Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS83_t21z1_4_PDF_artyku³y\mts83_t21z2_3.pdf M E C H A N I К  А   T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2/3,  21  (1983)  K S Z T A Ł T O W A N I E  P Ł A S K I C H  U S T R O J Ó W  N O Ś N Y CH  O  N A J W I Ę K S Z EJ  S Z T Y W N O Ś C I1 '  JÓZEF  KAPŁANEK  Politechnika  Gliwicka  1.  W s t ę p  Współczesne  projektowanie  powinno  uwzglę dniać  aspekt  optymalizacji  konstrukcji  z  uwagi  na spełnienie  okreś l onych  kryteriów.  W y m o g i  natury  technicznej  czę sto  formułuje  się w postaci  k r y t e r i ó w  w y r ó w n a n e g o  wytę ż enia  lub  najwię kszej  sztywnoś ci.  Optymalizację   prowadzi  się  najczę ś ciej  na zadanym  szkielecie  geometrycznym  konstrukcji.  Przez  szkielet  geometryczny  rozumie  się tu  u k ł a d  osi p o d ł u ż n y ch  p r ę t ów  stanowią cych  o  konfiguracji  połą czeń  wę złów  p r ę t o w e go  ustroju  n o ś n e g o,  a w przypadku  tarcz  powierzchnię  ś r o d k o wą   ograniczoną  przez  jej  kontur.  O ile dla  kratownic  m o ż na  znaleźć  prace,  w k t ó r y c h  poszu­ kuje  się  optymalnego  szkieletu  geometrycznygo  [3],  o tyle w u k ł a d a c h  ramowych  w szcze­ gólnoś ci  hiperstatycznych  prace  ograniczają  się do  poszukiwania  optymalnych  przekro­ j ó w  poprzecznych  pozostawiając  na ogół  d o b ó r  konfiguracji  p r ę t ów  intuicji  konstruktora.  W  przypadku  tarcz  zagadnienie  wymaga  opisu  w kategoriach  teorii  sprę ż ystoś ci.  Wynikłe  stąd  t r u d n o ś ci  analityczne  najczę ś ciej  pokonuje  się na  drodze  rozwią zań  numerycznych  [2,  3,  8 ] . O g ó l n e  s f o r m u ł o w a n i e  problemu  optymalizacyjnego  dla  z a g a d n i e ń  płaskich  prowadzi  do r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go  czwartego  rzę du  o  pochodnych  czą stkowych  [3,  8].  R ó w n a n i e  takie  zawiera  dwie  niewiadome:  funkcję  n a p r ę ż eń  oraz  zmienną  g r u b o ś ć  tarczy.  F o r m u ł u j ą c  dodatkowe  r ó w n a n i e  wynikają ce  z  przyję tego  kryterium  optymalizacji  otrzy­ muje  się u k ł a d  r ó w n a ń ,  k t ó r e g o  o g ó l n e  rozwią zanie  nie jest  znane.  O d r ę b n ym  zagadnieniem  jest  d o b ó r  metody  optymalizacji.  Ogólnie  m o ż na  stwierdzić,  że  nie ma dotychczas  metody  uniwersalnej  nadają cej  się do rozwią zywania  szerokiej  klasy  zagadnie ń  optymalizacyjnych.  2 .  Sformułowanie  problemu  W  pracy  r o z w a ż a  się optymalizację  płaskich  ustrojów  ze  wzglę du  na  spełnienie  kry­ terium  najwię kszej  sztywnoś ci  przy  założ onej  stałej  obję toś ci  tworzywa.  P o d  poję ciem  płaskich  ustrojów  należy  r o z u m i e ć  tu szeroką  klasę  płaskich  u k ł a d ó w  z a r ó w n o  p r ę t o w y c h,  jak  i  tarczowych.  l )  Praca  jest  c z ę ś c ią  rozprawy  doktorskiej  przygotowanej  pod  kierunkiem  prof,  dr  inż. Antoniego  Jakubowicza  494  J .  KAPŁANEK  Przy  niezmiennym  układzie  obcią ż eń  i  wię zów  sztywność  ustroju  m o ż na  mierzyć   pracą  sił  na  przemieszczeniach  r ó w n o w a ż ną  energii  sprę ż ystej.  