Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E G H A N  IK Л   T E O R E T Y C Z N A  1  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  N U M E R Y C Z N E O B L I C Z A N I E K R Z Y W O L I N I O W Y C H Ś C I E Ż EK R Ó W N O W A G I D L A J E D N O W Y M I A R O W Y C H U K Ł A D Ó W S P R Ę Ż Y S T Y CH Z Y G M U N T K A S P E R S K I WSI  Opole  W pracy podaje się m e t o d ę obliczeń p u n k t ó w równowagi dla jednowymiarowych u k ł a d ó w sprę ż ystych. Przykładem takich u k ł a d ó w są p r ę ty (łuki) lub powłoki obrotowe obcią ż one osiowosymetrycznie. Obliczanie krzywoliniowych ś cież ek r ó w n o w a g i jest podstawowym elementem nieliniowej analizy konstrukcji. Dodatkowo z a k ł a d a się, że r o z w a ż a ny u k ł a d jest poddany obcią ż eniom zachowawczym, charakteryzowanym jednym parametrem skalarnym A. Metoda rozwią zania nieliniowych u k ł a d ó w r ó w n a ń r ó w n o w a g i wykorzystuje wszystkie własnoś ci macierzy wystę pują cych w analizie tych konstrukcji metodą e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y ch i charakteryzuje się dużą stabilnoś cią oraz stosunkowo k r ó t k i m czasem obliczeń. D o d a t k o w ą cenną zaletą jest w przybliż eniu liniowy wzrost czasu obliczeń w zależ noś ci od liczby elementów podziału konstrukcji. Podaje się szereg p r z y k ł a d ó w liczbowych dla p o w ł o k obrotowych, a dla zachowania wzglę dnej spójnoś ci opracowania podstawowe informacje o dyskretyzacji powłoki podano w U z u p e ł n i e n i u . 1. Sformułowanie problemu Bę dziemy r o z w a ż ać jednowymiarowe u k ł a d y sprę ż yste, których pole przemieszczeń jest funkcją jednej zmiennej  u =  u(£), £ e [£„, j j . Z a ł ó ż my ponadto, że r o z w a ż a ny u k ł a d jest poddany obcią ż eniom zachowawczym charakteryzowanym parametrem skalarnym /.. Energia potencjalna takiego u k ł a d u może być zapisana w postaci 0 . 1 )  P(u, A) =  и(и )+Щ и ),  gdzie  U(u) jest energią sprę ż ystą, a  V(u) energią potencjalną obcią ż eń. W stanie równowagi energia potencjalna jest stacjonarna, tj. wariacja (róż niczka Gateaux) jest r ó w n a zeru (1.2)  dP(u; A; <$ti) = 0 . dla k a ż d e j, kinematycznie dozwolonej wariacji  óu pola przemieszczeń. R ó w n a n i a Eulera­ ­Lagrange'a zagadnienia wariacyjnego (1.2) stanowią układ r ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h, w o g ó l n y m przypadku nieliniowych, k t ó r y w zapisie operatorowym ma p o s t a ć (1.3)  F(u, A ) = 0 . Podstawowym zagadnieniem analizy omawianych u k ł a d ó w jest wyznaczenie wszystkich 22  Mech.  Tcorct  i  Stos.  2—3/83  ,  454  Z.  