Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2/3,  21  (1983) 

O  P E W N Y C H  W I Ę Z A CH  B R Z E G O W Y C H  W  K L A S Y C Z N E J  TEORII  P Ł Y T 

KAZIMIERZ  MYŚ LECKI 

Politechnika  Wrocławska 

1.  Wstęp 

W  pracy  rozpatruje  się,  w  s p o s ó b  ogólny,  zagadnienie  w s p ó ł p r a c y  cienkiej  płyty  z  i n ­

nymi  konstrukcjami  np.  p o w ł o k ą ,  belką,  p r ę t em  c i e n k o ś c i e n n ym  itp.  Z a k ł a d a  się,  że 

p o ł ą c z o ne  są  one  z  płytą  na  jej  brzegu.  A n a l i z a  takiej  złoż onej  konstrukcji  jest  czę sto 

niemoż liwa,  pomimo  dysponowania  dobrym  aparatem  numerycznym  ( m e t o d ą  elementów 

s k o ń c z o n y c h ).  R o z m i a r  zagadnienia  przekracza  zwykle  wtedy  moż liwoś ci  d o s t ę p n e go 

s przę tu  obliczeniowego.  Dlatego  też  istotne  jest  niezależ ne  rozwią zanie  poszczególnych 

e l e m e n t ó w  złoż onej  konstrukcji  z  uwzglę dnieniem  ich  w s p ó ł p r a c y . 

W  połą czeniach  płyty  z  innymi  d ź w i g a r a mi  powierzchniowymi  m o ż na  p r z y j m o w a ć , 

z  dobrym  przybliż eniem  w  wielu  przypadkach,  sztywne  zespolenie  d ź w i g a ra  z  płytą  (ze 

wzglę du  na  dużą  sztywność  d ź w i g a r ów  powierzchniowych  w  n i e k t ó r y c h  kierunkach). 

Natomiast  oparcie  płyty  na  belce  jest  swego  rodzaju  podparciem  sprę ż ystym. 

Analitycznym  n a r z ę d z i e m,  k t ó r e  zastosujemy  do  rozwią zania  przedstawionego  wyż ej 

zagadnienia  jest  mechanika  ciała  stałego  z  wię zami  [1,  2,  3,  4].  Punktem  wyjś cia  bę dzie 

klasyczna  teoria  p ł y t  [5]. 

2 .  Podstawowe  równania  klasycznej  teorii  płyt 

N a  płaszczyź nie  ś r o d k o w ej  S  cienkiej  płyty  o  gruboś ci  //  przyjmujemy  krzywoliniowy 

u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  &\02.  W s p ó ł r z ę d ne  tensora  metrycznego  oznaczamy  przez  Aafl, 

w s p ó ł r z ę d ne  altenatora  —eal,(tx, ji  =  1,  2), a  r ó ż n i c z k o w a n ie  kowariantne  kreską  p i o n o w ą . 

W ó w c z a s  zagadnienie  zginania  płyty  poddanej  obcią ż eniu  q(&l,02)  p r o s t o p a d ł e m u  d o 

płaszczyzny  ś r o d k o w ej  m o ż na  opisać  grupami  r ó w n a ń : 

warunek  r ó w n o w a g i  dla  tensora  n a p i ę ć  momentowych  Ma/) 

(2.1)  M«%  + q  ­  0 , 

zwią zki  geometryczne 

(2.2)  =  ­W]afi, 

relacje  konstytutywne 

(2.3)  M"  =  C ^ > % , 



432  К .  M Y Ś L E C KI 

gdzie  w jest  ugię ciem  płyty,  a  y.v& —  tensorem  zmian  krzywizny  płaszczyzny  ś r o d k o w e j. 

Tensor  sprę ż ystoś ci  CxPyó  dla  płyty  izotropowej  o  sztywnoś ci  zgię ciowej  D  przyjmuje 

p o s t a ć  

I  1 ­ ) ' V 
(2.4)  caflya _  £f \vAa<lAyS+  y­iA^AP  + A^At*)  . 

N a  krzywej  С  bę dą cej  ś ladem  płaszczyzny  ś r o d k o w ej  5  na  powierzchni  brzegowej 

płyty  zadaje  się  geometryczne  i statyczne  warunki  brzegowe.  Krzywą  С  parametryzujemy 

współrzę dną  długoś ci  ł u k u  A i  o k r e ś l a my  wektor  na  normalny  do C. 

