Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C ; H A N  I  K A  T E O R E T Y C Z N A  I  STOSOWANA  2/3,  21 (1983)  Z D E R Z E N I E  W  U K Ł A D Z I E  O  W I E L U  S T O P N I A C H  S W O B O D Y  W I E S Ł A W  G R Z E S I K I E W I C Z  Politechnika  Warszawska  A N D R Z E J  W  А К U L I С Z  Instytut  Matematyczny  PAN  1.  W s t ę p  R o z w a ż a ny  jest  u k ł a d  mechaniczny  złoż ony  z  nieodkształcalnyc h  ciał,  s k r ę p o w a n y ch  geometrycznymi  stacjonarnymi  wię zami  jednostronnymi.  Położ enie  u k ł a d u  opisuje  wektor  x e Rs,  a  wię zy  mają  p o s t a ć   /,(*) > 0,  jeś li  Л е СШ  /=  1  n^N.  Rozpatrywana  jest  chwila  czasu  t, w które j  u k ł a d  zajmuje  położ enie  takie, że  / , (*(,))=  0  dla  / =  l , . . . , n ,  natomiast  prę dkoś ci  u k ł a d u  są  takie,  że istnieje  co  najmniej  jeden  wię ź,  na  p r z y k ł a d  o  numerze  k(\  к  n)  taki,  że  l i m  GJX(T)<  0,  T = ( ­ 0  gdzie  W  opisanej  sytuacji  nastę puje  r ó w n o c z e s n e  zderzenie  u k ł a d u  z  k i l k o m a  wię zami.  Zgodnie  z  teorią  zderzenia  ciał  sztywnych  w efekcie  zderzenia  nastą pi  skokowa  zmiana  p r ę d k o ś c i,  k t ó r ą  s p o w o d u j ą  p o p ę dy  reakcji  wię zów.  Jeż eli  А , , . . . , Л„  są  nieujemnymi  liczbami  charakteryzują cymi  p o p ę dy  reakcji  odpo­ wiednich  wię zów, zaś   x(t±0)   : =  l i m x(r),  i  =  » ± 0  to  prawo  zmiennoś ci  p ę du  u k ł a d u  dane  jest  przez  nastę pują cy  zwią zek  ( 1 )  M[x(t + 0)­x(t­0)]  =  GX,  468  W .  GRZESIKIEWICZ,  A .  W A K U L I C Z  gdzie  / :  =  [Ax,  . . . ,  A„] r e  RN  —rrieujemay  wektor  charakteryzują cy  wartoś ci  p o p ę d ów  reakcji  wię zów  G  :=  [Gi,  ...,  G„] e  R N*"  —  macierz  p r o s t o k ą t na  r z ę du  n ,  to  znaczy  że  wektory  C , .  G„  są  liniowo  niezależ ne;  M   e  R N*N—­macierz  symetryczna  dodatnio  o k r e ś l o n a,  charakteryzu­ j ą ca  b e z w ł a d n o ś ć  u k ł a d u .  Wektor  prę dkoś ci  u k ł a d u  po  zderzeniu  x(t  + 0)  powinien  spełniać  nastę pują cy  oczywisty  warunek  (2)  С т Я ­ ( , + 0 ) ^ 0,  k t ó r y  wynika  z  r ó w n a ń  wię zów.  J e d n a k ż e  warunki  (1)  i  (2)  nie  wystarczają  do  jednoznacznego  wyznaczenia  x(t  + 0).  A b y  u n i k n ą ć  tej  niejednoznacznoś ci  w  przypadku  skalara,  to  znaczy  gdy  n   —  1,  uzupeł­ nia  się  warunki  (1)  i  (2)  nastę pują cą  hipotezą  [1],  [3].  [4].  W  zjawisku  zderzenia  wystę pują  dwie  fazy.  