KASPERSKI rozwią zań (w tym osobliwych) u  = //(/) r ó w n a n i a (1.3) dla wartoś ci parametru  X z pew­ nego przedziału oraz zbadania stabilnoś ci tych rozwią zań. Szczególnie w a ż n ym jest wy­ znaczenie tych wartoś ci  XB, k t ó r e odpowiadają punktom rozgałę zienia oraz tych Я5, k t ó r e odpowiadają punktom maksimum lub minimum obcią ż enia, tj. w których  ­~r­ = 0 aA  (rys. 1). Rys.  1  Tak postawiony problem jest obszerny i na ogół trudny. D o jego rozwią zania stosuje się zwykle j e d n ą z bezpoś rednich metod rachunku wariacyjnego. W ó w c z a s niewiadomym jest wektor u o g ó l n i o n y c h współrzę dnych bą dź przemieszczeń wę złowych  q. D o b r y m p r z y k ł a d e m jest tutaj metoda e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y ch zastosowana do obliczeń p o w ł o k obrotowych obcią ż onych osiowosymetrycznie. D l a przyję tych funkcji bazowych (funkcji kształtu) otrzymuje się u(C)  =  N($)q,  a wówczas energia potencjalna jest funkcją  N zmiennych  qt(i  = 1 , 2 , . . . ,  N) współrzę d­ nych wektora  qT  =  [ 0 dla ( 7 / 0 . Jeś li ograniczymy się do tzw. obcią ż eń typu martwego, to energia potencjalna  V(q)  jest funkcją liniową (1.7)  V(q)  =  qrQ,  KRZYWOLINIOWE Ś CIEŻ KI RÓWNOWAGI 455  gdzie stały wektor  QT  =  [61,62,  • • • »/Qn] jest tzw. wektorem obcią ż eń jednostkowych. Obliczając teraz wariację funkcjonału (1.4) w klasie kinematycznie dozwolonych wariacji wektora  q otrzymamy (1.8 )  oP(q,X;óq)  =  ÓqTj(q, A) = 0, a stąd u k ł a d r ó w n a ń r ó w n o w a g i przyjmuje p o s t a ć (1.9)  f  f(q, A) M Kq +   8 U ^ L ­  (q)­XQ  =  0,  lub definiując tzw. wektor pseudo­sił (1.10)  / ? ( « ) =  d^'­­(q),  8q  p o s t a ć (1.11)  Kq +  R(q)=XQ,  gdzie  R{q) =  [RM,  R2(q),  RN(q)] r­ W ten s p o s ó b znalezienie ś cież ki równowagi sprowadza się do rozwią zania nieliniowego u k ł a d u r ó w n a ń algebraicznych (1.11). 2 .  Numeryczne  rozwią zanie  nieliniowych  układów  równań   Weź my pod uwagę u k ł a d (1.11) i ustalając w a r t o ś ć parametru Я = A~ zastosujemy do niego iteracyjną m e t o d ę Newtona­Raphsona [7]: q° — przybliż enie p o c z ą t k o w e, (2.1) Г  BR T ' + '  =  qm— ( O J  {Kqm  +  R(qm)­XQ}  dla  w  = 0 , 1 , 2 ,  ...  (m oznacza numer iteracji). Jeś li metoda (2.1) jest zbież na, to w granicy otrzymamy rozwią zanie q(X) = l i m  q'n.  m  ­ » c o  BR  We wzorze (2.1) macierz jest macierzą funkcyjną postaci dq  (2.2) BR,  BR,  BRi  Bq,  Bq2  dqN  BR  BR2  8R2  BR2  Bq  "  Bą \  B~q2  ­ C<1N  BRN  8RN  BRN  8q2  ­ 8q*  a jej wartoś ci liczbowe są w punktach  q"  456  Z.  KASPERSKI W jednowymiarowych u k ł a d a c h macierze  К i (2.2) mają p o s t a ć p r z e d s t a w i o n ą na rys.  2,  gdzie podmacierze  0j(j  = 1 , 2 , . . . , / ) są macierzami o d p o w i a d a j ą c y mi podziałowi po­ włoki na elementy, a wyrazy zakreskowane na rysunku są dodawane. Rys.  2  Zgodnie z zasadą dodawania macierzy, t a k ą samą s t r u k t u r ę ma r ó w n i e ż macierz  K+  cR  dą   W dalszym cią gu tego r o z d z i a ł u założ ymy, że elementy macierzy  К i wektora  Q są dane a  oraz znany jest algorytm obliczania wartoś ci  R(q) i ­ ­  (q) dla dowolnego  q e  RN.  dq  Przy nieliniowym zachowaniu się konstrukcji dla pewnych wartoś ci parametru A ma­ BR  cierz  ­Я—+К , jest macierzą ź le u w a r u n k o w a n ą , a