Definiujemy  nastę pują ce  operatory: 

*• >-• £• <:>•  
(2.5)  M „ ( ­ )  =  ' W ) , 

które  służą  do  okreś lenia  geometrycznych 

w  =  w0, 

i  statycznych  w a r u n k ó w  brzegowych 

M„(M"' J )  =  m0, 

(2.7)  K„(M«")  = p 0 , 

gdzie w0,  q>0, m0  i / г 0  są znanymi  funkcjami  o k r e ś l o n y mi  na  C. 

W  dalszych  r o z w a ż a n i a c h,  w celu  uproszczenia  w z o r ó w ,  bę dziemy  pomijać  argumenty 

o p e r a t o r ó w  brzegowych  (2.5). 

3.  Równania  wię zów  brzegowych  i  zasada  idealnoś ci  wię zów 

Rozpatrzymy  dwa  rodzaje  wię zów  brzegowych  danych  na czę ś ciach  C t i C2  krzywej C . 

Pierwszy  rodzaj  wię zów  opisuje  w s p ó ł p r a c ę  płyty  ze sztywną  k o n s t r u k c j ą  i  m o ż na go 

p r z e d s t a w i ć  przy  pomocy  r ó w n a ń  

(3.1)  a,(A v f,Vn, Ri , Ri , ­.А и )  =  0  (i =  1 , 2 ,  ...,p)  na  C,. 

Nieznane  parametry  /?i,/? 2 >  . . . , / ? м  nie zależą  o d współrzę dnej A. 

N a  krzywej  C 2  przyjmujemy  r ó w n a n i a  wię zów 

(3.2)  y , ( A ,  M,„  V„,  <pn,  ЬГ п,  ...,V
Kff,„  w, w,  V L w )  = 0 . 

( i  =  1 , 2 , ...,s) 

Opisują  one wiele  p r z y p a d k ó w  sprę ż ystego  współdziałani a  płyty  z  innymi  elementami 

'>  R ó w n a n i a  (2.1)­^ (2.3)  z tensorem  s p r ę ż y s t o ś ci  (2.4) m o ż na  s p r o w a d z i ć  do jednego  r ó ż n i c z k o w e go 

r ó w n a n i a  zginania  p ł y t y  AAw =  q\D  (AA —bilaplasjan) 



WIĘ ZY  BRZEGOWE  V? TEORII  PŁYT  433 

konstrukcyjnymi  na  brzegu  C 2 .  Operatory  V
J  oznaczają  r ó ż n i c z k o w a n ie  po  A | V J ( ­ )  = 

­  , Й  
Funkcje  ж ,, yt  są  liniowymi  funkcjami  swoich  a r g u m e n t ó w  (z wyją tkiem  argumentu  A). 

R ó w n a n i a  wię zów  (3.1),  (3.2) modyfikują  warunki  brzegowe  (2.6),  (2.7) na  Cv  i  C2, 

k t ó r e  m o ż na  obecnie  z a p i s a ć  w  postaci  [4] 

M, = Ш г  +  Ш 0 , 
(3.3)  v„ =  c, (3.3)  v„ = p r + p 0  na  c, 

w  =  ­ W r + W o i 
(3.4)  <Pn  = ­C>r+9»0> 

•  
M„  =  ш г  +  ш 0 , 

Гл  =  p r + p 0  na  c2 
Nieznane  funkcje  (pr,  wr,  mr  i p r  są  przemieszczeniami  i  silami  reakcyjnymi  na  krzywych 

C ,  i C 2  powstałymi  na  wskutek  n a ł o ż e n ia  wię zów  (3.1) i  (3.2). 

D l a  wię zów  (3.1) i  (3.2) przyjmujemy  z a s a d ę  idealnoś ci  wię zów  [3, 4] 

А з .5)  j  (inrb<pa+prdw)dl  + j  {mrd(pn + prdw  + (prdMn  + wrdV^dX  + 
Ci  t , 

K­l  L­l 

+  2  W»ÓV«<p$*  +  ^  + [ ^ c 5 V N w K 5  =  0. 
N=0  N=0 

Nawiasem  kwadratowym  w  ostatnich  s k ł a d n i k a c h  (3.5)  oznaczono  róż nicę  w y r a ż e n ia 

w  nawiasie na  k o ń c a ch  krzywej  C 2 ( A  =  A 0 i  А =  ?.k), a  M ;
v ( / V  =  0 , 1 , . . . ,  К —  1) i  = 

=  0,  1,  L—l)  są  wystę pują cymi  tam  reakcjami. 