W  pierwszej  fazie  nastę puje  n a ł o ż e n ie  wię zu,  a  w  drugiej  oswobodzenie  z  tego  z  wię zu;  oswobodzenie  z  wię zu  nastę puje  pod  wpływem  impulsu  siły,  k t ó r e g o  w a r t o ś ć  —  zgodnie  z  hipotezą  Poissona  Щ—jest  pro­ porcjonalna  do  wartoś ci  p o p ę du  reakcji  wię zu  n a ł o ż o n e go  w  pierwszej  fazie.  2 .  Model  zderzenia  Przedstawiona  wyż ej  hipoteza,  k t ó r a  dotyczy  zderzenia  d w ó c h  ciał,  nic  wystarcza  do  analizowania  r ó w n o c z e s n e g o  zderzenia  w  układzie,  w  k t ó r y m  « > 2 .  W  tym  przypadku  proponujemy  rozważ yć  nastę pują cy  model  zderzenia.  W  pierwszej  fazie  nastę puje  nałoż enie  wię zów  (zderzenie  plastyczne),  a  w  wyniku  tego  powstają  reakcje  wynoszą ce  R   =  G/ .[,  k t ó r e  powodują  z m i a n ę  począ tkowej  prę dkoś ci  u k ł a d u  x(t  — 0)  na  p r ę d k o ść  V0.  Pierwszą  fazę  zderzenia  opisują  relacje  (3)  M[Vo—x(ł  — 0)]  =  G/ .i,  (4)  Я |>  0 ,  (5)  GTV0  >  0 ,  (6)  {ej  GT  V0)(el/;)  =  0 ,  / = 1 , . . . , » ,  jeś li  ef  • =  ['5/ .i  <5j,„],  gdzie:  ó u  —  symbol  Kroneckera.  W  drugiej  fazie  zderzenia  nastę puje  oswobodzenie  u k ł a d u  z  wię zów  pod  wpływem  impul­ s ó w  G/41,  jeś li  / . , ;  =  gdzie:  e —  współczynnik  restytucji  zderzenia  taki,  że  0  <  с  ^  I ;  ZDERZENIE  O  WIELU  STOPNIACH  SWOBODY  4 6 9  zatem  druga  faza  zderzenia  opisana  jest  zwią zkiem  (7)  M[x(t+0)­Vo]  =  fc­G/Y  M o d e l  zderzenia  opisany  relacjami  (3) ­ (7) pozwala na jednoznaczne  wyznaczenie  wektora  ­v(r+0).  F a k t  ten  wynika  z  nastę pują cego  twierdzenia.  Twierdzenie  1.  Jeż eli  F: R^­tR1  jest  funkcjonałem  o k r e ś l o n ym  n a s t ę p u j ą c o:  F(x)  =  ~  xTMx,  to  V0  spełnia  relacje  (3) ­ (6)  wtedy  i  tylko  wtedy, gdy  (8)  F(Vo­x(t­0))  =  min [F(z­x(t­0)\Gz  ^  0]  Dowód.  Jeś li  V0  jest  rozwią zaniem  zadania  (8), to na mocy  twierdzenie Kuhna­Tuckera  spełnia  relacje  (3) ­ (6)  ( p o r ó w n a j  [5]). Z  drugiej  strony,  na  mocy  założ enia  symetrii i do­ datniej  okreś lonoś ci  macierzy  M  funkcjonał  F jest  ś ciś le  w y p u k ł y  i  r ó ż n i c z k o w a ł ny  zatem  warunki  (3) ­ (6)  pocią gają  za  sobą  (8)  ( p o r ó w n a j  [5]).  B  P o n i e w a ż  funkcjonał  F  jest  ś ciś le  w y p u k ł y ,  cią gły  i  koercywny  (lim F(u) =  oo  =>  => l i m  | | M | |  =  co), to  na  mocy  znanego  twierdzenia  [2] zadanie  (8) posiada  jednoznaczne  rozwią zanie,  a  na  mocy  twierdzenia  1 wzory  (3) ­ (7)  wyznaczają  jednoznacznie  A, oraz  х (? + 0).  