nawet osobliwą [5]. W tych przypadkach (szczególnie interesują cych z fizycznego punktu widzenia) nie m o ż na s t o s o w a ć metody Newtona­Raphsona w postaci (2.1). Zapiszmy (2.1) w innej r ó w n o w a ż n ej postaci: q°  — przybliż enie p o c z ą t k o w e, (2.3) ,  Г „  BR  3q  ш  ­{Kq»  +  R(q«)­?.Q},  gdzie  AqmJri  =  qm+1  — q'" dla  m  — 0, 1,2, ... i r o z w a ż my dwa moż liwe przypadki: 8 R  1) macierz  K+ ­ w pewnym otoczeniu rozwią zania  q  =  q(X) jest macierzą dobrze dq  .  u w a r u n k o w a n ą , a  £  2) macierz  K+—z—jest macierzą bliską osobliwej. ć q  (Praktyczne kryteria r o z r ó ż n i a n ia tych p r z y p a d k ó w zostaną podane przy omawianiu p r z y k ł a d ó w obliczeń ). W pierwszym przypadku k a ż dy k r o k iteracyjny metody Newtona­Raphsona wymaga a  ^  r o z w i ą z a n ia liniowego u k ł a d u r ó w n a ń (2.3), k t ó r e g o macierz w s p ó ł c z y n n i k ó w  K+  jest postaci podanej na rys. 2. Bardzo efektywna metoda r o z w i ą z a n ia tego typu u k ł a d ó w jest opisana w pracy [3]. Tutaj ograniczymy się jedynie do podania informacji, że jest to KRZYWOLINIOWE Ś CIEŻ KI RÓWNOWAGI 457  odpowiednio dostosowana metoda eliminacji z wyborem elementu głównego i że wszystkie operacje przeprowadza się jedynie na elementach niezerowych macierzy. W trakcie obli ­ czeń wymagany jest niewielki obszar pamię ci operacyjnej maszyny cyfrowej. Macierz u k ł a d u nie musi być macierzą symetryczną. W drugim przypadku niekorzystną sytuację m o ż na o m i n ą ć, jeś li parametr  1 potrak­ tujemy j a k o j e d n ą z niewiadomych u k ł a d u (1.11), natomiast dowolnie w y b r a n ą składową qr wektora  q(l  <  Г  <  N) przyjmiemy j a k o d a n ą . M ó w i się w ó w c z a s o tzw. zamianie parametru sterują cego [5]. Przy takiej zamianie w z ó r (2.3) przyjmie p o s t a ć (2.4) {Kqm+R(gm)­qrT}t  w k t ó r y m macierz  К powstaje z macierzy К przez zastą pienie r­tej kolumny wektorem Q  wektor  T jest r­tą k o l u m n ą macierzy  K, natomiast Sm  _  [n«i  ­m  j m  .,m  л »ПТ   Ф .  m «3  0  ^  -Q « и   Rys. 3 0 ^ W tym przypadku macierz.  K+­­^­ jest postaci przedstawionej na rys. 3, gdzie bez zmniejszenia ogólnoś ci r o z w a ż ań przyję to /• = I. Ze wzglę du na pojawienie się niezerowej BR  kolumny w macierzy  K­\ nie m o ż na s t o s o w a ć procedury opisanej w [3]. M o ż na ć q  natomiast p o d a ć prostą modyfikację tej procedury, k t ó r a bę dzie przydatna do rozwią zy­ wania u k ł a d ó w o macierzach w postaci przedstawionej na rys. 3, zachowując wszystkie P o ż ą d a ne własnoś ci (m.in. operacje tylko na niezerowych elementach). W tym celu, po­ dobnie jak w pracy [3] załóż my, że podmacierze Ф; są w y m i a r ó w n x n ( n­liczba parzysta) i w p r o w a d ź my nastę pują ce oznaczenia: P~~n,  f\s — element leż ą cy w M y m wierszu i  s­tfej kolumnie podmacierzy Ф ;(г, s =  = 1 , 2 , л , i = 1 , 2 , . . . , / ) . Eliminację niewiadomych u k ł a d u (2.4) bę dziemy p r z e p r o w a d z a ć w / etapach. W /'­tym BR  etapie eliminacji potrzebne są podmacierze Ф ,­ oraz Ф ,+ 1 . Fragment macierzy  K+  ^  458  Z.  