gdzie  C, spełniają  u k ł a d  r ó w n a ń  (4.3),  przyjmując  yt,  yk,  lq>t,  lq>k jako  nieznane,  k t ó r e  trzeba  wyznaczyć  z zadanych  w a r u n k ó w  brzegowych  i  w z o r ó w  (4.5).  Z  u k ł a d u  r ó w n a ń  (4.3)  wynika,  że stałe  C f są w postaci  kombinacji  liniowych  wartoś ci  przemieszczeń  liniowych  i  ką towych  danych  na  brzegu  p r ę t a,  czyli  C„ = a^yi  +  a^yk+a^lyt+a^lpk,  gdzie  a„m, n, m  =  1, 2, 3, 4 są  stałymi.  Z  powyż szego  wniosku  oraz  na podstawie  (3.19)  i  (4.5)  wynika,  że  siły  poprzeczne  i momenty  zginają ce  są również  kombinacjami  liniowymi  wartoś ci  у{,  yk,  ll= a   •ь у  1п(а ­Ь )+\­ш(а ­Ь )\  m o ż e my  u k ł a d  r ó w n a ń  (4.3)  zapisać  nastę pują co  EfjmCm­Ć f,  . / = 1 , 2 , 3 , 4 ,  gdzie  gi  =  У и  8г =  У k>  gi  (5.3)  (5.4)  Stosując  rozwią zanie  przybliż one  (5.1)  moż emy  wyrazić  wzory  transformacyjne  (4.5)  w  postaci  E/ S afo 2  Г „ В  ,  в  .••'  L  в  A  + Г , | ^ ­ « з1 п в  +  ^ _ в з   E/s.fo 2(a­fo)  В   +  20  {с,  ^  (fl ­ fo)2 +  C \ A  (a ­ fo)3 +  C 3 [2  +  ( « ­ f o r ]  + C 4 [ ^  ( « ­ f o ) 3 l n ( « ­ f o ) +  J 0  ( « ­ f o ) 3 ] } ,  fo  E/ S afo 3  Г  В  „  В  ,  „  В  '  Г „  =  ~ M ł k +  ~  C , y a  +  C 2  4 " « 2 +  С 3  5  а 3 +  +  C 4 ( ­ f « 2 . n a ­ 2 ^ f l 2 ) ] ,  (5.5)  E/ s fo 3 (a­fo)  I  В   /(a­fo)  +  С , ­|  ( « ­ f o ) 2  +  C 4  / 3  В   C V ~  (o­fo) +  C 2  "  ( « ­ f o ) 2 +  J  4  1 ( 0 ­ 6 ) 4 . ( 0 ­ * ) ­ ^  (  Rozwią zując  teraz  u k ł a d  r ó w n a ń  (5.3)  moż emy  wyznaczyć  Ck a nastę pnie  podstawiając  je  do  (3.19)  (gdzie  Yt są  dane  wzorami  (5.1))  oraz  do  (5.5)  otrzymamy  poszukiwane  roz­ wią zanie.  W  przypadku  d r g a ń  własnych,  przyjmują c,  że pręt  jest  sztywno  zamocowany, co  oznacza  przyję cie  na  brzegach  zerowych  przemieszczeń  liniowych  yt  ­  yk  =  O oraz  zero­ wych  przemieszczeń  ką towych  l(pt = lęk =  O, układ  r ó w n a ń  (5.3)  staje  się  u k ł a d e m  r ó w n a ń   DRGANIA  PRĘ TÓW  427  liniowych  jednorodnych  i  posiada  niezerowe  rozwią zanie  gdy  det [/},„] =  0  (5.6)  R ó w n a n i e  (5.6)  jest  r ó w n a n i e m  na  czę stość  d r g a ń  własnych  co  wchodzą cą  do  niego  po­ przez  wartość  В  (wzory  (2.12)  i  (3.6)).  Podstawiając  przybliż one  wartoś ci  /},„ dane wzorami  (5.2)  do  (5.6)  otrzymujemy  r ó w n a n i e  algebraiczne  stopnia  czwartego  na  niewiadomą  В   1  m o ż na  je  rozwią zać  numerycznie.  Zastosowanie  podanych  wyż ej  rozwią zań  przybliż onych  zilustrujemy  na  p r z y k ł a d a c h  liczbowych.  P r z y k ł a d  I:  Znajdziemy  czę stość  drgań  własnych  dla  p r ę ta  o  nastę pują cych  danych  /  =  4,00  m ,  q  =  1,20  m ,  ht  =  2,40  m ,  hk  =  1,20  m .  Q =  2400  k g / m 3 ,  E  =  23 • 10 3  M P a .  (5.7)  Stosując  wzory  (2.2),  (2.7),  (2.8),  (2.13)  i  (5.7)  otrzymujemy  a   =  1,4142,  b  =  0,7071  (5.8)  nastę pnie,  podstawiając  (5.8)  do  w z o r ó w  (5.2)  i  rozwią zując  r ó w n a n i e  (5.6)  dostajemy  В  =  19,5291  (5.9)  co  daje,  na  podstawie  (3.6)  i (2.12)  czę stość  d r g a ń  własnych  dla rozpatrywanego  przypadku  co  =  209,44  s ­ 1 .  (5.10)  P r z y k ł a d  2 :  Rozpatrzymy teraz  drgania  wymuszone  p r ę ta  o  wymiarach podanych  we  wzorze  (5.7)  przyjmując  czę stość  obcią ż eń  wymuszają cych  co  =  314,16  s ­ 1 ,  (5.11)  co  odpowiada  3000  d r g a ń / m i n.  N a  podstawie  wzorów  (2.12)  i  (3.6)  mamy  dla  tego przy­ padku  B=  43,94,  (5.12)  W s t ę p n i e,  podstawiając  (5.12)  i  (5.8)  do  wzorów  (5.2)  otrzymujemy  liczbowe  wartoś ci  współczynników j)m  dla  u k ł a d u  r ó w n a ń  (5.3).  