Prę dkoś ci  u k ł a d u  po  zderzeniu  w  kierunkach  wię zów  wynoszą   GTx  0  r ó w n a n i a  i macierze  wię zów,  wynikają ce  z rys.  1 mają  p o s t a ć   ­ 1 ,  0,  0  0 ,  1,  1  1,  ­ 1 ,  1  1,  o ,  0  0,  1 , 0 ,  o ,  0,  1  ­ . v ,  +xl  Ss  0  x 2 ­ x 3 ^ 0 ;  G =  .v,+.\­j  ^  0  23  Mech.  Tcoret  i  Stos.  2—3/83  470  W .  GKZESIKIEWICZ,  A .  W A K U U C Z  P o n i e w a ż  prę dkoś ci  bryły  w  kierunkach  wię zów  wynoszą   GTx(t­0)  =  KI  ­  i  0  0  to  nastą pi  zderzenie  bryły  z  wię zami.  N a  podstawie  relacji  (3)  ­  (6)  otrzymujemy  "2/3"  "1/3"  = v 1/3  , v0 = V 1/3  0  . i / 3 ;  a  ze  wzoru  (7)  otrzymujemy  prę dkoś ci  bryły  po  zderzeniu  (e  =  1)  x(/  + 0)  =  V  Stąd  mamy  prę dkoś ci  bryły  w  kierunkach  wię zów  po  zderzeniu  G T . Y ( J  +  0)  =  V\  • 1/3  2/3  2/3.  1  0  L4/3J  k t ó r e  spełniają  warunek  (2).  Niestety,  zaproponowany  tu  model  zderzenia,  k t ó r y  opisują  relacje  (3)  ­  (7)  nie  zawsze  ma  własność  (2)  co  pokazuje  nastę pują cy  p r z y k ł a d .  Przykład  2 :  Rozpatrywane  jest  jednoczesne  proste  ś r o d k o we  zderzenie  czterech  idealnie  sprę ż y­ stych  ciał  (rys.  2).  Masa  k a ż d e go  ciała  wynosi  1,  a  p r ę d k o ś ci  tych  ciał  przed  zderzeniem  są  r ó w n e  v(t­0)  =  [ 1 , 0 , 0 ,  1/3]T  1  1/3.  77777  \  V2  V3  V,  Rys.  2  Macierz  wię zów,  k t ó r a  wynika  z  rysunku  2,  ma  p o s t a ć   G  =  ­ 1 ,  o,  0  1,  ­ 1 ,  0  0,  1,  ­ 1  0,  o,  1  ZDERZENIE  O  WIELU  STOPNIACH  SWOBODY  471  Jedynym  wektorem  v0  spełniają cym  relacje  (3  ­  6)  jest  wtedy  Щ .  i .  o f ,  a  ze  wzoru  (7),  jeś li  e  =  1,  otrzymuje  się  p r ę d k o ś ci  k u l  po  zderzeniu  ,  "  « .  Г  1  2  2  1  1 г   * ( N ­ 0 )  =  [ ­ T ,  T ,  T ,  T j ,  a  stąd  prę dkoś ci  k u l  w  kierunkach  wię zów  G 4 + 0 )  =  [ i ,  0,  ­ y  Powyż szy  wektor  nie  spełnia  warunku  (2).  Przytoczony  p r z y k ł a d  wskazuje  na  to,  że  w  modelu  (3)  ­  (7)  m o g ą  p o w s t a ć  p r ę d k o ś ci  x(t  + 0),  k t ó r e  w  dalszym  cią gu  powodują  zderzenie  z  wię zami,  to  znaczy  że  nie  spełniają   warunku  wię zów  (2).  Dlatego  też  zaproponowany  model  jednoczesnego  zderzenia  u k ł a d u  z  wię zami  powinien  być  skorygowany,  tak  aby  prę dkoś ci  po  zderzeniu  x(t  + 0)  spełniały  warunek  wię zów  (2).  3 .  Rozszerzony  model  zderzenia  Proponujemy  nastę pują cy  rozszerzony  model  jednoczesnego  zderzenia.  Proces  jednoczesnego  zderzenia  w  u k ł a d z i e  o  wielu  stopniach  swobody  m o ż na  po­ dzielić  na  etapy,  składają ce  się  z  d w ó c h  faz.  