Przemieszczenia  i siły  wirtualne  w (3.5) (oznaczone  symbolem  d) spełniają  r ó w n a n i a  [4] 

M 

L 

+  У , ~ S * - d V ' w  =  0  ('  =  1,  2 , s )  na  C2. 

iV = 0 

Oznaczmy  przez  \pt  =  y>i(A)  (/' =  1, 2,  . . . ,  p)  i  =  /<,(/)  (/  =  1 , 2 ,  ...,s)  m n o ż n i ki 

Lagrange'a  na  C ,  i C 2  oraz  p o m n ó ż my  przez  nie r ó w n a n i a  (3.6) i  (3.7) wykonując  jedno­

cześ nie  sumowanie  po  /'. W  pierwszym  przypadku  otrzymamy 

p  P  PM 

«*>  >;i\, & * . - o . 
(П  /=1  ' "  /=1  N­l  r™ 



434  K . ' M Y S L E C K I 

Natomiast  w  drugim  —  po  stosownych  przekształceniach  mamy 

A ­ l 

(3.9) 2  f*i  [у  Ш п  +  У  Mi  + ( « +  V A ­ ° ) ó V n ­  V  xvd9n)  + 

(­1  "  л г =о  

+ ( ­(Ł> +  V K
0 ) Ó W ­ V  ( J T  K­ V V A 'ć >łvj  =  0. 

We  wzorach  (3.9)  u w z g l ę d n i o no  oznaczenia 

(3.10) 

V  ВУ ' 

5 K­l­N 

/ = 1  7=0 

ь = 
(3.11) 

i = 1 

= 1  J=0 

Całkując  (3.8)  i  (3.9)  odpowiednio  po  krzywych  C ,  i  C 2  i  dodając  n a s t ę p n ie  do  r ó w n a n i a 

(3.5)  moż emy,  po  wykorzystaniu  lematu  du  Bois­Reymonda,  o t r z y m a ć  przemieszczenia 

i  siły  reakcyjne  [1] 

i = i  

r 

8<p, 

(3.12)  p ' = Z ^ ' 4 w T ' 

£  / « S'  = 0  = 1,  2,  . . . ,  M )  na  C , 

(3.13) 

l ­ l  i = l 



WIĘ ZY  BRZEGOWE  W  TEORII  PŁYT  435 

oraz 

Mi  =  ­XJ  (7  =  0 , 1 ,  1), 

( 3 I 4 )  Pi  =  ~YJ  (J  =  0,  1,  . . . , L ­ 1 )  . 

na  k o ń c a ch  krzywej  C2  (A =  A 0  i  Л =  Я к ). 

R ó w n a n i a  (3.1),  (3.2),  (3.4).  (3.3),  (3.12),  (3.13)  i  (3.14)  łą cznie  ze  zwią zkami  (2.1), 
(2.2)  i  (2.3)  stanowią  kompletny  u k ł a d  r ó w n a ń ,  który  może  służ yć  do  rozwią zania  zagad­
nienia  zginania  płyt  z  wię zami  (3.1)  i  (3.2). 

Z a u w a ż m y,  że  wię zy  t y p ó w  (3.1)  i  (3.2)  mogą  być  dane  na  tej  samej  czę ś ci  brzegu  С  
( C t  =  C 2 ) ,  co  nieznacznie  modyfikuje  przedstawione  wyż ej  r o z w a ż a n i a. 

4.  Przykłady  wię zów  brzegowych 

W e ź my  najpierw  pod  u w a g ę  wię zy  opisywane  r ó w n a n i a m i  (3.1).  W  tym  celu  rozpa­
trzymy  płytę  p r o s t o k ą t n ą,  na  które j jednym  boku jest  przymocowana  sztywna  belka  (rys.  1). 
Wię zy  (3.1)  mają  tutaj  postać  

и 1 :  < р п~Р з  =  0 , 

( 4 ­ 1 )  a 2 :  =  0 , 

Rys.  1 

gdyż  ugię cie  sztywnej  belki  jest  funkcją  liniową,  a  kąt  obrotu  wzglę dem  osi  belki  jest 
stały.  Z  r ó w n a ń  (3.12)  obliczamy  siły  reakcyjne 

(4.2) 

oraz 

(4.3) 

pr  =  y>2  na  odcinku  AB 

i  <  i 

J  y>idy =  0, Jy>2dy  =  0, jy>2ydy  =  0. 

J 

W a r u n k i  (4.3)  wobec  (4.2)  są  r ó w n a n i a m i  r ó w n o w a g i  sił  reakcyjnych  działają cych  na 
sztywną  belkę. 