KASPERSKI zawierają cy te podmacierze przed eliminacją wyglą da n a s t ę p u j ą c o: Qt  ­­t)  / ' n /'12  • • • ftp  f\,p+i  • • • fin  Q1+1  • • • 0 ./21 ./'22  •••/г р  / г . р +i  •••fin 0 £ ? t + P  • • • 0  / ' p i  У р2  •••J'pp  fp.p+l  •fpn  Qt+p+i  •  ••  о  /р+1,1  /p+1,2  • • • / p ł i .p  ••  / ' I ^ P  Qt  + n ...0 / n l /„2  • • • J'np  dpi  ­dp,,  / р Т р +l  ­­fpn  Г )  fi+l  fi  +  I  f i +  I  . f i + l  V£( + n+l  'p+1.1  • • •  ' p + l . p  У р+ I . p + I  Jp+l.n  0  f )   f i + l  f i + l  f i + l  f i + l  V£f +  n  + p  7 n l  •••Jnp  Jn.p+\  •••.Inn  gdzie  с //,  = / ' „ + 1 + / ; + p . I ! + p  (/, pierwszych niewiadomych z tego fragmentu otrzymamy: e,* ... 0 1 0 ... 0 f\*,+1  ...fi*  Q*+1 ...0 0  1 ... 0 f2*p+l .../'2„ 0 Q?+P  •  .. 0 0 0 .. .  1  ft*  J  p.p+1 • fi*  • J  pn  Q*+P+I  •  .. 0 0 0 .. . 0 Ą i* "11 Ji*  •• " 1 p  / • i + 1 J  l . p +  l  f i  +  l  Q*+p+2  •  .. 0 0 0 . .. 0 4 1  •   J i *  •• "2p f i +1 J 2. p+ 1 f i  + 1 • • •  .1  2n  Qf+„ 0 0 0 ... 0  d,\  ... d*p*  fp+p+i . . . / P v e fi+1  f i + l  f i + l  f i + l  t + n + l  'p+1,1 • ••  J  p+l.p  / p + l . p + l  • • • Jp+l.n  ; o f )  fi+l  f i + l  f i + l  f i + l  i i f  +  rt+p  Jnl  • • • Jnp  J  n. p t  I  •  • • J nn  (Symbolem * oznaczono te elementy, k t ó r e ulegają zmianie w procesie eliminacji niewia­ domych u k ł a d u ) . W ten s p o s ó b po wykonaniu / e t a p ó w zostan ą wyeliminowane wszystkie niewiadome za wyją tkiem /.. Wyliczając niewiadome w kolejnoś ci  Aq%,  Aq™ wyrazimy je wszystkie jako funkcje liniowe / , a nastę pnie po wyliczeniu  Я z  pierwszego  r ó w n a n i a  otrzymamy rozwią zanie  Aqm+1 u k ł a d u (2.4). Z w r ó ć my uwagę na fakt, że u k ł a d y (2.3) i (2.4) są rozwią zywane dużą ilość razy (dla k a ż d e go punktu na ś cież ce wielokrotnie), wobec tego szybkie i numerycznie stabilne metody rozwią zywania takich u k ł a d ó w mają istotne znaczenie dla całego procesu obliczeń. A u t o r o w i nieznane są efektywniejsze niż opisane wyż ej metody rozwią zania tego typu u k ł a d ó w . Korzystanie z wzoru (2.1) jest w tym przypadku niewskazane, ze wzglę du na to, że przy odwracaniu macierzy zatraca się ich s t r u k t u r ę p r z e d s t a w i o n ą na rysunkach 2 i 3. K R Z Y W O L I N I O W E  Ś C I E Ż KI RÓWNOWAGI 459  3.  Obliczanie  przybliż eń  począ tkowych  Punkty na ś cież ce równowagi oblicza się w ten s p o s ó b , że po rozwią zaniu u k ł a d u (1.11) dla Я = Я (lub dla  qr  =  ~qr) przechodzi się do rozwią zania tego u k ł a d u dla Я = Я + /1Я (qr  =  qr  + Aqr) m e t o d ą (2.3) lub (2.4). W k a ż d ym z tych p r z y p a d k ó w należy wybrać przybliż enie p o c z ą t k o we  q° (lub  q°). Jak wiadomo, w metodzie Newtona­Raphsona bardzo istotne znaczenie ma właś ciwy w y b ó r przybliż enia p o c z ą t k o w e g o. Jeś li