Problem  optymalizacji  płaskich  ustrojów  m o ż na  wówczas  sformułować  n a s t ę p u j ą c o:  znaleźć  zbiór  gruboś ci  .Y,  G  A'  wyznaczają cy  p o s t a ć  ustroju  płaskiego  UPj  cz  UP  przy  stałej  obję toś ci  V  —  const  tak%  b y :  energia  sprę ż ysta  U  =  M I N  (£/,).  Należy  zauważ yć,  że  w  wyniku  zerowania  się  niektórych  elementów  zbioru  X  może  zmie­ niać  się  kontur  tarczy  UP.  W  szczególnoś ci  istnieje  moż liwość  pizejś cia  z  p o c z ą t k o w e go  na  ogół  j e d n o s p ó j n e g o  obszaru  UP  do  obszaru  wielospójnego.  3 .  Metoda  rozwią zania  Przeprowadzona  analiza  róż nych  metod  rozwią zania  problemu  na  gruncie  teorii  sprę ż ystoś ci  wskazuje,  że  najbardziej  efektywną  jest  tu  metoda  przemieszczeń  [1]. W  zwią z­ ku  z  tym  rozwią zania  poszukuje  się  na  drodze  numerycznej  w p r o w a d z a j ą c  do  opisu  dyskretyzację  o ś r o d ka  cią głego,  a  w  konsekwencji  wykorzystanie  metody  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  [10].  Płaski  ustrój  dany  jest  w  postaci  zbioru  geometrycznego  UP  ograniczonego  p o c z ą t k o­ wym  konturem  Lu  (rys.  1).  Rys. 1 Z b i ó r  ten  musi  zawierać  punkty  $f,  w  któryc h  skupione  jest  obcią ż enie  zewnę trzne  oraz  punkty  f p ,  gdzie  na  ustrój  narzucono  wię zy  geometryczne.  W n ę t r ze  konturu  Lu  w y p e ł n i o n o  elementami  s k o ń c z o n y m i.  K a ż d e mu  elementowi  m o ż na  p r z y p o r z ą d k o w ać  pewną  zmienną   g r u b o ś ć  ustroju  w  tym  elemencie.  D l a  tak  zadanego  z b i o r u  geometrycznego  o k r e ś la  się   zbiór  obcią ż eń,  zbiór  wię zów  oraz  z b i ó r  własnoś ci  tworzywa  t r a k t u j ą c  je  jako  niezmienne.  Z b i ó r  geometryczny  e l e m e n t ó w  m o ż e  być  w  czasie  k s z t a ł t o w a n i a  modyfikowany  tak,  by  z a c h o w a ć  jego  stałą  obję toś ć.  Celem  tych  przekształceń  jest  uzyskanie  ustroju  n o ś n e go  o  najwię kszej  sztywnoś ci.  K s z t a ł t o w a n i e  m o ż na  p r o w a d z i ć  w  skoń czonej  //­wymiarowej  przestrzeni  R",  w  które j  k a ż d ej  osi  p r z y p o r z ą d k o w a no  zmienne  gruboś ci  poszczególnych  c i e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h.  Zmienne  te  tworzą  wektor  gruboś ci  {A'} =  {x,,  . v 2 ,  .v„}.  K a ż dy  punkt  przestrzeni  KSZTAŁTÓW ANII:  PŁASKICH  USTROJÓW  495  optymalizacyjnej  przedstawia  o k r e ś l o ny  ustrój  płaski,  zaś  k a ż dy  wektor  {X}  zawierają cy  się  w  dopuszczalnym  obszarze  tej  przestrzeni  przedstawia  tarczę  u t w o r z o n ą  przez  z b i ó r  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  stanowią cych  rozwią zanie  dopuszczalne.  D l a  p o r ó w n a n i a  poszczególnych  w e k t o r ó w  {X}  wprowadzono  funkcję  celu  w  postaci  energii  sprę ż ystej  jako  s u m ę  energii  sprę ż ystej  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y c h:  n  U  =  £  Ut.  (1)  / = i  M i a r ą  tak  okreś lonej  funkcji  celu  m o ż e  być  potencjał  sprę ż ysty:  (2)  D l a  spełnienia  kryterium  k s z t a ł t o w a n i a  zastosowano  twierdzenie  W a s i u t y ń s k i e go  o  wy­ r ó w n a n y m  potencjale  sprę ż ystym  [9].  