P r z y k ł a d e m  konstrukcji  z  wię zami  (3.2) jest  płyta  z  rys.  1 p o ł ą c z o na  ze  sprę ż ystą  belką  



436  К .  MYŚ LECKI 

о  sztywnoś ci  skrę tnej  Ds  i gię tnej  De.  Wуwczas  r у w n a n i a  wię zуw  m o ż na  przyjąć  w postaci 

9n 

""  ~s  dy 
(4.4) 

Siły  brzegowe  Mn  i  Vn  wystę pują  w r у w n a n i a c h  (4.4)  w miejscu  obcią ż eń  skrę canej  i  zgi­

nanej  belki.  N a podstawie  odpowiednich  w z o r у w  z rozdziału 3 . otrzymujemy  przemieszcze­

nia  i  siły  reakcyjne 

(4.5) 

oraz 

<Pr=  M i '  Wr = 1*2 , 
d2fi,  _  d*[i, 

dy2  P r  <'  dy4 
mr  =  Ą  ,  pr  =  Dg  .A,  na  odcinku  AB 

dy 

( 4 6 )  p O = _ D < [
3 / < 2  ? l  =  0 ^ 

P;  =  ­  D„ ­p­  ,  Pf  =  Dg  fi2  w  punktach  A  i  B. 

G d y  weź mie  się pod u w a g ę  s w o b o d ę  k o ń c уw  belki  (rys. 1)  należy  przyjąć  M° =  P° = 

=  P}  ­  0. 

W  obu powyż szych  p r z y k ł a d a c h  z a ł o ż o n o,  że belka jest  wolna  od obcią ż eń  z e w n ę t r z­

nych  (z wyją tkiem  sił reakcyjnych  od płyty)  oraz  w drugim  przykładzie  p o m i n i ę to  wpływ 

przesunię cia  osi pryzmatycznej  belki  od brzegu  płyty  na  p o s t a ć  r у w n a n i a  (4.4),. 

Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie 

1.  C z . W O Ź N I A K,  Non­linear  mechanics of constrained material  continua. L , A r c h .  Mech.,  1, 26, 1974. 

2.  C z . W O Ź N I A K,  On the Elastodynamics of Material  Continua with  Internal Constraints,  Hull.  Acad.  Polon, 

Sci.,  Ser. Sci. Techn.,  vol. X X I I ,  N o . 7 ­  8, 1974. 

3.  C z . W O Ż N I A K,  Elastic  Bodies with Constraints  Imposed  on Deformations,  Stresses  and Momenta,  Bull. 

A c a d .  Polon.  Sci., Ser. Sci. Techn.,  vol.  X X I I ,  N o . 7 ­  8,  1974. 

4.  C z . W O Ź N I A K,  M .  KLEIUER,  Nieliniowa  mechanika konstrukcji,  P W N ,  W a r s z a w a ­ P o z n a ń  1982. 

5.  Z .  K A C Z K O W S K I , Płyty — obliczenia statyczne, Arkady,  Warszawa  1980. 

Р е з ю ме  

О  Н Е К О Т О Р ЫХ  К Р А Е В ЫХ  С В Я З ЯХ  В  К Л А С С И Ч Е С К ОЙ  Т Е О Р ИИ  П Л А С Т ИН  

В  р а о о тс  р а с с м а т р и в а е т ся  , , в о б о б щ е н н ом  в и д е"  п р о б л е ма  с о т р у д н и ч е с т ва  п л а с т и ны  с  д р у­

г и ми  т и п а ми  к о н с т р у к ц ии  ( б а л к о н,  о б о л о ч к ой  и т . п .)  с о е д и н е н н ы ми  с  п л а с т и н ой  на е е к р а е.  Э т от  

в о п р ос  р е ш а е т ся  с  т о ч ки  з р е н ия  м е х а н и ки  к о н с т р у к ц ии  с о с в я з я м и.  В н а с т о я щ ей  р а б о те  п о д р о б но  

и с с л е д о в а ны  д ва  п р и м е ра  к р а е в ых  с в я з е й. 



W I Ę ZY  BRZEGOWE  W  TEORII  PŁYT  437 

S u m m a r y 

O N  C E R T A I N  B O U N D A R Y  C O N S T R A I N T S  IN  C L A S S I C A L  T H E O R Y  O F  P L A T E S 

The  problem  of  co­operation  of  bent  plate  with  other  elements  (beam,  shell  etc.)  connected  on  the 

edge with the plate is  discussed. The problem is solved as a case of the structural mechanics with constraints. 

Two  examples  of  boundary  constraints  are  given  and  analysed. 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  5  stycznia  1983  roku  s 

21  Mech.  Teoret  i  Slos.  2—3/SJ