Podajemy  je  w  postaci  macierzy:  (5.13)  3,4409  2,4498  2,5857  0,8231"  1,1525  0,7394  0,5090  ­0,2571  6,9039  4,6614  5,3138  2,4955  L0,8629  1,2288  1,4919  0,5691  gdzie  F  =  UjJ  (5.14)  Rozwią zanie  u k ł a d u  r ó w n a ń  (5.3)  m o ż e my  zapisać  w  postaci  C ,  =  1 3 , 8 8 2 2 ^ ­ 9 , 7 9 2 8 ^  + 4,5955  j•  ,  + 33,5132л­  17,3563  |  V , ­  11,5984  ­ j ­ ' ­ *Js  ( N m ) ,  ^ - |o ,2269>', ­  0 , 0 6 8 7 л  ­  3,1495  ­L  tf t ­ 0 , 1 4 4 3  Ł  ,  Sil  =  у  (1,6989л ­0,4542yk + 0,5842­^  ^  + 0,4381  ij^ jfcj.  gdzie  E  =  23 x  10 s  M P a , /  =  4,00  m,  yt,  yk  są  amplitudami  przemieszczeń  liniowych  zaś   lepi, lq>k  są  amplitudami  przemieszczeń  ką towych  na  k o ń c a ch  prę ta.  Literatura  cytowana  »  t e k ś c ie  1.  S.  BLASZKOWIAK,  Z .  K A C Z K O W S K I ,  Metoda  Grossa,  P W N ,  Warszawa,  1959.  2 .  W .  N O W A C K I ,  Dynamika  budowli, Arkady,  Warszawa,  1 9 6 1 .  3.  E .  C R A N C H ,  A .  A D L E R ,  Journ.  A p p l .  Mech.,  A S M E ,  23,  1,  1956.  4 .  E .  K R Y N I C K I ,  Z .  M A Z U R K I E W I C Z ,  Journ.  A p p l .  Mech.,  A S M E ,  2 9 ,  9,  1962.  5.  E .  K R Y N I C K I ,  A r c h .  I n ż .  L ą d .,  12,  1,  1966.  6.  E .  K R Y N I C K I ,  Arch.  I n ż .  L ą d .,  12,  3,  1 9 6 6 .  D R G A N I A  PRĘ TÓW  429  I  J.  G O L F C ,  A r c h .  I n ż .  L ą d ., 2 6 ,  2, 1980.  8­  D .  O .  BANKS,  G . J .  K U R O W S K I ,  Journ,  A p p l .  Mech.,  A S M E ,  4 4 ,  3, 1977.  9.  D .  E .  N E Y E L ,  77ie general solution  of  a  wedge  on  an elastic foundation,  C R R E L  Research  Reporl  2 2 7 ,  Nov.,  1968.  1 ° ­  M .  COLOMB,  M .  SHANKS,  Elements of  ordinary differential equations, M c  Graw­Hill  Company,  1965.  P  a 3 ю  M  e  К О Л Е Г > А Н ИЯ  С Т Е Р Ж Н ЕЙ  С  Л И Н Е Й НО  П Е Р Е М Е Н Н ОЙ  В Ы С О Т ОЙ  П О П Е Р Е Ч Н О ГО   С Е Ч Е Н ИЯ   В  р а б о те  р а с с м о т р е но  з а д а чу  к о л е б а н ий  п р я м ых  с т е р ж н ей  с  п о с т о я н н ой  т о л щ и н о й,  к о т о р ых   Р а з м е ры  п о п е р е ч н ых  с е ч е н ий  и з м е н я ю т ся  л и н е й но  в  п л о с к о с ти  и з г и б а.  Р а с с у ж д е но  г а р м о н и ч е с к ие   п о п е р е ч н ые  к о л е б а н ия  с т е р ж ня  в  н а п р а в л е н ии  п о с т о я н н о го  р а з м е ра  п о п е р е ч н о го  с е ч е н и я.  П о­ л у ч е но  о б щ ее  р е ш е н ие  у р а в н е н ия  а м п л и т у да  в  в и де  с т е п е н н о го  р я д а,  а  в  д а л ь н е й ш ем  п р и б л и ж е н­ н ое  р е ш е н ие  д ля  а м п л и т у да  и  т р а н с ф о р м а ц и о н н ых  ф о р м у л.  П о л у ч е н н ые  р е з у л ь т а ты  и л и ю с т и р о­ в а но  д в у мя  ч и с л е н н ы ми  п р и м е р а м и:  в  п е р в ом  н а й д е но  ч а с т о ту  с о б с т в е н н ых  к о л е б а н и й,  в о  в т о­ р ом  р а с с м о т р е но  в ы н у ж д е н н ые  к о л е б а н и я.  S u m m a r y  V I B R A T I O N S  B A R S  W I T H  L I N E A R L Y  V A R I A B L E  C R O S S ­ S E C T I O N A L  H E I G H T  The  paper  deals  with  problems  of  vibrations  of  straight  bars  with  constant  width.  The  height  varies  linearly  in  the  plane  of  bending.  We  consider  harmonic  transverse  vibrations  of  the  bar  in  the  direction  of  the  constant  dimension.  A  general  solution  of  the  amplitude  equation  is  obtained  in  the  form  of  the  Power  series.  F r o m  this  an  approximate  solution  is  determined  for  the  amplitude  and  slope­deflection  equations.  The obtained  results  are  illustrated  by  two  examples.  In  the  first  the  natural frequency  is  deter­ mined  while  in  the  second  forced  vibrations  are  obtained.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  25  maja  1982  roku