W  pierwszej  fazie  k a ż d e go  etapu  nastę puje  n a ł o ż e n ie  wię zów  (zderzenie  plastyczne),  a  w  drugiej  oswobodzenie  z  wię zów.  Jeż eli  po  oswobodzeniu  z  wię zów  p r ę d k o ś ci  u k ł a d u  nie  spełniają  w a r u n k ó w  wię zów,  to  n a s t ę p u je  kolejny  etap  zderzenia.  Jeż eli  przez  yk  e  R N  oznaczymy  wektor  prę dkoś ci  u k ł a d u  na  p o c z ą t ku  /c­tego  etapu  zderzenia  lub  po  z a k o ń c z e n iu  (k—  l)­tego  etapu,  a  przez  wk  wektor  prę dkoś ci  u k ł a d u  po  z a k o ń c z e n iu  pierwszej  fazy  £­tego  etapu  zderzenia,  to  opis  matematyczny  zaproponowa­ nego  wyż ej  modelu  zderzenia  jest  nastę pują cy  (9)  y0  : =  * ( f ­ 0 ) ,  d o )  м(щ­ук)  =  G;.<*\  (11)  л <*>>о,  (12)  GTwk  >  0,  (13)  (eTGTwk)(e7V k>)  =  0;  i = l , . . . , , i ,   (14)  M(yk+l­wk)  =  eGK k>,  dla  к  =  0 , 1 , 2 ,  ...  2 3 '  4 7 2  w.  GRZESIKIEWICZ,  A .  W A K U L I C Z  Jeż eli  p o w t ó r z y m y  rozumowanie  prowadzone  dla  relacji  (3) ­ (7),  to  z a u w a ż y m y,  że  cią gi  {y\}  i  {wk}  są jednoznacznie  wyznaczone.  Zachodzi  przeto  nastę pują ce  twierdzenie  Twierdzenie  2 .  Jeż eli  cią gi  {yk},  {wk}  są  wyznaczone  relacjami  (9)­(14),  to  są  one  zbież ne,  przy  czym  limyk  :=  у  =  l i m  wk,  k — co  A  =  oo  (15)  GJ^ O;  00  szereg £  A ( ) T ) jest  zbież ny,  to  znaczy  k = 0  00  0  <  У  Я <*>  : =  A  <  oo  k = 0  oraz  (16)  M(y­y0)  =  ( l +  e ) G A .  Dowód.  N a wstę pie  p o k a ż e m y,  że  ciąg  {yk}  jest  ograniczony  w  normie.  P o n i e w a ż  macierz  M  jest  nieosobliwa  zatem  zwią zki  (10) i  (14)  dają   (17)  Щ \  =  0  +  e)wk­eyk,  a  stąd  w  oparciu  o  definicję  funkcjonału  F  mamy  (18)  F(yk+,)  =  (1 + s) 2F(Wk)  + e 2F(yk)  ­e(l  + e)  Myk.  D l a  funkcjonału  F  zachodzi  t o ż s a m o ść   (19)  F(wk­yk)  =  F(wk)  +  F(yk)­wlMyk.  Z  drugiej  strony,  korzystając  z  w z o r ó w  (10)  i  (13)  mamy  (20)  2F(Wk  ­yk)  iii 2F(yk)  ­  W T kMyk.  Z  w z o r ó w  (19)  i  (20)  wynika,  że  (2D  F{wk­yk)  =  F(yk)­F(wk),  za ś  z  (18),  (19)  i  (21)  (22)  F(yk+1)  =  (1 ­  Ł 2 ) }ф  +  e2F(yk).  P o n i e w a ż  funkcjonał  F  przyjmuje  jedynie  wartoś ci  nieujemne  zatem  z  (21)  wynika  F(wk)  <  F(yk),  co  pocią ga  za  sobą  na  mocy  (22)  (23)  n.vk+l)С У 'щ  eR\  dla  к  =  1,2,  ...  Ciąg  jest  dobrze  okreś lony,  gdyż  macierz  C 7 r M _ 1 C 7 j e s t  nieosobliwa  (rząd  G  =  n).  Z  w z o r ó w  (10)  i  (14)  mamy  (24)  М ( У н. ­ л )= (1+  «)GA<*\  a  stąd  (25)  & +  =  (l  + e)A<*>,  dla  к  =  0,  1,2,  ...  