np. za przybliż enie p o c z ą t k o we dla Я = Я + AA przyjmiemy  q°  =  q(A), to w przypadkach duż ych p r z y r o s t ó w przemieszczeń zajdzie koniecznoś ć zmniejszenia  А к (co wydłuża czas obliczeń) gdyż w przeciwnym razie m o ż na o t r z y m a ć proces iteracyjny r o z b i e ż ny bą dź o m i n ą ć czę ść krzywej na ś cież ce r ó w n o w a g i . Analogiczna sytuacja wystę puje w przypadku sterowania parametrem  qr. Dobre rezultaty daje nastę pują cy s p o s ó b obliczania przybliż eń p o c z ą t k o­ wych: załóż my, że mamy rozwią zania о (Я ,) i q(?.2) dla dwóch p a r a m e t r ó w Я, i  X2{K  Ф Я 2 ) (w począ tkowej czę ś ci ś cież ki dla Я bliskich zeru rozwią zania takie otrzymuje się ł a t w o ) . W ó w c z a s dla Я = Я 2 + .1Я przybliż enie я °(Я) otrzymuje się z wzorów (3.1)  4°a)  =  a A ? . 2 ) t A A q A ^ ­ ^ ­ ,  dla / = 1 , 2 ,  ...,N.  Analogiczny wzór na przybliż enie p o c z ą t k o we wektora  q°(qr) m o ż na p o d a ć w przy­ padku sterowania składową  qr (wystarczy zamienić Я z  qr). W z ó r (3.1) stanowi liniową ekstrapolację rozwią zania dla znanych d w ó c h poprzednich rozwią zań na ś cież ce r ó w n o ­ wagi, a jego geometryczną interpretację w przypadku  N = 2 przedstawia rys. 4. Rys.  4  Oczywiś cie m o ż na p o d a ć wzory ekstrapolacyjne wyż szych stopni, j e d n a k ż e liczne Przykłady obliczeń dla powłok obrotowych wskazują na wystarczają co dobre przybliż enia rozwią zań wg (3.1). 460  Z.  KASPERSKI M n o ż ąc skalarnie stronami r ó w n a n i e (1.11) przez wektor  Q, otrzymamy (3.2)   gdzie symbol <...> oznacza iloczyn skalarny w e k t o r ó w . Oznacza to, że jeś li  ą jest rozwią­ zaniem u k ł a d u (1.11), to o d p o w i a d a j ą ca mu w a r t o ś ć parametru Я wyraża się wzorem (3.2). W przypadku sterowania składową  qr, dla zadanego  AA oblicza się wielkoś ci  q° wg wzoru (3.1), a n a s t ę p n ie przybliż enie począ tkowe A° niewiadomej ). wg (3.2), wstawiając w miejsce q wektor  q°.  4.  Przykłady  obliczeń  ś cież ek  równowagi  dla  powłok  obrotowych  W rozdziale tym podamy przykłady obliczeń dla p o w ł o k obrotowych. Wszystkie one liczone były na E M C O d r a 1204. Obliczenia zwią zane z c a ł k o w a n i e m numerycznym ma­ cierzy sztywnoś ci, s k ł a d a n i e m macierzy, uw z g lę d n ian iem w a r u n k ó w brzegowych itp. wykonuje się przy pomocy metod opisanych szczegółowo w [2]. Wzory (2.3) i (2.4) opisują proces iteracyjny, k t ó r y należy z a k o ń c z y ć, gdy osią gnię to z a d a n ą d o k ł a d n o ś ć obliczeń s k ł a d o w y c h wektora  Aq (lub  Aq). Najczę ś ciej jako kryterium d o k ł a d n o ś ci obliczeń przyjmuje się spełnienie przez kolejne wektory  Aq™'1 i  Aqm relacji (4.1) H z V ­ z i y ­ 1 ! ! <  e,  gdzie  F. —zadana liczba dodatnia, a symbol |\q\\ oznacza n o r m ę wektora  q  =  [q,,  q2.  ...  ...,qN]T. We wszystkich p r z y k ł a d a c h przyję to n o r m ę (4.2) oraz e  ш 1 0 ­ 6 . P r z y k ł a d c h o ł k u (rys. 5). \q\\ = max  \q,]'  Małowyniosła p o w ł o k a sferyczna obcią ż ona siłą skupioną w wierz­ D a n e :  R  = 4,76 m a = 0,9 m H = 85,89 m m /; = 4,637 mm Eh3  12(1  ­v)2~  I)  sztywność zgię ciowa p o w ł o k i . KRZYWOLINIOWE Ś CIEŻ KI RÓWNOWAGI 461  N a rys. 6 przedstawiono przemieszczenie w i e r z c h o ł k a p o w ł o k i otrzymane przy podziale na 10 r ó w n y c h e l e m e n t ó w . Linią cią głą zaznaczono rozwią zanie otrzymane w pracy [1]. Ze wzglę du na brak w i e r z c h o ł k ó w , takie p r z y k ł a d y rozwią zuje się ł a t w o , bez koniecznoś ci zamiany parametru sterują cego. K a ż dy punkt na ś cież ce obliczono wykonując 3 ­ 4 ite­ racje wg wzoru (2.3) i przybliż enia p o c z ą t k o w e go (3.1). 10 15 20 pomieszczenie wierzchołka w / h Rys.  6  25 P r z y k ł a d 2. M a ł o w y n i o s ł a p o w ł o k a sferyczna o b c i ą ż o na pierś cieniowo. L i c z b a e l e m e n t ó w — 10. D a n e :  R = 4,758 i n  E = 10 7 l b / i n 2 a = 0,9 i n  v = 0,3 H  m 0,08589 in h = 0,01576 i n 0,42. Linią cią głą zazna­ C c N a rys. 7 przedstawiono wykresy: I dla — = 0,25 i II dla — czono rozwią zanie wg [6]. Punkty na krzywej II zaznaczone cyframi 1, 2, 3 , 4 oznaczają zmian ę parametru sterują cego. O d c i n k i krzywej mię dzy punktami 1 ­ 2 oraz 3 ­ 4 obliczono wg wzoru (2.4) przyjmując j a k o parametr sterują cy przemieszczenie iv wierzchołka. C h a ­ rakterystyczną cechą obliczeń przy zbliż aniu się do p u n k t ó w 1, 2, 3, 4 był wzrost liczby iteracji potrzebnych do obliczeń przemieszczeń z d o k ł a d n o ś c ią (4.1). W programie istnieje 462  Z.  KASPERSKI moż liwość automatycznej zmiany sterowania jeś li liczba iteracji przekracza z a d a n ą wartość lub małym przyrostom parametru odpowiadają duże przyrosty przemieszczeń (oznacza to np. moż liwość pominię cia odcinka 2 ­ 4 na krzywej I I , rys. 7). 10 2 0 3 0  U0  przemieszczenie w [ m m ] Rys.  7  pomieszczenie  wierzchołka  w/h  Rys.  8  KRZYWOLINIOWE Ś CIEŻ KI RÓWNOWAGI 463  P r z y k ł a d 3. M a ł o w y n i o s ł a p o w ł o k a sferyczna obcią ż ona r ó w n o m i e r n i e . D a n e :  R = 202 mm  E  =  2  • 10+5 N / m m 2 a  = 40 m m 1 Я = 4 mm 3 h = 0,4096 mm 2  Eh2  qct = ^ _,,2\i/2 yj2 = 1,007 N / m m 2 — klasyczne obcią ż enie krytyczne. N a rys. 8 przedstawiono przemieszczenie w i e r z c h o ł k a p o w ł o k i przy podziale na 10 ele­ m e n t ó w . Przy podziale na 20 e l e m e n t ó w otrzymano w y n i k i niewiele róż nią ce się (na ry­ sunku n i e r o z r ó ż n i a l n e ), a czas obliczeń wzrósł dwuktornie. Linią cią głą zaznaczono roz­ wią zania uzyskane w pracy [4]. Ze wzglę du na skomplikowany kształt krzywej przedstawionej na rys. 8 jest to p r z y k ł a d d o ś ć trudny do numerycznej analizy i wymaga d o ś w i a d c z eń w prowadzeniu tego typu obliczeń. J e d n a k ż e umieję tne wykorzystanie metod opisanych w punktach 2 i 3 pozwala liczyć takie p r z y k ł a d y z dużą dokł a dnoś c i ą. Przy pomocy opracowanego programu liczono szereg innych p r z y k ł a d ó w p o w ł o k obrotowych, j e d n a k ż e tutaj zamieszczono wyniki naj­ bardziej charakterystycznych p r z y p a d k ó w . 