Rys.  2.  Z a ł ó ż my  istnienie  w  ustroju  takich  d w ó c h  elementów  ej  i  e„, (rys.  2),  w  k t ó r y c h  poten­ cjały  jednostkowe  y>j i  y>m  są  r ó ż ne  i  ponadto  WJ >  V>»<  (3)  Uję cie  w  elemencie  „ w "  małej  obję toś ci  tworzywa  AV  spowoduje  w  tym  elemencie  wzrost  energii  sprę ż ystej  AUm  =  ­jipmAV,  (4)  zaś  dodanie  tej  samej  obję toś ci  do  elementu  „ / '  spowoduje  spadek  energii  sprę ż ystej  w tym  elemencie  л щ =  ~ъ Д У ­  (5)  C a ł k o w i t a  zmiana  energii  sprę ż ystej  w  ustroju  bę dzie  sumą  zmian  w  tych  elementach  /1U  =  ,1 Uj +  /1 U„  =  ­  \_  WJ ~  4>,n) Л V,  (6)  a  więc  jest  ujemna  z  założ enia  AU  <  0.  (7)  I  496  J .  K A P Ł A N E K  Ustrój  plaski  złoż ony  z  n  elementów  skoń czonych  osią gnie  minimum  energii  sprę ż ystej  wówczas,  gdy  potencjały  sprę ż yste  wszystkich  e l e m e n t ó w  bę dą  w y r ó w n a n e .  D l a  zadanego  u k ł a d u  obcią ż eń  i  wię zów  n a ł o ż o n y ch  na  tarczę  o k r e ś l o no  m e t o d ą  ele­ m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  s k ł a d o w e  przemieszczeń  и >у  oraz  sił  / у  poszczególnych  wę złów.  Stanowi  to  p o d s t a w ę  obliczenia  potencjału  sprę ż ystego  elementu  6   У i  =  у  2  У  Wtjf,j,  ( 8 )  jak  i  potencjału  ś redniego  całego  ustroju  p ł a s k i e g o  л  6   Przejś cie  do  ustroju  n o ś n e go  o  niż szym  stanie  energetycznym  odbywa  się  przez  mody­ fikację  gruboś ci  X[  poszczególnych  e l e m e n t ó w  s k o ń c z o n y ch  przy  r ó w n o c z e s n y m  zachowa­ niu  warunku  stałej  obję toś ci  ustroju  [6].  W  tym  celu  podzielono  wszystkie  elementy  na  dwa  podzbiory:  E ,  o  p o t e n c j a ł a c h  niż szych  od  ś redniego  i  E 2  o  p o t e n c j a ł a c h  wyż szych  od  ś redniego  Л  (Wi  <  Wir)  =>  e,  e  Б ,,  л  (W)  / \  i n  >  V'ir)  =>ekeE2.  ek  W  trakcie  modyfikacji  gruboś ci  . Y ;  nastę puje  przemieszczenie  tworzywa  ze  zbioru  Ei  do  zbioru  E2­  Ten  iteracyjny  proces  może  o d b y w a ć  się  w e d ł u g  zależ noś ci  f \ e , e E i  =>.V  +   1>   =   . \ ­ ( r , ­ / i ( r )   / \ е к е Е2  =>.хГ  +  1 , =  А у >™  Ак  ( И )  т   к  =  1  gdzie:  г  —  numer  iteracji,  li(n  —  zmiana  gruboś ci  r­tej  iteracji,  AV(r)—sumaryczna  obję tość  tworzywa  przekazywana  w  r­tej  iteracji  ze  zbioru  Ex  do  E2,  Ak  —  pole  powierzchni  A­tego  elementu.  Proces  ten  przebiega  a ż  do  osią gnię cia  ż ą danej  d o k ł a d n o ś ci  róż nicy  ekstremalnych  po­ tencjałów  sprę ż ystych.  Efektem  takiego  k s z t a ł t o w a n i a  jest  tarcza  o  zmiennej  gruboś ci.  R o z k ł a d  gruboś ci  tarczy  w  wielu  przypadkach  pozwala  wyznaczyć  optymalny  szkielet  geometryczny  płaskiej  konstrukcji  prę towej.  Wymaga  to  wprowadzenia  dodatkowego  warunku  w  w y n i k u  zasto­ sowania  k t ó r e g o ,  eliminuje  się  elementy  o  g r u b o ś c i a ch  mniejszych  od  założ onej  gruboś ci  minimalnej.  Uzyskuje  się  wówczas  kontur  tarczy  na  ogół  wielospójny.  