Zatem  na  skutek  nieujemnoś ci  A ( k )  & + i >  f»  dla  к  =  0,  1,2,  . . .  ponadto  Zatem  ciąg  jako  rosną cy  i  ograniczony  posiada  g r a n i c ę ,  a  więc  ciąg  {t}k}  posiada  również  granicę   n :=  limifc.  A" =  co  W p r o w a d ź my  ciąg  pomocniczy  { u } * ° = o  (26)  fi,  :=  л ­ М ­ ^ е .̂  Udowodnimy,  że  (27)  Cfc  =  Co  =  V ' o ­ M ^ G l C T ' ­ M - ^ r ^ ^ o .  istotnie  z  równoś ci  (24)  i  (26)  otrzymujemy  M(CK+L­CK)  + G ^ k + l ­ ^ k )  =  ( l  +  ą )A<">,  zaś  z  (25)  co  na  skutek  nieosobliwoś ci  macierzy  M  dowodzi  wzoru  (27).  W  ten  sposób  pokazujemy,  ż e  Ц од  P  A f ­ ' C T ^ M ­ ' G r H ' ^ ­ G ^ + y o ­ к =  со   oznaczając  у  : =  M ­ 1 t 7 ( G r M ­ 1 C 7 ) ­ , ( ' ? ­ G r 3 ' o ) +  . V o ,  otrzymujemy  pierwszą  czę ść  tezy.  V  474  W . GRZESIKIŁWICZ,  A .  W A K U L I C Z  Ze  wzoru  (17) mamy  limw* = у   k m  ( O   i  na  mocy (12)  0   <   \imCTwk  =   G Ty.  k = co  Ze  wzoru  (25) wynika,  że  p  P  X :=  (GTM­1G)­1(rl­fjo)  =  H m ( f , + 1 ­ " l o )  =  Hm  fo+.­f.,)  =  l i m ( l  + e)  У  A«>,  co  dowodzi  zbież noś ci  szeregu  0 0   Ostatnia  zależ ność  w  tezie  (16) wynika  b e z p o ś r e d n io  z  definicji  X oraz  wzoru  (24).  W  ten  s p o s ó b  twierdzenie  2  z o s t a ł o  udowodnione.  •   Udowodnione  powyż ej  twierdzenie  2  ma  kluczowe  znaczenie,  albowiem  pozwala  w  s p o s ó b  jednoznaczny  wyznaczyć  p o p ę dy  reakcji  wię zów  w y w o ł a n e  zderzeniem  oraz  p r ę d k o ś ci  u k ł a d u  po zderzeniu.  Z m i a n ę  prę dkoś ci  u k ł a d u ,  wywołaną  jednoczesnym  zde­ rzeniem  u k ł a d u  z  k i l k o m a  wię zami,  okreś la  nastę pują cy  w z ó r  (28)  * ( f + 0 ) ­ x ( r ­ 0 )  =  l i m ( y » ­ j » 0 ) ,  Jt =  oo  za ś  p o p ę dy  reakcji  wię zów  w y n o s z ą :  (29)  GX  gdzie  X : =  (l + e)  У ' Й   Cią gi  w e k t o r ó w  {yk},  {X lk)}  o k r e ś l o ne  są jednoznacznie  wzorami  (9)­(14).  W  wielu  przypadkach  proces  zderzenia  k o ń c zy  się po К ^  1 etapach,  wówczas  cią gi  te  mają  p o s t a ć  taką,  że  У к  + т  =  У к >  jeś li  m  =  1,  . . . , co.  P r z y k ł a d  3:  Przedstawiony  model  zderzenia  wykorzystamy  do  wyznaczenia  p o p ę d ów  reakcji  wię zów  oraz  p r ę d k o ś ci  ciał  po zderzeniu,  k t ó r e  opisano  w p r z y k ł a d z i e 2.  W  rozpatrywanym  przypadku  zderzenie  k o ń c zy  się po  d w ó c h  etapach  (\K =  2).  N a  podstawie  relacji  (9)  ­ (14)  m o ż na  wyznaczyć  pierwsze  wyrazy  cią gów  {)\}k=,o,  {wk}kZo>  {/.