5 . Uzupełnienie W uzupełnieniu podamy podstawowe zależ noś ci i r ó w n a n i a algorytmu obliczeń p o w ł o k obrotowych m e t o d ą e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y c h, przy założ eniu, że p o w ł o k a poddana jest obcią ż eniom osiowosymetrycznym typu „ m a r t w e g o " . Bardziej szczegółowe opracowanie tych zagadnie ń znajduje się w niepublikowanych opracowaniach [8]. Niech t w o r z ą ca powierzchni ś r o d k o w ej p o w ł o k i dana bę dzie r ó w n a n i e m /• =  r(z),  ze  [ Z I , Z J V + I ] . P o d z i a ł p o w ł o k i na elementy s k o ń c z o ne jest dokonywany przez ustalenie cią gu wartoś ci z , ,  z2,  •  z N + 1 . W ten s p o s ó b otrzymuje się element s k o ń c z o ny jako s t o ż ek o krzywoliniowej tworzą cej  r  =  r(z),  z  e  [zL,  zi  +  1],  i  —  1,2,  ....  N. W celu otrzy­ mania zależ noś ci na poziomie elementu, wprowadza się lokalną p a r a m e t r y z a c j ę łukową tworzą cej (5.1)  s(z)  =  f  ) + D(H 2  + ~4> +  2v} są odpowiednio m o d u ł e m sprę ż ystoś ci i w s p ó ł c z y n ­ nikiem Poissona. Ograniczając się do teorii p o w ł o k Sandersa­Koitera, zwią zki mię dzy odkszt ał ceni am i i przemieszczeniami mają p o s t a ć 1  0 es  =  <%  =  К  =  sin0  XQ  =  r  г   S  9  (5.5)  A , ( ) ' = Ł ( > , gdzie  liniowe o d k s z t a ł c e n i a b ł o n o w e oraz parametr obrotu wyraż ają się przez przemieszcze­ nia n a s t ę p u j ą c o: (5.6)  es  =  u'­0'w,  e0  =  — (sin«­r­costv),  fia =  w'+Ф 'и .  r  N a  podstawie zwią zków (5.5) energię sprę ż ystą (5.3) m o ż na zapisać w postaci (5.7)  U  =  UL+UNL,  gdzie (5,.8)  UL =  л  f  {C(e; +  eg + 2ves f ( 9 )  +  £>(*; +  « | +  2v» a  ^ f o ? ,  (5.9) Ł/,v /. =  я /  +  4  A?} rife!  O / n a c z a j ą c przez ! Wykorzystując teraz p o s t a ć (5.18) wektora pseudo­sił m o ż e my wyznaczyć macierz CG  elementu Г1  v\  =  ° l  J '  З Ш   + (2(eł+vee)+3A 2)[b]r[b]l r & M . i  +  466  Z .  KASPERSKI Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  J .  R .  FlTCH,  The  buckling  cmd post­buckling  behavior  of spherical caps under  concentrated  load. Int.  J.  Solids  Struct.,  vol.  4  (1968),  421­446.  2.  J.  G O L A S ,  Z .  KASPERSKI,  Obliczenia  numeryczne powłok  obrotowych  metoda  elementów  skoń czonych,  P W N ,  W a r s z a w a ­ W r o c ł a w  1978.  3.  Z .  KASPERSKI,  The  solution of  a  certain  linear  equation  system, Applicationes  Mathematicae.,  X V I , 2  (1978).  4.  J .  MESCOLL,  Numerical  solutions of  nonlinear  equations for  shels of  revolution,  A 1 A A J . , vol.  4  (1966),  2041  ­ 2043.  5.  Z .  W A S Z C Z Y S Z Y N ,  Problemy numeryczne  nieliniowej analizy statecznoś ci  konstrukcji sprę ż ystych,  W y k ł a d y  Konferencji  Szkoleniowej,  Janowice  1980.  6.  O . C .  