Stanowi  on  wy­ tyczną  okreś lenia  poszukiwanego  szkieletu  geometrycznego  konstrukcji  prę towej  [5,  6,  7].  KSZTAŁTOWANI  i;  PŁASKICH  USTROJÓW  497  4 .  Zwią zek  kryterium  kształtowania  na  najwię kszą  sztywność  z kryterium  kształtowania  według  wyrównanych  wytę ż eń   C h c ą c  p o r ó w n y w a ć  k s z t a ł t o w a n i e  na  najwię kszą  sztywność  z  k s z t a ł t o w a n i e m  na  wy­ r ó w n a n y  stan  wytę ż enia  należy  przyjąć  w  obu  działaniac h  optymalizacyjnych  te  same  ograniczenia.  Dotyczą  one  niezmiennoś ci,  obję toś ci  ustroju.  Optymalizacja  ze  wzglę du  na  w y r ó w n a n y  stan  wytę ż enia  o d b y w a ć  się  może  w  identyczny  s p o s ó b  jak  w  opisanej  metodzie  przez  przemieszczenie  tworzywa  w  obrę bie  o k r e ś l o n e go  konturu  p o c z ą t k o w e g o.  M i m o  analogicznego  sposobu  k s z t a ł t o w a n i a  nie  zawsze  musi  p r o w a d z i ć  to  do  konstrukcji  takich  samych.  Kształ t  płaskiego  ustroju  o  w y r ó w n a n y m  stanie  wytę ż enia  u z a l e ż n i o ny  jest  od  rodzaju  twoi ż ywa  oraz  od  przyję tej  hipotezy  wytę ż eniowej.  Zbież ność  obu  k r y t e r i ó w  wystą pi  wówczas,  gdy  jako  m i a r ę  wytę ż enia ( T r e d  przyjmie  się  potencjał  sprę ż ysty  ip  co  ma  miejsce  w  hipotezie  Beltramiego  [4].  o r r e d  =  |/2Ity~  |   (12)  gdzie:  E  —  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  p o d ł u ż n e j.  D l a  tworzyw,  w  k t ó r y c h  miarą  wytę ż enia  nie  m o ż e  być  jednostkowy  potencjał  sprę­ ż ysty,  zbież ność  taka  w  o g ó l n y m  przypadku  nie  istnieje.  W  przypadku  płaskich  z a g a d n i e ń   rozbież noś ci  są  jednak  z  punktu  widzenia  technicznego  nieznaczne.  5 .  Przykład  Tarcza  o  wymiarach  3,4  x  1,0  m  i  począ tkowej  stałej  gruboś ci  h  =  30  mm  podparta  jest  w  d w ó c h  punktach  i  o b c i ą ż o na  siłami  P  =  10  k N  i  2Р  =  20  k N  jak  pokazano  na  rysunku  3.  W  wyniku  k s z t a ł t o w a n i a  na  najwię kszą  sztywność  uzyskano  kształt  tarczy  przedstawiony  warstwicami  gruboś ci  (rys.  3).  K s z t a ł t o w a n i e  pozwoliło  obniż yć  c a ł k o w i t ą   energię  sprę ż ystą  u k ł a d u  z  wartoś ci  U0  =  11,3  N m  do  Uk  =  5,6  N m  oraz  zmniejszyć   róż nicę  ekstremalnych  potencjałów  sprę ż ystych  z  Ay>0  =  0,78  N / m 2 do  Ami  =  0,04 N / m 2 .  M a k s y m a l n a  róż nica  n a p r ę ż eń  redukowanych  w  układzie  o  stałej  gruboś ci  wynosi  А а %й  =  =  31,28  M P a ,  zaś  w  układzie  k o ń c o w ym  Acrkcd  =  7,69  M P a .  R o z k ł a d  masy  tworzywa  w  tarczy  przedstawionej  na  rysunku  3  pozwala  w n i o s k o w a ć  o  szkielecie  geometrycznym  ewentualnego  ustroju  p r ę t o w e g o.  Szkielet  ten  złoż ony  z  cztrech  p r ę t ów  sztywno  p o ł ą c z o­ Rys.  3.  4 9 8  J .  K A P Ł A N E K  nych  przedstawia  rysunek 4 . Ponadto  r o z k ł a d  warstwie  gruboś ci  pozwala  w n i o s k o w a ć   o  wstę pnej  postaci  geometrycznej  dwóch  równoległych  pasów  noś nych.  