{k)}k^o,  opisują ce  prę dkoś ci  u k ł a d u  i  p o p ę dy  reakcji  wię zów,  powstają ce  w  .trakcie  Z D E R Z E N I E  O  WIELU  STOPNIACH  SWOBODY  475  zderzenia  ­ 1 / 3 ;  ­ 1 / 3  2/3'  1  4/9  2 / 3 '  4/9\  1/3  7/9  1/3,  ­1/31  1/3  5/9  1 / 3 '  5/9  1/3  5/9]  2/3  i o |   1/3,  1/9  1 o  1  12/9]  Prę dkoś ci  ciał  po  z a k o ń c z e n iu  zderzenia  wynoszą:  v(t+0)  =  y2  =  [ ­ l / 3 , 4 / 9 , 4 / 9 , 7 / 9 ] r ,  a  prę dkoś ci  kul w  kierunkach  wię zów  GTv(t+0) =  [7/9, 0,  1/3]T,  spełniają  warunek (2).  W e d ł u g  wzoru  (29) m o ż na  obliczyć  p o p ę dy  reakcji  wię zów,  k t ó r e  wynoszą  (e = 1)  Л =  [ 4 / 3 , 8 / 9 , 4 / 9 f ,  P o k a ż e my  teraz,  że  zaproponowany  model  zderzenia  spełnia  z a s a d ę  zachowania  energii.  W  tym  celu  wyznaczymy  z m i a n ę  energii  kinetycznej  u k ł a d u  w czasie  zderzenia.  Zgodnie  z  twierdzeniem  K e l v i n a  zmiana  energii  kinetycznej  u k ł a d u  w  p o s z c z e g ó l n y c h  fazach  k a ż d e go  etapu  zderzenia  wynosi:  ATik)=  ­  у  ( G A < l > ) V*+ > *) ,  (30)  Л Т У Р  =  \  (G?Sk>)T(yk+l  +  Wk),  gdzie:  off1*—  zmniejszenie  energii  kinetycznej  u k ł a d u  w pierwszej  fazie  etapu:  ATff—  przyrost  energii  kinetycznej  u k ł a d u  w  drugiej  fazie  etapu.  P o  wykonaniu  przekształceń  otrzymuje  się  wzory,  s t a n o w i ą ce  u o g ó l n i o n ą  p o s t a ć   w z o r ó w  Carnota  na  z m i a n ę  energii  kinetycznej  u k ł a d u  ­  у  ( w k­yk)TM ( w k­yk),  \  (yk+1  ~ *k )TM {ykJr  i ­w k) ,   ­ i  (c;.(t))7>/­4c7;.<Ł)),  ш  =  1  о   о   (31)  lub  (32)  476  W .  GRZESIKTEWICZ,  A .  W A K U L I C Z  C a ł k o w i t a  zmiana  energii  kinetycznej  u k ł a d u  po  К  etapach  zderzenia  wynosi  K­l  (33)  А T  =  У  (zł T\k>  +  А  Г #>),  a  stąd  po  podstawieniu  w z o r ó w  (31)  lub  (32)  mamy  (34)  AT=  ­~f0My0  +  ~fKMyK,  lub  A " ­ l  (35)  AT  =  ­  ^  {G/.(­k))TM~i(GX(­k)).  Z e  wzoru  (35)  wynika,  że  w  przypadku  zderzenia  niesprę ż ystego  (0  <  e  <  1)  energia  kinetyczna  zmniejsza  się,  a  w  przypadku  zderzenia  sprę ż ystego  (E  —  1)  energia  kinetyczna  nie  zmienia  się.  Oznacza  to,  że  model  zderzenia  spełnia  z a s a d ę  zachowania  energii.  4 .  Rodzina  modeli  zderzenia  Przedstawiony  w  rozdziale  3  model  zderzenia  jest  jednym  z  wielu  moż liwych  modeli  k t ó r e  wynikają  z  nastę pują cych  relacji  (36)  у  xr(t+0)Mx(t  + 0)  =  v­yk T(t­0)Mx(t­0),  (37)  M [ i ( * + 0 ) " ­ i ( * ­ 0 ) j  =  Gl,  (38)  GTx(t+0)  ^  0,  (39)  Д ^  0,  gdzie:  7]  —  w s k a ź n ik  strat  energii  taki,  że  0  <  t]  <  1,  przy  czym  w  przypadku  zderzenia  sprę ż ystego  r\  =  1.  