ZIENKIEWICZ,  77ie finite  element  method,  The  3rd  ed..  M c  Graw­Hill  Book  C o .  Limited  1977.  7.  A .  RALSTON,  Wstę p  do  analizy  numerycznej, P W N  Warszawa  1976.  8.  J .  G O L A S  i  inni,  Numeryczne rozwią zanie  powłok  obrotowych w  oparciu  o  liniowq i geometrycznie  nieli­ niową  teorię  powłok  sprę ż ystych  oraz  metodę  elementów  skoń czonych,  prace  w  ramach  problemu  w ę z ł o­ wego  05.12,  Z a k ł a d  Mechaniki  Konstrukcji  WSI  w  Opolu  Р е з ю ме   Ч И С Л Е Н Н ОЕ  И С С Л Е Д О В А Н ИЕ  К Р И В О Л И Н Е Й Н ЫХ  П У Т ЕЙ  Р А В Н О В Е С ИЯ  В  С Л У Ч АЕ   О Д Н О М Е Р Н ЫХ  У П Р У Г ИХ  С И С Т ЕМ   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  ч и с л е н н ый  м е т од  и с с л е д о в а н ия  т о ч ек  р а в н о в е с ия  в  с л у ч ае  о д н о м е р н ых   у п р у г их  с и с т е м.  П р и м е р а ми  т а к их  с и с т ем  я в л я ю т ся  с т е р ж ни  ( а р к и)  и ли о б о л о ч ки  в р а щ е н и я,  н а­ г р у ж е н н ые  о с е с н м м е т р и ч н о.  П р е д п о л а г а е т с я,  ч то  с и с т е ма  н а г р у ж е на  к о н с е р в а т и в но  и  о п и с ы­ в а е т ся  с к а л я р н ым  п а р а м е т р ом  ?..  М е т од  р е ш е н ия  н е л и н е й н ых  с и с т ем  у р а в н е н ий  р а в н о в е с ия  и с п о л ь з у ет  в се  с в о й с т ва  м а т р и ц,  к о т о р ые  п о я в л я ю т ся  в о  в р е мя  р е ш е н ия  з а д а чи  м е т о д ом  к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  Д о с т о и н с т в ом  м е­ т о да  я в л я е т ся  т а к же  и  т о, ч то в р е мя  в ы ч и с л е н ий  на Э ВМ м е н я е т ся  п р и б л и з и т е л ь но  л и н е й но  в з а­ в и с и м о с ти  о т  к о л и ч е с т ва  к о н е ч н ых  э л е м е н т ов  к о н с т р у к ц и и.  С т а т ья  с о д е р ж ит  р яд ч и с л е н н ых  п р и­ м е р о в,  к а с а ю щ и х ся  о б о л о ч ек  в р а щ е н и я,  а  о с н о в н ые  с в е д е н ия  о  д и с к р е т и з а ц ии  о б о л о ч ки  п о д а ны   в  П р и л о ж е н и и.  S u m m a r y  N U M E R I C A L  C A L C U L A T I O N  O F  T H E  N O N ­ L I N E A R  E Q U I L I B R I U M  P A T H S  O F  T H E  O N E ­ D I M E N S I O N A L  E L A S T I C  S Y S T E M S  A  method  of  calculation  of  the  equilibrium states  of  the  onedimcnsional  elastic  systems  like  rods  (arches)  and  shells  of  revolution  under  axisymmetric  loading  is  presented.  It  is  assumed  that  loads  are  conservative  and  intensity  of  loads  is  characterized  by  single  parameter  ?..  The  solution  method  of  the  non­linear  equilibrium equations  utilizes  all  properties  of  matrices  is  stable  and  less  time  consuming.  The  main  feature  of  this  method  is  that  computation  time  approximately  grows  linearly  with  the  number  of  finite  elements.  Numerical  examples  of  shells  of  revolution  and  basic  relations  are  presented.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  29  lipca  1982  roku