Tak  o k r e ś l o ny  teoretyczny  ustrój  p r ę t o wy  m o ż e  podlegać  dalszej  optymalizacji  na gruncie  teorii  p r ę t ó w,  w  szczególnoś ci  w celu  okreś lenia  ich w y m i a r ó w  przekrojów  poprzecznych.  Rys.  4.  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  L A .  BORKOWSK/,  Programowanie  matematyczne  w  analizie  i  optymalizacji  konstrukcji,  Mechanika  i  Komputer,  3 ,  1980.  2 .  A  M . BRANDT,  Kryteria  i  metody  optymalizacji  konstrukcji,  P W N ,  Warszawa  1977.  3.  A . M .  BRANDT,  Podstawy optymalizacji  elementów  konstrukcji  budowlanych,  P W N ,  Warszawa 1978.  4 .  M . M . FILONIENKO­BORODICZ,  Mechanić eskie  teorii proć nosti,  Izd.  Mosk.  Uniw.,  1 9 6 1 .  5.  A .  JAKUBOWICZ,  J .  K A P Ł A N E K ,  Metoda  doboru szkieletu geometrycznego  płaskich  ustrojów  prę towych,  Sympozjon  „ M o d e l o w a n i e  w  mechanice",  W i s ł a 1983.  6.  A .  JAKUBOWICZ,  J .  K A P A L N E K ,  Shaping of  disks  with  regard  to  highest  stiffness,  4­th Seminar  about  finite  clement  method  and  variational  method,  Plzeń 1981.  7.  J .  K A P Ł A N E K ,  Rozprawa  doktorska.  Politechnika  Ś l ą s ka 1981.  8.  S.  ŁUKASIEWICZ,  Obcią ż enia  skupione  w płytach,  tarczach i  powłokach,  P W N ,  Warszawa 1976.  9.  Z . WASIUIYŃ SKI,  O  kształtowaniu  wytrzymałoś ciowym,  A k a d .  Nauk  Techn.,  Warszawa 1939.  10.  O .  C .  ZIENKIEWICZ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa 1972.  Р е з ю ме   Ф О Р М И Р О В А Н ИЕ  П Л О С К ИХ  С И С Т ЕМ  С А М ОЙ  В Ы С О К ОЙ  Ж Е С Т К О С ТИ   В  р а б о те  п р е д л о ж е но  м е т од  ф о р м и р о в а н ия  п л о с к их  с и с т ем  д ля п р о и з в о л ь н ых  к р а е в ых  у с л о­ в и и.  И с п о л ь з о в ан  м е т од  к о н е ч н ых  э л е м е н т ов  д ля о п р е д е л е н ия  у п р у г их  п о т е н ц и а л ов  э л е м е н т о в,  к о т о р ые  я в л я ю т ся  .м е р ой  ф у н к ц ии  ц е л и.  Ф о р м и р о в а н ие  п р о и з в о д и т ся  о т н о с и т е л ь но  с а м ой  в ы­ с о к ой  ж е с т к о с ти  п ри с о х р а н е н ии  н е и з м е н н о го  о б ъ е ма  с и с т е м ы.  П ри э т ом  и с п о л ь з о в ан  к р и т е р ий   В а с ю т и н с к о го  о  с р а в н е н н ым  у п р у г ом  п о т е н ц и а л е.  И с к л ю ч ая  э л е м е н т ы,  к о т о р ых  т о л щ и ны  я в л я­ ю т ся  м а л е н ь к и ми —  П О Л] ч а ем  к о н т ур  с т е р ж н е в ой  с и с т е м ы.  KSZTAŁTOWANIE  PŁASKICH  USTROJÓW  499  S u m m a r y  S H A P I N G  O F  D I S C S  W I T H  R E S P E C T  T O  M A X I M U M  S T I F F N E S S  A  method  for  geometric  shaping  of  planar  beam  structure  for  arbitrary  boundary  conditions  has  been  described.  The finite  element  m;thod  has  been  used  and  the  elastic  potentials  of  elements  which  were  a  measure  of  objective  function  have  been  defined.  Beam  shaping  with  respect  to  maximum stiffness  with  invariable  structure  volume  has  beeb  carried  out.  Wasiutynski's  criterion  of  the  comparative  elastic  potential  has  been  used.  By elimination  of  elements  of  small  thickness  a  profile  of  beam  structure  can  by  obtained.  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  II  kwietnia  1983  roku