Relacje  (36)  ­  (39)  opisują  prawo  zachowania  energii  (36),  prawo  zachowania  p ę du  (37),  warunek  z g o d n o ś ci  wię zów  i  p r ę d k o ś ci  u k ł a d u  po  zderzeniu  (38)  oraz  warunek  z g o d n o ś ci  wię zów  i  reakcji  wię zów  (39).  N a  podstawie  tych  relacji  nie  m o ż na  jednoznacznie  wyznaczyć  p r ę d k o ś ci  u k ł a d u  po  zderzeniu,  to  znaczy  że  relacje  te  opisują  r o d z i n ę  modeli  zderzenia,  a  model  zaproponowany  w  rozdziale  3 jest  jednym  z  wielu  moż liwych  modeli.  D l a  zilustrowania  tej  tezy  rozpatrzymy  nastę pują cy  p r z y k ł a d .  P r z y k ł a d  4 :  W  dwie  stoją ce  i  stykają ce  się  kule  uderza  kula  trzecia  z  prę dkoś cią  r ó w n ą  1;  kule  są   jednakowe,  a  masa  k a ż d ej  jest  r ó w n a  m.  N a l e ż y  wyznaczyć  wszystkie  p r ę d k o ś ci  k u l  po  zderzeniu  oraz  reakcje  wię zów,  k t ó r e  spełniają  relacje  (36)­  (39),  przy  z a ł o ż e n iu  r\  —  \.  Z  założ eń  zadania  wynika,  że  1,  o ,  0  ­ 1 ,  0  " i  M  =  m  0,  1,  0  ,  G  =  1,  ­ 1  ,  Ht­o)  =  0   0,  o ,  1  .  o ,  1_  0  ZDERZENIE  O  WIELU  STOPNIACH  SWOBODY  Poszukiwane  są  wektory  .v0 +  0)  =  Vi  =  v2  i  Я   У з .  spełniają ce  relacje  (36)  ­  (39).  Wektory  te  dane  są  wzorami  Я =  т р ,  л О +  0)  =  . v ( r ­ 0 ) +  G > ,  о  ile  tylko  fi  =  , Ą2] T  spełnia  nastę pują ce  relacje  fi  >  0,  (40)  2kr(t­0)Gft  + lu TGTG/i  =  0,  Grx(t­0)  + GTG,u  >  0 .  Po  rozpisaniu  relacji  (40)  otrzymujemy  цу  ^ 0 ,  ц2  ^  0,  ­  I + 2 / 7 , ­ f t 2  ^  0,  ­ / / х + 2 / г 2  ^  0,  ­M­i+Hl­Mirii+fil  =  0 .  Z  w z o r ó w  (41)  wynika,  ż e./*x  >  y . .  Zatem  k a ż de  r o z w i ą z a n ie  (41)  jest  postaci  (41)  / " i  1  /«2  =  1  ­s  1  1­s  przy  czym  f  oraz  ,v  spełniają  zwią zki  (42)  1  у  «S  '  <  L + s ,  t 2 ­ * 4 ­ s  =  0.  Ł a t w o  wyliczyć,  że  z b i ó r  wszystkich  rozwią zań  (42)  jest  dany  przez  ł  =  l ­ ( l + ) / " l ­ 4 s ) ,  0 < s < i ­ .  Stąd  wniosek,  że  zbiór  dopuszczalnych  rozwią zań  (36)  ­  (39)  dany  jest  wzorami  4  5 ?  Z  s Ł  3  '  Я =  m  у  ( z + j / 4 z ­ 3 z 2 )  4 7 S  W .  GRZESIKIEWICZ.  A .  W A K U L I C Z  Jc(f+0)  =  1  ( . ­ + , / 4 . ­ 3 ­ )  W  przypadku,  gdy  z  =  oraz  m  =  1  otrzymujemy  Я =  4_  _1  3  '  3  л ­0  +  O)  =  1  2  2  ""  3 '  T '  3  Identyczny  rezultat  m o ż na  o t r z y m a ć  na  podstawie  zaproponowanego  modelu  zderzenia,  k t ó r y  opisują  relacje  (3) ­ (7)  przy  założ eniu  f  =  1.  5 .  Zakoń czenie  Przedstawiony  model  jednoczesnego  uderzenia  w  układzie  o  wielu  stopniach  swobody  z o s t a ł  wykorzystany  do  analizy  r u c h ó w  wzdłuż nych  w a g o n ó w ,  w c h o d z ą c y ch  w  skład  d ł u g i e g o  p o c i ą gu  towarowego.  Podczas  rozruchu  i  hamowania  takiego  p o c i ą gu  w  urzą­ dzeniach  sprzę gają cych  wagony  powstają  duże  siły  i  bardzo  czę sto  dochodzi  do  całkowi ­ tego  ś ciś nię cia  a m o r t y z a t o r ó w ,  znajdują cych  się mię dzy  wagonami  tak,  że dalsze  oddzia­ ływanie  mię dzy  wagonami  odbywa  się poprzez  sztywne  korpusy  a m o r t y z a t o r ó w .  Opisany  tu  model  zderzenia  ciał  sztywnych  został  uż yty  do  wyznaczania  gwałtownych  zmian  prę d­ koś ci  w a g o n ó w ,  k t ó r e  powstają  w  okresie  c a ł k o w i t e g o  ś ciś nię cia  a m o r t y z a t o r ó w .  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  R .  G R Y B O Ś ,  Teoria  uderzenia  w  dyskretnych układach mechanicznych,  P W N , Warszawa  1969  r.  2 .  J .  E K E L A N D ,  R .  ТЕ М А М,  Courex­analysis  and  variational  problems,  North­Holland,  1976  3 .  J .  L E Y K O .  Dynamika układów materialnych,  P W N , Warszawa  1959 r.  4 .  G . K .  SUSŁOW, Mechanika teoretyczna,  P W N , Warszawa  1 9 6 0  r.  5.  W . I.  ZANC;\VILL, Programowanie nieliniowe,  W N T . Warszawa  1974 r.  P  e  3  10  M  e  С О У Д А Р Е Н ИЕ  Т В Е Р Д ЫХ  Т ЕЛ  В  С И С Т Е М АХ  С  М Н О Г И МИ  С Т Е П Е Н Я МИ  С В О Б О ДЫ   В  с т а т ье  р а с с м а т р и в а ю т ся  в о п р о сы  т е о р ий  о д н о в р е м е н н ых  с о у д а р е н ий  м е ж ду  а б с о л ю т но  т в е р­ д ы ми  т е л а м и.  П р е д л о ж е но  м е т од  о п р е д е л е н ия  с к о р о с т ей  т ел  п о с ле  у д а ра  и  и м п у л ь с и в н ых  р е а к ц ий   о д н о с т о р о н н ых  с в я з е й.  Д ля  о п р е д е л е н ия  н е и з в е с т н ых  п о с л е у д а р н ых  с к о р о с т ей  и с п о л ь з о в а но   г и п о т е зу  П у а с с о на  о  к о э ф ф и ц и е н те  в о с с т а н о в л е н и я.  ZDERZENIE  O  WIELU  STOPNIACH SWOBODY  479  S u m m a r y  S O L I D  B O D I E S  I M P A C T S  W I T H  M U L T I ­ D E G R E E S  O F  F R E E D O M  S Y S T E M S  Problems  of  the  theory  of  simultaneous  impacts  between  ideal  solid  bodies  are  considered.  A  method  for   evaluating  of  postshock  velocities  of  bodies  and  reactions  of  unilateral constraints  is  presented.  Pois­ sone's  restitution  coefficient  principle is  used  for  postshock  velocities  evaluation.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  22  marca  1983 roku